On some generalizations of nearly normal subgroups
A subgroup $H$ of a group $G$ is called almost polycyclically close to a normal group (in $G$) if $H$ contains a subgroup $L$ normal in $H^G$ for which the quotient group $H^G /L$ is almost polycyclic. The group G is called an anti-$PC$-group if each its subgroup, which is not almost polycyclic, is...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3108 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509140413054976 |
|---|---|
| author | Piskun, M. M. Semko, N. N. Пискун, М. М. Семко, М. М. |
| author_facet | Piskun, M. M. Semko, N. N. Пискун, М. М. Семко, М. М. |
| author_sort | Piskun, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | A subgroup $H$ of a group $G$ is called almost polycyclically close to a normal group (in $G$) if $H$ contains a subgroup $L$ normal in $H^G$ for which the quotient group $H^G /L$ is almost polycyclic. The group G is called an anti-$PC$-group if each its subgroup, which is not almost polycyclic, is almost polycyclically close to normal. The structure of minimax anti-$PC$-groups is investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.544
M. M. Semko, M. M. Pyskun (Nac. un-t derΩ. podat. sluΩby Ukra]ny, Irpin\)
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO
NORMAL|NYX PIDHRUP
A subgroup H of a group G is called almost polycyclically close to a normal group (in G ) if H
includes a subgroup L normal in H G such that a factor-group H LG / is almost polycyclic. The
group G is said to be anti P C-group if every its non-polycyclic-by-finite subgroup is almost
polycyclically close to a normal group. In the present paper, the structure of minimax anti PC-group is
studied.
Podhruppa H hrupp¥ G naz¥vaetsq poçty polycyklyçesky pryblyΩennoj k normal\noj (v
G), esly H soderΩyt normal\nug v H G
podhruppu L, dlq kotoroj faktor-hruppa H LG /
budet poçty polycyklyçeskoj. Hruppa G naz¥vaetsq anty PC-hruppoj, esly kaΩdaq ee pod-
hruppa, ne qvlqgwaqsq poçty polycyklyçeskoj, budet poçty polycyklyçesky pryblyΩennoj k
normal\noj. V rabote yzuçaetsq stroenye mynymaksn¥x anty PC-hrupp.
Nexaj G — hrupa. }] pidhrupa H nazyva[t\sq nablyΩeno normal\nog v G , qk-
wo H ma[ skinçennyj indeks u svo[mu normal\nomu zamykanni K = H G
. U c\o-
mu vypadku H vklgça[ normal\nu v K pidhrupu L , dlq qko] faktor-hrupa
K L/ [ skinçennog. Takoho rodu pidhrupy buly vvedeni do rozhlqdu B.7Nejma-
nom [1]. U vkazanij roboti vin opysav hrupy, bud\-qka pidhrupa qkyx [ nablyΩe-
no normal\nog. Taki hrupy magt\ skinçennyj komutant, zokrema, vony [ FC-
hrupamy. Vyvçennq vplyvu vlastyvostej nablyΩeno normal\nyx pidhrup na
strukturu hrupy bulo prodovΩeno v robotax inßyx avtoriv. Tak, u roboti [2]
rozhlqnuto hrupy, v qkyx systema vsix nablyΩeno normal\nyx pidhrup [ wil\-
nog. U roboti [3] rozhlqdalysq hrupy, v qkyx systema vsix pidhrup, qki ne [ na-
blyΩeno normal\nymy, zadovol\nq[ umovu minimal\nosti. A v roboti [4] roz-
hlqnuto hrupy, v qkyx ta Ω systema pidhrup zadovol\nq[ umovu maksymal\nosti.
U statti [5] rozhlqnuto hrupy, v qkyx koΩna pidhrupa abo nablyΩeno normal\na
abo subnormal\na. Vidznaçymo takoΩ robotu [6], v qkij vyvçalysq deqki vlas-
tyvosti reßitky usix nablyΩeno normal\nyx pidhrup.
U roboti [7] vvedeno uzahal\nennq nablyΩeno normal\nyx pidhrup, qke my
navedemo nyΩçe. Spoçatku nahada[mo deqki neobxidni dlq podal\ßoho vykladu
oznaçennq (dyv. [8], rozdil 3).
Nexaj X — klas hrup. Budemo hovoryty, wo hrupa G ma[ X-klasy sprq-
Ωenyx elementiv abo wo G [ X C-hrupog, qkwo faktor-hrupa G G gG
G/ ( ) na-
leΩyt\ do klasu X dlq koΩnoho elementa g hrupy G . Tut çerez gG
pozna-
çeno klas usix elementiv, qki sprqΩeni z elementom g, tobto pidmnoΩyna
gx{ = x gx−1 , x G∈ } .
Qkwo X = I — klas usix odynyçnyx hrup, to klas usix IC-hrup zbiha[t\sq z
klasom A vsix abelevyx hrup. Tomu pry naleΩnomu vybori klasu X klas XC-
hrup moΩna rozhlqdaty qk pryrodne uzahal\nennq klasu abelevyx hrup.
Napryklad, qkwo X = F — klas usix skinçennyx hrup, to klas usix FC-hrup
— ce toçno klas usix FC-hrup abo hrup zi skinçennymy klasamy sprqΩenyx ele-
mentiv. Cej klas [ dosyt\ vdalym rozßyrennqm qk klasu vsix abelevyx hrup,
tak i klasu vsix skinçennyx hrup, qkyj naslidu[ bahato vlastyvostej cyx dvox
klasiv. Tomu teoriq FC-hrup [ odni[g z najbil\ß rozvynenyx sered teorij ne-
skinçennyx hrup.
© M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10 1381
1382 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
Pryrodnymy rozßyrennqmy klasu skinçennyx hrup [ klas C usix çernikov-
s\kyx hrup ta klas P usix majΩe policykliçnyx hrup. Tomu qkwo X = C, to
klas usix CC-hrup — ce toçno klas usix hrup z çernikovs\kymy klasamy sprqΩe-
nyx elementiv, qkyj buv uvedenyj do rozhlqdu Q. D. Polovyc\kym [9]. Qkwo Ω
X = P, to pryxodymo do klasu PC-hrup abo do klasu vsix hrup z majΩe policyk-
liçnymy klasamy sprqΩenosti. Vyvçennq c\oho klasu til\ky rozpoçyna[t\sq
[10, 11]. U danij roboti rozhlqnemo pidklas klasu PC-hrup, qkyj vynyka[ z nas-
tupnoho rozßyrennq ponqttq nablyΩeno normal\nyx pidhrup.
Pidhrupa H hrupy G nazyva[t\sq majΩe policykliçno nablyΩenog do nor-
mal\no] (v G), qkwo H mistyt\ normal\nu v H G
pidhrupu L, dlq qko] fak-
tor-hrupa H LG / bude majΩe policykliçnog. Ci pidhrupy budut\ pryrodnym
uzahal\nennqm nablyΩeno normal\nyx pidhrup. U roboti [10] rozhlqnuto inße
rozßyrennq ponqttq nablyΩeno normal\no] pidhrupy. Takym rozßyrennqm bu-
ly pidhrupy H hrupy G, dlq qkyx vporqdkovana za vklgçennqm systema pid-
hrup L H L G≤ ≤{ } zadovol\nq[ umovu maksymal\nosti. ZauvaΩymo, wo ce
ponqttq ne [ ekvivalentnym ponqttg, qke navedene vywe. V c\omu moΩna pere-
konatys\, rozhlqnuvßy nastupnyj pryklad.
