Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions from the class $C_{β,∞} ψ$ by Poisson integrals in the metric of the space $C$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3117 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509153314734080 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, T. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions from the class $C_{β,∞} ψ$ by Poisson integrals in the metric of the space $C$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Жигалло, Ю. I. Харкевич (Волин. нац. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА У РIВНОМIРНIЙ МЕТРИЦI*
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions from the class Cψβ,∞ by the
Poisson integrals in metric of the space C.
Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из класса Cψβ,∞
интегралами Пуассона в метрике пространства C.
1. Постановка задачi та деякi iсторичнi вiдомостi. Нехай C — простiр 2π-
перiодичних неперервних функцiй iз нормою ‖f‖C = max
t
|f(t)|, L∞ — простiр 2π-
перiодичних вимiрних суттєво обмежених функцiй з нормою ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|,
L1 — простiр 2π-перiодичних сумовних функцiй з нормою ‖f‖L1 = ‖f‖1 =
=
∫ π
−π
|f(t)|dt.
У 1983 р. О. I. Степанцем запропоновано новий пiдхiд до класифiкацiї перiодич-
них функцiй, в основу якого покладено поняття (ψ, β)-похiдної (див., наприклад,
[1 – 4]). Було введено класи Lψβ функцiй f ∈ L1 таким чином. Нехай послiдовнiсть
ψ = ψ(k) i параметр β такi, що ряд
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
(1)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї Ψβ(t). Тодi для довiльної f ∈ Lψβ майже
для всiх x ∈ R виконується рiвнiсть
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ (x+ t) Ψβ(t)dt,
де ϕ(·) — деяка функцiя зL1,
∫ π
−π
ϕ(t)dt = 0.Функцiю ϕ називають (ψ, β)-похiдною
функцiї f i позначають fψβ .
Якщо f ∈ Lψβ i при цьому fψβ ∈ N, N ⊆ L1, то кажуть, що f ∈ LψβN. Пiд-
множини неперервних функцiй з Lψβ та LψβN позначають вiдповiдно через Cψβ та
Cψβ N. Далi, коли N збiгається з одиничною кулею простору L∞, тобто N = {fψβ ∈
∈ L∞ : ess sup
t
∣∣fψβ (t)
∣∣ ≤ 1}, класи Cψβ N позначають через Cψβ,∞.
При ψ(k) = k−r, r > 0, класи Cψβ,∞ збiгаються з класами W r
β,∞ i fψβ (x) =
= f
(r)
β (x) — (r, β)-похiдна в розумiннi Вейля – Надя [5]. Якщо, крiм цього, β = r,
r ∈ N, то fψβ є похiдною порядку r функцiї f i класи Cψβ,∞ є вiдомими класами
Соболєва W r
∞.
Наслiдуючи О. I. Степанця (див., наприклад, [4, с. 155]), через M будемо позна-
чати множину всiх опуклих донизу послiдовностей ψ(k), для яких lim
k→∞
ψ(k) = 0.
*Виконано за пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (грант 25.1/043).
c© Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1497
1498 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Якщо послiдовнiсть ψ(k) задовольняє умови ψ ∈ M i
∑∞
k=1
ψ(k)
k
<∞, то, згiдно
з теоремою 1.7.3 роботи [3, c. 28], ряд (1) буде рядом Фур’є функцiї Ψβ(t).
Не зменшуючи загальностi будемо вважати, що послiдовностi ψ(k) iз множини
M є звуженнями на множинi натуральних чисел деяких додатних неперервних
опуклих донизу функцiй ψ(t) неперервного аргументу t ≥ 1, що прямують до нуля
на нескiнченностi. Множину таких функцiй теж будемо позначати через M. Отже,
далi
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Множину функцiй ψ ∈ M, для яких
∫ ∞
1
ψ(t)
t
dt < ∞, позначимо через M′. Iз
множини M видiлимо пiдмножину M0 (див., наприклад, [4, с. 160])
M0 =
{
ψ ∈ M : 0 <
t
η(t)− t
≤ K ∀t ≥ 1
}
,
де η(t) = η(ψ, t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, ψ−1 — функцiя, обернена до функцiї ψ, а K —
константа, яка може залежати вiд ψ.
Нехай f ∈ L1. Величину
Pδ(f ;x) =
a0
2
+
∞∑
k=1
e−k/δ (ak cos kx+ bk sin kx) , δ > 0,
де a0, ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f, називають iнтегралом Пуассона (див.,
наприклад, [6, с. 161]).
У данiй роботi вивчається асимптотична поведiнка при δ →∞ величини
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥f(·)− Pδ(f ; ·)
∥∥
C
. (2)
Якщо в явному виглядi знайдено функцiю ϕ(δ) = ϕ(N; δ) таку, що при δ →∞
E (N;Pδ)X = ϕ (δ) + o (ϕ (δ)) ,
то, наслiдуючи О. I. Степанця [4, c. 198], будемо говорити, що розв’язано задачу
Колмогорова – Нiкольського для iнтеграла Пуассона Pδ(f ;x) на класi N у метрицi
простору X.
