Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations
The conditions for the existence of solutions of nonlinear differential equations in a space of functions bounded on the axis are established by using local linear approximations of these equations.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3120 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509155996991488 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | The conditions for the existence of solutions of nonlinear differential equations in a space of functions bounded on the axis are established by using local linear approximations of these equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.988.6
V. G. Slgsarçuk (Nac. un-t vodn. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, Rivne)
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI}
V TEORI} OBMEÛENYX ROZV’QZKIV
NELINIJNYX DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
Conditions for the existence of solutions of nonlinear differential equations in the space of functions
bounded on the axis are obtained with the use of local linear approximation of these equations.
Poluçen¥ uslovyq suwestvovanyq reßenyj nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj v
prostranstve ohranyçenn¥x na osy funkcyj s yspol\zovanyem lokal\noj lynejnoj approksy-
macyy πtyx uravnenyj.
1. Osnovnyj ob’[kt doslidΩen\. Nexaj E — skinçennovymirnyj banaxovyj
prostir iz normog ⋅ E , X i Y — dovil\ni banaxovi prostory i L X Y( , ) — ba-
naxovyj prostir linijnyx neperervnyx operatoriv A, wo digt\ iz prostoru X u
prostir Y, z normog A L X Y( , ) = sup
x
Y
X
Ax
= 1
. Poznaçymo çerez C X0( , )R
banaxovyj prostir obmeΩenyx i neperervnyx na R funkcij x = x (t) zi znaçen-
nqmy v X z normog x C X0 ( , )R = sup ( )
t
Xx t
∈R
, a çerez C X1( , )R banaxovyj
prostir funkcij x C X∈ 0( , )R , dlq koΩno] z qkyx
dx
dt
C X∈ 0( , )R , z normog
x C X1( , )R = x
dx
dtC X
C X
0
0( , )
( , )
,R
R
.
Rozhlqnemo dyferencial\ni operatory F i G, wo digt\ iz prostoru C1(R ,
E) u prostir C E0( , )R i vyznaçagt\sq formulamy
( ) ( )
( )
, ( )Fx t
dx t
dt
f t x t= + ( ) , (1)
t ∈R ,
( ) ( )
( )
( )Gx t
dx t
dt
g x t= + ( ) , (2)
de vidobraΩennq f : R × E → E i g : E → E neperervni i dlq koΩnoho çysla
r > 0
sup ( , )
t x r
E
E
f t x
∈ ≤
< +∞
R,
. (3)
Zavdqky vymoham do vidobraΩen\ f i g operatory F i G [ obmeΩenymy.
Nahada[mo, wo operator C : X → Y [ obmeΩenym, qkwo cej operator koΩnu ob-
meΩenu mnoΩynu vidobraΩa[ v obmeΩenu mnoΩynu [1].
Metog ci[] statti [ z’qsuvannq umov, za qkyx mnoΩyny znaçen\ R( )F i
R( )G operatoriv F i G zbihagt\sq z C E0( , )R . Zaznaçymo, wo taka zadaça
dlq nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ [ skladnog (dyv., napryklad, [1 – 6]).
Tomu my obmeΩymosq rozhlqdom lyße dostatnix umov, wo zabezpeçugt\ vyko-
nannq spivvidnoßen\ R( )F = C E0( , )R i R( )G = C E0( , )R i v deqkyx okremyx
vypadkax zbihagt\sq z neobxidnymy umovamy vykonannq cyx spivvidnoßen\.
© V. G. SLGSARÇUK, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11 1541
1542 V. G. SLGSARÇUK
V osnovu doslidΩen\ operatoriv F i G v cij statti pokladeno metod, wo
vykorystovu[ lokal\nu linijnu aproksymacig cyx operatoriv.
2. Formulgvannq osnovnyx tverdΩen\. Poznaçymo çerez D mnoΩynu
elementiv A = A (t) prostoru C L E E0 R, ( , )( ) , dlq koΩnoho z qkyx operator
LA : C E1( , )R → C E0( , )R , wo vyznaça[t\sq formulog
( ) ( )
( )
( ) ( )LAx t
dx t
dt
A x x t= + , t ∈R , (4)
ma[ neperervnyj obernenyj operator LA
−1
: C E0( , )R → C E1( , )R . Çerez E
poznaçymo mnoΩynu operatoriv B L E E∈ ( , ) , dlq koΩnoho z qkyx spektr
σ( )B ne ma[ spil\nyx toçok z mnoΩynog z z∈ ={ }C : Re 0 . Dlq koΩnoho ta-
koho operatora operator LB : C E1( , )R → C E0( , )R , wo vyznaça[t\sq for-
mulog
( ) ( )
( )
( )LBx t
dx t
dt
Bx t= + , t ∈R , (5)
ma[ neperervnyj obernenyj operator LB
−1
[7].
Osnovnymy v statti [ nastupni dva tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ taki çyslo r > 0 i
element A ∈D , wo
sup ( , ) ( )
( , ), (
t x r
E
A L C E CE
f t x A t x
r
∈ ≤ −− ≤
R
R R
, L 1
0 0 ,, )E
H
( )
− . (6)
Todi dlq koΩnoho h C E∈ 0( , )R rivnqnnq
Fx h= (7)
ma[ xoça b odyn rozv’qzok x C E∈ 1( , )R .
Okremym vypadkom ci[] teoremy [ take tverdΩennq.
Teorema 2. Nexaj dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ taki çyslo r > 0 i
element B ∈ E , wo
max ( )
( , ), ( , )
x r E
B L C E C E
E
g x Bx
r
H
≤ −
( )
− −≤
L 1
0 0R R
. (8)
Todi dlq koΩnoho h C E∈ 0( , )R rivnqnnq
Gx h= (9)
ma[ xoça b odyn rozv’qzok x C E∈ 1( , )R .
Ci teoremy pokladeno v osnovu metodu, za dopomohog qkoho z’qsovugt\sq
umovy isnuvannq obmeΩenyx rozv’qzkiv nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\.
My dovedemo ci tverdΩennq, vykorystavßy rqd dopomiΩnyx rezul\tativ.
3. Osnovni dopomiΩni tverdΩennq. Navedemo nyzku rezul\tativ pro
c-neperervni ta c-cilkom neperervni operatory, neobxidni dlq dovedennq teo-
remE1Ei 2.
3.1. Lokal\no zbiΩni poslidovnosti. Poslidovnist\ x C Ek ∈ 0( , )R ,
k ∈N , nazyvatymemo lokal\no zbiΩnog do x C E∈ 0( , )R pry k → ∞ i pozna-
çatymemo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1543
x xk
C Eloc., ( , )0 R → pry k → ∞,
qkwo sup ( , )
k
k C Ex
∈N R0 < + ∞ i lim max ( ) ( )
k t T
k Ex t x t
→∞ ≤
− = 0 dlq koΩnoho çys-
la T > 0. Analohiçno, poslidovnist\ y C Ek ∈ 1( , )R , k ∈N , nazyvatymemo lo-
kal\no zbiΩnog do y C E∈ 1( , )R pry k → ∞ i poznaçatymemo
y yk
C Eloc., ( , )1 R → pry k → ∞,
qkwo y yk
C Eloc., ( , )0 R → i
dy
dt
dy
dt
k C Eloc., ( , )0 R → pry k → ∞.
Rozhlqnemo funkcig p Cn ∈ 1( , )R R i linijnyj neperervnyj operator Pn :
C E0( , )R → C E0( , )R , wo vyznaçagt\sq rivnostqmy
p t
t n
t n n t nn ( )
, ,
cos , ,
,
=
≤
−( ) < < +
1
2
0
2
qkwo
qkwo
qk
π
wwo t n≥ +
π
2
,
i
( ) ( ) ( ) ( )Pn nx t p t x t= , t ∈R . (10)
Oçevydno, wo PnC E1( , )R ⊂ C E1( , )R i
Pn L C E C E0 0 1( , ), ( , )R R( ) = (11)
dlq koΩnoho n ∈N .
VaΩlyvog dlq podal\ßoho [ nastupna lema.
Lema 1. Dlq koΩno] obmeΩeno] poslidovnosti ( )xm m ≥1 elementiv prosto-
ru C E0( , )R , dlq qko] mnoΩyny Pn mx m: ∈{ }N , n ∈N , peredkompaktni, is-
nugt\ taki stroho zrostagça poslidovnist\ ( )mk k ≥1 natural\nyx çysel i
element x C E∈ 0( , )R , wo
x xm
C E
k
loc., ( , )0 R → pry k → ∞ (12)
i
x xC E
m
m C E0 0( , ) ( , )supR N R≤
∈
. (13)
Dovedennq. Na pidstavi umov lemy isnugt\ taki pidposlidovnosti
x x xm m m p1 1 1 2 1, , ,
, , , , ,… …
x x xm m m p2 1 2 2 2, , ,
, , , , ,… …
………………………………
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1544 V. G. SLGSARÇUK
x x xm m mn n n p, , ,
, , , , ,
1 2
… …
………………………………
poslidovnosti ( )xm m ≥1 , wo:
1) poslidovnosti çysel ml p, , p ∈N , [ stroho zrostagçymy dlq koΩnoho
l ∈N i
m p m p m pp p n p1 2, , ,: : : ;∈{ } ⊃ ∈{ } ⊃ … ⊃ ∈{ } ⊃ …N N N
2) dlq koΩnoho n ∈N poslidovnist\ funkcij xmn p,
, p ∈N , [ rivnomirno
zbiΩnog na vidrizku −[ ]n n, .
Todi diahonal\na poslidovnist\
x x xm m mp p1 1 2 2, , ,
, , , ,… …
bude rivnomirno zbiΩnog na koΩnomu vidrizku a b,[ ] ⊂ R , a tomu funkciq
x t x t t
h
mp p
( ) lim ( ),
,
= ∈
→∞
R ,
bude neperervnog i, oçevydno, vykonu[t\sq nerivnist\ (13). Zvidsy takoΩ
vyplyva[, wo vykonu[t\sq spivvidnoßennq (12).
Lemu 1 dovedeno.
3.2. c-Neperervni ta c-cilkom neperervni operatory. Operator H :
C Ei ( , )R → C Ej ( , )R , i j, ,∈{ }0 1 , nazyva[t\sq c-neperervnym, qkwo dlq do-
vil\nyx x C Ei∈ ( , )R i x C Ek
i∈ ( , )R , k ∈N , dlq qkyx
x xk
C Eiloc., ( , )R → pry k → ∞,
vykonu[t\sq spivvidnoßennq
H Hx xk
C Ejloc., ( , )R → pry k → ∞.
Operator H : C Ei ( , )R → C Ej ( , )R , i, j ∈{ }0 1, , nazyva[t\sq c-cilkom ne-
perervnym, qkwo cej operator [ c-neperervnym i dlq koΩnoho n ∈N opera-
tor P Hn [ cilkom neperervnym.
Ponqttq c-neperervnoho operatora (na movi „ε, δ”) i c-cilkom neperervnoho
operatora vvedeno do rozhlqdu E. Muxamadi[vym [8, 9]. Vyvçennq cyx ponqt\ bu-
lo prodovΩeno v [9 – 16]. Oznaçennq c-neperervnoho operatora, wo vykorys-
tovu[ lokal\no zbiΩni poslidovnosti, zaproponovano avtorom (dyv., napryklad,
[17, 18]).
Prykladamy c-neperervnyx operatoriv [ operatory F, G , LA , LB i Pn ,
wo vyznaçagt\sq vidpovidno rivnostqmy (1), (2), (4), (5) i (10). Prykladamy c-
cilkom neperervnyx operatoriv [ linijni operatory LA
−1 : C E0( , )R →
→ C E0( , )R , A ∈D , i LB
−1 : C E0( , )R → C E0( , )R , A ∈ E , wo na pidstavi
kryterig kompaktnosti Arcela [19] ta oznaçennq c-cilkom neperervnoho opera-
tora vyplyva[ iz nastupnoho tverdΩennq.
Teorema 3 [12]. Nexaj operator D L C E∈ ( 1( , )R , C E0( , )R ) [ c -cilkom
neperervnym i operator
d
dt
+ D : C E1( , )R → C E0( , )R ma[ neperervnyj
obernenyj
d
dt
D+
−1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1545
Todi operator
d
dt
D+
−1
: C E0( , )R → C E1( , )R [ c-neperervnym.