Nexaj p — proste çyslo, a — cykliçna hrupa porqdku p, g — ne-
skinçenna cykliçna hrupa,
G g wr g A g= = �
— vincevyj dobutok cyx dvox cykliçnyx hrup, A — bazova pidhrupa c\oho vince-
voho dobutku. Za konstrukci[g A bude neskinçennog elementarnog abelevog
p-pidhrupog, i, otΩe, hrupa G ne [ (majΩe) policykliçnog. My moΩemo roz-
hlqdaty A qk cykliçnyj modul\ nad hrupovym kil\cem J = F gp neskinçen-
no] cykliçno] hrupy nad prostym polem Fp . Ce obumovlg[ izomorfizm A ≅
≅ J aJ/ ( )Ann . U svog çerhu AnnJ a( ) bude idealom u kil\ci J. Oskil\ky koΩ-
nyj nenul\ovyj ideal kil\cq J ma[ skinçennyj indeks v J, to neskinçennist\ A
dovodyt\ rivnist\ AnnJ a( ) = 0 . Zokrema, zvidsy vyplyva[, wo i
C gA ( ) = 1 . Nexaj teper H — normal\ne zamykannq pidhrupy g v hrupi
G. Prypustymo, wo H [ policykliçnog. Z naslidku 1.5 roboty [7] otryma[mo
vklgçennq g G∈ PC( ) , qke v svog çerhu dovodyt\ toj fakt, wo i faktor-hru-
pa A C gA/ ( ) povynna buty policykliçnog. Oskil\ky A [ periodyçnog, to ce
oznaça[, wo A C gA/ ( ) povynna buty skinçennog. Ale Ω u c\omu vypadku
C gA ( ) ≠ 1 . Odnak, qk my vΩe baçyly vywe, ce ne [ moΩlyvym. Otrymana su-
pereçnist\ pokazu[, wo pidhrupa H ne moΩe buty policykliçnog. Inakße ka-
Ωuçy, pidhrupa g ne [ majΩe policykliçno nablyΩenog do normal\no]. Ne-
xaj teper
K K Kn1 2≤ ≤ … ≤ ≤ …
— dovil\na zrostagça poslidovnist\ pidhrup, wo mistqt\ g . Z vklgçennq
g Kn≤ otryma[mo napivprqmyj rozklad K B gn n= � . Ce pryvodyt\ do
inßo] zrostagço] poslidovnosti pidhrup
B B Bn1 2≤ ≤ … ≤ ≤ … ,
koΩna z qkyx mistyt\sq v A ta [ g -invariantnog. Oskil\ky hrupove kil\ce
F gp [ neterovym, to i cykliçnyj F gp -modul\ A bude neterovym. Ce oz-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1383
naça[, wo A ne mistyt\ stroho zrostagçyx poslidovnostej g -invariantnyx
pidhrup. Takym çynom, znajdet\sq takyj nomer m, wo B Bm m k= + dlq koΩ-
noho natural\noho k . Todi K Km m k= + dlq koΩnoho natural\noho k . Takym
çynom, vporqdkovana za vklgçennqm systema pidhrup L g L G≤ ≤{ } zado-
vol\nq[ umovu maksymal\nosti.
Cej pryklad pokazu[, wo vvedene ponqttq pidhrupy, majΩe policykliçno na-
blyΩeno] do normal\no], [ bil\ß efektyvnym. Perßym pryrodnym zavdannqm
tut [ opys hrup, vsi pidhrupy qkyx majΩe policykliçno nablyΩeni do normal\-
no]. Qkwo G — PC-hrupa, to z teoremy 2.2 roboty [10] otrymu[mo, wo dlq
bud\-qkoho elementa g G∈ pidhrupa H gg
G= 〈 〉 [ majΩe policykliçnog.
Zvidsy vyplyva[, wo i dlq bud\-qko] majΩe policykliçno] pidhrupy F hrupy G
]] normal\ne zamykannq FG
[ majΩe policykliçnog pidhrupog. Inßymy slo-
vamy, bud\-qka majΩe policykliçna pidhrupa F hrupy G majΩe policykliçno
nablyΩena do normal\no]. Bil\ß toho, cq vlastyvist\ [ xarakterystyçnog dlq
PC-hrup. Tomu pryrodno vynyka[ pytannq pro budovu hrupy G, v qkij vsi pid-
hrupy, okrim majΩe policykliçnyx, majΩe policykliçno nablyΩeni do nor-
mal\nyx. Taki hrupy nazyvatymemo anty PC-hrupamy. Vyvçennq takyx hrup
rozpoçato v roboti [7]. Osnovnyj rezul\tat ci[] roboty pokazu[, wo pry deqkyx
pryrodnyx obmeΩennqx anty PC-hrupy vyçerpugt\sq hrupamy z majΩe poli-
cykliçnymy komutantamy i minimaksnymy. Hrupa G nazyva[t\sq uzahal\neno
radykal\nog, qkwo vona ma[ zrostagçyj rqd pidhrup, faktory qkoho abo lo-
kal\no nil\potentni, abo lokal\no skinçenni. Vypadok minimaksnyx hrup vyma-
hav okremoho rozhlqdu. Vyvçenng minimaksnyx anty PC-hrup i prysvqçeno danu
robotu.
Nahada[mo, wo hrupa G nazyva[t\sq F-doskonalog, qkwo vona ne mistyt\ u
sobi vlasnyx pidhrup skinçennoho indeksu. F-doskonali hrupy u deqkomu rozu-
minni [ antypodamy rezydual\no skinçennyx hrup. U koΩnij hrupi G pidhrupa,
porodΩena vsima ]] F-doskonalymy pidhrupamy, bude F-doskonalog; ]] nazyva-
gt\ F-doskonalog çastynog hrupy G.
Lema 1. Nexaj G — hrupa, H — ] ] F -doskonala pidhrupa. Qkwo H [
majΩe policykliçno nablyΩenog do normal\no], to vona normal\na.
Dovedennq. Nexaj K — pidhrupa H G
, qka ma[ v nij skinçennyj indeks.
Todi indeks H K Hg g: ∩ [ skinçennym dlq bud\-qkoho g G∈ . Oskil\ky ra-
zom z H pidhrupa H g
[ F-doskonalog, to H g = K H g∩ , tobto H Kg ≤
dlq koΩnoho g G∈ . Ce oznaça[, wo H KG = . Inakße kaΩuçy, H G
[ F -
doskonalog pidhrupog. Z toho faktu, wo H [ majΩe policykliçno nablyΩe-
nog do normal\no], vyplyva[, wo vona mistyt\ u sobi taku normal\nu v H G
pidhrupu P, wo sekciq H PG / [ majΩe policykliçnog. Slid nahadaty, wo ne-
odynyçna majΩe policykliçna hrupa zavΩdy ma[ vlasnu pidhrupu skinçennoho
indeksu. Takym çynom, z toho, wo H G
[ F-doskonalog, vyplyva[ rivnist\
H PG = , a otΩe i H H G= .
Lemu 1 dovedeno.
Vidznaçymo takoΩ rezul\tat, wo da[ opys hrup, vsi pidhrupy qkyx majΩe po-
licykliçno nablyΩeni do normal\nyx. Joho moΩna otrymaty z teoremy 5.5 ro-
boty [10].
Propozyciq 1. KoΩna pidhrupa hrupy G bude majΩe policykliçno nablyΩe-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1384 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
nog do normal\no] todi i til\ky todi, koly ]] komutant — majΩe policykliçna
pidhrupa.
Dovedennq. Neobxidnist\ vyplyva[ z teoremy 5.5 roboty [10].
Dlq dovedennq dostatnosti prypustymo, wo G — hrupa z majΩe policyk-
liçnym komutantom K i H — dovil\na pidhrupa G. Zaznaçymo, wo G C KG/ ( )
bude majΩe policykliçnog [7] (lema 1.4). Pidhrupa C KH ( ) = C KG ( ) ∩ H bude
normal\nog v H, a z elementarnyx spivvidnoßen\ H C KH/ ( ) = H C KG/ ( )( ∩
∩ H ≅ HC KG ( ) / C KG ( ) vyplyva[, wo H C KH/ ( ) takoΩ [ majΩe policykliç-
nog. Dobutok HK [ normal\nog pidhrupog, a HK C KH/ ( ) — majΩe policyk-
liçnog. Zvidsy i vyplyva[, wo koΩna pidhrupa G bude majΩe policykliçno na-
blyΩenog do normal\no].
Lema 2. Nexaj G — anty PC-hrupa. Qkwo H — ]] normal\na pidhrupa,
wo ne [ majΩe policykliçnog, to faktor-hrupa G H/ ma[ majΩe policykliç-
nyj komutant.
Dovedennq. Z umov lemy vyplyva[, wo koΩna pidhrupa G, wo mistyt\ H ,
ne [ majΩe policykliçnog, i tomu vona bude majΩe policykliçno nablyΩenog
do normal\no]. Inakße kaΩuçy, koΩna pidhrupa G H/ [ majΩe policykliçno
nablyΩenog do normal\no]. Z propozyci] 1 vyplyva[, wo faktor-hrupa G H/
ma[ majΩe policykliçnyj komutant.
Lemu 2 dovedeno.
Naslidok. Nexaj G — anty PC-hrupa. Qkwo G mistyt\ abelevu pid-
hrupu A, qka ne [ skinçennoporodΩenog, to hrupa G bude majΩe rozv’qznog.
Dovedennq. Nexaj B AG= . Oskil\ky A ne [ skinçennoporodΩenog, vona
mistyt\ normal\nu v B pidhrupu H, dlq qko] B H/ [ majΩe policykliçnog.
Zokrema, B [ majΩe rozv’qznog. Z lemy 2 vyplyva[, wo faktor-hrupa G B/
ma[ majΩe policykliçnyj komutant, tak wo vona takoΩ bude majΩe rozv’qznog.
Propozyciq 2. Nexaj G — anty PC-hrupa, komutant qko] ne [ majΩe po-
licykliçnym. Qkwo H , K — pidhrupy G, wo ne [ majΩe policykliçnymy, to
]x peretyn H K∩ ne bude majΩe policykliçnog pidhrupog.
