Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge

We investigate closed 1-forms with isolated zeros on surfaces with edge. A criterion for the topological equivalence of closed 1-forms is proved.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Budnyts'ka, T. V., Prishlyak, O. O., Будницька, Т. В., Пришляк, О. О.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3114
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509148016279552
author	Budnyts'ka, T. V. Prishlyak, O. O. Будницька, Т. В. Пришляк, О. О.
author_facet	Budnyts'ka, T. V. Prishlyak, O. O. Будницька, Т. В. Пришляк, О. О.
author_sort	Budnyts'ka, T. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:45:43Z
description	We investigate closed 1-forms with isolated zeros on surfaces with edge. A criterion for the topological equivalence of closed 1-forms is proved.
first_indexed	2026-03-24T02:36:29Z
format	Article
fulltext	УДК 515.164.13, 517.91 Н. В. Будницька, О. О. Пришляк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка) ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ The closed 1-forms with isolated zeros on surfaces with edge are considered. A criterion on topological equivalence of closed 1-forms is proved. Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на поверхностях c краем. Доказан крите- рий топологической эквивалентности замкнутых 1-форм. 1. Вступ. У 1994 р. А. А. Ошемков [1] та в 1996 р. В. В. Шарко [2] отримали топо- логiчну класифiкацiю функцiй Морса на поверхнях. У 1999 р. C. I. Максименко [3] та у 2003 р. О. О. Пришляк [4], узагальнивши цi результати, одержали топологiчну класифiкацiюm-функцiй на поверхнях та на поверхнях з краєм вiдповiдно. Вивчен- ням топологiчної класифiкацiї векторних полiв (потокiв) з незамкненими стiйкими за Пуассоном траєкторiями займалися С. Х. Арансон, В. З. Грiнес, Е. В. Жужома, I. А. Тельних та iн. Саме цi математики отримали їх топологiчну класифiкацiю у роботах [5 – 7] i ввели поняття числа обертання Пуанкаре, гомотопiчного класу обертання, орбiти гомотопiчного класу обертання. О. О. Пришляк та С. В. Бiлун [8] одержали топологiчну класифiкацiю замкнених 1-форм Морса з замкненими рекурентними iнтегральними кривими. Всi цi роботи пов’язанi з питанням топологiчної класифiкацiї шарувань з особ- ливостями на многовидi. Пiд шаруванням з особливостями розумiємо подання многовида у виглядi об’єднання шарiв, що є пiдмноговидами меншої, фiксованої розмiрностi, i точок, якi називаються особливостями. Шарування з особливостями можуть задаватися функцiями, векторними полями (або потоками), диференцiаль- ними формами та iн. Оскiльки на орiєнтованiй поверхнi роду g = 0 (сферi) не може бути незамкне- них рекурентних iнтегральних кривих, то, як узагальнення результатiв роботи [8], у роботi [9] наведено топологiчну класифiкацiю довiльних замкнених 1-форм з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях. У роботах [10, 11] отримано топологiчну класифiкацiю замкнених 1-форм з довiльними рекурентни- ми iнтегральними кривими на замкнених орiєнтованих i неорiєнтованих поверхнях вiдповiдно. А саме, з теореми 1 роботи [10] вiдомо, що якщо на замкненiй орiєн- тованiй поверхнi M роду g ≥ 1 задано двi замкненi 1-форми ω1 i ω2, то для того, щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалентними, необхiдно i достатньо, щоб: 1) для G(ωi) 6= ∅, i = 1, 2, iснував гомеоморфiзм f : M → M, обмеження якого на G(ω1) задає iзоморфiзм графiв G(ω1) i G(ω2); областi, що обмеженi реб- рами графа G(ω1), переходили в областi, що обмеженi образами цих ребер у графi G(ω2); додатнi пiдобластi переходили у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi; 2) для кожної з областей з M \ G(ωi), i = 1, 2, що мiстить хоча б одну незамкнену рекурентну криву, виконувались умови: для областей роду r = 1 числа обертання пiвкривих замкнених 1-форм ω1 i ω2 повиннi бути сумiрними; для облас- тей роду r ≥ 2 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω1 i ω2, що мають сумiрнi гомотопiчнi класи обертання. c© Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК, 2009 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1455 1456 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК З теорем 4.1 – 4.3 роботи [11] вiдомо, що якщо на замкненiй неорiєнтованiй поверхнi M роду g ≥ 1 задано двi замкненi 1-форми ω1 i ω2, то для того, щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалентними, необхiдно i достатньо, щоб: 1) для G(ωi) 6= ∅, i = 1, 2, iснував гомеоморфiзм f : M → M, обмеження якого на G(ω1) задає iзоморфiзм графiв G(ω1) i G(ω2); областi, що обмеженi реб- рами графа G(ω1), переходили в областi, що обмеженi образами цих ребер у графi G(ω2); додатнi пiдобластi переходили у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi; 2) для кожної з областей з M\G(ωi), i = 1, 2, що мiстить хоча б одну незам- кнену рекурентну пiвкриву, виконувались умови: для орiєнтованих областей роду r = 1 числа обертання незамкнених рекурентних пiвкривих замкнених 1-форм ω1 i ω2 повиннi бути сумiрними; для орiєнтованих областей роду r ≥ 2 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω1 i ω2, що мають сумiрнi гомотопiчнi класи обертання; для неорiєнтованих областей роду r = 3 числа обертання пiвкривих замкнених 1-форм ω1 i ω2 повиннi бути сумiрними; для неорiєнтованих областей роду r ≥ 4 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω1 i ω2, що мають однаковi орбiти обертання. Дану статтю присвячено вивченню топологiчної класифiкацiї замкнених 1-форм на компактних поверхнях з краєм. Її метою є знаходження необхiдних i достатнiх умов топологiчної еквiвалентностi замкнених 1-форм з iзольованими нулями на поверхнях з краєм. 2. Основнi означення. Аналогiчно до означень, введених у роботi [8] для замкнених поверхонь, введемо означення для компактних поверхонь з краєм. Нехай F — гладка (класу C∞) поверхня з краєм ∂F роду p. Розглянемо на поверхнi F замкнену 1-форму ω = A(x, y)dx + B(x, y)dy, де A,B : U → R — гладкi функцiї, U ⊂ F — вiдкрита множина, (x, y) — координати в U. Нехай N(ω) = {z ∈ F : A(z) = B(z) = 0} — множину нулiв 1-форми ω. Означення 2.1. Крива γ ⊂ F,що не мiстить нулiв, називається iнтегральною кривою 1-форми ω, якщо локально вона є рiвнем функцiї f такої, що ω = df. Ми будемо розглядати тiльки максимальнi iнтегральнi кривi (якi не є власними пiдмножинами iнших кривих) i називати їх просто кривими чи траєкторiями. Для кожного досить малого околуU(z) точки z ∈M\N(ω) крива, що проходить через z, розбиває U(z) на двi частини: додатну {v : f(v) − f(z) > 0} i вiд’ємну {v : f(v) − f(z) < 0}. Означення 2.2. Диференцiальнi 1-форми ω1 i ω2 на F називаються тра- єкторно еквiвалентними, якщо iснує гомеоморфiзм h : F → F, що вiдображає нулi в нулi, а кривi на кривi. При цьому h називається траєкторною еквiвалентнiстю. Якщо, крiм того, h зберiгає розбиття кожного малого околу точки z ∈ F\N(ω) на додатну i вiд’ємну частини, то вiн називається топологiчною еквiвалентнiстю, а вiдповiднi 1-форми — топологiчно еквiвалентними. Об’єднання додатних частин околiв будемо називати додатною пiдобластю, а вiд’ємних — вiд’ємною пiдобластю. Означення 2.3. Нуль 1-форми називається iзольованим, якщо iснує його окiл, що не мiстить iнших нулiв. Нехай iнтегральнi кривi ω, що з’єднують нулi, розбивають поверхню F на скiнченне число областей, в кожнiй з яких визначено свою координатну систему (x, y). Тодi в кожнiй областi подамо iнтегральну криву γ у виглядi x = x(t), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1457 y = y(t). Введемо на F таку рiманову метрику, що диференцiал дуги iнтегральної кривої γ: x = x(t), y = y(t) задовольняє умову ds2 = Edx2 + 2Fdxdy +Gdy2, де E, G, F — коефiцiєнти першої квадратичної форми при деякому вкладеннi в R n. Нехай z0 6∈ ∂F — нуль замкненої 1-формиω, тобтоA(z0) = B(z0) = 0.Оскiльки 1-форма ω є замкненою, то локально iснує функцiя f : ω = df i A(z0) = B(z0) = = ∂f(z0) ∂x = ∂f(z0) ∂y , тобто z0 — критична точка функцiї f. Вiдомо [12], що для кожної критичної точки z0 (крiм локального мiнiмуму i максимуму) iснує окiл, у якому функцiя f спряжена з функцiєю Re(x + iy)k для деякого числа k ∈ N\{1}. Можливi лише два види iзольованих точок: сiдло i центр. Далi в роботi будемо розглядати замкненi 1-форми лише з iзольованими нулями, iнтегральнi кривi яких мають скiнченне число сiдел i сепаратрис. Вiдомо, що iнтегральнi кривi не мають джерел (витокiв), стокiв i траєкторiй, ω- або α-граничними множинами яких є кривi, гомеоморфнi колу S1. Означення 2.4. Iнтегральна крива γ : R → F називається рекурентною, якщо γ ⊂ {z ∈ F : ∃{tn} → ±∞, γ(tn) → z, n→ ∞}. З означення випливає, що якщо iнтегральна крива є замкненою або скрiзь щiль- ною на F, то вона є рекурентною. У кожнiй точцi iнтегральної кривої γ задамо єдиний вектор p̄ = (A;B) = = ( ∂f ∂x ; ∂f ∂y ) . Означення 2.5. Будемо вважати, що в кожнiй точцi кривої γ вектор p̄ = = (A,B) = ( ∂f ∂x ; ∂f ∂y ) направлений вiд iнтегральної кривої з меншим значенням рiвня (з вiд’ємної частини околу) до iнтегральної кривої з бiльшим значенням рiвня (в додатну частину околу), тобто вектор p̄ локально порiвнює двi сусiднi iнте- гральнi кривi замкненої 1-форми ω, i називатимемо його порiвнюючим напрямком у точцi. Означення 2.6. Нехай точка z ∈ γ, (a(z); b(z)) — вектор у точцi z. Буде- мо говорити, що у точцi z вектор (b(z);−a(z)) утворений поворотом вектора (a(z); b(z)) за годинниковою стрiлкою, а вектор (−b(z); a(z)) — проти годиннико- вої стрiлки. Означення 2.7. Компонентою краю ∂F будемо називати пiдмножину з ∂F, яка гомеоморфна S1, i позначатимемо її через K. 3. Поведiнка iнтегральних кривих в околi компоненти краю K. Дослiдимо наступнi варiанти поведiнки iнтегральних кривих в околi компоненти краю K: 1) K ⊆ ∂F належить об’єднанню iнтегральних кривих ω: a) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить хоча б одне сiдло; б) компонента краю K ⊆ ∂F не мiстить жодного сiдла; 2) iнтегральнi кривi ω знаходяться в загальному положеннi до компоненти краю K ⊆ ∂F (означення загального положення кривих, множин N+ i N− наведено у пп. 3.2): а) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить лише точки N+; б) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить лише точки N−; в) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить точки N+ i N−; 3) iнтегральнi кривi ω всюди трансверсально перетинають K ⊆ ∂F. Розглянемо детальнiше кожен iз цих випадкiв. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1458 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК 3.1. K ⊆ ∂F належить об’єднанню iнтегральних кривих ω. а) компонен- та краю K ⊆ ∂F мiстить хоча б одне сiдло. Вiдомо [12], що iнтегральнi кривi замкненої 1-форми мають лише сiдла парної валентностi, але у данiй роботi роз- глядалися замкненi 1-форми на замкнених поверхнях i, вiдповiдно, сiдла не знахо- дилися на межi. Аналогiчно до роботи [12] у випадку поверхнi з краєм F сiдла у intF мають лише парну валентнiсть, а на межi можливi сiдла рiзної валентностi. Тому розглянемо такi випадки: а1) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить лише сiдла парної валентностi. Лема 3.1. Нехай F — компактна поверхня з краєм ∂F iK ⊆ ∂F — компонента краю, яка мiстить лише сiдла парної валентностi. Тодi наK кiлькiсть таких сiдел може бути як парною, так i непарною. Доведення. Позначимо через yi ∈ K довiльне сiдло парної валентностi, через U(yi) його окiл. Розглянемо лiву крайню точку перетину ∂U(yi)∩K, i вiд цiєї точки почнемо рухатися у intF по ∂U(yi) до правої крайньої точки перетину ∂U(yi)∩K. Рухаючись по ∂U(yi), при перетинi з кожною наступною сепаратрисою сiдла yi порiвнюючий напрямок буде змiнюватися на протилежний. Оскiльки валентнiсть сiдла yi є парною, то порiвнюючий напрямок буде змiнюватися парну кiлькiсть разiв, а тому напрямки порiвнюючих напрямкiв у лiвiй i правiй крайнiх точках перетину ∂U(yi) ∩K будуть однаковими по вiдношенню до K (тобто або будуть одночасно направленi до K, або вiд K). Тому при проходженнi через окiл сiдла довiльної парної валентностi, яке знаходиться на компонентi краю K, порiвнюючi напрямки не змiнюють напрямок (зокрема це видно з рис. 1, а для сiдла валент- ностi 4). Отже, незалежно вiд кiлькостi сiдел парної валентностi порiвнюючi напрямки будуть узгодженими в околi K. Лему доведено. а б Рис. 1 У цьому випадку заклеїмо дану компоненту K диском D2, в середину диска помiстимо центр, який будемо називати „0”-центром, а навколо нього побудуємо регулярнi рiвнi. Розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної компоненти K i продовживши їх у intD2 до „0”-центра через порiвняння регулярних рiвнiв, легко бачити, що новi побудованi регулярнi рiвнi будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. Пiсля приклеювання диска новоутворену поверхню будемо позначати через F̃ i ставити на нiй бiля нового центра „0”. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1459 а2) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить лише сiдла непарної валентностi. Лема 3.2. Нехай F — компактна поверхня з краєм ∂F iK ⊆ ∂F — компонента краю, яка мiстить лише сiдла непарної валентностi. Тодi кiлькiсть таких сiдел на K є парною. Доведення. Позначимо через yi ∈ K довiльне сiдло непарної валентностi, через U(yi) його окiл. Розглянемо лiву крайню точку перетину ∂U(yi)∩K, i вiд цiєї точки почнемо рухатися у intF по ∂U(yi) до правої крайньої точки перетину ∂U(yi)∩K. Рухаючись по ∂U(yi), при перетинi з кожною наступною сепаратрисою сiдла yi порiвнюючий напрямок буде змiнюватися на протилежний. Оскiльки валентнiсть сiдла yi є непарною, то порiвнюючий напрямок буде змiнюватися непарну кiлькiсть разiв, а тому напрямки порiвнюючих напрямкiв у лiвiй i правiй крайнiх точках перетину ∂U(yi)∩K будуть рiзними по вiдношенню до K. Тому при проходженнi через окiл сiдла довiльної парної валентностi, яке знаходиться на компонентi краю K, порiвнюючi напрямки змiнюють напрямок (зокрема це видно з рис. 1, б для сiдла валентностi 3). Але порiвнюючi напрямки мають бути узгодженими в околi K, тому кiлькiсть сiдел непарної валентностi має бути парною на K. Лему доведено. Нехай yi, i = 1, k, — сiдла непарної валентностi наK. В цьому випадку заклеїмо дану компоненту K диском D2, в середину диска помiстимо сiдло, яке будемо називати „k”-сiдлом, i з’єднаємо його сепаратрисами з сiдлами на K. Зауважимо, що якщо на K є лише два сiдла непарної валентностi, то „2”-сiдла не буде, а сiдла y1 i y2 будуть з’єднуватися лише однiєю сепаратрисою. Новоутворенi сепаратриси розбивають D2 на k областей, в кожну з яких помiстимо центр iз концентричними колами навколо. Для новоутворених центрiв новi позначення вводити не будемо, оскiльки всi центри однозначно задаються „k”-сiдлом. Розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної K i продовживши їх у intD2 до „k”-сiдла (або до сепаратриси у випадку k = 2) через порiвняння регуляр- них рiвнiв, легко бачити, що новi побудованi регулярнi рiвнi будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. Пiсля прикле- ювання диска новоутворену поверхню будемо позначати через F̃ i ставити на нiй бiля нового сiдла „k”. а3) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить сiдла i парної, i непарної валентностi. Лема 3.3. Нехай F — компактна поверхня з краєм ∂F iK ⊆ ∂F — компонента краю, яка мiстить сiдла i парної, i непарної валентностi. Тодi кiлькiсть сiдел парної валентностi є довiльною, а непарної валентностi — парною. Доведення безпосередньо випливає з лем 3.1, 3.2. У даному випадку, не беручи до уваги сiдла парної валентностi, проводимо описанi вище мiркування для сiдел з непарною валентнiстю. Утворюємо „k”-сiдло (чи при k = 2 сепаратрису), центри з концентричними колами, як показано на рис. 2, i продовжуємо порiвнюючi напрямки у intD2. б) компонента краю K ⊆ ∂F не мiстить жодного сiдла. У цьому випадку K є регулярним рiвнем. Заклеїмо дану компоненту K диском D2 i в середину диска помiстимо центр, який також будемо називати „0”-центром. Аналогiчно, розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної K i продовживши їх в intD2 до „0”-центра через порiвняння регулярних рiвнiв, легко бачити, що новi побудованi регулярнi рiвнi будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1460 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК а б Рис. 2 Рис. 3 приклеєний диск D2. Пiсля приклеювання диска новоутворену поверхню будемо позначати через F̃ i ставити на нiй бiля нового центра „0”. Далi компоненти краю, описанi у цiй частинi, будемо називати компонентами краю варiанта 1. 3.2. Iнтегральнi кривi ω знаходяться в загальному положеннi до компонен- ти краю K ⊆ ∂F . Розглянемо точку z0 ∈ K ⊆ ∂F, i нехай в околi точки z0 задано карту з координатами (x, y), y ≥ 0 таку, що z0 = (x0, 0). У картi (x, y) подамо криву γ у виглядi γ(t) = (x(t), y(t)), тодi γ′(t0) = (x′(t0), y ′(t0)) — дотичний вектор до γ у точцi z0. Якщо y′(t0) 6= 0, то iнтегральнi кривi замкненої 1-форми ω трансверсальнi до краю K ⊆ ∂F у точцi z0, а якщо y′(t0) = 0, то iнтегральнi кривi ω дотичнi до K ⊆ ∂F у точцi z0. Позначимо через N ⊂ ∂F множину точок, у яких iнтегральнi кривi ω дотикаються краю ∂F. Означення 3.1. Точку z0 ∈ N будемо називати невиродженою, якщо в сис- темi координат (x, y), яку вибрано, як описано вище, y′(t0) = 0 i y′′(t0) 6= 0. Множину N назвемо невиродженою, якщо всi її точки невиродженi. Приклеїмо до даної компоненти краю K комiр S1 × [0; 1] i продовжимо iнте- гральнi кривi на нього. Таким чином ми продовжимо кривi ω за K. Означення 3.2. Позначимо точки множини N, у яких y′′(t0) > 0, через N+, а точки, в яких y′′(t0) < 0, через N−. Можливу поведiнку iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω у невиродженiй точцi (початок координат) зображено на рис. 3. Означення 3.3. Будемо говорити, що iнтегральнi кривi замкненої 1-форми ω знаходяться в загальному положеннi до компоненти краю K ⊆ ∂M, якщо во- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1461 Рис. 4 ни дотикаються до K в невироджених точках множини N i перетинають K трансверсально в усiх iнших точках. а) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить лише точки N+. Лема 3.4. Нехай F — компактна поверхня з краєм ∂F iK ⊆ ∂F — компонента краю, яка мiстить лише точки N+. Тодi кiлькiсть точок N+ буде парною на K. Доведення проведемо вiд супротивного. Нехай iнтегральнi кривi замкненої 1- форми ω на K мають k = 2l + 1, l ∈ N ∪ {0}, точок N+. Позначимо цi точки через y1, . . . , yk ∈ N+, рухаючись по K. Розпочавши з областi, що знаходиться в околi K мiж точками yi i yi+1, розставимо порiвнюючi стрiлки мiж iнтегральними кривими ω в околiK. При переходi через окiл кожної точки yi, i = 1, k, порiвнюючi напрямки змiнюють напрямок на протилежний, як показано на рис. 4. Оскiльки число точок yi, i = 1, k, є непарним, то початковi порiвнюючi на- прямки змiнюватимуть напрямок непарну кiлькiсть разiв. Тому пiсля розставлення порiвнюючих напрямкiв у всьому околi K мiж iнтегральними кривими, з яких було почато розставлення порiвнюючих стрiлок, будуть iснувати два протилежно напрямлених напрямки. Тодi данi кривi не будуть задавати iнтегральнi кривi замк- неної 1-форми. Отримали суперечнiсть, що й завершує доведення леми. Заклеїмо дану компоненту K диском D2 i продовжимо iнтегральнi кривi ω на D2 таким чином. При \|N+\| = 2 можливий лише один варiант, показаний на рис. 5, a. Нехай N+ = {y1, y2}, тодi точки y1, y2 розбивають K на двi частини: (y1, y2) i (y2, y1). Кожну криву з (y1, y2) неперервно з’єднуємо з деякою кривою з (y2, y1) так, щоб мiж рiзними кривими не виникало перетинiв (рис. 5, б). Розставивши по- рiвнюючi напрямки в околi даної компоненти K i продовживши їх в intD2 через порiвняння нових кривих, що не перетинаються, легко бачити, що цi новi кривi будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. При \|N+\| > 2, як показано на рис. 6, помiстимо сiдло в центрD2, яке буде нулем замкненої 1-форми ω, а кожна сепаратриса, що виходить з нього, буде проходити мiж двома сусiднiми точками yi i yi+1.Оскiльки кiлькiсть точок y1, . . . , yk є парною, то i кiлькiсть сепаратрис також буде парною. Новоутворене сiдло будемо називати „+”-сiдлом, а на новоутворенiй поверхнi будемо ставити бiля цього сiдла „+”. Розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної компоненти K i продовживши їх в intD2 через порiвняння нових кривих i сепаратрис, легко бачити, що цi новi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1462 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК а б Рис. 5 а б Рис. 6 кривi i сепаратриси будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. Отже, продовжуючи iнтегральнi кривi замкненої 1-форми з компоненти краю K ⊆ ∂F на приклеєний до K диск D2, отримуємо новоутворену поверхню F̃ i при \|N+\| = 2 випадок без особливостей або при \|N+\| > 2 „+”-сiдло парної валентностi \|N+\|. б) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить лише точки N−. Лема 3.5. Нехай F — компактна поверхня з краєм ∂F iK ⊆ ∂F — компонента краю, яка мiстить лише точки N−. Тодi кiлькiсть точок N− буде парною на K. Доведення проведемо вiд супротивного. Нехай, як i для точок N+, iнтегральнi кривi ω мають наK непарну кiлькiсть точок y1, . . . , yk ∈ N−, k = 2l+1, l ∈ N∪{0}. Розставляємо порiвнюючi напрямки мiж iнтегральними кривими ω в околi K. При переходi через окiл кожної точки yi, i = 1, k, порiвнюючi напрямки змiнюють напрямок на протилежний, як показано на рис. 7. Оскiльки число точок yi, i = 1, k, є непарним, то початковi порiвнюючi на- прямки змiнюватимуть напрямок непарну кiлькiсть разiв. Тому пiсля розставлення порiвнюючих напрямкiв у всьому околi K мiж iнтегральними кривими, з яких було почато розставлення порiвнюючих стрiлок, будуть iснувати два протилежно напрямлених напрямки. Тодi данi кривi не будуть задавати iнтегральнi кривi замк- неної 1-форми. Отримали суперечнiсть, що й завершує доведення леми. Заклеїмо дану компоненту K диском D2 i продовжимо iнтегральнi кривi ω на D2 таким чином. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1463 Рис. 7 а б Рис. 8 При \|N−\| = 2 можливий лише один варiант, показаний на рис. 8, а. Нехай N− = {y1, y2}, тодi точки y1, y2 розбивають K на двi частини: (y1, y2) i (y2, y1). Кожну криву з (y1, y2) неперервно з’єднуємо з деякою кривою з (y2, y1) так, щоб мiж рiзними кривими не виникало перетинiв (рис. 8, б). Таким чином отримуємо два центри y1 i y2, навколо яких розташованi замкненi кривi. Новоутворенi центри будемо позначати „01” i „02”. Розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної компонентиK i продовживши їх в intD2 через порiвняння частин кiл навколо „01”- i „02”-центрiв, легко бачити, що цi новi кривi будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. При \|N−\| > 2, як показано на рис. 9, помiстимо сiдло в центр D2, яке буде нулем замкненої 1-форми ω, а кожна сепаратриса, що виходить з нього, буде про- ходити мiж двома сусiднiми точками yi i yi+1. Оскiльки кiлькiсть точок y1, . . . , yk є парною, то i кiлькiсть сепаратрис також буде парною. Розставивши порiвнюючi на- прямки в околi даної K i продовживши їх в intD2 через порiвняння нових кривих i сепаратрис, легко бачити, що цi новi кривi i сепаратриси будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. Новоутворене сiдло будемо називати „−”-сiдлом, а на новоутворенiй поверхнi будемо ставити бiля сiдла „−”. Розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної компоненти K i продовживши їх в intD2 через порiвняння нових кривих i сепаратрис, легко ба- чити, що цi новi кривi i сепаратриси будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1464 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК а б Рис. 9 Отже, продовжуючи iнтегральнi кривi замкненої 1-форми з компоненти краю K ⊆ ∂F на приклеєний до K диск D2, отримуємо новоутворену поверхню F̃ i при \|N−\| = 2 два центри або при \|N−\| > 2 „−”-сiдло парної валентностi \|N−\|. в) компонента краю K ⊆ ∂F мiстить точки N+ i N−. Лема 3.6. Нехай F — компактна поверхня з краєм ∂F iK ⊆ ∂F — компонента краю, яка мiстить лише точки N+ i N−. Тодi кiлькiсть точок N+ i N− буде парною на K. Доведення проведемо вiд супротивного. Нехай, як i для точок N+ i N−, iн- тегральнi кривi ω мають на K непарну кiлькiсть точок y1, . . . , yk ∈ N+ ∪ N−, k = 2l + 1, l ∈ N ∪ {0}. Розставляємо порiвнюючi напрямки мiж iнтегральними кривими ω в околi K. При переходi через окiл точки yi, i = 1, k, порiвнюючi на- прямки змiнюють напрямок на протилежний. Оскiльки число точок yi, i = 1, k, є непарним, то початковi порiвнюючi напрямки змiнюватимуть напрямок непарну кiлькiсть разiв, тому мiж iнтегральними кривими, з яких було почато розставлен- ня порiвнюючих стрiлок, будуть iснувати два протилежно напрямлених напрямки. Тодi данi кривi не будуть задавати iнтегральнi кривi замкненої 1-форми. Отримали суперечнiсть, що й завершує доведення леми. Розглянемо для прикладу випадок, зображений на рис. 10. Заклеїмо дану ком- понентуK дискомD2 i продовжимо iнтегральнi кривi ω наD2 таким чином: помiс- тимо сiдло в центр D2, яке буде нулем замкненої 1-форми ω, а кожна сепаратриса, що виходить з нього, буде проходити мiж двома сусiднiми точка- ми yi i yi+1. При цьому якщо сепаратриса проходить мiж двома точками, одна з яких належить N+, а iнша — N−, то вона утворює петлю i знову повертається в те ж сiдло. Оскiльки кiлькiсть точок y1, . . . , yk є парною, то i кiлькiсть сепаратрис також буде парною. Новоутворене сiдло будемо називати „±”-сiдлом, а на ново- утворенiй поверхнi будемо ставити бiля цього сiдла „±”. Розставивши порiвнюючi напрямки в околi даної компоненти K i продовживши їх в intD2 через порiв- няння нових кривих i сепаратрис, легко бачити, що цi новi кривi i сепаратриси будуть продовженням iнтегральних кривих замкненої 1-форми ω на приклеєний диск D2. Отже, продовжуючи iнтегральнi кривi замкненої 1-форми з компоненти краю K ⊆ ∂F на приклеєний до K диск D2, отримуємо новоутворену поверхню F̃ i „±”-сiдло парної валентностi \|N+ ∪N−\|. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1465 а б Рис. 10 Далi компоненти краю, описанi у цiй частинi, будемо називати компонентами краю варiанта 2. 3.3. Iнтегральнi кривi ω скрiзь трансверсально перетинають K ⊆ ∂F. Нехай поверхня F має n ≥ 1 компонент краю K ⊆ ∂F, кожну з яких iнтегральнi кривi ω перетинають трансверсально в кожнiй точцi. Далi у цьому пiдпунктi данi компоненти краю будемо називати компонентами краю варiанта 3. При деякому вкладеннi поверхнi F в R n побудуємо гомеоморфне перетворення F таким чином, щоб iснувала функцiя висоти, для якої всi компоненти варiанта 3 лежали б на одному максимальному рiвнi. Задамо однаковi орiєнтацiї на всiх компонентах краю варiанта 3. Позначимо через F ′ „дзеркальну” копiю початкової поверхнiF вiдносно максимального рiвня, а через ω′ замкнену 1-форму, задану на F ′. Очевидно, що F ′ буде мати також n ≥ 1 компонент краю варiанта 3 i цi компоненти будуть мати орiєнтацiї такi ж, як i їх копiї в F. Розглянемо n ручок S1 × [0; 1], в яких S1 ×{0} i S1 × {1} мають таку ж орiєнтацiю, як i компоненти краю варiанта 3. Ототожнимо кожну пару компонент краю (пiд парою розумiється сама компонента на поверхнi F i її „дзеркальна” копiя на поверхнi F ′ вiдносно максимального рiвня) з межами однiєї з n ручок. Отримаємо нову поверхню, яку будемо позначати F ∪ F ′. Пiсля такого склеювання iнтегральнi кривi ω, якi були трансверсальними до кожної з компонент краю K ⊆ ∂F варiанта 3, продовжаться в F ∪F ′ на iнтеграль- нi кривi ω′, якi були трансверсальними до кожної з компонент краю K ′ ⊆ ∂F ′ варiанта 3. Зауваження 3.1. Якщо F i F ′ мають лише компоненти краю варiанта 3, то F∪F ′ — замкнена поверхня, якщо ж F i F ′ мають ще й компоненти краю варiантiв 1 або 2, то F∪F ′ — компактна поверхня з краєм, тому далi у даному пiдпунктi будемо писати, що F ∪ F ′ — поверхня. Лема 3.7. Нехай F — орiєнтована компактна поверхня з краєм роду p. Тодi F ∪F ′ — орiєнтована поверхня роду 2p+ n− 1, де n — кiлькiсть компонент краю варiанта 3. Доведення. Поверхнi F i F ′ орiєнтованi. Оскiльки орiєнтацiя меж кожної руч- ки i орiєнтацiя компонент краю збiгаються, то пiсля заклеювання ручками пар компонент краю поверхонь F i F ′ отримаємо, що F ∪ F ′ — орiєнтована поверхня. Поверхня F має рiд p, поверхня F ′ — рiд p, як копiя F. Заклеювання ручкою однiєї пари „дзеркально” протилежних компонент краю роду не змiнить. Заклею- вання кожної наступної пари „дзеркально” протилежних компонент краю (їх буде ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1466 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК n − 1) еквiвалентне приклеюванню ручки до орiєнтованої поверхнi, кожна з яких буде збiльшувати рiд на 1. Тому рiд F ∪ F ′ буде 2p+ n− 1. Лему доведено. Лема 3.8. Нехай F — неорiєнтована компактна поверхня з краєм роду p. Тодi F ∪ F ′ — неорiєнтована поверхня роду 2(p+ n− 1), де n — кiлькiсть компонент краю варiанта 3. Доведення. Поверхнi F i F ′ неорiєнтованi. Оскiльки орiєнтацiя меж кожної ручки i орiєнтацiя компонент краю збiгаються, то пiсля заклеювання ручками пар компонент краю поверхонь F i F ′ отримаємо, що F ∪F ′ — неорiєнтована поверхня. Поверхня F має рiд p, поверхня F ′ — рiд p, як копiя F. Заклеювання ручкою однiєї пари „дзеркально” протилежних компонент краю роду не змiнить. Заклею- вання кожної наступної пари „дзеркально” протилежних компонент краю (їх буде n−1) еквiвалентне приклеюванню ручки до неорiєнтованої поверхнi, кожна з яких буде збiльшувати рiд на 2. Тому рiд F ∪ F ′ буде 2p+ 2(n− 1) = 2(p+ n− 1). Лему доведено. Зауваження 3.2. На поверхнi F ∪F ′ iснує iнволюцiя ψ : F ∪F ′ → F ∪F ′, яка кожнiй точцi з F ∪ F ′ ставить у вiдповiднiсть симетричну („дзеркальну”) вiднос- но межi склеювання (максимального рiвня). Тому ця iнволюцiя ψ переводить нулi в нулi, „0”-, „01”-, „02”-центри, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла в точки того ж типу, кривi на кривi, додатнi пiдобластi в додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi, а на компонентах краю, якi iнтегральнi кривi скрiзь перетинають трансверсально, ψ дiє тотожно. Таким чином ми отримали поверхню F ∪F ′, на якiй iснує iнволюцiя ψ i яка не має компонент краю K ⊆ ∂F варiанта 3. 4. Загальний випадок. Нехай задано компактну поверхню F з краєм ∂F. Якщо ∂F мiстить тiльки компоненти краю варiантiв 1 або 2, то, заклеївши їх дисками D2, отримаємо нову поверхню F̃ з „0”-, „01”-, „02”-центрами, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла. Якщо F̃ мiстить компоненти краю варiанта 3, то будуємо поверхню F̃ ∪ F̃ ′. Пiсля всiх цих перебудов новоутворену замкнену 1-форму на F̃ ∪ F̃ ′ будемо позначати через ω̃. Зауваження 4.1. Якщо поверхня F не мiстить компонент краю варiантiв 1 або 2, то F̃ ∪ F̃ ′ = F ∪ F ′. Якщо поверхня F не мiстить компонент краю варiанта 3, то F̃ ∪ F̃ ′ = F̃ . Введемо деякi означення. Означення 4.1. Диференцiальнi 1-форми ω̃1 i ω̃2, заданi на F̃ ∪ F̃ ′, назива- ються траєкторно еквiвалентними, якщо iснує гомеоморфiзм h : F̃ ∪ F̃ ′ → F̃ ∪ F̃ ′, що вiдображає нулi в нулi, „0”-, „01”-, „02”-центри, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла в точки того ж типу, а кривi на кривi. При цьому h називається траєкторною еквiвалентнiстю. Якщо, крiм того, h зберiгає розбиття кожного малого околу точки z ∈ F̃ ∪ F̃ ′ \N(ω̃) на додатну i вiд’ємну частини, то вiн називається топологiчною еквiвалентнiстю, а вiдповiднi 1-форми називаються топологiчно еквiвалентними. Нехай Si 6= ∅ — множина нулiв замкненої 1-форми ω̃i на F̃ , S′ i 6= ∅ — множина нулiв 1-форми ω̃i на F̃ ′. Означення 4.2. Будемо вважати, що топологiчна еквiвалентнiсть h замкне- них 1-форм ω̃1 i ω̃2 зберiгає розбиття на вершини, якщо h(S1) = S2, h(S ′ 1) = S′ 2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1467 Теорема 4.1. Нехай F — компактна поверхня з краєм роду p i на F задано двi замкненi 1-форми ω1 i ω2. Для того щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалентними, необхiдно i достатньо, щоб для ω̃1 i ω̃2, заданих на F̃ ∪ F̃ ′, iснувала топологiчна еквiвалентнiсть зi збереженням розбиття на вершини. Доведення. Необхiднiсть. За умовою теореми ω1 i ω2 є топологiчно еквiва- лентними, тобто iснує h : F → F — топологiчна еквiвалентнiсть. Якщо F має компоненти краю варiантiв 1 або 2, то даний гомеоморфiзм h задає топологiчну еквiвалентнiсть i мiж околами кожної компоненти краю. Оскiльки для однакових компонент краю (компоненти краю вважаються однаковими, якщо вони одночасно мають однаковi властивостi з варiантiв 1 або 2) продовження iнтеграль- них кривих на приклеєний диск D2 є однаковим, то тим самим ми однозначно продовжуємо топологiчну еквiвалентнiсть h з поверхнi F на поверхню F̃ . Звiдси випливає h(S1) = S2. Якщо F має компоненти краю варiанта 3, то будуємо поверхню F̃ ∪ F̃ ′ з зада- ними на нiй замкненими 1-формами ω̃1 i ω̃2. Нехай ψi — iнволюцiя на поверхнi F̃ ∪ F̃ ′, на якiй задано ω̃i. Внаслiдок того, що iнволюцiї ψ1 i ψ2 переводять нулi в нулi, „0”-, „01”-, „02”-центри, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла в в точки того ж типу, кривi на кривi, додатнi частини пiвоколiв у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi, ψ2◦h◦ψ −1 1 : F̃ ′ → F̃ ′ — топологiчна еквiвалентнiсть. Оскiльки на межi склеювання ψ−1 1 (x) = ψ2(x) = x, то H(x) :=    ψ2 ◦ h ◦ ψ−1 1 (x), x ∈ F̃ ′, h(x), x ∈ F̃ , x ∈ F̃ ∪ F̃ ′, — топологiчна еквiвалентнiсть ω̃1 та ω̃2 i H(S1) = h(S1) = S2, H(S′ 1) = ψ2 ◦ h ◦ ◦ ψ−1 1 (S′ 1) = ψ2 ◦ h(S1) = ψ2(S2) = S′ 2. Достатнiсть. Розглянемо такi випадки. 1. Поверхня F̃ ∪ F̃ ′ не має нулiв. За теоремою Хопфа це можливо у випадку, коли F̃ ∪ F̃ ′ — орiєнтована поверхня роду 1 або неорiєнтована поверхня роду 2. Як показано в доведеннях лем 3.7, 3.8, при склеюваннi з 2-ї пари компонент варiанта 3 рiд орiєнтованої поверхнi F̃ ∪ F̃ ′ завжди збiльшується на 1, а неорiєнтованої — на 2. Тому F̃ буде поверхнею роду 0, тобто гомеоморфною S1 × [0; 1]. Враховуючи, що F̃ ∪ F̃ ′ не має нулiв, а отже, F̃ також не має нулiв, маємо F̃ = F. Оскiльки на F ∼= S1× [0; 1] iнтегральнi кривi скрiзь трансверсальнi до S1×{0} i до S1 × {1}, то гомеоморфними перетвореннями можна подати iнтегральнi кривi у виглядi z × [0; 1], z ∈ S1. Тодi ω1 i ω2, заданi на F ∼= S1 × [0; 1], будуть мати вигляд z × [0; 1], z ∈ S1 i завжди будуть топологiчно еквiвалентними. 2. Поверхня F̃ ∪ F̃ ′ має нулi. Позначимо через H топологiчну еквiвалентнiсть мiж ω̃1 i ω̃2, H(S1) = S2, H(S′ 1) = S′ 2. Нехай Kij (i = 1, 2, j = 1, J, J — кiлькiсть компонент варiанта 3) — межi склеювання F̃ i F̃ ′ при утвореннi F̃ ∪ F̃ ′ з заданою замкненою 1-формою ω̃i, тобто Kij — компоненти краю варiанта 3. Розглянемо деяку компоненту краю K1j0 , j0 ∈ {1, . . . , J}, i нехай H(K1j0) = K ′ 2j0 . Розiб’ємо доведення на декiлька частин. 1. Довiльну компоненту краю варiанта 3 перетинає хоча б одна сепаратриса. Нехай K — довiльна компонента краю варiанта 3. Покажемо, що iснує сiдло x ∈ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1468 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК ∈ F̃ , з якого виходить сепаратриса i перетинає K. Припустимо супротивне: такого сiдла не iснує. Тодi всi iнтегральнi кривi, якi перетинають Kij0 трансверсально, перетинають лише одну вiдмiнну вiд K компоненту краю варiанта 3, а поверхня F̃ гомеоморфна цилiндру S1 × [0; 1] з iнтегральними кривими z × [0; 1], z ∈ S1. Це неможливо, адже ми розглядаємо випадок, коли поверхня F̃ ∪ F̃ ′ має нулi. Тому iснує сiдло x ∈ F̃ , з якого виходить сепаратриса i перетинає K. Оскiльки за побудовою F̃ ′ є копiєю F̃ , то iснує сiдло x′ ∈ F̃ ′ та x з x′ з’єднує сепаратриса, яка перетинає K. Нехай сiдла x та x′ з’єднує сепаратриса γ1, яка перетинає K1j0 i є кривою ω̃1. Сiдла H(x) = y i H(x′ ) = y′ сполучає сепаратриса H(γ1) = γ2, яка є кривою ω̃2. Оскiльки H зберiгає розбиття на вершини, то y ∈ F̃ , y′ ∈ F̃ ′ i iснує компонента краю K2j0 варiанта 3, яку γ2 перетинає. 2. K2j0 i K ′ 2j0 перетинає однакова кiлькiсть сепаратрис. Покажемо, що до- вiльна сепаратриса перетинає довiльну компоненту краю варiанта 3 лише в однiй точцi. Якщо iснує сепаратриса, яка перетинає компоненту краю варiанта 3 бiль- ше нiж в однiй точцi, то це можливо лише у випадку, коли ця компонента краю має точки дотику з iнтегральними кривими, що неможливо, адже довiльну межу склеювання iнтегральнi кривi перетинають скрiзь трансверсально. Покажемо, що мiжK2j0 i K ′ 2j0 немає сiдел. Припустимо супротивне: мiжK ′ 2j0 i K2j0 iснує сiдло y.ОскiлькиK2j0 — компонента краю варiанта 3, то iснує симетрич- не вiдносно K2j0 сiдло y′ та y i y′ знаходяться по один бiк вiд K ′ 2j0 . Застосувавши H−1, отримаємо, що H−1(y) i H−1(y′ ) знаходяться по один бiк вiд K1j0 . Це неможливо, адже H зберiгає розбиття на вершини. Тому мiж K2j0 i K ′ 2j0 немає сiдел. З попереднiх мiркувань випливає, що K ′ 2j0 i K2j0 перетинає однакова кiлькiсть сепаратрис. 3. K2j0 i K ′ 2j0 iзотопнi. Нехай K2j0 i K ′ 2j0 перетинають S ∈ N сепаратрис. Позначимо через {bs}, {b ′ s}, s = 1, S, точки перетину S сепаратрис з K2j0 i K ′ 2j0 вiдповiдно. Точки {bs}, {b ′ s} розбиваютьK2j0 iK ′ 2j0 на частини [bs; bs+1] i [b′s; b ′ s+1] вiдповiдно, де b1 = bS+1, b ′ 1 = b′S+1. Оскiльки iнтегральнi кривi не мають стокiв, витокiв, ω- чи α-граничних мно- жин, гомеоморфних колу, а кривi ω̃2, якi перетинають K2j0 у точках (bs; bs+1) ⊂ ⊂ K2j0 , не є сепаратрисами, то цi кривi будуть замкненими на F̃ ∪ F̃ ′. Зауважимо, що замкненi кривi ω̃2, якi перетинають K2j0 у точках (bs; bs+1), будуть гомотопни- ми, бо iнакше мiж ними завжди iснувало б сiдло, яке i порушувало б гомотопiю цих кривих, а його сепаратриса задавала б точку bs0 ∈ (bs; bs+1), чого бути не може. Розглянемо неперервне вiдображення η : [0; 1]× [0; 1] → F̃ ∪ F̃ ′ таке, що верти- кальнi шари {t}× [0; 1] гомеоморфно вiдображаються на кривi ω̃2 в чотирикутнику bsb ′ sb ′ s+1bs+1, η([0; 1]×{0}) = [bs; bs+1] ⊆ K2j0 , η([0; 1]×{1}) = [b′s; b ′ s+1] ⊆ K ′ 2j0 . Зафiксуємо деяку точку at0 ∈ (bs; bs+1), at0 = η(t0 × {0}) ∈ γt0 , де t0 ∈ ∈ (0; 1), γt0 — замкнена крива ω̃2. На кожнiй сепаратрисi можна неперервно вiд- образити bs в b′s. Розпочинаючи з точок bs i bs+1, розглянемо неперервне вiдобра- ження точок at = η(t × {0}) ⊆ [bs; bs+1] в точки a′t = η(t × {1}) ⊆ [b′s; b ′ s+1] по iнтегральних кривих ω̃2. Вiдстань вiд at до a′t позначимо через st = η(t × [0; 1]). Змiнюючи неперервно точки вiд bs i вiд bs+1 до at0 i вiдображаючи at в a′t, отри- муємо неперервну змiну вiдстаней {st} з правої i лiвої сторiн вiдносно at0 . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1469 Якщо, дiйшовши до at0 , ми маємо однаковi вiдстанi з правої i лiвої сторiн вiд at0 до a′t0 , то неперервно вiдображаємо at0 в a′t0 i отримуємо iзотопiю [bs; bs+1] в [b′s; b ′ s+1]. Дiйшовши до at0 , ми можемо отримати рiзнi вiдстанi з правої i лiвої сторiн вiд at0 до a′t0 . Оскiльки кривi ω̃2 трансверсально перетинають K ′ 2j0 , то рiзнi вiдстанi можливi у випадку, коли iснує скручування Дена D, яке дiє в околi γt0 вздовж кривих ω̃2, тобто залишає їх нерухомими, а частина K ′ 2j0 з околу γt0 обертається навколо γt0 певну кiлькiсть разiв. Тому вiдстанi з правої i лiвої сторiн вiд at0 до a′t0 будуть вiдрiзнятися на s · n, де s — довжина γt0 , n — кiлькiсть обертiв навколо γt0 . У цьому випадку неперервне вiдображення at0 в a′t0 неможливе. Тодi H в околi γt0 можна реалiзувати як n скручувань Дена D вiдносно γt0 . Застосувавши n разiв D−1, отримаємо, що вiдстанi з правої i лiвої сторiн у точцi at0 будуть рiвними st0 , а at0 буде неперервно вiдображатися в a′t0 . Зауважимо, що скручування Дена дiє вздовж iнтегральних кривих, тому є топологiчною еквiвалентнiстю. Тодi i в цьому випадку отримуємо iзотопiю [bs; bs+1] в [b′s; b ′ s+1]. Застосувавши описанi мiркування до кожного промiжку [bs; bs+1], отримаємо iзотопiю ftj0 , t ∈ [0; 1] таку, що f0j0(K2j0) = K2j0 , f1j0(K2j0) = K ′ 2j0 . Зауважимо, що побудована iзотопiя ftj0 компоненти краю K2j0 буде продов- жуватися до iзотопiї всiєї поверхнi F̃ ∪ F̃ ′, бо дiє в деякому околi K2j0 ∪ K ′ 2j0 i тотожно поза ним. Iзотопiю F̃ ∪ F̃ ′ також будемо позначати через ftj0 , i f1j0 буде топологiчною еквiвалентнiстю ω̃2, бо дiє вздовж iнтегральних кривих, тобто залишає її нерухомими. Провiвши аналогiчнi мiркування для всiх меж склеювання K1j , отримаємо, що f11 ◦ . . . ◦ f1J ◦H : F̃ ∪ F̃ ′ → F̃ ∪ F̃ ′ — топологiчна еквiвалентнiсть ω̃1 i ω̃2, яка межi склеювання вiдображає в межi склеювання. Зафiксувавши деякий нуль з множини нулiв S1 i розглянувши всi можливi кривi, якi не перетинають K1j , j = 1, J, i сполучають даний нуль з довiльною точкою, переконаємось, що f11 ◦ . . . ◦ f1J ◦H : F̃ → F̃ — топологiчна еквiвалентнiсть ω̃1 i ω̃2. Позначимо через ∪{intD2} внутрiшностi всiх дискiв D2, якi приклеювалися до компонент краю варiантiв 1 та 2. З топологiч- ної еквiвалентностi ω̃1 i ω̃2 випливає однакова кiлькiсть компонент краю варiантiв 1 та 2 на поверхнях F̃\ ∪ {intD2} з заданою ω̃1 i F̃\ ∪ {intD2} з заданою ω̃2 та однотипна поведiнка кривих ω̃1 i ω̃2 в околах цих компонент. Тому f11 ◦ . . . ◦ f1J ◦H : F̃\ ∪ {intD2} → F̃\ ∪ {intD2} — також топологiчна еквiвалентнiсть. Оскiльки F̃\ ∪ {intD2} = F, ω̃1\|F = ω1, ω̃2\|F = ω2, то f11 ◦ . . . ◦ f1J ◦H : F → F — шукана топологiчна еквiвалентнiсть замкнених 1-форм ω1 i ω2. Теорему доведено. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1470 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК Об’єднання нулiв, „0”-, „01”-, „02”-центрiв, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдел та iнтегральних кривих, що їх з’єднують, будемо розглядати як граф G(ω̃), що вкла- дений у поверхню F̃ ∪ F̃ ′. Вершинами графа є нулi, „0”-, „01”-, „02”-центри, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла, а ребрами — iнтегральнi кривi, що їх з’єднують. При цьо- му якщо з вершини виходить незамкнена рекурентна пiвкрива, то для отримання графа G(ω̃) обрiжемо цю пiвкриву на деякiй вiдстанi вiд нуля i отримаємо ребро з однiєю вершиною валентностi 1. Теорема 4.2. Нехай F̃ ∪ F̃ ′ — замкнена поверхня роду p i на F̃ ∪ F̃ ′ задано двi замкненi 1-форми ω̃1 i ω̃2. Для того щоб ω̃1 i ω̃2 були топологiчно еквiвалентними зi збереженням розбиття на вершини, необхiдно i достатньо, щоб: 1) для G(ω̃1) 6= ∅ i G(ω̃2) 6= ∅ виконувались умови: iснував гомеоморфiзм f : F̃∪F̃ ′ → F̃∪F̃ ′ зi збереженням розбиття на вершини, обмеження якого на G(ω̃1) задає iзоморфiзм графiв G(ω̃1) i G(ω̃2), „0”-, „01”-, „02”-центри, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла переходять у вершини того ж типу; областi, що обмеженi ребрами графа G(ω̃1), переходили в областi, що обме- женi образами цих ребер у графi G(ω̃2); додатнi пiдобластi переходили у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi; 2) для пар областей з F̃\G(ω̃i) або з F̃ ′ \G(ω̃i), кожна з яких мiстить хоча б одну незамкнену рекурентну пiвкриву, виконувались умови: для орiєнтованих областей роду r = 1 числа обертання незамкнених рекурент- них пiвкривих замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2 мають бути сумiрними; для орiєнтованих областей роду r ≥ 2 iснує по однiй незамкненiй рекурент- нiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2, що мають сумiрнi гомотопiчнi класи обертання; для неорiєнтованих областей роду r = 3 числа обертання пiвкривих замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2 повиннi бути сумiрними; для неорiєнтованих областей роду r ≥ 4 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2, що мають однаковi орбiти обертання. Доведення. Необхiднiсть. Нехай ω̃1 i ω̃2 топологiчно еквiвалентнi на F̃ ∪ F̃ ′ зi збереженням розбиття на вершини, тобто iснує h : F̃ ∪ F̃ ′ → F̃ ∪ F̃ ′ — тополо- гiчна еквiвалентнiсть. Тодi f = h\|G(eω1) — шуканий гомеоморфiзм зi збереженням розбиття на вершини i умови п. 1 випливають з властивостей h. Оскiльки h задає топологiчну еквiвалентнiсть F̃ ∪F̃ ′ → F̃ ∪F̃ ′ i зберiгає розбит- тя на вершини, то, як показано при доведеннi теореми 4.1, h(F̃ ) = F̃ , h(F̃ ′) = F̃ ′. Тому h задає топологiчну еквiвалентнiсть i мiж вiдповiдними областями з F̃\G(ω̃i), F̃ ′ \G(ω̃i). В кожнiй областi з F̃\G(ω̃i), F̃ ′ \G(ω̃i) позаклеюємо межi дисками D2 i розглянемо кожну таку перебудовану область як орiєнтовану чи неорiєнтовану поверхню (орiєнтацiя початкової i перебудованої областей збiгаються). Тодi, вико- риставши теорему 1 з [10] для орiєнтованих поверхонь i теореми 4.1 – 4.3 з [11] для неорiєнтованих поверхонь, отримаємо потрiбнi умови п. 2. Достатнiсть. Нехай F̃ ∪F̃ ′\G(ω̃i), i = 1, 2, — об’єднання областей двох типiв: 1) заповнених замкненими iнтегральними кривими; 2) заповнених незамкненими рекурентними iнтегральними кривими. Як i в роботi [10], зафiксуємо структуру прямого добутку на областях типу 1 i продовжимо гомеоморфiзм мiж графами до гомеоморфiзму мiж областями. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗАМКНЕНИХ 1-ФОРМ НА ПОВЕРХНЯХ З КРАЄМ 1471 Заклеївши межi в областях типу 2 дисками D2, отримаємо поверхнi з заданими на них замкненими 1-формами. Використовуючи для кожної новоутвореної по- верхнi теорему 1 з [10] для орiєнтованих поверхонь або теореми 4.1 – 4.3 з [11] для неорiєнтованих поверхонь, встановлюємо топологiчну еквiвалентнiсть мiж цими поверхнями. Видаливши приклеєнi диски, отримаємо топологiчнi еквiвалентностi окремо мiж парами областей з F̃\G(ω̃i) i з F̃ ′ \G(ω̃i). За необхiдностi, пiдправляючи топологiчну еквiвалентнiсть областей з F̃\G(ω̃i) i F̃ ′ \G(ω̃i) в околах їх меж (графiв) так, щоб топологiчна еквiвалентнiсть при обмеженнi на межi збiгалася з гомеоморфiзмами графiв, отримуємо в сукупностi топологiчну еквiвалентнiсть поверхнi F̃ ∪ F̃ ′. Враховуючи, що f зберiгає розбиття на вершини i знайденi топологiчнi еквiвалентностi саме мiж парами областей з F̃\G(ω̃i) i з F̃ ′ \G(ω̃i), переконуємось, що топологiчна еквiвалентнiсть поверхнi F̃ ∪ F̃ ′ зберiгає розбиття на вершини. З теорем 4.1 i 4.2 безпосередньо випливає такий наслiдок. Наслiдок 4.1. Нехай F — компактна поверхня з краєм роду p i на F задано двi замкненi 1-форми ω1 i ω2. Для того щоб ω1 i ω2 були топологiчно еквiвалентними, необхiдно i достатньо, щоб для замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2 мали мiсце умови: 1) для G(ω̃1) 6= ∅ i G(ω̃2) 6= ∅ виконувались умови: iснував гомеоморфiзм f : F̃∪F̃ ′ → F̃∪F̃ ′ зi збереженням розбиття на вершини, обмеження якого на G(ω̃1) задає iзоморфiзм графiв G(ω̃1) i G(ω̃2), „0”-, „01”-, „02”-центри, „+”-, „−”-, „±”-, „k”-сiдла переходять у вершини того ж типу; областi, що обмеженi ребрами графа G(ω̃1), переходили в областi, що обме- женi образами цих ребер у графi G(ω̃2); додатнi пiдобластi переходили у додатнi, вiд’ємнi — у вiд’ємнi; 2) для пар областей з F̃\G(ω̃i) або з F̃ ′ \G(ω̃i), кожна з яких мiстить хоча б одну незамкнену рекурентну пiвкриву, виконувались умови: для орiєнтованих областей роду r = 1 числа обертання незамкнених рекурент- них пiвкривих замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2 повиннi бути сумiрними; для орiєнтованих областей роду r ≥ 2 iснує по однiй незамкненiй рекурент- нiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2, що мають сумiрнi гомотопiчнi класи обертання; для неорiєнтованих областей роду r = 3 числа обертання пiвкривих замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2 повиннi бути сумiрними; для неорiєнтованих областей роду r ≥ 4 iснує по однiй незамкненiй рекурентнiй сепаратрисi замкнених 1-форм ω̃1 i ω̃2, що мають однаковi орбiти обертання. 1. Ошемков А. А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Ин-та математики РАН. – 1994. – 205. – С. 131 – 140. 2. Sharko V. V. On topological equivalence Morse functions on surfaces // Int. Conf. Chelyabinsk State Univ.: Low-dimensional Topology and Combinatorial Group Theory. – Chelyabinsk, 1996. – P. 19 – 23. 3. Максименко C. И. Классификация m-функций на поверхностях // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 8. – С. 1129 – 1135. 4. Пришляк А. О. Топологическая классификация m-полей на дву- и трехмерных многообразиях с краем // Там же. – 2003. – 55, № 6. – С. 799 – 805. 5. Арансон С. Х., Гринес В. З. Топологическая классификация потоков на замкнутых поверхностях // Успехи мат. наук. – 1986. – 41, вып. 1(247). – С. 149 – 169. 6. Арансон С. Х., Гринес В. З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных мно- гообразиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систем) // Мат. сб. – 1973. – 90(132), № 3. – С. 372 – 401. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1472 Н. В. БУДНИЦЬКА, О. О. ПРИШЛЯК 7. Арансон С. Х., Жужома Е. В., Тельных И. А. Транзитивные и сверхтранзитивные потоки на замкнутых неориентируемых поверхностях // Мат. заметки. – 1998. – 63, вып. 4. – С. 625 – 628. 8. Бiлун С. В., Пришляк О. О. Замкненi 1-форми Морса на замкнених поверхнях // Вiсн. Київ. ун-ту. Математика, механiка. – 2002. – № 8. – С. 77 – 81. 9. Будницька Н. В., Пришляк О. О. Замкненi 1-форми з iзольованими критичними точками на замк- нених орiєнтованих поверхнях // Там же. – 2007. – № 18. – С. 66 – 69. 10. Будницька Н. В., Пришляк О. О. Еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на замкнених орiєнтованих поверхнях // Там же. – 2008. – № 19. – С. 36 – 38. 11. Будницька Н. В. Еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на замкнених неорiєнтованих поверхнях // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 2. – С. 155 – 167. 12. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a cloused surface // Topology and Appl. – 2002. – № 119. – P. 257 – 267. Одержано 28.11.08, пiсля доопрацювання — 22.07.09 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
id	umjimathkievua-article-3114
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:36:29Z
publishDate	2009
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/a3/b79fb4ac3ac924126b5c5eea6528eba3.pdf
spelling	umjimathkievua-article-31142020-03-18T19:45:43Z Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge Еквівалентність замкнених 1-форм на поверхнях з краєм Budnyts'ka, T. V. Prishlyak, O. O. Будницька, Т. В. Пришляк, О. О. We investigate closed 1-forms with isolated zeros on surfaces with edge. A criterion for the topological equivalence of closed 1-forms is proved. Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на поверхностях c краем. Доказан критерий топологической эквивалентности замкнутых 1-форм. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3114 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1455-1473 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1455-1473 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3114/2976 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3114/2977 Copyright (c) 2009 Budnyts'ka T. V.; Prishlyak O. O.
spellingShingle	Budnyts'ka, T. V. Prishlyak, O. O. Будницька, Т. В. Пришляк, О. О. Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
title	Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
title_alt	Еквівалентність замкнених 1-форм на поверхнях з краєм
title_full	Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
title_fullStr	Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
title_full_unstemmed	Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
title_short	Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
title_sort	equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3114
work_keys_str_mv	AT budnyts039katv equivalenceofclosed1formsonsurfaceswithedge AT prishlyakoo equivalenceofclosed1formsonsurfaceswithedge AT budnicʹkatv equivalenceofclosed1formsonsurfaceswithedge AT prišlâkoo equivalenceofclosed1formsonsurfaceswithedge AT budnyts039katv ekvívalentnístʹzamknenih1formnapoverhnâhzkraêm AT prishlyakoo ekvívalentnístʹzamknenih1formnapoverhnâhzkraêm AT budnicʹkatv ekvívalentnístʹzamknenih1formnapoverhnâhzkraêm AT prišlâkoo ekvívalentnístʹzamknenih1formnapoverhnâhzkraêm

Equivalence of closed 1-forms on surfaces with edge

Репозитарії

Схожі ресурси