ZauvaΩymo, wo ne koΩnyj neperervnyj operator [ c-neperervnym operato-
rom. Ce pidtverdΩu[t\sq nastupnym prykladom operatora.
Pryklad 1. Rozhlqnemo neperervnyj operator D : C0( , )R R → C0( , )R R ,
wo vyznaça[t\sq rivnistg ( ) ( )Dx t = x C0 ( , )R R , i poslidovnist\ elementiv
x tn ( ) = 1 – p tn ( ) , n ≥ 1, prostoru C0( , )R R . Operator D ne [ c-neperervnym.
Spravdi, xn
Cloc., ( , )0
0R R → pry n → ∞ . Odnak spivvidnoßennq
Dx Dn
Cloc., ( , )0
0R R → pry n → ∞ ne vykonu[t\sq, oskil\ky ( ) ( )Dx tn ≡
≡ 1, n ≥ 1, i ( ) ( )D t0 ≡ 0.
3.3. Teorema pro neruxomu toçku dlq c-cilkom neperervnyx operatoriv.
Teorema 4. Nexaj B — zamknena kulq z centrom u toçci 0 u banaxovomu
prostori C E0( , )R i operator A : B → B [ c-cilkom neperervnym. Todi A
ma[ neruxomu toçku.
Dovedennq. Rozhlqnemo rivnqnnq
x xm m m= P A , (14)
de Pm , m ∈N , — operator, vyznaçenyj rivnistg (10). Na pidstavi umov lemy 1
ta rivnosti (11) operator PmA [ cilkom neperervnym i P B BmA ⊂ . Tomu za
teoremog Íaudera pro neruxomu toçku [20] rivnqnnq (14) ma[ rozv’qzok
xm
∗ ∈B , tobto
x xm m m
∗ ∗= P A . (15)
Oskil\ky dlq koΩnyx n ∈N i m ≥ n + 2
P P P Pm m n m m n mx x x∗ ∗ ∗= =A A ,
Pn mx n m∗ ∈{ }: , N ⊂ B i operator PnA [ cilkom neperervnym, to dlq koΩnoho
n ∈N mnoΩyna Pn mx m∗ ∈{ }: N [ peredkompaktnog. Tomu na pidstavi lemyE1
isnugt\ element x∗ ∈B i stroho zrostagça poslidovnist\ natural\nyx çysel
mk , k ∈N , dlq qkyx
x xm
C E
k
∗ ∗ →loc., ( , )0 R
pry k → ∞.
PokaΩemo, wo
Ax x∗ ∗= .
Vykorysta[mo oçevydni rivnosti
x x x x x xm mk k
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗− = −( ) − −( ) A A A +
+ x x x x x xm m m m m m mk k k k k k k
∗ ∗ ∗ ∗ ∗−( ) − −( ) + −A A AP P mmk
∗( ) , k ≥ 1.
Oskil\ky na pidstavi c-neperervnosti operatora A i rivnosti (15)
x x x xm m
C E
k k
∗ ∗ ∗ ∗−( ) − −( ) →A A
loc., ( , )0
0R
pry k → ∞,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1546 V. G. SLGSARÇUK
x x x xm m m m m
C E
k k k k k
∗ ∗ ∗ ∗−( ) − −( ) →A AP loc., ( , )0 R 0 pry k → ∞
i
x x km m mk k k
∗ ∗− = ≥P A 0 1, ,
to
x x∗ ∗− =A 0 .
Teoremu 4 dovedeno.
4. Ob©runtuvannq teorem 1 i 2. Rozhlqnemo u prostori C E0( , )R zamkne-
nu kulg BR = x x RC E: ( , )0 R ≤{ } radiusa R z centrom u toçci 0.
Dovedemo tverdΩennq, z qkoho vyplyvatyme teorema 1.
Lema 2. Nexaj dlq deqkyx çysel H > 0, r > 0 i elementa A ∈D spravd-
Ωu[t\sq nerivnist\ (6) i h H∈B .
Todi rivnqnnq (7) ma[ xoça b odyn rozv’qzok x C E∈ 1( , )R ∩ Br .
Dovedennq. Zapyßemo rivnqnnq (7) u vyhlqdi
dx
dt
A t x A t x f t x h t+ = − +( ) ( ) ( , ) ( ) , t ∈R , (16)
i rozhlqnemo c-neperervnyj operator W : C E0( , )R → C E0( , )R , wo vyzna-
ça[t\sq rivnistg
( ) ( ) ( ) ( ) – , ( ) ( )W x t A t x t f t x t h t= ( ) + .
Oskil\ky operator LA =
d
dt
A t+ ( ) , wo di[ z prostoru C E1( , )R u prostir
C E0( , )R , ma[ neperervnyj obernenyj LA
−1
, to rivnqnnq (16) moΩna zapysaty u
vyhlqdi
x t x tA( ) ( )= ( )−L W1
, t ∈R . (17)
Operator LA
−1 : C E0( , )R → C E1( , )R na pidstavi teoremyE3 [ c-nepererv-
nym. Tomu zavdqky c-neperervnosti operatora W : C E0( , )R → C E0( , )R ope-
rator LA
−1W : C E0( , )R → C E1( , )R takoΩ bude c-neperervnym. Todi na pid-
stavi kryterig kompaktnosti Arcela [19] i vyznaçennq c-cilkom neperervnoho
operatora operator LA
−1W : C E0( , )R → C E1( , )R bude c-cilkom neperervnym.
TakoΩ
L WB BA r r
− ⊂1
.
Spravdi, qkwo y C E0 ( , )R ≤ r i h C E0 ( , )R ≤ H, to zhidno z nerivnistg (6)
L W L WA C E A L C E C E Cy y− −
( )≤1 1
0 0 0 0
( , ) ( , ), ( , ) ( ,R R R R EE) ≤
≤ LA L C E C E t x rE
A t x f t−
( ) ∈ ≤
−1
0 0( , ), ( , ) ,
sup ( ) ( ,
R R R
xx h t E) ( )+ ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1547
≤ LA L C E C E t x rE
A t x f t−
( ) ∈ ≤
−1
0 0( , ), ( , ) ,
sup ( ) ( ,
R R R
xx hE C E) ( , )+
0 R ≤
≤ L
L
A L C E C E
A L C E C E
r−
( ) −
1
10 0
0 0
( , ), ( , )
( , ), ( , )
R R
R R(( )
− +
≤H h rC E0 ( , )R .