Dovedennq. Oskil\ky H (vidpovidno K) ne [ majΩe policykliçnog, to
H G
(vidpovidno K G
) mistyt\ taku normal\nu pidhrupu L (vidpovidno M), wo
H LG / (vidpovidno K MG / ) [ majΩe policykliçnog. Oskil\ky L [ normal\-
nog v H G
, to peretyn L K G∩ bude normal\nog pidhrupog v H KG G∩ . Za
tymy Ω samymy arhumentamy peretyn M H G∩ bude normal\nog pidhrupog v
H KG G∩ . Takym çynom, peretyn L M∩ = ( )L K G∩ ∩ ( )M H G∩ bude
normal\nog pidhrupog v H KG G∩ . Toj fakt, wo H LG / (vidpovidno
K MG / ) [ majΩe policykliçnog hrupog, obumovlg[ majΩe policykliçnist\
sekci] ( /( )H K L KG G G∩ ∩ (vidpovidno ( ) ( )/H K M HG G G∩ ∩ ). Rivnist\
L M∩ = ( ) ( )L K M HG G∩ ∩ ∩ razom z teoremog Remaka zabezpeçu[ vkladen-
nq ( ) ( )/H K L MG G∩ ∩ u prqmyj dobutok ( ) ( )/H K L KG G G∩ ∩ ×
× ( ) ( )/H K M HG G G∩ ∩ . Oskil\ki obydva mnoΩnyky [ majΩe policykliçny-
my, to takog bude i ( ) ( )/H K L MG G∩ ∩ .
Prypustymo teper, wo peretyn H K∩ bude majΩe policykliçnog pidhru-
pog. Todi majΩe policykliçnog bude i peretyn L M∩ . Z dovedenoho vywe
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1385
vyplyva[, wo majΩe policykliçnog bude i pidhrupa ( )H KG G∩ . Z naßyx umov
vyplyva[, wo pidhrupa H G
(vidpovidno K G
) ne [ majΩe policykliçnog. Z
lemy 2 vyplyva[, wo faktor-hrupa G H G/ (vidpovidno G K G/ ) ma[ majΩe poli-
cykliçnyj komutant. Zastosuvavßy znovu teoremu Remaka, otryma[mo vkla-
dennq G H KG G/( )∩ u G H G/ × G K G/ . U svog çerhu ce dovodyt\, wo fak-
tor-hrupa G H KG G/( )∩ ma[ majΩe policykliçnyj komutant. Oskil\ky z na-
ßoho prypuwennq vyplyva[, wo i pidhrupa ( )H KG G∩ [ majΩe policykliç-
nog, to i vsq pidhrupa G povynna maty majΩe policykliçnyj komutant. Otry-
mana supereçnist\ dovodyt\, wo peretyn H K∩ ne moΩe buty majΩe policyk-
liçnym.
Propozycig 2 dovedeno.
Naslidok 1. Nexaj G — anty PC-hrupa. Qkwo H , K — pidhrupy G,
wo ne [ majΩe policykliçnymy, a ]x peretyn H K∩ [ majΩe policykliçnog
pidhrupog, to komutant usi[] hrupy bude majΩe policykliçnog pidhrupog.
Naslidok 2. Nexaj G — anty PC-hrupa. Qkwo H — majΩe policykliç-
na pidhrupa G , to sekciq N H HG ( )/ ne mistyt\ pidhrup, wo [ prqmymy do-
butkamy dvox neskinçennoporodΩenyx pidhrup.
Nexaj A — abeleva hrupa skinçennoho sekcijnoho ranhu, M — maksymal\na
vil\na pidmnoΩyna A . Poklademo B M= . Zaznaçymo, wo B — vil\na abe-
leva pidhrupa skinçennoho 0-ranhu. Takyj vybir pidhrupy B zabezpeçu[ toj
fakt, wo faktor-hrupa A B/ bude periodyçnog. Poznaçymo çerez Sp ( )A
mnoΩynu tyx prostyx çysel p, dlq qkyx sylovs\ka p-pidhrupa A B/ [ neskin-
çennog. MnoΩyna Sp ( )A [ invariantom hrupy A . Dijsno, qkwo C — inßa
vil\na abeleva pidhrupa A, to vona, qk i B, bude skinçennoporodΩenog. Tomu
faktory B B C/( )∩ ta B B C/( )∩ budut\ skinçennymy, a otΩe, faktor-hrupy
A B/ ta A C/ magt\ odnakovi nabory neskinçennyx sylovs\kyx pidhrup.
Propozyciq 3. Nexaj G — anty PC-hrupa, komutant qko] ne [ majΩe
policykliçnog pidhrupog. Qkwo A — abeleva pidhrupa G, to A abo bude
skinçennoporodΩenog, abo mistyt\ taku skinçennoporodΩenu pidhrupu B, wo
A B/ [ kvazicykliçnog p -hrupog. Bil\ß toho, qkwo C — inßa abeleva pid-
hrupa G, wo ne [ skinçennoporodΩenog, to Sp ( )A = Sp ( )C .
Dovedennq. Nexaj M — maksymal\na vil\na pidmnoΩyna pidhrupy A i U =
= M . Todi U — vil\na abeleva pidhrupa. Prypustymo, wo vona ne [ skinçen-
noporodΩenog. Todi vona bude prqmym dobutkom dvox neskinçennoporodΩenyx
pidhrup, a ce supereçyt\ propozyci] 2. Otrymana supereçnist\ pokazu[, wo U [
skinçennoporodΩenog. Za vyborom U faktor-hrupa A U/ bude vΩe periodyç-
nog. Prypustymo, wo mnoΩyna Π( / )A U [ neskinçennog. U c\omu vypadku
A U/ znovu moΩna zobrazyty u vyhlqdi prqmoho dobutku dvox neskinçennyx pid-
hrup, wo supereçyt\ naslidku 2 propozyci] 2. Cq supereçnist\ pokazu[, wo mno-
Ωyna Π( / )A U bude skinçennog. Qkwo prypustyty teper, wo sylovs\ka p-pid-
hrupa A U/ [ skinçennog dlq koΩnoho p A U∈ Π( / ) , to i A U/ [ skinçennog, a
otΩe, A [ skinçennoporodΩenog. Qkwo prypustyty, wo Π( / )A U mistyt\ dva
takyx prostyx çysla p, q, wo sylovs\ki p- ta q-pidhrupy A U/ [ neskinçenny-
my, to znovu otryma[mo supereçnist\ z naslidkom 2 propozyci] 2. Nexaj teper p
— [dyne proste çyslo, dlq qkoho sylovs\ka p-pidhrupa P U/ hrupy A U/ [ ne-
skinçennog. Qkwo ]] nyΩnij ßar Ω1( / )P U bude neskinçennym, to Ω1( / )P U
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1386 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
moΩna zobrazyty u vyhlqdi prqmoho dobutku dvox neskinçennyx pidhrup, wo su-
pereçyt\ naslidku 2 propozyci] 2. Cq supereçnist\ dovodyt\ skinçennist\
Ω1( / )P U , a ce u svog çerhu dovodyt\ toj fakt, wo P U/ [ çernikovs\kog hru-
pog. Znovu zastosuvavßy poperedni arhumenty, otryma[mo, wo P U/ bude prq-
mym dobutkom kvazicykliçno] pidhrupy D U/ ta skinçenno] pidhrupy. Tomu i
A B/ bude prqmym dobutkom kvazicykliçno] pidhrupy D B/ ta skinçenno] pid-
hrupy B U/ .
Nexaj teper C — inßa neskinçennoporodΩena abeleva pidhrupa. Todi, qk my
baçyly vywe, vona vklgça[ taku skinçennoporodΩenu pidhrupu V, wo C V/ —
kvazicykliçna q-hrupa. Z propozyci] 2 vyplyva[, wo peretyn A C∩ ne [ skin-
çennoporodΩenog pidhrupog. Ale todi A C∩ ma[ skinçennyj indeks qk v
pidhrupi A, tak i v pidhrupi C. Zvidsy vyplyva[, wo Sp ( )A = Sp ( )A C∩ =
= Sp ( )C .
Nexaj G — majΩe rozv’qzna hrupa skinçennoho sekcijnoho ranhu,
1 0 1 1= ≤ ≤ … ≤ ≤ =+D D D D Gn n
— rqd ]] normal\nyx pidhrup, v qkomu faktory D Dj j+ 1/ [ abelevymy, a
ostannij faktor D Dn n+ 1/ bude skinçennym. Poklademo
Sp Sp( ) ( / )A D Dj j
j n
= +
≤ ≤ −
1
0 1
∪ .
NevaΩno vpevnytys\ u tomu, wo Sp ( )G [ invariantom hrupy G.
Naslidok 1. Nexaj G — majΩe rozv’qzna anty PC -hrupa, komutant qko]
ne [ majΩe policykliçnog pidhrupog. Todi hrupa G [ minimaksnog ta Sp ( )G =
= p dlq deqkoho prostoho çysla p.
Ce tverdΩennq vyplyva[ z propozyci] 3 ta osnovnoho rezul\tatu roboty [19].
Teorema 1. Nexaj G — lokal\no skinçenna hrupa. Qkwo G — anty PC-
hrupa, to:
1) G — hrupa zi skinçennym komutantom
abo
2) G — majΩe kvazicykliçna hrupa.
Dovedennq. Prypustymo, wo hrupa G ma[ neskinçennyj komutant. Z ohlq-
du na lokal\nu skinçennist\ hrupy ce oznaça[, wo vin ne [ majΩe policykliç-
nym. Todi z teoremy 2.3 roboty [7] otryma[mo, wo G — majΩe rozv’qzna mini-
maksna hrupa. Buduçy lokal\no skinçennog, G — çernikovs\ka hrupa. Pozna-
çymo çerez D ]] podil\nu (F-doskonalu) çastynu. Z propozyci] 3 otryma[mo, wo
D — kvazicykliçna p-pidhrupa, a otΩe, G — hrupa typu 2.
Teoremu dovedeno.
Podal\ße vyvçennq anty PC-hrup rozpada[t\sq na dvi çastyny: hrupa mis-
tyt\ u sobi neskinçenni periodyçni pidhrupy ta vsi periodyçni pidhrupy [ skin-
çennymy.
Çerez P G( ) budemo poznaçaty maksymal\nu normal\nu periodyçnu pidhrupu
hrupy G.
Lema 3. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna anty PC-hru-
pa, komutant qko] ne [ majΩe policykliçnog pidhrupog. Prypustymo takoΩ,
wo G mistyt\ abelevi pidhrupy, wo ne [ skinçennoporodΩenymy. Todi G
mistyt\ normal\nu abelevu pidhrupu D, wo ma[ nastupni vlastyvosti:
1) D [ abo kvazicykliçnog, abo neskinçennoporodΩenog hrupog bez skrutu
skinçennoho 0-ranhu r, i koΩna ]] pidhrupa, 0-ranh qko] menßyj za r , bude
skinçennoporodΩenog;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1387
2) faktor-hrupa G D/ [ minimaksnog i ma[ majΩe policykliçnyj ko-
mutant.
Dovedennq. Z naslidku lemy 2 vyplyva[, wo hrupa G [ majΩe rozv’qznog.
Za naslidkom 1 propozyci] 3 G [ minimaksnog hrupog. Prypustymo, wo G mis-
tyt\ neskinçenni periodyçni pidhrupy. Todi za propozyci[g 3 G mistyt\ [dynu
kvazicykliçnu p-pidhrupu D.
Rozhlqnemo teper vypadok, koly vsi periodyçni pidhrupy G [ skinçennymy.
Nexaj K G= P( ) . Spoçatku prypustymo, wo K = 1 . Nexaj M — mnoΩyna
vsix abelevyx pidhrup G, wo ne [ skinçennoporodΩenymy. Vyberemo u systemi
M pidhrupu A najmenßoho moΩlyvoho 0-ranhu. Nexaj r0( )A r= . Pidhrupa A
[ majΩe policykliçno nablyΩenog do normal\no], tak wo AG
mistyt\ taku
normal\nu pidhrupu B, wo A BG / bude majΩe policykliçnog. Zokrema, A B/
[ skinçennoporodΩenog, a tomu B ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porodΩugçyx
elementiv. Bil\ß toho, r0( )B r= . Dlq dovil\noho elementa g G∈ pidhrupa
Bg
takoΩ ne [ skinçennoporodΩenog, tomu z naslidku 1 propozyci] 2 vyplyva[,
wo peretyn B Bg∩ ne bude skinçennoporodΩenog pidhrupog. Todi r0(B ∩
∩ Bg ) = r = r0( )Bg
. Ce pokazu[, wo faktor-hrupa B B Bg g/( )∩ bude perio-
dyçnog, zokrema B B Bg / takoΩ bude periodyçnog. Oskil\ky BG = Bg
g G∈ , to B BG / bude periodyçnog, a otΩe, skinçennog. Normal\ne zamykan-
nq BG
porodΩu[t\sq abelevymy pidhrupamy Bg
, koΩna z qkyx normal\na v
AG
. Skinçennist\ indeksu B BG / pokazu[, wo BG
[ dobutkom skinçenno] mno-
Ωyny pidhrup Bg
. Za klasyçnog teoremog Fittinha BG
bude nil\potentnog.
Za naßym prypuwennqm P( )G = 1 , tak wo BG
— nil\potentna pidhrupa bez
skrutu. Oskil\ky vona mistyt\ abelevu pidhrupu skinçennoho indeksu, to vona
abeleva. Skinçennist\ B BG / dovodyt\ rivnist\ r BG= r0( ) . Poklademo D =
= BG
. Teper z lemy 2 vyplyva[, wo G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant.
Prypustymo, wo pidhrupa K neodynyçna. Z dovedenoho vywe vyplyva[, wo
G K/ mistyt\ normal\nu abelevu pidhrupu U K/ , wo zadovol\nq[ umovy 1, 2.
Nexaj C C KG= ( ) , V C U= ∩ . Todi K V∩ ≤ ζ( )V i V K V/( )∩ ≅ VK K/ ≤
≤ U K/ [ abelevog. Takym çynom, pidhrupa V [ nil\potentnog minimaksnog
hrupog zi skinçennog periodyçnog çastynog. NevaΩko dovesty, wo v c\omu vy-
padku isnu[ take natural\ne çyslo t, wo D = V t
— abeleva pidhrupa bez skru-
tu, dlq qko] V D/ [ skinçennog. Oskil\ky i U V/ [ skinçennog, to U D/ ta-
koΩ bude skinçennog. Teper nevaΩko perekonatys\ u tomu, wo D zadovol\nq[
umovy 1, 2.
Lemu 3 dovedeno.
Lema 4. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna hrupa, wo mis-
tyt\ neskinçennu periodyçnu pidhrupu. TakoΩ prypustymo, wo centr G ne
mistyt\ kvazicykliçnyx pidhrup. Qkwo G — anty PC-hrupa i komutant G
ne [ majΩe policykliçnym, to G mistyt\ taku normal\nu kvazicykliçnu pid-
hrupu D, wo G D/ — majΩe policykliçna hrupa.
Dovedennq. Z lemy 3 vyplyva[, wo G mistyt\ taku normal\nu kvazicykliç-
nu pidhrupu D, wo G D G D/ , /[ ] [ majΩe policykliçnym. Oskil\ky centr G
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1388 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
ne mistyt\ D, to znajdet\sq element g G∈ , dlq qkoho g D,[ ] ≠ 1 . Qkwo
prypustymo, wo g D D,[ ] ≠ , to pidhrupa g D,[ ] [ skinçennog. Ce obumovlg[
skinçennist\ komutanta pidhrupy D g, , zokrema cq pidhrupa bude FC-hru-
pog. U c\omu vypadku ]] centr mistyt\ koΩnu podil\nu pidhrupu. Otrymana su-
pereçnist\ dovodyt\ rivnist\ g D D,[ ] = . Poklademo C D/ = C gDG D/ ( ) , i ne-
xaj x C∈ . Todi g gyx = dlq deqkoho elementa y D∈ . Z rivnosti D =
= g D,[ ] otrymu[mo y g u= [ ], dlq deqkoho u D∈ . Teper
g gy g g u gx u= = [ ] =, ,
a zvidsy vyplyva[ spivvidnoßennq xu C gG
− ∈1 ( ) , qke dovodyt\ rivnist\ C =
= DC gG ( ) . Z vyboru g vyplyva[ D C gG∩ ( ) ≠ D , a ce dovodyt\ skinçennist\
D C gG∩ ( ) . Nexaj E C gG= ( ) i ne [ majΩe policykliçnog. Z naslidku 1 pro-
pozyci] 2 vyplyva[, wo G G,[ ] bude majΩe policykliçnog pidhrupog. Cq
supereçnist\ dovodyt\, wo E bude majΩe policykliçnog. Oskil\ky G D/[ ,
G D/ ] [ majΩe policykliçnog pidhrupog, to z lemy 1.4 roboty [7] vyplyva[, wo
faktor-hrupa ( / ) /
/G D C gDG D
G D( ) bude majΩe policykliçnog. Oçevydne
vklgçennq C D/ ≤ C gDG D
G D
/
/( ) razom z dovedenym vywe faktom pro te, wo
C D/ [ majΩe policykliçnog, dovodyt\, wo i G D/ bude majΩe policyk-
liçnog.
Lemu 4 dovedeno.
Lema 5. Nexaj G — neperiodyçna majΩe rozv’qzna minimaksna anty PC-
hrupa, komutant qko] ne [ majΩe policykliçnym. Qkwo centr Z hrupy G ne
[ skinçennoporodΩenym, to periodyçni pidhrupy faktor-hrupy G Z/ budut\
skinçennymy.
