On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions
The paper deals with the theory of space mappings. For a generalization of quasiregular mappings important for the investigation of the Sobolev and other known classes of mappings, we propose a simple condition satisfied by all mappings of this kind and only by these mappings. On the basis of condit...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3107 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509140538884096 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | The paper deals with the theory of space mappings. For a generalization of quasiregular mappings important for the investigation of the Sobolev and other known classes of mappings, we propose a simple condition satisfied by all mappings of this kind and only by these mappings. On the basis of conditions of divergence of the integrals, we establish sufficient conditions for the normality of the families of the analyzed classes of mappings and solve the problem of removing isolated singularities. Some applications of the obtained results to mappings from the Sobolev class are discussed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ
ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
И ЗНАЧЕНИИ УСЛОВИЯ РАСХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА
В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
The paper is devoted to the investigations of space mapping theory. For one generalization of quasiregular
mappings having a great significance in studying the Sobolev classes of mappings and other known classes
of mappings, a simple condition is constructed that is satisfied by the all mappings of indicated kind and
only by them. On the basis of conditions of integral-divergence type, sufficient conditions of the normality of
families for the considered classes of mappings are obtained and a problem of removal of isolated singularities
is solved. Some applications related to the investigation of mappings of the Sobolev class are given.
Роботу присвячено дослiдженням у областi просторових вiдображень. Для одного узагальнення квазiре-
гулярних вiдображень, що має важливе значення при вивченнi класiв Соболєва та iнших вiдомих класiв
вiдображень, побудовано просту умову, яку задовольняють усi вiдображення вказаного виду, i лише
вони. На пiдставi умов типу iнтегральної розбiжностi отримано достатнi умови щодо нормальностi
сiмей для таких класiв, а також розв’язано задачу про усунення iзольованих сингулярностей. Наведено
застосування, що вiдносяться до дослiдження вiдображень класу Соболєва.
1. Введение. Важное значение в геометрической теории функций имеют так на-
зываемые модули семейств кривых (см., например, [1]), которые являются веще-
ственнозначными характеристиками искажения семейств кривых при отображении
и играют роль внешней меры на семействах кривых в Rn, n ≥ 2. С помощью мо-
дуля могут быть определены различные классы пространственных отображений,
такие как конформные и квазиконформные отображения, отображения с ограни-
ченным, конечным искажением и т. д. На основании тех же модульных соотноше-
ний, которым удовлетворяют указанные выше классы, могут решаться некоторые
важные задачи, в частности проблема о нормальности семейств пространственных
отображений, устранение особенностей (наличие предела в точке) и др. В данной
работе значительное место занимает некоторый класс отображений, включающий
в себя многие из типов отображений, изучавшихся ранее, и определяющийся не-
которым соотношением с помощью упомянутых выше модулей. Решаемые нами
задачи позволяют еще раз сделать заключение о важности метода модулей в геомет-
рической теории функций. В последнем пункте указаны приложения полученных
результатов к классам Соболева, что также, по мнению автора, немаловажно.
Как известно, в основу геометрического определения квазиконформных ото-
бражений, а также отображений с ограниченным искажением, заданных в области
D из Rn, n ≥ 2 , положено условие
M(fΓ) ≤ KM(Γ) (1)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где M — конформный
модуль семейства кривых (внешняя мера, определенная на семействах кривых в
Rn), а K ≥ 1 — некоторая постоянная (см., например, [1 – 3]). Другими словами,
модуль любого семейства кривых искажается не более чем в K раз. На языке
емкостей соотношение (1) означает, что отображение f искажает емкость любого
конденсатора в D не более чем в K раз. Пусть теперь в основе определения
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10 1367
1368 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
рассматриваемого класса отображений вместо соотношения (1) лежит неравенство
вида
M(fΓ) ≤
∫
D
Q(x)ρn(x) dm(x) , (2)
где m(x) — мера Лебега в Rn, ρ — произвольная неотрицательная борелевская
функция, такая, что произвольная кривая γ семейства Γ имеет длину, не мень-
шую 1 в метрике ρ (см. (3)), а Q : D → [1,∞] — вещественнозначная функция
(см., например, [4]). Идея изучения соотношения (2) первоначально принадлежит
В. Я. Гутлянскому [5], который изучал подобное неравенство для специального
класса отображений. Следует отметить также монографию В. М. Миклюкова [6],
изучавшего подобные классы на поверхностях, а также работу Ю. Ф. Стругова
[7], касающуюся изучения модульных оценок для гомеоморфизмов f ∈ ACLn,
f −1 ∈ ACLn. В. И. Рязанов [8] предложил изучать отображения с конечным
искажением длины и показал (совместно с О. Мартио, У. Сребро и Э. Якубо-
вым), что отображения этого класса удовлетворяют оценке (2) с Q(x) = KI(x, f),
где KI(x, f) — так называемая внутренняя дилатация f. Можно привести и другие
примеры, подтверждающие, что для многих известных классов отображений имеют
место оценки вида (2), в частности это касается отображений с конечным искаже-
нием [9]. Более того, соотношение (2) примечательно тем, что оно характеризует
довольно широкое подмножество отображений класса Соболева (см. последний
пункт). Заметим, что в этом пункте мы прибегаем лишь к интуиции читателя, не
приводя строгих определений. В случае, когда в (2) Q(x) ≤ K почти всюду, мы
снова приходим к неравенству (1), при этом гомеоморфизмы, удовлетворяющие
соотношению (2) при Q(x) ≡ 1, являются конформными отображениями, и наобо-
рот, каждое конформное отображение удовлетворяет соотношению (2) с Q(x) ≡ 1
(см. [1]). В дальнейшем будем рассматривать случай, вообще говоря, неограничен-
ных Q и речь будет идти о классах пространственных отображений, которые не
будут совпадать с классом конформных (квазиконформных) отображений. Более
общо, можно предполагать, что в (2) контролируемым образом искажаются не все
кривые семейства Γ, а только „некоторые”, и преимущественно мы рассматриваем
в данной работе семейства кривых, которые соединяют концентрические сферы
с центром в фиксированной точке заданной области, чего вполне достаточно для
наших исследований.
Многие известные математики, которых можно было бы назвать крупными спе-
циалистами в геометрической теории функций, рассматривали условия типа расхо-
димости интеграла
∫
dr
rK(r)
, где K(r) — некоторая функция, в связи с решением
самых разнообразных задач (см., например, теорему 2 в [10], где исследовалась
задача о существовании предела в точке, теорему в [11], где исследовалась зада-
ча о глобальном гомеоморфизме пространства, и [12] в связи с существованием
решения уравнения типа Бельтрами). Данная работа также связана с условиями
расходимости интегралов такого типа, причем эти условия мы рассматриваем для
упомянутых выше классов, которые обобщают отображения с ограниченным иска-
жением.
Круг проблем, исследуемых в статье, следующий: 1. Указать критерий, когда
открытое дискретное отображение удовлетворяет соотношению вида (2), но без
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ... 1369
использования „допустимых” функций ρ в определении. Подобный критерий явля-
ется, по мнению автора, очень полезным, так как, вообще говоря, соотношение (2)
нужно проверять для бесконечного числа таких функций; решение данной пробле-
мы было опубликовано в [13] (см. теорему 2.1), но только для гомеоморфизмов. В
данной же статье рассматриваются просто открытые дискретные отображения (воз-
можно наличие точек ветвления). 2. Продемонстрировать эффективность условия
расходимости некоторого интеграла для решения различных проблем по отноше-
нию к классам отображений, удовлетворяющих оценке (2). В данной статье мы
исследуем две такие проблемы — нахождение условий, связанных с существовани-
ем предела отображения в точке, и нахождение условий, при которых имеет место
нормальность семейств отображений, удовлетворяющих (2) всюду в фиксирован-
ной области. 3. Указать приложения полученных результатов к классам Соболева.
2. Определения и предварительные замечания. Всюду далее D — область
в Rn, n ≥ 2. Запись f : D → Rn предполагает, что отображение f непрерывно,
G b D означает, что G — компактное подмножество области D. Отображение
f : D → Rn называется дискретным, если прообраз f−1 (y) каждой точки y ∈ Rn
состоит из изолированных точек, и открытым, если образ любого открытого мно-
жества U ⊆ D является открытым множеством в Rn. Будем говорить, что f сохра-
няет ориентацию, если топологический индекс µ(y, f,G) > 0 для произвольной
области G b D и произвольного y ∈ f(G) \ f(∂G). Для f : D → Rn, множества
E ⊂ D и y ∈ Rn определим функцию кратности N(y, f, E) как число прообра-
зов точки y во множестве E, т. е. N(y, f, E) = card {x ∈ E : f(x) = y} . Пусть
f : D → Rn — произвольное отображение и существует область G b D такая,
что G ∩ f−1(f(x)) = {x}. Тогда величина µ (f(x), f,G) , называемая локальным
топологическим индексом, не зависит от выбора области G и обозначается симво-
лом i(x, f). Приведенные выше понятия открытости, дискретности, нульмерности,
сохранения ориентации и т. п. естественным образом распространяются на ото-
бражения f : D → Rn, где Rn = Rn ∪ {∞} — одноточечная компактификация
Rn. В дальнейшем B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} , B(r) = {x ∈ Rn : |x| < r} ,
Bn = {x ∈ Rn : |x| < 1} , S(x0, r) = {x ∈ Rn : |x − x0| = r}, A(r1, r2, x0) = {x ∈
∈ Rn : r1 < |x − x0| < r2}, m(x) — мера Лебега в Rn, для множества A ⊂ Rn
запись |A| означает меру Лебега в Rn. Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебе-
гу функция, тогда qx0(r) означает среднее интегральное значение Q(x) над сферой
|x − x0| = r, ωn−1 — площадь единичной сферы в Rn, dist(A,B) — евклидово
расстояние между множествами A,B ⊂ Rn. Борелева функция ρ : Rn → [0,∞]
называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Rn, если∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1 (3)
для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае пишем ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства
кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x).
Пусть E, F ⊆ Rn — произвольные множества. Обозначим через Γ(E,F,D) семей-
ство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют E и F в D, т. е. γ(a) ∈ E,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1370 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Говорят, что семейство кривых Γ1 минориру-
ется семейством Γ2 (пишем Γ1 > Γ2), если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует
подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. В этом случае M(Γ1) ≤ M(Γ2)
(см. теорему 6.4 в [1]). Следующее понятие мотивировано одним из важнейших
определений квазиконформности (см. [14]). Пусть r0 = dist(x0, ∂D), Q : D →
→ [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, Si = S(x0, ri). Говорят, что f : D → Rn
является кольцевым Q-отображением в точке x0 ∈ D, если соотношение
M
(
f (Γ (S1, S2, A))
)
≤
∫
A
Q(x) · ηn
(
|x− x0|
)
dm(x) (4)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0, и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1. (5)
Отметим, что соотношение (5) обобщает понятие допустимости (3). Отображение
f будем называть кольцевым Q-отображением в D, если оно является таковым в
любой точке области D.
Изучение кольцевых Q-отображений не только связано с обширным приме-
нением к различным классам отображений, в частности классам Соболева (см.
последний пункт статьи), но и имеет самостоятельное значение, поскольку соотно-
шениям вида (4) удовлетворяют решения уравнения типа Бельтрами, имеющего
важные применения в науке и технике (см., например, [15, 16]). Если f — гомео-
морфизм и Q(x) ≡ c ∈ [1,∞), определение кольцевого Q-гомеоморфизма дает
определение квазиконформных отображений [14], так как в этом случае Q выно-
сится из-под знака интеграла в (4) и в правой части (4) возникает модуль. По
аналогии будем говорить, что отображение f : D \ {x0} → Rn является кольцевым
Q-отображением в точке x0 ∈ D, если выполнено соотношение (4). Смысл в
том, что в самой точке x0 отображение f может, вообще говоря, не быть опреде-
лено. Напомним, что изолированная точка x0 границы ∂D области D называется
устранимой для отображения f, если существует конечный предел lim
x→x0
f(x). Изо-
лированная точка x0 границы ∂D называется существенной особой точкой отобра-
жения f : D → Rn, если при x → x0 нет ни конечного, ни бесконечного предела.
Пусть f : D → Rn, β : [a, b) → Rn — некоторая кривая и x ∈ f−1 (β(a)) . Кривая
α : [a, c) → D называется максимальным поднятием кривой β при отображении f
с началом в точке x, если: 1) α(a) = x; 2) f ◦ α = β|[a,c); 3) если c < c′ ≤ b, то не
существует кривой α′ : [a, c′) → D такой, что α = α′|[a,c) и f ◦α′ = β|[a,c′). Пусть f
— открытое дискретное отображение и x ∈ f−1 (β(a)). Тогда кривая β : [a, b) → Rn
имеет максимальное поднятие при отображении f с началом в точке x (см. след-
ствие 3.3 гл. II в [2]). Конденсатором называют пару E = (A,C) , где A — открытое
множество в Rn, а C — компактное подмножество A (см., например, разд. 10 гл. II
в [2]). Емкостью конденсатора E называется величина
capE = cap (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|ndm(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ... 1371
где W0(E) = W0 (A,C) — семейство неотрицательных непрерывных функций
u : A→ R с компактным носителем в A таких, что u(x) ≥ 1 при x ∈ C и u ∈ ACL,
как обычно, |∇u| =
(∑n
i=1
(∂iu)
2
)1/2
. Говорят, что компакт C в Rn, n ≥ 2, име-
ет нулевую емкость (пишут capC = 0), если существует ограниченное открытое
множество A такое, что C ⊂ A, cap(A,C) = 0. Известно, что (см., например,
лемму 3.4 гл. II в [3]) в последнем случае и для любого другого ограниченного
открытого множества A в Rn, содержащего C, будет выполнено cap(A,C) = 0.
В противном случае полагаем capC > 0. Аналогично можно определить понятие
множества емкости нуль в Rn (см., например, [2]). В дальнейшем в расширен-
ном пространстве Rn = Rn
⋃
{∞} используется сферическая (хордальная) метри-
ка h(x, y) =
∣∣π(x) − π(y)
∣∣, где π — стереографическая проекция Rn на сферу
S
(1
2
en+1,
1
2
)
в Rn+1:
h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6= ∞ 6= y.
Пусть (X, d) и (X ′, d′) — метрические пространства с расстоянием d и d′ со-
ответственно. Семейство F непрерывных отображений f : X → X ′ называется нор-
мальным, если из любой последовательности отображений fm ∈ F можно выделить
подпоследовательность fmk
, которая сходится локально равномерно в X к непре-
рывной функции f : X → X ′. Семейство F отображений f : X → X ′ называется
равностепенно непрерывным в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 найдется
δ > 0 такое, что d′ (f(x), f(x0)) < ε для всех x с d(x, x0) < δ и для всех f ∈ F.
Говорят, что F равностепенно непрерывно, если F равностепенно непрерывно в
каждой точке из X.
Предложение 1. Если (X, d) — сепарабельное метрическое пространство, а
(X ′, d′) — компактное метрическое пространство, то семейство F отображений
f : X → X ′ нормально тогда и только тогда, когда F равностепенно непрерывно
(теорема Арцела – Асколи) (см., например, теорему 20.4 в [1]).
Предложение 2. Пусть E = (A,C) — произвольный конденсатор в Rn и ΓE
— семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A с γ(a) ∈ C и |γ| cap (A \ F ) 6= ∅ для
произвольного компакта F ⊂ A. Тогда capE = M (ΓE) (см. предложение 10.2
гл. II в [2]).
Отметим, что заключение предложения 2 остается справедливым для конден-
саторов из Rn (см. замечание 10.8 гл. II в [2]).
Иначе говоря, для конденсатора E = (A,C) семейство ΓE состоит из тех и
только тех кривых, которые имеют начало в C, лежат в A и в то же время целиком
не лежат ни в одном фиксированном компакте внутри A. В случае ограниченного
множества A такие кривые обязаны „подходить” к границе A, однако не обязаны
быть спрямляемыми и, вообще говоря, к чему-то стремиться.
