Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables
We obtain exact order estimates for trigonometric and orthoprojection widths of the Besov classes $B^r_{p,θ}$ and Nikol’skii classes $Hr p$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for certain relations between the parameters $p$ and $q$.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3106 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509139428442112 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | We obtain exact order estimates for trigonometric and orthoprojection widths of the Besov classes $B^r_{p,θ}$ and Nikol’skii classes $Hr p$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for certain relations between the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
А. С. Романюк, В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
We obtain exact order estimates of trigonometric and orthoprojective widths of the Besov classes Brp,θ and
the Nikolsky classes Hr
p of periodic functions of many variables in the space Lq for some relations between
parameters p and q.
Одержано точнi за порядком оцiнки тригонометричних та ортопроекцiйних поперечникiв класiв Бєсова
Brp,θ i Нiкольського Hr
p перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq для деяких спiввiдношень
мiж параметрами p i q.
Введение. В настоящей работе изучаются тригонометрические и ортопроекцион-
ные поперечники классов Бесова Brp,θ и Никольского Hr
p периодических функций
многих переменных в пространстве Lq, 1 ≤ p, q ≤ ∞. Указанные аппрокси-
мативные характеристики исследуемых классов функций будут определены в со-
ответствующих частях работы, а сначала приведем необходимые обозначения и
определения.
Пусть Rd, d ≥ 1, обозначает d-мерное пространство с элементами x = (x1, . . .
. . . , xd), а Lp(T d), T d =
∏d
j=1
[−π;π], — пространство 2π-периодических по каж-
дой переменной функций f(x), для которых
‖f‖p =
(2π)−d
∫
Td
|f(x) |pdx
1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈Td
|f(x)| <∞.
Пусть, далее, k ∈ N и h ∈ Rd. Для f ∈ Lp(T d) обозначим
4hf(x) = f(x+ h)− f(x)
и определим кратную разность порядка k функции f(x) в точке x с шагом h по
формуле
∆k
hf(x) = ∆h∆k−1
h f(x), ∆0
hf(x) = f(x).
Кратную разность ∆k
hf(x) можно также записать в виде
∆k
hf(x) =
k∑
l=0
(−1)l+kClkf(x+ lh).
Отправляясь от ∆k
hf(x), определим модуль k-го порядка функции f ∈ Lp(T d),
который обозначим ωk(f, t)p, согласно формуле
ωk(f, t)p = sup
|h|≤t
‖∆k
hf‖p,
где |h| — евклидова норма h.
c© А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2009
1348 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1349
Будем говорить, что функция f ∈ Lp(T d) принадлежит пространству Brp,θ,
1 ≤ θ ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, r > 0, если ∞∫
0
(
t−rωk(f, t)p
)θ dt
t
1/θ
<∞, 1 ≤ θ <∞,
и
sup
t>0
ωk(f, t)t−r <∞, θ =∞.
При этом предполагается, что k > r.
Норма в пространстве Brp,θ задается формулами
‖f‖Brp,θ = ‖f‖p +
∞∫
0
(t−rωk(f, t)p)θ
dt
t
1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
‖f‖Brp,∞ = ‖f‖p + sup
t>0
ωk(f, t)p t−r.
(1)
Пространства Brp,θ введены О. В. Бесовым [1], причем Brp,∞ = Hr
p , где Hr
p —
пространства, введенные С. М. Никольским [2]. Таким образом, класс Brp,θ — это
множество функций f ∈ Lp(T d), для которых ‖f‖Brp,θ ≤ 1.
В последующих рассуждениях нам будет удобно пользоваться эквивалентным
(с точностью до абсолютных постоянных) определением классов Brp,θ.
Пусть Vm(z), m ∈ N, z ∈ R, обозначает ядро Валле Пуссена вида
Vm(z) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kz + 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kz.
Многомерное ядро Vm(x), m ∈ N, x ∈ Rd, определим по формуле
Vm(x) =
d∏
j=1
Vm(xj).
Для функции f ∈ Lp(T d) рассмотрим оператор свертки Vm этой функции с ядром
Vm(x), т. е.
Vmf = f ∗ Vm.
Таким образом с помощью оператора Vm определяется кратная сумма Валле Пус-
сена функции f(x) :
Vm(f, x) = Vmf.
Для f ∈ Lp(T d) положим
σ0(f, x) = V1(f, x), σs(f, x) = V2s(f, x)− V2s−1(f, x), s = 1, 2, . . . .
В принятых обозначениях (с точностью до абсолютных постоянных) классы Brp,θ,
1 ≤ p ≤ ∞, r > 0, можно определить следующим образом (см., например, [3]):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1350 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Brp,θ =
f(x) : ‖f‖Brp,θ =
∑
s∈Z+
2s r θ ‖σs(f, x)‖θp
1/θ
≤ 1
, 1 ≤ θ <∞,
Brp,∞ =
{
f(x) : ‖f‖Brp,∞ = sup
s∈Z+
2s r ‖σs(f, x)‖p ≤ 1
}
, θ =∞.
(2)
Заметим, что в случае 1 < p < ∞ можно записать эквивалентные определения
классов Brp,θ, используя в (2) вместо σs(f, x) „блоки” ряда Фурье функции f(x).
Для f ∈ Lp(T d) обозначим
f0(x) = f̂(0), fs(x) =
∑
2s−1≤max |kj |<2s
j=1,d
f̂(k)ei(k, x), s = 1, 2, . . . ,
где (k, x) = k1 x1+. . .+kd xd, и f̂(k) = (2π)−d
∫
Td
f(t) e−i(k, t)dt — коэффициенты
Фурье f(x). Тогда
Brp,θ =
f(x) : ‖f‖Brp,θ =
∑
s∈Z+
2s r θ ‖fs(x)‖θp
1/θ
≤ 1
, 1 ≤ θ <∞,
Brp,∞ =
{
f(x) : ‖f‖Brp,∞ = sup
s∈Z+
2s r ‖fs(x)‖p ≤ 1
}
, θ =∞.