Dovedennq. Z propozyci] 3 vyplyva[, wo Z mistyt\ taku skinçennoporod-
Ωenu pidhrupu B, wo Z B/ [ kvazicykliçnog p-hrupog dlq deqkoho prostoho
çysla p. Prypustymo, wo G Z/ mistyt\ neskinçennu periodyçnu pidhrupu. Os-
kil\ky G [ minimaksnog, to ce oznaça[, wo G Z/ mistyt\ kvazicykliçnu q-pid-
hrupu K Z/ . Z naslidku 1 propozyci] 3 vyplyva[, wo q = p. Ale u c\omu vypad-
ku K B/ bude prqmym dobutkom dvox kvazicykliçnyx pidhrup, wo supereçyt\
naslidku 2 propozyci] 2. Otrymana supereçnist\ i dovodyt\ lemu.
Lema 6. Nexaj G — neperiodyçna majΩe rozv’qzna minimaksna anty PC-
hrupa, komutant qko] ne [ majΩe policykliçnog pidhrupog. Prypustymo ta-
koΩ, wo centr G ne [ skinçennoporodΩenym. Todi ζ( )G mistyt\ abelevu
pidhrupu D, wo ma[ nastupni vlastyvosti:
1) D [ abo kvazicykliçnog, abo neskinçennoporodΩenog hrupog bez skrutu
skinçennoho 0-ranhu r, i koΩna ]] pidhrupa, 0-ranh qko] menßyj za r , bude
skinçennoporodΩenog;
2) faktor-hrupa G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant;
3) periodyçni pidhrupy G D/ [ skinçennymy;
4) ζ( )G = D × C, de C — skinçennoporodΩena pidhrupa.
Dovedennq. Prypustymo spoçatku, wo Z = ζ( )G mistyt\ neskinçenni pid-
hrupy. Todi Z mistyt\ kvazicykliçnu p-pidhrupu D dlq deqkoho prostoho çys-
la p. Ma[mo Z = D × C dlq deqko] pidhrupy C (dyv., napryklad, [13], teore-
ma721.2). Z propozyci] 3 vyplyva[, wo C [ skinçennoporodΩenog. Z lemy 5 ot-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1389
rymu[mo, wo periodyçni pidhrupy G D/ budut\ skinçennymy. Z lemy 2 vydno,
wo G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant.
Prypustymo teper, wo periodyçni pidhrupy Z budut\ skinçennymy. Zokre-
ma, P( )Z [ skinçennog i tomu Z = P( )Z × L dlq deqko] pidhrupy L, wo ne ma[
skrutu. Nexaj M — mnoΩyna vsix pidhrup L , wo ne [ skinçennoporodΩenymy.
Vyberemo u systemi M pidhrupu A najmenßoho moΩlyvoho 0-ranhu. Nexaj
r0( )A r= . Todi bud\-qka pidhrupa A, wo ma[ menßyj ranh, [ skinçennoporod-
Ωenog. Z propozyci] 3 vyplyva[, wo A mistyt\ taku skinçennoporodΩenu pid-
hrupu B, wo A B/ [ kvazicykliçnog p-hrupog dlq deqkoho prostoho çysla p.
Ma[mo L B/ = A B/ × U B/ dlq deqko] pidhrupy U B/ (dyv., napryklad, [13],
teorema 21.2). Poklademo Y B/ = P( / )U B . Todi U Y/ [ skinçennoporodΩenog
abelevog hrupog bez skrutu, zokrema vona bude vil\nog abelevog. Zvidsy vy-
plyva[, wo U = Y × V dlq deqko] pidhrupy V (dyv., napryklad, [13], teore-
ma714.6). Z rivnosti L AU= otrymu[mo L = ( )AY V . Dali
( ) ( ) ( )AY V AY U V Y A U V∩ ∩ ∩ ∩ ∩= = ( ) =
= ( )YB V Y V∩ ∩= = 1 .
Takym çynom, L AY= ( ) × V. Oskil\ky Y B/ [ skinçennog ta AY B/ = A B/ ×
× Y B/ , to r0( )AY r= i bud\-qka pidhrupa AY , wo ma[ menßyj ranh, [ skin-
çennoporodΩenog. Poklademo D AY= . Z rivnosti Z = P( )Z × L otrymu[mo
Z = P( )Z V×( ) × D, de C = P( )Z × V — skinçennoporodΩena pidhrupa. Todi z
lemy 5 otrymu[mo, wo periodyçni pidhrupy G D/ budut\ skinçennymy. Z lemy 2
vyplyva[, wo G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant.
Lemu 6 dovedeno.
Lema 7. Nexaj G — minimaksna hrupa, wo ma[ majΩe policykliçnyj komu-
tant. Prypustymo, wo koΩna periodyçna pidhrupa G [ skinçennog. Todi G
[ dobutkom dvox normal\nyx pidhrup A ta L , de L D/ — majΩe policykliç-
na, a A — abeleva pidhrupa bez skrutu.
Dovedennq. Nexaj K = G G,[ ] . V abelevij faktor-hrupi G K/ vybyra[mo
taku skinçennoporodΩenu pidhrupu F K/ , wo G F/ bude periodyçnog. Oçe-
vydno, F — normal\na majΩe policykliçna pidhrupa G. Z lemy 1.4 roboty [7]
vyplyva[, wo G C FG/ ( ) — majΩe policykliçna hrupa. Nexaj C = C FG ( ) , H =
= C F∩ , todi H — skinçennoporodΩena pidhrupa ζ( )C . Oskil\ky C H/ [
abelevog, to C bude nil\potentnog, a tomu mnoΩyna T vsix ]] elementiv skin-
çennoho porqdku bude pidhrupog. Z naßyx umov vyplyva[, wo T bude skinçen-
nog. Z rezul\tativ roboty [14] vyplyva[, wo C mistyt\ normal\nu pidhrupu bez
skrutu B skinçennoho indeksu k . Poklademo A C k= , todi z vklgçennq A ≤ B
vydno, wo A — xarakterystyçna v C pidhrupa bez skrutu, wo ma[ skinçennyj
indeks. Zokrema, A bude normal\nog v G. Oskil\ky A nil\potentna i [ roz-
ßyrennqm abelevo] pidhrupy za dopomohog periodyçno], to A bude abelevog.
Toj fakt, wo G C/ [ majΩe policykliçnog, a C A/ — skinçennog, pokazu[, wo
G A/ bude majΩe policykliçnog. Z inßoho boku, G ma[ majΩe policykliçnyj
komutant. Zokrema, G [ PC-hrupog. Tomu vona mistyt\ taku normal\nu majΩe
policykliçnu pidhrupu L, wo G = A L.
Lemu 7 dovedeno.
Z lem 6, 7 ta naslidku 2 propozyci] 3 otrymu[mo take tverdΩennq.
Naslidok. Nexaj G — neperiodyçna majΩe rozv’qzna minimaksna anty PC-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1390 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
hrupa, komutant qko] ne [ majΩe policykliçnog pidhrupog. Prypustymo ta-
koΩ, wo centr G ne [ skinçennoporodΩenym. Todi ζ( )G mistyt\ abelevu
pidhrupu D, wo ma[ nastupni vlastyvosti:
1) D [ abo kvazicykliçnog, abo neskinçennoporodΩenog hrupog bez skrutu
skinçennoho 0-ranhu r, i koΩna ]] pidhrupa, 0-ranh qko] menßyj za r , bude
skinçennoporodΩenog;
2) faktor-hrupa G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant;
3) periodyçni pidhrupy G D/ [ skinçennymy;
4) ζ( )G = D × C, de C — skinçennoporodΩena pidhrupa;
5) G D/ [ dobutkom dvox normal\nyx pidhrup A D/ ta L D/ , de L D/ —
majΩe policykliçna, a A D/ — abeleva minimaksna hrupa bez skrutu, u qko]
Sp ( / )A D p= { } , de p D{ } = Sp ( ) .
Lema 8. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna hrupa, centr
qko] mistyt\ taku kvazicykliçnu pidhrupu D , wo faktor-hrupa G D/ ne ma[
skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. Qkwo G — anty PC-hrupa i ko-
mutant G ne [ majΩe policykliçnym, to G D/ ma[ majΩe policykliçnyj ko-
mutant i dlq bud\-qko] abelevo] pidhrupy A sekciq A A D/( )∩ [ skinçennopo-
rodΩenog.
Dovedennq. Prypustymo, wo dlq deqko] abelevo] pidhrupy A sekciq
A A D/( )∩ ne [ skinçennoporodΩenog. Oskil\ky centr mistyt\ D, to A D —
abeleva pidhrupa. Wob ne vvodyty novyx poznaçen\, budemo vvaΩaty, wo D ≤ A .
Z vlastyvostej podil\nyx pidhrup abelevyx hrup (dyv., napryklad, [13], teore-
ma721.2) vyplyva[ rozklad A = D × E dlq deqko] pidhrupy E. Z naßoho prypu-
wennq otrymu[mo, wo E ne moΩe buty skinçennoporodΩenog. Ale todi z na-
slidku 1 propozyci] 2 vyplyva[, wo komutant hrupy G [ majΩe policykliçnym.
Otrymana supereçnist\ i dovodyt\, wo sekciq A A D/( )∩ [ skinçennoporod-
Ωenog.
Lemu 8 dovedeno.
Naslidok 1. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna hrupa,
centr qko] mistyt\ taku kvazicykliçnu pidhrupu D , wo faktor-hrupa G D/
ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. Qkwo G — anty PC-hru-
pa i komutant G ne [ majΩe policykliçnym, to G ne mistyt\ takyx nor-
mal\nyx abelevyx pidhrup A, wo G A/ [ majΩe policykliçnog.
Dovedennq. Oskil\ky D ne [ majΩe policykliçnog, to z naslidku lemy 2
vyplyva[, wo G — majΩe rozv’qzna minimaksna hrupa. Prypustymo, wo G ma[
abelevu normal\nu pidhrupu A, dlq qko] G A/ [ majΩe policykliçnog. Os-
kil\ky D ne mistyt\ vlasnyx pidhrup skinçennoho indeksu, to, vraxovugçy toj
fakt, wo G A/ [ rezydual\no skinçennog, otrymu[mo vklgçennq D ≤ A. Qkwo
prypustyty, wo A D/ [ skinçennoporodΩenog, to i faktor-hrupa G D/ bude
skinçennoporodΩenog. OtΩe, A D/ ne moΩe maty skinçenno] systemy porod-
Ωugçyx elementiv. Odnak ce supereçyt\ lemi 8.
Naslidok dovedeno.
Naslidok 2. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna hrupa,
centr qko] mistyt\ taku kvazicykliçnu pidhrupu D , wo faktor-hrupa G D/
ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. Q k w o G — anty PC -
hrupa i komutant G ne [ majΩe policykliçnym, to dlq bud\-qko] PC-pidhrupy
A sekciq A A/( ∩ D) bude skinçennoporodΩenog.
Dovedennq. Prypustymo, wo dlq deqko] PC-pidhrupy A sekciq A A D/( )∩
ne [ skinçennoporodΩenog. Oskil\ky centr mistyt\ D, to AD — PC-pidhrupa.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1391
Wob ne vvodyty novyx poznaçen\, moΩna vvaΩaty, wo D ≤ A. Oskil\ky D ne [
majΩe policykliçnog, to z lemy 2 otrymu[mo, wo G D/ ma[ majΩe policykliç-
nyj komutant. Oskil\ky A — PC-hrupa, to koΩna ]] pidhrupa [ majΩe policyk-
liçno nablyΩenog do normal\no]. Z teoremy 2.3 roboty [7] vyplyva[, wo
?K A A= [ ], [ majΩe policykliçnog hrupog. Z vlastyvostej podil\nyx pidhrup
abelevyx hrup (dyv., napryklad, [13], teorema 21.2) vyplyva[ rozklad A K/ =
= DK K E K/ /× dlq deqko] pidhrupy E. Z naßoho prypuwennq otrymu[mo, wo
E ne moΩe buty skinçennoporodΩenog. Ale todi z naslidku 1 propozyci] 2 vy-
plyva[, wo komutant hrupy G bude majΩe policykliçnog pidhrupog. Otryma-
na supereçnist\ dovodyt\ tverdΩennq.
Naslidok 3. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna hrupa,
centr qko] mistyt\ taku kvazicykliçnu pidhrupu D , wo faktor-hrupa G D/
ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. Qkwo G — anty PC-hru-
pa i komutant G ne [ majΩe policykliçnym, to faktor-hrupa G G/ ( )PC ne
[ majΩe policykliçnog.
Dovedennq. Qk i raniße, perekonu[mos\, wo G — majΩe rozv’qzna mini-
maksna hrupa. Prypustymo, wo G G/ ( )PC [ majΩe policykliçnog. Oskil\ky
D ne mistyt\ vlasnyx pidhrup skinçennoho indeksu, to, vraxovugçy toj fakt,
wo G G/ ( )PC [ rezydual\no skinçennog, otrymu[mo vklgçennq D ≤ PC( )G .
Qkwo prypustyty, wo PC( )/G D [ skinçennoporodΩenog, to i faktor-hrupa
G D/ bude skinçennoporodΩenog. OtΩe, PC( )/G D ne moΩe maty skinçenno]
systemy porodΩugçyx elementiv. Odnak ce supereçyt\ naslidku 2.
Naslidok 3 dovedeno.
Naslidok 4. Nexaj G — neperiodyçna lokal\no majΩe rozv’qzna hrupa,
centr qko] mistyt\ taku kvazicykliçnu pidhrupu D , wo faktor-hrupa G D/
ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. Qkwo G — anty PC-hru-
pa i komutant G ne [ majΩe policykliçnym, to koΩna pidhrupa G, wo ne ma[
skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv, mistyt\ D.
Dovedennq. Oskil\ky D ne [ majΩe policykliçnog, to z lemy 2 otrymu[-
mo, wo G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant. Nexaj H — pidhrupa, wo ne
ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. Prypustymo, wo H ne mis-
tyt\ D. Ce oznaça[ skinçennist\ peretynu H D∩ . Z naslidku 1 propozyci] 2
vyplyva[, wo komutant hrupy G [ majΩe policykliçnym. Otrymana supereç-
nist\ dovodyt\, wo peretyn H D∩ povynen buty neskinçennym. Ale todi H ∩
∩ D = D, tobto D ≤ H.
Naslidok 4 dovedeno.
Teper vΩe moΩna ob’[dnaty otrymani vywe rezul\taty ta zaverßyty u za-
hal\nyx rysax rozhlqd vypadku, koly hrupa mistyt\ neskinçenni periodyçni pid-
hrupy.
Teorema 2. Nexaj G — neperiodyçna uzahal\neno radykal\na hrupa, qka
mistyt\ neskinçennu periodyçnu pidhrupu. Hrupa G bude anty PC -hrupog to-
di i til\ky todi, koly:
1) G — hrupa, vsi pidhrupy qko] policykliçno nablyΩeni do normal\nyx; zok-
rema, vona ma[ majΩe policykliçnyj komutant;
2) G mistyt\ taku normal\nu v G kvazicykliçnu pidhrupu D , wo G D/ [
majΩe policykliçnog;
3) G zadovol\nq[ nastupni umovy:
3A) centr hrupy G mistyt\ taku kvazicykliçnu pidhrupu D , wo G D/ ne
mistyt\ neskinçennyx periodyçnyx pidhrup;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1392 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
3B) G D G D/ , /[ ] = K D/ — majΩe policykliçna pidhrupa;
3C) G D/ [ dobutkom dvox normal\nyx pidhrup A D/ ta L D/ , de L D/ —
majΩe policykliçna, a A D/ — abeleva hrupa bez skrutu, u qko] Sp ( / )A D =
= p{ } , de p{ } = Π( )D ;
3D) qkwo A — PC-pidhrupa hrupy G, to A A D/( )∩ bude skinçennopo-
rodΩenog; zokrema, koΩna pidhrupa G , wo ne ma[ skinçenno] systemy porod-
Ωugçyx elementiv, mistyt\ D.
Dovedennq. Neobxidnist\. Prypustymo, wo komutant hrupy G ne [ majΩe
policykliçnog pidhrupog. Z teoremy 2.3 roboty [7] vyplyva[, wo G — majΩe
rozv’qzna minimaksna hrupa. Qkwo centr G ne mistyt\ kvazicykliçnyx pidhrup,
to na pidstavi lemy 4 G — hrupa typu 2. Prypustymo teper, wo centr hrupy G
mistyt\ kvazicykliçnu pidhrupu D. Oskil\ky D ne [ majΩe policykliçnog, to
z lemy 2 otrymu[mo, wo G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant K D/ .
TverdΩennq 3C) vyplyva[ z lemy 7, a tverdΩennq 3D) — z naslidkiv 2, 4 lemy 8.
Dostatnist\. Nexaj G — hrupa typu 2, 3 i H — pidhrupa G , qka ne [ maj-
Ωe policykliçnog. Rozhlqnemo spoçatku vypadok, koly G — hrupa typu 2.
Oskil\ky G D/ [ skinçennoporodΩenog, to peretyn H D∩ ne moΩe buty
skinçennym. Todi H D∩ = D, tobto D ≤ H. Ale faktor-hrupa G D/ [ majΩe
policykliçnog, zokrema pidhrupa H majΩe policykliçno nablyΩena do nor-
mal\no] v D . Nareßti, nexaj G — hrupa typu 3. Prypustymo, wo H ne mis-
tyt\ D. Todi peretyn H D∩ bude skinçennym. Iz spivvidnoßen\ H / (H ∩
∩ D) ≅ ( )/HD D i toho faktu, wo G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant,
vyplyva[, wo i H ma[ majΩe policykliçnyj komutant. Zokrema, H — PC-pid-
hrupa. Skinçennist\ H D∩ obumovlg[ toj fakt, wo H H D/( )∩ ne ma[
skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv, a ce supereçyt\ umovi 3D). Otry-
mana supereçnist\ dovodyt\ vklgçennq D ≤ H. Teper znovu slid vidmityty, wo
v G D/ koΩna pidhrupa [ majΩe policykliçno nablyΩenog do normal\no], i,
otΩe, H bude majΩe policykliçno nablyΩenog do normal\no] v G.
Teoremu 2 dovedeno.
Zaznaçymo, wo odyn iz prykladiv hrup ostann\oho typu dano] teoremy bulo
pobudovano v roboti [20].
Nastupnyj zaklgçnyj etap — ce rozhlqd vypadku, koly vsi periodyçni pid-
hrupy budut\ skinçennymy. Oçevidno, vyvçennq cyx hrup [ moΩlyvym z toçnis-
tg do skinçennyx normal\nyx pidhrup, tobto my povynni lyße opysaty budovu
faktor-hrupy G G/ ( )P . Inakße kaΩuçy, daly budemo vvaΩaty, wo P( )G =
= 1 .
Nexaj G — hrupa, A — ]] abeleva normal\na pidhrupa. Budemo hovoryty, wo
A [ racional\no G -nezvidnog, qkwo dlq koΩno] ]] neodynyçno] G-invariantno]
pidhrupy B faktor-hrupa A B/ [ periodyçnog.
Teorema 3. Nexaj G — neperiodyçna majΩe rozv’qzna minimaksna hrupa, u
qko] P( )G = 1 . Qkwo G [ anty PC-hrupog, to:
1) G — hrupa, vsi pidhrupy qko] policykliçno nablyΩeni do normal\nyx; zo-
krema, vona ma[ majΩe policykliçnyj komutant;
2) G zadovol\nq[ nastupni umovy:
2A) mistyt\ taku normal\nu abelevu neskinçennoporodΩenu pidhrupu G bez
skrutu, wo G D/ [ majΩe policykliçnog;
2B) qkwo U — pidhrupa G , wo ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porodΩugçyx,
to U D∩ takoΩ ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porodΩugçyx;
3) G zadovol\nq[ nastupni umovy:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1393
3A) mistyt\ taku normal\nu abelevu neskinçennoporodΩenu pidhrupu D bez
skrutu, wo G D/ [ dobutkom dvox normal\nyx pidhrup A D/ ta Q D/ , de
Q D/ — majΩe policykliçna, a A D/ — abeleva minimaksna hrupa bez skrutu;
3B) qkwo U — pidhrupa G , wo ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porodΩugçyx,
to U D∩ takoΩ ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porodΩugçyx.
Dovedennq. Prypustymo, wo komutant hrupy G ne [ majΩe policykliçnog
pidhrupog. Todi hrupa G mistyt\ normal\nu nil\potentnu pidhrupu L, dlq
qko] G L/ [ majΩe abelevog ta skinçennoporodΩenog [15]. Z umov teoremy
vyplyva[, wo L ne ma[ skrutu. Z naslidku 1 lemy 2.6 roboty [18] vyplyva[, wo
]] centr ζ( )L ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv. U pidhrupi
ζ( )L vybyra[mo servantnu G -invariantnu neskinçennoporodΩenu pidhrupu C
najmenßoho moΩlyvoho 0-ranhu.
Qkwo faktor-hrupa G C/ [ skinçennoporodΩenog, to otrymu[mo hrupu ty-
pu 2. OtΩe, zalyßa[t\sq rozhlqnuty vypadok, koly G C/ ne ma[ skinçenno]
systemy porodΩugçyx elementiv. Oskil\ky C ne [ majΩe policykliçnog, to z
lemy 2 vyplyva[, wo G C/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant K C/ . V abele-
vij faktor-hrupi G K/ vybyra[mo taku skinçennoporodΩenu pidhrupu F K/ ,
wo G F/ bude vΩe periodyçnog. Oçevydno, F C/ — normal\na majΩe poli-
cykliçna pidhrupa G C/ . Z lemy 1.4 roboty [7] vyplyva[, wo ( / )/ ( / )/G C C F CG C
— majΩe policykliçna hrupa. Nexaj Z C/ = ( / )/ ( / )/G C C F CG C , H C/ = Z C/ ∩
∩ F C/ , todi H C/ — skinçennoporodΩena pidhrupa ζ( / )Z C . Z toho faktu, wo
G C/ ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx elementiv, otrymu[mo, wo te Ω
same ma[ misce i dlq Z C/ . Oskil\ky Z H/ [ abelevog, to Z C/ bude nil\po-
tentnog, a tomu mnoΩyna T C/ vsix ]] elementiv skinçennoho porqdku bude pid-
hrupog. Zaznaçymo, wo faktor-hrupa T C CT/ ( ) bude skinçennog (dyv., napry-
klad, [16], teorema 9.33). Nexaj D C CT= ( ) . Vraxovugçy rivnist\ P( )G =
= 1 ta uzahal\nennq teoremy Íura (dyv., napryklad, [17], naslidok teore-
my74.12), otrymu[mo, wo D — abeleva pidhrupa. Znovu Z D/ mistyt\ normal\nu
pidhrupu B D/ skinçennoho indeksu k, vil\nu vid skrutu [14]. Poklademo
A D/ = ( / )Z D k
, todi z vklgçennq A D B D/ /≤ moΩna pobaçyty, wo A D/ —
xarakterystyçna v Z D/ pidhrupa bez skrutu, wo ma[ skinçennyj indeks. Zo-
krema, A D/ [ normal\nog v G D/ . Oskil\ky hrupa A D/ nil\potentna i [ roz-
ßyrennqm abelevo] pidhrupy za dopomohog periodyçno], to A D/ teΩ bude abe-
levog. Toj fakt, wo G Z/ [ majΩe policykliçnog, a Z A/ — skinçennog, po-
kazu[, wo G A/ bude majΩe policykliçnog. Z inßoho boku, my vΩe baçyly, wo
G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant. Zokrema, G D/ [ PC-hrupog. Tomu
vona mistyt\ u sobi taku normal\nu majΩe policykliçnu pidhrupu Q D/ , wo
G D/ = ( / ) ( / )A D Q D .
Nexaj U — pidhrupa G, wo ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porodΩugçyx. Iz
propozyci] 2 vyplyva[, wo peretyn U D∩ ne ma[ skinçenno] mnoΩyny porod-
Ωugçyx elementiv.
Teoremu 3 dovedeno.
Lema 9. Nexaj G — neperiodyçna majΩe rozv’qzna minimaksna anty PC-
hrupa, komutant qko] ne [ majΩe policykliçnog pidhrupog. Prypustymo ta-
koΩ, wo centr G mistyt\ neskinçennoporodΩenu pidhrupu D bez skrutu
skinçennoho 0-ranhu r, koΩna pidhrupa qko], wo ma[ 0-ranh menßyj za r , bu-
de skinçennoporodΩenog. Todi:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1394 M. M. SEMKO, M. M. PYSKUN
1) qkwo A — PC-pidhrupa G, to A A D/( )∩ bude skinçennoporodΩenog;
2) qkwo U — pidhrupa G , wo ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx
elementiv, to U D∩ ma[ skinçennyj indeks v D.
Dovedennq. Iz propozyci] 3 vydno, wo D mistyt\ taku skinçennoporodΩenu
pidhrupu B, wo D B/ — kvazicykliçna p-hrupa. Oskil\ky A — PC-hrupa, to
koΩna ]] pidhrupa [ majΩe policykliçno nablyΩenog do normal\no]. Z teoremy
2.3 roboty [7] vyplyva[, wo K A A= [ ], [ majΩe policykliçnog pidhrupog.
Zokrema, pidhrupa KB bude skinçennoporodΩenog i, otΩe, DK BK/ bude kva-
zicykliçnog p-hrupog. Todi AD BK/ = DK BK/ × C BK/ dlq deqko] pidhrupy
C (dyv., napryklad, [13], teorema 21.2). Z naslidku 2 propozyci] 2 vydno, wo
C BK/ , a otΩe i pidhrupa C, [ skinçennoporodΩenog. Izomorfizm AD DK/ ≅
≅ ( / )AD BK / ( / )DK BK pokazu[, wo AD DK/ bude skinçennoporodΩenog. Todi
faktor-hrupa A A D/( )∩ ≅ AD D/ , qk rozßyrennq skinçennoporodΩeno] pid-
hrupy DK D/ ≅ K K D/( )∩ za dopomohog skinçennoporodΩeno] hrupy
AD DK/ , takoΩ bude skinçennoporodΩenog.
