Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$
It is shown that any Schur representation of a poset associated with a graph $\tilde{E}_6$ can be unitarized with a certain character. The description of characters for which it is possible to unitarize the Schur representations of $\tilde{E}_6$ is presented.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3111 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509144158568448 |
|---|---|
| author | Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю. Якименко, Д. Ю. |
| author_facet | Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю. Якименко, Д. Ю. |
| author_sort | Yakymenko, D. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | It is shown that any Schur representation of a poset associated with a graph $\tilde{E}_6$ can be unitarized with a certain character. The description of characters for which it is possible to unitarize the Schur representations of $\tilde{E}_6$ is presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 513.88
D. G. Qkymenko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
UNYTARYZACYQ PREDSTAVLENYJ
ÇASTYÇNO UPORQDOÇENNOHO MNOÛESTVA,
KOTOROE SOOTVETSTVUET HRAFU ��E6
We prove that every Schur representation of a partially ordered set corresponding to the graph �E6 is
unitarizable with some character and give the description of characters, that admit the unitarization of the
Schur representations of �E6 .
Dovedeno, wo bud\-qke ßurivs\ke zobraΩennq çastkovo vporqdkovano] mnoΩyny, wo vidpovida[
hrafu
�E6 , moΩna unitaryzuvaty z deqkym xarakterom, i navedeno opys xarakteriv, z qkymy
moΩlyva unitaryzaciq ßurivs\kyx zobraΩen\
�E6 .
1. Vvedenye. Opysanye predstavlenyj kolçanov y çastyçno uporqdoçenn¥x
mnoΩestv (sokrawenno çum) v katehoryy lynejn¥x prostranstv svqzano so mno-
hymy problemamy lynejnoj alhebr¥, y rabot¥ v πtom napravlenyy staly klas-
syçeskymy (sm., naprymer, [1 – 6]).
Problemu opysanyq predstavlenyj kolçanov y çum moΩno takΩe rassmatry-
vat\ v katehoryy hyl\bertov¥x prostranstv. Odnako soderΩatel\n¥e rezul\ta-
t¥ voznykagt lyß\ pry vvedenyy dopolnytel\n¥x ohranyçenyj na predstavle-
nyq. Na qz¥ke hyl\bertov¥x predstavlenyj alhebr opysanye predstavlenyj,
razmernostej y druhye rezul\tat¥ pryveden¥ v [7 – 9]. V [10] dlq kolçanov
yzuçalys\ lokal\no-skalqrn¥e predstavlenyq (pozdnee v [11] πtot termyn b¥l
yzmenen na ortoskalqrn¥e).
Dlq predstavlenyj çum v katehoryy hyl\bertov¥x prostranstv takΩe moΩ-
no v¥delyt\ ortoskalqrn¥e predstavlenyq. Pry πtom yzuçenye ortoskalqrn¥x
predstavlenyj prymytyvn¥x çum moΩet b¥t\ svedeno k yzuçenyg ortoskalqr-
n¥x predstavlenyj dlq sootvetstvugwyx kolçanov y naoborot.
V nastoqwej stat\e yzuçagtsq svqzy nerazloΩym¥x lynejn¥x predstavle-
nyj çum y eho hyl\bertov¥x nepryvodym¥x ortoskalqrn¥x predstavlenyj. Ne-
pryvodymomu ortoskalqrnomu predstavlenyg estestvenno sootvetstvuet ly-
nejnoe predstavlenye, no lynejnomu predstavlenyg moΩet sootvetstvovat\
mnoΩestvo ortoskalqrn¥x predstavlenyj s razlyçn¥my xarakteramy. Budem
hovoryt\, çto lynejnoe predstavlenye π unytaryzuetsq s xarakterom χ, esly
suwestvuet ortoskalqrnoe predstavlenye π′ s χ, kotoroe lynejno yzomorfno
π (sm. p. 2). Yzvestno, çto yz nerazloΩym¥x lynejn¥x predstavlenyj çuma
unytaryzovat\sq s kakym-lybo xarakterom mohut tol\ko ßurovskye. Pry πtom
esly dlq fyksyrovannoho xaraktera unytaryzacyq suwestvuet, to ona edynst-
venna [11].
V rabote [12], sleduq [13], dokazano, çto vse ßurovskye predstavlenyq pry-
mytyvn¥x çum koneçnoho typa unytaryzugtsq s nekotor¥m xarakterom, y dano
opysanye vsex takyx xarakterov. V [14] dokazano, çto vse ßurovskye predstav-
lenyq
�D4 unytaryzugtsq, a v [15] poluçeno opysanye xarakterov, s kotor¥my
unytaryzacyq vozmoΩna. Dlq
�E6 v sluçae dyskretnoj seryy (sm. p. 2) opysa-
nye xarakterov, s kotor¥my vozmoΩna unytaryzacyq, poluçeno v [16].
V dannoj stat\e m¥ pokaΩem, çto lgboe ßurovskoe predstavlenye çuma, ko-
toroe sootvetstvuet hrafu
�E6 , unytaryzuetsq s nekotor¥m xarakterom, y opy-
ßem mnoΩestvo xarakterov, s kotor¥my πty predstavlenyq moΩno unytaryzo-
vat\.
© D. G. QKYMENKO, 2009
1424 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
UNYTARYZACYQ PREDSTAVLENYJ ÇASTYÇNO UPORQDOÇENNOHO … 1425
2. Opredelenyq y osnovn¥e svojstva. 2.1. Çum y yx predstavlenyq v
katehoryy lynejn¥x prostranstv. Pust\ ( � , ≺ ) — koneçnoe çum, πlemen-
tamy kotoroho budem sçytat\ çysla { 1, … , n }. Çum � naz¥vaetsq prymytyv-
n¥m y oboznaçaetsq ( k1 , … , km ) , esly ono qvlqetsq kadynal\noj summoj m
lynejno uporqdoçenn¥x mnoΩestv � �1, ,… m s porqdkamy k1 , … , km
.
Lynejn¥m predstavlenyem π = ( V; V1 , … , Vn ) çuma � naz¥vaetsq takoj na-
bor podprostranstv Vi lynejnoho prostranstva V (m¥ ohranyçymsq polem
kompleksn¥x çysel, xotq predstavlenyq moΩno rassmatryvat\ y nad proyz-
vol\n¥my polqmy), çto yz i ≺ j sleduet Vi ⊆ Vj . Dlq prymytyvn¥x çum ( k1 , …
… , km ) takΩe budem yspol\zovat\ zapys\ π = ( … … … )V V V V V
k
m
k
m
m
; , , ; ; , ,( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1
1
.
Pod razmernost\g predstavlenyq π budem ponymat\ nabor dπ = ( d0 ; d1 , …
… , dn ), hde d0 = dim V, di = dim Vi (sootvetstvenno dlq prymytyvn¥x çum dπ =
= ( … … … )d d d d d
k
m
k
m
m
0 1
1 1
1
1
; , , ; ; , ,( ) ( ) ( ) ( ) ).
Morfyzmom predstavlenyq π1 = ( V; V1 , … , Vn ) v predstavlenye π2 = ( W;
W1 , … , Wn ) çuma � naz¥vaetsq takoe lynejnoe otobraΩenye C : V → W, çto
C ( Vi ) ⊆ Wi
, i = 1, n .
Lynejn¥e predstavlenyq çuma � obrazugt addytyvnug katehoryg Rep ( � ).
Dva predstavlenyq π1 y π 2 budut yzomorfn¥my, esly suwestvuet obraty-
m¥j morfyzm, t. e. takoe nev¥roΩdennoe lynejnoe otobraΩenye C : V → W ,
çto C ( Vi ) = Wi
, i = 1, n .
Prqmoj summoj π = π1 � π2 predstavlenyj π1 y π2 naz¥vaetsq predstav-
lenye
π = ( V � W; V1 � W1 , … , Vn � Wn ).
Predstavlenye naz¥vaetsq nerazloΩym¥m, esly ono ne yzomorfno prqmoj
summe nenulev¥x predstavlenyj, ynaçe ono naz¥vaetsq razloΩym¥m. Predstav-
lenye naz¥vaetsq ßurovskym, esly mnoΩestvo eho πndomorfyzmov tryvyal\no,
t. e. End ( π ) = CI. Íurovskye predstavlenyq vsehda nerazloΩym¥, no obratnoe
verno ne vsehda.
Hovorqt, çto çum koneçnoho (lynejnoho) predstavlençeskoho typa, esly ono
ymeet lyß\ koneçnoe çyslo nerazloΩym¥x neπkvyvalentn¥x predstavlenyj.
Opysanye çum koneçnoho typa moΩno najty v [5].
2.2. Çum y kolçan¥. Predstavlenyq prymytyvn¥x çum tesno svqzan¥ s
predstavlenyqmy kolçanov.
Kolçan Q = ( Q0
, Q1 , s, t : Q1 → Q0 ) sostoyt yz mnoΩestva verßyn Q0 =
= { v0
, … , vn } y mnoΩestva strelok Q1 . Strelka ρ ∈ Q1 v¥xodyt yz verßyn¥
s ( ρ ) y vxodyt v verßynu t ( ρ ). Lynejnoe predstavlenye X dlq Q — πto nabor
lynejn¥x prostranstv X
iv dlq kaΩdoj yz verßyn vi ∈ Q0 y nabor lynejn¥x
operatorov Xρ : Xs ( ρ ) → Xt ( ρ ) dlq kaΩdoj yz strelok ρ ∈ Q1
. Podobno çum dlq
predstavlenyj X y Y kolçana opredelqgtsq mnoΩestvo morfyzmov, nerazlo-
Ωym¥e y ßurovskye predstavlenyq (sm. [17]).
Proyzvol\nomu çumu � moΩno postavyt\ v sootvetstvye kolçan Q�
sledu-
gwym obrazom: Q0
� = { v0
, vx | x ∈ � } y Q1
�
sostoyt yz:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1426 D. G. QKYMENKO
strelok vx → vy
, esly x ≺ y y ne suwestvuet z takoe, çto x ≺ z ≺ y ;
strelok vx → v0
, esly ne suwestvuet z takoe, çto x ≺ z .
Dlq prymytyvn¥x çum � = ( k1 , … , km ) sootvetstvugwyj kolçan Q�
ymeet vyd
Lgbomu predstavlenyg π çuma � = ( k1 , … , km ) moΩno postavyt\ v soot-
vetstvye predstavlenye Xπ sootvetstvugweho kolçana Q�
. Dejstvytel\no,
pust\ est\ predstavlenye
π = ( … … … )V V V V V
k
m
k
m
m
; , , ; ; , ,( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1
1
çuma �, tohda Xπ dlq kolçana Q stroytsq sledugwym obrazom: kaΩdoj ver-
ßyne vi
j( )
stavytsq v sootvetstvye prostranstvo Vi
j( ) , X V
i
j i
j
v( ) = ( )
(verßyne
v0 stavym v sootvetstvye prostranstvo V, Xv0
= V ) y kaΩdoj strelke vi
j( ) →
→ vi
j
+
( )
1 — vloΩenye Vi
j( ) ⊂→ Vi
j
+
( )
1 (dlq strelok v
k
j
i
( ) → v0 budet vloΩenye
V
k
j
i
( ) ⊂→ V ).
Y obratno, esly kolçan Q sootvetstvuet çumu � = ( k1 , … , km ) , to lgbomu
predstavlenyg X kolçana takomu, çto dlq lgboho ρ ∈ Q1 otobraΩenyq Xρ
qvlqgtsq monomorfyzmamy, moΩno postavyt\ v sootvetstvye predstavlenye
dlq �
πX = ( … … … )V V V V V
k
n
k
n
n
; , , ; ; , ,( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
1
1
,
hde V = Xv0
— prostranstvo v verßyne v0 y V X X Xj
i
j
i
j
i
ki
i
j
i
( )
→ →= … ( )( )
+
( ) ( ) ( )v v v v v1 0
— obraz prostranstva v verßyne v j
i( )
pod dejstvyem otobraΩenyj po puty ot
v j
i( )
k v0
.
Pryvedennoe sootvetstvye meΩdu predstavlenyqmy çuma y kolçana vzaymno
odnoznaçno y v¥polnqgtsq sledugwye svojstva:
1) predstavlenyq π1 y π2 çuma � yzomorfn¥ tohda y tol\ko tohda, kohda
sootvetstvugwye predstavlenyq Xπ1
y Xπ2
kolçana Q�
yzomorfn¥;
2) predstavlenye π nerazloΩymo (ßurovo) tohda y tol\ko tohda, kohda Xπ
nerazloΩymo (ßurovo).
Prymytyvnomu çum (2, 2, 2) sootvetstvuet kolçan — rasßyrenn¥j hraf
D¥nkyna
�E6 . Poπtomu çum (2, 2, 2) m¥ takΩe budem oboznaçat\ kak
�E6 .
2.3. Ortoskalqrn¥e predstavlenyq çum v katehoryy hyl\bertov¥x
prostranstv. Unytaryzacyq. Pust\ H — katehoryq unytarn¥x (koneçno-
mern¥x hyl\bertov¥x) prostranstv. Ee moΩno rassmatryvat\ kak podkateho-
ryg katehoryy lynejn¥x prostranstv. Opredelym katehoryg Rep ( �, H ) uny-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
UNYTARYZACYQ PREDSTAVLENYJ ÇASTYÇNO UPORQDOÇENNOHO … 1427
tarn¥x predstavlenyj çum � kak podkatehoryg katehoryy Rep ( � ) . Obæekta-
my v nej budut takye predstavlenyq: π ∈ Rep ( � ) , π = ( V; V1 , … , Vn ), hde V —
unytarnoe prostranstvo. Morfyzm¥ C : V → W dlq π1 = ( V; V1 , … , Vn ), π2 =
= ( W; W1 , … , Wn ) v Rep ( �, H ) m¥ ostavym lyß\ takye, çto pomymo C ( Vi ) ⊆
⊆ Wi v¥polnqetsq takΩe C*
( Wi ) ⊆ Vi, i = 1, n
. MoΩno pokazat\, çto dva pred-
stavlenyq budut (unytarno) yzomorfn¥my v Rep ( �, H ) , esly suwestvuet uny-
tarn¥j operator C : V → W takoj, çto C ( Vi ) = Wi
, i = 1, n .
Predstavlenye π1 = ( V; V1 , … , Vn ) katehoryy Rep ( � , H ) naz¥vaetsq or-
toskalqrn¥m s xarakterom χ = ( α0 ; α1 , … , αn ), α i > 0, i = 0, n , esly v¥pol-
nqetsq
α1 P1 + … + αn Pn = α0 I,
hde Pi — ortohonal\n¥e proektor¥ na podprostranstva Vi .
Çerez Repos ( �, H ) budem oboznaçat\ polnug podkatehoryg Rep ( � , H ) ,
sostoqwug yz vsex ortoskalqrn¥x predstavlenyj �.
Budem hovoryt\, çto predstavlenye π ∈ Rep ( � ) unytaryzuetsq s xarakte-
rom π ∈ R+
+n 1
, esly suwestvuet ortoskalqrnoe s xarakterom χ predstavlenye
π′ ∈ Repos ( �, H ) takoe, çto π � π′ v Rep ( � ).
Oçevydno, çto ortoskalqrnomu predstavlenyg estestvenno sootvetstvuet
lynejnoe predstavlenye, no lynejnomu predstavlenyg moΩet sootvetstvovat\
mnoΩestvo ortoskalqrn¥x s razlyçn¥my xarakteramy.
Yzvestno, çto yz nerazloΩym¥x lynejn¥x predstavlenyj çuma unytaryzo-
vat\sq s kakym-lybo xarakterom mohut tol\ko ßurovskye. Pry πtom esly dlq
fyksyrovannoho xaraktera unytaryzacyq suwestvuet, to ona edynstvenna
(sm.J[11]).
Dlq unytaryzacyy lynejnoho predstavlenyq v razmernosty dπ = ( d0 ; d1 , …
… , dn ) srazu Ωe voznykaet estestvennoe uslovye na xarakter αi ii
n
d
=∑ 1
=
α0 d0
, kotoroe poluçaetsq vzqtyem sleda ot operatorov v levoj y pravoj çastqx
ravenstva α1 P1 + … + αn Pn = α0 I. ∏to uslovye budem naz¥vat\ trace-uslovyem.
2.4. Fyl\tracyy y stabyl\nost\ lynejn¥x predstavlenyj çum. Pust\
E — unytarnoe prostranstvo y H : E → E — πrmytov operator. Spektral\noj
fyl\tracyej EH
operatora H naz¥vaetsq otobraΩenye yz R vo mnoΩestvo
podprostranstv E takoe, çto dlq lgboho x ∈ R EH
( x ) ravno summe sobstven-
n¥x podprostranstv H s sobstvenn¥my znaçenyqmy bol\ße lybo ravn¥my x.
Po fyl\tracyy moΩno obratno postroyt\ πrmytov operator, poπtomu meΩdu
R-fyl\tracyqmy y πrmytov¥my operatoramy suwestvuet vzaymno odnoznaçnoe
sootvetstvye. Zametym, çto fyl\tracyq ne zavysyt ot skalqrnoho proyzvede-
nyq vJJE.
Kratnost\g fyl\tracyy E a
v toçke x ∈ R naz¥vaetsq m xE
a ( ) : =
: = dim E ( x ) – dim E ( x + 0 ). ∏to celoznaçnaq funkcyq s koneçn¥m nosytelem.
Semejstvo fyl\tracyj Ea, a ∈ A, naz¥vaetsq polustabyl\n¥m, esly dlq
lgboho sobstvennoho podprostranstva F ⊂ E dlq ynducyrovann¥x fyl\tracyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1428 D. G. QKYMENKO
F
a = F ∩ E
a
v¥polnqgtsq sootnoßenyq
1 1
dim dim, ,F
xm x
E
xm xF
a
x R a A
E
a
x R a A
( ) ≤ ( )
∈ ∈ ∈ ∈
∑ ∑ .
Esly vse neravenstva strohye, to semejstvo fyl\tracyj naz¥vaetsq sta-
byl\n¥m.
Yz utverΩdenyq 3.5.5 v [18] neposredstvenno sleduet takoe utverΩdenye.
UtverΩdenye 1. Dlq ßurovskoho semejstva fyl\tracyj Ea, a ∈ A , v
prostranstve E moΩno vvesty skalqrnoe proyzvedenye tak, çtob¥
H a
a A∈∑ = λ I dlq nekotoroho λ ∈ C tohda y tol\ko tohda, kohda E a
—
stabyl\noe semejstvo.
Pust\ teper\ est\ nekotoroe predstavlenye π = ( V; V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 )
dlq çuma
�E6 v lynejnom prostranstve V y xarakter α = ( 1; α1 , α2 , α3 , α4 ,
α5 , α6 ). Po π y α dlq kaΩdoj yz trex vetok
�E6 moΩno postroyt\
sootvetstvugwug fyl\tracyg:
E x
V x
V x
V x
j j j
j j j
( ) =
≤
< ≤
< ≤
− −
−
, ,
, ,
,
0
02 1 2 1
2 2 1 2
α
α α −−
−
+
+ <
1 2
2 1 20
α
α α
j
j j x
,
, ,
j = 1, 2, 3.
Pry lgbom v¥brannom skalqrnom proyzvedenyy v V uslovye ortoskalqr-
nosty predstavlenyq π s xarakterom α πkvyvalentno tomu, çto H j
j∑ = I,
hde H j
— operator¥, sootvetstvugwye vvedenn¥m fyl\tracyqm. Poπtomu po-
luçaem sledugwee utverΩdenye.
UtverΩdenye 2. Íurovskoe predstavlenye π = ( V; V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 )
dlq
�E6 v lynejnom prostranstve V unytaryzuetsq s xarakterom α tohda
y tol\ko tohda, kohda αi ii
Vdim
=∑ 1
6
= α0 dim V y ∀F ⊂ V , F ≠ 0, V :
αi ii
F Vdim( )
=∑ ∩
1
6
< α0 dim F .
2.5. Opysanye ßurovskyx lynejn¥x predstavlenyj çum
��E6 . Fakt¥, pry-
vedenn¥e v πtom punkte, obweyzvest¥ (sm., naprymer, [1 – 3, 17, 19]).
Pust\ kolçan Q — rasßyrennaq dyahramma D¥nkyna
�E6 :
y � — prymytyvnoe çum, kotoroe emu sootvetstvuet. Kak pokazano v pp. 2.2,
predstavlenyq dlq � nesloΩn¥m obrazom stroqtsq yz predstavlenyj dlq Q.
Formoj Tytsa q : ZQ0 � Z kolçana Q naz¥vaetsq kvadratyçnaq forma
q x
x Q
s a t a
a Q
( ) = −
∈
( ) ( )
∈
∑ ∑α α α α2
0 1
.
Vse nerazloΩym¥e predstavlenyq Q mohut b¥t\ tol\ko v razmernostqx d, dlq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
UNYTARYZACYQ PREDSTAVLENYJ ÇASTYÇNO UPORQDOÇENNOHO … 1429
kotor¥x q ( d ) = 0 yly q ( d ) = 1.
Esly q ( d ) = 0, to d naz¥vaetsq mnym¥m kornem. Dlq rasßyrenn¥x dya-
hramm D¥nkyna ravenstvo q ( d ) = 0 moΩet b¥t\ tol\ko pry d = k δ, k ∈ Z, hde
δ — mynymal\n¥j mnym¥j koren\. Dlq
�E6 mynymal\n¥j δ = ( 3; 2, 1; 2, 1; 2,
1 ). Íurovskye predstavlenyq v πtom sluçae (kotor¥j budem naz¥vat\ nepre-
r¥vn¥m) budut lyß\ v razmernosty δ. V peresçete na predstavlenyq çuma �
ony budut v¥hlqdet\ sledugwym obrazom:
a) pry λ ∈ C \ { 0, – 1 } ymeem seryg predstavlenyj
πλ = ( 〈 e1 , e2 , e3 〉; 〈 e2 , e3 〉, 〈 e2 + e3 〉; 〈 e3 , e1 〉, 〈 e3 + e1 〉; 〈 e1 , e2 〉, 〈 e1 + e2
λ 〉 ),
kotor¥e budem naz¥vat\ nev¥roΩdenn¥my;
b) takΩe est\ 8 v¥roΩdenn¥x predstavlenyj:
π– 1 = ( 〈 e1 , e2 , e3 〉; 〈 e2 , e3 〉, 〈 e2 + e3 〉; 〈 e3 , e1 〉, 〈 e3 + e1 〉; 〈 e1 , e2 〉, 〈 e1 – e2 〉 ),
′−π 1 = ( 〈 e1 , e2 , e3 〉; 〈 e2 – e3 , e1 〉, 〈 e1 〉; 〈 e3 – e1 , e2 〉, 〈 e2 〉; 〈 e1 + e2 , e3 〉, 〈 e3 〉 ),
π( 3, 2 ) = ( 〈 e1 , e2 , e3 〉; 〈 e2 , e3 〉, 〈 e2 + e3 〉; 〈 e3 , e1 〉, 〈 e3 + e1 〉; 〈 e1 , e2 〉, 〈 e1 〉 )
y predstavlenyq π( 3, 1 ) , π ( 2, 1 ) , π ( 2, 3 ) , π ( 3, 2 ) , π ( 1, 3 ) , kotor¥e poluçagtsq
perestanovkoj vetok π( 3, 2 ) . Pod perestanovkoj vetok ponymaem π = ( V; V1 , V2 ,
V3 , V4 , V5 , V6 ) → σ π = ( V; V5 , V6 , V1 , V2 , V3 , V4 ) dlq σ = ( 312 ) y t. d.
Esly q ( d ) = 1, to d naz¥vaetsq dejstvytel\n¥m kornem. Pry πtom v raz-
mernosty d suwestvuet edynstvennoe nerazloΩymoe predstavlenye. ∏tot slu-
çaj budem naz¥vat\ dyskretn¥m. Vse ßurovskye predstavlenyq v πtom sluçae
moΩno postroyt\ s pomow\g funktorov Kokstera yz prostejßyx.
3. Unytaryzacyq predstavlenyj çum
��E6 . Çtob¥ opredelyt\ s kakymy
xarakteramy vozmoΩna unytaryzacyq ßurovskoho predstavlenyq v razmernosty
d = ( d0 ; d1 , … , d6 ) — dejstvytel\noho kornq, dostatoçno opredelyt\ dlq kakyx
χ = ( α0 ; α1 , … , α6 ) suwestvuet nepryvodym¥j nabor ortoproektorov P1 , … ,
P6 v unytarnom koneçnomernom prostranstve V takoj, çto dim V = d0 , dim Pi =
di , i = 1 6, ,
α1 P1 + … + α6 P6 = α0 I
y Im P1 ⊆ Im P2 , Im P3 ⊆ Im P4 , Im P5 ⊆ Im P6 . V rabote [16] teorem¥ 3 – 6 dlq
kaΩdoho yz vozmoΩn¥x d dagt opysanye xarakterov, dlq kotor¥x suwestvuet
nabor ortoproektorov s trebuem¥my uslovyqmy. Poskol\ku v dyskretnom slu-
çae suwestvuet rovno odno predstavlenye v fyksyrovannoj razmernosty d, to
opysanye xarakterov yz [16] sootvetstvuet vozmoΩn¥m xarakteram, s kotor¥my
unytaryzuetsq πto edynstvennoe ßurovskoe predstavlenye v razmernosty d.
V neprer¥vnom sluçae vospol\zuemsq utverΩdenyem 2. Kak sleduet yz ut-
verΩdenyq 2, dlq opredelenyq xarakterov, s kotor¥my vozmoΩna unytaryzacyq
lynejnoho predstavlenyq π = ( V; V1 , V2 ; V3 , V4 ; V5 , V6 ), nuΩno opredelyt\
vse podrazmernosty, t. e. vse vozmoΩn¥e znaçenyq ( dim F; dim ( F ∩ V1 ), dim ( F
∩ ∩ V2 ); dim ( F ∩ V3 ), dim ( F ∩ V4 ); dim ( F ∩ V5 ), dim ( F ∩ V6 ) ) dlq lgboho F
⊂ V. Podrazmernostej, oçevydno, moΩet b¥t\ lyß\ koneçnoe çyslo.
Sledugwaq lemma daet opysanye takyx podrazmernostej dlq kaΩdoho yz
predstavlenyj
�E6 v neprer¥vnom sluçae. Pry πtom sleduet otmetyt\, çto dlq
nev¥roΩdenn¥x predstavlenyj πλ
, λ ∈ C \ { 0, – 1 }, a takΩe dlq π– 1 y ′−π 1 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1430 D. G. QKYMENKO
esly ( p0 ; p1 , p2 ; p3 , p4 ; p5 , p6 ) budet podrazmernost\g, to y perestanovky, so-
otvetstvugwye perestanovkam vetok, t. e. ( p0 ; p3 , p4 ; p1 , p2 ; p5 , p6 ) y t. d.,
takΩe budut podrazmernostqmy.
Lemma. 1. Dlq nev¥roΩdenn¥x ßurovskyx predstavlenyj πλ
, λ ∈ C \ { 0,
– 1 }, podrazmernosty budut sledugwymy:
a) esly dim F = 1:
(1; 0, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e1 + e2 + e3 〉,
(1; 1, 0; 1, 0; 0, 0) pry F = 〈 e3 〉,
(1; 1, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 + 2e3 〉,
(1; 1, 1; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 + e3 〉;
b) esly dim F = 2:
(2; 2, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 , e3 〉,
(2; 1, 1; 1, 1; 1, 0) pry F = 〈 e2 + e3
, e1 + e3 〉,
(2; 1, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 + e3
, e1 〉,
(2; 1, 0; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 + 2e3
, λ e1 + 2e3 〉, esly λ ≠ 2, y F = 〈 e2 +
2e3
, e1 + 2e3 〉, esly λ = 2.
2. Dlq π– 1
:
a) esly dim F = 1:
(1; 0, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e1 + e2 + e3 〉,
(1; 1, 0; 1, 0; 0, 0) pry F = 〈 e3 〉,
(1; 1, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 + 2e3 〉,
(1; 1, 1; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 + e3 〉;
b) esly dim F = 2:
(2; 2, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 , e3 〉,
(2; 1, 1; 1, 1; 1, 1) pry F = 〈 e2 + e3
, e1 + e3 〉,
(2; 1, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 + e3
, e1 〉,
(2; 1, 0; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 + 2e3
, λ e1 + 2e3 〉, esly λ ≠ 2, y F = 〈 e2 +
2e3
, e1 + 2e3 〉, esly λ = 2.
3. Dlq ′−π 1 :
a) esly dim F = 1:
(1; 0, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e1 + 2e2 〉,
(1; 1, 0; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e1 + e2 – e3 〉,
(1; 1, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 – e3 〉,
(1; 1, 1; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e1 〉;
b) esly dim F = 2:
(2; 2, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 – e3 , e1 〉,
(2; 1, 1; 1, 1; 1, 0) pry F = 〈 e1
, e2 〉,
(2; 1, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e1
, e2 + e3 〉,
(2; 1, 0; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 – e3
, e3 – e1 〉.
4. Dlq predstavlenyq π( 3, 2 ) vse podrazmernosty sootvetstvugwyx se-
mejstv fyl\tracyj budut sledugwymy:
a) esly dim F = 1:
(1; 0, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e1 + e2 + e3 〉,
(1; 1, 0; 1, 0; 0, 0) pry F = 〈 e3 〉, (1; 1, 0; 0, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 〉, (1; 0, 0; 1, 0;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
UNYTARYZACYQ PREDSTAVLENYJ ÇASTYÇNO UPORQDOÇENNOHO … 1431
1, 1) pry F = 〈 e1 〉,
(1; 1, 0; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 + 2e3 〉, a takΩe (1; 0, 0; 1, 0; 0, 0), (1; 0, 0; 0,
0; 1, 0),
(1; 1, 1; 0, 0; 0, 0) pry F = 〈 e2 + e3 〉, (1; 0, 0; 1, 1; 0, 0) pry F = 〈 e1 + e3 〉;
b) esly dim F = 2:
(2; 2, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 , e3 〉, (2; 1, 0; 1, 2; 1, 1) pry F = 〈 e1 , e3 〉, (2; 1,
0; 1, 0; 2, 1) pry F = 〈 e1 , e2 〉,
(2; 1, 1; 1, 1; 1, 0) pry F = 〈 e2 + e3
, e1 + e3 〉, (2; 1, 1; 1, 0; 1, 1) pry F = 〈 e2 +
+ e3
, e1 〉,
(2; 1, 0; 1, 1; 1, 0) pry F = 〈 e1 + e3
, e2 〉, (2; 1, 0; 1, 0; 1, 1) pry F = 〈 e2 + 2e3
,
e1 〉, (2; 1, 1; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e2 + e3
, e1 + 2e3 〉,
(2; 1, 0; 1, 0; 1, 0) pry F = 〈 e1 + e2
, e3 〉.
Sledugwaq teorema poluçaetsq neposredstvenn¥m prymenenyem dokazannoj
lemm¥ k utverΩdenyg 2.
Teorema 1. Dlq unytaryzacyy ßurovskyx predstavlenyj
�E6 v neprer¥v-
nom sluçae neobxodym¥ y dostatoçn¥ sledugwye uslovyq na xarakter ( 1; α1 ,
α2 ; α3 , α4 ; α5 , α6 ), αi > 0, i = 1 6, :
1) trace-uslovye:
( 2α1 + α2 ) + ( 2α3 + α4 ) + ( 2α5 + α6 ) = 3;
2) dopolnytel\no dlq π– 1
:
∀ j : αj < 1; α1 + α3 < 1, α1 + α5 < 1, α3 + α5 < 1,
α1 + α2 < 1, α3 + α4 < 1, α5 + α6 < 1,
2 > ( ( 2α1 + α2 ) + α3 + α5 ), 2 > ( ( 2α3 + α4 ) + α1 + α5 ),
2 > ( ( 2α5 + α6 ) + α3 + α1 ),
2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α3 + α4 ) + ( α5 + α6 ) ),
dlq ′−π 1 :
∀ j : αj < 1; α1 + α3 + α5 < 1,
α1 + α2 < 1, α3 + α4 < 1, α5 + α6 < 1,
2 > ( ( 2α1 + α2 ) + α3 + α5 ), 2 > ( ( 2α3 + α4 ) + α1 + α5 ),
2 > ( ( 2α5 + α6 ) + α3 + α1 ),
2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α3 + α4 ) + α5 ), 2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α5 + α6 ) + α3 ),
2 > ( ( α5 + α6 ) + ( α3 + α4 ) + α1 ),
dlq πλ
, λ ≠ 0, – 1:
∀ j : αj < 1; α1 + α3 < 1, α1 + α5 < 1, α3 + α5 < 1,
α1 + α2 < 1, α3 + α4 < 1, α5 + α6 < 1,
2 > ( ( 2α1 + α2 ) + α3 + α5 ), 2 > ( ( 2α3 + α4 ) + α1 + α5 ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
1432 D. G. QKYMENKO
2 > ( ( 2α5 + α6 ) + α3 + α1 ),
2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α3 + α4 ) + α5 ), 2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α5 + α6 ) + α3 ),
2 > ( ( α5 + α6 ) + ( α3 + α4 ) + α1 ),
dlq π( 3, 2 )
:
∀ j : αj < 1; α1 + α3 < 1, α1 + α5 < 1, α3 + α5 + α6 < 1,
α1 + α2 < 1, α3 + α4 < 1,
2 > ( ( 2α1 + α2 ) + α3 + α5 ), 2 > ( ( 2α3 + α4 ) + α1 + α5 + α6 ),
2 > ( ( 2α5 + α6 ) + α3 + α1 ),
2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α3 + α4 ) + α5 ), 2 > ( ( α1 + α2 ) + ( α5 + α6 ) + α3 ).
Sledstvye. Lgboe ßurovskoe predstavlenye �E6 moΩno unytaryzovat\ s
nekotor¥m xarakterom.
Çtob¥ ubedyt\sq v sovmestymosty poluçenn¥x system neravenstv, rassmot-
rym takye xarakter¥, çto α 0 = 1, β = α1 = α3 = α5
, γ = α2 = α4 = α6
. Tohda
dlq π– 1 uslovyq ymegt vyd
2β + γ = 1; β < 1, γ < 1; 2β < 1; β + γ < 1; 2 > 4β + γ; 2 > 3 ( β + γ ) ⇔
⇔ 2β + γ = 1; β > 1 / 3,
dlq ′−π 1
2β + γ = 1; β < 1, γ < 1; 3β < 1; β + γ < 1; 2 > 4β + γ; 2 > 3β + 2γ ⇔
⇔ 2β + γ = 1; β < 1 / 3,
dlq πλ
, λ ≠ 0, – 1,
2β + γ = 1; β < 1, γ < 1; 2β < 1; β + γ < 1; 2 > 4β + γ; 2 > 3β + 2γ ⇔
⇔ 2β + γ = 1,
dlq π( 3, 2 )
2β + γ = 1; β < 1, γ < 1; 2β < 1; β + γ < 1; 2β + γ < 1; 2 > 4β + γ; 2 > 3β + 2γ,
t. e. dlq π( 3, 2 ) (a znaçyt, y dlq π( 3, 1 ) , … ) xarakter¥ takoho vyda ne podxodqt,
odnako systema neravenstv dlq ( 1; α1 , α2 ; α3 , α4 ; α5 , α6 ) dlq π ( 3, 2 ) qvlqetsq
sovmestymoj.
Avtor blahodaryt G. S. Samojlenko za postanovku zadaçy y cenn¥e sovet¥.
1. Bernßtejn Y. N., Hel\fand Y. M., Ponomarev V. A. Funktor¥ Kokstera y teorema Habrye-
lq // Uspexy mat. nauk. – 1973. – 28, # 170. – S. 19 – 33.
2. Dlab V., Ringel C. M. Indecomposable representations of graphs and algebras // Mem. Amer.
Math. Soc. – 1976. – 6, # 176. – P. 1 – 72.
3. Donovan P., Freislich M. The representation theory of finite graphs and associated algebras //
Carleton Math. Lect. Notes. – 1973. – 5. – P. 1 – 187.
4. Drozd G. A. Preobrazovanyq Kokstera y predstavlenyq çastyçno uporqdoçenn¥x mno-
Ωestv // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1974. – 8, # 3. – S. 34 – 42.
5. Klejner M. M. Çastyçno uporqdoçenn¥e mnoΩestva koneçnoho typa // Zap. nauçn. sem.
LOMY. – 1972. – 28. – S. 32 – 41.
6. Nazarova L. A., Rojter A. V. Predstavlenyq çastyçno uporqdoçenn¥x mnoΩestv // Tam Ωe.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
UNYTARYZACYQ PREDSTAVLENYJ ÇASTYÇNO UPORQDOÇENNOHO … 1433
– S. 5 – 31.
7. Albeverio S., Ostrovskyi V., Samoilenko Y. On functions on graphs and representations of a certain
class of *-algebras // J. Algebra. – 2007. – 308, Issue 2. – P. 567 – 582.
8. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. ana-
lyz y eho pryl. – 2002. – 36, # 3. – S. 20 – 35.
9. Ostrovskyi V. L., Samoilenko Yu. S. On spectral theorems for families of linearly connected
selfadjoint operators with prescribed spectra associated with extended Dynkin graphs // Ukr. mat.
Ωurn. – 2006. – 58, # 11. – S. 1556 – 1570.
10. Kruhlqk S. A., Rojter A. V. Lokal\no skalqrn¥e predstavlenyq hrafov v katehoryy hyl\-
bertov¥x prostranstv // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 2005. – 39, # 2. – S. 13 – 30.
11. Kruhlqk S. A., Nazarova L. A., Rojter A. V. Ortoskalqrn¥e predstavlenyq kolçanov v ka-
tehoryy hyl\bertov¥x prostranstv // Vopros¥ teoryy predstavlenyj alhebr y hrupp: Zap.
nauçn. sem. POMY. – 2006. – 338, v¥p. 14. – S. 180 – 201.
12. Grushevoy R., Yusenko K. On the unitarization of linear representations of primitive partially
ordered sets // arXiv:0807. 0155vl.
13. Kruglyak S., Popovich S., Samoilenko Yu. The spectral problem and *-representations of algebras
associated with Dynkin graphs // J. Algebra and Appl. – 2005. – 4, # 6. – P. 761 – 776.
14. Moskaleva Yu. P., Samoilenko Yu. S. Systems of n subspaces and representations of *-algebras
generated by projections // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2006. – 12, # 1. – P. 57 – 73.
15. Samoilenko Yu. S., Yakymenko D. Yu. On n-tuples of subspaces in linear and unitary spaces // Ibid.
– 2009. – 15, # 1. – P. 383 – 396.
16. Kruglyak S. A., Popovich S. V., Samoilenko Yu. S. The spectral problem and algebras associated
with extended Dynkin graphs. I // Ibid. – 2005. – 11, # 4. – P. 383 – 396.
17. Gabriel P., Roiter A. V. Representations of finite-dimensional algebras // Enc. Math. Sci. Algebra
VIII. – 1992. – 73.
18. Klyachko A. A. Stable bundles, representation theory and Hermitian operators // Selecta Math. (N.
S. ). – 1998. – 4, # 3. – P. 419 – 445.
19. Assem I., Simpson D., Skowronskiy A. Elements of the representation theory of assosiative
algebras. Vol. 1. Techniques of representation theory // London Math. Soc. Stud. Texts. – 2006. –
65. – P. 458.
Poluçeno 06.04.09,
posle dorabotky — 01.07.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3111 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:26Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/76/65a979e8091f8d3c371f8cb6ea8fd776.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31112020-03-18T19:45:28Z Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ Унитаризация представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует графу $\tilde{E}_6$ Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю. Якименко, Д. Ю. It is shown that any Schur representation of a poset associated with a graph $\tilde{E}_6$ can be unitarized with a certain character. The description of characters for which it is possible to unitarize the Schur representations of $\tilde{E}_6$ is presented. Доведено, що будь-яке шурівське зображення частково впорядкованої множини, що відповідає графу $\tilde{E}_6$, можна унітаризувати з деяким характером, і наведено опис характерів, з якими можлива унітаризація шурівських зображень $\tilde{E}_6$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3111 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1424-1433 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1424-1433 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3111/2970 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3111/2971 Copyright (c) 2009 Yakymenko D. Yu. |
| spellingShingle | Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю. Якименко, Д. Ю. Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ |
| title | Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ |
| title_alt | Унитаризация представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует графу $\tilde{E}_6$ |
| title_full | Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ |
| title_fullStr | Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ |
| title_full_unstemmed | Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ |
| title_short | Unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{E}_6$ |
| title_sort | unitarization of representations of a partially ordered set associated with a graph $\tilde{e}_6$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3111 |
| work_keys_str_mv | AT yakymenkodyu unitarizationofrepresentationsofapartiallyorderedsetassociatedwithagraphtildee6 AT âkimenkodû unitarizationofrepresentationsofapartiallyorderedsetassociatedwithagraphtildee6 AT âkimenkodû unitarizationofrepresentationsofapartiallyorderedsetassociatedwithagraphtildee6 AT yakymenkodyu unitarizaciâpredstavlenijčastičnouporâdočennogomnožestvakotoroesootvetstvuetgrafutildee6 AT âkimenkodû unitarizaciâpredstavlenijčastičnouporâdočennogomnožestvakotoroesootvetstvuetgrafutildee6 AT âkimenkodû unitarizaciâpredstavlenijčastičnouporâdočennogomnožestvakotoroesootvetstvuetgrafutildee6 |