Зауважимо, що задачу Колмогорова – Нiкольського на класах Соболєва W 1
∞ для
функцiй Pδ(f ;x) розв’язав I. П. Натансон (див. роботу [7]). Точнi значення верхнiх
меж вiдхилень iнтегралiв Пуассона вiд функцiй з класу W r
∞, r > 0, отримано
в роботi О. П. Тiмана [8]. Розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського на класi
W r
β,∞, r > 0, β ∈ R, знайдено у роботi Л. I. Баусова [9]. Зокрема, для класу W 1
β,∞
вiн отримав асимптотичну рiвнiсть
E
(
W 1
β,∞;Pδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ ln δ
δ
+O
(
1
δ
)
, δ →∞. (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1499
Апроксимативнi властивостi методу наближення iнтегралами Пуассона на iнших
класах диференцiйовних функцiй дослiджувались також у роботах авторiв [10, 11].
2. Деякi оцiнки для iнтегралiв Фур’є. Для дослiдження асимптотичної по-
ведiнки при δ → ∞ величини (2) необхiдно спочатку з’ясувати умови, при яких
перетворення Фур’є τ̂(t) вигляду
τ̂(t) = τ̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du (4)
для функцiї τ(·), що задана за допомогою спiввiдношення
τ(u) = τδ(u;ψ) =
(1− e−u)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− e−u)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(5)
буде сумовним на всiй числовiй осi.
Для вияснення цього питання потрiбнi наступнi твердження.
Означення [9, с. 18]. Нехай функцiя τ(u) задана на [0,∞), абсолютно непе-
рервна i τ(∞) = 0. Кажуть, що функцiя τ(u) належить E1, якщо похiдну τ ′(u)
в тих точках, де вона не iснує, можна доозначити так, щоб iснували iнтеграли∫ 1/2
0
u|dτ ′(u)|,
∫ ∞
1/2
|u− 1||dτ ′(u)|.
Твердження 1 [9, с. 19]. Якщо τ(u) ∈ E1, то
|τ(u)| ≤ H(τ), (6)
де величина H(τ) визначається рiвнiстю
H(τ) = |τ(0)|+ |τ(1)|+
1/2∫
0
u |dτ ′(u)|+
∞∫
1/2
|u− 1| |dτ ′(u)| . (7)
Твердження 2 [4, с. 161]. Функцiя ψ ∈ M належить до M0 тодi i лише тодi,
коли величина
α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, ψ′(t) = ψ′(t+ 0), (8)
задовольняє умову α(t) ≥ K > 0 ∀t ≥ 1.
Твердження 3 [4, с. 175]. Для того щоб функцiя ψ ∈ M належала до M0,
необхiдно i достатньо, щоб для довiльного фiксованого числа c > 1 iснувала стала
K така, що при всiх t ≥ 1 виконується нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(ct)
≤ K.
Далi через K, Ki будемо позначати сталi, взагалi кажучи, рiзнi.
Покладемо M
′
0 = M0 ∩M′. Має мiсце таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1500 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Лема 1. Нехай ψ ∈ M
′
0, функцiя g(u) = uψ(u) опукла догори або донизу
на [b,∞), b ≥ 1. Тодi для функцiї τ(·), що задана за допомогою спiввiдношення (5),
ї ї перетворення Фур’є вигляду (4) є сумовним на всiй числовiй осi, тобто iнтеграл
A(τ) =
∞∫
−∞
∣∣τ̂δ(t)∣∣dt, δ →∞, (9)
є збiжним.
Доведення. Для того щоб показати збiжнiсть iнтеграла (9), згiдно з теоремою
1 роботи [9], знайдемо оцiнки таких iнтегралiв:
1/2∫
0
u
∣∣dτ ′(u)∣∣, ∞∫
1/2
|u− 1|
∣∣dτ ′(u)∣∣, (10)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(u)|
u
du,
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du. (11)
Для оцiнки першого iнтеграла з (10) розiб’ємо промiжок [0; 1/2] на двi частини:
[0; 1/δ] та [1/δ; 1/2] (при δ > 2b). Оскiльки τ ′′(u) < 0 на [0, 1/δ], то, враховуючи,
що
1− e−u < u, u ≥ 0, (12)
отримуємо
1/δ∫
0
u
∣∣dτ ′(u)∣∣ = ψ(1)
ψ(δ)
(
1− 1
δ
e−1/δ − e−1/δ
)
= O
(
1
δ2ψ(δ)
)
, δ →∞. (13)
Нехай тепер u ∈ [1/δ; 1/2]. Покладемо τ(u) = τ1(u) + τ2(u), де
τ1(u) =
(
1− e−u − u
) ψ(δu)
ψ(δ)
, (14)
τ2(u) = u
ψ(δu)
ψ(δ)
, (15)
тодi
1/2∫
1/δ
u|dτ ′(u)| ≤
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)|+
1/2∫
1/δ
u|dτ ′2(u)|, δ > 2. (16)
Оцiнимо перший iнтеграл iз правої частини нерiвностi (16). Для цього дослi-
димо спочатку функцiю
µ(u) = 1− e−u − u. (17)
З того, що µ′(u) = e−u − 1, µ′′(u) = −e−u, µ(0) = 0, µ′(0) = 0, випливає, що при
u ≥ 0
µ(u) ≤ 0, µ′(u) ≤ 0, µ′′(u) < 0. (18)
Враховуючи (18), (12) i те, що e−u ≤ 1− u+
u2
2
, u ≥ 0, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1501
∣∣µ(u)
∣∣ = u−1+e−u ≤ u2
2
,
∣∣µ′(u)∣∣ = 1−e−u ≤ u,
∣∣µ′′(u)∣∣ = e−u ≤ 1. (19)
Оскiльки при u ≥ 1/δ, згiдно з (14) та (17),
∣∣dτ ′1(u)∣∣ ≤ (∣∣µ(u)
∣∣δ2ψ′′(δu)
ψ(δ)
+ 2
∣∣µ′(u)∣∣δ|ψ′(δu)|
ψ(δ)
+
∣∣µ′′(u)∣∣ψ(δu)
ψ(δ)
)
du, (20)
то з урахуванням (19) маємо
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| ≤
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u3
2
δ2ψ′′(δu)du +
+
2
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2δ |ψ′(δu)| du+
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
uψ(δu)du.
Iнтегруючи перший iнтеграл правої частини останньої нерiвностi частинами, отри-
муємо
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| ≤
1
ψ(δ)
u3
2
δψ′(δu)
∣∣∣∣1/2
1/δ
+
+
7
2ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2δ |ψ′(δu)| du+
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
uψ(δu)du. (21)
Використовуючи умову твердження 2, для ψ ∈ M0 маємо
1
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
u2δ |ψ′(δu)| du ≤ K
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
uψ(δu)du.
Тодi з (21) на пiдставi твердження 3 одержуємо
1/2∫
1/δ
u
∣∣dτ ′1(u)∣∣ ≤ K1 +
K2
δ2ψ(δ)
+
K3
ψ(δ)
1/2∫
1/δ
uψ(δu)du. (22)
Розглянемо iнтеграл iз правої частини нерiвностi (22) на промiжках [1/δ, b/δ]
та [b/δ, 1/2] , δ > 2b. Оскiльки функцiя g(u) = uψ(u) обмежена на [1, b], то
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du =
1
δ2ψ(δ)
b∫
1
g(u)du ≤ K
δ2ψ(δ)
. (23)
Далi, оскiльки функцiя g(u) опукла догори або донизу при u ≥ b i
g(u) 6= 0, то при u ∈ [b, δ] можливi лише два випадки: або uψ(u) ≤ bψ(b), або
uψ(u) ≤ δψ(δ). Отже, при δ →∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1502 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1
ψ(δ)
1/2∫
b/δ
uψ(δu)du =
1
δ2ψ(δ)
δ/2∫
b
g(u)du ≤
≤ 1
δ2ψ(δ)
δ∫
b
g(u)du = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
. (24)
Враховуючи (23) та (24), з (22) отримуємо
1/2∫
1/δ
u|dτ ′1(u)| = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (25)
Оцiнимо другий iнтеграл iз правої частини нерiвностi (16) на промiжку [1/δ, b/δ] ,
δ > 2b. Iз (15) випливає
τ ′′2 (u) = 2δ
ψ′(δu)
ψ(δ)
+ δ2
uψ′′(δu)
ψ(δ)
. (26)
Використовуючи спiввiдношення (26) i враховуючи, що функцiя ψ(u) є спадною
та опуклою донизу при u ≥ 1, маємо
b/δ∫
1/δ
u
∣∣dτ ′2(u)∣∣ ≤ δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u2ψ′′(δu)du+
2δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u
∣∣ψ′(δu)∣∣du.
Оскiльки ψ(δu) ≤ ψ(1) при u ∈ [1/δ, b/δ] , δ > 2b, то на пiдставi твердження 2 для
функцiї ψ ∈ M0 отримуємо
δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u |ψ′(δu)| du ≤ K
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
ψ(δu)du ≤ Kψ(1)(b− 1)
δψ(δ)
.
Далi, iнтегруючи частинами, знаходимо
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u2ψ′′(δu)du ≤ K1
δψ(δ)
.
I тому
b/δ∫
1/δ
u|dτ ′2(u)| ≤
K2
δψ(δ)
. (27)
Знайдемо оцiнку другого iнтеграла iз правої частини нерiвностi (16) на промiж-
ку [b/δ, 1/2] , δ > 2b. Оскiльки функцiя g(u) = uψ(u) опукла на [b;∞) , то
1/2∫
b/δ
u
∣∣dτ ′2(u)∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
1/2∫
b/δ
udτ ′2(u)
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣(uτ ′2(u)− τ2(u)
)∣∣1/2
b/δ
∣∣∣ = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1503
Отже, iз спiввiдношень (13), (16), (25), (27) та (28) випливає
1/2∫
0
u|dτ ′(u)| = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (29)
Оцiнимо другий iнтеграл з (10). При u ∈ [1/δ;∞), згiдно з (5), маємо
ψ(δ)dτ ′(u) =
{
(1− e−u)δ2ψ′′(δu) + 2δe−uψ′(δu)− e−uψ(δu)
}
du. (30)
Тодi, враховуючи (30) та властивостi функцiї ψ ∈ M, дiстаємо
∞∫
1/2
|u− 1|
∣∣dτ ′(u)∣∣ ≤ ∞∫
1/2
u|dτ ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1/2
u
(
1− e−u
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1/2
ue−u |ψ′(δu)| du+
1
ψ(δ)
∞∫
1/2
ue−uψ(δu)du. (31)
Оскiльки 1 − e−u ≤ 1 при u ≥ 0, ue−u ≤ K i ψ(δu) ≤ ψ(δ/2) при u ∈ [1/2;∞),
δ ≥ 2, то з (31) випливає
∞∫
1/2
|u− 1|
∣∣dτ ′(u)∣∣ ≤
≤ δ2
ψ(δ)
∞∫
1/2
uψ′′(δu)du+
2Kδ
ψ(δ)
∞∫
1/2
|ψ′(δu)| du+
ψ
(
δ
2
)
ψ(δ)
∞∫
1/2
ue−udu. (32)
На пiдставi твердження 3 для неперервної функцiї ψ(δu) ∈ M0, u ≥ 1/2, δ ≥ 2,
знаходимо
δ
ψ(δ)
∞∫
1/2
|ψ′(δu)| du = − 1
ψ(δ)
∞∫
1/2
dψ(δu) ≤ K. (33)
Далi покажемо, що для будь-якої функцiї ψ ∈ M
lim
u→∞
uψ′(u) = 0. (34)
Дiйсно, оскiльки функцiя |ψ′(u)| при u ≥ 1 спадна, то
1
2
lim
u→∞
u|ψ′(u)| = lim
δ→∞
δ
2
|ψ′(δ)| = lim
δ→∞
(
δ − δ
2
)
|ψ′(δ)| ≤
≤ lim
δ→∞
δ∫
δ/2
|ψ′(u)|du ≤ − lim
δ→∞
∞∫
δ/2
ψ′(u)du = lim
δ→∞
ψ
(
δ
2
)
= 0.
Знайдемо оцiнку першого iнтеграла з правої частини нерiвностi (32). Беручи до
уваги (33), (34), твердження 2 та 3, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1504 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
δ2
ψ(δ)
∞∫
1/2
uψ′′(δu)du =
δ
ψ(δ)
∞∫
1/2
udψ′(δu) =
=
δ
ψ(δ)
lim
u→∞
uψ′(δu) +
δ
2
∣∣∣∣ψ′(δ2
)∣∣∣∣
ψ(δ)
+
δ
ψ(δ)
∞∫
1/2
|ψ′(δu)| du ≤ K1. (35)
Поєднуючи спiввiдношення (32), (33) та (35), переконуємося, що
∞∫
1/2
|u− 1|
∣∣dτ ′(u)∣∣ = O(1). (36)
Для оцiнки першого iнтеграла з (11) розiб’ємо промiжок [0;∞) на три частини:
[0; 1/δ], [1/δ; 1] та [1,∞). Використовуючи спiввiдношення (5) i (12), одержуємо
1/δ∫
0
τ(u)
u
du =
ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
1− e−u
) du
u
≤ ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
u
du
u
=
ψ(1)
δψ(δ)
. (37)
Iз спiввiдношень (5), (17), (19) та з оцiнок (23), (24) маємо∣∣∣∣∣∣∣
1∫
1/δ
τ(u)
u
du− 1
ψ(δ)
1∫
1/δ
ψ(δu)du
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
1
ψ(δ)
1∫
1/δ
∣∣µ(u)
∣∣
u
ψ(δu)du ≤
≤ 1
2ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
+
1∫
b/δ
uψ(δu)du = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
.
Звiдси
1∫
1/δ
τ(u)
u
du =
1
δψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du+O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (38)
Враховуючи спадання функцiї ψ(u) при u ≥ 1, знаходимо∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
τ(u)
u
du− 1
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du
∣∣∣∣∣∣ = 1
ψ(δ)
∞∫
1
e−u
u
ψ(δu)du ≤
∞∫
1
e−u
u
du ≤ K. (39)
Iз спiввiдношень (37) – (39) випливає
∞∫
0
|τ(u)|
u
du =
1
δψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du+
1
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du+O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
. (40)
Оцiнимо другий iнтеграл iз (11). Iз спiввiдношення (5) знайдемо вигляд функцiй
τ(1− u) i τ(1 + u):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1505
τ(1− u) =
(
1− e−(1−u)
) ψ(1)
ψ(δ)
, 1− 1
δ
≤ u ≤ 1,
(
1− e−(1−u)
) ψ(δ(1− u))
ψ(δ)
, u ≤ 1− 1
δ
,
(41)
τ(1 + u) =
(
1− e−(1+u)
) ψ(1)
ψ(δ)
, −1 ≤ u ≤ 1
δ
− 1,
(
1− e−(1+u)
) ψ(δ(1 + u))
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
− 1.
(42)
Подамо другий iнтеграл iз (11) у виглядi суми двох iнтегралiв
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du =
=
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du+
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du. (43)
Оцiнимо спочатку перший доданок у правiй частинi (43). З цiєю метою додамо i
вiднiмемо пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину
e−(1−u) − e−(1+u).
Отримаємо
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du ≤
1−1/δ∫
0
∣∣e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du+
+
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du. (44)
Для першого iнтеграла з правої частини нерiвностi (44) є очевидною оцiнка
1−1/δ∫
0
∣∣e−1+u − e−1−u∣∣ du
u
= O(1). (45)
Далi, оскiльки мають мiсце спiввiдношення (41) i (42), то при u ∈
[
0, 1− 1
δ
]
e−(1−u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
τ(1− u), e−(1+u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
τ(1 + u).
Тодi
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1506 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
≤
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)
∣∣ ∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
∣∣∣∣ duu +
+
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1 + u)
∣∣ ∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
∣∣∣∣ duu . (46)
Оскiльки функцiя τ(·) вигляду (5) належить множинi E1, то має мiсце твердження
1, згiдно з яким
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)
∣∣ ∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
∣∣∣∣ duu +
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1 + u)
∣∣ ∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
∣∣∣∣ duu =
= H(τ)O
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du+
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du
. (47)
Покажемо, що при δ →∞
I1,δ :=
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du = O(1), (48)
I2,δ :=
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du = O(1), (49)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по δ.
Дiйсно, функцiя
1− ψ(δ)/ψ(δ(1− u))
u
обмежена при всiх u ∈
[
δ, 1− 1
δ
]
, 0 <
< δ < 1− 1
δ
i, крiм того, з урахуванням твердження 2 для ψ ∈ M0
lim
u→0
1− ψ(δ)/ψ(δ(1− u))
u
=
δ |ψ′(δ)|
ψ(δ)
≤ K.
Отже, I1,δ = O(1), δ →∞. Переходячи до оцiнки iнтеграла I2,δ, зауважимо, що
I2,δ <
1
ψ(2δ − 1)
1−1/δ∫
0
ψ(δ)− ψ (δ (1 + u))
u
du.
Пiсля замiни змiнної v = δ(1 + u) отримуємо
I2,δ <
1
ψ(2δ − 1)
2δ−1∫
δ
ψ(δ)− ψ (v)
v − δ
dv <
1
ψ(2δ − 1)
2δ∫
δ
ψ(δ)− ψ (v)
v − δ
dv.
Застосовуючи до правої частини останньої нерiвностi лему 5.5 з роботи [3, с. 97]
та враховуючи, що ψ(2δ − 1) ≥ ψ(2δ), δ ≥ 1, на пiдставi твердження 3 одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1507
I2,δ <
K1ψ(δ)
ψ(2δ − 1)
≤ K1ψ(δ)
ψ(2δ)
≤ K2.
Поєднання спiввiдношень (46) та (47) – (49) дозволяє записати
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du = H(τ)O(1), δ →∞.
Для величини H(τ) вигляду (7), згiдно з (5), (29) та (36), справедливою є оцiнка
H(τ) = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (50)
Отже, при δ →∞
1−1/δ∫
0
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
. (51)
Спiвставляючи (44), (45) та (51), отримуємо
1−1/δ∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
. (52)
Оцiнимо другий доданок iз правої частини рiвностi (43). Маємо
1∫
1−1/δ
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du =
1∫
1−1/δ
∣∣e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du +
+ O
1∫
1−1/δ
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du
. (53)
Iз спiввiдношень (41) i (42) при u ∈
[
1− 1
δ
; 1
]
випливають рiвностi
e−(1−u) = 1− ψ(δ)
ψ(1)
τ(1− u), e−(1+u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
τ(1 + u),
враховуючи якi, згiдно з твердженням 1, знаходимо
1∫
1−1/δ
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u) + e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du =
=
1∫
1−1/δ
∣∣∣∣τ(1− u)
(
1− ψ(δ)
ψ(1)
)
− τ(1 + u)
(
1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
)∣∣∣∣ duu =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1508 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
= H(τ)O
1∫
1−1/δ
|ψ(1)− ψ(δ)|
uψ(1)
du+
1∫
1−1/δ
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du
. (54)
Далi отримуємо
1∫
1−1/δ
|ψ(1)− ψ(δ)|
uψ(1)
du =
(
1− ψ(δ)
ψ(1)
)
ln
1
1− 1/δ
= O(1). (55)
Повторюючи мiркування, наведенi при встановленнi оцiнки (49), можна показати,
що при δ →∞
1∫
1−1/δ
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du = O(1). (56)
Об’єднуючи спiввiдношення (54) – (56) iз (53) та враховуючи (50) i той факт, що
1∫
1−1/δ
∣∣e−(1−u) − e−(1+u)
∣∣
u
du = O(1),
записуємо таку оцiнку:
1∫
1−1/δ
∣∣τ(1− u)− τ(1 + u)
∣∣
u
du = O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (57)
Iз рiвностi (43) на пiдставi оцiнок (52), (57) маємо
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)| du
u
= O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (58)
Отже, за теоремою 1 роботи [9] iнтеграл A(τ) вигляду (9) є збiжним.
Лему 1 доведено.
3. Асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж вiдхилень iнтегралiв Пуассона
вiд функцiй з класiв Cψβ,∞ у рiвномiрнiй метрицi. Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ M
′
0, функцiя g(u) = uψ(u) опукла догори або донизу
на [b,∞), b ≥ 1. Тодi при δ →∞ має мiсце рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
= ψ(δ)A(τ, δ) +O
(
1
δ
)
, (59)
де величина A(τ) означена за допомогою рiвностi (9) i для неї справедливою є
оцiнка
A(τ, δ) =
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
1
δψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du+
1
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du
+O
(
1 +
1
δψ(δ)
)
.
(60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1509
Доведення. В лемi 1 показано, що перетворення Фур’є функцiї τ(u), означеної
формулою (5), є сумовним на всiй числовiй осi, тобто iнтеграл A(τ) вигляду (9)
є збiжним. Тодi, повторюючи мiркування, наведенi в роботi [4, c. 183], неважко
переконатися в тому, що для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ,∞ у кожнiй точцi x ∈ R має
мiсце рiвнiсть
f(x)− Pδ(f ;x) = ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂δ(t)dt, δ > 0. (61)
Враховуючи (2), (61) та беручи до уваги iнварiантнiсть класiв Cψβ,∞ вiдносно зсуву
аргументу (див. [3, с. 109]), отримуємо
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∣∣∣∣∣∣ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
t
δ
)
τ̂(t)dt
∣∣∣∣∣∣ .
Звiдси
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
≤ ψ(δ)
π
+∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt. (62)
З iншого боку, для довiльної функцiї ϕ0 ∈ L1,
∫ π
−π
ϕ0(t)dt = 0, такої, що
ess sup
t
|ϕ0(t)| ≤ 1, у класi Cψβ,∞ знайдеться функцiя f(x) = f(ϕ0;x), для якої
fψβ (x) = ϕ0(x). Тому в класi Cψβ,∞ iснує функцiя f̂(t) така, що
f̂ψβ (t) = sign
∞∫
0
τ(u) cos
(
uδt+
βπ
2
)
du, t ∈
(
−π
2
,
π
2
)
. (63)
Далi, оскiльки
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
≥ ψ(δ)
π
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
f̂ψβ
(
t
δ
) ∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
dudt
∣∣∣∣∣∣ , (64)
то, враховуючи (63), маємо
ψ(δ)
π
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
f̂ψβ
(
t
δ
) ∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
dudt
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ δψ(δ)
∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
−π/2
sign τ̂(tδ)τ̂(tδ)dt
∣∣∣∣∣∣∣− ψ(δ)
∫
|t|≥(δπ/2)
|τ̂δ(t)| dt =
= ψ(δ)
+∞∫
−∞
|τ̂δ(t)| dt+ γ(δ), (65)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1510 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
де γ(δ) ≤ 0 i |γ(δ)| = O
(
ψ(δ)
∫
|t|≥(δπ/2)
|τ̂δ(t)| dt
)
. Поєднання спiввiдношень (62)
та (64), (65) дозволяє записати при δ →∞ рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
= ψ(δ)A(τ) +O
ψ(δ)
∫
|t|≥(δπ/2)
|τ̂δ(t)| dt
. (66)
Крiм того, iз нерiвностей (2.14) i (2.15) роботи [9, c. 25] з урахуванням фор-
мул (29), (36), (40) i (58) отримуємо спiввiдношення (60).
Оцiнимо залишковий доданок у правiй частинi рiвностi (66), записавши пере-
творення τ̂δ(t), що визначається спiввiдношенням (4), у виглядi
τ̂(t) =
1
π
1/δ∫
0
+
∞∫
1/δ
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (67)
Двiчi iнтегруючи частинами обидва iнтеграли з (67) та беручи до уваги, що
τ(0) = 0 i lim
u→∞
τ(u) = lim
u→∞
τ ′(u) = 0, одержуємо
1/δ∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
=
1
t
τ
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
1
t2
τ ′
(
1
δ
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
τ ′(0) cos
βπ
2
− 1
t2
1/δ∫
0
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (68)
∞∫
1/δ
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
= −1
t
τ
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
τ ′
(
1
δ
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
∞∫
1/δ
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (69)
Поєднання формул (68) та (69) дозволяє записати
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 1
t2
τ ′(0) cos
βπ
2
− 1
t2
1/δ∫
0
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du−
− 1
t2
∞∫
1/δ
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1511
Звiдси∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K1
t2ψ(δ)
+
1
t2
1/δ∫
0
+
1∫
1/δ
+
∞∫
1
|τ ′′(u)| du. (70)
Знайдемо оцiнки iнтегралiв iз правої частини спiввiдношення (70). Враховуючи,
що τ ′′(u) < 0 при u ∈ [0; 1/δ], та нерiвнiсть (12), отримуємо
1/δ∫
0
|τ ′′(u)|du = −
1/δ∫
0
τ ′′(u)du =
ψ(1)
ψ(δ)
e−u
∣∣1/δ
0
= O
(
1
δψ(δ)
)
. (71)
Використавши (5), (14) та (15), оцiнимо другий iнтеграл з правої частини спiввiд-
ношення (70). Отже,
1∫
1/δ
|τ ′′(u)|du ≤
1∫
1/δ
|τ ′′1 (u)|du+
1∫
1/δ
|τ ′′2 (u)|du. (72)
Тодi, беручи до уваги нерiвностi (19) та (20), знаходимо
1∫
1/δ
|τ ′′1 (u)|du ≤ 1
ψ(δ)
1∫
1/δ
u2
2
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
1∫
1/δ
uδ |ψ′(δu)| du+
1
ψ(δ)
1∫
1/δ
ψ(δu)du. (73)
Iнтегруючи частинами перший iнтеграл iз правої частини останньої нерiвностi та
враховуючи умови твердження 2, для функцiї ψ(u) ∈ M0, u ≥ 1, отримуємо
δ2
2ψ(δ)
1∫
1/δ
u2ψ′′(δu)du ≤ K +
|ψ′(1)|
2δψ(δ)
+
δ
ψ(δ)
1∫
1/δ
u |ψ′(δu)| du. (74)
Оскiльки
∫ 1
1/δ
ψ(δu)du =
1
δ
∫ δ
1
ψ(u)du ≤ ψ(1)
(
1− 1
δ
)
, то знову на пiдставi твер-
дження 2 переконуємося, що
δ
ψ(δ)
1∫
1/δ
u |ψ′(δu)| du ≤ K1
ψ(δ)
1∫
1/δ
ψ(δu)du ≤ K2
ψ(δ)
. (75)
Поєднання спiввiдношень (73) – (75) дозволяє записати таку нерiвнiсть:
1∫
1/δ
|τ ′′1 (u)|du ≤ K +
K1
δψ(δ)
+
K2
ψ(δ)
. (76)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1512 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Оцiнимо другий iнтеграл iз правої частини нерiвностi (72), подавши його у
виглядi
1∫
1/δ
|τ ′′2 (u)|du =
b/δ∫
1/δ
+
1∫
b/δ
|τ ′′2 (u)|du, δ > b. (77)
Беручи до уваги спiввiдношення (26), знаходимо
b/δ∫
1/δ
|τ ′′2 (u)|du ≤ δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ′′(δu)du+
2δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
|ψ′(δu)| du =
=
bψ′(b)− ψ′(1)
ψ(δ)
− 3δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
ψ′(δu)du = O
(
1
ψ(δ)
)
. (78)
Далi, оскiльки, згiдно з умовами теореми, функцiя g(u) = uψ(u) опукла на [b;∞) ,
то, враховуючи (15), знаходимо, що при δ →∞ має мiсце оцiнка
1∫
b/δ
|τ ′′2 (u)|du =
∣∣∣∣∣∣∣
1∫
b/δ
τ ′′2 (u)du
∣∣∣∣∣∣∣ = O
(
1
ψ(δ)
)
. (79)
Iз (72), (76) – (79) випливає
1∫
1/δ
|τ ′′(u)|du = O
(
1
ψ(δ)
)
, δ →∞. (80)
Розглянемо iнтеграл iз правої частини спiввiдношення (70) на промiжку [1,∞) .
Використовуючи спiввiдношення (30), отримуємо
∞∫
1
|τ ′′(u)|du ≤ δ2
ψ(δ)
∞∫
1
(
1− e−u
)
ψ′′(δu)du+
+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1
e−u |ψ′(δu)| du+
1
ψ(δ)
∞∫
1
e−uψ(δu)du.
Тодi з урахуванням нерiвностей 1 − e−u ≤ u, e−u ≤ 1 при u ≥ 0, ψ(δu) ≤ ψ(δ)
при u ≥ 1, а також тверджень 2, 3 i спiввiдношення (34) неважко переконатися в
тому, що
∞∫
1
|τ ′′(u)|du = O(1), δ →∞. (81)
Iз спiввiдношень (71), (80) та (81) випливає оцiнка
∞∫
0
|τ ′′(u)|du = O
(
1
ψ(δ)
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1513
Враховуючи останню оцiнку та нерiвнiсть (70), отримуємо∫
|t|≥δπ/2
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
δψ(δ)
)
, δ →∞. (82)
Iз спiввiдношень (82) та (66) випливає рiвнiсть (59).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що для класiв Cψβ,∞ перiодичних функцiй у випадку, коли ψ(u) =
=
1
ur
, 0 < r < 1, u ≥ 1, аналогiчну теорему встановлено в роботi [9, c. 31].
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 1, sin
βπ
2
6= 0 i lim
t→∞
α(t) =
= ∞, де величина α(t) означена рiвнiстю (8). Тодi при δ →∞ має мiсце асимпто-
тична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
δ
ψ(u)
u
du+O (ψ(δ)) . (83)
Доведення. Щоб переконатись у справедливостi рiвностi (83), насамперед за-
значимо, що при ε0 ∈ (0, 1) функцiя uε0ψ(u) зростає, починаючи з деякого числа
u0 ≥ 1. Дiйсно, (uε0ψ(u))′ = ε0u
ε0−1ψ(u)− uε0 |ψ′(u)| = uε0 |ψ′(u)| (ε0α(u)− 1) .
Оскiльки lim
u→∞
α(u) = ∞, то знайдеться таке u0 = u0(ε0), що при u > u0
(uε0ψ(u))′ > 0. Тодi для будь-якого ε ∈ (ε0, 1) при досить великих δ отримаємо
1
δψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du =
1
δψ(δ)
δ∫
1
uεψ(u)
uε
du ≤ δεψ(δ)
δψ(δ)
δ∫
1
du
uε
= O(1). (84)
Оскiльки ψ ∈ M′
0, то, використавши правило Лопiталя i те, що lim
u→∞
α(u) = ∞,
знаходимо
lim
x→∞
∫ ∞
x
ψ(u)
u
du
ψ(x)
= lim
x→∞
ψ(x)
x|ψ′(x)|
= ∞. (85)
Отже, при δ →∞
ψ(δ) = o
∞∫
δ
ψ(u)
u
du
. (86)
Поєднавши (84), (86) iз (59), (60), отримаємо (83).
Прикладом функцiй, якi задовольняють умови наслiдку 1, є, наприклад, функцiї
вигляду ψ(u) =
1
lnα(u+K)
, де α > 1, K > 0.
Наслiдок 2. Нехай ψ ∈ M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя uψ(u) опукла догори або
донизу на [b,∞) , b ≥ 1,
lim
u→∞
uψ(u) = ∞, (87)
lim
δ→∞
1
δψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du = ∞. (88)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1514 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ
δ∫
1
ψ(u)du+O (ψ(δ)) . (89)
Доведення. Якщо функцiя ψ задовольняє умови (87) i (88), то, використовуючи
правило Лопiталя, маємо
1
1− lim
x→∞
α(x)
= lim
x→∞
ψ(x)
ψ(x) + xψ′(x)
= lim
x→∞
∫ x
1
ψ(u)du
xψ(x)
= ∞.
Звiдси
lim
x→∞
α(x) = 1. (90)
Iз рiвностей (85) та (90) отримуємо
∞∫
δ
ψ(u)
u
du = O (ψ(δ)) .
Використовуючи останню оцiнку, спiввiдношення (59), (60), (87) та (88), одержує-
мо (89).
Зауважимо, що функцiї, якi мають, наприклад, вигляд ψ(u) =
1
u
lnα(u + K),
K > 0, α > 0, задовольняють умови наслiдку 2.
Наслiдок 3. Нехай ψ ∈ M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя uψ(u) опукла донизу на
[b,∞) , b ≥ 1,
lim
u→∞
uψ(u) = K <∞, (91)
lim
δ→∞
δ∫
1
ψ(u)du = ∞. (92)
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Pδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ
δ∫
1
ψ(u)du+O
(
1
δ
)
. (93)
Доведення. Оскiльки в умовах наслiдку 3 функцiя uψ(u) при u ≥ b ≥ 1 є
спадною, то при достатньо великих δ (δ > b) отримуємо
1
ψ(δ)
∞∫
δ
ψ(u)
u
du =
1
ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)
u2
du ≤ δ
∞∫
δ
du
u2
= O (1) .
Рiвнiсть (93) одержимо, пiдставивши останнiй вираз у (60) та врахувавши спiввiд-
ношення (59), (91), (92).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ . . . 1515
Прикладом функцiй, для яких має мiсце наслiдок 3, є функцiї вигляду ψ(u) =
=
1
u
(K + e−u), ψ(u) =
1
u
lnα(u+K), де K > 0, −1 ≤ α ≤ 0.
Зазначимо, що коли ψ(u) =
1
u
, u ≥ 1, β ∈ R, iз спiввiдношення (93) отримуємо
результат (3) (див. [9, c. 31]). А у випадку, коли ψ(u) =
1
ur
, u ≥ 1, β = r = 1, iз
(93) випливає асимптотична при δ →∞ рiвнiсть
E
(
W 1
∞;Pδ
)
C
=
2
π
ln δ
δ
+O
(
1
δ
)
.
Таку оцiнку для верхнiх меж наближень на класах Соболєва W 1
∞ iнтегралами
Пуассона отримав I. П. Натансон у роботi [7].
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 1 – 3 рiвностi (83), (89) та (93) да-
ють розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для iнтегралiв Пуассона на класах
Cψβ,∞ у рiвномiрнiй метрицi, коли функцiї ψ мають незначну швидкiсть спадання
до нуля, тобто таких функцiй ψ, для яких
∫ ∞
1
ψ(u)du = ∞.
1. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. –
Киев, 1983. – 57 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.10).
2. Степанец А. И. Уклонения сумм Фурье на классах бесконечно дифференцируемых функций //
Укр. мат. журн. – 1984. – 36, № 6. – С. 750 – 758.
3. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
4. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. I. – 427 с.
5. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I // Berichte
Acad. Wiss. – Leipzig, 1938. – 90. – S. 103 – 134.
6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
7. Натансон И. П. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической функции при помощи
ее интеграла Пуассона // Докл. АН СССР. – 1950. – 72, № 1. – С. 11 – 14.
8. Тиман А. Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций
интегралами Пуассона // Там же. – 74, № 1. – С. 17 – 20.
9. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матри-
цами. I // Изв. вузов. Математика. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
10. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Повна асимптотика вiдхилення вiд класу диференцiйовних функцiй
множини їх гармонiйних iнтегралiв Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – С. 43 – 52.
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй їх iнтегралами
Абеля – Пуассона // Там же. – 2009. – 61, № 1. – С. 73 – 82.
Одержано 21.04.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3117 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:34Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/61/e9ec14815162be402471bd8ed67ed261.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31172020-03-18T19:45:43Z Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric Наближення (ψ, β) -диференційовних функцій інтегра- лами Пуассона у рівномірній метриці Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. We obtain asymptotic equalities for upper bounds of approximations of functions from the class $C_{β,∞} ψ$ by Poisson integrals in the metric of the space $C$. Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из класса $C_{β,∞} ψ$ интегралами Пуассона в метрике пространства $C$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3117 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1497-1515 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1497-1515 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3117/2982 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3117/2983 Copyright (c) 2009 Zhyhallo T. V.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric |
| title | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric |
| title_alt | Наближення (ψ, β) -диференційовних функцій інтегра-
лами Пуассона у рівномірній метриці |
| title_full | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric |
| title_fullStr | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric |
| title_full_unstemmed | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric |
| title_short | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric |
| title_sort | approximation of (ψ, β)-differentiable functions by poisson integrals in the uniform metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3117 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallotv approximationofpsbdifferentiablefunctionsbypoissonintegralsintheuniformmetric AT kharkevychyui approximationofpsbdifferentiablefunctionsbypoissonintegralsintheuniformmetric AT žigallotv approximationofpsbdifferentiablefunctionsbypoissonintegralsintheuniformmetric AT harkevičûí approximationofpsbdifferentiablefunctionsbypoissonintegralsintheuniformmetric AT zhyhallotv nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamipuassonaurívnomírníjmetricí AT kharkevychyui nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamipuassonaurívnomírníjmetricí AT žigallotv nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamipuassonaurívnomírníjmetricí AT harkevičûí nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamipuassonaurívnomírníjmetricí |