Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables
We obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3115 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509149431857152 |
|---|---|
| author | Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. |
| author_facet | Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. |
| author_sort | Voitenko, S. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | We obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.51
S. P. Vojtenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NAJKRAWI ORTOHONAL|NI
TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θθ
ΩΩ
PERIODYÇNYX FUNKCIJ BAHAT|OX ZMINNYX
We obtain exact-order estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of classes Bp,θ
Ω of
multivariable periodic functions in the space Lq
.
Poluçen¥ toçn¥e po porqdku ocenky nayluçßyx ortohonal\n¥x tryhonometryçeskyx prybly-
Ωenyj klassov Bp,θ
Ω
peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x v prostranstve Lq
.
1. Postanovka zadaçi ta osnovni rezul\taty. Nexaj Lp ( Td
) — prostir 2π-
periodyçnyx za koΩnog zminnog i sumovnyx u stepeni p, 1 ≤ p < ∞ (vidpovidno
sutt[vo obmeΩenyx pry p = ∞ ) na kubi Td = [− )=∏ π π;
j
d
1
funkcij f ( x ) =
= f ( x1 , … , xd ), v qkomu norma vyznaça[t\sq takym çynom:
f f x dx
p
d p
p
d
= ( ) ( )
− ∫2
1
π
T
/
, 1 ≤ p < ∞,
f f x
x d∞
∈
= ( )ess sup
T
.
Dlq f ∈ Lp ( Td
) poklademo
∆h f x f x h f x( ) = ( + ) − ( )
i oznaçymo kratnu riznycg porqdku l, l ∈ N, funkci] f ( x ) u toçci x = ( x1 , …
… , xd ) z krokom h = ( h1 , … , hd ) ∈ Rd
za formulog
∆ ∆ ∆h
l
h h
lf x f x( ) = ( )−1
( )( ) = ( )∆h f x f x0
.
Kratnu riznycg ∆h
l f x( ) moΩna takoΩ zapysaty u vyhlqdi
∆h
l l n
l
n
n
l
f x C f x nh( ) = (− ) ( + )+
=
∑ 1
0
.
Oznaçymo modul\ neperervnosti porqdku l funkci] f ∈ Lp ( Td
), qkyj poznaçymo
çerez Ωl pf t( ), , zhidno z formulog
Ω ∆l p
h t
h
l
p
f t f x( ) = ( )
≤
, sup ,
de h h hd= +…+1
2 2
.
Nexaj Ω ( t ) — funkciq typu modulq neperervnosti porqdku l, qka zadana na
R+ = { t : t ≥ 0 } ta zadovol\nq[ nastupni umovy:
© S. P. VOJTENKO, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11 1473
1474 S. P. VOJTENKO
1) Ω ( 0 ) = 0, Ω ( t ) > 0 dlq t > 0;
2) Ω ( t ) [ neperervnog;
3) Ω ( t ) zrosta[;
4) dlq vsix n ∈ Z+ Ω ( n t ) ≤ C nl
Ω ( t ), de l ≥ 1 — fiksovane natural\ne çys-
lo, stala C > 0 ne zaleΩyt\ vid n i t.
Budemo vvaΩaty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ takoΩ umovy ( S ) i ( Sl ), qki nazyva-
gt\ umovamy Bari – St[çkina [1]. Ce oznaça[ nastupne.
Funkciq Ω ( τ ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( S ), qkwo Ω ( τ ) / τα majΩe zrosta[
pry deqkomu α > 0, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2 stala C1 > 0, wo
Ω Ω( )
≤
( )τ
τ
τ
τα α
1
1
1
2
2
C , 0 < τ1 ≤ τ2 .
Funkciq Ω ( τ ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( Sl ), qkwo Ω ( τ ) / τγ majΩe spada[
pry deqkomu 0 < γ < l, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2 stala C2 > 0, wo
Ω Ω( )
≥
( )τ
τ
τ
τγ γ
1
1
2
2
2
C , 0 < τ1≤ τ2 .
V roboti [2], analohiçno [3, 4], navedeno oznaçennq analohiv klasiv B[sova ta-
kym çynom.
Dlq 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i zadano] funkci] Ω ( t ) typu modulq neperervnosti porqd-
ku l, qka zadovol\nq[ umovy 1 – 4, klas Bp,θ
Ω
vyznaça[t\sq tak:
B f L f f fp p
d
B p bp p
,
df
:
, ,
θ
θ θ
Ω
Ω Ω= ∈ ( ) = + ≤
T 1 ,
de
f
f t
t
dt
t
b
l p
p,
,
,
/
θ
θ θ
Ω
Ω
Ω
=
( )
( )
+∞
∫
0
1
11
0
≤ < ∞
( )
( )
= ∞
>
θ
θ
,
sup
,
, .
t
l pf t
t
Ω
Ω
Qkwo Ω ( t ) = tr, to klasy Bp,θ
Ω
zbihagt\sq z klasamy O. V. B[sova Bp
r
,θ [5]
i, zokrema, pry θ = ∞ ta Ω ( t ) = tr Bp
r
,∞ = Hp
r
, de Hp
r
— klasy, vvedeni
S.DM.DNikol\s\kym [6].
Perejdemo bezposeredn\o do oznaçennq aproksymatyvno] xarakterystyky
klasiv Bp,θ
Ω
, wo bude doslidΩuvatys\ u danij roboti.
Dlq funkci] f ∈ Lq ( Td
), 1 ≤ q ≤ ∞, v qkosti nablyΩagçoho polinoma za sys-
temog eksponent { }( )
=ei k x
j
Mj ,
1 budemo vykorystovuvaty polinom
S f x f k eM
j i k x
j
M
j
( ) = ( ) ( )
=
∑, ˆ ,
1
i rozhlqdaty velyçynu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
NAJKRAWI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1475
e f f x S f xM q
k
M qj
j
M
⊥
{ }
( ) = ( ) − ( )
=
inf ,
1
,
de { } =k j
j
M
1 — nabir vektoriv k k kj j
d
j= ( … )1 , , z ciloçyslovymy koordynatamy,
( ) = +…+k x k x k xj j
d
j
d, 1 1 i
ˆ ,f k f t e dtj d i k tj
d
( ) = ( ) ( )− − ( )∫2π
T
— koefici[nty Fur’[ funkci] f.
Qkwo F ⊂ Lq ( Td
) — deqkyj klas funkcij, to poklada[mo
e F e fM q
f F
M q
⊥
∈
⊥( ) = ( )sup . (1)
Velyçynu e FM q
⊥ ( ) nazyvagt\ najkrawym ortohonal\nym tryhonometryçnym
nablyΩennqm klasu F u prostori Lq .
Velyçyny e FM q
⊥ ( ) dlq deqkyx klasiv funkcij vyvçalysq v robotax E. S. B[-
lins\koho [7] ta A. S. Romangka [8 – 10], v qkyx moΩna oznajomytysq z bil\ß
detal\nog bibliohrafi[g.
Otrymani rezul\taty budemo formulgvaty u terminax porqdkovyx spivvidno-
ßen\. Dlq dodatnyx funkcij µ1 ( N ) ta µ2 ( N ) zapys µ1 ` µ2 oznaça[, wo isnu[
stala C > 0 taka, wo µ1 ( N ) ≤ C µ2 ( N ) . Spivvidnoßennq µ1 ^ µ2 rivnosyl\ne
tomu, wo vykonugt\sq porqdkovi nerivnosti µ1 ` µ2 ta µ1 p µ2. ZauvaΩymo,
wo vsi stali Ci
, i = 1, 2, … , qki budut\ zustriçatysq v roboti, moΩut\ zaleΩaty
lyße vid parametriv, wo vxodqt\ v oznaçennq klasu, metryky, v qkij vymirg[t\-
sq poxybka nablyΩennq, ta rozmirnosti d prostoru Rd
.
Dlq velyçyn, oznaçenyx rivnistg (1), ma[ misce take tverdΩennq.
Teorema. Nexaj 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞, ( p, q ) ≠ ( 1, 1 ), ( ∞, ∞ ) i Ω ( t ) zadovol\nq[
umovu ( S ) z deqkym α > d ( 1 / p – 1 / q ) + , a takoΩ umovu ( Sl ). Todi dlq bud\-
qkyx M ∈ N ma[ misce ocinka
e B M MM p q
d p q⊥ − ( − )( ) ( ) +
,
/ / /
θ
Ω Ω^
1 1 1
, (2)
de a+ = max { a; 0 }.
Qk naslidok, poklavßy v teoremi θ = ∞ i vzqvßy do uvahy, wo Bp,∞
Ω = H p
Ω
,
moΩemo zapysaty spivvidnoßennq
e H M MM p q
d p q⊥ − ( − )( ) ( ) +Ω Ω^
1 1 1/ / /
.
ZauvaΩennq 1. Qkwo Ω ( t ) = tr, r > d ( 1 / p – 1 / q ) + , to vykonu[t\sq spivvid-
noßennq
e B MM p
r
q
r d p q⊥ − +( − )( ) +
,
/ / /
θ ^
1 1
. (3)
Ocinku (3) vstanovleno v roboti [10].
ZauvaΩennq 2. V odnovymirnomu vypadku klasy, wo rozhlqdagt\sq v danij
roboti, zbihagt\sq z inßymy analohamy klasiv B[sova Bp,θ
Ω
, de Ω ( t ) — funkciq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1476 S. P. VOJTENKO
typu mißanoho modulq neperervnosti, Ω ( t ) = ω ( t1 … td ). Tomu, poklavßy v (2)
d = 1, otryma[mo toçni za porqdkom ocinky velyçyn e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω
, qki pry pevnyx
spivvidnoßennqx miΩ parametramy p ta q buly otrymani v robotax [11, 12].
Krim c\oho v (2) mistqt\sq i novi rezul\taty v odnovymirnomu vypadku dlq
spivvidnoßen\ p = ∞, 1 ≤ q < ∞ ta 1 < p ≤ ∞, q = 1.
2. DopomiΩni tverdΩennq. Spoçatku vvedemo deqki poznaçennq. Poznaçy-
mo çerez Vm ( t ), m ∈ N, t ∈ R, qdro Valle Pussena vyhlqdu
Vm ( t ) = 1 2 2
2
1 1
2
+ +
−
= = +
∑ ∑cos coskt
m k
m
kt
k
m
k m
m
.
Todi bahatovymirne qdro Vm ( x ), m ∈ N, x ∈ Rd
, oznaçymo zhidno z formu-
log
Vm ( x ) = V xm j
j
d
( )
=
∏
1
.
Nexaj Vm — operator, qkyj zada[ zhortku funkcij f ( x ) iz bahatovymirnym
qdrom Vm ( x ), tobto
V f f V V f xm m m= = ( )* , .
Takym çynom, V f xm( ), — kratna suma Valle Pussena funkci] f ( x ). Pokla-
demo dlq f ∈ Lp ( Td
)
Φ0 1( ) = ( )f x V f x, , , Φs f x V f x V f xs s( ) = ( ) − ( )−, , ,
2 2 1 , s ∈ N.
Navedemo kil\ka vidomyx tverdΩen\, qki budemo vykorystovuvaty dali v ro-
boti.
Lema 1 [13]. Nexaj 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i f ∈ Bp,θ
Ω
. Todi, funkcig f moΩna zob-
razyty u vyhlqdi rqdu
f x f xs
s
( ) = ( )
=
∞
∑ Φ ,
0
,
zbiΩnoho do ci[] funkci] u prostori Lp ( Td
), pryçomu
f
f x
B
s p
s
s
p,
,
/
θ
θ
Ω
Φ
Ω
^
( )
( )
−
=
∞
∑
20
1 θθ
θ
θ
, ,
sup
,
, .
1
2
≤ < ∞
( )
( )
= ∞
−
s
s p
s
f xΦ
Ω
(4)
Varto zaznaçyty, wo u vypadku 1 < p < ∞ moΩna zapysaty ekvivalentne spiv-
vidnoßennq dlq norm funkcij z klasiv Bp,θ
Ω , 1 ≤ θ ≤ ∞, vykorystovugçy v (4)
zamist\ Φs f x( ), „bloky” rqdu Fur’[ funkci] f ( x ).
Dlq f ∈ L1 ( Td
) vvedemo poznaçennq:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
NAJKRAWI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1477
f x f0 0( ) = ( )ˆ
i f x f k es
i k x
k
j d
s
j
s
( ) = ( ) ( )
≤ <
=
−
∑ ˆ ,
max
,
2 2
1
1
, s = 1, 2, … .
Takym çynom, pry 1 < p < ∞ z toçnistg do absolgtnyx stalyx budemo maty
f
f x
B
s p
s
s
p,
/
,
θ
θ θ
Ω
Ω
^
( )
( )
−
=
∞
∑
20
1
11
2
≤ < ∞
( )
( )
= ∞
−
θ
θ
,
sup , .
s
s p
s
f x
Ω
(5)
Lema 2 [13]. Nexaj 1 ≤ p < q ≤ ∞ i Ω ( t ) / t
α
pry α > d ( 1 / p – 1 / q ) majΩe
zrosta[. Todi Bp,θ
Ω ⊂ Bq,θ
Ω1
, de Ω1 ( t ) = Ω ( t ) / td p q( − )1 1/ /
i
f f
B Bq p, ,θ θ
Ω Ω1 ` .
Teorema A [6]. Nexaj n = ( n1 , … , nd ), nj ∈ Z+ , j = 1, ,d ta
t x c ek
i k x
k nj j
( ) = ( )
≤
∑ ,
.
Todi pry 1 ≤ q < p ≤ ∞ ma[ misce nerivnist\
t n t
p
d
j
j
d q p
q
≤
=
−
∏2
1
1 1/ /
. (6)
Nerivnist\ (6) vstanovlena S. M. Nikol\s\kym i otrymala nazvu „nerivnosti
riznyx metryk”. U vypadku d = 1 i p = ∞ vidpovidnu nerivnist\ doviv DΩek-
sonD[14].
3. Dovedennq teoremy. ZvaΩagçy na te, wo prava çastyna (2) vid θ ne za-
leΩyt\, a iz zbil\ßennqm parametra θ klasy Bp,θ
Ω
rozßyrggt\sq, tobto pry
1 ≤ θ ≤ θ′ ≤ ∞ magt\ misce vkladennq
B B B B Hp p p p p, , , ,1
Ω Ω Ω Ω Ω⊂ ⊂ ⊂ ≡′ ∞θ θ ,
neobxidnu ocinku zverxu dostatn\o vstanovyty dlq e BM p q
⊥
∞( ),
Ω
, a znyzu — dlq
e BM p q
⊥ ( ),1
Ω
.
Nexaj spoçatku ma[ misce vypadok 1 ≤ p < q ≤ ∞. Todi za zadanym M pidbe-
remo çyslo n ∈ N iz spivvidnoßennq 2nd ^ M ta rozhlqnemo dlq f ∈ Bp,∞
Ω
na-
blyΩennq ]] kubiçnog sumog Fur’[ S f xM ( ), vyhlqdu
S f x f xM s
s
n
( ) = ( )
=
∑,
0
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1478 S. P. VOJTENKO
Nexaj q0 — deqke çyslo, wo zadovol\nq[ umovu p < q0 < q. Z ohlqdu na te,
wo dlq f Bp∈ ∞,
Ω
, 1 ≤ p ≤ ∞, vykonu[t\sq spivvidnoßennq Φs p
f x( ), ≤
≤ Ω( )−2 s
(dyv. (4)), zhidno z nerivnistg riznyx metryk Nikol\s\koho ta lemog 2
moΩemo zapysaty
e f f x S f x f x f xM q M q s
s n q
s q
s
⊥
= +
∞
( ) ≤ ( ) − ( ) = ( ) ≤ ( )∑,
1 == +
∞
∑
n 1
`
` 2 21 1
1
1 10
0
0sd q q
s q
s n
sd q q
sf x( − )
= +
∞
( − )( )∑ / / / /
^ Φ (( )
= +
∞
∑ f x
q
s n
,
01
`
` 2 2 21 1 1 1
1
0 0sd q q sd p q
s p
s n
f x( − ) ( − )
= +
∞
( ) =∑ / / / / ,Φ ssd p q
s p
s n
f x( − )
= +
∞
( )∑ 1 1
1
/ / ,Φ ≤
≤ 2 21 1
1
sd p q s
s n
( − ) −
= +
∞
( )∑ / / Ω = I.
Oskil\ky Ω ( t ) zadovol\nq[ umovu ( S ) z α > d ( 1 / p – 1 / q ) + , to ma[ misce
spivvidnoßennq
Ω Ω( ) ≤ ( )−
−
−
−
2
2
2
2
s
s
n
nα α
, s = n + 1, … .
Tomu
I = 2
2
2
21 1
1
sd p q
s
s
s
s n
( − )
−
−
−
= +
∞ ( )∑ / / Ω
α
α `
Ω( )−
−
− ( − ( − ))
= +
∞
∑2
2
2 1 1
1
n
n
s d p q
s n
α
α / / `
` 2 21 1 1 1 1nd p q n d p qM M( − ) − − −( ) ( )/ / / / /Ω Ω^ .
Nexaj teper 1 < p = q < ∞. Todi v sylu spivvidnoßennq (5) dlq f ∈ Bp,∞
Ω
pry
2nd ^ M budemo maty
e f f x S f x f x f xM q M p s
s n p
s p
s
⊥
= +
∞
( ) ≤ ( ) − ( ) = ( ) ≤ ( )∑,
1 == +
∞
∑
n 1
`
`
Ω( )−
−
−
= +
∞
∑ 2
2
2
1
s
s
s
s n
α
α `
Ω( )−
−
−
= +
∞
∑2
2
2
1
n
n
s
s n
α
α ` Ω Ω( ) ( )− −2 1n dM^
/
. (7)
Nareßti ocinka zverxu velyçyny e BM p q
⊥
∞( ),
Ω
u vypadku 1 ≤ q < p < ∞ vyply-
va[ iz (7) zhidno iz vkladennqm Bp,∞
Ω ⊂ Bq,∞
Ω
, tobto
e B e B MM p q M q q
d⊥
∞
⊥
∞
−( ) ≤ ( ) ( ), ,
/Ω Ω Ω^
1
, (8)
a pry 1 ≤ q < ∞ i p = ∞ vidpovidna ocinka [ naslidkom (8) zhidno z vkladennqm
B∞ ∞,
Ω ⊂ Bp,∞
Ω
.
Ocinky zverxu v usix vypadkax teoremy dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
NAJKRAWI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1479
Teper perejdemo do vstanovlennq vidpovidnyx ocinok velyçyn e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω
znyzu, qki, qk zaznaçalosq vywe, dostatn\o vstanovyty dlq klasiv Bp,1
Ω
. Nexaj
spoçatku vykonugt\sq spivvidnoßennq 2 ≤ p < q < ∞ abo 1 < p ≤ 2 < q < ∞. Dlq
f Bp∈ ,1
Ω
rozhlqnemo nablyΩagçyj polinom
S f x f k eM
j i k x
j
M
j
( ) = ( ) ( )
=
∑, ˆ ,
1
.
Todi na pidstavi naslidku D 1.2 (dyv. [15, s. 392]) moΩemo zapysaty
f x S f x f x S f x g x dM q
g g
M
q
( ) − ( ) = ( ) − ( ) ( )
′ ≤
( ), sup ,
: 1
xx
dT
∫ , (9)
de 1 / q + 1 / q′ = 1.
Z metog vykorystannq spivvidnoßennq (9) pobudu[mo vidpovidni funkci]. Za
zadanym M pidberemo n ∈ N z nerivnosti 2 2( − )n d ≤ M < 2 1( − )n d
ta rozhlqnemo
funkcig
F x en
ik x
kj
d
j j
j
n
n
( ) =
=
−
=
+
∑∏
2
2 1
1
1
.
Dali skorysta[mosq vidomym spivvidnoßennqm (dyv., napryklad, [16, s. 214])
cos /kx l n
k n
l
p
p
=
−∑ ( − )^
1 1
∀n, l ∈ N, l > n, p ∈ ( 1, ∞ ),
zhidno z qkym
e
ik x
k
p
n pj j
j
n
n
=
−
( − )
+
∑
2
2 1
1 1
1
2^
/ , 1 < p < ∞, j = 1, d . (10)
Takym çynom, vykorystovugçy (10), moΩemo zapysaty
F F x Fn B
s
n s p
s
n
n pp,1
1 1 12 2Ω Ω Ω= ( ) ( ) ( ) = ( )− − − − −∑ ^
^ Ω Ω− − − − ( − )( ) ( )1 1 1 12 2 2n
n p
n nd pF ^
/
. (11)
Z (11) vyplyva[, wo funkciq
f x C F xn nd p
n1 3
1 12 2( ) = ( ) ( )− ( − )Ω /
pry pevnomu vybori stalo] C3 > 0 naleΩyt\ klasu Bp,1
Ω
.
Dali, oskil\ky zhidno z (10)
Fn q
nd q
′
^ 2 /
, 1 < q < ∞,
to funkciq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1480 S. P. VOJTENKO
g1 ( x ) = C F xnd q
n4 2− ( )/
iz vidpovidnog stalog C4 > 0 zadovol\nq[ umovu g
q1 ′
≤ 1.
Takym çynom, vykorystavßy spivvidnoßennq (9) dlq funkcij f1 ( x ) ta g1 ( x ),
budemo maty
e B e f f x S f xM p q M q
S
M q
M
⊥ ⊥( ) ≥ ( ) = ( ) − ( ), inf ,1 1 1 1
Ω =
= inf sup ,
S g
M
M q d
f x S f x g x dx
′ ≤
( )( ) − ( ) ( )∫
1
1 1
T
p
p inf ,
S
M
M d
f x S f x g x dx( )( ) − ( ) ( )∫ 1 1 1
T
p
p Ω( ) ( ) − ( )− ( − ) −2 2 21 1
2
2n nd p nd q
S
n M n
M
F x S F x/ / inf ,
22
2
p
p Ω( ) ( − )− ( − − )2 2 21 1 1n nd p q nd M/ / p Ω( )− ( − − )2 2 21 1 1n nd p q nd/ / =
= Ω Ω( ) ( )− ( − ) − −2 2 1 1 1 1 1n nd p q d p qM M/ / / / /
^ .
Nexaj teper ma[ misce vypadok 1 ≤ p < ∞ ta q = ∞. Za zadanym M pidberemo
take çyslo n ∈ N, wob vykonuvalys\ spivvidnoßennq 2nd ^ M ta 2n d ≥ 4M, i
poklademo
vn j j
j
d
x V x V xn n+
=
( ) = ( ) − ( )( )+∏1 2 2
1
1 .
Rozhlqnemo funkcig
f2 ( x ) = C xn nd p
n5
1 1
12 2Ω( ) ( )− ( − )
+
/ v , C5 > 0.
Oskil\ky (dyv., napryklad, [17, s. 66])
vn p
nd p
+
( − )
1
1 12^
/ , 1 ≤ p ≤ ∞, (12)
to moΩna perekonatysq, wo funkciq f2 ( x ) iz vidpovidnog stalog C5 > 0 nale-
Ωyt\ klasu Bp,1
Ω
. Dijsno, zhidno z (4) moΩemo zapysaty
f
f x
B
s p
s
s
n nd p
p
2
2 1 1
1 2
2 2
,
,
/
Ω
Φ
Ω
Ω Ω=
( )
( )
( )
−
− ( − )∑ ^
−− − −
+( )1 1
12 n
n p
v ^
^ Ω Ω( ) ( )− ( − ) − − ( − )2 2 2 21 1 1 1 1n nd p n nd p/ / = 1.
Nexaj S f xM ( )2, — çastynna suma, wo sklada[t\sq z M dovil\nyx harmonik
rqdu Fur’[ funkci] f2 ( x ). Todi, vraxovugçy, wo
vn
nd
+ ∞1 2^ ,
ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
NAJKRAWI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1481
e B f x S f x f x S f xM p M M
⊥
∞ ∞ ∞( ) ≥ ( ) − ( ) ≥ ( ) − ( ), , ,1 2 2 2 2
Ω
∞∞ p
p Ω( ) ( − )− ( − )2 2 21 1n nd p nd M/ ^ Ω( )− ( − )2 2 21 1n nd p nd/ =
= Ω Ω( ) ( )− −2 2 1 1n nd p d pM M/ / /
^ .
Rozhlqnemo vypadok, koly p = 1 i q ∈ ( 1, ∞ ). Znovu skorysta[mosq spivvid-
noßennqm (9). V qkosti funkcij f ( x ) i g ( x ) z (9) vyberemo funkci] f2 ( x ) pry
p = 1 ta
g2 ( x ) = C xnd q
n6 12−
+ ( )/ v , C6 > 0,
vidpovidno.
Oskil\ky na pidstavi (12)
g
q
nd q
n q
nd q nd
2
1 1
1
1 1 1 12 2 2
′
− ( − ′)
+ ′
− ( − ′) ( −
^ ^
/ /v // ′)q = 1,
to pry vidpovidnomu vybori stalo] C6 > 0 funkciq g2 ( x ) zadovol\nq[ umovu
spivvidnoßennq (9) dlq funkci] g ( x ).
Takym çynom, zastosuvavßy ce spivvidnoßennq pry p = 1 do funkcij f2 ( x ) i
g2 ( x ), matymemo
e B e f f x S f xM q M q
S
M q
M
⊥ ⊥( ) ≥ ( ) = ( ) − ( )1 1 2 2 2, inf ,Ω =
= inf sup ,
S g
M
M q d
f x S f x g x dx
′ ≤
( )( ) − ( ) ( )∫
1
2 2
T
p
p inf ,
S
M
M d
f x S f x g x dx( )( ) − ( ) ( )∫ 2 2 2
T
p
p Ω( ) ( ) − ( )− −
+ +2 2 1 2
2
1 2
2n nd q
S
n M n
M
x S x/ inf ,v v ^
^ Ω( ) ( − )− −2 2 2n nd q nd M/ ^ Ω( )− −2 2 2n nd q nd/ =
= Ω Ω( ) ( )− ( − ) − −2 2 1 1 1 1 1n nd q d qM M/ / /
^ .
Vstanovymo teper ocinku znyzu u vypadku 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. Dlq c\oho spoçatku
rozhlqnemo vypadok q = 1 ta p = ∞.
Nexaj Bn
∞ — mnoΩyna vsix tryhonometryçnyx polinomiv t ( x ) takyx, wo
t ∞ ≤ 1. PokaΩemo, wo dlq dovil\nyx n ∈ N zhidno z oznaçennqm klasiv Bp,θ
Ω
ma[ misce vkladennq
C B Bn n
7
2
12Ω Ω( ) ⊂−
∞ ∞, ,
de C7 > 0 — deqka stala.
Rozhlqnemo bahatovymirne qdro Valle Pussena V n , dlq qkoho, qk vidomo,
vykonu[t\sq nerivnist\ V C dn 1 8≤ ( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1482 S. P. VOJTENKO
Vykorystavßy cg nerivnist\ i vzqvßy do uvahy, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umo-
vuD( S ), dlq dovil\noho tryhonometryçnoho polinoma T ∈ B
n
∞
2
budemo maty
Ω Ω Ω ΦΩ( ) ( ) ( ) ( )− − − −
=
∞∞
∑2 2 2
1
1
0
n
B
n s
s
n
sT T x
,
,^ =
= Ω Ω( ) ( ) ( ) − ( )− − −
= ∞∑ −2 21
0
2 2 1
n s
s
n
V T x V T xs s, , =
= Ω Ω( ) ( ) ( − )− − −
= ∞∑ −2 21
0
2 2 1
n s
s
n
T V Vs s* ≤
≤ Ω Ω( ) ( ) −− − −
=
∞∑ −2 21
0
2 2 1
1
n s
s
n
T V Vs s ≤
≤ Ω Ω( ) ( ) +( )− − −
=
∞∑ −2 21
0
2 1 2 1
1
n s
s
n
T V Vs s ` Ω Ω( ) ( )− − −
=
∑2 21
0
n s
s
n
=
= Ω Ω( ) ( )−
− −
=
∑2
2
2
2
1
0
n
s
s
s
n
s
α
α ` Ω Ω( ) ( )− − − −2 2 2 21n n n nα α = 1.
U roboti [18] pokazano, wo dlq velyçyny najkrawoho M-çlennoho tryhono-
metryçnoho nablyΩennq klasu F u prostori Lq , qka vyznaça[t\sq takym çy-
nom:
e F f x c eM q
f F k c
jj
j
M
j j
M
( ) = ( ) −
∈ { } { }= =
sup inf inf
1 1
ii k x
j
M
q
j( )
=
∑ ,
1
,
de cj — dovil\ni çysla, dlq vsix n ∈ N ta M ≤ nd
/ 2 pry 1 ≤ q ≤ ∞ vykonu[t\sq
spivvidnoßennq
e B C dM
n
q( ) ≥ ( )∞ 9 .
Tomu, vykorystovugçy ce spivvidnoßennq pry q = 1 i M = 2 1nd− , oderΩu[mo
e B e BM M
⊥
∞
⊥
∞( ) ≥ ( ), ,θ
Ω Ω
1 1 1 p Ω( ) ( )− ⊥
∞2 2
1
n
Me B
n
≥
≥ Ω( ) ( )−
∞2 2
1
n
Me B
n
p Ω Ω( ) ( )− −2 1n dM^
/
. (13)
Takym çynom, vnaslidok monotonnosti velyçyny eM
⊥
ce spivvidnoßennq vy-
konu[t\sq dlq vsix M ∈ N.
Dlq 1 ≤ p, θ ≤ ∞ zhidno z lemog 1
B Bp∞ ⊆, ,θ θ
Ω Ω
,
i tomu, vykorystavßy (13), dlq dovil\nyx 1 ≤ q ≤ ∞ budemo maty
e B e B e BM p q M p M
⊥ ⊥ ⊥
∞( ) ≥ ( ) ≥ ( ), , ,θ θ θ
Ω Ω Ω
1 1 p Ω( )−M d1/
. (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
NAJKRAWI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1483
Ce spivvidnoßennq dovodyt\ nyΩng ocinku v (2) u vypadku 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞.
Perejdemo do znaxodΩennq ocinky znyzu u vypadku 1 ≤ q ≤ p ≤ 2. Dlq c\oho
rozhlqnemo funkcig
f x C n n V xd p
n( ) = ( ) ( )− ( − )
10
1 1 1Ω /
,
de çysla n i M pov’qzani spivvidnoßennqm M ≤ nd
/ 2, a C10 > 0 — deqka stala.
PokaΩemo, wo pry pevnomu vybori stalo] C10 cq funkciq naleΩyt\ klasu
Bp,1
Ω
. Z ci[g metog znovu rozhlqnemo funkcig V xn( ) .
Vykorystovugçy nerivnist\ riznyx metryk (6), ma[mo
Vn p
` n Vd p
n
( − )1 1
1
/ ` nd p( − )1 1/
. (15)
Zhidno z oznaçennqm normy klasiv Bp,θ
Ω
ta spivvidnoßennqm (15) moΩemo za-
pysaty
V V xn B
s
s
n
s n pp,
log
,
1
2
1
0
2
2Ω Ω Φ^
− −
=
[ ]+
( ) ( )∑ =
= Ω− −
=
[ ]+
( ) ( − )∑ −
1
0
2
2 2
2
2
1
s
s
n
n p
V V Vs s
log
* ≤
≤ Ω− −
=
[ ]+
( ) −∑ −
1
0
2
2 2 1
2
2
1
s
s
n
n pV V Vs s
log
≤
≤ Ω− −
=
[ ]+
( ) +( )∑ −
1
0
2
2 1 2 1
2
2
1
s
s
n
n pV V Vs s
log
`
` nd p s
s
n
( − ) − −
=
[ ]+
( )∑1 1 1
0
2
2
2
/
log
Ω = nd p
s
s
s
s
n
( − )
− −
=
[ ]+ ( )∑1 1
1
0
2
2
2
2
2
/
log Ω
α
α `
` n n n n n nd p d p( − ) − − − ( − ) − −( ) = ( )1 1 1 1 1 1 1 1/ /Ω Ωα α
.
Zvidsy robymo vysnovok, wo funkciq f x C n n V xd p
n( ) = ( ) ( )− ( − )
10
1 1 1Ω /
naleΩyt\
klasu Bp,1
Ω
.
U roboti [18, s. 47] pokazano, wo pry 1 ≤ q ≤ ∞ ma[ misce ocinka
e VM n q( ) p nd q( − )1 1/ , M ≤ nd
/ 2. (16)
Tomu z (16) oderΩu[mo
e B n n e VM p q
d p
M n q
⊥ − ( − ) ⊥( ) ≥ ( ) ( ),
/
1
1 1 1Ω Ω ≥
≥ Ω( ) ( )− ( − )n n e Vd p
M n q
1 1 1/ p Ω( )− ( − )n nd p q1 1 1/ / , M ≤ nd
/ 2.
Beruçy M = [ nd
/ 2 ], de [ a ] — cila çastyna çysla a, otrymu[mo ocinku znyzu v
(2) u vypadku 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 . Vnaslidok monotonnosti velyçyny eM
⊥
ce spivvid-
noßennq v danomu vypadku vykonu[t\sq dlq vsix M, tomu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1484 S. P. VOJTENKO
e BM p q
⊥ ( ),1
Ω p Ω( )− −M Md p q1 1 1/ / /
.
Takym çynom, oderΩano ocinky znyzu v usix vypadkax.
Teoremu dovedeno.
1. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1956. – 5. – S. 483 – 522.
2. Li Yongping, Xu Guiqiao. The infinite-dimensional widths and optimal recovery of generalized
Besov classes // J. Complexity. – 2002. – 18, # 4. – P. 815 – 832.
3. Pustovojtov N. N. Predstavlenye y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pere-
menn¥x s zadann¥m smeßann¥m modulem neprer¥vnosty // Anal. Math. – 1994. – 20. – P. 35 –
48.
4. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic
functions with bounded mixed moduli of smoothness // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1997. – 219. –
S. 356 – 377.
5. Besov O. V. O nekotorom semejstve funkcyonal\n¥x prostranstv. Teorem¥ vloΩenyq y
prodolΩenyq // Dokl. AN SSSR. – 1959. – 126, # 6. – S. 1163 – 1165.
6. Nykol\skyj S. M. Neravenstva dlq cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny y yx prymenenye v
teoryy dyfferencyruem¥x funkcyj mnohyx peremenn¥x. // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. –
1951. – 38. – S. 244 – 278.
7. Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax peryodyçeskyx
funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Yssledovanyq po teoryy funkcyj
mnohyx vewestvenn¥x peremenn¥x. – Qroslavl\: Qroslav. un-t, 1988. – S. 16 – 33.
8. Romangk A. S. PryblyΩenye klassov peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Mat.
zametky. – 2002. – 71, # 1. – S. 109 – 121.
9. Romangk A. S. Bylynejn¥e y tryhonometryçeskye pryblyΩenyq klassov Besova Bp
r
,θ pe-
ryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2006. – 70, # 2. – S. 68 –
97.
10. Romangk A. S. Approksymatyvn¥e xarakterystyky yzotropn¥x klassov peryodyçeskyx
funkcyj mnohyx peremenn¥x // Ukr. mat. Ωurn. – 2009. – 61, # 4. – S. 513 – 523.
11. Stasgk S. A. Najkrawi ortohonal\ni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv periodyçnyx
funkcij bahat\ox zminnyx Bp,θ
Ω
// Teoriq nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytannq. Mate-
matyka ta ]] zastosuvannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2002. – 35. – S. 195 – 208.
12. Konohraj A. F., Stasgk S. A. Najkrawi ortohonal\ni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv
Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx // Problemy teori] nablyΩennq funkcij ta su-
miΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2007. – 4, # 1. – S. 151 – 171.
13. Xy Guiqiao. The n-widths for a generalized periodic Besov classes // Acta Math. Sci. – 2005. –
25B, # 4. – P. 663 – 671.
14. Jakson D. Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39. –
P. 889 – 906.
15. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 424 s.
16. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 268 s.
17. Temlqkov V. N. PryblyΩenye funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1986. – 178. – S. 1 – 112.
18. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums //J. Fourier Anal.
Appl. – 1995. – 2, # 1. – P. 29 – 48.
OderΩano 15.04.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3115 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:31Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/8b94b1f399e2d831762a6bcf9555d9b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31152020-03-18T19:45:43Z Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. We obtain exact-order estimates for the best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$. Получены точные no порядку оценки наилучших ортогональных тригонометрических приближений классов $B^{Ω}_{p,θ}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3115 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1473-1484 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1473-1484 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3115/2978 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3115/2979 Copyright (c) 2009 Voitenko S. P. |
| spellingShingle | Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title | Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_alt | Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_short | Best orthogonal trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_sort | best orthogonal trigonometric approximations of the classes $b^{ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3115 |
| work_keys_str_mv | AT voitenkosp bestorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesbōpthofperiodicfunctionsofmanyvariables AT vojtenkosp bestorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesbōpthofperiodicfunctionsofmanyvariables AT voitenkosp najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT vojtenkosp najkraŝíortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |