Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths
We study the behavior of functionals of the form $\sup_{l>n} (l-n)\left(∑^l_{k=1} \frac1{ψ^r(k)} \right)^{−1/r}$, where $ψ$ is a positive function, as $n → ∞$: The obtained results are used to establish the exact order equalities (as $n → ∞$) for the best $n$-term approximations of $q$-ellips...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3110 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509144732139520 |
|---|---|
| author | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_sort | Shydlich, A. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | We study the behavior of functionals of the form
$\sup_{l>n} (l-n)\left(∑^l_{k=1} \frac1{ψ^r(k)} \right)^{−1/r}$,
where $ψ$ is a positive function, as $n → ∞$: The obtained results are used to establish the exact order equalities (as $n → ∞$) for the best $n$-term approximations of $q$-ellipsoids in metrics of the spaces $S^p_{φ}$: We also consider the applications of the obtained results to the determination of the exact orders of the Kolmogorov widths of octahedra in the Hilbert space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. Л. Шидлiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОЦIНОК НАЙКРАЩИХ
n-ЧЛЕННИХ НАБЛИЖЕНЬ ТА ПОПЕРЕЧНИКIВ
For n→∞, we investigate the behavior of functionals having the form sup
l>n
(l−n)
(∑l
k=1
1
ψr(k)
)−1/r
,
where ψ is some positive function. The obtained results are used to establish exact orders equaliities as
n → ∞ for quantities of the best n-term approximations of q-ellipsoids in metrics of spaces Sp
ϕ. We also
consider applications of the results obtained in finding exact orders of Kolmogorov’s widths of octahedrons in
the Hilbert space.
Исследуется поведение при n → ∞ функционалов вида sup
l>n
(l − n)
(∑l
k=1
1
ψr(k)
)−1/r
, где ψ
— некоторая положительная функция. Полученные результаты применяются к нахождению точных
порядковых при n → ∞ равенств для величин наилучших n-членных приближений q-еллипсоидов в
метриках пространств Sp
ϕ. Рассматриваются также применения полученных результатов к нахождению
точных порядков поперечников по Колмогорову октаэдров в гильбертовом пространстве.
1. Вступ. Нехай H — дiйсний гiльбертiв простiр з ортонормованим базисом e1,
e2, . . . , ek, . . . ; α = {αk}∞k=1 — довiльна послiдовнiсть дiйсних чисел. Октаедром
Oα називається опукла оболонка векторiв ±α1e1, ±α2e2, . . . ,±αkek, . . . .
Нехай, далi,
dn(M;Y ) = inf
Fn∈Fn
sup
x∈M
inf
u∈Fn
‖x− u‖Y
— поперечник за Колмогоровим центрально-симетричної множини M у лiнiйному
нормованому просторi Y з нормою ‖ · ‖Y . В останньому спiввiдношеннi Fn —
множина всiх пiдпросторiв Fn розмiрностi n ∈ N простору Y.
У 1973 р. Л. Б. Софман [1] (див. також [2, 3], гл. VI) показав, що якщо послi-
довнiсть α така, що lim
k→∞
αk = 0, то
dn(Oα,H) = sup
l>n
√√√√ l − n∑l
i=1
ᾱ−2
i
, (1.1)
де ᾱ = {ᾱk}∞k=1 — спадна перестановка послiдовностi |αk|.
Нехай тепер ψ = {ψ(k)}∞k=1 — довiльна незростаюча послiдовнiсть додатних
чисел, ψ(k) > 0, k ∈ N. Розглянемо функцiонал Gn(ψ, r) вигляду
Gn(ψ, r) := sup
l>n
(l − n)
(
l∑
k=1
1
ψr(k)
)−1/r
, r ∈ (0, 1]. (1.2)
Тодi розв’язок даної задачi про поперечник за Колмогоровим октаедра в гiльберто-
вому просторi можна виразити в термiнах величин Gn(ψ; r) таким чином:
dn(Oα,H) =
√
Gn(ψ, 1), (1.3)
де ψ(k) = ᾱ2
k.
c© А. Л. ШИДЛIЧ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10 1403
1404 А. Л. ШИДЛIЧ
У термiнах величин Gn(ψ, r) також виражаються розв’язки низки iнших екс-
тремальних задач. Зокрема, Фан Генсун i Кiен Лiксiн [4] в термiнах функцiоналiв
вигляду (1.2) cформулювали точнi значення гельфандiвських, iнформацiйних та
деяких iнших поперечникiв певних функцiональних класiв. О. I. Степанець у ро-
ботах [5, 6] та [7] (гл. XI) у термiнах таких функцiоналiв встановив точнi значення
найкращих n-членних наближень q-елiпсоїдiв у просторах Spϕ, 0 < q ≤ p. Тому
актуальною, на думку автора, є задача про знаходження точних порядкових при
n→∞ рiвностей для величин Gn(ψ, r).
При розглядi даної задачi будемо використовувати розвинений О. I. Степанцем
та його учнями апарат дослiдження, який базується на наступнiй класифiкацiї опук-
лих функцiй.
Будемо вважати послiдовностi ψ(·) слiдом на множинi натуральних чисел N
деяких опуклих донизу функцiй ψ(t) неперервного аргументу t ∈ [1,∞), якi за-
довольняють умову lim
t→∞
ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй будемо позначати
через M:
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Множина M досить неоднорiдна за швидкiстю прямування її елементiв до нуля
при t → ∞: функцiї ψ(t) можуть спадати як дуже повiльно, так i дуже швидко.
Тому виникає необхiднiсть розбиття множини M на пiдмножини, що об’єднують
функцiї ψ ∈ M, якi в певному сенсi мають однаковий характер прямування до
нуля.
Наслiдуючи О. I. Степанця [8, с. 159] (див. також [9]), в ролi характеристики,
за допомогою якої зручно проводити таке розбиття, використаємо пару функцiй
η(t) = η(ψ; t) i µ(t) = µ(ψ; t), якi визначаються таким чином. Нехай ψ ∈ M, тодi
через η(t) = η(ψ; t) позначають функцiю, яка пов’язана з ψ рiвнiстю
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t), t ≥ 1. (1.4)
Внаслiдок строгої монотонностi функцiї ψ функцiя η(t) для всiх t ≥ 1 з (1.4)
визначається однозначно:
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
.
Функцiя µ(t) задається рiвнiстю
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
.
В залежностi вiд поведiнки функцiї µ прийнято (див., наприклад, [8, с. 159; 9])
розрiзняти такi пiдмножини множини M:
M0 =
{
ψ ∈ M : 0 < µ(ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1
}
,
M∞ =
{
ψ ∈ M : 0 < K ≤ µ(ψ; t) <∞ ∀t ≥ 1
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1405
MC = M0 ∩M∞ =
{
ψ ∈ M : 0 < K1 ≤ µ(ψ; t) ≤ K2 ∀t ≥ 1
}
,
де, як i далi, K, K1, . . . — деякi додатнi сталi, що не залежать вiд параметра t.
Через M+
0 позначають пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких величина
µ(ψ; t) при t→∞ монотонно прямує до нуля:
M+
0 =
{
ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↓ 0
}
,
а через M+
∞ — пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких µ(ψ; t) монотонно i
необмежено зростає при t→∞:
M+
∞ =
{
ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞
}
.