Za naslidkom 1 propozyci] 2 peretyn U D∩ povynen buty neskinçennopo-
rodΩenog pidhrupog. Z naßyx umov vidnosno D vyplyva[, wo r D0( ) =
= r U D0 ( )∩ . Ce oznaça[, wo faktor-hrupa D U D/( )∩ [ periodyçnog. Z in-
ßoho boku, ( ) /U D B B∩ — neskinçennoporodΩena pidhrupa kvazicykliçno] p-
hrupy D B/ . Ce obumovlg[ rivnist\ ( ) /U D B B∩ = D B/ abo ( )U D B∩ = D.
OtΩe, D U D/( )∩ [ periodyçnog i skinçennoporodΩenog, a tomu skinçennog.
Dlq deqkyx okremyx vypadkiv dovedenu vywe teoremu moΩna detalizuvaty.
Zokrema, ma[ misce taka teorema.
Teorema 4. Nexaj G — neperiodyçna majΩe rozv’qzna minimaksna hrupa, u
qko] P( )G = 1 . Prypustymo takoΩ, wo ζ( )G ne ma[ skinçenno] systemy
porodΩugçyx elementiv. Hrupa G bude anty PC -hrupog todi i til\ky todi,
koly:
1) G — hrupa, vsi pidhrupy qko] policykliçno nablyΩeni do normal\nyx;
zokrema, vona ma[ majΩe policykliçnyj komutant;
2) G zadovol\nq[ nastupni umovy:
2A) ζ( )G mistyt\ neskinçennoporodΩenu pidhrupu D bez skrutu skinçen-
noho 0-ranhu r, i koΩna ]] pidhrupa, 0-ranh qko] menßyj za r , bude skinçenno-
porodΩenog;
2B) faktor-hrupa G D/ ma[ majΩe policykliçnyj komutant;
2C) periodyçni pidhrupy G D/ [ skinçennymy;
2D) ζ( )G = D × C, de C — skinçennoporodΩena pidhrupa;
2E) G D/ [ dobutkom dvox normal\nyx pidhrup A D/ ta L D/ , de L D/
— majΩe policykliçna, a A D/ — abeleva minimaksna hrupa bez skrutu, u qko]
Sp ( / )A D = p{ } , de p{ } = Sp ( )D ;
2F) qkwo A — PC-hrupa G, to A A D/( )∩ bude skinçennoporodΩenog;
2G) qkwo U — pidhrupa G , wo ne ma[ skinçenno] systemy porodΩugçyx
elementiv, to U D∩ ma[ skinçennyj indeks v D.
Dovedennq. Neobxidnist\ vyplyva[ z naslidku lemy 7 ta lemy 9.
Dostatnist\ dovodyt\sq za dopomohog lehko] modyfikaci] arhumentiv, qki
vykorystovuvalys\ pry dovedenni dostatnosti teoremy 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
PRO DEQKI UZAHAL|NENNQ NABLYÛENO NORMAL|NYX PIDHRUP 1395
Zaznaçymo, wo odyn iz prykladiv hrup ostann\oho typu dano] teoremy bulo
pobudovano v roboti [21].
1. Neumann B. H. Groups with finite classes of conjugate subgroups // Math. Z. – 1955. – 63, # 1. –
S. 76 – 96.
2. Kurdaçenko L. A., Kuzennyj M. F., Semko M. M. Hrupy z wil\nog systemog neskinçennyx
pidhrup // Dop. AN URSR. Ser. A. – 1985. – # 3. – S. 7 – 9.
3. Franciosi S., de Giovanni F. Groups satisfying the minimal condition on certain non-normal sub-
groups // “Groups – Korea 94”. – Berlin: Walter de Guyter, 1995. – P. 107 – 118.
4. Galoppo A. Groups satisfying the maximal condition on non-nearly normal subgroups // Ric. mat. –
2000. – 49, # 2. – P. 213 – 220.
5. Franciosi S., de Giovanni F., Kurdachenko L. A. Groups with restrictions on non-subnormal sub-
groups // Ibid. – 1997. – 46, # 2. – P. 307 – 320.
6. Musella C. Isomorphisms between lattices of nearly normal subgroups // Note mat. – 2000/2001. –
20, # 1. – P. 43 – 52.
7. Pyskun M. M. O stroenyy hrupp s nekotor¥my systemamy podhrupp, blyzkyx k normal\n¥m
// Nauk. çasopys NPU im. M. P. Drahomanova. Ser. fiz.-mat. nauky. – 2006. – Vyp. 7. – S. 24 –
34.
8. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Artinian modules over group rings. – Basel: Birkhäu-
ser, 2007. – 245 p.
9. Polovyckyj Q. D. Lokal\no πkstremal\n¥e y slojno πkstremal\n¥e hrupp¥ // Mat. sb. –
1962. – 58, # 2. – S. 685 – 694.
10. Franciosi S., de Giovanni F., Tomkinson M. J. Groups with polycyclic-by-finite conjugacy classes //
Boll. Unione mat. ital. – 1990. – 4B, # 7. – P. 35 – 55.
11. Kurdachenko L. A., Otal J., Soules P. Groups with polycyclic-by-finite conjugate classes of sub-
groups // Communs Algebra. – 2004. – 32, # 12. – P. 4769 – 4784.
12. Kugel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973.
– 210 p.
13. Fuks L. Beskoneçn¥e abelev¥ hrupp¥: V 2 t. – M.: Myr, 1974. – T. 1. – 336 s.
14. Zajcev D. Y. K teoryy mynymaksn¥x hrupp // Ukr. mat. Ωurn. – 1971. – 23, # 5. – S. 652 –
660.
15. Mal\cev A. Y. O nekotor¥x klassax beskoneçn¥x razreßym¥x hrupp // Mat. sb. – 1951. –
28, # 3. – S. 567 – 588.
16. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups. – Berlin: Springer, 1973. – 229 p.
17. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups: Pt 1. – Berlin: Springer,
1972. – 210 p.
18. Zajcev D. Y., Kurdaçenko L. A., Tußev A. V. Moduly nad nyl\potentn¥my hruppamy koneç-
noho ranha // Alhebra y lohyka. – 1971. – 24, # 6. – S. 631 – 666.
19. Baer R. Polyminimaxgruppen. // Math. Ann.– 1968. – 175, # 1. – S. 1 – 43.
20. Cutolo G. On groups satisfying the maximal condition on non-normal subgroups // Riv. mat. pura
ed appl. – 1991. – 9. – P. 49 – 59.
21. Franciosi S., de Giovanni F., Kurdachenko L. A. On groups with many almost normal subgroups //
Ann. mat. pura ed appl. – 1991. – 169, # 1. – P. 35 – 65.
OderΩano 05.12.07,
pislq doopracgvannq — 01.07.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3108 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/86/ddd1b26544a385cccc073c724257df86.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31082020-03-18T19:45:28Z On some generalizations of nearly normal subgroups Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп Piskun, M. M. Semko, N. N. Пискун, М. М. Семко, М. М. A subgroup $H$ of a group $G$ is called almost polycyclically close to a normal group (in $G$) if $H$ contains a subgroup $L$ normal in $H^G$ for which the quotient group $H^G /L$ is almost polycyclic. The group G is called an anti-$PC$-group if each its subgroup, which is not almost polycyclic, is almost polycyclically close to normal. The structure of minimax anti-$PC$-groups is investigated. Подгруппа $H$ группы $G$ называется почти полициклически приближенной к нормальной (в $G$), если $H$ содержит нормальную в $H^G$ подгруппу $L$, для которой фактор-группа $H^G /L$ будет почти полициклической. Группа $G$ называется анти $PC$-группой, если каждая ее подгруппа, не являющаяся почти полициклической, будет почти полициклически приближенной к нормальной. В работе изучается строение минимаксных анти $PC$-групп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3108 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1381-1395 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1381-1395 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3108/2964 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3108/2965 Copyright (c) 2009 Piskun M. M.; Semko N. N. |
| spellingShingle | Piskun, M. M. Semko, N. N. Пискун, М. М. Семко, М. М. On some generalizations of nearly normal subgroups |
| title | On some generalizations of nearly normal subgroups |
| title_alt | Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| title_full | On some generalizations of nearly normal subgroups |
| title_fullStr | On some generalizations of nearly normal subgroups |
| title_full_unstemmed | On some generalizations of nearly normal subgroups |
| title_short | On some generalizations of nearly normal subgroups |
| title_sort | on some generalizations of nearly normal subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3108 |
| work_keys_str_mv | AT piskunmm onsomegeneralizationsofnearlynormalsubgroups AT semkonn onsomegeneralizationsofnearlynormalsubgroups AT piskunmm onsomegeneralizationsofnearlynormalsubgroups AT semkomm onsomegeneralizationsofnearlynormalsubgroups AT piskunmm prodeâkíuzagalʹnennânabliženonormalʹnihpídgrup AT semkonn prodeâkíuzagalʹnennânabliženonormalʹnihpídgrup AT piskunmm prodeâkíuzagalʹnennânabliženonormalʹnihpídgrup AT semkomm prodeâkíuzagalʹnennânabliženonormalʹnihpídgrup |