Tomu na pidstavi teoremy 4 rivnqnnq (17) ma[ xoça b odyn rozv’qzok x r
∗ ∈B .
Zavdqky rivnosyl\nosti rivnqn\ (17) i (16)
dx t
dt
f t x t h t
∗
∗+ ( ) ≡
( )
, ( ) ( ) .
Zvidsy ta z (3) vyplyva[, wo x C E∗ ∈ 1( , )R .
Lemu 2 dovedeno.
Analohiçnym çynom dovodyt\sq taka lema.
Lema 3. Nexaj dlq deqkyx çysel H > 0, r > 0 i elementa B ∈ E spravd-
Ωu[t\sq nerivnist\ (8) i h H∈B .
Todi rivnqnnq (9) ma[ xoça b odyn rozv’qzok x C E∈ 1( , )R ∩ Br .
Oçevydno, wo teoremy 1 i 2 [ naslidkamy lem 2 i 3.
ZauvaΩymo, wo vykonannq umov teorem 1 i 2 nedostatn\o dlq [dynosti roz-
v’qzkiv rivnqn\ (7) i (9), wo pidtverdΩu[t\sq nastupnym prykladom.
Pryklad 2. Rozhlqnemo nelinijne dyferencial\ne rivnqnnq
dx
dt
f x h t+ =( ) ( ) , (18)
de h C∈ 0( , )R R i f : R → R — neperervna funkciq, wo vyznaça[t\sq rivnistg
f x
kx x
x
k x x
( )
, ,
, ,
( ), .
=
≤
< ≤
− >
qkwo
qkwo
qkwo
0
0 0 1
1 1
Tut k ∈ { }R\ 0 .
Rozhlqnemo dyferencial\nyj operator K : C1( , )R R → C0( , )R R , wo vy-
znaça[t\sq rivnistg
( ) ( )
( )
( )Kx t
dx t
dt
kx t= + . (19)
Cej operator ma[ neperervnyj obernenyj K−1
: C1( , )R R → C0( , )R R , qkyj
moΩna podaty u vyhlqdi
( ) ( ) ( )( )
:
K− −
<{ }
= − ∫1y t
k
k
e y s dsk t s
s kt ks
,
de y C∈ 0( , )R R .
Oçevydno, wo
K−
( ) =1
0 0
1
L C C k( , ), ( , )R R R R
. (20)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1548 V. G. SLGSARÇUK
Zafiksu[mo dovil\ne çyslo H > 0. Oçevydno, wo dlq koΩnoho çysla r > 0
max ( )
x r
f x kx k
≤
− ≤ (21)
i, otΩe, dlq çysla
r
H k
k
=
+
(22)
vykonu[t\sq nerivnist\
max ( )
( , ), ( , )
x r
L C C
f x kx
r
H
≤ −
( )
− ≤ −
K 1
0 0R R R R
, (23)
analohiçna (8), wo na pidstavi (20) i (22) zbiha[t\sq z (21). Tomu za teoremogE1
rivnqnnq (18) dlq koΩno] funkci] h C∈ 0( , )R R ma[ xoça b odyn rozv’qzok
x C∈ 1( , )R R . Takyx rozv’qzkiv moΩe buty neskinçenno bahato. Spravdi, qkwo
h t( ) ≡ 0 , to rozv’qzkamy c\oho rivnqnnq [ funkci] x t c( ) ≡ , c ∈[ ]0 1, .
5. Dostatni umovy vykonannq nerivnosti (6). Dali rozhlqnemo odyn klas
nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\, do doslidΩennq qkyx zastosovna teore-
maE1. Ne obmeΩugçy zahal\nosti, moΩna vvaΩaty, wo skinçennovymirnyj bana-
xovyj prostir E zbiha[t\sq z Rn
. U prostori Rn
budemo rozhlqdaty normu
⋅ Rn , qku dlq elementa x = ( , , )x xn1 … vyznaçymo rivnistg
x xn
k n
kR =
≤ ≤
min
1
.
Rozhlqnemo systemu dyferencial\nyx rivnqn\
dx
dt
g x t x x x h tn
1
1 1 1 1 2 1= … +( ) ( , , , , ) ( )ω ,
dx
dt
g x t x x x h tn
2
2 2 2 1 2 2= … +( ) ( , , , , ) ( )ω ,
(24)
…………………………………………………
dx
dt
g x t x x x h tn
n n n n n= … +( ) ( , , , , ) ( )ω 1 2 ,
de h hn1, ,… ∈ C0( , )R R i funkci] g gn1, ,… , ω ω1, ,… n zadovol\nqgt\
umovy, vykladeni v nastupnomu tverdΩenni, dostatni dlq vykonannq dlq ci[]
systemy rivnqn\ spivvidnoßennq (6).
Teorema 5. Nexaj:
1) funkci] gi : R R→ , ω i
n: R R+ →1 , i n= 1, , neperervni;
2) R gi( ) = R , i n= 1, ;
3) lim ( )
t
ig t
→+∞
= +∞ , i n= 1, ;
4) inf ( , )
( , ) , ,t x i n
in
t x
∈ =+R 1 1
ω > 0 i sup ( , )
( , ) , ,t x i n
i
n
t x
∈ =+R 1 1
ω < + ∞.
Todi dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ taki çysla r > 0, k > 0 i k1 , …
…, kn E∈ER\ 0{ } k1( = … = kn = k) , wo dlq vidobraΩen\ f : R Rn n+ →1
i
K : R Rn n→ , qki vyznaçagt\sq rivnostqmy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1549
f t x g x t x g x t xn n n( , ) ( ) ( , ), , ( ) ( , )= …( )1 1 1ω ω (25)
i
K x k x k xn n= …( , , )1 1 , (26)
vykonu[t\sq nerivnist\
sup ( , )
,t x n r
nf t x K x kr H
∈ ≤
− ≤ −
R
R
R
. (27)
Cq teorema lehko dovodyt\sq za dopomohog nastupnoho tverdΩennq.