У випадку, коли функцiя ψ належить множинi M0, порядки величин Gn(ψ, r)
при всiх r ∈ (0, 1] отримано в роботi [10] (див. також [11] (пiдроздiл 10)). У данiй
роботi вивчається випадок, коли функцiя ψ належить множинi M+
∞. При цьому
розглядаються такi пiдмножини цiєї множини:
M′
∞ =
{
ψ ∈ M+
∞ : α(ψ; t) ↓ 0, ψ(t)/|ψ′(t)| ↑ ∞
}
, (1.5)
де
α(t) := α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+),
Mc
∞ =
{
ψ ∈ M+
∞ : α(ψ; t) ↓ 0, 0 < K1 < ψ(t)/|ψ′(t)| < K2 <∞
}
(1.6)
i
M′′
∞ =
{
ψ ∈ M+
∞ : ψ(t)/|ψ′(t)| ↓ 0
}
. (1.7)
Зазначимо, що природними представниками множин M ′
∞,M
c
∞ i M′′
∞ є функцiї
exp(−βts), β > 0, у випадках, коли s ∈ (0, 1), s = 1 та s > 1 вiдповiдно.
2. Основними результатами роботи є такi твердження.
Теорема 2.1. Якщо функцiя ψ належить множинi M′
∞, а величина Gn(ψ; r)
означається рiвнiстю (1.2), то для будь-якого r ∈ (0, 1] справджується порядкова
при n→∞ рiвнiсть
Gn(ψ; r) � ψ(n+ 1)
(η(ψ;n)− n)1/r−1
. (2.1)
Тут i далi пiд виразом „a(n) � b(n) при n → ∞” розумiється, що iснують
сталi K1 та K2, 0 < K1 < K2, такi, що при всiх n, бiльших за деяке число n0,
виконується нерiвнiсть
K1a(n) ≤ b(n) ≤ K2a(n).
Теорема 2.2. Якщо функцiя ψ належить множинi Mc
∞ або M ′′
∞, а величина
Gn(ψ; r) означається рiвнiстю (1.2), то для будь-якого r ∈ (0, 1] справджується
порядкова при n→∞ рiвнiсть
Gn(ψ; r) � ψ(n+ 1). (2.2)
З теорем 2.1 та 2.2 з урахуванням спiввiдношення (1.3) отримуємо такий наслi-
док.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1406 А. Л. ШИДЛIЧ
Наслiдок 2.1. Нехай послiдовнiсть α = {αk}∞k=1 така, що при довiльному
k ∈ N ᾱ2
k = ψ(k), де ψ — деяка функцiя з множини M′
∞, Mc
∞ або M ′′
∞. Тодi має
мiсце порядкова при n→∞ рiвнiсть
dn(Oα,H) � ᾱn+1,
де ᾱ = {ᾱk}∞k=1 — спадна перестановка послiдовностi |αk|.
При r ∈ (1,∞) функцiонали Gn(ψ, r) задаються рiвнiстю
Gn(ψ, r) :=
(l∗ − n)s
(
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
)−s/r
+
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k)
1/s
, (2.3)
де r ∈ (1,∞), 1/r + 1/s = 1, а число l∗ = l∗(n) визначається спiввiдношенням
ψ−r(l∗) ≤ 1
l∗ − n
l∗∑
k=1
ψ−r(k) < ψ−r(l∗ + 1). (2.4)
При цьому припускаємо, що
‖ψ‖ls :=
( ∞∑
k=1
ψs(k)
)1/s
< +∞. (2.5)
Слiд зазначити, що якщо в термiнах величин вигляду (1.2) в роботах [5, 6] сфор-
мульовано точнi значення найкращих n-членних наближень q-елiпсоїдiв у прос-
торах Spϕ при r =
q
p
∈ (0, 1], то в термiнах величин вигляду (2.3) в [7] (гл. XI)
сформульовано точнi значення цих величин у випадку, коли r =
q
p
∈ (1,∞).
Зазначимо також, що якщо ψ ∈ M+
∞, то (див., наприклад, [10, c. 535]) для
довiльного r > 0 знайдеться число K > 0 таке, що для будь-якого t ≥ 1
ψ(t) ≤ Kt−r.
Тому для будь-якої функцiї ψ ∈ M+
∞ ряд у правiй частинi спiввiдношення (2.5)
збiгається, i, отже, величини Gn(ψ, r) мають сенс.
Сформулюємо аналоги теорем 2.1 та 2.2 для величин вигляду (2.3). Як i в цих
теоремах, будемо вибирати функцiї ψ з пiдмножин M′
∞,M
c
∞ та M′′
∞ множини M+
∞.
Теорема 2.3. Якщо функцiя ψ належить множинi M′
∞, а величина Gn(ψ; r)
означається рiвнiстю (2.3), то для будь-якого r ∈ (1,∞) справджується порядко-
ва при n→∞ рiвнiсть
Gn(ψ; r) � ψ(n+ 1)(η(ψ;n)− n)1−1/r. (2.6)
Теорема 2.4. Якщо функцiя ψ належить множинi Mc
∞ або M ′′
∞, а величина
Gn(ψ; r) означається рiвнiстю (2.3), то для будь-якого r ∈ (1,∞) справджується
порядкова при n→∞ рiвнiсть
Gn(ψ; r) � ψ(n+ 1). (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1407
3. Застосування отриманих результатiв до оцiнок найкращих n-членних
наближень q-елiпсоїдiв у просторах Sp
ϕ. Як вже зазначалось, у термiнах ве-
личин Gn(ψ, r) виражаються розв’язки низки вiдомих екстремальних задач. Тому
отриманi порядковi рiвностi для цих величин можна використати i при знаходженнi
порядкiв таких розв’язкiв. Як приклад таких застосувань знайдемо точнi порядковi
рiвностi для величин найкращих n-членних наближень q-елiпсоїдiв у просторах Spϕ.
Нехай X — деякий лiнiйний комплексний простiр, ϕ = {ϕk}∞k=1 — фiксована
злiченна лiнiйно незалежна система в ньому i будь-якiй парi x, y ∈ X, в якiй хоча б
один iз елементiв належить до ϕ, поставлено у вiдповiднiсть число (x, y) так, що
виконуються умови:
1) (x, y) = (y, x), де z — число, комплексно-спряжене з z;
2) (λx1 + µx2, y) = λ(x1, y) + µ(x2, y), λ, µ — довiльнi числа;
3) (ϕk, ϕl) =
{
0, k 6= l;
1, k = l.
Тобто визначено скалярний добуток елементiв простору X на елементи системи ϕ.
Кожному елементу x ∈ X ставиться у вiдповiднiсть система чисел x̂ϕ(k) таких,
що
x̂ϕ(k) = (x, ϕk), k = 1, 2, . . . , k ∈ N,
i при даному фiксованому p ∈ (0,∞) розглядають множини
Spϕ = Spϕ(X) :=
{
x ∈ X :
∞∑
k=1
∣∣∣∣x̂ϕ(k)
∣∣∣∣p <∞
}
. (3.1)
При цьому елементи x, y ∈ Spϕ вважаються тотожними, якщо для будь-якого k ∈ N
виконується рiвнiсть x̂ϕ(k) = ŷϕ(k).
Нульовим елементом простору Spϕ називається елемент θ, для якого θ̂ϕ(k) = 0
при всiх k ∈ N. Величина
‖ x‖p,ϕ :=
( ∞∑
k=1
∣∣∣∣x̂ϕ(k)
∣∣∣∣p
)1/p
, x ∈ Spϕ, (3.2)
називається ϕ-нормою елемента x.
Вiдомо (див., наприклад, [7], гл. XI), що множина Spϕ утвopює лiнiйний пpocтip.
Пpи p ≥ 1 функцiонал ‖·‖, oзнaчений piвнicтю (3.2), задовольняє вci aкcioми нopми,
а пpи p ∈ (0, 1) — квазiнорми. Тому при p ≥ 1 Spϕ — лiнiйний нopмoвaний пpocтip,
а при p ∈ (0, 1) — простiр з квазiнормою.
Простори Spϕ були введенi в 2000 р. О. I. Степанцем [12] (див. також [5, 6], [7],
гл. XI). Цi простори при p = 2 за умови їх повноти є гiльбертовими. При iнших
p ∈ (0,∞) вони наслiдують низку важливих властивостей гiльбертових просто-
рiв, зокрема рiвнiсть Парсеваля у виглядi рiвностi (3.2) та мiнiмальну властивiсть
частинних сум Фур’є.
Слiд також зазначити, що в окремих випадках такi простори зустрiчались i
ранiше (див., наприклад, [13] (гл. I), [14]).
Об’єктами наближень у просторах Spϕ є класи ψ-iнтегралiв всiх елементiв, якi
належать одиничним кулям Upϕ цих просторiв. Поняття ψ-iнтеграла в Spϕ вводиться
таким чином [7].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1408 А. Л. ШИДЛIЧ
Нехай ψ = {ψk}, k = 1, 2, . . . , — дoвiльнa система комплексних чиceл i f —
деякий елемент простору Spϕ, формальний pяд Фуp’є за системою ϕ якoгo має
вигляд
S[f ]ϕ =
∞∑
k=1
f̂ϕ(k)ϕk.
Якщо у просторi X iснує елемент F, для якoгo
S[F ]ϕ =
∞∑
k=1
ψkf̂ϕ(k)ϕk,
тoбтo якщо F̂ϕ(k) = ψkf̂ϕ(k), k ∈ N, тo елемент F називають ψ-iнтeгpaлoм еле-
ментa f i записують F = J ψf. Якщо N — дeякa пiдмнoжинa з X, тo мнoжину
ψ-iнтeгpaлiв вcix елементiв з N позначають чepeз ψN. Зoкpeмa, ψSpϕ — мнoжинa
ψ-iнтeгpaлiв всiх елементiв, щo нaлeжaть дo Spϕ.
Нехай Upϕ — oдинична куля у пpocтopi Spϕ:
Upϕ := {f ∈ Spϕ : ‖f‖p ≤ 1}.
Toдi ψUpϕ — мнoжинa ψ-iнтeгpaлiв вcix елементiв з Upϕ. Слiд зазначити, що коли
простiр Spϕ є повним i виконується умова
ψk 6= 0 ∀k ∈ N, (3.3)
то
ψUpϕ =
{
f ∈ Spϕ :
∞∑
k=1
∣∣∣∣ f̂ϕ(k)
ψk
∣∣∣∣p ≤ 1
}
,
тобто множина ψUpϕ є p-елiпсоїдом у просторi Spϕ, пiвосi якого дорiвнюють |ψk|.
Нехай, далi, n ∈ N, γn — довiльний набiр iз n натуральних чисел i
Pγn =
∑
k∈γn
αkϕk,
де αk — деякi комплекснi числа.
Розглянемо наступнi величини:
en(f)ϕ,p := inf
αk,γn
‖f − Pγn
‖ϕ,p, f ∈ Spϕ,
en(N)ϕ,p := sup
f∈N
en(f)ϕ,p, N ⊂ Spϕ,
та
Dn(N)ϕ,p := inf
γn
sup
f∈N
inf
αk
‖f − Pγn
‖ϕ,p.
Величини en(f)ϕ,p та en(N)ϕ,p називаються найкращим n-членним наближенням у
просторi Spϕ вiдповiдно елемента f ∈ Spϕ та множини N ⊂ Spϕ. Величину Dn(N)ϕ,p
називають базисним поперечником множини N у просторi Spϕ.
У випадку, коли N = ψUqϕ, точнi значення величин en(N)ϕ,p та Dn(N)ϕ,p при
всiх 0<p, q<∞ були знайденi О. I. Степанцем [5, 6, 15], [7] (гл. XI). Для цих
значень мають мiсце наступнi твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1409
Теорема 3.1 [7] (гл. XI). Нехай ψ = {ψk}∞k=1 — система чисел, яка задоволь-
няє умови (3.3) та
lim
k→∞
ψk = 0, (3.4)
p i q — довiльнi числа такi, що 0 < q ≤ p < ∞. Тодi при будь-якому n ∈ N
справджуються рiвностi
Dn(ψUqϕ)ϕ,p = ψ̄n+1 (3.5)
та
epn(ψ U
q
ϕ)ϕ,p = sup
l>n
(l − n)
(
l∑
k=1
ψ̄−qk
)−p/q
= (l∗ − n)
(
l∗∑
k=1
ψ̄−qk
)−p/q
, (3.6)
де ψ̄ =
{
ψ̄k
}∞
k=1
— спадна перестановка послiдовностi {|ψk|}∞k=1, а l∗ — деяке
натуральне число.
Теорема 3.2 [7] (гл. XI). Нехай числа p i q такi, що 0 < p < q < ∞, ψ =
= {ψk}∞k=1 — фiксована система комплексних чисел, для якої
‖ψ‖l pq
q−p
=
( ∞∑
k=1
|ψk|
pq
q−p
)(q−p)/pq
<∞ (3.7)
i виконується умова (3.3). Тодi при кожному n ∈ N справджуються рiвностi
Dn(ψ Uqϕ)ϕ,p =
( ∞∑
k=n+1
ψ̄
p q
q−p
k
)(q−p)/p q
(3.8)
та
epn(ψ U
q
ϕ)ϕ,p = σ̄
−p/q
1
[
(l∗ − n)
q
q−p + σ̄
p
q−p
1 σ̄2
](q−p)/q
, (3.9)
де
σ̄1 = σ̄1(l∗) =
l∗∑
k=1
ψ̄−qk , σ̄2 = σ̄2(l∗) =
∞∑
k=l∗+1
ψ̄
pq/(q−p)
k ,
ψ̄ = {ψ̄k}∞k=1 — спадна перестановка послiдовностi
{
|ψk|
}∞
k=1
, а число l∗ вибрано
з умови
ψ̄−ql∗ ≤ 1
l∗ − n
l∗∑
k=1
ψ̄−qk < ψ̄−ql∗+1.
Таке число l∗ завжди iснує i єдине.
Зауважимо, що умови (3.4) та (3.7) забезпечують у вiдповiдних випадках вкла-
дення ψUqϕ ⊂ Spϕ. При цьому у випадку, коли 0 < p < q, умова (3.7) є не лише
достатньою для такого вкладення, але й необхiдною.
Враховуючи означення функцiоналiв Gn(ψ, r), рiвностi (3.6) та (3.9) можна
записати у виглядi
epn(ψ U
q
ϕ)ϕ,p = Gn(ψ1, q/p),
де ψ1(k) = ψ̄pk, 0 < p, q <∞.
Звiдси на пiдставi теорем 2.1 – 2.4 випливають такi твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1410 А. Л. ШИДЛIЧ
Твердження 3.1. Нехай 0 < p, q <∞ i послiдовнiсть ψ = {ψk}∞k=1 така, що
при всiх натуральних k ї ї спадна перестановка задовольняє рiвнiсть ψ̄k = ψ1(k),
де ψ1 — деяка функцiя з множини M′
∞. Тодi справджується порядкова при n→∞
рiвнiсть
en(ψUqϕ)ϕ,p �
ψ1(n+ 1)
(η(ψ1, n)− n)1/q−1/p
.
Твердження 3.2. Нехай 0 < p, q <∞ i послiдовнiсть ψ = {ψk}∞k=1 така, що
при всiх натуральних k ї ї спадна перестановка задовольняє рiвнiсть ψ̄k = ψ1(k),
де ψ1 — деяка функцiя з множини Mc
∞ або M ′′
∞. Тодi має мiсце порядкова при
n→∞ рiвнiсть
en(ψUqϕ)ϕ,p � ψ1(n+ 1).
Швидкiсть прямування до нуля величин Dn(ψ Uqϕ)ϕ,p при 0 < q ≤ p визнача-
ється рiвнiстю (3.5). Якщо ж 0 < p < q, то порядковi рiвностi для цих величин
випливають з наступних тверджень, доведення яких буде наведено у п. 4.
Твердження 3.3. Нехай 0 < p < q < ∞ i послiдовнiсть ψ = {ψk}∞k=1
така, що при всiх натуральних k її спадна перестановка задовольняє рiвнiсть
ψ̄k = ψ1(k), де ψ1 — деяка функцiя з множини M′
∞. Тодi справджується порядкова
при n→∞ рiвнiсть
Dn(ψ Uqϕ)ϕ,p � ψ1(n+ 1)(η(ψ1, n)− n)1/p−1/q.
Твердження 3.4. Нехай 0 < p < q < ∞ i послiдовнiсть ψ = {ψk}∞k=1
така, що при всiх натуральних k її спадна перестановка задовольняє рiвнiсть
ψ̄k = ψ1(k), де ψ1 — деяка функцiя з множини Mc
∞ або M ′′
∞. Тодi має мiсце
порядкова при n→∞ рiвнiсть
Dn(ψ Uqϕ)ϕ,p � ψ1(n+ 1).
Порiвнюючи порядковi рiвностi для величин en(ψUqϕ)ϕ,p та Dn(ψ Uqϕ)ϕ,p, ба-
чимо, що у випадку, коли 0 < q < p, а послiдовнiсть ψ = {ψk}∞k=1 така, що при
всiх натуральних k її спадна перестановка задовольняє рiвнiсть ψ̄k = ψ1(k), де ψ1
— деяка функцiя з множини M′
∞,
lim
n→∞
en(ψUqϕ)ϕ,p
Dn(ψ U
q
ϕ)ϕ,p
= 0.
Якщо ж 0 < p ≤ q або функцiя ψ1 належить множинам Mc
∞ чи M ′′
∞ i 0 < p,
q <∞, то має мiсце порядкова рiвнiсть
en(ψUqϕ)ϕ,p � Dn(ψ Uqϕ)ϕ,p, n→∞.
4. Доведення теорем. У даному пунктi доведемо теореми 2.1 – 2.4, але перед
цим сформулюємо низку допомiжних тверджень.
4.1. Деякi допомiжнi вiдомостi. Наведемо деякi допомiжнi вiдомостi про
функцiї з множини M, якi будуть використовуватися далi.
Згiдно з (1.4) для кожної функцiї ψ ∈ M має мiсце рiвнiсть
η ′(ψ; t) =
ψ′(t)
2ψ′(η(t))
, t ≥ 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1411
з якої випливає, що
η′(ψ; t) ≥ 1
2
, t ≥ 1.
Приклади функцiй ψ(t) = t−r, r > 0 i ψ(t) = ln−ε(t + e), ε > 0, показують, що
величина η ′(ψ; t) для рiзних функцiй ψ ∈ M може бути як обмеженою зверху, так i
необмеженою. У зв’язку з цим розглядають множину (див., наприклад, [с. 164 – 166;
9])
F =
{
ψ ∈ M : η′(ψ; t) ≤ K
}
.
Множина F має низку специфiчних властивостей. Наведемо деякi з них.
Твердження 4.1 [9, с 694]. Має мiсце вкладення
MC ∪M+
∞ ⊆ F. (4.1)
Твердження 4.2 [9, с 694]. Для того щоб функцiя ψ ∈ M належала до F,
необхiдно i достатньо, щоб при всiх t ≥ 1 виконувалось спiввiдношення
K1|ψ′(t)|(η(t)− t) ≤ ψ(t) ≤ K2
∣∣ψ′(η(t))∣∣(η(t)− t), η(t) = η(ψ, t). (4.2)
Зауваження 4.1 [9, с 695]. Якщо покласти λ(t) := ψ(t)/|ψ′(t)|, то з (4.2) ви-
пливає, що
K1(η(t)− t) ≤ λ(t) ≤ K2(η(t)− t), η(t) = η(ψ, t) ∀ψ ∈ F. (4.3)
Твердження 4.3 [9, с 695]. Для того щоб функцiя ψ ∈ M належала до F,
необхiдно i достатньо, щоб при всiх t ≥ 1 виконувалась нерiвнiсть
η(η(t))− η(t)
η(t)− t
≤ K, η(t) = η(ψ; t). (4.4)
Зауваження 4.2 [9, с 695]. Оскiльки для довiльної функцiї ψ ∈ M має мiсце
оцiнка η′(ψ; t) ≥ 1
2
, то, оцiнюючи знизу iнтеграл у спiввiдношеннi
η(η(t))− η(t) =
η(t)∫
t
η′(τ)dτ, η(t) = η(ψ; t),
робимо висновок, що для будь-якого t ≥ 1
η(η(t))− η(t)
η(t)− t
≥ 1
2
∀ψ ∈ M. (4.5)
Таким чином, згiдно з (4.4) i (4.5) при всiх t ≥ 1
2(η(t)− t) ≤ η(η(t))− η(t) ≤ K(η(t)− t) ∀ψ ∈ F.
Встановимо ще деякi допомiжнi твердження, якi характеризують функцiї з мно-
жини M+
∞.
Твердження 4.4. Якщо функцiя ψ належить множинi M ′
∞ або Mc
∞, то для
будь-якого c > 0 iснує число Kc > 0 таке, що при всiх t ≥ 1 справджується
нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(t+ c)
≤ Kc. (4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1412 А. Л. ШИДЛIЧ
Доведення. Якщо функцiя ψ належить множинi M ′
∞ або Mc
∞, то при всiх
t ≥ 1 виконується нерiвнiсть
|ψ′(t)|
ψ(t)
≤ K, (4.7)
де K — деяка додатна стала. Звiдси для будь-яких c > 0 та t ≥ 1 маємо
t+c∫
t
|ψ′(τ)|
ψ(τ)
dτ ≤ K c.
З iншого боку,
t+c∫
t
|ψ′(τ)|
ψ(τ)
dτ = −
t+c∫
t
ψ′(τ)
ψ(τ)
dτ = ln
ψ(t)
ψ(t+ c)
.
Тому iснує число Kc > 0, яке при всiх t ≥ 1 задовольняє спiввiдношення (4.6).
Твердження 4.5. Якщо функцiя ψ належить множинi M ′
∞ або Mc
∞, то для
будь-якого c > 0 iснують числа Kc,1, Kc,2 > 0 такi, що при всiх t ≥ 1
Kc,1 ≤
η(ψ; t)− t
η(ψ; t+ c)− (t+ c)
≤ Kc,2. (4.8)
Доведення. На пiдставi (4.1) та (4.3) для будь-якої функцiї ψ з множини M+
∞
має мiсце нерiвнiсть
K1
K2
ψ(t)
|ψ′(t)|
|ψ′(t+ c)|
ψ(t+ c)
≤ η(ψ; t)− t
η(ψ; t+ c)− (t+ c)
≤
≤ K2
K1
ψ(t)
|ψ′(t)|
|ψ′(t+ c)|
ψ(t+ c)
. (4.9)
Тому для функцiй ψ з множини Mc
∞ внаслiдок (1.6) iснування сталих Kc,1, Kc,2 >
> 0, що задовольняють спiввiдношення (4.8), є очевидним.
Якщо ж ψ ∈ M ′
∞, то величина ψ(t)/|ψ′(t)| монотонно зростає, i тому
η(ψ; t)− t
η(ψ; t+ c)− (t+ c)
≤ K2
K1
ψ(t)
|ψ′(t)|
|ψ′(t+ c)|
ψ(t+ c)
≤ K2
K1
. (4.10)
З iншого боку, оскiльки для будь-якої функцiї ψ ∈ M+
∞ величина α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
монотонно прямує до нуля, то з урахуванням (4.9) отримуємо
η(ψ; t)− t
η(ψ; t+ c)− (t+ c)
≥ K1
K2
t
t+ c
α(ψ; t)
α(ψ; t+ c)
≥ K1
K2(1 + c)
. (4.11)
Об’єднуючи (4.10) та (4.11), робимо висновок, що i в цьому випадку iснують сталi
Kc,1, Kc,2 > 0 такi, що при всiх t ≥ 1 виконується спiввiдношення (4.8).
Твердження 4.6. Якщо ψ ∈ M′′
∞, то для будь-яких чисел c > 0 i K > 0 при
всiх достатньо великих t
ψ(t)
ψ(t+ c)
≥ K. (4.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1413
Дiйсно, якщо ψ ∈ M ′′
∞, то для довiльної сталої Kc > 0 при всiх достатньо
великих t виконується нерiвнiсть |ψ′(t)|/ψ(t) ≥ Kc. Тому при Kc =
lnK
c
для
таких t будемо мати
ln
ψ(t)
ψ(t+ c)
=
t+c∫
t
|ψ′(τ)|
ψ(τ)
dτ ≥ Kc c =
lnK
c
c = lnK,
i спiввiдношення (4.12) доведено.
Для встановлення порядкiв величин Gn(ψ; r) у випадку, коли функцiя ψ нале-
жить множинi M ′
∞, також суттєво використовуються отриманi в роботi [10] (див.
також [11] (п. 10)) результати, якi стосуються iнтегральних аналогiв цих величин.
Твердження 4.7 [10, с. 534]. Якщо функцiя ψ належить множинi M ′
∞, то
для довiльного r ∈ (0, 1]
Gσ(ψ, r) := sup
l>σ
l − σ(∫ l+1
1
dt
ψ(t)
)1/r � ψ1/r(σ + 1)
(η(ψ;σ + 1)− σ − 1)1/r−1
, σ →∞.
У випадку, коли r ∈ (1,∞), будемо застосовувати також двi порядковi рiвностi,
якi виконуються для довiльної функцiї ψ ∈ M ′
∞ i отриманi в роботi [10] (див.
вiдповiдно спiввiдношення (72) та (81)):
l∫
1
dt
ψr(t)
� η(ψ; l)− l
ψr(l)
, l→∞, (4.13)
i
∞∫
l
ψ s(t) dt � ψ s(l)(η(ψ; l)− l), l→∞,
1
r
+
1
s
= 1. (4.14)
4.2. Доведення теореми 2.1. Нехай функцiя ψ належить множинi M ′
∞. Для
будь-яких n ∈ N та l > n покладемо
Fn(l) =
l − n(∫ l+1
1
dt
ψr(t)
)1/r i Hn(l) =
[l]− n(∑[l]
k=1
1
ψr(k)
)1/r , (4.15)
де [l] — цiла частина числа l.
З огляду на нерiвнiсть
l−1∫
1
dt
ψr(t)
≤
[l]∑
k=1
1
ψr(k)
≤
l+1∫
1
dt
ψr(t)
,
яка виконується при будь-якому l > 2, маємо Fn+1(l) ≤ Hn(l) ≤ Fn−2(l − 2).
Звiдси випливає, що
sup
l>n
Fn+1(l) ≤ sup
l>n
Hn(l) ≤ sup
l>n
Fn−2(l − 2). (4.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1414 А. Л. ШИДЛIЧ
Далi, оскiльки
(ψr(t))′ = rψr−1(t)ψ′(t) = −rψr(t) |ψ
′(t)|
ψ(t)
i
ψr(t)∣∣(ψr(t))′∣∣ =
1
r
ψ(t)
|ψ′(t)|
, t ≥ 1, (4.17)
то для довiльної функцiї ψ з множини M ′
∞ її r-й степiнь ψr(·) теж належить цiй
множинi. Тому на пiдставi твердження 4.7 при n→∞
sup
l>n
Fn+1(l) ≥ sup
l>n+1
Fn+1(l) �
ψ(n+ 2)
(η(ψr;n+ 2)− n− 2)1/r−1
(4.18)
i
sup
l>n
Fn−2(l − 2) � ψ(n− 2)
(η(ψr;n− 1)− n+ 1)1/r−1
. (4.19)
При цьому за твердженнями 4.4 та 4.5 величини у правих частинах спiввiдношень
(4.18) та (4.19) рiвнi за порядком:
ψ(n+ 2)
(η(ψr;n+ 2)− n− 2)1/r−1
�
� ψ(n− 2)
(η(ψr;n− 1)− n+ 1)
1
r−1
� ψ(n+ 1)
(η(ψr, n)− n)1/r−1
, n→∞. (4.20)
Крiм того, на пiдставi (4.3) i (4.17) робимо висновок, що
η(ψr, n)− n � η(ψ, n)− n, n→∞. (4.21)
Таким чином, внаслiдок (4.15), (4.16), (4.18) – (4.21) отримуємо спiввiдношен-
ня (2.1):
Gn(ψ; r) = sup
l>n
Hn(l) �
ψ(n+ 1)
(η(ψ, n)− n)1/r−1
.
4.3. Доведення теореми 2.2. Нехай функцiя ψ належить множинi Mc
∞ або
M′′
∞. Тодi внаслiдок спiввiдношень (4.17), (1.16) та (1.17) iснує стала K1 > 0 така,
що при будь-якому t ≥ 1
ψr(t) ≤ K1
∣∣(ψr(t))′∣∣. (4.22)
Тому при всiх натуральних s справджується спiввiдношення
1
ψr(l)
≤
l∑
k=1
1
ψr(k)
≤ 1
ψr(l)
+
l∫
1
dt
ψr(t)
≤ 1
ψr(l)
+K1
l∫
1
|(ψr(t))′|
ψ2r(t)
dt =
=
1
ψr(l)
+K1
(
1
ψr(l)
− 1
ψr(1)
)
≤ K2
ψr(l)
, (4.23)
де K2 — деяка додатна стала.
При довiльних натуральних n та l, l > n, розглянемо функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1415
Hn(l) =
l − n(∑l
k=1
1
ψr(k)
)1/r i Fn(l) = ψ(l)(l − n).
На пiдставi (4.23) робимо висновок, що при всiх натуральних n та l, l > n,
K
−1/r
2 Fn(l) ≤ Hn(l) ≤ Fn(l),
i тому
K
−1/r
2 sup
l∈N, l>n
Fn(l) ≤ Gn(ψ; r) = sup
l∈N, l>n
Hn(l) ≤ sup
l∈N, l>n
Fn(l). (4.24)
Похiдна функцiї Fn(l) має вигляд
F ′n(l) = ψ ′(l)(l − n) + ψ(l) = |ψ′(l)|
(
ψ(l)
|ψ ′(l)|
− (l − n)
)
.
У випадку, коли функцiя ψ належить множинi M′′
∞, величина ψ(t)/|ψ ′(t)| моно-
тонно прямує до нуля при t→∞. В такому разi при всiх n, бiльших за деяке число
n0, та l > n виконується нерiвнiсть F ′
n(l) < 0. Тому для таких n функцiя Fn(l)
спадає при всiх l > n, i її найбiльше значення на множинi всiх натуральних чисел
l > n досягається у точцi l = n+ 1 та дорiвнює ψ(n+ 1):
sup
l∈N, l>n
Fn(l) = Fn(n+ 1) = ψ(n+ 1), n > n0.
Звiдси з огляду на (4.24) робимо висновок, що має мiсце спiввiдношення (2.2):
Gn(ψ; r) � sup
l∈N, l>n
Fn(l) � ψ(n+ 1), n→∞.
Якщо ж ψ ∈ Mc
∞, то внаслiдок нерiвностi (4.22) при всiх l > n+K1 виконується
нерiвнiсть F ′
n(l) < 0 i, отже, функцiя Fn(l) спадає. Таким чином, найбiльше значен-
ня функцiї Fn(l) на множинi всiх натуральних чисел l > n досягається у деякiй
точцi n+ c, де c = c(n) — деяке натуральне число, менше за K1 + 1:
sup
l∈N, l>n
Fn(l) = Fn(n+ c) = c ψ(n+ c). (4.25)
Далi, оскiльки функцiя ψ належить множинi Mc
∞, то внаслiдок спiввiдношен-
ня (4.6) iснує стала K3 = K3(c) > 0 така, що при всiх t ≥ 1
ψ(t+ c) ≤ ψ(t+ 1) ≤ K3ψ(t+ c). (4.26)
На пiдставi спiввiдношень (4.24) – (4.26) робимо висновок, що i у випадку, коли
ψ ∈ Mc
∞, має мiсце спiввiдношення (2.2):
Gn(ψ; r) � sup
l∈N, l>n
Fn(l) � ψ(n+ c) � ψ(n+ 1), n→∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1416 А. Л. ШИДЛIЧ
4.4. Доведення теореми 2.3 проведемо за схемою доведення теореми 4 з
роботи [10]. При цьому будемо здебiльшого використовувати методи, розробленi
в [10].
Покажемо спочатку, що справджується порядкова рiвнiсть
l∑
k=1
1
ψr(k)
� η(ψ; l)− l
ψr(l)
, l→∞. (4.27)
Справдi, при будь-якому натуральному l
l∫
1
dt
ψr(t)
≤
l∑
k=1
1
ψr(k)
≤
l+1∫
1
dt
ψr(t)
.
Звiдси внаслiдок (4.13) випливає, що iснують сталi K1, K2 > 0 такi, що при всiх
достатньо великих натуральних l
K1
η(ψ; l)− l
ψr(l)
≤
l∑
k=1
1
ψr(k)
≤ K2
η(ψ; l + 1)− l − 1
ψr(l + 1)
. (4.28)
Оскiльки ψ ∈ M ′
∞, то на пiдставi тверджень 4.4 та 4.5 робимо висновок, що
величини
η(ψ; l)− l
ψr(l)
i
η(ψ; l + 1)− l − 1
ψr(l + 1)
,
якi обмежують суму
∑l
k=1
1
ψr(k)
в (4.28), мають однаковий порядок i, отже,
справджується спiввiдношення (4.27).
З рiвностi (2.4) внаслiдок твердження 4.4 випливає порядкова рiвнiсть
(l∗ − n)
(∑l∗
k=1
1
ψr(k)
)−1
� ψr(l∗), n→∞, (4.29)
Тому, якщо довести, що
ψ(l∗) � ψ(n), n→∞, (4.30)
то тим самим буде оцiнено величину в лiвiй частинi спiввiдношення (4.29).
Внаслiдок монотонностi функцiї ψ завжди ψ(n) ≥ ψ(l∗), тому для доведення
(4.30) досить переконатись, що iснує стала K3 > 0 така, що
ψ(n) ≤ K3ψ(l∗). (4.31)
Iз спiввiдношення (4.27) випливає, що iснує стала K4 > 0 така, що при всiх
натуральних l виконується нерiвнiсть
l∑
k=1
1
ψr(k)
≤ K4
η(ψ; l)− l
ψr(l)
. (4.32)
Виберемо натуральне число k0 = k0(K4), k0 > 3, таке, що
2k0−2 − 1
K4
≥ 1, (4.33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1417
i покажемо, що l∗ < nk0+1, де {nk}∞k=0 — зростаюча послiдовнiсть чисел таких,
що n0 := n, а при довiльному k ∈ N nk := η(ψ;nk−1). Звiдси буде випливати, що
ψ(l∗) ≥ ψ(nk0+1) = ψ(n)/2k0+1,
i, отже, справджуються спiввiдношення (4.31) та (4.30).
Розглянемо функцiю
Φ(l) :=
l∑
k=n+1
(
1
ψr(l)
− 1
ψr(k)
)
, l > n, l ∈ N. (4.34)
Ця функцiя додатна i не спадає при l > n. Тому якщо буде показано, що при
l = [nk0+1] має мiсце спiввiдношення
n∑
k=1
1
ψr(k)
< Φ(l), (4.35)
то таке ж спiввiдношення виконуватиметься i при довiльних l > [nk0+1]. Звiдси
випливатиме, що при довiльних l > [nk0+1]
l∑
k=1
1
ψr(k)
<
l − n
ψr(l)
або
l − n∑l
k=1
1
ψr(k)
> ψr(l).
Тодi, зважаючи на те, що згiдно з означенням числа l∗
l∗ − n∑l∗
k=1
1
ψr(k)
≤ ψr(l∗),
будемо мати l∗ < [nk0+1] < nk0+1.
Оскiльки ψ ∈ M ′
∞ ⊂ M+
∞ ⊂ F, то внаслiдок (1.5) i (4.3) величина η(ψ; t) − t
прямує до нескiнченностi. Тому при всiх t, бiльших за деяке число t0, виконується
нерiвнiсть η(ψ; t) − t > 1. Тодi якщо n > t0, то для будь-якого натурального k
виконується спiввiдношення
[nk] > nk − 1 = η(ψ;nk−1)− 1 > nk−1. (4.36)
На пiдставi спiввiдношень (4.34) i (4.36) для довiльного n > t0 маємо
Φ([nk0+1]) =
[nk0+1]∑
k=n+1
(
1
ψr
(
[nk0+1]
) − 1
ψr(k)
)
≥
≥
[nk0+1]∫
n+1
(
1
ψr([nk0+1])
− 1
ψr(t)
)
dt ≥
nk0∫
n1
(
1
ψr(nk0)
− 1
ψr(t)
)
dt. (4.37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1418 А. Л. ШИДЛIЧ
З огляду на те, що для кожного k = 3, 4, . . .
nk∫
n1
(
1
ψr(nk)
− 1
ψr(t)
)
dt ≥ (2k−2 − 1)
n2 − n1
ψr(n1)
=
= (2k−1 − 2)
η(ψ; η(ψ;n))− η(ψ;n)
ψr(n)
(в чому легко переконатися, зробивши малюнок), враховуючи спiввiдношення (4.5),
(4.32) та (4.33), iз (4.37) отримуємо
Φ([nk0+1]) ≥ (2k0−1 − 2)
η(ψ; η(ψ;n))− η(ψ;n)
ψr(n)
≥
≥ (2k0−2 − 1)
η(ψ;n)− n
ψr(n)
≥ 2k0−2 − 1
K4
n∑
k=1
1
ψr(k)
≥
n∑
k=1
1
ψr(k)
.
Тобто нерiвнiсть (4.35) при s = [nk0+1] виконується i, отже, l∗ < [nk0+1] < nk0+1.
Тому
ψ(n) ≥ ψ(l∗) ≥ ψ(nk0+1) = ψ(n)/2k0+1,
тобто дiйсно спiввiдношення (4.30) виконується.
Покажемо тепер, що
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
� η(ψ;n)− n
ψr(n)
, n→∞. (4.38)
На пiдставi (4.27) i того, що l∗ > n, маємо
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
≥
n∑
k=1
1
ψr(k)
≥ K5
η(ψ;n)− n
ψr(n)
. (4.39)
З iншого боку, l∗ ≤ [nk0+1], i тому, враховуючи (4.32), одержуємо
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
≤
[nk0+1]∑
k=1
1
ψr(k)
=
n∑
k=1
1
ψr(k)
+
[nk0+1]∑
k=n+1
1
ψr(k)
≤
≤ K4
η(ψ;n)− n
ψr(n)
+
[nk0+1]− n
ψr([nk0+1])
≤ K4
η(ψ;n)− n
ψr(n)
+
nk0+1 − n
ψr(nk0)
. (4.40)
Оскiльки функцiя ψ належить множинi M+
∞ ⊂ F, то внаслiдок спiввiдношен-
ня (4.4) має мiсце оцiнка
nk0+1 − n
ψr(nk0)
≤ 2rk0
(η(ψ;n)− n)(Kk0 +Kk0−1 + . . .+ 1)
ψr(n)
= K6
η(ψ;n)− n
ψr(n)
.
Пiдставляючи цю оцiнку в (4.40), отримуємо нерiвнiсть
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
≤ K4
η(n)− n
ψr(n)
+K6
η(ψ;n)− n
ψr(n)
= K7
η(ψ;n)− n
ψr(n)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1419
з якої з урахуванням спiввiдношення (4.39) одержуємо (4.38).
Для завершення доведення даної теореми покажемо, що при n→∞
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k) � ψ s(n)(η(ψ;n)− n),
1
r
+
1
s
= 1. (4.41)
Оскiльки для довiльного натурального l
∞∫
l+1
ψ s(t) dt ≤
∞∑
k=l+1
ψ s(k) ≤
∞∫
l
ψ s(t) dt, (4.42)
то внаслiдок (4.14) iснують додатнi сталi K8 та K9 такi, що при всiх достатньо
великих l виконується нерiвнiсть
K8ψ
s(l + 1)(η(ψ; l + 1)− l − 1) ≤
∞∑
k=l+1
ψ s(k) ≤ K9ψ
s(l)(η(ψ; l)− l),
звiдки на пiдставi тверджень 4.4 та 4.5 робимо висновок, що
∞∑
k=l+1
ψ s(k) � ψs(l)(η(ψ; l)− l), l→∞. (4.43)
Звiдси з урахуванням того, що l∗ > n, отримуємо
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k) ≤
∞∑
k=n+1
ψ s(k) � ψ s(n)
(
η(ψ;n)− n
)
. (4.44)
З iншого боку, l∗ < [nk0+1]. Тому внаслiдок (4.42) та (4.36) при всiх n > t0
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k) ≥
∞∑
k=[nk0+1]+1
ψ s(k) ≥
∞∫
[nk0+1]+1
ψ s(t) dt ≥
∞∫
nk0+2
ψ s(t) dt.
Звiдси, враховуючи означення послiдовностi {nk}∞k=0 i спiввiдношення (4.14) та
(4.5), маємо
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k) ≥ K10ψ
s(nk0+2)(η(ψ;nk0+2)− nk0+2) ≥ K11ψ
s(n)(η(ψ;n)− n),
(4.45)
де K10, K11 — деякi додатнi числа.
Об’єднуючи спiввiдношення (4.44) та (4.45), переконуємося, що дiйсно має
мiсце порядкова рiвнiсть (4.41).
Таким чином, на пiдставi спiввiдношень (4.29), (4.30), (4.38), (4.41), рiвностi
1
r
+
1
s
= 1 iз урахуванням твердження 4.4 при n→∞ отримуємо
Gn(ψ; r) =
=
(s∗ − σ)
(
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
)−1
s( l∗∑
k=1
1
ψr(k)
)s−s/r
+
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k)
1/s �
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1420 А. Л. ШИДЛIЧ
�
(
ψrs(n)
(
η(ψ;n)− n
ψr(n)
)s−s/r
+ ψs(n)(η(ψ;n)− n)
)1/s
�
� ψ(n)(η(ψ;n)− n)1/s � ψ(n+ 1)(η(ψ;n)− n)1/s,
i спiввiдношення (2.6) встановлено.
Для доведення твердження 4.3 достатньо покласти s =
pq
q − p
та ψ̄k = ψ(k) i ско-
ристатись спiввiдношеннями (3.8) та (4.43) з урахуванням спiввiдношення (4.21).
4.5. Доведення теореми 2.4. Для спрощення записiв покладемо
Hn(l) :=
l − n∑l
k=1
1
ψr(k)
, l > n, l ∈ N.
Оскiльки для довiльного l > n
Hn(l + 1)− ψr(l + 1) =
l + 1− n∑l+1
k=1
1
ψr(k)
− ψr(l + 1) =
=
l − n+ 1− ψr(l + 1)
∑l
k=1
1
ψr(k)
− ψr(l + 1)
ψr(l + 1)∑l+1
k=1
1
ψr(k)
=
= (Hn(l)− ψr(l + 1))
l∑
k=1
1
ψr(k)
(
l+1∑
i=1
1
ψr(i)
)−1
,
то є рiвносильними нерiвностi
Hn(l) > ψr(l + 1) та Hn(l + 1) > ψr(l + 1),
а також нерiвностi
Hn(l) ≤ ψr(l + 1) та Hn(l + 1) ≤ ψr(l + 1).
Тому на пiдставi означення числа l∗ (спiввiдношення (2.4)) робимо висновок, що
Hn(l∗) = sup
l>n, l∈N
Hn(l). (4.46)
Далi, оскiльки функцiя ψ належить множинi Mc
∞ або M ′′
∞, то при всiх l > 0
має мiсце аналог спiввiдношення (4.23)
1
ψr(l)
≤
l∑
k=1
1
ψr(k)
≤ K1
ψr(l)
, (4.47)
де K1 — деяка додатна стала, з якого випливає, що
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
� 1
ψr(l∗)
, n→∞. (4.48)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1421
При довiльних натуральних n та l, l > n, розглянемо функцiю
Fn(l) = ψr(l)(l − n).
Внаслiдок (4.47) при всiх натуральних n та l, l > n,
K−1
1 Fn(l) ≤ Hn(l) ≤ Fn(l),
i тому
K−1
1 sup
l∈N, l>n
Fn(l) ≤ Hn(l∗) = sup
l∈N, l>n
Hn(l) ≤ sup
l∈N, l>n
Fn(l). (4.49)
Похiдна функцiї Fn(l) має вигляд
F ′n(l) = rψ ′(l)ψr−1(t)(l − n) + ψr(l) = ψr−1(t)|ψ′(l)|
(
ψ(l)
|ψ ′(l)|
− r(l − n)
)
.
У випадку, коли функцiя ψ належить множинi M′′
∞, величина ψ(t)/|ψ ′(t)| моно-
тонно прямує до нуля при t→∞. В такому разi при всiх n, бiльших за деяке число
n0, та всiх l > n виконується нерiвнiсть F ′
n(l) < 0. Тому для таких n функцiя Fn(l)
спадає при всiх l > n, i її найбiльше значення на множинi всiх натуральних чисел
l > n досягається у точцi l = n+ 1 та дорiвнює ψr(n+ 1):
sup
l∈N, l>n
Fn(s) = Fn(n+ 1) = ψr(n+ 1), n > n0.
Звiдси з огляду на (4.49) робимо висновок, що мiсце спiввiдношення
Hn(l∗) = sup
l∈N, l>n
Hn(l) � ψr(n+ 1), n→∞. (4.50)
Якщо ж ψ ∈ Mc
∞, то iснує стала K2 > 0 така, що при всiх l ≥ 1 ψ(l)/|ψ ′(l)| ≤ K2.
Тому при всiх l > n +
K2
r
виконується нерiвнiсть F
′
n(l) < 0 i, отже, функцiя
Fn(l) спадає. Таким чином, найбiльше значення функцiї Fn(l) на множинi всiх
натуральних чисел l > n досягається у деякiй точцi n + c, де c = c(n) — деяке
натуральне число, менше за
K2
r
+ 1:
sup
l∈N, l>n
Fn(l) = Fn(n+ c) = c ψr(n+ c).
Звiдси, враховуючи спiввiдношення (4.49) та (4.6), робимо висновок, що i в цьому
випадку має мiсце спiввiдношення (4.50).
Iз спiввiдношення (4.50) випливає, що iснує стала K3 > 0 така, що при всiх
достатньо великих n
Hn(l∗) ≥ K3ψ
r(n+ 1). (4.51)
З iншого боку, згiдно з означенням числа l∗
Hn(l∗) ≤ ψr(l∗) ≤ ψr(n+ 1). (4.52)
Об’єднуючи нерiвностi (4.51) та (4.52), робимо висновок, що має мiсце порядкова
рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1422 А. Л. ШИДЛIЧ
ψ(l∗) � ψr(n+ 1), n→∞. (4.53)
Для завершення доведення теореми залишилось переконатися, що
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k) � ψ s(n+ 2), n→∞. (4.54)
Для цього покажемо спочатку, що
∞∑
k=l+1
ψ s(k) � ψ s(l + 1), l→∞. (4.55)
Дiйсно, оскiльки, за означенням, для довiльної функцiї ψ з множини Mc
∞ або
M ′′
∞ iснує стала K4 > 0 така, що при всiх t ≥ 1 ψ(t) ≤ K4|ψ′(t)|, то
∞∑
k=l+1
ψ s(k) ≤ ψs(l + 1) +
∞∫
l+1
ψs(t)dt ≤
≤ ψs(l + 1) +K4
∞∫
l+1
ψs−1(t)|ψ′(t)|dt = (1 +K4/s)ψs(l + 1).
З iншого боку, функцiя ψ додатна, тому
∞∑
k=l+1
ψ s(k) ≥ ψ s(l + 1)
i має мiсце порядкова рiвнiсть (4.55).
Iз (4.55) випливає, що
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k) � ψ s(l∗ + 1), n→∞.
Далi, якщо ψ ∈ M ′′
∞, то згiдно з твердженням 4.6 виконання спiввiдношен-
ня (4.53) можливе лише у випадку, коли l∗ = n + 1, i тому має мiсце спiввiд-
ношення (4.54). Якщо ж ψ ∈ Mc
∞, то з урахуванням (4.53) та твердження 4.4
спiввiдношення (4.54) теж виконується.
Таким чином, на пiдставi спiввiдношень (4.46), (4.48), (4.50), (4.53) та (4.54)
при n→∞ отримуємо
Gn(ψ; r) =
=
(l∗ − σ)
(
l∗∑
k=1
1
ψr(k)
)−1
s( l∗∑
k=1
1
ψr(k)
)s−s/r
+
∞∑
k=l∗+1
ψ s(k)
1/s �
�
(
ψrs(n+ 1)
(
1
ψr(n)
)s−s/r
+ ψs(n+ 2)
)1/s
� ψ(n+ 1),
i спiввiдношення (2.7) встановлено.
Для доведення твердження 4.4 достатньо покласти s =
pq
q − p
та ψ̄k = ψ(k) i
скористатись спiввiдношеннями (3.8) та (4.55).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПОРЯДКОВI РIВНОСТI ДЛЯ ДЕЯКИХ ФУНКЦIОНАЛIВ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ... 1423
1. Софман Л. Б. Поперечники бесконечного октаэдра // Вестн. Моск. ун-та. – 1973. — № 5. – C. 54 – 56.
2. Софман Л. Б. Поперечники октаэдров // Мат. заметки. – 1969. – 5, № 4. – C. 429 – 436.
3. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – Berlin etc.: Springer, 1985. – 291 p.
4. Fang Gensun, Qian Lixin. Approximation characteristics for diagonal operators in different computational
settings // J. Approxim. Theory. – 2006. – 140, Issue 2. – P. 178 – 190.
5. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ // Укр. мат. журн. – 2001. –
53, № 3. – C. 392 – 416.
6. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ в разных метриках // Там
же. – № 8. – C. 1121 – 1146.
7. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Тр. Ин–та математики НАН Украины. –
2002. – 40, ч. II. – 468 с.
8. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Там же. – Ч. I. – 427 с.
9. Степанец А. И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. – 1999. – 51,
№ 5. – C. 688 – 702.
10. Степанец А. И., Шидлич А. Л. О порядках наилучших приближений интегралов функций с
помощью интегралов ранга σ // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 4. – C. 528 – 559.
11. Степанец А. И., Шидлич А. Л. Экстремальные задачи для интегралов от неотрицательных функ-
ций. – Киев, 2007. – 103 c. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 2007.2).
12. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ. – Киев, 2000. – 52 с. –
(Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 2000.2).
13. Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. – М.: Мир, 1976. – 204 c.
14. Стерлин М. Д. Точные постоянные в обратных теоремах теории приближений // Докл. АН СССР.
– 1972. – 202, № 3. – С. 545 – 547.
15. Степанец А. И. Задачи теории приближений в линейных пространствах // Укр. мат. журн. – 2006.
– 58, № 1. – C. 47 – 92.
Одержано 10.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3110 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:26Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8f/2ac80eaaa2834ed6d9354a0383bf928f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31102020-03-18T19:45:28Z Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths Порядкові рівності для деяких функціоналів та їх застосування до оцінок найкращих $n$-членних наближень та поперечників Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. We study the behavior of functionals of the form $\sup_{l>n} (l-n)\left(∑^l_{k=1} \frac1{ψ^r(k)} \right)^{−1/r}$, where $ψ$ is a positive function, as $n → ∞$: The obtained results are used to establish the exact order equalities (as $n → ∞$) for the best $n$-term approximations of $q$-ellipsoids in metrics of the spaces $S^p_{φ}$: We also consider the applications of the obtained results to the determination of the exact orders of the Kolmogorov widths of octahedra in the Hilbert space. Исследуется поведение при $n → ∞$ те функционалов вида $\sup_{l>n} (l-n)\left(∑^l_{k=1} \frac1{ψ^r(k)} \right)^{−1/r}$, где $ψ$ — некоторая положительная функция. Полученные результаты применяются к нахождению точных порядковых при $n → ∞$ те равенств для величин наилучших $n$-членных приближений $q$-еллипсоидов в метриках пространств $S^p_{φ}$. Рассматриваются также применения полученных результатов к нахождению точных порядков поперечников по Колмогорову октаэдров в гильбертовом пространстве. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3110 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1403-1423 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1403-1423 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3110/2968 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3110/2969 Copyright (c) 2009 Shydlich A. L. |
| spellingShingle | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| title | Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| title_alt | Порядкові рівності для деяких функціоналів та їх застосування до оцінок найкращих $n$-членних наближень та поперечників |
| title_full | Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| title_fullStr | Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| title_full_unstemmed | Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| title_short | Order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| title_sort | order equalities for some functionals and their application to the estimation of the best $n$-term approximations and widths |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3110 |
| work_keys_str_mv | AT shydlichal orderequalitiesforsomefunctionalsandtheirapplicationtotheestimationofthebestntermapproximationsandwidths AT šidlíčal orderequalitiesforsomefunctionalsandtheirapplicationtotheestimationofthebestntermapproximationsandwidths AT shydlichal porâdkovírívnostídlâdeâkihfunkcíonalívtaíhzastosuvannâdoocínoknajkraŝihnčlennihnabliženʹtapoperečnikív AT šidlíčal porâdkovírívnostídlâdeâkihfunkcíonalívtaíhzastosuvannâdoocínoknajkraŝihnčlennihnabliženʹtapoperečnikív |