Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution
We study special infinitesimal geodesic deformations of the surfaces of revolution in the Euclidean space $E^3$.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3109 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509142674833408 |
|---|---|
| author | Fedchenko, Yu. S. Федченко, Ю. С. |
| author_facet | Fedchenko, Yu. S. Федченко, Ю. С. |
| author_sort | Fedchenko, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | We study special infinitesimal geodesic deformations of the surfaces of revolution in the Euclidean space $E^3$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 514. 75
G. S. Fedçenko (Odes. nac. akad. xarç. texnolohij)
NORMAL|NI TA TANHENCIAL|NI HEODEZYÇNI
DEFORMACI} POVERXON| OBERTANNQ
Special infinitesimal geodesic deformations of rotation surfaces in the Euclidean space E 3 are
considered.
Rassmatryvagtsq specyal\n¥e ynfynytezymal\n¥e heodezyçeskye deformacyy poverxnostej
vrawenyq v evklydovom prostranstve E 3
.
{ bahato vidomyx typiv infinitezymal\nyx deformacij poverxon\: zhynannq [1],
areal\ni [2], konformni [3], povorotni [4] ta in. Sered nyx osoblyvu rol\
vidihragt\ heodezyçni deformaci], qki buly vvedeni u 1971 r. M. S. Syngkovym
ta M. L. Havryl\çenkom [5]. Vony pokazaly, wo isnu[ zv'qzok miΩ heodezyçnymy
deformaciqmy ta heodezyçnymy vidobraΩennqmy, znajßly neobxidnu ta dos-
tatng umovu isnuvannq takyx deformacij. U monohrafi] [6] vkazano, wo infi-
nitezymal\ni heodezyçni deformaci] dopuskagt\ poverxni Liuvillq i lyße vony.
V. T. Fomenko vyvçav neskinçenno mali heodezyçni deformaci] metryky ds2
[7]
v izotermiçnij parametryzaci] i pokazav, wo zadaçu pro isnuvannq takyx defor-
macij moΩna zvesty do doslidΩennq systemy dyferencial\nyx rivnqn\ komp-
leksno] zminno] i sfera „v cilomu” dopuska[ netryvial\ni heodezyçni deforma-
ci]. Zahalom zadaça pro isnuvannq infinitezymal\nyx heodezyçnyx deformacij [
aktual\nog ta malodoslidΩenog. U cij roboti vona rozv’qzana dlq poverxon\
obertannq z deqkymy dodatkovymy umovamy na typ deformaci].
Rozhlqnemo poverxng S v evklidovomu prostori E 3
z vektorno-paramet-
ryçnym rivnqnnqm r r x x= ( )1 2, ta ]] deformacig
�Sε : r r x xε = ( )1 2, +
+ εU x x1 2,( ) . Tut U x x1 2,( ) = u r u ni
i +
0
— vektor zmiwennq, ε — infinitezy-
mal\nyj parametr, u x xi
1 2,( ) , u x x
0 1 2,( ) —- vidpovidno tanhencial\ni ta nor-
mal\na komponenty vektora zmiwennq. Heodezyçna (proektyvna) deformaciq (P)
za oznaçennqm zberiha[ na deformovanij poverxni „v holovnomu” heodezyçni kry-
vi, tobto dlq koΩno] heodezyçno] kryvo] poverxni S ]] obraz na
�Sε [ kryvog,
wo z toçnistg do çleniv druhoho porqdku infinitezymal\noho parametra ε za-
dovol\nq[ dyferencial\ni rivnqnnq heodezyçnyx kryvyx [5]. U statti vyv-
çagt\sq infinitezymal\ni heodezyçni deformaci] poverxon\ obertannq, qki [
normal\nymy ( )PN : ui = 0 abo tanhencial\nymy ( )PT : u
0
0= .
Opyßemo korotko budovu statti. U perßomu punkti znajdeno osnovni riv-
nqnnq normal\nyx heodezyçnyx deformacij poverxon\; pokazano, wo qkwo ne-
minimal\na poverxnq obertannq dopuska[ infinitezymal\nu normal\nu heode-
zyçnu deformacig, to cq poverxnq [ sferog abo prqmym kruhovym cylindrom, a
deformaciq — homoteti[g; [dyni minimal\ni poverxni obertannq — kateno]dy —
ne dopuskagt\ infinitezymal\nu normal\no-heodezyçnu deformacig.
U druhomu punkti vstanovleno osnovni rivnqnnq tanhencial\nyx heodezyç-
nyx deformacij poverxon\; znajdeno vsi poverxni obertannq, qki dopuskagt\ ne-
tryvial\ni afinni tanhencial\ni heodezyçni deformaci], i pokazano, wo vsi inßi
poverxni obertannq dopuskagt\ lyße tryvial\ni deformaci], qki [ zhynannqmy;
pokazano, wo torsy dopuskagt\ netryvial\ni afinni heodezyçno-tanhencial\ni
deformaci], a poverxni stalo] haussovo] kryvyny K dopuskagt\ infinitezy-
mal\ni heodezyçno-tanhencial\ni deformaci].
© G. S. FEDÇENKO, 2009
1396 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
NORMAL|NI TA TANHENCIAL|NI HEODEZYÇNI DEFORMACI} POVERXON| … 1397
1. Heodezyçni deformaci] poverxon\, wo [ normal\nymy. 1.1. U c\omu
pidpunkti otryma[mo osnovni rivnqnnq infinitezymal\nyx heodezyçno-normal\-
nyx deformacij ( PN -deformacij).
Dlq infinitezymal\nyx heodezyçnyx deformacij [5]
Pij
h
i j
h
j i
h= +ψ δ ψ δ , (1)
de δ j
i
— symvol Kronekera, Pij
h
ij
h≡ δΓ — variaciq symvoliv Krystoffelq,
ψ i — deqkyj hradi[ntnyj kovektor, tobto ψ ψi i= ∂ (ψ — deqka (oporna)
funkciq kovektora).
Heodezyçni deformaci], dlq qkyx ψ i = 0, nazyvagt\ afinnymy ( PA -de-
formaci]); vvaΩatymemo ]x tryvial\nymy heodezyçnymy deformaciqmy. Vony
zberihagt\ „v holovnomu” afinnu zv’qznist\ poverxni: δΓ ij
h = 0 .
Za oznaçennqm deformaciq nazyva[t\sq normal\nog, qkwo
ui = 0 . (2)
Variaci] metryky i afinno] zv’qznosti pry bud\-qkij deformaci] magt\
vyhlqd
δ εg u u u bij ij j i i j ij≡ = ∇ + ∇ −2 2
0
, (3)
δ ε ε εΓ ij
h
ij
h ah
j ia i ja a ijP g≡ = ∇ + ∇ − ∇( ) , (4)
de g r ri j i j= , b r ni j i j= — koefici[nty perßo] ta druho] fundamental\nyx
form poverxni vidpovidno, ∇ j — kovariantna poxidna po zminnij x j
.
Na osnovi (1) – (4) dlq heodezyçno] deformaci] ma[mo
ψ ψi k j j ki k ij i kj j ik k ijg g u b u b u b u b+ = − − − ∇
0 0 0 0
, u uk k
0 0
= ∂ . (5)
Al\ternaci[g (5) po indeksax i, k otryma[mo
2 2
0 0
u b u b g gk ij i kj i kj k ij− = −ψ ψ . (6)
Vnaslidok (6) rivnqnnq (5) nabyragt\ vyhlqdu
− = ∇ + + +2 2 2
0 0
u b u b g g gj ik k ij i kj k ij j kiψ ψ ψ .
Rozmirkovugçy u zvorotnomu naprqmku, nevaΩko perekonatys\, wo ostanni
rivnqnnq ekvivalentni (1). OtΩe, systema rivnqn\
ψ ψi i= ∂ ,
(7)
− = ∇ + + +2 2 2
0 0
u b u b g g gj ik k ij i kj k ij j kiψ ψ ψ ,
[ osnovnog dlq doslidΩennq infinitezymal\nyx PN -deformacij.
1.2. Doslidymo infinitezymal\ni PN -deformaci] na poverxnqx obertannq.
Teorema 1. Qkwo neminimal\na poverxnq obertannq dopuska[ infinitezy-
mal\nu normal\nu heodezyçnu deformacig, to cq poverxnq [ sferog abo prq-
mym kruhovym cylindrom, a deformaciq — homoteti[g.
Dovedennq. Pislq zhortky ( )72 z gik
ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1398 G. S. FEDÇENKO
− = +H u uHj j j
0 0 3
2
ψ ,
de H Hi i= ∂ , H — serednq kryvyna poverxni.
Intehrugçy ce rivnqnnq, oderΩu[mo rozv’qzok
3
2
0
2ψ = − +H u C , C2 —
stala. Zvidsy ( )72 nabere vyhlqdu
− + + +3 2
0 0 0 0
u b Hg u Hg u Hg uj ik ij k kj i ki j =
= u b H g H g H gk ij i kj k ij j ki
0
3 2( )∇ − − − . (8)
U svog çerhu, pislq zhortky (8) z gij
otryma[mo
− + =3 5
0 0 0
u b H u H uj k
j
k k . (9)
Provedemo doslidΩennq rivnqn\ (8) ta (9) u standartnij parametryzaci] po-
verxni obertannq r = ψ ρ θ( ) cos( , ψ ρ θ( ) sin , ϕ ρ( )) , x1 = ρ , x2 = θ . Oskil\ky
dlq vzqto] parametryzaci] g b12 12 0= = , Γ Γ12
1
11
2 0= = , H2 0= , to z ozna-
çennq kovariantno] poxidno] ∇ = ∂1 12 1 12b b + Γ Γ11 2 21 1
α
α
α
αb b+ vyplyva[ ∇1 12b =
= 0. Beruçy do uvahy rivnqnnq Petersona – Majnardi – Kodacci, ma[mo ∇2 11b =
= ∇ =1 21 0b . Analohiçno otrymu[mo ∇ =2 22 0b . Teper z systemy rivnqn\ (8) za
umovy H ≠ 0 znaxodymo u2
0
0= . Vnaslidok c\oho sama systema nabyra[ vyh-
lqdu
u
0
2 0= ,
− + = ∇ −3 4 3 4
0
1 11
0
1 11
0
1 11 1 11u b H u g u b H g( ) ,
(10)
u Hg u b H g
0
1 22
0
2 12 1 223= ∇ −( ) ,
− + = ∇ −3 2 3 2
0
1 22
0
1 22
0
2 21 1 22u b H u g u b H g( ) ,
a z systemy (9) ma[mo u b H
0
1 1
13 5− +( ) = H u1
0
. Intehrugçy ostann[ rivnqnnq, ot-
rymu[mo vyraz dlq normal\no] komponenty vektora zmiwennq:
u C e
H
H b
d
0
3
5 3
1
1
1
=
∫ −
ρ
, (11)
de C3 — çyslo, vidminne vid nulq.
Pidstavlqgçy u
0
v (10), znaxodymo obmeΩennq na vybir poverxni:
H
H b
b H b H1
1
1 1
1
1 1
1
1
5 3
3 4 3 4
−
− +( ) = ∇ − ,
H
H b
Hg b H g1
1
1 22 2 12 1 22
5 3
3
−
= ∇ − , (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
NORMAL|NI TA TANHENCIAL|NI HEODEZYÇNI DEFORMACI} POVERXON| … 1399
H
H b
b Hg b H g1
1
1 22 22 2 21 1 22
5 3
3 2 3 2
−
− +( ) = ∇ − . (13)
Z rivnqn\ (12) ta (13) dista[mo
H
b
H b
Hg
H b
g1
22
1
1
22
1
1 223
5 3 5 3
0−
−
+
−
+
= .
MoΩlyvi dva vypadky:
1) −
−
3
5 3
22
1
1
b
H b
+
Hg
H b
g22
1
1 22
5 3−
+ = 0.
Oskil\ky b b gij i
s
sj= , g12 0= , b b g22 2
2
22= , H b b= +1
1
2
2
, to H = 0, wo ne-
moΩlyvo za umovog teoremy.
2) H — stala. Todi z (11) ma[mo, wo u
0
= const , a z systemy rivnqn\ (10) ba-
çymo, wo ∇ = ∇2 21 1 22b b = ∇ =2 12 0b , ∇ =1 11 0b . OtΩe, ∇ =k ijb 0 . Pozaqk
3
2
ψ = − +H u C
0
2 , H — stala ta u
0
= const , to i ψ = const .
Oskil\ky neminimal\ni poverxni, pro qki jdet\sq v teoremi, povynni maty ko-
variantno stalyj druhyj fundamental\nyj tenzor, to, qk vidomo, ce moΩut\ bu-
ty lyße sfery, plowyny ta prqmi kruhovi cylindry [8]. Plowyny vyklgçeno z
rozhlqdu. Vnaslidok toho, wo u
0
— stala, infinitezymal\ni normal\ni heo-
dezyçni deformaci] dlq sfery ta cylindra [ homotetiqmy (δg cgij ij= , c —
stala).
Teoremu dovedeno.
Teorema 2. Kateno]d ne dopuska[ infinitezymal\nu normal\nu heodezyçnu
deformacig.
Dovedennq. Vidomo, wo minimal\nymy poverxnqmy obertannq [ lyße kate-
no]dy. Tomu u vypadku minimal\nyx poverxon\ z umovy
3
2
ψ = − +H u C
0
2 vy-
plyva[, wo ψ = const . Z rivnqnnq (9) otrymaly u bj k
j0
0= . Oskil\ky K ≠ 0,
to z ostann\oho rivnqnnq ma[mo u
0
= const , a (8) vykonu[t\sq za umovy
∇ =k ijb 0 . Vidomo, wo ostannq umova vykonu[t\sq lyße na sferi, prqmomu
kruhovomu cylindri, plowyni [8] ta ne vykonu[t\sq na kateno]di.
Teoremu dovedeno.
2. Heodezyçni deformaci] poverxon\, wo [ tanhencial\nymy. 2.1. Roz-
hlqnemo teper tanhencial\ni deformaci] (T-deformaci]). Za oznaçennqm T-de-
formaciq vyznaça[t\sq umovog u
0
= 0, i todi variaciq metryky nabere vyhlqdu
2 εij j i i ju u= ∇ + ∇ . Dyferenciggçy ostanng rivnist\ kovariantno po zminnij
xk
, otrymu[mo
2 ∇ = ∇ + ∇k ij j k i ik ju uε , de ∇ = ∇ ∇j k k j .
Perestavlqgçy indeksy, oderΩu[mo we dva nabory 2 ∇i j kε , 2 ∇ j ikε , i, vraxo-
vugçy (4), umovu tanhencial\no] deformaci] ta totoΩnist\ Riççi ∇k j iu –
– ∇ j k iu = K u g u gk ij j ik( )− , otrymu[mo rivnqnnq (1) u vyhlqdi ∇ij ku =
= K u gi jk – u gk ij + ψ i k jg + ψ j kig .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1400 G. S. FEDÇENKO
Rozmirkovugçy u zvorotnomu naprqmku, baçymo, wo vid ostann\oho rivnqnnq
lehko perejty do rivnqnnq (1). OtΩe, systema
ψ ψi i= ∂ ,
∇ =i k kiu u , (14)
∇ = − + +j ki i j k k ij i kj j kiu K u g u g g gψ ψ
[ osnovnog systemog dlq PT -deformacij.
2.2. Doslidymo, qki poverxni obertannq dopuskagt\ tryvial\ni heodezyçno-
tanhencial\ni deformaci] ( PTA -deformaci]). U c\omu vypadku systema (14)
nabyra[ vyhlqdu
∇ =i k kiu u ,
(15)
∇ = − j ki i j k k iju K u g u g .
Vnaslidok totoΩnosti Riççi umova intehrovnosti dlq ( )151 vykonu[t\sq na pid-
stavi ( )152 . V svog çerhu, umova intehrovnosti dlq ( )152 ma[ vyhlqd
K u g u g u g u gji kl li k j il k j ij kl− − + =
= ∇ − − ∇ − l i k j k ij j i kl k ilK u g u g K u g u g .
Zhornemo ostanng rivnist\ z gi j
. Todi otryma[mo, wo pry K ≠ 0
u u bglk kl kl+ = .
Zdyferencig[mo ostanng rivnist\ po xm
ta skorysta[mosq (15). Ma[mo
∂mb = bm = 0 , b A= const = 2 . Zvidsy
u u Aglk kl kl+ = 2 . (16)
Rivnqnnq (16) pokazugt\, wo PTA -deformaci] poverxni obertannq moΩut\ buty
lyße infinitezymal\nymy homotetiqmy, qki [ special\nymy konformnymy de-
formaciqmy.
Teorema 3. Sered poverxon\ obertannq (K ≠ 0) r = ρ θcos( , ρ θsin , ϕ ρ( ))
lyße poverxnq z merydianom 1 2+ ′ϕ = C
C
A C
6
5
5ρ −
dopuska[ PTA -deforma-
cig z vektorom zmiwennq
U C A C r C C r
A C
A C= − + +
+
−
6
2
5
1
5 4
2 2
5
5( ) ( )ρ θ ρ ,
de C4 , C5 , C6 , A — stali. Na vsix inßyx poverxnqx obertannq PTA -defor-
maci] [ lyße zhynannqm.
Dovedennq. Rozhlqnemo rivnqnnq (16) u rozhornutomu vyhlqdi. Vraxovug-
çy, wo pry vzqtij parametryzaci] g b12 12 0= = , ma[mo
u A g11 11= ,
u u12 21 0+ = ,
u A g22 22= .
Otrymani rivnqnnq doslidΩeno v [9]. Tut moΩlyvi taki vypadky:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
NORMAL|NI TA TANHENCIAL|NI HEODEZYÇNI DEFORMACI} POVERXON| … 1401
1) u1 0= , u C2 4
2= ρ , A = 0 (deformaciq [ zhynannqm);
2) poverxni stalo] kryvyny: sfera, psevdosfera, A = 0 (deformaciq [ zhy-
nannqm);
3) u A F F d1 = ∫ ρ , u C C2 5 4
2= +( )θ ρ , F = + ′1 2ϕ = C
C
A C
6
5
5ρ −
, C4 ,
C5 , C6 — stali. U c\omu vypadku vektor zmiwennq ma[ vyhlqd
U C A C r C C r
A C
A C= − + +
+
−
6
2
5
1
5 4
2 2
5
5( ) ( )ρ θ ρ .
Bezposeredn\og perevirkog moΩna perekonatysq, wo znajdeni komponenty vek-
tora zmiwennq zadovol\nqgt\ systemu (15).
Teoremu dovedeno.
2.3. Dlq torsiv (K = 0) systema (15) nabyra[ vyhlqdu
∇ =i k kiu u ,
∇ =j kiu 0 .
Vraxu[mo specyfiku poverxon\ i provedemo doslidΩennq dano] systemy riv-
nqn\ v afinnij systemi koordynat z symvolamy Krystoffelq druhoho rodu
Γ i j
k = 0 . Za ostann\o] umovy systema lehko intehru[t\sq, i my perekonu[mos\,
wo komponenty vektora zmiwennq pry PTA -deformaci] torsiv magt\ vyhlqd
u c u c c1 7 8 9= + +ν , u c c u c2 10 11 12= + +ν , de ci = const , i = 7, 8, … , 12.
2.4. Doslidymo systemu (14) dlq neafinnyx infinitezymal\nyx PT -defor-
macij, tobto u vypadku ψ i ≠ 0 .
Na osnovi totoΩnosti Riççi umova intehrovnosti dlq ( )142 vykonu[t\sq vna-
slidok ( )143 . Umova intehrovnosti dlq ( )143 nabyra[ vyhlqdu
K u g u g u g u gji kl li kj il k j ij kl− − + =
= ∇ − − ∇ − l i k j k ij j i kl k ilK u g u g K u g u g + ∇ − ∇l i k j j i klg gψ ψ . (17)
Zhornemo (17) z gi j
:
∇ = − + +l k l k kl klK u u b gψ ( ) 1 . (18)
U svog çerhu, umova intehrovnosti dlq (18) ma[ vyhlqd
∇ − ∇ = ∇ + − ∇ +m kl l k m m lk kl l mk k mb g b g K u u K u u1 1 ( ) ( ) . (19)
Teorema 4. Poverxni stalo] haussovo] kryvyny K dopuskagt\ infinitezy-
mal\ni neafinni PT -deformaci], pry c\omu tanhencial\ni komponenty vekto-
ra zmiwennq ta oporna funkciq znaxodqt\sq z dovil\nistg v 9 konstant.
Dovedennq. Dijsno, z rivnqn\ (17) ta (18) vyplyva[, wo dlq poverxon\ sta-
lo] kryvyny ( K = const ) b1 0= i rivnist\ (19) vykonu[t\sq. V c\omu vypadku
ma[mo systemu dyferencial\nyx rivnqn\
∇ =i k kiu u ,
∇ = − + +j ki i j k k ij i kj j kiu K u g u g g gψ ψ ,
(20)
∇ = − +l k l k klK u uψ ( ) ,
ψ ψi i= ∂ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1402 G. S. FEDÇENKO
qka [ zamknenog systemog Koßi i pry vybori 9 poçatkovyx danyx ma[ [dynyj
rozv’qzok [10].
Teoremu dovedeno.
U vypadku torsiv moΩna vybraty normal\nu afinnu systemu koordynat, v
qkij g g11 22 1= = , g12 0= . Za cyx umov (20) lehko intehru[t\sq, i my znaxody-
mo komponenty vektora zmiwennq pry PT -deformaci] torsiv: u c u1 1
2= � +
+ � �c u c u2 3ν + + � �c c4 5ν + , u c2 2
2= � ν + � �c u c u1 6ν + + � �c c7 8ν + , ψ = �c u1 + �c2ν +
+ �c9 , de �ci = const , i = 1, 2, … , 9.
1. Vekua Y. N. Obobwenn¥e analytyçeskye funkcyy. – M.: Nauka, 1988. – 509 s.
2. Bezkorovajna L. L. Areal\ni neskinçenno mali deformaci] i vrivnovaΩeni stany pruΩno]
obolonky: Navç. pos. – Odesa: Astroprynt, 1999. – 168 s.
3. Fesenko E. D. Beskoneçno mal¥e konformn¥e deformacyy zamknut¥x poverxnostej polo-
Ωytel\noj haussovoj kryvyzn¥ // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1969. – # 3 (82).
4. Lejko S. H. Ynfynytezymal\n¥e povorotn¥e preobrazovanyq y deformacyy poverxnostej
evklydovoho prostranstva // Dokl. RAN. – 1994. – 344, # 2. – S. 162 – 164.
5. Syngkov N.S., Havryl\çenko M. L. Beskoneçno mal¥e heodezyçeskye deformacyy poverx-
nostej // Tret\q resp.Wkonf. matematykov Belorussyy. – Mynsk, 1971.
6. Radulovyç Û., Mykeß J., Havryl\çenko M. L. Heodezyçeskye otobraΩenyq y deformacyy
rymanov¥x prostranstv. – Odessa: Olomouc, 1997.
7. Fomenko V. T. Ob odnoznaçnoj opredelennosty zamknut¥x poverxnostej otnosytel\no heo-
dezyçeskyx otobraΩenyj // Dokl. AN. – 2006. – 407, # 4. – S. 453 – 456.
8. Kovancov N. Y. Dyfferencyal\naq heometryq, topolohyq, tenzorn¥j analyz: sb. zadaç. –
Kyev, 1989.
9. Lejko S.H., Fedçenko G. S. Vektory zmiwen\ dlq povorotno-konformnyx deformacij po-
verxon\ obertannq // Visn. Odes. un-tu. Fiz.-mat. nauky. – 2003. – 8, vyp. 2. – S. 50 – 54.
10. ∏jzenxart L. P. Rymanova heometryq. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948.
OderΩano 29.01.08,
pislq doopracgvannq — 14.10.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3109 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:24Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8e/e91471bcd7deed8f8fc415293027d48e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31092020-03-18T19:45:28Z Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution Нормальні та тангенціальні геодезичні деформації поверхонь обертання Fedchenko, Yu. S. Федченко, Ю. С. We study special infinitesimal geodesic deformations of the surfaces of revolution in the Euclidean space $E^3$. Рассматриваются специальные инфинитезимальные геодезические деформации поверхностей вращения в евклидовом пространстве $E^3$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3109 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1396-1402 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1396-1402 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3109/2966 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3109/2967 Copyright (c) 2009 Fedchenko Yu. S. |
| spellingShingle | Fedchenko, Yu. S. Федченко, Ю. С. Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| title | Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| title_alt | Нормальні та тангенціальні геодезичні деформації поверхонь обертання |
| title_full | Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| title_fullStr | Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| title_full_unstemmed | Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| title_short | Normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| title_sort | normal and tangential geodesic deformations of the surfaces of revolution |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3109 |
| work_keys_str_mv | AT fedchenkoyus normalandtangentialgeodesicdeformationsofthesurfacesofrevolution AT fedčenkoûs normalandtangentialgeodesicdeformationsofthesurfacesofrevolution AT fedchenkoyus normalʹnítatangencíalʹnígeodezičnídeformacíípoverhonʹobertannâ AT fedčenkoûs normalʹnítatangencíalʹnígeodezičnídeformacíípoverhonʹobertannâ |