Lema 4. Nexaj:
1) funkciq g : R R→ neperervna;
2) R g( ) = R ;
3) lim ( )
x
g x
→+∞
= + ∞.
Todi dlq koΩnyx çysla H > 0 i vidrizka α β,[ ] ⊂ ( , )0 +∞ isnugt\ taki
çysla r0 0> i k0 0∈ { }R\ , wo:
a) max ( )
, ,z x r
zg x k x
∈[ ] ≤
−
α β 0
0 ≤ k r H0 0 − , pryçomu cq nerivnist\ vyko-
nu[t\sq, qkwo k0 zaminyty dovil\nym çyslom k, dlq qkoho k k> 0 i
kk0 > 0;
b) dlq koΩnoho çysla r r> 0 isnu[ çyslo k ∈ { }R\ 0 , dlq qkoho k ≥
≥ k0 , kk0 > 0 i max ( )
, ,z x r
zg x kx
∈[ ] ≤
−
α β
≤ k r H− .
Dovedennq lemy 4. Nexaj b — take dodatne çyslo, wo
α min ( )
x b
g x H
≥
≥ (28)
(take çyslo isnu[ na pidstavi umov lemy), i, krim toho,
M g x
x b
=
≤
β max ( ) .
Rozhlqnemo take çyslo k0 0∈ { }R\ , dlq qkoho
k b H0 ≥ (29)
i
k xg x0 0( ) > , qkwo x b> . (30)
Dali vyberemo dovil\ne çyslo r b0 > , dlq qkoho
M k b k r H+ ≤ −0 0 0 (31)
i
β g x k r( ) ≤ 0 0 , qkwo b x r< ≤ . (32)
Todi qkwo b x r< ≤ 0 i z ∈[ ]α β, , to
zg x k x zg x k x k r H( ) ( )− = − ≤ −0 0 0 0
(tut vraxovano spivvidnoßennq (28), (29), (30) i (32)). Qkwo x b≤ i z ∈
∈ α β,[ ] , to zavdqky (31)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1550 V. G. SLGSARÇUK
zg x k x zg x k x M k b k r H( ) ( )− = + ≤ + ≤ −0 0 0 0 0 .
OtΩe,
max ( )
, ,z x r
zg x k x k r H
∈[ ] ≤
− ≤ −
α β 0
0 0 0 . (33)
Oçevydno, wo spivvidnoßennq (29) – (32) spravdΩugt\sq, qkwo k0 zaminyty
çyslom k, dlq qkoho k k> 0 i kk0 > 0. Tomu dlq koΩnoho takoho k
vykonu[t\sq nerivnist\
max ( )
, ,z x r
zg x kx k r H
∈[ ] ≤
− ≤ −
α β 0
0 ,
analohiçna nerivnosti (33).
Dali dovedemo druhu çastynu tverdΩennq lemy.
Na pidstavi spivvidnoßen\ (29) – (32) dlq koΩnoho çysla r r> 0 isnu[ take
çyslo k ∈ { }R\ 0 , wo k k≥ 0 , kk0 > 0 i vykonugt\sq spivvidnoßennq
k b H≥ ,
kxg x( ) > 0 , qkwo x b> ,
M k b k r H+ ≤ −
i
β g x k r( ) ≤ , qkwo b x r< ≤ .
Za dopomohog cyx spivvidnoßen\ analohiçnym çynom otrymu[mo
max ( )
, ,z x r
zg x kx k r H
∈[ ] ≤
− ≤ −
α β
.
Lemu 4 dovedeno.
Dovedennq teoremy 5. Rozhlqnemo dovil\ne çyslo H > 0. Zavdqky lemiE4
dlq koΩnoho i n= 1, isnugt\ çysla ri > 0 i ki
∗ ∈ { }R\ 0 , dlq qkyx
sup ( ) ( , )
( , ) ,t x x r
i i i i i
n
i i
g x t x k x
∈ ≤
∗
+
−
R 1
ω ≤
≤ max ( )
, ,z x r
i i i i i i
i i
zg x k x k r H
∈[ ] ≤
∗ ∗− ≤ −
α β
,
de α = inf ( , )
( , ) , ,t x i n
in
t x
∈ =+R 1 1
ω i β = sup ( , )
( , ) , ,t x i n
i
n
t x
∈ =+R 1 1
ω .
Nexaj r = max
,i n
ir
= 1
. Na pidstavi ci[] Ω lemy isnugt\ çysla k > 0 i
ki ∈R \ −( )∗ ∗k ki i, , i n=1, , dlq qkyx k1 = … = kn = k i
sup ( ) ( , )
( , ) ,t x x r
i i i i i
n
i
g x t x k x
∈ ≤+
−
R 1
ω ≤
≤ max ( )
, ,z x r
i i i i
i
zg x k x kr H
∈[ ] ≤
− ≤ −
α β
, i n=1, .
Iz cyx nerivnostej vyplyva[, wo
sup ( , )
,t x rn
nf t x K x
∈ ≤
−
R
R
R
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1551
≤ max sup ( ) ( , )
( , ) ,1 1≤ ≤ ∈ ≤+
−
i n t x x r
i i i i
n
i
g x t x k x
R
ω ii kr H≤ − .
OtΩe, nerivnist\ (27) vykonu[t\sq.
Teoremu 5 dovedeno.
Linijnyj operator K, wo vyznaça[t\sq rivnistg (26), [ elementom mnoΩyny
E. Tomu operator LK =
d
dt
K+ ma[ neperervnyj obernenyj LK
−1
[7]. Cej ope-
rator moΩna zapysaty u vyhlqdi
L LK K n nh t h h t z t z t− −( ) = …( ) = …1 1
1 1( ) ( , , ) ( ) ( ), , ( )(( ) ,
de h = ( , , )h hn1 … ∈ C n0( , )R R i
z t
k
k
e h s dsk t s
l
s k t k s
1
1
1
1
1 1
( ) ( )( )
:
= − −
<{ }
∫ ,
………………………………………………
z t
k
k
e h s dsn
n
n
k t s
n
s k t k s
n
n n
( ) ( )( )
:
= − −
<{ }
∫ .
Oskil\ky
k
k
e h s dsl
l
k t s
l
s k t k s
l
l l
( )
:
( )−
<{ }
∫ ≤
≤ e ds h
h
h
k t s
s k t k s
l C
l Cl
l l
( )
:
( , )
( , )−
<{ }
∫ =0
0
R R
R R
, l n=1, ,
to
LK L C Cn n k
−
( ) =1
0 0
1
( , ), ( , )R R R R
.
Tomu nerivnist\ (27) moΩna podaty u vyhlqdi
sup ( , )
,
( , ), (
t x K L C C
n r
n
n
f t x K x
r
∈ −
≤
− ≤
R
R
R R RR L 1
0 0 ,, )Rn
H
( )
− . (34)
Takym çynom, dovedeno nastupne tverdΩennq.
Teorema 6. Nexaj vykonano umovy teoremy 5.
Todi dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ taki çysla r > 0, k > 0 i k1 , …
… , kn ∈ R\ 0{ } k1( = … = kn = k) , wo dlq vidobraΩen\ f n n: R R+ →1
i
K n n: R R→ , wo vyznaçagt\sq rivnostqmy (25) i (26), vykonu[t\sq ne-
rivnist\ (34).
Z teorem 1 i 6 vyplyva[ nastupne tverdΩennq pro isnuvannq obmeΩenyx roz-
v’qzkiv systemy dyferencial\nyx rivnqn\ (24).
Teorema 7. Nexaj vykonano umovy teoremy 5.
Todi dlq dovil\nyx h hn1, ,… ∈ C0( , )R R systema dyferencial\nyx riv-
nqn\ (24) ma[ xoça b odyn rozv’qzok x xn1, ,… ∈ C1( , )R R .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1552 V. G. SLGSARÇUK
6. Neobxidni umovy vykonannq nerivnosti (8) u vypadku E = R. Rozhlq-
nemo skalqrne dyferencial\ne rivnqnnq
dx
dt
f x h t+ =( ) ( ) , (35)
de f : R R→ — neperervna funkciq i h C∈ 0( , )R R .
Umovy isnuvannq obmeΩenyx rozv’qzkiv c\oho rivnqnnq i ]x vlastyvosti
vyvçalys\ avtorom u robotax [21 – 23]. Navedemo dlq rivnqnnq (35) neobxidni
umovy vykonannq nerivnosti (8).
Vykorysta[mo neperervnyj operator Lf : C1( , )R R → C0( , )R R , wo vyzna-
ça[t\sq rivnistg
( ) ( )
( )
( )Lf x t
dx t
dt
f x t= + ( ) .
VaΩlyvym dlq podal\ßoho [ nastupne tverdΩennq.
Teorema 8 [21]. Dyferencial\nyj operator Lf : C1( , )R R → C0( , )R R
ma[ obernenyj neperervnyj operator todi i til\ky todi, koly R f( ) = R i
funkciq f : R R→ [ stroho monotonnog.
Z dopomohog ci[] teoremy lehko dovodyt\sq taka teorema.
Teorema 9. Nexaj dyferencial\nyj operator Lf : C1( , )R R → C0( , )R R
ma[ obernenyj neperervnyj operator.
Todi dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ taki çysla r > 0 i k ∈ { }R\ 0 , w o
dlq f x( ) vykonu[t\sq nerivnist\ (23), de K — operator, wo vyznaça[t\sq
rivnistg (19).
Spravdi, na pidstavi teoremy 8 ta umov teoremy 9 funkciq f : R R→ [
stroho monotonnog i R f( ) = R . Tomu na pidstavi teoremy 6 spravdΩu[t\sq
teorema 9.
7. Vypadok linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\. Zafiksu[mo dovil\nyj
element Q Q t= ( ) prostoru C L E E0 R, ( , )( ) . Rozhlqnemo linijne dyferenci-
al\ne rivnqnnq
dx
dt
Q t x h t+ =( ) ( ) ,
de h C E∈ 0( , )R , ta dyferencial\nyj operator LQ : C E1( , )R → C E0( , )R ,
wo vyznaça[t\sq rivnistg
( ) ( )
( )
( ) ( )LQx t
dx t
dt
Q t x t= + .
SpravdΩu[t\sq nastupne tverdΩennq.
Teorema 10. Dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ taki çyslo r > 0 i ele-
ment A ∈D , wo
sup ( ) ( )
,
( , ), ( ,
t x
E
A L C E CE r
Q t x A t x
r
∈ −
≤
− ≤
R
R R
L 1
0 0 EE
H
)( )
− (36)
todi i til\ky todi, koly dyferencial\nyj operator LQ ma[ obernenyj nepe-
rervnyj operator.
Oçevydno, wo nerivnist\ (36) rivnosyl\na nerivnosti
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1553
sup ( ) ( ) ( , )
( , ), ( , )
t
L E E
A L C E C E
Q t A t
∈ −− ≤
R
R R
1
1
0 0
L (( )
−
H
r
. (37)
Dovedennq teoremy 10. Neobxidnist\. Nexaj dlq koΩnoho çysla H > 0
isnugt\ taki çyslo r > 0 i element A ∈D , wo vykonu[t\sq nerivnist\ (36).
Todi za teoremog 1 dlq operatora LQ : C E1( , )R → C E0( , )R vykonu[t\sq
spivvidnoßennq
R C EQ( ) ( , )L = 0 R . (38)
PokaΩemo, wo
ker LQ = { }0 , (39)
tobto rivnqnnq
dx
dt
Q t x+ =( ) 0 (40)
ma[ lyße nul\ovyj obmeΩenyj rozv’qzok. Zapyßemo ce rivnqnnq u vyhlqdi
dx
dt
A t x A t Q t x+ = −( )( ) ( ) ( ) .
Oskil\ky operator LA : C E1( , )R → C E0( , )R , wo vyznaça[t\sq rivnistg
( ) ( )
( )
( ) ( )LAx t
dx t
dt
A t x t= + ,
ma[ neperervnyj obernenyj, to u prostori C E0( , )R rivnqnnq (40) rivnosyl\ne
rivnqnng
x t z tA( ) ( )= ( )−L 1 , (41)
de z t( ) = A t Q t x t( ) ( ) ( )−( ) .
Nexaj x t∗( ) — obmeΩenyj rozv’qzok rivnqnnq (41), tobto
x t z tA
∗ − ∗≡ ( )( ) ( )L 1
, (42)
de z t∗( ) = A t Q t x t( ) ( ) ( )−( ) ∗
. Na pidstavi (37) i (42)
x z
C E A C E A L C E C E
∗ − ∗ −= ≤0 0 0 0
1 1
( , ) ( , ) ( , ), ( ,R R R R
L L
)) ( , )( )
∗z
C E0 R
≤
≤ LA L C E C E t
L E EQ t A t−
( ) ∈
−1
0 0( , ), ( , ) ( , )sup ( ) ( )
R R R
xx
C E
∗
0 ( , )R
≤
≤ L
L
A L C E C E
A L C E C E
−
( ) −
1
10 0
0 0
1
( , ), ( , )
( , ), ( , )
R R
R R(( )
∗−
H
r
x
C E0 ( , )R
≤
≤ 1 1
0 0 0−
−
( )
∗H
r
xA L C E C E C E
L
( , ), ( , ) ( , )R R R
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1554 V. G. SLGSARÇUK
Zvidsy ta z toho, wo
0 1 11
0 0
≤ − ≤−
( )
H
r A L C E C E
L
( , ), ( , )R R
,
vyplyva[ rivnist\
x
C E
∗ =0 0
( , )R
,
tobto spivvidnoßennq (39) vykonu[t\sq. OtΩe, z rivnosti (38) i z teoremy Banaxa
pro obernenyj operator [19] vyplyva[, wo operator LQ ma[ neperervnyj ober-
nenyj.
Dostatnist\. Nexaj operator LQ : C E1( , )R → C E0( , )R ma[ nepererv-
nyj obernenyj. Todi Q [ elementom mnoΩyny D. Zafiksu[mo dovil\ne çyslo
H > 0 i vyberemo çyslo r > 0 tak, wob
r
H
Q L C E C E
L−
( )
− >
1
0 0
0
( , ), ( , )R R
.
Poklavßy A = Q, otryma[mo nerivnist\ (36).
Teoremu 10 dovedeno.
Naslidok 1. Dyferencial\nyj operator LQ : C E1( , )R → C E0( , )R ma[
obernenyj neperervnyj operator todi i til\ky todi, koly isnu[ element
A ∈D , dlq qkoho
sup ( ) ( ) ( , )
( , ), ( , )
t
L E E
A L C E C E
Q t A t
∈ −− <
R
R R
1
1
0 0
L (( )
. (43)
Dovedennq. Nexaj dlq deqkoho elementa A ∈D vykonu[t\sq nerivnist\
(43). Zafiksu[mo dovil\ne çyslo H > 0. Vyberemo çyslo r > 0 tak, wob
1
1
0 0
LA L C E C E
t
L EQ t A t−
( ) ∈
− −
( , ), ( , )
( ,sup ( ) ( )
R R
R EE
H
r) > .
Todi spravdΩuvatymut\sq nerivnist\ (37) i, otΩe, nerivnist\ (36). Tomu za teore-
mog 10 operator LQ : C E1( , )R → C E0( , )R ma[ obernenyj neperervnyj ope-
rator.
Navpaky, qkwo operator LQ : C E1( , )R → C E0( , )R ma[ obernenyj nepe-
rervnyj operator, to za teoremog 10 dlq koΩnoho çysla H > 0 isnugt\ çyslo
r > 0 i element A ∈D , dlq qkyx vykonuvatymut\sq nerivnist\ (36) i, otΩe, ne-
rivnist\ (37). Iz (37) vyplyva[ (43).
Naslidok 1 dovedeno.
Naslidok 2. Dyferencial\nyj operator L : C E1( , )R → C E0( , )R , wo
vyznaça[t\sq rivnistg
( ) ( )
( )
( )Lx t
dx t
dt
A x t= + ,
de A L E E∈ ( , ) , ma[ obernenyj neperervnyj operator todi i til\ky todi, ko-
ly isnu[ element B ∈ E , dlq qkoho
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
METOD LOKAL|NO} LINIJNO} APROKSYMACI} … 1555
A B L E E
B L C E C E
− < −
( )
( , )
( , ), ( , )
1
1
0 0
L
R R
.
U c\omu tverdΩenni LB
−1
— operator, wo vyznaça[t\sq rivnistg (5).
8. Mali na neskinçennosti zburennq linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\.
Navedemo we odne tverdΩennq, qke moΩna otrymaty za dopomohog teoremyE1.
Rozhlqnemo dyferencial\ne rivnqnnq
dx
dt
A t x f t x h t+ + =( ) ( , ) ( ) , (44)
de A A t= ( ) — element prostoru C L E E0 R, ( , )( ) , h C E∈ 0( , )R i f : R × E →
→ E — neperervne vidobraΩennq, wo zadovol\nq[ spivvidnoßennq (3).
Budemo vymahaty, wob linijnyj operator LA : C E1( , )R → C E0( , )R , wo
vyznaça[t\sq formulog (4), mav neperervnyj obernenyj operator LA
−1
.
Poznaçymo çerez Ω mnoΩynu neperervnyx vidobraΩen\ f : R × E → E, dlq
koΩnoho z qkyx vykonu[t\sq spivvidnoßennq
lim
sup ( , )
,
( , ),
r
t x r
E
A L C E C
E
f t x
r→+∞
∈ ≤
−<
R
R
1
1
0 0
L
(( , )R E( )
.
Oçevydno, wo neperervne vidobraΩennq f : R × E → E, dlq qkoho
sup ( , )
( , )t x E
Ef t x
∈ ×
< +∞
R
,
[ elementom mnoΩyny Ω.
Okremym vypadkom teoremy 1 [ nastupne tverdΩennq.
Teorema 11. Nexaj operator LA : C E1( , )R → C E0( , )R ma[ neperervnyj
obernenyj i f ∈Ω .
Todi dyferencial\ne rivnqnnq (44) dlq koΩno] funkci] h C E∈ 0( , )R ma[
xoça b odyn rozv’qzok x C E∈ 1( , )R .
Spravdi, zavdqky umovam teoremy dlq koΩnoho çysla H > 0 isnu[ take çyslo
r > 0, wo vykonu[t\sq spivvidnoßennq
sup ( , )
,
( , ), ( , )
t x r
E
A L C E C EE
f t x
r
∈ ≤ −
( )
≤ −
R
R R
L 1
0 0
HH ,
analohiçne nerivnosti (6). Tomu na pidstavi teoremy 1 spravdΩu[t\sq teore-
maE11.
ZauvaΩymo, wo bil\ß zahal\ne tverdΩennq, niΩ teoremaE11, mistyt\sq
vE[24].
1. Krasnosel\skyj M. A., Burd V. Í., Kolesov G. S. Nelynejn¥e poçty peryodyçeskye kole-
banyq. – M.: Nauka, 1970. – 352 s.
2. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M. Metod uskorennoj sxodymosty v
nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 248 s.
3. Rejssyh R., Sansone H., Konty R. Kaçestvennaq teoryq nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj. – M.: Nauka, 1974. – 320 s.
4. Trubnykov G. V., Perov A. Y. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s monotonn¥my nelynejnos-
tqmy. – Mynsk: Nauka y texnyka, 1986. – 200 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1556 V. G. SLGSARÇUK
5. Perov A. Y., Kostrub Y. D. Metod napravlqgwyx funkcyj v zadaçe o nelynejn¥x poçty-
peryodyçeskyx kolebanyqx // Vestn. VoroneΩ. un-ta. Fyzyka, matematyka. – 2002. – # 1. –
S. 163 – 171.
6. Muxamadyev ∏., NaΩmyddynov X., Sadovskyj B. N. Prymenenye pryncypa Íaudera – Tyxo-
nova v zadaçe ob ohranyçenn¥x reßenyqx dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Funkc. analyz y
eho pryl. – 1972. – 6, v¥p. 3. – S. 83 – 84.
7. Daleckyj G. L., Krejn M. H. Ustojçyvost\ reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj v bana-
xovom prostranstve. – M.: Nauka, 1970. – 535 s.
8. Muxamadyev ∏. Ob obratymosty funkcyonal\n¥x operatorov v prostranstve ohranyçenn¥x
na osy funkcyj // Mat. zametky. – 1972. – 11, # 3. – S. 269 – 274.
9. Muxamadyev ∏. Yssledovanyq po teoryy peryodyçeskyx y ohranyçenn¥x reßenyj dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj // Tam Ωe. – 1981. – 30, # 3. – S. 443 – 460.
10. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ poçty peryodyçeskyx c-neprer¥vn¥x funkcyonal\n¥x ope-
ratorov // Mat. sb. – 1981. – 116 (158), # 4 (12). – S. 483 – 501.
11. Slgsarçuk V. E. Yntehral\noe predstavlenye c-neprer¥vn¥x lynejn¥x operatorov //
Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1981. – # 8. – S. 34 – 37.
12. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ neavtonomn¥x dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x operato-
rov // Mat. sb. – 1986. – 130 (172), # 1 (5). – S. 86 – 104.
13. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty neavtonomn¥x funk-
cyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Mat. zametky. – 1987. – 42, # 2. – S. 262 – 267.
14. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty ravnomerno c-nepre-
r¥vn¥x funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Ukr. mat. Ωurn. – 1989. – 41,
#E2. – S. 201 – 205.
15. Kurbatov V. H. Lynejn¥e dyfferencyal\no-raznostn¥e uravnenyq. – VoroneΩ: Yzd-vo
VoroneΩ. un-ta, 1990. – 168 s.
16. Çan X¥u Bonh. Poçty peryodyçeskye y ohranyçenn¥e reßenyq lynejn¥x funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x uravnenyj: Dys.… d-ra fyz.-mat. nauk. – Kyev, 1993. – 255 s.
17. Slgsarçuk V. E. Metod c-neprer¥vn¥x operatorov v teoryy ympul\sn¥x system // Tez.
dokl. Vsesogz. konf. po teoryy y pryloΩenyqm funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x
uravnenyj. – Dußanbe, 1987. – S. 102 – 103.
18. Slgsarçuk V. E. Slabo nelynejn¥e vozmuwenyq ympul\sn¥x system // Mat. fyzyka y nely-
nejn. mexanyka. – 1991. – V¥p. 15 (49). – S. 32 – 35.
19. Kolmohorov A. N., Fomyn S. V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. –
M.: Nauka, 1968. – 496 s.
20. Nyrenberh L. Lekcyy po nelynejnomu funkcyonal\nomu analyzu. – M.: Myr, 1977. – 232 s.
21. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq y edynstvennosty oh-
ranyçenn¥x reßenyj nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Nelinijni kolyvannq. –
1999. – 2, # 4. – S. 523 – 539.
22. Slgsarçuk V. E. Uslovyq suwestvovanyq ohranyçenn¥x reßenyj nelynejn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj // Uspexy mat. nauk. – 1999. – 54, v¥p. 4 (328). – S. 181 – 182.
23. Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded
and almost-periodic solutions of nonlinear differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 4,
# 1 – 3. – P. 333 – 341.
24. Slgsarçuk V. E. Slabo nelynejn¥e vozmuwenyq normal\no razreßym¥x funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x y dyskretn¥x uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. – 1987. – 39, # 5. – S.E660 –
662.
OderΩano 12.02.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3120 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:37Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/e57279e1506ff12f46afd5fcb863cb39.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31202020-03-18T19:45:43Z Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations Метод локальної лінійної апроксимації в теорії обмежених розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. The conditions for the existence of solutions of nonlinear differential equations in a space of functions bounded on the axis are established by using local linear approximations of these equations. Получены условия существования решений нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на оси функций с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3120 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1541-1556 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1541-1556 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3120/2988 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3120/2989 Copyright (c) 2009 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title | Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_alt | Метод локальної лінійної апроксимації в теорії обмежених розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full | Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_fullStr | Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_full_unstemmed | Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_short | Method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_sort | method of local linear approximation in the theory of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3120 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu methodoflocallinearapproximationinthetheoryofboundedsolutionsofnonlineardifferentialequations AT slûsarčukvû methodoflocallinearapproximationinthetheoryofboundedsolutionsofnonlineardifferentialequations AT slyusarchukvyu metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteorííobmeženihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slûsarčukvû metodlokalʹnoílíníjnoíaproksimacíívteorííobmeženihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |