$(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators
We consider the topology \( t\left( \mathcal{M} \right) \) of convergence locally in measure in the *-algebra \( LS\left( \mathcal{M} \right) \) of all locally measurable operators affiliated to the von Neumann algebra \( \mathcal{M} \). We prove that \( t\left( \mathcal{M} \right) \) coincides with...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3119 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509154455584768 |
|---|---|
| author | Muratov, M. A. Chilin, V. I. Муратов, M. A Чилин, В. И. Муратов, M. A Чилин, В. И. |
| author_facet | Muratov, M. A. Chilin, V. I. Муратов, M. A Чилин, В. И. Муратов, M. A Чилин, В. И. |
| author_sort | Muratov, M. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | We consider the topology \( t\left( \mathcal{M} \right) \) of convergence locally in measure in the *-algebra \( LS\left( \mathcal{M} \right) \) of all locally measurable operators affiliated to the von Neumann algebra \( \mathcal{M} \). We prove that \( t\left( \mathcal{M} \right) \) coincides with the (o)-topology in \( L{S_h}\left( \mathcal{M} \right) = \left\{ {T \in LS\left( \mathcal{M} \right):T* = T} \right\} \) if and only if the algebra \( \mathcal{M} \) is σ-finite and is of finite type. We also establish relations between \( t\left( \mathcal{M} \right) \) and various topologies generated by a faithful normal semifinite trace on \( \mathcal{M} \). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
М. А. Муратов (Тавр. нац. ун-т, Симферополь),
В. И. Чилин (Нац. ун-т Узбекистана, Ташкент)
(o)-ТОПОЛОГИЯ В ∗-АЛГЕБРАХ
ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ
We consider the topology t(M) of convergence locally in measure in the ∗-algebra LS(M) of all locally
measurable operators affiliated to the von Neumann algebra M. We prove that t(M) coincides with (o)-
topology in LSh(M) = {T ∈ LS(M) : T ∗ = T} if and only if the algebraM is σ-finite and is of finite
type. We also establish relations between t(M) and various topologies which are generated by faithful normal
semifinite trace onM.
Розглядається топологiя t(M) збiжностi локально за мiрою в ∗-алгебрi LS(M) усiх локально вимiр-
них операторiв, що приєднанi до алгебри фон Неймана M. Встановлено, що t(M) збiгається з (o)-
топологiєю в LSh(M) = {T ∈ LS(M) : T ∗ = T} тодi i лише тодi, коли алгебраM є σ-скiнченною
i має скiнченний тип. Також встановлено зв’язки мiж t(M) та рiзними топологiями, що породженi
точним нормальним напiвскiнченним слiдом наM.
Пусть L0(Ω,Σ, µ) — ∗-алгебра всех измеримых комплексных функций, заданных на
пространстве с полной мерой (Ω,Σ, µ) (равные почти всюду функции отождествля-
ются). Если µ(Ω) <∞, то (o)-топология в L0
h(Ω,Σ, µ) = {f ∈ L0(Ω,Σ, µ) : f = f}
совпадает с топологией сходимости по мере (см., например, [1], гл. III, § 9). В слу-
чае, когда мера µ σ-конечна, сходимость в (o)-топологии to в L0
h(Ω,Σ, µ) равно-
сильна сходимости локально по мере µ, т. е. fα
to−→ f, fα, f ∈ L0
h(Ω,Σ, µ), тогда и
только тогда, когда fαχA
µ−→ fχA для всех A ∈ Σ с µ(A) <∞ [1] (гл. VI, § 3). Если
же мера µ не σ-конечна, но обладает свойством прямой суммы, то (o)-топология
существенно сильнее топологии сходимости локально по мере µ [2] (гл. V, § 4, 6).
Развитие теории интегрирования для точного нормального полуконечного сле-
да τ, заданного на алгебре фон Неймана M, привело к необходимости изучения
∗-алгебры S(M, τ) τ -измеримых операторов (см., например, [3]). Эта алгебра яв-
ляется заполненной ∗-подалгеброй в ∗-алгебре S(M) всех измеримых операторов,
присоединенных к M. ∗-Алгебры S(M) были введены И. Сигалом [4] для опи-
сания „некоммутативного варианта” ∗-алгебры измеримых комплексных функций.
Если M — коммутативная алгебра фон Неймана, то M можно отождествить с
∗-алгеброй L∞(Ω,Σ, µ) всех существенно ограниченных измеримых комплексных
функций, заданных на измеримом пространстве (Ω,Σ, µ) с полной мерой µ, обла-
дающей свойством прямой суммы. В этом случае ∗-алгебра S(M) отождествляется
с ∗-алгеброй L0(Ω,Σ, µ) [4].
∗-Алгебры S(M, τ) и S(M) являются содержательными примерами EW ∗-
алгебр E замкнутых линейных операторов, присоединенных к алгебре фон Ней-
манаM, действующих в том же гильбертовом пространствеH, что иM, у которых
ограниченная часть Eb = E ∩B(H) совпадает сM (см. [5]), где B(H) — ∗-алгебра
всех ограниченных линейных операторов в H. Естественное желание построения
наибольшей EW ∗-алгебры E с Eb =M привело к определению ∗-алгебры LS(M)
всех локально измеримых операторов, присоединенных к M [5]. В [6] показано,
что любая EW ∗-алгебра E с Eb = M является заполненной ∗-подалгеброй в
LS(M).
В случае существования точного нормального конечного следа τ наM все три
∗-алгебры LS(M), S(M) и S(M, τ) совпадают [7] (§ 2.6), и естественной тополо-
c© М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11 1531
1532 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН
гией, наделяющей эти ∗-алгебры структурой топологической ∗-алгебры, является
топология сходимости по мере, порожденная следом τ [3]. Если же τ — полуко-
нечный, но не конечный след, то можно рассматривать топологии tτl τ -локальной
сходимости и twτl слабо τ -локальной сходимости по мере [8]. Однако в этих топо-
логиях в случае, когдаM не имеет конечный тип, операция умножения не является
непрерывной по совокупности переменных. В связи с этим в ∗-алгебре LS(M)
разумно рассматривать топологию t(M) сходимости локально по мере, опреде-
ленную в [9] для любых алгебр фон Неймана и наделяющую LS(M) структурой
полной топологической ∗-алгебры [7] (§ 3.5).
Наличие естественного частичного порядка в самосопряженной части
LSh(M) = {T ∈ LS(M) : T ∗ = T} позволяет определять в LSh(M) (o)-сходи-
мость и порождаемую ею (o)-топологию to(M). Как уже отмечалось выше, в слу-
чае коммутативной алгебры фон Неймана M верно неравенство t(M) 6 to(M),
при этом равенство t(M) = to(M) влечет σ-конечность алгебры M. Для неком-
мутативных алгебр фон НейманаM такие соотношения между топологиями t(M)
и to(M), вообще говоря, не выполняются. Так, еслиM = B(H), то LS(M) =M
и топология t(M) совпадает с равномерной топологией, которая строго сильнее
(o)-топологии в B(H) при dim(H) =∞ [7] (§ 3.5).
В настоящей работе изучаются связи между топологией t(M) и топологиями
tτl, twτl и to(M). Устанавливается, что совпадение топологий t(M) и tτl (со-
ответственно, t(M) и twτl) на S(M, τ) равносильно конечности типа алгебры фон
НейманаM, а равенство t(M) = to(M) на LSh(M) имеет место в том и только в
том случае, когдаM — σ-конечная алгебра конечного типа. При этом используются
терминология, обозначения и результаты теории алгебр фон Неймана из [10, 11], а
также теории измеримых и локально измеримых операторов из [7, 9].
Пусть H — гильбертово пространство на полем C комплексных чисел, B(H)
— ∗-алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в H, I —
тождественный оператор в H, M — подалгебра фон Неймана в B(H), P(M) =
= {P ∈ M : P 2 = P = P ∗} — решетка всех проекторов из M, а Pfin(M) —
подрешетка ее конечных проекторов. Через Z(M) будем обозначать центр алгебры
фон НейманаM.
Замкнутый линейный оператор T, присоединенный к алгебре фон НейманаM,
имеющий всюду плотную область определения D(T ) ⊂ H, называется измеримым
относительно M, если существует такая последовательность {Pn}∞n=1 ⊂ P(M),
что Pn ↑ I, Pn(H) ⊂ D(T ) и P⊥n = I − Pn ∈ Pfin(M), n = 1, 2, . . . .
Множество S(M) всех измеримых относительно M операторов является ∗-
алгеброй с единицей I над полем C относительно перехода к сопряженному опе-
ратору, умножения на скаляр и операций сильного сложения и сильного умножения,
получаемых замыканием обычных операций [4].
Замкнутый линейный оператор T, присоединенный к алгебре фон Неймана
M и имеющий всюду плотную область определения D(T ) ⊂ H, называется ло-
кально измеримым относительно M, если существует такая последовательность
{Zn}∞n=1 ⊂ P(Z(M)), что Zn ↑ I и TZn ∈ S(M) для всех n = 1, 2, . . . .
Множество LS(M) всех локально измеримых относительно M операторов
является ∗-алгеброй с единицей I над полем C относительно тех же алгебраических
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
(o)-ТОПОЛОГИЯ В ∗-АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 1533
операций, что и S(M) [9]. В случае, когдаM имеет конечный тип или когдаM —
фактор, алгебры S(M) и LS(M) совпадают.
Пусть T — замкнутый линейный оператор с плотной областью определения
D(T ) в H, T = U |T | — полярное разложение оператора T, где |T | = (T ∗T )1/2 —
модуль оператора T, а U — соответствующая частичная изометрия из B(H), для
которой U∗U является правым носителем для T. Известно, что T ∈ LS(M) в том
и только в том случае, когда |T | ∈ LS(M) и U ∈ M (см., например, [7], § 2.3).
Если T — самосопряженный оператор, присоединенный к M, то спектральное
семейство проекторов {Eλ(T )}λ∈R для T принадлежитM [7] (§ 2.1).
Для каждого подмножества E ⊂ LS(M) через Eh (соответственно, E+) будем
обозначать множество всех самосопряженных (соответственно, положительных)
операторов из E. Говорят, что сеть {Tα}α∈A ⊂ LSh(M) (o )-сходится к опера-
тору T ∈ LSh(M) (запись Tα
(o)−→ T ), если существуют такие сети {Sα}α∈A и
{Rα}α∈A из LSh(M), что Sα 6 Tα 6 Rα при всех α ∈ A и Sα ↑ T, Rα ↓ T.
Сильнейшая из топологий в LSh(M), в которых из (o )-сходимости сетей следует
их топологическая сходимость, называется (o)-топологией и обозначается через
to(M).
Напомним теперь определение топологии сходимости локально по мере. Пусть
сначала M — коммутативная алгебра фон Неймана. Тогда M ∗-изоморфна
∗-алгебре L∞(Ω,Σ, µ) всех существенно ограниченных комплексных измеримых
функций, заданных на измеримом пространстве (Ω,Σ, µ) с полной мерой µ, облада-
ющей свойством прямой суммы (равные почти всюду функции отождествляются).
Свойство прямой суммы для меры µ означает, что для любого ненулевого P из
P(M) существует такой 0 6= Q ∈ P(M), что Q 6 P и µ(Q) <∞.
Рассмотрим ∗-алгебруLS(M) = S(M) = L0(Ω,Σ, µ) и определим вL0(Ω,Σ, µ)
топологию t(M) сходимости локально по мере, т. е. хаусдорфову топологию, на-
деляющую L0(Ω,Σ, µ) структурой топологической ∗-алгебры, базис окрестностей
нуля которой образуют множества
W (B, ε, δ) =
{
f ∈ L0(Ω, Σ, µ) : существует такое множество E ∈ Σ,
что E ⊆ B, µ(B \ E) 6 δ, fχE ∈ L∞(Ω,Σ, µ), ‖fχE‖L∞(Ω,Σ,µ) 6 ε
}
,
где ε, δ > 0, B ∈ Σ, µ(B) <∞, χE — индикатор множества E.
Сходимость сети {fα} к f в топологии t(M) (обозначение fα
t(M)−→ f ) означает,
что fαχB −→ fχB по мере µ для любого B ∈ Σ с µ(B) <∞. Ясно, что топология
t(M) не изменится при замене меры µ на эквивалентную меру. Если fα, f ∈
∈ L0
h(Ω,Σ, µ) и fα
(o)−→ f, то fα
t(M)−→ f, и поэтому топология t(M) на L0
h(Ω,Σ, µ)
мажорируется (o)-топологией.
Пусть теперь M — произвольная алгебра фон Неймана. Отождествим центр
Z(M) с ∗-алгеброй L∞(Ω,Σ, µ) и обозначим через L+(Ω, Σ, m) множество всех
измеримых действительных функций, заданных на (Ω,Σ, µ) и принимающих зна-
чения в расширенной полупрямой [0, ∞] (равные почти всюду функции отождест-
вляются). Пусть D : P(M)→ L+(Ω,Σ, µ) — размерностная функция на P(M) [4].
Для произвольных чисел ε, δ > 0 и множества B ∈ Σ с µ(B) <∞ положим
V (B, ε, δ) =
{
T ∈ LS(M) : существуют такие P ∈ P(M),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1534 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН
Z ∈ P(Z(M)), что ZP⊥ ∈ Pfin(M), TP ∈M,
‖TP‖M 6 ε, Z⊥ ∈W (B, ε, δ) и D(ZP⊥) 6 εZ
}
,
где ‖ · ‖M — C∗-норма вM.
В [9] показано, что система множеств{
{T + V (B, ε, δ)} : T ∈ LS(M), ε, δ > 0, B ∈ Σ, µ(B) <∞
}
(1)
определяет в LS(M) хаусдорфову векторную топологию t(M), в которой множест-
ва (1) образуют базу окрестностей оператора T ∈ LS(M).При этом (LS(M), t(M))
является полной топологической ∗-алгеброй и топология t(M) не зависит от выбо-
ра размерностной функцииD. Топология t(M) называется топологией сходимости
локально по мере [9]. Ясно, что X · V (B, ε, δ) ⊂ V (B, ε, δ) для любого X ∈ M с
нормой ‖X‖M 6 1. Поскольку V ∗(B, ε, δ) ⊂ V (B, 2ε, δ) (см., например, [7], § 3.5),
то V (B, ε, δ) · Y ⊂ V (B, 4ε, δ) для всех Y ∈M с ‖Y ‖M 6 1. Таким образом,
X · V (B, ε, δ) · Y ⊂ V (B, 4ε, δ) (2)
для любых ε, δ > 0, B ∈ Σ с µ(B) <∞, X, Y ∈M с ‖X‖M 6 1, ‖Y ‖M 6 1.
Поскольку инволюция непрерывна в топологии t(M), множество LSh(M) зам-
кнуто в
(
LS(M), t(M)
)
. Конус LS+(M) положительных элементов также замкнут
в (LS(M), t(M)) [9]. Поэтому для каждой возрастающей (или убывающей) сети
{Tα}α∈A ⊂ LSh(M), сходящейся к T в топологии t(M), T принадлежит LSh(M)
и T = sup
α∈A
Tα
(
соответственно, T = inf
α∈A
Tα
)
см. [12] (гл. V, § 4).
Обозначим через th(M) топологию в LSh(M), индуцируемую топологией
t(M) из LS(M).
Теорема 1. (i) th(M) 6 to(M) в том и только в том случае, когдаM имеет
конечный тип.
(ii) th(M) = to(M) в том и только в том случае, когда M — σ-конечная
алгебра конечного типа.
Доказательство. (i) Пусть th(M) 6 to(M). Если алгебра фон НейманаM не
имеет конечный тип, то в P(M) найдется последовательность {Pn}∞n=1 ненулевых
попарно ортогональных и попарно эквивалентных проекторов. Выберем частичную
изометрию Un изM, для которой U∗nUn = P1, UnU
∗
n = Pn, n = 1, 2, . . . .Поскольку
Pn
(o)−→ 0, то Pn
th(M)−→ 0, и поэтому в силу (2) P1 = U∗nPnUn
th(M)−→ 0, т. е. P1 = 0,
что не так.
Обратно, пустьM — алгебра конечного типа, Φ: M 7→ Z(M) — центрозначный
след наM [11] (гл. V, § 2). Сужение D следа Φ на P(M) является размерностной
функцией на P(M). Если {Tα}α∈A ⊂ LSh(M) и Tα
(o)−→ 0, то найдется такая сеть
{Sα}α∈A из LSh(M), что Sα ↓ 0 и −Sα 6 Tα 6 Sα для всех α ∈ A. Зафиксируем
α0 ∈ A и для α > α0 положим X = (I + Sα0)−1/2, Xα = XTαX, Yα = XSαX.
Ясно, что −I 6 −Φ(Yα) 6 Φ(Xα) 6 Φ(Yα) 6 I и Φ(Yα) ↓ 0.
Пусть E⊥λ (Yα) — спектральный проектор для Yα, соответствующий интервалу
(λ,+∞). Из неравенства D(E⊥λ (Yα)) 6
1
λ
Φ(Yα) следует, что D(E⊥λ (Yα))
(o)−→ 0 в
Zh(M) и потому D(E⊥λ (Yα))
t(Z(M))−→ 0 для всех λ > 0. Следовательно, Yα
t(M)−→ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
(o)-ТОПОЛОГИЯ В ∗-АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 1535
Аналогично, для Zα = Xα + Yα, используя неравенство 0 6 Zα 6 2Yα,
получаем, что Zα
t(M)−→ 0. Следовательно, Xα = Zα − Yα
t(M)−→ 0, и потому
Tα = X−1XαX
−1 t(M)−→ 0. Следовательно, th(M) 6 to(M).
(ii). Если to(M) = th(M), то алгебра фон НейманаM имеет конечный тип (см.
(i)). Пусть {Zj}j∈∆ — семейство ненулевых попарно ортогональных проекторов из
P(Z(M)), для которых sup
j∈∆
Zj = I и µ(Zj) < ∞ (как и ранее, мы отождествляем
коммутативную алгебру фон Неймана Z(M) c L∞(Ω,Σ, µ)). Обозначим через E ∗-
подалгебру в L0(Ω,Σ, µ) всех тех функций f, для которых fZj = λjZj для некото-
рых λj ∈ C, j ∈ ∆. Ясно, что E ∗-изоморфно ∗-алгебре C∆ = {{λj}j∈∆ : λj ∈ C},
а Eh изоморфно алгебре R∆ =
{
{rj}j∈∆ : rj ∈ R
}
, при этом топология t(M) ин-
дуцирует на Eh = R∆ топологию t покоординатной сходимости.
Поскольку любая сеть {Sα} ⊂ Eh, (o)-сходящаяся к S в LSh(Z(M)), будет
(o)-сходиться к S в Eh, то (o)-топология to(M) индуцирует в Eh (o)-топологию
to(Eh), и поэтому топология t совпадает с (o)-топологией to(Eh).
Следовательно, множество ∆ не более чем счетно (см. [2], гл. V, § 6), т. е.
Z(M) — σ-конечная алгебра фон Неймана. Так как алгебра фон НейманаM имеет
конечный тип,M также σ-конечна [4].
Обратно, если M — σ-конечная алгебра конечного типа, то th(M) 6 to(M)
и топология t(M) метризуема [9]. Выберем базис {Vk}∞k=1 окрестностей нуля
в (LS(M), t(M)) так, чтобы Vk+1 + Vk+1 ⊂ Vk при всех k. Пусть {Tn}∞n=1 ⊂
⊂ LSh(M) и Tn
t(M)−→ 0. Используя соотношение (2) и полярное разложение Tn =
= Un|Tn|, получаем, что |Tn|
t(M)−→ 0. Выберем подпоследовательность |Tnk | ∈ Vk
и положим Sk =
∑k
i=1
|Tni |. Поскольку Sm − Sk+1 ∈ Vk при m > k, сущест-
вует такой оператор S ∈ LSh(M), что Sk
t(M)−→ S. Последовательность Rk =
= S −
∑k
i=1
|Tni | убывает и Rk
t(M)−→ 0. Поэтому Rk ↓ 0 и −Rk 6 −|Tnk | 6 Tnk 6
6 |Tnk | 6 Rk, т. е. Tnk
(o)−→ 0. Это означает, что to(M) 6 th(M).
Теорема доказана.
Из теоремы 1 вытекает такое следствие.
Следствие 1. (i) Если M — σ-конечная алгебра фон Неймана, не имеющая
конечный тип, то to(M) < th(M).
(ii) Если M — не σ-конечная алгебра фон Неймана, имеющая конечный тип,
то th(M) < to(M).
Использовав следствие 1, легко построить пример алгебры фон Неймана M,
для которой топологии to(M) и th(M) не сравнимы. Действительно, если M1 —
σ-конечная алгебра фон Неймана, не имеющая конечный тип,M2 — не σ-конечная
алгебра фон Неймана конечного типа и M = M1 ×M2, то топологии to(M) и
th(M) не сравнимы.
ПустьM — полуконечная алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом
пространстве H, τ — точный нормальный полуконечный след наM. Оператор T ∈
∈ S(M) с областью определения D(T ) называется τ -измеримым, если для любого
ε > 0 существует такой проектор P ∈ P(M), что P (H) ⊂ D(T ) и τ(P⊥) < ε.
Множество S(M, τ) всех τ -измеримых операторов образует ∗-подалгебру в
S(M), при этомM⊂ S(M, τ), а в случае конечного следа S(M, τ) = S(M).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1536 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН
Обозначим через t(M, τ) топологию в S(M, τ), индуцируемую топологией
t(M) из LS(M). Наряду с топологией t(M, τ) в ∗-алгебре S(M, τ) рассматрива-
ется топология tτ сходимости по мере [3], базу окрестностей нуля которой обра-
зуют множества
U(ε, δ) =
{
T ∈ S(M, τ) : существует такой проектор P ∈ P(M), что
τ(P⊥) 6 δ, TP ∈M, ‖TP‖M 6 ε
}
, ε > 0, δ > 0.
Пара (S(M, τ), tτ ) является полной метризуемой топологической ∗-алгеброй.
При этом t(M, τ) 6 tτ , а в случае, когда τ — конечный след, топологии tτ и t(M, τ)
совпадают (см., например, [7], § 3.4, 3.5). Заметим, что из равенства tτ = t(M, τ)
не следует, вообще говоря, конечность типа алгебры фон Неймана M, а значит,
конечность следа τ. Так, если M = B(H), dim(H) = ∞, τ = tr — канонический
след на B(H), то LS(M) = S(M) = S(M, τ) = M и обе топологии tτ и t(M)
совпадают с равномерной топологией в B(H).
Если M — конечная алгебра фон Неймана и tτ = t(M, τ), то τ(I) < ∞.
Действительно, если τ(I) =∞, то имеется последовательность {Pn}∞n=1 ⊂ P(M),
для которой Pn ↓ 0 и τ(Pn) =∞, т. е. Pn
t(M)−→ 0 (теорема 1), но Pn
tτ
6−→ 0.
Обозначим через toτ (M) (o)-топологию в Sh(M, τ), а через thτ сужение топо-
логии tτ на Sh(M, τ). Из соотношений U∗(ε, δ) ⊂ U(ε, 2δ), TU(ε, δ) ⊂ U(ε‖T‖M,
δ), T ∈ M, следует, что равенство toτ (M) = thτ влечет конечность типа алгебры
фон НейманаM (см. доказательство теоремы 1) и конечность следа τ. Используя
метризуемость топологии tτ и повторяя доказательство п. (ii) теоремы 1, получаем,
что toτ (M) 6 thτ .
Наряду с топологией tτ на S(M, τ) можно рассмотреть еще две хаусдорфовы
векторные топологии, ассоциированные со следом τ [8]. Это топология tτl τ -ло-
кальной сходимости по мере и топология twτl слабой τ -локальной сходимости по
мере. Базис окрестностей нуля в топологии tτl (соответственно, в топологии twτl)
образуют множества
Uτ (ε, δ, P ) =
{
T ∈ S(M, τ) : существует такой проектор Q ∈ P(M), что
Q 6 P, τ(P −Q) 6 δ, TQ ∈M, ‖TQ‖M 6 ε
}
(
соответственно,
Uwτ (ε, δ, P ) = {T ∈ S(M, τ) : существует такой проектор Q ∈ P(M), что
Q 6 P, τ(P −Q) 6 δ, QTQ ∈M, ‖QTQ‖M 6 ε
})
,
где ε > 0, δ > 0, P ∈ P(M), τ(P ) <∞.
Ясно, что
twτl 6 tτl 6 tτ ,
а в случае, когда τ(I) <∞, все три топологии twτl, tτl и tτ совпадают.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
(o)-ТОПОЛОГИЯ В ∗-АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 1537
Заметим, что дляM = B(H), τ = tr топология tτl совпадает с сильной опера-
торной топологией, а топология twτl — со слабой операторной топологией.
Теорема 2. tτl 6 t(M, τ).
Доказательство. Если {Tα} ⊂ S(M, τ) и Tα
t(M)−→ 0, то |Tα|2
t(M)−→ 0. Для
P ∈ P(M) с τ(P ) <∞ имеем, что P |Tα|2P
t(PMP )−→ 0, и поэтому P |Tα|2P
tτ−→ 0,
что влечет сходимость |Tα|2
twτl−→ 0 [8]. Следовательно, Tα
tτl−→ 0.
Теорема доказана.
Из теоремы 2 следует, что всегда выполняются неравенства
twτl 6 tτl 6 t(M, τ) 6 tτ .
Если M = B(H) × L∞[0,∞), τ((T, f)) = trT +
∫ ∞
0
f d µ, где T ∈ B+(H),
0 6 f ∈ L∞[0,∞), µ — линейная мера Лебега на [0,∞), dimH =∞, то
S(M, τ) = B(H)× S(L∞[0,∞)).
В этом случае имеют место строгие неравенства
twτl < tτl < t(M, τ) < tτ .
Для нахождения необходимых и достаточных условий совпадения топологии
t(M, τ) с топологиями tτl и twτl используется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть M — полуконечная алгебра фон Неймана, τ — точный,
нормальный полуконечный след наM, {Tα}α∈A ⊂M, sup
α∈A
‖Tα‖M 6 1. Тогда:
(i) если τ(I) <∞, то Tα
tτ−→ 0⇐⇒ τ(|Tα|) −→ 0;
(ii) если алгебраM имеет конечный тип, то Tα
tτl−→ 0⇐⇒ Tα
t(M)−→ 0.
Доказательство. (i) Если τ(|Tα|)→ 0, то из неравенства
τ
(
{|Tα| > λ}
)
6
1
λ
τ(|Tα|), λ > 0,
непосредственно следует, что Tα
tτ−→ 0
(
здесь не требуется ограничения
sup
α∈A
‖Tα‖M 6 1
)
. Обратно, пусть Tα
tτ−→ 0. Тогда для каждого ε > 0 найдутся
такие α(ε) и Pα ∈ P(M) для α > α(ε), что τ(P⊥α ) 6 ε, TαPα ∈M, ‖TαPα‖M 6 ε.
Следовательно, ‖|Tα|Pα‖M 6 ε и τ(|Tα|Pα) 6 ετ(I), и поэтому
τ(|Tα|) 6 ετ(I) + τ
(
|Tα|P⊥α
)
6 ετ(I) + ε sup
α∈A
‖Tα‖M,
т. е. τ(|Tα|)→ 0.
(ii) Если Tα
tτl−→ 0, то |Tα|
twτl−→ 0 [8]. Пусть Pτ (M) = {P ∈ P(M) : τ(P ) <
< ∞}. Для каждого конечного подмножества β = {P1, P2, . . . , Pn} ⊂ Pτ (M)
положим Qβ = sup
16i6n
Pi. Обозначим через B = {β} направленность всех конечных
подмножеств из Pτ (M), упорядоченную по включению. Ясно, что Qβ ↑ I и Qβ ∈
∈ Pτ (M) для всех β ∈ B.
Пусть Φ :M 7→ Z(M) — центрозначный след наM, V, U — такие окрестности
нуля в (S(Z(M)), t(Z(M))), что V + V ⊂ U и XV ⊂ V для любого X ∈ Z(M)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1538 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН
с ‖X‖M 6 1. Поскольку Φ(Q⊥β ) ↓ 0, то найдется такое β0 ∈ B, что Φ(Q⊥β0
) ∈ V. В
силу неравенств
0 6 Φ
(
Q⊥β0
|Tα|Q⊥β0
)
6 sup
α∈A
‖Tα‖MΦ(Q⊥β0
) 6 Φ(Q⊥β0
)
имеем, что Φ
(
Q⊥β0
|Tα|Q⊥β0
)
∈ V для всех α.
Отождествим центр Z(M) с L∞(Ω,Σ, µ) и для E ∈ Σ с µ(E) < ∞ рассмот-
рим точный нормальный конечный след νE на χEM, задаваемый равенством
νE(X) =
∫
E
Φ(X)dµ. Так как |Tα|
twτl−→ 0, то Xα = Qβ0 |Tα|Qβ0
τ−→ 0. Следо-
вательно, χEXα
τ−→ 0, и потому χEXα
νE−→ 0. Отсюда, в силу пункта (i) имеем∫
E
Φ(Xα)dµ = ν(χEXα) −→ 0. Следовательно, χEΦ(Xα)
µ−→ 0 для любогоE ∈ Σ
с µ(E) < ∞, что влечет сходимость Φ(Xα)
t(Z(M))−→ 0. Поэтому найдется такое
α(V ), что Φ(Xα) ∈ V при всех α > α(V ). Используя равенство Φ(XY ) = Φ(Y X)
для X,Y ∈M [10] (п. 7.11), получаем
Φ
(
|Tα|
)
= Φ
(
Qβ0 |Tα|Qβ0
)
+ Φ
(
Q⊥β0
|Tα|Q⊥β0
)
∈ V + V ⊂ U
при α > α(V ), что влечет сходимость Φ
(
|Tα|
) t(Z(M))−→ 0. Следовательно,
Φ
(
E⊥λ (|Tα|)
) t(Z(M))−→ 0, и потому E⊥λ (|Tα|)
t(M)−→ 0 при всех λ > 0, что обеспе-
чивает сходимость Tα
t(M)−→ 0.
Лемма доказана.
Теорема 3. Следующие условия эквивалентны:
(i) twτl = t(M, τ);
(ii) tτl = t(M, τ);
(iii) M имеет конечный тип.
Доказательство. (i) ⇒ (ii). Если twτl = t(M, τ), то операция умножения
в
(
S(M, τ), twτl
)
непрерывна по совокупности переменных. В этом случае, как
показано [8] (теорема 4.1), tτl = twτl и M имеет конечный тип. Аналогично
устанавливается импликация (ii) ⇒ (iii).
(iii)⇒ (i). ЕслиM имеет конечный тип, то twτl = tτl [8], и поэтому из {Tα} ⊂
⊂ S(M, τ), Tα
twτl−→ 0 следует, что |Tα|
twτl−→ 0. При λ > 1 имеем 0 6 E⊥λ (|Tα|) 6
6 |Tα|, откуда E⊥λ (|Tα|)
twτl−→ 0 [8] и E⊥λ (|Tα|)
t(M)−→ 0 для всех λ > 1 (лемма 1).
Поскольку
E⊥λ
(
|Tα|E⊥1 (|Tα|)
)
=
E
⊥
1
(
|Tα|7), 0 < λ < 1,
E⊥λ (|Tα|), λ > 1,
то |Tα|E⊥1 (|Tα|)
t(M)−→ 0. Из неравенства |Tα|E1(|Tα|) 6 |Tα| следует, что
|Tα|E1(|Tα|)
twτl−→ 0.
Поскольку twτl = tτl, и
∥∥|Tα|E1(|Tα|)
∥∥
M 6 1, то |Tα|E1(|Tα|)
t(M)−→ 0 (лемма 1).
Таким образом, |Tα| = |Tα|E1(|Tα|) + |Tα|E⊥1 (|Tα|)
t(M)−→ 0, и потому Tα
t(M)−→ 0,
т. е. t(M, τ) 6 twτl. Из теоремы 2 вытекает равенство twτl = t(M, τ).
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
(o)-ТОПОЛОГИЯ В ∗-АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ 1539
Обозначим через thτl (соответственно, thwτl ) топологию в Sh(M, τ), индуци-
руемую топологией tτl (соответственно, топологией twτl) из S(M, τ).
Теорема 4. thwτl 6 thτl 6 toτ (M).
Доказательство. Пусть {Tα}α∈A ⊂ Sh(M, τ), Tα ↓ 0, P ∈ P(M), τ(P ) <∞.
Поскольку (PTαP ) ↓ 0, то PTαP
thτ−→ 0 и потому Tα
twτl−→ 0 [8]. Если 0 6 Sα 6 Tα,
Sα ∈ Sh(M, τ), то Sα
twτl−→ 0, и в силу [8]
√
Sα
tτl−→ 0.
Пусть µt(T ) = inf
{
‖TP‖M : P ∈ P(M), τ(P⊥) 6 t
}
, t > 0, — невозрастаю-
щая перестановка оператора T. Зафиксируем α0 ∈ A. Для каждого α > α0 имеем
µt(
√
Sα) =
√
µt(Sα) 6
√
µt(Tα) 6
√
µt(Tα0), в частности, sup
α>α0
µt(
√
Sα ) 6
6
√
µt(Tα0) <∞ для всех t > 0. Следовательно, сеть {
√
Sα}α>α0 tτ -ограничена,
и поэтому Sα
tτl−→ 0 [8]. Повторяя теперь конец доказательства п. (i) теоремы 1,
получаем, что thτl 6 toτ (M).
Теорема доказана.
В случае τ(I) <∞ имеют место равенства thwτl = thτl = toτ (M) = thτ . Если
же τ(I) =∞, то равенство thτl = toτ (M) неверно даже в коммутативном случае.
Действительно, пусть M — σ-конечная коммутативная алгебра фон Неймана,
τ(I) = ∞, {Pn}∞n=1 ⊂ P(M), PnPm = 0 при n 6= m, τ(Pn) > 1, sup
n>1
Pn =
= I. Ясно, что Tn = nPn
(o)−→ 0 в Sh(M, τ), и поэтому Tn
tτl−→ 0 (теорема 4).
Если Tn
toτ (M)−→ 0, то существует подпоследовательность Tnk
(o)−→ 0 [1] (гл. VI,
§ 4), в частности найдется такой оператор S ∈ Sh(M, τ), что nkPnk 6 S для
любого k = 1, 2, . . . . Следовательно, 0 6 Pnk 6 (nk)−1S
tτ−→ 0, что противоречит
неравенству τ(Pnk) > 1.
Замечание 1. Если M = B(H), dim(H) = ∞, τ = tr, то верны строгие
неравенства
thwτl < thτl < toτ (M) < thτ .
Действительно, равенство thwτl = thτl невозможно, так как в этом случае thτl =
= tτl, что неверно при dimH = ∞. Равенство toτ (M) = thτ влечет конечность
следа τ, что не так.
Предположим, что thτl = toτ (B(H)). Пусть {Pn}∞n=1 — последовательность
попарно ортогональных одномерных проекторов из B(H), P = sup
n>1
Pn, A =
= P B(H)P = B(P (H)). Если {Sα} ⊂ Ah и Sα
(o)−→ 0 в Bh(H), то сущест-
вует такая сеть {Tα} ⊂ B+(H), что −Tα 6 Sα 6 Tα и Tα ↓ 0. Поскольку
−P TαP 6 P SαP = Sα 6 P TαP и P TαP ↓ 0, то Sα
(o)−→ 0 в Ah. Это означает,
что (o)-топология toτ (B(H)) индуцирует в Ah (o)-топологию toτ (A). Ясно, что
сильная операторная топология tτl в B(H) индуцирует в A = B(P (H)) сильную
операторную топологию. Поэтому из равенства thτl = toτ (B(H)) следует равен-
ство топологии toτ (A) и сильной операторной топологии в Ah. Таким образом,
строгое неравенство thτl < toτ (B(H)) достаточно установить для сепарабельного
гильбертова пространства H. В этом случае топология tτl метризуема на любом
ограниченном по норме ‖ · ‖B(H) подмножестве из B(H) [11] (гл. II, § 2). Поэтому
из сходимости Tα ↓ 0 вытекает существование такой последовательности индексов
α1 6 α2 6 . . . , что Tαn ↓ 0. Следовательно, для любой сети Sα
(o)−→ 0 в Bh(H)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
1540 М. А. МУРАТОВ, В. И. ЧИЛИН
существует последовательность индексов α1 6 α2 6 . . . , для которой Sαn
(o)−→ 0.
Это означает, что множество F ⊂ Bh(H) замкнуто в (o)-топологии toτ (B(H)) в
том и только в том случае, когда F содержит (o)-пределы всех (o)-сходящихся
последовательностей элементов из F.
Положим F = {nPn}∞n=1.Поскольку любая подпоследовательность {nkPnk}∞k=1
не ограничена в Bh(H), то множество F замкнуто в (o)-топологии toτ (B(H)). В то
же время точка T = 0 принадлежит замыканию множества F в топологии tτl [11]
(гл. II, § 2). Следовательно, thτl < toτ (B(H)).
1. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. – М.: Физматиз, 1961. – 408 c.
2. Сарымсаков Т. А., Аюпов Ш. А., Хаджиев Д., Чилин В. И. Упорядоченные алгебры. – Ташкент:
ФАН, 1983. – 303 c.
3. Nelson E. Notes on non commutative integration // J. Funct. Anal. – 1974. – № 15. – P. 103 – 116.
4. Segal I. E. A non-commutative extension of abstract integration // Ann. Math. – 1953. – № 57. –
P. 401 – 457.
5. Dixon P. G. Unbounded operator algebras // Proc. London Math. Soc. – 1973. – 23. – № 3. – P. 53 – 59.
6. Закиров Б. С., Чилин В. И. Абстрактная характеризация EW ∗-алгебр // Функцион. анализ и его
прил. – 1991. – 25, вып. 1. – С. 76 – 78.
7. Муратов М. А., Чилин И. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов // Пр. Iн-ту
математики НАН України. – 2007. – 389 с.
8. Бикчентаев А. М. Локальная сходимость по мере на полуконечных алгебрах фон Неймана // Тр.
Мат. ин-та РАН. – 2006. – 255. – С. 1 – 14.
9. Yeadon F. J. Convergence of measurable operators // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1974. – 74. –
P. 257 – 268.
10. Stratila S., Zsido L. Lectures on von Neumann algebras. – England Abacus Press, 1975. – 478 p.
11. Takesaki M. Theory of operator algebras I. – New York: Springer, 1979. – 415 p.
12. Шефер Х. Топологические векторные пространства. – М.: Мир, 1971. – 360 c.
Получено 22.05.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3119 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:35Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/73/cdb4ebf683311609e456fe9495daf873.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31192020-03-18T19:45:43Z $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators $(o)$-Топология в *-алгебрах локально измеримых операторов Muratov, M. A. Chilin, V. I. Муратов, M. A Чилин, В. И. Муратов, M. A Чилин, В. И. We consider the topology \( t\left( \mathcal{M} \right) \) of convergence locally in measure in the *-algebra \( LS\left( \mathcal{M} \right) \) of all locally measurable operators affiliated to the von Neumann algebra \( \mathcal{M} \). We prove that \( t\left( \mathcal{M} \right) \) coincides with the (o)-topology in \( L{S_h}\left( \mathcal{M} \right) = \left\{ {T \in LS\left( \mathcal{M} \right):T* = T} \right\} \) if and only if the algebra \( \mathcal{M} \) is σ-finite and is of finite type. We also establish relations between \( t\left( \mathcal{M} \right) \) and various topologies generated by a faithful normal semifinite trace on \( \mathcal{M} \). Розглядається топологія \( t\left( \mathcal{M} \right) \) з6іжності локально за мірою в *-алгебрі \( LS\left( \mathcal{M} \right) \) ycix локально вимірних операторiв, що приєднані до алгебри фон Неймана \( \mathcal{M} \). Встановлено, що \( t\left( \mathcal{M} \right) \) збігається з (o)-топологією в \( L{S_h}\left( \mathcal{M} \right) = \left\{ {T \in LS\left( \mathcal{M} \right):T* = T} \right\} \) тоді i лише тоді, коли алгебра \( \mathcal{M} \) є σ-скінченною і має скінченний тип. Також встановлено зв'язки між \( t\left( \mathcal{M} \right) \) та різними топологіями, що породжені точним нормальним напівскінченним слідом на \( \mathcal{M} \). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3119 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1531-1540 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1531-1540 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3119/2986 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3119/2987 Copyright (c) 2009 Muratov M. A.; Chilin V. I. |
| spellingShingle | Muratov, M. A. Chilin, V. I. Муратов, M. A Чилин, В. И. Муратов, M. A Чилин, В. И. $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators |
| title | $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators |
| title_alt | $(o)$-Топология в *-алгебрах локально измеримых операторов |
| title_full | $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators |
| title_fullStr | $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators |
| title_full_unstemmed | $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators |
| title_short | $(o)$-Topology in *-algebras of locally measurable operators |
| title_sort | $(o)$-topology in *-algebras of locally measurable operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3119 |
| work_keys_str_mv | AT muratovma otopologyinalgebrasoflocallymeasurableoperators AT chilinvi otopologyinalgebrasoflocallymeasurableoperators AT muratovma otopologyinalgebrasoflocallymeasurableoperators AT čilinvi otopologyinalgebrasoflocallymeasurableoperators AT muratovma otopologyinalgebrasoflocallymeasurableoperators AT čilinvi otopologyinalgebrasoflocallymeasurableoperators AT muratovma otopologiâvalgebrahlokalʹnoizmerimyhoperatorov AT chilinvi otopologiâvalgebrahlokalʹnoizmerimyhoperatorov AT muratovma otopologiâvalgebrahlokalʹnoizmerimyhoperatorov AT čilinvi otopologiâvalgebrahlokalʹnoizmerimyhoperatorov AT muratovma otopologiâvalgebrahlokalʹnoizmerimyhoperatorov AT čilinvi otopologiâvalgebrahlokalʹnoizmerimyhoperatorov |