Предложение 3. Предположим, что E — компактное собственное подмно-
жество Rn такое, что capE > 0. Тогда для каждого a > 0 существует положи-
тельное число δ > 0 такое, что
cap
(
Rn \ E,C
)
≥ δ
где C — произвольный континуум в Rn \ E такой, что h(C) ≥ a (см., например,
лемму 2.6 гл. III в [2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1372 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
3. Основная лемма и следствие из нее. Ниже мы придерживаемся следующих
стандартных соглашений: a/∞ = 0 для a 6= ∞, a/0 = ∞ для a > 0 и 0 · ∞ = 0
(см., например, [17, с. 6]).
Лемма 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отобра-
жение в точке x0 ∈ D и E — конденсатор вида E =
(
B(x0, r2), B(x0, r1)
)
,
0 < r1 < r2 < dist(x0, ∂D). Положим
I = I(x0, r1, r2) =
r2∫
r1
dr
rq
1/(n−1)
x0 (r)
. (6)
Тогда для конденсатора fE =
(
fB(x0, r2), f
(
B(x0, r1)
))
выполнено
cap fE ≤ ωn−1
In−1
. (7)
Доказательство. Заметим, что пара множеств fE =
(
fB(x0, r2),
f
(
B(x0, r1)
))
действительно является конденсатором, ибо f открыто и непре-
рывно в D, следовательно, f
(
B(x0, r1)
)
является компактным подмножеством
fB(x0, r2). Не ограничивая общности рассуждений, можно полагать, что I 6= 0,
так как в противном случае соотношение (7), очевидно, выполнено. Можно также
считать, что I 6= ∞, так как в противном случае в соотношении (7) можно рассмот-
реть Q(x) + δ (со сколь угодно малым δ) вместо Q(x), а затем перейти к пределу
при δ → 0. Пусть I 6= ∞. Тогда qx0(r) 6= 0 почти всюду на (r1, r2). Положим
ψ(t) =
1/[tq1/(n−1)
x0 (t)], t ∈ (r1, r2),
0, t /∈ (r1, r2).
Тогда ∫
A
Q(x)ψn(|x− x0|)dm(x) = ωn−1I, (8)
где A = A(r1, r2, x0).
Заметим, что функция η1(t) = ψ(t)/I, t ∈ (r1, r2), удовлетворяет соотношению
вида (5), так как
∫ r2
r1
η(t)dt = 1.Поэтому согласно соотношению (8) и определению
кольцевого Q-отображения (см. (4)),
M
(
f (Γ (S1, S2, A))
)
≤
∫
A
Q(x)η1n(|x− x0|)dm(x) =
ωn−1
In−1
, (9)
где Si = S(x0, ri).
Пусть ΓE и ΓfE — семейства кривых в смысле обозначений предложения 2. По
этому предложению
cap fE = cap
(
fB (x0, r2) , f
(
B(x0, r1)
))
= M (ΓfE) . (10)
Пусть Γ∗ — семейство максимальных поднятий ΓfE с началом в B (x0, r1). Пока-
жем, что Γ∗ ⊂ ΓE . Предположим противное, т. е. существует кривая β : [a, b) → Rn
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ... 1373
семейства ΓfE , для которой соответствующее максимальное поднятие α : [a, c) →
→ B(x0, r2) лежит в некотором компакте K внутри B(x0, r2). Следовательно,
его замыкание α — компакт в B(x0, r2). Заметим, что c 6= b, поскольку в про-
тивном случае β — компакт в fB(x0, r2), что противоречит условию β ∈ ΓfE .
Рассмотрим множество G =
{
x ∈ Rn : x = lim
k→∞
α(tk)
}
, tk ∈ [a, c), lim
k→∞
tk = c.
Отметим, что, переходя к подпоследовательностям, здесь можно ограничиться мо-
нотонными последовательностями tk. Для x ∈ G, в силу непрерывности f, будем
иметь f (α(tk)) → f(x) при k → ∞, где tk ∈ [a, c), tk → c при k → ∞. Однако
f (α(tk)) = β(tk) → β(c) при k →∞. Отсюда заключаем, что f постоянна на G в
B(x0, r2). С другой стороны, по условию Кантора в компакте α (см. теорему 3.6 гл. I
в [18]) G =
∞⋂
k=1
α ([tk, c)) = lim sup
k→∞
α ([tk, c)) = lim inf
k→∞
α ([tk, c)) 6= ∅ в силу моно-
тонности относительно последовательности связных множеств α ([tk, c)) и, таким
образом, G является связным согласно теореме 9.12 гл. I в [18]. Таким образом,
в силу дискретности f, G не может состоять более чем из одной точки, и кривая
α : [a, c) → B(x0, r2) продолжается до замкнутой кривой α : [a, c] → K ⊂ B(x0, r2)
и f (α(c)) = β(c). Снова по следствию 3.3 гл. II в [2] можно построить максималь-
ное поднятие α′ кривой β|[c,b) с началом в точке α(c). Объединяя поднятия α и α′,
получаем новое поднятие α′′ кривой β, которое определено на [a, c′), c′ ∈ (c, b),
что противоречит максимальности поднятия α. Таким образом, Γ∗ ⊂ ΓE . Заметим,
что ΓfE > fΓ∗ и для достаточно малых δ > 0 ΓE > Γ (S(x0, r2 − δ), S(x0, r1), D) .
Следовательно, в силу соотношения (9)
M (ΓfE) ≤M (fΓ∗) ≤M (fΓE) ≤
≤M (f (Γ (S(x0, r1), S(x0, r2 − δ), A(r1, r2 − δ, x0)))) ≤
≤ ωn−1(∫ r2−δ
r1
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
)n−1 . (11)
Заметим, что согласно нашему предположению, I 6= ∞, функция 1/t · q1/(n−1)
x0 (t)
суммируема на (r1, r2) и по абсолютной непрерывности интеграла (см., например,
[17])
∫ r2−δ
r1
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
→
∫ r2
r1
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
при δ → 0. Тогда в силу (11)
M(ΓfE) ≤ ωn−1(∫ r2
r1
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
)n−1 . (12)
Объединяя (12) и (10), получаем соотношение (7).
Лемма 1 доказана.
Предложение 4. Пусть x0 ∈ Rn, 0 < r1 < r2 < dist(x0, ∂D). Положим
η0(r) =
1
Irq
1/(n−1)
x0 (r)
, (13)
где I — величина, определенная в (6). Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1374 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
ωn−1
In−1
=
∫
A
Q(x)ηn
0 (|x− x0|)dm(x) ≤
∫
A
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) (14)
для произвольной измеримой функцииQ : Rn → [0,∞] и любой функции η : (r1, r2) →
→ [0,∞] такой, что
∫ r2
r1
η(r)dr = 1 (см. лемму 2.2 в [13]). Иначе говоря, для
кольцевых Q-отображений в точке x0 неравенство (7), вообще говоря, не может
быть улучшено.
Из леммы 1 и предложения 4 получаем критерий принадлежности отображений
классу открытых дискретных кольцевых типа Q.
Теорема 1. Открытое дискретное отображение f : D → Rn является коль-
цевым Q-отображением в точке x0 ∈ D тогда и только тогда, когда для про-
извольных 0 < r1 < r2 < dist(x0, ∂D) и произвольного конденсатора E =
(
B(x0,
r2), B(x0, r1)
)
емкость конденсатора fE =
(
fB(x0, r2), f
(
B(x0, r1)
))
удов-
летворяет условию
cap fE ≤ ωn−1
In−1
,
где I = I(x0, r1, r2) задается соотношением (6).
4. О нормальности семейств пространственных отображений и устранении
изолированных особенностей.
Предложение 5. Пусть D — область в Rn, n ≥ 2, E ⊂ Rn — компактное
множество положительной емкости и FQ — семейство открытых дискретных
кольцевых Q-отображений f : D → Rn \ E. Предположим, что∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ψn
ε (|x− x0|)dm(x) = o (Ln(ε, ε0)) ∀ε ∈ (0, ε0) (15)
для некоторой точки x0 ∈ D, 0 < ε0 < dist(x0, ∂D), где {ψε(t)} — семейство
измеримых (по Лебегу) неотрицательных на (0,∞) функций, таких, что
0 < L(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψε(t)dt <∞ ∀ε ∈ (0, ε0).
Тогда семейство отображений FQ равностепенно непрерывно в точке x0 (см.
лемму 5.2 в [19]).
Здесь и ниже равностепенная непрерывность, нормальность и т. д. понимаются
относительно сферической (хордальной) метрики h.
Теорема 2. Пусть x0 ∈ D, E ⊂ Rn — компактное множество положитель-
ной емкости, FQ — семейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений
f : D → Rn \ E в точке x0. Предположим, что найдется число ε0 < dist(x0, ∂D)
такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞. (16)
Тогда семейство FQ равностепенно непрерывно в точке x0.
Доказательство. Для произвольного ε ∈ (0, ε0) положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ... 1375
ψε(t) ≡ ψ(t) =
1/[tq1/(n−1)
x0 (t)], t ∈ (ε, ε0),
0, t /∈ (ε, ε0).
Имеем
L(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt <∞ ∀ε ∈ (0, ε0),
поскольку, в противном случае, по теореме 1 cap
(
fB(x0, ε0), fB(x0, ε)
)
= 0 для
некоторого ε, что противоречит предложению 3. В силу соотношения (16) можно
также считать, что L > 0 для всех ε ∈ (0, ε0). Заметим также, что∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ψn(|x− x0|)dm(x) = ωn−1L(ε, ε0)
и L(ε, ε0) = o (Ln(ε, ε0)) в силу (16). Нужное заключение следует из предложе-
ния 5.
Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Пусть E ⊂ Rn — компактное множество положительной
емкости, FQ — семейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений
f : D → Rn \ E. Предположим, что для каждой точки x0 ∈ D найдется чис-
ло ε0 < dist(x0, ∂D) такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
Тогда FQ образует нормальное семейство отображений.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2 и предложения 1.
Предложение 6. Пусть f : Bn \ {0} → Rn, n ≥ 2, — открытое дискрет-
ное кольцевое Q-отображение в точке x0 = 0, удовлетворяющее условию
cap
(
Rn \ f (Bn \ {0})
)
> 0. Предположим, что существует 0 < ε0 < 1 такое,
что при ε→ 0 ∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|) dm(x) = o (Ln(ε, ε0)) , (17)
где ψ(t) — неотрицательная на (0,∞) функция, такая, что ψ(t) > 0 для почти
всех t и
0 < L(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt <∞
для всех ε ∈ (0, ε0). Тогда f имеет непрерывное продолжение f : Bn → Rn в Bn.
Непрерывность понимается в смысле пространства Rn относительно хордальной
метрики h (см. лемму 3.1 в [20]).
Теорема 3. Пусть f : Bn \ {0} → Rn, n ≥ 2, — открытое дискретное
кольцевое Q-отображение в точке x0 = 0, удовлетворяющее условию
cap
(
Rn \ f (Bn \ {0})
)
> 0. Предположим, что существует 0 < ε0 < 1 такое,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1376 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
Тогда f имеет непрерывное продолжение f : Bn → Rn в Bn. Непрерывность
понимается в смысле пространства Rn относительно хордальной метрики h.
Доказательство опирается на предложение 6 и аналогично доказательству
теоремы 2.
Теорема 4. Пусть x0 — изолированная точка границы D, f : D → Rn —
открытое дискретное кольцевое Q-отображение в точке x0 = 0 и существует
ε0 > 0 такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
Если x0 — существенная особая точка отображения f,то cap
(
Rn \f (U \{x0})
)
=
= 0 для любой окрестности U точки x0.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 3.
Теорема 5. Пусть x0 — изолированная точка границы D, f : D → Rn —
открытое дискретное кольцевое Q-отображение в точке x0. Предположим, что
существует ε0 > 0 такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
Тогда точка x0 является устранимой для отображения f в том и только в том
случае, когда f ограничено в некоторой окрестности U точки x0.
Доказательство. Предположим, что точка x0 устранима, т. е. существует пре-
дел lim
x→x0
f(x) = A <∞. Тогда |f(x)| ≤ |A|+1 в достаточно малой окрестности U
точки x0. Обратно, пусть существует окрестность U точки x0 такая, что |f(x)| ≤M
для некоторого M ∈ (0,∞) и всех x ∈ U \{x0} . Тогда cap
(
Rn \ f (U \ {x0})
)
> 0
и заключение следует из теоремы 3.
Теорема 6. Пусть x0 — изолированная точка границы D, f : D → Rn —
открытое дискретное кольцевое Q-отображение в точке x0. Предположим, что
существует ε0 > 0 такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
Если cap
(
Rn \ f (U \ {x0})
)
> 0 для некоторой окрестности U точки x0, то
f может быть непрерывным образом продолжено до открытого дискретного
кольцевого Q-отображения f : D ∪ {x0} → Rn.
Доказательство. Действительно, f продолжается до непрерывного отображе-
ния f : D ∪ {x0} → Rn в силу теоремы 3. Известно, что дискретные открытые
отображения в Rn, n ≥ 2, либо сохраняют ориентацию, либо не сохраняют (см.,
например, разд. 4 гл. I в [2]). Пусть, для определенности, f сохраняет ориента-
цию. Покажем, что продолженное отображение сохраняет ориентацию, открыто
и дискретно. Обозначим, как обычно, через Bf (D) множество точек ветвления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ... 1377
отображения f в области D, а через Bf (D′) множество точек ветвления отобра-
жения f в области D′ = D ∪ {x0}. Если x0 — точка локальной гомеоморфности
отображения f, доказывать нечего. Пусть точка x0 ∈ Bf (D′). По теореме Чернав-
ского dimBf (D) = dimf (Bf (D)) ≤ n− 2 (см., например, теорему 4.6 гл. I в [2]),
где dim обозначает топологическую размерность множества [22]. Тогда
dim f (Bf (D′)) ≤ n− 2, (18)
так как f (Bf (D′)) = f (Bf (D))
⋃
{f(x0)} , множество {f(x0)} замкнуто и топо-
логическая размерность каждого из множеств f (Bf (D)) и {f(x0)} не превышает
n − 2 (см. следствие 1 гл. III разд. 3 в [22]). Пусть G — область в D′ с G b D′ и
y ∈ f(G) \ f(∂G). Тогда в силу (18) существует точка y0 /∈ f (Bf (D′)) , принад-
лежащая той же компоненте связности множества Rn \ f(∂G), что и y. В силу
того, что топологический индекс есть величина постоянная на каждой связной
компоненте множества Rn \ f(∂G) (см. § 2 гл. I в [3]), имеем
µ(y, f,G) = µ(y0, f,G) =
∑
x∈G∩f−1(y0)
i(x, f) > 0.
Таким образом, отображение f сохраняет ориентацию в D′. Наконец, для любого
y ∈ f(D′), в силу дискретности отображения f в области D, множество
{
f−1(y)
}
не более чем счетно и потому dim
{
f−1(y)
}
= 0. Следовательно [21, с. 333],
отображение f открыто и дискретно, что и требовалось доказать.
Теорема 7 (аналог теоремы Сохоцкого – Вейерштрасса). Пусть x0 — изолиро-
ванная точка границы D, f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-ото-
бражение в точке x0. Предположим, что существует ε0 > 0 такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
Если x0 — существенная особая точка отображения f, то для любого a ∈ Rn
найдется последовательность xk → x0 при k → ∞ такая, что f(xk) → a при
k →∞.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна для некоторого a ∈ Rn. Тогда
существуют окрестность U точки x0 и ε0 > 0 такие, что
h (f(x), a) ≥ ε0 ∀x ∈ U \ {x0}
и по неравенству треугольника d0 = h (B(a, ε0/2), f (U \ {x0})) ≥ ε0/2. Следова-
тельно, cap
(
Rn \ f (U \ {x0})
)
> 0. Отсюда по теореме 3 следует существование
предела (конечного или бесконечного) отображения f в точке x0, что противоречит
первоначальному предположению.
Теорема 7 доказана.
Теорема 8. Пусть x0 — изолированная точка границы D, f : D → Rn —
открытое дискретное кольцевое Q-отображение в точке x0. Предположим, что
существует ε0 > 0 такое, что
ε0∫
0
dt
tq
1/(n−1)
x0 (t)
= ∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1378 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Если x0 — существенно особая точка отображения f, то существует множество
C ⊂ Rn типа Fσ в Rn емкости нуль такое, что
N (y, f, U \ {x0}) = ∞
для любой окрестности U точки x0 и для всех y ∈ Rn \ C.
Доказательство. Пусть U — произвольная окрестность точки x0. Не ограни-
чивая общности рассуждений, можно считать, что x0 = 0 и U = Bn. Рассмотрим
множества Vk = B(1/k) \ {0} , k = 1, 2, . . . . Полагаем
C =
∞⋃
k=1
Rn \ f(Vk). (19)
По теореме 4 каждое из множеств Bk := Rn \ f(Vk) в объединении правой части
соотношения (19) имеет емкость нуль. Тогда C также имеет емкость нуль (см.,
например, [23, с. 126]). Фиксируем y ∈ Rn \ C. Тогда
y ∈
∞⋂
k=1
f(Vk). (20)
Из (20) вытекает существование подпоследовательности {xki}
∞
i=1 такой, что xki →
→ 0 при i→∞ и f(xki
) = y, i = 1, 2, . . . .
Теорема 8 доказана.
Следующая теорема показывает, что условие открытости отображения f в пред-
ложении 6 и теоремах 3 – 8 является существенным, т. е. его, вообще говоря, нельзя
отбросить.
Теорема 9. При каждом n ≥ 2 найдется дискретноеQ-отображение g : Rn\
{0} → Rn, для которого Q ≡ 1, x0 = 0 является изолированной существенно осо-
бой точкой и которое не удовлетворяет ни одному из заключений теорем 4, 7, 8.
Доказательство. Рассмотрим разбиение пространства Rn кубами
Ck1,...,kn
=
n∏
i=1
[2ki − 1, 2ki + 1] , ki ∈ Z.
Рассмотрим произвольный куб Ck1,...,kn
с k1, . . . , kn ≥ 0 (случай ki разных зна-
ков может быть рассмотрен аналогично). Пусть x = (x1, . . . , xn) ∈ Ck1,...,kn
.
Если k1 = 0, то gm1(x) := x. Пусть k1 > 0. Положим f1,...,1,1(x) = y1,...,1,
где y1,...,1,1 — симметрическое отражение точки x относительно гиперплоскости
x1 = 2k1 − 1. Если 2k1 − 3 = −1, процесс завершен. Пусть 2k1 − 3 > −1, тогда
f1,...,1,2(y1,...,1) = y1,...,1,2, где y1,...,1,2 — симметрическое отражение точки y1,...,1
относительно гиперплоскости x1 = 2k1−3. Если 2k1−5 = −1, процесс завершен.
Если нет, продолжаем процесс: f1,...,1,3(y1,...,1,2) = y1,...,1,3. И так далее. За конеч-
ное число шагов m1 находим функцию gm1 = f1,...,1,m1 ◦ . . . ◦ f1,...,1,1 такую, что
образ gm1(x) точки x лежит в кубе C0,k2,k3...,kn . Полагаем xm1 := gm1(x).
Далее, если k2 = 0, то gm2(xm1) = gm1(xm1). При k2 > 0 относительно
точки xm1 выполняем ту же операцию, но относительно координаты x2. Пола-
гаем f1,...,1,2,m1(xm1) = y1,...,1,2,m1 , где y1,...,1,2,m1 — симметрическое отражение
точки xm1 относительно гиперплоскости x2 = 2k2 − 1. Если 2k2 − 3 = −1, про-
цесс завершен. Если нет, продолжаем до тех пор, пока не получим отображение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ ... 1379
gm2(xm1) = f1,...,m2,m1 ◦ . . . ◦ f1,...,2,m1(x) такое, что gm2(xm1) ∈ C0,0,k3...,kn
.
Полагаем gm1+m2(x) = gm2 ◦ gm1(x), xm2 := gm1+m2(x). И так далее. Через
некоторое число шагов m0 = m1 + m2 + . . . + mn приходим к отображению
G0(x) = gmn
◦ gmn−1 ◦ . . . gm2 ◦ gm1(x) такому, что образ xmn
точки x при ото-
бражении G0 лежит в кубе C0,0,0...,0. Сжатие G1(x) =
n√
n
x переводит C0,0,0...,0 в
некоторый куб A0, полностью лежащий в Bn. Положим G2(x) := G1(x) ◦G0(x).
Заметим, что точка z0 = ∞ является изолированной существенно особой точкой
отображения G2(x), причем C(G2,∞) = A0 ⊂ Bn. Тогда отображение
g(x) := G2 ◦G3(x), (21)
гдеG3(x) =
x
|x|2
, имеет изолированную существенно особую точку x0 = 0, причем
C(g, 0) ⊂ Bn. (22)
По построению отображения g, заданного соотношением (21), видно, что оно со-
храняет модуль семейств кривых в Rn, т. е. является 1-отображением в терминах
соотношения (2), и, значит, в точке x0 = 0 выполнено соотношение вида (16). Ясно
также, что g — дискретное отображение. Заметим, что заключения теорем 4, 7,
8 не выполнены, в частности в силу (22) нарушена теорема типа Сохоцкого, ибо
cap
(
Rn \ Bn
)
> 0. Причина в том, что g не является открытым отображением в
Rn \ {0}.
Теорема 9 доказана.
Вопрос о том, можно ли опустить условие дискретности в формулировках пе-
речисленных результатов, как минимум, открыт.
5. О приложениях к классам Соболева. В этом пункте мы (достаточно кратко)
укажем приложения открытых дискретныхQ-отображений к классам Соболева. Та-
кая связь дает нам определенные основания считать всю вышеизложенную теорию
Q-отображений вполне состоятельной и имеющей в известном смысле право на
существование и свое место в геометрической теории функций.
Предложение 7. Пусть f : D → Rn – открытое дискретное отображение
класса W 1,n
loc (D), для которого KO(x, f) ∈ Ln−1
loc и |Bf | = 0. Тогда f является
KI(x, f)-отображением в смысле соотношения (2).
Доказательство непосредственно следует из замечания 4.10 и теоремы 6.10
в [8].
Таким образом, все сформулированные в статье результаты автоматически мо-
гут быть перенесены на указанный класс Соболева.
1. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.:
Springer-Verlag, 1971. – 229.
2. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
3. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982.
4. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. Math. – 2005. – 30, № 1. – P. 49 – 69.
5. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1380 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
6. Миклюков В. М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения. – Вол-
гоград: Изд-во Волгоград. ун-та, 2005. – 273 с.
7. Стругов Ю. Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН
СССР. – 1978. – 243, № 4. – С. 859 – 861.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. Anal. Math.
– 2004. – 93. – P. 215 – 236.
9. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press,
2001.
10. Шабат Б. В. К теории квазиконформных отображений в пространстве // Докл. АН СССР. – 1960.
– 132, № 5. – С. 1045 – 1048.
11. Зорич В. А. Допустимый порядок роста характеристики квазиконформности в теореме Лаврентьева
// Там же. – 1968. – 181, № 3. – С. 530 – 532.
12. Lehto O. Homeomorphisms with a prescribed dilatation // Lect. Notes Math. – 1968. – 118. – P. 58 – 73.
13. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор-
физмов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361 – 1376.
14. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103.
– P. 353 – 393.
15. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. Anal. Math. – 2005. –
96. – P. 117 – 150.
16. Bojarski B. V., Gutlyanskii V., Ryazanov V. General Beltrami equations and BMO // Ukr. Math. Bull. –
2008. – 5, № 3. – P. 305 – 326.
17. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
18. Whyburn G. T. Analytic topology. – Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1942.
19. Севостьянов Е. А. Теория модулей, емкостей и нормальные семейства отображений, допускающих
ветвление // Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 4. – С. 583 – 604.
20. Севостьянов Е. А. Теоремы Лиувилля, Пикара и Сохоцкого для кольцевых отображений // Там
же. – 2008. – 5, № 3. – С. 366 – 381.
21. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948.
22. Titus C. J., Young G. S. The extension of interiority with some applications // Trans. Amer. Math. Soc.
– 1962. – 103. – P. 329 – 340.
23. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными
и квазиконформные отображения. – Новосибирск: Наука, 1983.
Получено 26.12.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3107 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/f401c36eb9fb49ac55d469022e994410.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31072020-03-18T19:45:28Z On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions Об интегральной характеризации некоторых обобщений квазирегулярных отображений и значении условия расходимости интеграла в геометрической теории функций Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. The paper deals with the theory of space mappings. For a generalization of quasiregular mappings important for the investigation of the Sobolev and other known classes of mappings, we propose a simple condition satisfied by all mappings of this kind and only by these mappings. On the basis of conditions of divergence of the integrals, we establish sufficient conditions for the normality of the families of the analyzed classes of mappings and solve the problem of removing isolated singularities. Some applications of the obtained results to mappings from the Sobolev class are discussed. Роботу присвячено дослідженням у області просторових відображень. Для одного узагальнення квазірегулярних вщображень, що має важливе значення при вивченні класів Соболєва та інших відомих класів вщображень, побудовано просту умову, яку задовольняють усі відображення вказаного виду, i лише вони. На підставі умов типу інтегральної розбіжності отримано достатні умови щодо нормальності сімей для таких класів, а також розв'язано задачу про усунення ізольованих сингулярностей. Наведено застосування, що відносяться до дослідження відображень класу Соболєва. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3107 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1367-1380 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1367-1380 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3107/2962 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3107/2963 Copyright (c) 2009 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| title | On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| title_alt | Об интегральной характеризации некоторых обобщений квазирегулярных отображений и значении условия расходимости интеграла в геометрической теории функций |
| title_full | On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| title_fullStr | On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| title_full_unstemmed | On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| title_short | On the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| title_sort | on the integral characterization of some generalized quasiregular mappings and the significance of the conditions of divergence of integrals in the geometric theory of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3107 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ontheintegralcharacterizationofsomegeneralizedquasiregularmappingsandthesignificanceoftheconditionsofdivergenceofintegralsinthegeometrictheoryoffunctions AT sevostʹânovea ontheintegralcharacterizationofsomegeneralizedquasiregularmappingsandthesignificanceoftheconditionsofdivergenceofintegralsinthegeometrictheoryoffunctions AT sevostʹânovea ontheintegralcharacterizationofsomegeneralizedquasiregularmappingsandthesignificanceoftheconditionsofdivergenceofintegralsinthegeometrictheoryoffunctions AT sevost039yanovea obintegralʹnojharakterizaciinekotoryhobobŝenijkvaziregulârnyhotobraženijiznačeniiusloviârashodimostiintegralavgeometričeskojteoriifunkcij AT sevostʹânovea obintegralʹnojharakterizaciinekotoryhobobŝenijkvaziregulârnyhotobraženijiznačeniiusloviârashodimostiintegralavgeometričeskojteoriifunkcij AT sevostʹânovea obintegralʹnojharakterizaciinekotoryhobobŝenijkvaziregulârnyhotobraženijiznačeniiusloviârashodimostiintegralavgeometričeskojteoriifunkcij |