(2′)
Отметим, что с увеличением параметра θ классы Brp,θ расширяются, т. е. при
1 ≤ θ ≤ θ′ ≤ ∞
Brp,1 ⊂ Brp,θ ⊂ Brp,θ′ ⊂ Brp,∞ = Hr
p .
Полученные результаты будем формулировать в терминах порядковых соотно-
шений. Для функций µ1(n) и µ2(n) запись µ1 � µ2 означает, что существуют
постоянные C1, C2 > 0 такие, что для любого n ∈ N C1µ1(n) ≤ µ2(n) ≤ C2µ1(n).
Если только µ2(n) ≤ Cµ1(n) или µ2(n) ≥ Cµ1(n), то соответственно пишем
µ2(n) � µ1(n) и µ2(n) � µ1(n). Все постоянные Ci, i = 1, 2, . . . , которые будут
встречаться ниже, могут зависеть только от параметров, содержащихся в опреде-
лениях классов, метрики и размерности пространства Rd.
1. Тригонометрический поперечник классов Br
p,θ в пространстве Lq. Пусть
F ⊂ Lq(T d) — некоторый функциональный класс. Тригонометрический m-попе-
речник класса F в пространстве Lq (обозначается dTm(F,Lq)) определяется по
формуле [4]
dTm(F,Lq) = inf
Ωm
sup
f∈F
inf
t(Ωm;x)
∥∥f(x)− t(Ωm;x)
∥∥
q
,
где
t(Ωm;x) =
m∑
j=1
cje
i(kj ,x), Ωm = {k1, . . . , km}
— набор векторов kj = (kj1, . . . , k
j
d), j = 1,m, из целочисленной решетки Zd, cj —
произвольные числа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1351
Прежде чем перейти к формулировке и доказательству полученного результата,
приведем известные утверждения, необходимые для дальнейшего изложения.
Теорема А [2]. Пусть nj ∈ N, j = 1, d, и
t(x) =
∑
|kj |≤nj
cke
i(k,x).
Тогда при 1 ≤ q < p ≤ ∞ выполняется неравенство
‖t‖p ≤ 2d
d∏
j=1
n
1/q−1/p
j ‖t‖q. (3)
Неравенство (3) доказано С. М. Никольским и называется „неравенством раз-
ных метрик”. В случае d = 1 и p = ∞ соответствующее неравенство доказал
Джексон [5].
Лемма А [6]. Пусть 2 ≤ q < ∞. Тогда для любого тригонометрического
полинома
P (Ωm;x) =
m∑
j=1
ei(k
j ,x)
и для любого n ≤ m найдутся тригонометрический полином P̃ (Ωn;x), содержа-
щий не более n гармоник, и постоянная Cq > 0 такие, что∥∥P (Ωm;x)− P̃ (Ωn;x)
∥∥
q
≤ Cqmn−1/2,
причем Ωn ⊂ Ωm, все коэффициенты P̃ (Ωn;x) одинаковы и не превышают по
абсолютной величине mn−1.
Теорема Б [3]. Пусть f ∈ Lp(T d), 1 < p <∞. Тогда существуют постоянные
C1(p) и C2(p) такие, что
C1(p)‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥∥
( ∞∑
s=0
|fs|2
)1/2
∥∥∥∥∥∥
p
≤ C2(p)‖f‖p. (4)
При доказательстве оценок снизу поперечников dTm(Brp,θ, Lq) будем использо-
вать известные оценки наилучших m-членных тригонометрических приближений
функций из классов Brp,θ. Для формулировки соответствующего результата приве-
дем необходимые обозначения и определения.
Пусть f ∈ Lq(T d) и {kj}mj=1 – произвольный набор d-мерных векторов kj =
= (kj1, . . . , k
j
d) с целочисленными координатами.
Тогда величина
em(f)q = inf
kj , cj
∥∥∥∥∥∥f(x)−
m∑
j=1
cj e
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q
,
где cj — произвольные комплексные числа, называется наилучшим m-членным
тригонометрическим приближением функции f(x). Для функционального класса
F ⊂ Lq(T d) полагаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1352 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
em(F )q = sup
f∈F
em(f)q.
Заметим, что, как следует непосредственно из определений, для em(F )q и
dTm(F,Lq) справедливо соотношение
em(F )q ≤ dTm(F,Lq). (5)
Теорема B [7]. Пусть 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞ и
r(p, q) :=
d
(
1
p
− 1
q
)
+
, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 или 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞,
max
{
d
p
;
d
2
}
в других случаях.
Тогда для r > r(p, q)
em(Brp,θ)q � m−r/d+(1/p−max{1/q;1/2})+ ,
где a+ = max{a; 0}.
Теперь сформулируем и докажем полученное утверждение.
Теорема 1. Пусть 1 ≤ p < 2 ≤ q < p
p− 1
, r > d, 1 ≤ θ ≤ ∞. Тогда
dTm(Brp,θ, Lq) � m−r/d+1/p−1/2. (6)
Доказательство. Оценка снизу в (6)
(
даже при r >
d
p
)
следует из теоремы В
согласно соотношению (5). Оценку сверху в (6) достаточно получить для клас-
сов Hr
p .
Итак, по числу m ∈ N подберем l ∈ N так, чтобы выполнялось соотношение
2(l−1)d−1 ≤ m ≤ 2ld−1 и положим
α =
(
r
d
− 1
p
+
1
2
)/(
r
d
− 1
p
+
1
q
)
.
Для s = 0, 1, 2, . . . обозначим
ns =
2sd, 0 ≤ s < l,[
2lr2sd(1−r/d)
]
, l ≤ s ≤ [αl] + 1,
0, s > [αl] + 1,
(7)
где [a] — целая часть числа a.
Тогда, принимая во внимание, что r > d, записываем
∑
s
ns ≤
l−1∑
s=0
2sd +
[αl]+1∑
s=l
2lr2sd(1−r/d) �
� 2ld + 2lr
[αl]+1∑
s=l
2sd(1−r/d) � 2ld + 2lr · 2ld(1−r/d) = 2 · 2ld � m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1353
Далее, обозначим через µ(s), s = 0, 1, 2, . . . , подмножества целочисленной решет-
ки вида
µ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : 2s−1 ≤ max
j=1,d
|kj | < 2s
}
и рассмотрим тригонометрический полином
ts(x) =
∑
k∈µ(s)
ei(k,x).
Пусть t(Ωns ;x) обозначает тригонометрический полином, приближающий поли-
ном ts(x) согласно лемме А, т. е.
‖ts(x)− t(Ωns ;x)‖q � 2sdn−1/2
s ,
при этом Ωns ⊂ µ(s), все коэффициенты t(Ωns ;x) одинаковы и не превышают
2(s+1)dn−1
s .
Построим подпространство тригонометрических полиномов с „номерами” гар-
моник из объединения множеств P =
⋃
0≤s<l
µ(s) иQ =
⋃
l≤s≤[αl]+l
Ωns , приближение
которым классаHr
p в пространстве Lq реализует порядок поперечника dTm(Hr
p , Lq).
Пусть f(x) — произвольная функция из класса Hr
p . Рассмотрим для f(x) при-
ближающий полином с „номерами” гармоник из P ∪Q вида
t(x) =
l−1∑
s=0
fs(x) +
[αl]+1∑
s=l
(t(Ωns ;x) ∗ fs(x)). (8)
Тогда
∥∥f(x)− t(x)
∥∥
q
≤
∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
fs(x)−
(
fs(x) ∗ t(Ωns ;x)
)∥∥∥∥∥∥
q
+
+
∥∥∥∥∥∥
∑
s>[αl]+1
fs(x)
∥∥∥∥∥∥
q
= J1 + J2. (9)
Установим сначала оценку сверху для слагаемого J2. Поскольку для f ∈ Hr
p выпол-
нено неравенство ‖σs(f, x)‖p ≤ 2−sr, s = 0, 1, 2, . . . , согласно неравенствам Мин-
ковского и (3) можем записать
J2 =
∥∥∥∥∥∥
∑
s>[αl]+1
fs(x)
∥∥∥∥∥∥
q
≤
∑
s>[αl]+1
‖fs(x)‖q �
�
∑
s>[αl]+1
2sd(1/p−1/q)
∥∥σs(f, x)
∥∥
p
≤
≤
∑
s>[αl]+1
2−sd(r/d−1/p+1/q) � 2−αld(r/d−1/p+1/q). (10)
Принимая во внимание значение α, из (10) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1354 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
J2 � 2−ld(r/d−1/p+1/2) � m−r/d+1/p−1/2. (11)
Перейдем к установлению оценки сверху слагаемого J1. С этой целью для
каждого числа s, удовлетворяющего соотношениям l ≤ s ≤ [αl] + 1, рассмотрим
линейный оператор Ts, действующий на функцию f(x) следующим образом:
Tsf(x) = f(x) ∗ (ts(x)− t(Ωns ;x)).
Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть 1 < p < 2 < q <
p
p− 1
. Тогда норма оператора Ts,
действующего из Lp в Lq
(
‖Ts‖p→q
)
, удовлетворяет соотношению
‖Ts‖p→q = sup
‖f‖p≤1
‖Tsf‖q � 2sdn−(1/2+1/p′)
s ,
где p′ =
p
p− 1
.
Доказательство. Согласно интерполяционной теореме Рисса – Торина (см., на-
пример, [8, с. 144])
‖Ts‖p→q ≤ ‖Ts‖1−λ2→2 ‖Ts‖λ1→q∗ , (12)
где параметры λ и q∗ определяются из соотношений
λ =
2
p
− 1,
1
q
=
1− λ
2
+
λ
q∗
.
Оценим величины ‖Ts‖2→2 и ‖Ts‖1→q∗ . Принимая во внимание, что коэф-
фициенты полинома ts(x) − t(Ωns ;x) одинаковы и не превышают по модулю
2(s+1)dn−1
s + 1, в силу равенства Парсеваля имеем
‖Ts‖2→2 � 2sdn−1
s . (13)
Далее, воспользовавшись обобщенным неравенством Минковского и леммой А,
можем записать
‖Tsf‖q∗ ≤ ‖f‖1 ‖ts(x)− t(Ωns ;x)‖q∗ � ‖f‖12sdn−1/2
s .
Отсюда, согласно определению ‖Ts‖1→q∗ , находим
‖Ts‖1→q∗ � 2sdn−1/2
s . (14)
Подставляя (14) и (13) в (12) и выполняя элементарные преобразования, получаем
требуемую оценку.
Лемма доказана.
Итак, переходя непосредственно к доказательству оценки слагаемого J1, сна-
чала предполагаем, что p ∈ (1, 2). В таком случае, ипользуя последовательно тео-
рему Б, неравенство Минковского и лемму 1, получаем
J1 ≤
∥∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
|fs(x)− (fs(x) ∗ t(Ωns ;x))|2
1/2
∥∥∥∥∥∥∥
q
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1355
=
∥∥∥∥∥∥
[αl]+1∑
s=l
|fs(x)− (fs(x) ∗ t(Ωns ;x))|2
∥∥∥∥∥∥
1/2
q/2
≤
≤
[αl]+1∑
s=l
∥∥∣∣fs(x)− (fs(x) ∗ t(Ωns ;x))
∣∣2∥∥
q/2
1/2
=
=
[αl]+1∑
s=l
‖fs(x)− (fs(x) ∗ t(Ωns ;x))‖2q
1/2
=
=
[αl]+1∑
s=l
‖Tsfs‖2q
1/2
≤
[αl]+1∑
s=l
‖Ts‖2p→q ‖fs(x)‖2p
1/2
�
�
[αl]+1∑
s=l
22sd n
−(1+ 2
p′ )
s ‖fs(x)‖2p
1/2
. (15)
Подставляя в (15) вместо ns их значения из (7) и выполняя элементарные преобра-
зования, имеем
J1 �
[αl]+1∑
s=l
22sd 2−lr(1+2/p′) 2−sd(1−r/d)(1+2/p′)‖fs(x)‖2p
1/2
≤
≤ 2−lr(1/2+1/p′)
[αl]+1∑
s=l
2sd(2/p−1)(1−r/d)
1/2
. (16)
Поскольку согласно условиям теоремы выполнены неравенства 1 − r
d
< 0 и
2
p
−
− 1 > 0, из (16) находим
J1 � 2−lr(1/2+1/p′) · 2ld(1/p−1/2)(1−r/d) = 2−ld(r/d−1/p+1/2) � m−r/d+1/p−1/2.
(17)
Таким образом, подставляя (17) и (11) в (9), получаем оценку
‖f(x)− t(x)‖q � m−r/d+1/p−1/2, 1 < p < 2 ≤ q < p
p− 1
.
Отсюда следует искомая оценка сверху для тригонометрического поперечника
dTm(Hr
p , Lq), 1 < p < 2 ≤ q <
p
p− 1
, а следовательно, и для поперечника
dTm(Brp,θ, Lq), 1 ≤ θ <∞.
Для завершения доказательства теоремы осталось получить оценку сверху для
тригонометрического поперечника dTm(Hr
1 , Lq), 2 ≤ q <∞.
Пусть q1 — число, удовлетворяющее условию 1 < q1 < 2, которое будет уточне-
но ниже. Далее, повторяя для оценки сверху величины J1 рассуждения, использо-
ванные в случае 1 < p < 2, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1356 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
J1 �
[αl]+1∑
s=l
‖Tsfs(x)‖2q
1/2
�
[αl]+1∑
s=l
‖Ts‖2q1→q ‖fs(x)‖2q1
1/2
�
�
[αl]+1∑
s=l
‖Ts‖2q1→q ‖σs(f, x)‖2q1
1/2
�
�
[αl]+1∑
s=l
22sd n
−(1+2/q′1)
s ‖σs(f, x)‖2q1
1/2
. (18)
Теперь, применяя к ‖σs(f, x)‖q1 неравенство разных метрик и подставляя в (18)
вместо ns их значения из (7), после элементарных преобразований имеем
J1 �
[αl]+1∑
s=l
22sd n
−(1+2/q′1)
s 22sd(1−1/q1)‖σs(f, x)‖21
1/2
≤
≤ 2(−lr/2)(1+2/q′1)
[αl]+1∑
s=l
2sd+2sr/q′1−sr
1/2
.
Наконец, подбирая число q′1 > 2 из условия sd +
2sr
q′1
− sr < 0 (это возможно,
поскольку по условию теоремы r > d), получаем оценку
J1 � 2(−lr/2)(1+2/q′1) 2ld/2+lr/q′1−lr/2 = 2−lr+ld/2 = 2−ld(r/d−1/2) � m−r/d+1/2.
Отсюда с учетом полученной выше оценки сверху величины J2 следует искомая
оценка сверху для поперечника dTm(Hr
1 , Lq), а следовательно, и для dTm(Br1,θ, Lq),
1 ≤ θ <∞.
Теорема доказана.
В заключение этой части работы приведем некоторые замечания.
Замечание 1. Непосредственно из доказательства теоремы 1 следует, что по-
рядок поперечника dTm(Brp,θ, Lq), 1 ≤ p < 2 < q <
p
p− 1
, не реализуется подпрос-
транством тригонометрических полиномов с „номерами” гармоник из множества
P =
⋃
0≤s<l
µ(s), 2ld � m.
Если же 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 или 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, то, как следует из теоремы В
и результатов, полученных ниже, подпространство тригонометрических полино-
мов с „номерами” гармоник из множества P является экстремальным (в смысле
порядковых оценок) для поперечников dTm(Brp,θ, Lq).
Кроме того, в этих случаях, а также в случае теоремы 1 имеет место соотноше-
ние
dTm(Brp,θ, Lq) � em(Brp,θ, Lq).
Замечание 2. Вопрос о порядках поперечников dTm(Brp,θ, Lq) в случаях 2 ≤
≤ p < q ≤ ∞ и 1 < p < 2, p′ < q ≤ ∞ остается, по-видимому, открытым.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1357
2. Ортопроекционные поперечники классов Br
p,θ в пространстве Lq. Сна-
чала приведем определения величин, которые будут исследованы в этом пункте.
Пусть
{
ui(x)
}m
i=1
— ортонормированная в пространстве L2(T d) система функ-
ций ui ∈ L∞(T d). Каждой функции f ∈ Lq(T d), 1 ≤ q ≤ ∞, поставим в соответ-
ствие аппарат приближения вида
∑m
i=1
(f, ui)ui(x), т. е. ортогональную проекцию
функции f(x) на подпространство, порожденное системой функций
{
ui(x)
}m
i=1
.
Здесь и далее (f, ui) = (2π)−d
∫
Td
f(x)ui(x) dx.
Если F ⊂ Lq(T d) — некоторый функциональный класс, то величина
d⊥m(F,Lq) = inf
{ui(x)}mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥∥f(x)−
m∑
i=1
(f, ui)ui(x)
∥∥∥∥∥
q
(19)
называется ортопроекционным поперечником этого класса в пространстве Lq(T d).
Поперечник d⊥m(F,Lq) введен В. Н. Темляковым [ 9 ].
Параллельно с поперечниками d⊥m(Brp,θ, Lq) будем исследовать величины
dBm(F,Lq), F = Brp,θ, также рассмотренные В. Н. Темляковым [9], которые опре-
деляются следующим образом:
dBm(F,Lq) = inf
G∈Lm(B)q
sup
f∈F∩D(G)
∥∥f(x)−Gf(x)
∥∥
q
. (20)
Здесь через Lm(B)q обозначено множество линейных операторов G, удовлетворя-
ющих условиям:
а) область определенияD(G) этих операторов содержит все тригонометричес-
кие полиномы, а их область значений содержится в подпространстве размерности
m пространства Lq(T d);
б) число B ≥ 1 и для всех векторов k = (k1, . . . , kd) выполнено неравенство
‖Gei(k,x)‖2 ≤ B.
Отметим, что к Lm(1)2 принадлежат операторы ортогонального проектирова-
ния на подпространства размерности m в Lq(T d), а также операторы, которые
задаются на ортонормированной системе функций с помощью мультипликатора,
определяющегося последовательностью {λl} такой, что |λl| ≤ 1 для всех l.
Легко видеть, что согласно определениям величины d⊥m(F,Lq) и dBm(F,Lq) свя-
заны между собой неравенством
dBm(F,Lq) ≤ d⊥m(F,Lq). (21)
Следовательно, оценки (снизу) величин dBm(F,Lq) могут служить оценками снизу
для ортопроекционных поперечников d⊥m(F,Lq) и, наоборот, оценки (сверху) попе-
речников d⊥m(F,Lq) можно использовать для оценок сверху величин dBm(F,Lq). Это
обстоятельство будет использоваться при доказательстве соответствующих утверж-
дений. Отметим также, что при доказательстве оценок снизу величин dBm(Brp,θ, Lq)
будем использовать метод, который применялся В. Н. Темляковым при доказа-
тельстве оценок величин dBm(F,Lq) для других функциональных классов F (см.,
например, [9 – 11]). Суть этого метода состоит в построении функций, принадле-
жащих классам Brp,θ, которые „плохо” приближаются с помощью операторов G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1358 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Кроме перечисленных выше работ ортопроекционные поперечники классов
функций как одной, так и многих переменных изучались также в работах [12 – 15].
Теперь перейдем к формулировке и доказательству полученных результатов.
Теорема 2. Пусть 1 ≤ p < q < ∞, r > d
(
1
p
− 1
q
)
. Тогда при 1 ≤ θ ≤ ∞
имеют место соотношения
dBm(Brp,θ, Lq) � d⊥m(Brp,θ, Lq) � m−r/d+1/p−1/q. (22)
Доказательство. Установим сначала оценку сверху в (22). Заметим, что в
силу соотношения (21) и вложения Brp,θ ⊂ Hr
p , 1 ≤ θ < ∞, достаточно получить
необходимую оценку сверху величины d⊥m(Hr
p , Lq).
Итак, по заданному достаточно большому m ∈ N подберем число n ∈ N из
соотношения 2(n+1)d ≤ m < 2(n+2)d и рассмотрим для f ∈ Hr
p приближение ее
частной суммой Фурье вида
Sn(f, x) =
n∑
s=0
fs(x).
Отметим, что количество гармоник в Sn(f, x) равно
∑n
s=0
|µ(s)| и не превышает
2(n+1)d . Здесь и далее через |A| обозначается количество элементов конечного
множества A ⊂ Zd.
Поскольку для f ∈ Hr
p выполнено соотношение ‖σs(f, x)‖p ≤ 2−sr, согласно
неравенствам Минковского и разных метрик Никольского можно записать
∥∥f(x)− Sn(f, x)
∥∥
q
=
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n+1
fs(x)
∥∥∥∥∥
q
≤
≤
∞∑
s=n+1
‖fs(x)‖q �
∞∑
s=n+1
‖σs(f, x)‖q �
�
∞∑
s=n+1
2sd(1/p−1/q)‖σs(f, x)‖p �
�
∞∑
s=n+1
2−sd(r/d−1/p+1/q) � 2−nd(r/d−1/p+1/q).
Отсюда в силу монотонности поперечников по размерности приближающего про-
странства имеем
dBm(Hr
p , Lq) ≤ d⊥m(Hr
p , Lq) ≤ sup
f∈Hrp
∥∥f(x)− Sn(f, x)
∥∥
q
�
� 2−nd(r/d−1/p+1/q) � m−r/d+1/p−1/q.
Переходя к доказательству оценок снизу в (22), заметим, что соответствующую
оценку достаточно получить для величины dBm(Brp,1, Lq). Предварительно сделаем
некоторые замечания и приведем вспомогательные утверждения, которые будут
при этом использоваться.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1359
Ниже, при оценке снизу величин dBm(F,Lq), F ⊂ Lq, будем считать, что опе-
раторы G принадлежат множеству Lm(B)2. В случае q ≥ 2 условие G ∈ Lm(B)2
является непосредственным следствием условия G ∈ Lm(B)q, а при q < 2 условие
G ∈ Lm(B)2, как следует из процесса установления оценок снизу и из приведен-
ных ниже рассуждений, не является ограничительным.
В самом деле, пусть
VL(x) =
d∏
j=1
VL(xj)
— ядро Валле Пуссена для куба [−L;L]d с ребром 2L+ 1 и
VLf = f ∗ VL.
Известно (см., например, [16, c. 119]), что для любого тригонометрического по-
линома t(x) c „номерами” гармоник из [−L;L]d и любой функции f ∈ Lq(T d),
1 ≤ q ≤ ∞, выполнены соотношения
VLt = t, ‖VLf‖q ≤ 3d‖f‖q.
Пусть G ∈ Lm(B)q. Рассмотрим оператор A = VLG. Тогда, очевидно, A ∈ Lm(B)2
и для любого тригонометрического полинома с „номерами” гармоник из [−L;L]d
можем записать
‖t−At‖q ≤ 3d‖t−Gt‖q. (23)
Из этого неравенства следует, что при получении порядковых оценок снизу величин
dBm(F ∩ T ;Lq) где T — множество тригонометрических полиномов, условия G ∈
∈ Lm(B)2 и G ∈ Lm(B)q равносильны.
Итак, пусть оператор G ∈ Lm(B)2 и для любого вектора k = (k1, . . . , kd)
Gei(k,x) =
m∑
l=1
akl ψl(x),
гдеm— размерность подпространства вL2(T d) значений оператораG, а {ψl(x)}ml=1
— ортонормированный базис в этом подпространстве. Заметим, что m ≤ m и для
всех k = (k1, . . . , kd)
m∑
l=1
|akl |2 ≤ B2, (24)
а также для произвольного l ∑
k
∣∣ψ̂l(k)
∣∣2 ≤ 1. (25)
Далее нам понадобится вспомогательное утверждение, полученное В. Н. Темляко-
вым (см., например, [10]).
Лемма Б. Пусть А – линейный оператор такой, что для произвольного k =
= (k1, . . . , kd)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1360 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Aei(k,x) =
m∑
l=1
akl ψl(x),
где {ψl(x)}ml=1 — заданная система функций, для которой ‖ψl(x)‖2 ≤ 1, l = 1,m.
Тогда для любого тригонометрического полинома t(x) будет выполнено нера-
венство
min
y=x
ReAt(x− y) ≤
{
m
m∑
l=1
∑
k
∣∣akl t̂(k)
∣∣2}1/2
.
Теперь перейдем непосредственно к получению оценки снизу величины
dBm(Brp,1, Lq).
Рассмотрим функцию
ϕn(x) = ei(k
n,x)
d∏
j=1
K2n−2−1(xj),
где
Kl−1(t) =
∑
|k|≤l−1
(
1− |k|
l
)
eikt
— ядро Фейера порядка l, Km(t) ≡ 1 при m < 0 и kn = (kn1 , . . . , k
n
d ),
knj =
2n−1 + 2n−2, n ≥ 2,
1, n = 1.
Далее обозначим
ρ(n) :=
{
k = (k1, . . . , kd) : 2n−1 ≤ |kj | < 2n, j = 1, d
}
и T (ρ(n)) — множество тригонометрических полиномов с „номерами” гармоник из
ρ(n). Заметим, что „номера” гармоник функции ϕn (их множество обозначим через
Qn) принадлежат множеству ρ(n). Соответственно через T (µ(n)) обозначим мно-
жество тригонометрических полиномов с „номерами” гармоник из µ(n). Заметим,
что ρ(n) ⊂ µ(n) и соответственно T (ρ(n)) ⊂ T (µ(n)).
Пусть задан оператор G ∈ Lm(B)q, m < |Qn|. Рассмотрим оператор A вида
A = (Sn − Sn−1)G.
Тогда A ∈ Lm(B)q и областью значений оператора A является подпространство
Am ⊂ T (µ(n)) размерности dimAm = m ≤ m. Кроме того, вследствие теоремы Б
‖Sl‖q→q ≤ C(d, q), 1 < q <∞, l = 0, 1, 2, . . . ,
и поэтому для f ∈ T (µ(n)) можем записать
‖f −Af‖q = ‖(Sn − Sn−1)(f −Gf)‖q � ‖f −Gf‖q
и, как следствие,
inf
A∈Lm(B)q
sup
f∈Brp,θ∩T (µ(n))
‖f −Af‖q � dBm(Brp,θ, Lq), (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1361
где inf берется по множеству Lm(B)q операторов A с областью значений Am ⊂
⊂ T (µ(n)).
Установим оценки снизу величин в левой части соотношения (26).
Пусть сначала q =∞. Рассмотрим величину
I = sup
y
∥∥ϕn(x− y)−Aϕn(x− y)
∥∥
∞.
Легко видеть, что
I ≥ ϕn(0)−min
y=x
ReAϕn(x− y). (27)
Оценим каждое слагаемое правой части (27). Согласно определению функции
ϕn(x) можем записать
ϕn(0) ≥ Cd |Qn|, Cd > 0. (28)
Далее, пусть
{
ψl(x)
}m
l=1
— ортонормированный базис в Am и
Aei(k,x) =
m∑
l=1
akl ψl(x).
Тогда (
m∑
l=1
|akl |2
)1/2
≤ B
и в силу леммы Б имеем
min
y=x
ReAϕn(x− y) ≤
m
m∑
l=1
∑
k∈Qn
|akl ϕ̂n(k)|2
1/2
≤
≤
m
m∑
l=1
∑
k∈Qn
|akl |2
1/2
=
m ∑
k∈Qn
m∑
l=1
|akl |2
1/2
≤ B(m |Qn|)1/2. (29)
Теперь по заданному достаточно большому n ∈ N подберем постоянные 0 < C1 <
< C2 < 1 так, чтобы C1 2nd ≤ m < C2 2nd и выполнялось неравенство
Cd|Qn| > 2B(m|Qn|)1/2.
Тогда в силу (27) – (29), учитывая, что |Qn| � 2nd, получаем
I = sup
y
∥∥ϕn(x− y)−Aϕn(x− y)
∥∥
∞ ≥
≥ Cd|Qn| −B(m|Qn|)1/2 > B(m|Qn|)1/2 � 2nd.
Следовательно, найдется y∗ такое, что∥∥ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)
∥∥
∞ � 2nd. (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1362 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Пусть теперь имеет место случай 1 < q < ∞. Поскольку полиномы t ∈ T (µ(n))
имеют степень не выше 2n по каждой переменной xj , j = 1, d, согласно неравен-
ству разных метрик Никольского можем записать
‖t‖∞ � 2nd/q‖t‖q.
Следовательно, из (30) находим∥∥ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)
∥∥
q
�
� 2−nd/q
∥∥ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)
∥∥
∞ � 2−nd/q2nd = 2nd(1−1/q). (31)
Для завершения доказательства оценки снизу величины dBm(Brp,1, Lq) рассмотрим
функцию
g(x) = C2−nd(r/d+1−1/p)ϕn(x), C > 0.
Поскольку в силу свойства ядра Фейера
‖σn(ϕn, x)‖p � 2nd(1−1/p), 1 ≤ p ≤ ∞,
согласно определению ‖ϕn‖Brp,1 можно записать
‖ϕn‖Brp,1 =
∑
s
2sr‖σs(ϕn, x)‖p �
� 2nr‖σn(ϕn, x)‖p � 2nr · 2nd(1−1/p) = 2nd(r/d+1−1/p).
Отсюда следует, что при соответствующем выборе постоянной C > 0 функция
g(x) принадлежит классу Brp,1.
Таким образом, используя оценки (30) и (31) соответственно при q = ∞ и
1 < q <∞, на основании (26) получаем
dBm(Brp,θ;Lq)� dBm(Brp,1;Lq)�
∥∥g(x− y∗)−Ag(x− y∗
∥∥
q
�
� 2−nd(r/d+1−1/p)
∥∥ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)
∥∥
q
�
� 2−nd(r/d+1−1/p) · 2nd(1−1/q) = 2−nd(r/d−1/p+1/q) � m−r/d+1/p−1/q.
Оценка снизу, а вместе с ней и теорема доказаны.
Замечание 3. Сопоставив оценки (6) и (22) при 1 ≤ p < 2 ≤ q < p
p− 1
, r > d
и 1 ≤ θ ≤ ∞, можем записать
dTm(Brp,θ, Lq) � d⊥m(Brp,θ, Lq)m
1/q−1/2.
В следующем утверждении установлены порядки рассматриваемых величин
для других соотношений между параметрами p и q.
Теорема 3. Пусть 1 ≤ θ ≤ ∞, r > 0 и 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, (p, q) 6= (1, 1),
(∞,∞). Тогда
dBm(Brp,θ, Lq) � d⊥m(Brp,θ, Lq) � m−r/d. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1363
Доказательство. Как и в случае предыдущей теоремы, для доказательства
оценок сверху в (32) достаточно установить их для поперечника d⊥m(Hr
p , Lq). Под-
берем по заданному достаточно большому m ∈ N число n ∈ N из соотношения
2(n+1)d ≤ m < 2(n+2)d и рассмотрим приближение функции f ∈ Hr
p ее частной
суммой Фурье Sn(f, x).
Пусть сначала имеет место случай 1 < p = q < ∞. Тогда для f ∈ Hr
q в силу
неравенства Минковского и соотношения ‖fs‖q ≤ 2−sr имеем
∥∥f(x)− Sn(f, x)
∥∥
q
=
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n+1
fs(x)
∥∥∥∥∥
q
≤
∞∑
s=n+1
∥∥fs(x)
∥∥
q
≤
≤
∞∑
s=n+1
2−sr � 2−nr � m−r/d
и
dBm(Hr
p , Lq) ≤ d⊥m(Hr
p , Lq) ≤ sup
f∈Hrp
‖f(x)− Sn(f, x)‖q � m−r/d. (33)
В случае 1 < q < p < ∞ искомые оценки следуют из (33) с учетом вложения
Hr
p ⊂ Hr
q . Действительно,
dBm(Hr
p , Lq) ≤ d⊥m(Hr
p , Lq) ≤ d⊥m(Hr
q , Lq)� m−r/d. (34)
Для оставшихся соотношений между параметрами p и q необходимые оценки рас-
сматриваемых величин следуют из (34). Именно, при q = 1 и p ∈ (1,∞], используя
неравенство ‖ · ‖1 < ‖ · ‖s, 1 < s < p, и оценку (34), получаем
dBm(Hr
p , L1) ≤ d⊥m(Hr
p , L1) < d⊥m(Hr
p , Ls)� m−r/d.
Если 1 < q < ∞, p = ∞, то в силу вложения Hr
∞ ⊂ Hr
q и оценки (34) можем
записать
dBm(Hr
∞, Lq) ≤ d⊥m(Hr
∞, Lq) ≤ d⊥m(Hr
q , Lq)� m−r/d.
Оценки сверху для величин dBm(Hr
p , Lq) и d⊥m(Hr
p , Lq), а следовательно, и для
величин dBm(Brp,θ, Lq) и d⊥m(Brp,θ, Lq), 1 ≤ θ <∞, доказаны.
Переходя к доказательству оценок снизу в (32), заметим, что достаточно уста-
новить их для величины dBm(Br∞,1, L1). Кроме того, в силу приведенного в начале
пункта замечания будем считать, что для операторов приближения функций из
классов Br∞,1 выполнено условие G ∈ Lm(B)2.
Итак, пусть G ∈ Lm(B)2 и n таково, что∣∣µ(n− 1)
∣∣ < 4B2m ≤ |µ(n)|,
где, напомним, |µ(l)| — количество элементов множества µ(l) ⊂ Zd.
Рассмотрим приближение функций ei(k,x), k ∈ µ(n), операторамиG ∈ Lm(B)2.
Обозначим
βk =
(
Gei(k,x), ei(k,x)
)
.
Тогда, поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1364 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Gei(k,x) =
m∑
l=1
akl ψl(x),
то
βk =
m∑
l=1
akl ψ̂l(k)
и
|βk|2 ≤ B2
m∑
l=1
∣∣ψ̂l(k)
∣∣2
Следовательно, в силу условий (24) и (25) будем иметь
∑
k∈µ(n)
|βk|2 ≤ B2
∑
k∈µ(n)
m∑
l=1
|ψ̂l(k)|2 = B2
m∑
l=1
∑
k∈µ(n)
|ψ̂l(k)|2 ≤ B2
m∑
l=1
1 = B2m.
Отсюда, учитывая выбор числа n, заключаем, что найдется вектор k0 ∈ µ(n) такой,
что |βk0 | ≤ 1
2
. В таком случае можем записать
1
2
≤ |1− βk0 | =
∣∣(ei(k0,x) −Gei(k
0,x), ei(k
0,x))
∣∣ ≤ ∥∥ei(k0,x) −Gei(k
0,x)
∥∥
1
. (35)
Наконец, принимая во внимание изложенное выше и используя соотношения (35)
для G ∈ Lm(B)1, имеем ∥∥ei(ko,x) −Gei(k
o,x)
∥∥
1
≥ 1
2
3−d. (36)
Теперь рассмотрим функцию
g1(x) = 2−nrei(k
o,x).
Поскольку
‖g1‖Br∞,1 =
∑
s
2sr‖σs(g1, x)‖∞ = 2nr‖σn(g1, x)‖∞ = 2nr · 2−nr = 1,
отсюда следует, что g1 ∈ Br∞,1.
Таким образом, используя оценку (36), получаем∥∥g1(x)−Gg1(x)
∥∥
1
= 2−nr
∥∥ei(ko,x) −Gei(k
o,x)
∥∥
1
� 2−nr.
Отсюда
d⊥m(Br∞,1, L1) ≥ dBm(Br∞,1, L1)� m−r/d.
Теорема доказана.
В заключение установим порядок величин dBm(Brp,θ, Lp), p = 1 и p =∞.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть r > 0, 1 ≤ θ ≤ ∞. Тогда при p = 1 или p =∞
dBm(Brp,θ, Lp) � m−r/d. (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОПРОЕКЦИОННЫЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ... 1365
Доказательство. Установим оценку сверху в (37) при θ =∞, т. е. для классов
Hr
p . По заданному достаточно большому m ∈ N подберем число n ∈ N из со-
отношения 2nd ≤ m < 2(n+1)d и рассмотрим для f ∈ Hr
p приближающий полином
вида
tn(f, x) =
n∑
s=0
σs(f, x).
Заметим, что, как отмечалось выше, оператор G, сопоставляющий функции
f(x) полином такого вида, принадлежит Lm(1)2(deg tn = (2n+1 − 1)d).
Поскольку для f ∈ Hr
p , p = 1,∞, выполнено соотношение
∥∥σs(f, x)
∥∥
p
≤ 2−sr,
используя неравенство Минковского, имеем
‖f(x)− tn(f, x)‖p =
∥∥∥∥∥
∞∑
s=n+1
σs(f, x)
∥∥∥∥∥
p
≤
≤
∞∑
s=n+1
‖σs(f, x)‖p ≤
∞∑
s=n+1
2−sr � 2−nr.
Отсюда получаем
dBm(Brp,θ, Lp) ≤ dBm(Hr
p , Lp) ≤ sup
f∈Hrp
∥∥f(x)− tn−1(f, x)
∥∥
p
� m−r/d.
Необходимая оценка снизу в (37) следует из соответствующей оценки величины
dBm(Br∞,1, L1), которая получена при доказательстве предыдущей теоремы.
Теорема доказана.
Замечание 4. Порядок величин d⊥m(Brp,θ, Lp), p = 1,∞, 1 ≤ θ <∞, в случае
d ≥ 2, по-видимому, неизвестен.
Для классов Hr
p порядок величин d⊥m(Hr
p , Lp), p = 1,∞, для всех размерностей
d ≥ 1 установлен в [14]. Что касается классов Brp,θ, 1 ≤ θ < ∞, в одномерном
случае (d = 1), то в работе [15] получено соотношение
d⊥m(Br1,θ, L1) � m−r, r > 0, 1 ≤ θ <∞.
В завершение работы приведем сравнение полученных оценок ортопроекци-
онных поперечников d⊥M (Brp,θ, Lq) с оценками аппроксимационных характеристик
классов Brp,θ, которые исследованы в [17].
Пусть Λ ⊂ Zd — конечное множество, содержащее m элементов, т. е. |Λ| = m.
Для f ∈ Lq(T d), 1 ≤ q ≤ ∞, обозначим
SΛ(f, x) =
∑
k∈Λ
f̂(k)ei(k,x)
и рассмотрим величину
e⊥m(f)q = inf
Λ
∥∥f(x)− SΛ(f, x)
∥∥
q
.
Для функционального класса F ⊂ Lq(T d) полагаем
e⊥m(F )q = sup
f∈F
e⊥m(f)q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1366 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Величину e⊥m(F )q называют наилучшим ортогональным тригонометрическим
приближением класса F в пространстве Lq.
Таким образом, сопоставляя теоремы 2, 3 с оценкой величины e⊥m
(
Brp, θ
)
q
[17]
(теорема 1), находим, что при 1 ≤ p, θ ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞, (p, q) 6= (1, 1) и r >
> d
(
1
p
− 1
q
)
+
справедливо соотношение
d⊥M (Brp, θ, Lq) � e⊥m(Brp, θ)q � m−r/d+(1/p−1/q)+ .
1. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами
вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 61.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории
дифференцируемых функций многих переменных // Там же. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
3. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B
(r)
p,θ и их соотношение с пространствами
Соболева L
(r)
p // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. – С. 1127 – 1152.
4. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и прибли-
жение функций тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. –
C. 161 – 178.
5. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39, № 12. –
P. 889 – 906.
6. Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригоно-
метрических полиномов с заданным числом гармоник // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика,
механика. – 1991. – № 2. – C. 3 – 7.
7. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. and
Appl. – 1995. – 2, № 1. – P. 29 – 48.
8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – T. 2. – 538 с.
9. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл.
АН СССР. – 1982. – 267, № 2. – C. 314 – 317.
10. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной сме-
шанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – C. 138 – 168.
11. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Там же. – 1986.
– 178. – С. 1 – 112.
12. Галеев Э. М. Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными
операторами // Мат. заметки. – 1990. – 47, № 3. – C. 32 – 41.
13. Галеев Э. М. Порядок ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и
нескольких переменных // Там же. – 1988. – 43, № 2. – C. 197 – 202.
14. Андрианов А. В., Темляков В. Н. О двух методах распространения свойств систем функций от
одной переменной на их тензорное произведение // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 32 – 43.
15. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих
переменных // Мат. сб. – 2008. – 199, № 2. – C. 93 – 114.
16. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука,
1977. – 512 с.
17. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики изотропных классов периодических функций
многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 4. – C. 513 – 523.
Получено 10.04.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3106 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:21Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e9/ba6a107855bb48af55b7497595ce54e9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31062020-03-18T19:45:28Z Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических функций многих переменных Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. We obtain exact order estimates for trigonometric and orthoprojection widths of the Besov classes $B^r_{p,θ}$ and Nikol’skii classes $Hr p$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for certain relations between the parameters $p$ and $q$. Одержано точні за порядком оцінки тригонометричних та ортопроекційних поперечників класів Бєсова $B^r_{p,θ}$ Нікольського $Hr p$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p$ i $q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3106 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1348-1366 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1348-1366 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3106/2960 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3106/2961 Copyright (c) 2009 Romanyuk A. S.; Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| title | Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_alt | Тригонометрические и ортопроекционные поперечники
классов периодических функций многих переменных |
| title_full | Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_short | Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_sort | trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3106 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas trigonometricandorthoprojectionwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanyukvs trigonometricandorthoprojectionwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkas trigonometricandorthoprojectionwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkvs trigonometricandorthoprojectionwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkas trigonometricandorthoprojectionwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkvs trigonometricandorthoprojectionwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanyukas trigonometričeskieiortoproekcionnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanyukvs trigonometričeskieiortoproekcionnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas trigonometričeskieiortoproekcionnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkvs trigonometričeskieiortoproekcionnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas trigonometričeskieiortoproekcionnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkvs trigonometričeskieiortoproekcionnyepoperečnikiklassovperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh |