Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point
Using a transformation matrix, we asymptotically reduce a system of differential equations with a small parameter in the coefficients of a part of derivatives and with multiple turning point to an integrable system of equations.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3118 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509152383598592 |
|---|---|
| author | Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. |
| author_facet | Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. |
| author_sort | Klyuchnyk, I. H. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | Using a transformation matrix, we asymptotically reduce a system of differential equations with a small parameter in the coefficients of a part of derivatives and with multiple turning point to an integrable system of equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.928
I. Г. Ключник (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ
СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ
With the use of transformation matrix, a system of differential equations with small parameter of a part of
derivatives with a multiple turning point is asymptotically reduced to an integrated system of equations.
С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при
части производных с кратной точкой поворота асимптотически сводится к интегрируемой системе
уравнений.
У роботах [1 – 8] наведено огляд лiтератури i запропоновано методи формального
спрощення для сингулярно збуреної лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з
кратною точкою звороту. Лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з малим пара-
метром при частинi похiдних з точкою звороту першого порядку, для якої запро-
поновано асимптотичний метод iнтегрування, уперше розглянуто в [9]. Цей метод
полягає у зведеннi лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром
при частинi похiдних, у випадку збiгу в однiй точцi двох власних значень, за до-
помогою матриць перетворень до iнтегровної системи рiвнянь. У [10] доведено
iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть за дiйсними змiнними x, ε перетворю-
ючих матриць, якi мають своїм асимптотичним розвиненням при ε → 0 матрицi,
одержанi запропонованим в [9] асимптотичним методом. У данiй статтi розгляда-
ється система лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi
похiдних з кратною точкою звороту, для якої одержано асимптотичний метод iнте-
грування.
Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь вигляду
y′ = A(x)y +A1(x)y1,
εy′1 = (B(x) + εB1(x))y1 + εB2(x)y,
(1)
де y ∈ Rp, y1 ∈ R2, матрицi A(x), A1(x), B(x), B1(x), B2(x) голоморфнi при
|x| ≤ x0, (2)
B(x) — матриця, для якої виконуються умови
detB(0) =
di(detB(x))
dxi
∣∣∣∣
x=0
= 0,
dq
dxq
(detB(x))
∣∣∣∣
x=0
6= 0, (3)
де i = 1, q − 1, q — цiле число i q ≥ 2. Будемо вважати, що
trB(x) = trB1(x) = trA(x) ≡ 0. (4)
Безпосередньою перевiркою переконуємося, що матриця B(x) =
=
(
ã(x)xλ b̃(x)xµ
c̃(x)xν −ã(x)xλ
)
голоморфно подiбна матрицi k(x)
(
0 xµ
xν 0
)
з матрицею
c© I. Г. КЛЮЧНИК, 2009
1516 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1517
перетворення T (x) =
(
1 0
j(x) 1
)
при µ ≤ λ, де j(x) = − ã(x)xλ−µ
b̃(x)
, k(x) = b̃(x),
b̃(0) 6= 0 i T (x) =
(
1 β(x)
0 1
)
при ν ≤ λ, де β(x) =
ã(x)xλ−ν
c̃(x)
, k(x) = c̃(x), c̃(0) 6=
6= 0.Далi за допомогою замiни ξ = ϕ(x) =
(
µ+ ν + 2
2
∫ x
0
t(µ+ν)/2k(t)dt
)2/(µ+ν+2)
,
y =
(
1 0
0 ω
)
v, де ω = ϕ(x)(µ−ν)/2x(ν−µ)/2, враховуючи (3), одержуємо систему (1)
з матрицею B(x) =
(
0 1
xq 0
)
.
За допомогою перетворення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
систему (1) зведемо до ви-
гляду
u′ =
(
q−1∑
i=0
Ci(ε)xi
)
v, (5)
εv′ =
(
B(x) + εB3(x, ε)
)
v + ε
(
q−1∑
i=0
Di(ε)xi
)
u, (6)
де Φ(x, ε) — блочна матриця вигляду
Φ(x, ε) =
U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x) V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
, (7)
матрицi Ci(ε), Di(ε), B3(x, ε) мають формальнi розвинення
Ci(ε) =
∞∑
n=0
εnCin, Di(ε) =
∞∑
n=0
εnDin, B3(x, ε) =
∞∑
n=0
B3n(x)εn, (8)
Cin =
ci1n 0
. . . . . .
cipn 0
, Din =
(
0 . . . 0
din1 . . . dinp
)
, B3n(x) =
(
0 0
bn(x) 0
)
.
З (1), (5), (6) випливає, що матриця Φ(x, ε) задовольняє диференцiальне рiв-
няння
εΦ′ + Φ
0 ε
(
q−1∑
i=0
Ci(ε)xi
)
ε
(
q−1∑
i=0
Di(ε)xi
)
B(x) + εB3(x, ε)
=
=
(
εA(x) εA1(x)
εB2(x) B(x) + εB1(x)
)
Φ. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1518 I. Г. КЛЮЧНИК
Пiдставляючи (7) в (9), одержуємо систему рiвнянь для коефiцiєнтiв розвинень (7)
матричної функцiї Φ(x, ε) :
U ′(x) +
∞∑
n=1
εnU ′n(x) +
( ∞∑
n=1
εnVn1(x)
)(
q−1∑
i=0
Di(ε)xi
)
=
= A(x)U(x) +A(x)
∞∑
n=1
εnUn(x) +A1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x),
∞∑
n=1
εnV ′n1(x) + U(x)
q−1∑
i=0
Ci(ε)xi +
( ∞∑
n=1
εnUn(x)
)(
q−1∑
i=0
Ci(ε)xi
)
+
+
∞∑
n=1
εn−1V ′n1(x)B(x) +
∞∑
n=1
εnVn1(x)B3(x, ε) =
= A(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x) +A1(x)V (x) +A1(x)
∞∑
n=1
εnVn(x),
(10)
∞∑
n=1
εnU ′n1(x) + V (x)
q−1∑
i=0
Di(ε)xi +
( ∞∑
n=1
εnVn(x)
)(
q−1∑
i=0
Di(ε)xi
)
=
= B2(x)U(x) +B2(x)
∞∑
n=1
εnUn(x)+
+B(x)
∞∑
n=1
εn−1Un1(x) +B1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x),
εV ′(x) + ε
∞∑
n=1
εnV ′n(x) + ε
( ∞∑
n=1
εnUn1(x)
)(
q−1∑
i=0
Ci(ε)xi
)
+
+V (x)B(x) + εV (x)B3(x, ε)+
+
∞∑
n=1
εnVn(x)B(x) + ε
∞∑
n=1
εnVn(x)B3(x, ε) =
= εB2(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x) +B(x)V (x) + εB1(x)V (x)+
+B(x)
∞∑
n=1
εnVn(x) + εB1(x)
∞∑
n=1
εnVn(x).
Прирiвнюючи коефiцiєнти при нульовому степенi ε у рiвняннях (10) i врахову-
ючи (8), маємо
U ′(x) = A(x)U(x), (11)
U(x)
q−1∑
i=0
Ci0(ε)xi + V11(x)B(x) = A1(x)V (x), (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1519
V (x)
q−1∑
i=0
Di0(ε)xi = B2(x)U(x) +B(x)U11(x), (13)
V (x)B(x) = B(x)V (x). (14)
З рiвнянь (11) i (14) одержуємо
U(x) = Ωx0(A(x)), V (x) = q01(x)B(x) + q02(x)I, (15)
де Ωx0(A(x)) — матрицант рiвняння (11), q01(x), q02(x) — довiльнi голоморфнi в
областi |x| ≤ x0 функцiї, I — одинична матриця.
Для визначення q01(x), q02(x) використаємо систему рiвнянь, що одержується
з (10) прирiвнюванням в нiй коефiцiєнтiв при першому степенi параметра ε :
U ′1(x) + V11(x)
q−1∑
i=0
Di0(ε)xi = A(x)U1(x) +A1(x)U11(x), (16)
V ′11(x) + U(x)
q−1∑
i=0
Ci1(ε)xi+
+ U1(x)
q−1∑
i=0
Ci0(ε)xi + V21(x)B(x) + V11(x)B30(x) =
= A(x)V11(x) +A1(x)V1(x), (17)
U ′11(x) + V (x)
q−1∑
i=0
Di1(ε)xi + V1(x)
q−1∑
i=0
Di0(ε)xi =
= B2(x)U1(x) +B(x)U21(x) +B1(x)U11, (18)
V ′(x) + V (x)B30(x) + V1(x)B(x) = B1(x)V (x) +B(x)V1(x). (19)
Для iснування розв’язку рiвняння (19) необхiдно i достатньо виконання умов
tr(V ′(x) + V (x)B30(x)−B1(x)V (x)) ≡ 0,
tr(V ′(x)B(x) + V (x)B30(x)B(x)−B1(x)V (x)B(x)) ≡ 0.
Пiдставляючи в цi умови замiсть функцiї V (x) i V ′(x) її вираз iз (15) i враховуючи,
що trB1(x) ≡ 0, отримуємо систему вигляду
2xqq′01 + qxq−1q01 + q02(b0 − xqb12(x)− b21(x)) = 0,
2q′02 + q01(b0 − xqb12(x)− b21(x)) = 0.
(20)
В якостi b0(x) вiзьмемо многочлен степеня q − 2 вигляду b0(x) =
∑q−2
r=0
xrb0r з
коефiцiєнтами b0r, якi визначаються за формулами b00 = b21(0), b0r =
b
(r)
21 (0)
r!
,
r = 1, q − 2, де bij(x) =
{
B1(x)
}
ij
, i, j = 1, 2; b
(r)
21 (0) — r-та похiдна функцiї
b21(x) у точцi x = 0, b0(x) — елемент матрицi B30(x). Тодi одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1520 I. Г. КЛЮЧНИК
b21(x)− b0(x) = xq−1k̃(x),
де k̃(x) =
∑∞
r=q−1
b
(r)
21
r!
xr−q+1.
Пiдставляючи останню рiвнiсть у систему (20) i записуючи її в матричному
виглядi, маємо
xq′0(x) = H(x)q0(x), (21)
де
q0(x) =
(
q01(x)
q02(x)
)
, H(x) =
1
2
−q xb12(x) + k̃(x)
xq(xb12(x) + k̃(x)) 0
.
Система (21) має ненульовi голоморфнi в областi (2) розв’язки, якi залежать
вiд значень q02(0). Покладемо q02(0) = 1 i визначимо однозначно розв’язок систе-
ми (21). Пiдставивши знайденi функцiї U(x) i V (x) у виглядi (15) в рiвняння (12) i
(13), одержимо рiвняння для визначення Ci0, Di0, i = 0, q − 1, V11(x), U11(x). По-
множивши рiвняння (12) справа на B(x), а (13) злiва на матрицю B(x), отримаємо
xqV11(x) = F (x), xqU11(x) = G(x), (22)
де
F (x) = A1(x)V (x)B(x)− U(x)
(
q−1∑
i=0
Ci0x
i
)
B(x),
G(x) = B(x)V (x)
q−1∑
i=0
Di0x
i −B(x)B2(x)U(x).
Матрицю C00 будемо знаходити з рiвностi F (0) = 0, з якої випливає
C00B(0) = A1(0)V (0)B(0).
З покоординатного запису останнього рiвняння знайдемо елементи матрицi
{C00}j1 = {A1(0)V (0)}j1, {C00}j2 = 0, j = 1, p.
З явного вигляду матрицi F (x) знайдемо i-ту похiдну матрицi F (x) у виглядi
diF (x)
dxi
= (A1(x)V (x))(i)B(x) +
i−1∑
k=0
Cki (A1(x)V (x))(k)B(i−k)(x)−
−
q−1∑
j=0
xjU(x)Cj0
(i)
B(x)−
i−1∑
k=0
Cki
q−1∑
j=0
xjU(x)Cj0
(k)
B(i−k)(x), (23)
де B(k)(x) — k-та похiдна вiд матрицi B(x), Cki — число сполук з i елементiв по k.
Записавши i-ту похiдну вiд добутку степеневої функцiї i матрицi U(x) та
виконавши перенумерування, а потiм згрупувавши доданки при xj окремо при
j = 0, q − 1− i i j = q − i, q − 1, одержимо наступну похiдну:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1521
q−1∑
j=0
xjU(x)Cj0
(i)
=
q−1∑
j=0
xjU (i)(x)Cj0+
+
i∑
k=1
q−1∑
j=k
Cki j(j − 1) . . . (j − k + 1)xj−kU (i−k)(x)Cj0
=
=
q−1∑
j=0
xjU (i)(x)Cj0 +
i∑
k=1
q−1−k∑
j=0
Cki (j + k)(j + k − 1) . . .
. . . (j + 1)xjU (i−k)(x)Cj+k,0 =
=
q−1−i∑
j=0
(U (i)(x)Cj0 +
i∑
k=1
Cki (j + k)(j + k − 1) . . .
. . . (j + 1)U (i−k)(x)Cj+k,0)xj+
+
i−1∑
s=0
xq−i+s(U (i)(x)Cq−i+s,0+
+
i−1−s∑
k=1
Cki (q − i+ s+ k)(q − i+ s+ k − 1) . . .
. . . (q − i+ s+ 1)U (i−k)(x)Cq−i+s+k,0).
Пiдставляючи знайдену похiдну в останнiй рiвностi в (23) i покладаючи в одержа-
нiй рiвностi x = 0, а також використовуючи те, що B(s)(0) = 0, s ≥ 1, знаходимо
значення i-ї похiдної в точцi x = 0 вигляду
diF (0)
dxi
= i!
(
di(A1(x)V (x))
dxi
∣∣∣∣∣
x=0
B(0)−
−
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
U (i−k)(0)Ck0B(0)− U(0)Ci0B(0)
)
.
Матрицi Ci0, i = 1, q − 1, будемо знаходити з рiвностi
diF (0)
dxi
= 0, а тому, вико-
риставши значення
diF (0)
dxi
, одержимо
Ci0B(0) =
di(A1(x)V (x))
dxi
∣∣∣∣∣
x=0
B(0)−
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
U (i−k)(0)Ck0B(0).
З покоординатного запису останнього рiвняння поступово знайдемо всi матрицi
Ci0, i = 1, q − 1, вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1522 I. Г. КЛЮЧНИК
{Ci0}j1 =
{
di(A1(x)V (x))
dxi
∣∣∣∣∣
x=0
−
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
U (i−k)(x)Ck0
}
j1
,
{Ci0}j2 = 0, j = 1, p.
МатрицiD00, Di0, i = 1, β − 1, будемо знаходити вiдповiдно з рiвностейG(0) =
= 0,
diG(0)
dxi
= 0. Використавши явний вигляд матрицi G(x) i знайшовши
diG(0)
dxi
,
одержимо рiвняння
B(0)V (0)D00 = B(0)B2(0)U(0),
B(0)Di0 = B(0)
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
V (i−k)(0)Dk0 −B(0)
di(B2(x)U(x))
dxi
∣∣∣∣∣
x=0
.
З покоординатного запису останнiх двох рiвнянь знайдемо всi матрицi Di0, i =
= 0, q − 1, вигляду
{D00}2j =
{
B2(0)U(0)
}
2j
, {D00}1j = 0,
{Di0}2j =
{
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
V (i−k)(0)Dk0 −
di(B2(x)U(x))
dxi
∣∣∣∣∣
x=0
}
2j
,
{Di0}1j = 0, j = 1, p.
З огляду на вибiр Ci0, Di0, i = 0, q − 1, матрицi F (x) i G(x) можна записати у
виглядi
F (x) = xqF̃ (x), G(x) = xqG̃(x),
де
F̃ (x) =
∞∑
k=q
F (k)(0)
k!
xk−q, G̃(x) =
∞∑
k=q
G(k)(0)
k!
xk−q.
Тодi з рiвнянь (22), враховуючи останнi двi рiвностi, маємо
V11(x) = F̃ (x), U11(x) = G̃(x).
Отже, знайдено коефiцiєнти розвинень (7), (8) при ε в нульовому степенi.
Для знаходження коефiцiєнтiв розвинень (7), (8) при ε у першому степенi ма-
ємо систему рiвнянь (16) – (19). З рiвняння (16), поклавши U1(0) = 0, знайдемо
матрицю U1(x) у виглядi
U1(x) =
x∫
0
Ωxt
(
A(t)
)(
A1(t)U11(t)− V11(t)
q−1∑
i=0
Di0t
i
)
dt. (24)
Розглянемо рiвняння (19), яке набере вигляду
B(x)V1(x)− V1(x)B(x) = F1(x), (25)
де F1(x) = V ′(x) + V (x)B30(x) − B1(x)V (x), trF1(x) ≡ 0, trF1(x)B(x) ≡ 0.
Загальний розв’язок рiвняння (25) визначається за формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1523
V1(x) = q11(x)B(x) + q12(x)I +W1(x), W1(x) =
(
g1(x) 0
g2(x) 0
)
. (26)
ТутW1(x) — частинний розв’язок рiвняння (25). Прирiвнявши коефiцiєнти в остан-
ньому з рiвнянь (10) при другому степенi параметра ε, одержимо
B(x)V2(x)− V2(x)B(x) = V ′1(x)−B1(x)V1(x) +
(
V (x)B31(x) + F2(x)
)
, (27)
де F2(x) = U11(x)
∑q−1
i=0
Ci0x
i + V1(x)B30(x) − B2(x)V11(x). З умови iснування
розв’язку рiвняння (27)
tr
(
V ′1(x)−B1(x)V1(x)
)
= − tr
(
V (x)B31(x) + F2(x)
)
,
tr
(
V ′1(x)B(x)−B1(x)V1(x)B(x)
)
= − tr
(
V (x)B31(x)B(x) + F2(x)B(x)
)
отримуємо систему рiвнянь для визначення q11(x), q12(x) :
2xqq′11 + qxq−1q11 − xq−1q12(xb12(x) + k̃(x)) = f1(x)− q02(x)b1(x),
2q′12 − xq−1q11(xb12(x) + k̃(x)) = f2(x)− q01b1(x),
(28)
де f1(x) = − tr(W ′1(x)B(x)) + tr(B1(x)W1(x)B(x)) − tr(F2(x)B(x)), f2(x) =
= − trW ′1(x) + tr(B1(x)W1(x))− trF2(x). Внаслiдок голоморфностi f1(x), q02(x)
i вибору q02(0) = 1 запишемо цi функцiї у виглядi
f1(x) =
q−2∑
s=0
f
(s)
1 (0)
s!
xs + xq−1f̃1(x),
q02(x) = 1 +
q−2∑
s=1
q
(s)
02 (0)
s!
xs + xq−1q̃02(x).
(29)
В якостi b1(x) вiзьмемо многочлен степеня q − 2 вигляду
b1(x) =
q−2∑
s=0
xsb1s (30)
з коефiцiєнтами b1s, s = 0, q − 2, якi визначаються за формулами
b10 = f1(0), b1j =
f
(j)
1 (0)
j!
−
j∑
s=0
q
(s)
02 (0)b1,j−s
s!
, j = 1, q − 2. (31)
Пiдставляючи (29), (30) у вираз f1(x)− q02(x)b1(x), а потiм використовуючи (31),
одержуємо рiвнiсть
f1(x)− q02(x)b1(x) = xq−1k̃1(x), (32)
де k̃1(x) = f̃1(x) −
∑q−2
r=1
∑q−2
s=r
q02sb1,q−r−s + q̃02(x)b1(x). Враховуючи рiв-
нiсть (32), систему (28) записуємо у виглядi
xq′1(x) = H(x)q1(x) + F (1)(x), (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1524 I. Г. КЛЮЧНИК
де F (1)(x) — голоморфна вектор-функцiя вигляду F (1)(x) =
(
f1(x)− q02(x)b1(x)
f2(x)− q01(x)b1(x)
)
.
Система (33) має голоморфнi в областi |x| ≤ x0 розв’язки, якi залежать вiд зна-
чень q12(0). Покладемо q12(0) = 0 i визначимо однозначно розв’язок системи (33).
Матрицi V21(x), U21(x), Ci1, Di1, i = 0, q − 1, однозначно знаходимо з рiвнянь
(17) i (18), пiдставляючи в них знайденi функцiї U1(x) i V1(x) з формул (24) i (26).
Можна довести, що вказаним алгоритмом однозначно знаходяться довiльнi коефi-
цiєнти розвинень (7) i (8) i коефiцiєнти розвинень (7) є голоморфними функцiями
в областi (2).
Розглянемо матрицю (7) при ε = 0. Вона має вигляд Φ(x, 0) =
(
U(x) 0
0 V (x)
)
,
де U(x), V (x) визначаються з (15). Врахувавши, що trA(x) = 0, одержимо
detU(x) ≡ 1. З (15) знайдемо detV (x) = q202(x)−xqq201(x) i, врахувавши рiвняння
(20), будемо мати
d(detV (x))
dx
= 2q′02(x)q02(x)−qxq−1q201(x)−2xqq′01(x)q01(x) ≡ 0.
Звiдси знаходимо detV (x) ≡ detV (0) = 1. Таким чином, det Φ(x, 0) ≡ 1 для всiх
x з областi (2).
Запишемо рiвняння (5) покоординатно
u′j =
(
q−1∑
i=0
cij(ε)xi
)
v1, (34)
де cij(ε) =
{
Ci(ε)
}
j1
, j = 1, p. Будемо вважати, що ci1(ε) 6= 0, i = 0, q − 1. Тодi
рiвнiсть (34) набере вигляду
u′1 =
(
q−1∑
i=0
ci1(ε)xi
)
v1, u′j =
q−1∑
i=0
γij(ε)ci1(ε)xiv1, (35)
де γij(ε) =
cij(ε)
ci1(ε)
, j = 2, p, i = 0, q − 1. З (35) випливає, що замiна
u1 = ω1, uj =
q−1∑
i=0
γij(ε)u1 + ωj , j = 2, p, (36)
перетворює систему рiвнянь (35) до вигляду
ω′1 =
q−1∑
i=0
ci1(ε)xiv1, ω′j = −
q−1∑
i=0
xi
q−1∑
k=0
k 6=i
γkj(ε)ci1(ε)
v1, j = 2, p.
З явного вигляду матрицi замiни для (36)
V (ε) =
1 0 . . . 0
q−1∑
i=0
γi2(ε) 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q−1∑
i=0
γip(ε) 0 . . . 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1525
випливає, що
detV (ε) = 1.
Суперпозицiя замiн з матрицями Φ(x, ε) i V (ε) приводить систему рiвнянь (1) до
вигляду
ω′1 =
q−1∑
i=0
ci1(ε)xiv1, ω′j = −
q−1∑
i=0
xi
q−1∑
k=0
k 6=i
γkj(ε)ci1(ε)
v1, j = 2, p, (37)
εv′ =
(
B(x) + εB3(x, ε)
)
v + ε
(
q−1∑
i=0
Di(ε)xi
)
V (ε)ω. (38)
Теорема. Нехай права частина системи рiвнянь (1) голоморфна в областi (2).
Тодi iснують формальнi ряди (7), (8), коефiцiєнти яких голоморфнi в областi (2),
такi, що det Φ(x, 0) ≡ 1 i формальне перетворення з матрицею замiни вигляду (7)
приводить систему (1) до системи (37), (38).
Розглянемо систему рiвнянь (37), (38). З (37) знаходимо
ω1 = ω
(0)
1 +
q−1∑
i=0
ci1(ε)
x∫
0
tiv1(t)dt,
ωj = ω
(0)
j −
q−1∑
i=0
x∫
0
tiv1(t)dt
q−1∑
k=0
k 6=i
γkj(ε)ci1(ε)
, j = 2, p,
(39)
де ω(0)
j , j = 1, p, — довiльнi сталi. Iз зображення B3(x, ε) рiвнiстю (8) i явного ви-
гляду B3n(x), змiнюючи порядок пiдсумовування, одержуємо зображення B3(x, ε)
у виглядi
B3(x, ε) =
q−2∑
i=0
B3i(ε)xi, (40)
де B3i(ε) =
∑∞
n=0
εnB3ni, B3ni =
B
(i)
3n(0)
i!
, i = 0, q − 2. Пiдставляючи (39), (40) у
(38), одержуємо
ε2v′′1 =
(
xq + ε
q−2∑
i=0
bi(ε)xi
)
v1 + ε
q−1∑
i=0
µi(ε)xi+
+ε
q−1∑
j=0
(
q−1∑
i=0
m
(j)
i (ε)xi
) x∫
0
tjv1(t)dt, (41)
де
bi(ε) =
{
B3i(ε)
}
21
, d̃i(ε) =
(
di(ε), di2(ε) . . . dip(ε)
)
,
dis(ε) =
{
Di(ε)
}
2s
, s = 1, p,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1526 I. Г. КЛЮЧНИК
ω(0) =
ω
(0
1
. . .
ω
(0)
p
, µi(ε) = d̃i(ε)ω(0), di(ε) = di1(ε) +
p∑
s=2
q−1∑
k=0
γks(ε)dis(ε),
m
(j)
i (ε) = cj1(ε)
di(ε)− p∑
s=2
q−1∑
k=0
k 6=j
γks(ε)
dis(ε)
, i = 0, q − 1, j = 0, q − 1.
Знайдемо частинний розв’язок рiвняння (41), поклавши
v1(0) = 0, v′1(0) = 0. (42)
Взявши v1(x) у виглядi степеневого ряду
v1(x) =
∞∑
n=2
vnx
n, (43)
для коефiцiєнтiв цього ряду одержимо рiвняння
v2 =
λµ0(ε)
2
, v3 =
λµ1(ε)
3!
, λ =
1
ε
, (44)
vn =
1
ε2n(n− 1)
×
×
vn−q−2 + ε
n−2∑
i=0
bi(ε)vn−2−i + εµn−2(ε) + ε
n−3∑
j=0
n−3∑
i=0
m
(j)
i (ε)
vn−3−i−j
n− i− 2
, (45)
n ≥ 4, до того ж µi(ε) = 0 при i > q − 1, bi(ε) = 0 при i > q − 2, m(j)
i = 0 при
j > q − 1 чи i > q − 1. Рiвнiсть (45) перепишемо таким чином:
vn =
n∑
j=2
Ajnvn−j +An−2µn−2(ε), n ≥ 4, (46)
де
Ajn =
λbjn
n(n− 1)
, Aj =
λ
(j + 1)(j + 2)
,
(47)
bjn =
bj−2 +
n−3∑
k=0
m
(k)
j−3−k
n− j + k + 1
, якщо j 6= q + 2,
λ+ bq +
n−3∑
k=0
m
(k)
q−1−k
n− q + k − 1
, якщо j = q + 2,
j = 2, n.
Використавши (42), (44) i (46), виразимо vn через v2 i v3 :
vn =
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji≥2
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
v2 +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1527
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−3
j1...ji≥2
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
v3 +
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji≥2
Aj1µj1(ε)Aj2n A
j3
n−j2 . . . A
ji
n−j2−...−ji−1
. (48)
Пiдставивши в (48) значення Ajn, Aj , v2, v3 з формул (47), (44), розв’язок (43)
рiвняння (41) одержимо у виглядi
v1(x) =
λx2
2
(
µ0(ε) +
µ1(ε)x
3
)
+
+
∞∑
n=4
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
2n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× µ0(ε)λi+1
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−3
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
3!n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× µ1(ε)λi+1
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× µj1(ε)λi
(j1 + 1)(j1 + 2)(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
xn. (49)
Розглянемо однорiдне рiвняння вигляду
ε2v′′1 =
(
xq + ε
q−2∑
i=0
bi(ε)xi
)
v1 + ε
q−1∑
j=0
(
q−1∑
i=0
m
(j)
i (ε)xi
) x∫
0
tjv1(t)dt. (50)
Знайдемо два лiнiйно незалежних розв’язки рiвняння (50). Перше з них визначаємо
у виглядi ряду
v1(x) = 1 +
∞∑
n=2
vnx
n, (51)
тобто початковi умови мають вигляд
v1(0) = 1, v′1(0) = 0. (52)
Пiдставляючи (51) в (50), для коефiцiєнтiв vn ряду (51) одержуємо рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1528 I. Г. КЛЮЧНИК
v2 =
λb0(ε)
2
, v3 =
λ(b1(ε) +m
(0)
0 (ε))
3!
, vn =
n∑
j=2
Ajnvn−j , n ≥ 4. (53)
Враховуючи (53) i початкову умову (52), отримуємо спiввiдношення
vn =
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji≥2
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
v2 +
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−3
j1...ji≥2
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
v3+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n
j1...ji−1≥2
ji≥4
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
. (54)
Пiдставивши в (54) значення Ajn, v2, v3 з (53), розв’язок (51) рiвняння (50) одер-
жимо у виглядi
v1(x) = 1 +
λx2
2
(
b0(ε) +
(b1(ε) +m
(0)
0 (ε))x
3
)
+
+
∞∑
n=4
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
2n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× b0(ε)λi+1
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−3
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
3!n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× (b1(ε) +m
(0)
0 (ε))λi+1
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−2
j1...ji−1≥2
ji≥4
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× λi
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
xn. (55)
Другий лiнiйно незалежний розв’язок рiвняння (50) шукаємо у виглядi ряду
v1(x) = x+
∞∑
n=2
vnx
n. (56)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 1529
Початковi умови визначаємо так:
v1(0) = 0, v′1(0) = 1. (57)
Пiдставляючи (56) в (50), для коефiцiєнтiв vn ряду (56) одержуємо рiвняння
v2 = 0, v3 =
λb0(ε)
3!
, vn =
n∑
j=2
Ajnvn−j , n ≥ 4. (58)
З (57), (58) отримуємо
vn =
∑
i
∑
j1+...+ji=n−3
j1...ji≥2
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
v3 +
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−1
j1...ji−1≥2
ji≥3
Aj1n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
. (59)
З (56), (58) випливає, що розв’язок (56) рiвняння (50) має вигляд
v1(x) = x+
λb0(ε)x3
3!
+
+
∞∑
n=4
∑
i
∑
j1+...+ji=n−3
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
3!n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× b0λ
i+1
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−1
j1...ji−1≥2
ji≥3
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
n(n− j1) . . . (n− j1 − . . .− ji−1)
×
× λi
(n− 1)(n− 1− j1) . . . (n− 1− j1 − . . .− ji−1)
xn. (60)
Iз розв’язкiв (49), (55), (60) рiвнянь (41), (50) можна записати загальний розв’я-
зок рiвняння (41), а отже, i загальний розв’язок системи рiвнянь (37), (38).
Таким чином, у данiй статтi запропоновано асимптотичний метод iнтегруван-
ня лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi
похiдних з кратною точкою звороту.
1. Wasow W. Linear turning point theory. – New York Ins.: Springer, 1985. – 243 p.
2. Lee R. Y. On uniform simplification of linear differential equation in a full neighborhood of a turning
point // J. Math. Anal. and Appl. – 1969. – 27. – P. 501 – 510.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1530 I. Г. КЛЮЧНИК
3. Hanson R. J. Reduction theorems for systems of ordinary differential equations with a turning point //
Ibid. – 1966. – 16. – P. 280 – 301.
4. Hanson R. J., Russell D. L. Classification and reduction of second order systems at a turning point // J.
Math. and Phys. – 1967. – 46. – P. 74 – 92.
5. Sibuya Y. Uniform simplification in a full neighborhood of a transition point // Mem. Amer. Math. Soc.
– 1974. – 149. – P. 3 – 106.
6. Kohno M., Ohkohchi S., Kohmoto T. On full uniform simplification of even order linear differential
equations with a parameter // Hiroshima Math. J. – 1979. – 9. – P. 747 – 767.
7. Nishimoto T. On an extension theorem and its application for turning point problems of large order //
Kodai Math. Semin. Repts. – 1973. – 25. – P. 458 – 489.
8. Turritin H. L. Stokes multipliers for asymptotic solutions of a central differential equation // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1950. – 68. – P. 304 – 329.
9. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференци-
альных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. – 2002. – 54,
№ 11. – С. 1505 – 1516.
10. Самойленко А. М., Ключник I. Г. Про асимптотичне iнтегрування лiнiйної системи диференцiаль-
них рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 2.
– С. 208 – 234.
Одержано 18.05.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3118 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:33Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e5/70b71ae9a244d25fbcea543178ff5ae5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31182020-03-18T19:45:43Z Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point Асимптотичні розв'язки системи диференціальних рівнянь з кратною точкою звороту Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. Using a transformation matrix, we asymptotically reduce a system of differential equations with a small parameter in the coefficients of a part of derivatives and with multiple turning point to an integrable system of equations. С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с кратной точкой поворота асимптотически сводится к интегрируемой системе уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3118 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1516-1530 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1516-1530 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3118/2984 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3118/2985 Copyright (c) 2009 Klyuchnyk I. H. |
| spellingShingle | Klyuchnyk, I. H. Ключник, І. Г. Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| title | Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| title_alt | Асимптотичні розв'язки системи диференціальних рівнянь з кратною точкою звороту |
| title_full | Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| title_fullStr | Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| title_full_unstemmed | Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| title_short | Asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| title_sort | asymptotic solutions of a system of differential equations with multiple turning point |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3118 |
| work_keys_str_mv | AT klyuchnykih asymptoticsolutionsofasystemofdifferentialequationswithmultipleturningpoint AT klûčnikíg asymptoticsolutionsofasystemofdifferentialequationswithmultipleturningpoint AT klyuchnykih asimptotičnírozv039âzkisistemidiferencíalʹnihrívnânʹzkratnoûtočkoûzvorotu AT klûčnikíg asimptotičnírozv039âzkisistemidiferencíalʹnihrívnânʹzkratnoûtočkoûzvorotu |