On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method
The second Lyapunov method is applied to the analysis of stability of triangular libration points in a three-dimensional restricted circular three-body problem. It is shown that the triangular libration points are unstable.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3121 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509155669835776 |
|---|---|
| author | Sosnitskii, S. P. Сосницький, С. П. |
| author_facet | Sosnitskii, S. P. Сосницький, С. П. |
| author_sort | Sosnitskii, S. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | The second Lyapunov method is applied to the analysis of stability of triangular libration points in a three-dimensional restricted circular three-body problem. It is shown that the triangular libration points are unstable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 531.36;531.011
S. P. Sosnyc\kyj (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
PRO ODNU NETYPOVU SXEMU
ZASTOSUVANNQ DRUHOHO METODU LQPUNOVA
We apply Lyapunov's second method to the analysis of stability of triangular libration points in the
spatial (three-dimensional) circular restricted three-body problem. We prove the instability of triangular
libration points.
Vtoroj metod Lqpunova prymenen k yssledovanyg ustojçyvosty treuhol\n¥x toçek lybracyy v
prostranstvennoj ohranyçennoj kruhovoj zadaçe trex tel. Dokazana neustojçyvost\ treuhol\-
n¥x toçek lybracyy.
1. Vstup. Pytannq pro stijkist\ lahranΩevyx trykutnyx kruhovyx orbit u ram-
kax linijnoho nablyΩennq rozhlqdaly v 19-mu stolitti M. Gascheau [1], potim
E. J. Routh [2]. Pravda, zhidno z deqkymy dΩerelamy (dyv., napryklad, [3]) vi-
doma umova stijkosti rozhlqduvanyx orbit 27 1µ µ( )− < 1 naleΩyt\ Lahran-
Ωu. Odnak u nelinijnij postanovci problema stijkosti trykutnyx kruhovyx or-
bit tryvalyj ças zalyßalasq vidkrytog. Lyße u druhij polovyni mynuloho
stolittq otrymano vyçerpni rezul\taty u vypadku plosko] obmeΩeno] kruhovo]
zadaçi. Zavdqky zastosuvanng KAM-teori] [4 – 6] problema stijkosti trykutnyx
toçok libraci] v rozhlqduvanomu vypadku znajßla svo[ zaverßennq u pracqx
A.9M.9Leontovyça [7], A. Deprit i A. Deprit-Bartholomé [8], A.9P.9Mark[[va [9],
A.9H.9Sokol\s\koho [10]. Wo Ω stosu[t\sq stijkosti u prostorovij kruhovij za-
daçi, to tut zastosuvannq KAM-teori] vyqvylos\ ne takym uspißnym.
NyΩçe, pry rozhlqdi stijkosti trykutnyx kruhovyx ruxiv u prostorovij ob-
meΩenij zadaçi, my çerpa[mo resurs dlq doslidΩennq stijkosti u samij zadaçi i,
vraxovugçy ]] specyfiku, efektyvno realizovu[mo ideolohig druhoho metodu
Lqpunova.
Pry opysi ruxu malo] çastky v ramkax obmeΩeno] kruhovo] zadaçi zazvyçaj
vykorystovugt\ systemu koordynat, wo oberta[t\sq [11, 12]. U cij systemi vid-
liku rivnqnnq ruxu nabyragt\ vyhlqdu [11]
′′ − ′ =
∂
∂
x y
U
x
2 , ′′ + ′ =
∂
∂
y x
U
y
2 , ′′ =
∂
∂
z
U
z
. (1)
Tut
U x y= + +
−
+
1
2
12 2
13 23
( )
µ µ
ρρ ρρ
, 0
1
2
< ≤µ , (2)
ρρ13
2 2 2 2= − + +( )x y zµ , ρρ23
2 2 2 21= + − + +( )x y zµ , (3)
( , , )x y z T = r , ( , , )� �x y z T = ρρ3 , r2
3
2= ρρ ,
pryçomu ( , , )x y z — koordynaty malo] çastky vidnosno systemy koordynat, wo
oberta[t\sq, ( , , )� �x y z — ]] koordynaty vidnosno inercijno] systemy koordynat.
Dlq systemy (1) isnu[ intehral Qkobi
2 2 2T U h− = , 2 2 2 2T x y z= ′ + ′ + ′ , h = cont. (4)
Dali zruçno zapysaty rivnosti (3) u vyhlqdi
ρρ13
2 22= − + +µ µx r2 , ρρ23
2 22 1 1= − + − +( ) ( )µ µx r2 , (5)
zvidky otrymu[mo
© S. P. SOSNYC|KYJ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11 1557
1558 S. P. SOSNYC|KYJ
r2 = = − − + − +ρρ ρρ ρρ3
2
13
2
23
21 1µ µ µ µ( ) ( ) . (6)
U zv’qzku z (6) zauvaΩymo takoΩ, wo ma[ misce rivnist\
′ = − − + − ′ + ′ρρ ρρ ρρ3
2
3
2
3
2µ µ µ µ( ) ( )1 1 1 2 . (7)
Systema (1) – (3), qk vidomo, ma[ rivnovaΩni rozv’qzky, qki nazyvagt\ toç-
kamy libraci] abo toçkamy LahranΩa. V podal\ßomu obmeΩymosq rozhlqdom
stijkosti lyße trykutnyx toçok libraci] L4 i L5 .
2. Pro nestijkist\ trykutnyx toçok libraci] L4 i L5 . Trykutnym toçkam
libraci] L4 i L5 systemy (1) vidpovidagt\ taki znaçennq zminnyx x, y i z [11]:
x0 1
2
= − + µ , ( )y0 2 3
4
= , z0 0= . (8)
Vvodqçy dlq zburen\ rozhlqduvanoho stacionarnoho rozv’qzku systemy (1) po-
znaçennq
ξ = −x x0 , η = −y y0 , ζ = −z z0 , (9)
u malomu joho okoli ma[mo
′′ − ′ = − − − + +ξ η ξ µ η µ ζ ξ η2
3
4
3
2
1 2
3
4
1 20 2 2 2y O( – ) ( ) ( ) ++ ( )O u 3 ,
′′ + ′ = − + + + + +η ξ µ ξ η ζ ξ η2
3
2
1 2
9
4
3
2
0 0 2 2 2y y O O( – ) ( ) u 33( ) , (10)
′′ = − +ζ ζ O( )u2 , u = ( , , )ξ η ζ T .
Xarakterystyçne rivnqnnq, qke vidpovida[ linijnomu nablyΩenng syste-
my9(10), ma[ vyhlqd
( ) ( )λ λ λ µ µ2 4 21
27
4
1 0+ + + −
= .
OtΩe, pry 27 1µ µ( )− > 1 rivnqnnq
λ λ µ µ4 2 27
4
1 0+ + − =( )
ma[ koreni z dijsnymy çastynamy, wo ne dorivnggt\ nulg, i toçky libraci] L4 i
L5 [ nestijkymy. Tomu dali vvaΩatymemo, wo 0 < 27 1µ µ( )− ≤ 1, i, otΩe, li-
nijnomu nablyΩenng systemy (10) vidpovidagt\ çysto uqvni koreni xarakterys-
tyçnoho rivnqnnq. Takym çynom, ma[mo spravu z krytyçnym za Lqpunovym vy-
padkom doslidΩennq stijkosti.
Z uraxuvannqm rivnostej (8), (9) na pidstavi rivnostej (5) ma[mo
x y1
0 22= − + +ξ η u , x y2
0 22= + +ξ η u , (11)
de
x1 13
2 1= −ρ , x2 23
2 1= −ρ .
Rozv’qzugçy rivnosti (11) vidnosno ξ i η, otrymu[mo
ξ = +
1
2
1 2(– )x x , (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
PRO ODNU NETYPOVU SXEMU ZASTOSUVANNQ DRUHOHO METODU LQPUNOVA 1559
η ζ ζ= + − + −( ) − + +
1
3
2
3
20
1 2 1
2
2
2
1 2
2 2 2y x x x x x x O( ) ( )x 33 2/ { } , (13)
de x = ( , )x x T
1 2 .
Rozhlqnemo funkcig
v = − + ′ − ′ + ′ − ′ 2 2 0 0( ) ( ) ( )T U x yp η ξ ξη ηξ +
+ 2 2 0 0 2 2( )x yξ η ξ η+ + + . (14)
Tut
2 ( )T U p− =
= ′ + ′ + ′ − − − +
+ +ξ η ζ ξ µ ξη η ζ2 2 2 2 0 2 23
4
3 1 2
9
4
y ( ) OO u 3( ) .
Interpretuvatymemo dali funkci] x1 , x2 i v qk dopomiΩni. Qk baçymo, perßi
dvi zaleΩat\ vid u, a funkciq v zaleΩyt\ qk vid u, tak i vid ′u .
Rozhlqnemo poxidni vid funkcij x1 , x2 i v po vektornomu polg, wo vy-
znaça[t\sq systemog rivnqn\ (10). Zokrema, rozhlqdagçy druhi poxidni vid
funkcij x1 , x2 i perßu poxidnu vid funkci] v v sylu systemy (10), z uraxu-
vannqm spivvidnoßen\ (12), (13) ma[mo
′′ = − − − − ′ + ′ +x x x y x x y1 1 2
0
1 2
02 1
5
2
4
3
8
3
v ( ) ( ) (µ µ µ µ ζζ2 ′) +
+ O O( ) ( ) /x x x x2 2 2 2 2 2 3 2+ ′ + + ′ + + ′ ζ ζ ,
′′ = − − − + − ′ + ′ −x x x y x x2 1 2
0
1 22
5
2
1
4
3
1
8
3
v ( ) ( ) ( )µ µ µ (( ) ( )1 0 2− ′µ ζy +
+ O O( ) ( ) /x x x x2 2 2 2 2 2 3 2+ ′ + + ′ + + ′ ζ ζ , (15)
′ = − − + + + v 3 1 0
1 2
2 2 2 3 2µ µ ζ( ) ( ) ( ) ( ) /y x x O Ox x .
OtΩe, dlq poxidnyx vid dopomiΩnyx funkcij x1 , x2 i v otrymu[mo try riv-
nosti, pravi çastyny qkyx takoΩ mistqt\ dani dopomiΩni funkci]. Naßa meta
polqha[ v tomu, wob efektyvno skorystatysq otrymanymy rivnostqmy pry do-
slidΩenni stijkosti toçok libraci] L4 i L5 . Dlq realizaci] postavleno] mety
rozhlqnemo bil\ß dokladno intehral Qkobi i neobxidni joho peretvorennq sto-
sovno naßyx potreb. Odnak sperßu zrobymo take zauvaΩennq.
ZauvaΩennq 1. Wob zrobyty bil\ß zrozumilym, z qkyx mirkuvan\ vybyra-
[t\sq konstrukciq funkci] v , vidmitymo, wo dyferenciggçy dviçi rivnosti (5),
ma[mo
ρ
ρ
µ
ρ
ρ ρ
ρ13
2
13
13 13
23
2
13
2
23
2
2 2
1
1 1′′ = + + + − − +
−
E ( )
ρρ
ρ
13
2
23
2 1−
,
(16)
ρ
ρ
µ
ρ
ρ ρ
ρ23
2
23
23 23
13
2
23
22
2
1
2
1
1′′ = + + − + − − +E ( ) ( )
113
23
2
13
2
1
1
−
−
ρ
ρ
,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1560 S. P. SOSNYC|KYJ
E T xy yx y x y x13
2 2 2
13
2 2 2 2
2
= + ′ − ′ − ′ + + − + −( ) µ µ µ
ρ
, (17)
E T xy yx y x y23
2 22 2 2 1= + ′ − ′ + − ′ + +( ) ( )µ +
+ 2 1 1
22
23
( ) ( )− + − −µ µ
ρ
x . (18)
MnoΩaçy rivnist\ (17) na 1 – µ, rivnist\ (18) na µ i dodagçy ]x, pryxodymo do
rivnosti
− − + − + − ′ − ′ + + = −µ µ µ µ( ) ( ) ( )1 1 2 2 213 23
2 2E E xy yx x y T UU . (19)
Rozv’qzugçy rivnist\ (19) vidnosno 2T i pidstavlqgçy otrymane znaçennq v
rivnosti (17), (18), vidpovidno oderΩu[mo
E E E y13 13 23
23 13
1 2
1 1
2= − + + −
− ′ −( ) (µ µ µ
ρ ρ
µ µ ρρ ρ23
2
13
2− ) ,
E E E23 13 23
13 23
1 2 1
1 1
= − + + − −
( ) ( )µ µ µ
ρ ρ
+
+ 2 1 1 23
2
13
2( ) ( ) ( )− ′ + − −µ µ ρ ρy .
Teper baçymo, wo qkwo rozhlqnuty rivnist\ (19) u zburenomu rusi, to pryjdemo
do rivnosti (14), i, takym çynom,
v = − +[ ] − − +[ ]( ) ( )1 113 23 13 23µ µ µ µE E E E pr , (20)
de dodanok ( )1 13 23− +[ ]µ µE E pr vidpovida[ nezburenomu ruxovi, pryçomu
( )1 113 23− +[ ] = −µ µE E pr .
2.1. Pro intehral Qkobi v obmeΩenij zadaçi tr\ox til. Perß za vse zau-
vaΩymo, wo dlq systemy (10) intehral Qkobi u zburenomu rusi ma[ vyhlqd
′ + ′ + ′ − − − +
+ +ξ η ζ ξ µ ξη η ζ2 2 2 2 0 2 23
4
3 1 2
9
4
y ( ) OO hu 3 2( ) = ∗ ,
(21)
de 2 2h h∗ = + 3 – µ µ( )1 − . U zv’qzku z rivnistg (21) korysno rozhlqnuty mno-
Ωynu
Ω = ∈ = ∈ <{ } = ≤{ }∗w w w ws R hε ε ψ6 2 0, : ( ) ,
de w = ( , , , , , )ξ ξ η η ζ ζ′ ′ ′ T
, a ψ( )w oznaça[ livu çastynu rivnosti (21). Qkraz
rozhlqd ruxu systemy (10) na mnoΩyni Ω u podal\ßomu vyqvyt\sq istotnym
dlq doslidΩennq stijkosti toçok libraci] L4 i L5 .
Teper vyrazymo intehral Qkobi (21) çerez zminni, qki vxodqt\ v systemu (15).
Vykorystovugçy dlq ci[] mety rivnosti (12) i (13), otrymu[mo
1
3
3
4
11
2
2
2
1 2
2
1
2
2
2( ) ( )′ + ′ − ′ ′ + ′ − − + x x x x x xζ µ µ +
+ ζ ζ ζ2 2 2 2 3 2 2+ + ′ + + ′ = ∗O h( ) /x x 2 . (22)
Obrazom mnoΩyny Ω u zminnyx ( , , , )x x′ ′ζ ζ T
[ mnoΩyna
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
PRO ODNU NETYPOVU SXEMU ZASTOSUVANNQ DRUHOHO METODU LQPUNOVA 1561
Ω∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ∈ = ∈ <{ } = ≤{ }w w w ws R hε ε ψ6 2 0, : ( ) .
Tut w∗ = ( , , , )x x′ ′ζ ζ T
, a ψ∗ ∗( )w oznaça[ livu çastynu rivnosti (22).
Z vyznaçennq mnoΩyny Ω∗
vyplyva[, wo
′ + ≤ − + + ( )ζ ζ µ µ2 2
1
2
2
2 33
4
1( ) x x O x ∀ ∈∗ ∗w Ω (23)
i, takym çynom, narizno dlq koΩno] z velyçyn ′ζ 2
i ζ2
takoΩ spravedlyva
dana ocinka.
Na pidstavi (14) ma[mo takoΩ rivnist\
v − ′ − ′ + ′ − ′ − + +2 2 20 0 0 0 2( ) ( ) ( )x y x yη ξ ξη ηξ ξ η ξ ++ = ∗η2 2h ,
(24)
v qku zamist\ ξ i η potribno pidstavyty velyçyny, wo vyznaçagt\sq pravymy
çastynamy rivnostej (12), (13).
Takym çynom, rozhlqdagçy mnoΩyny Ω i Ω∗
, moΩemo stverdΩuvaty, wo
qk til\ky ruxovi systemy vidpovida[ nedodatne znaçennq stalo] intehrala Qkobi
2h∗
, to avtomatyçno oderΩu[mo pidstavy dlq vykorystannq ocinky (23).
2.2. Pro isnuvannq asymptotyçnyx ruxiv. Otrymana vywe systema riv-
nostej (15) dozvolq[ pry 2h∗ ≤ 0 pryjty do deqko] dopomiΩno] systemy riv-
nqn\, na pidstavi qko] dosyt\ prosto vda[t\sq dovesty isnuvannq tra[ktorij, wo
[ asymptotyçnymy do rozhlqduvanyx toçok libraci] L4 i L5 .
ObmeΩugçys\ rozhlqdom ruxiv systemy (10), qki naleΩat\ mnoΩyni Ω, na
pidstavi rivnostej (15), vraxovugçy ocinku (23), pryxodymo do systemy rivnqn\
x x x y x x O1 1 2
0
1 2
22 1
5
2
4
3
′′ = − − − − ′ + ′ + + ′v ( ) ( ) (µ µ µ x xx 2 ) ,
x x x y x x O2 1 2
0
1 22
5
2
1
4
3
1′′ = − − − + − ′ + ′ +v ( ) ( ) ( ) (µ µ µ xx x2 + ′2 ) , (25)
′ = − − +v 3 1 0
1 2
2µ µ( ) ( ) ( )y x x O x .
Rivnqnnq (25) utvorggt\ zamknenu systemu, wo zv’qzu[ zminni x, ′x i v . Xoça
deqki nelinijni dodanky u cyx rivnqnnqx my lyße ocing[mo, ne magçy ]x toçnyx
vyraziv, prote struktura danyx rivnqn\ ne pereßkodΩa[ otrymanng vysnovkiv
konstruktyvnoho xarakteru.
Xarakterystyçne rivnqnnq, qke vidpovida[ linijnomu nablyΩenng syste-
my9(25), ma[ vyhlqd
λ µ λ λ µ µ− −
+ + −
=
4
3
1 2
27
4
1 00 4 2y ( ) ( ) . (26)
Qk baçymo, rivnqnnq (26) ma[ dijsnyj korin\. Zhidno z teoremog Lqpunova [14]
(dyv. takoΩ [15]) zvidsy moΩemo zrobyty vysnovok, wo isnu[ tra[ktoriq systemy
(25), qka vxodyt\ u toçku x = ′x = 0, v = 0 pry t → – ∞ abo t → ∞ , v zaleΩ-
nosti vid znaku y0
abo v zaleΩnosti vid toho, rozhlqda[t\sq toçka L4 çy L5 .
Oskil\ky rozhlqduvani dopomiΩni funkci] x1 , x2 i v zaleΩat\ vid fazovyx
zminnyx systemy (10), pryçomu pry 2 0h∗ ≤ na pidstavi spivvidnoßen\ (12), (13)
ma[ misce rivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1562 S. P. SOSNYC|KYJ
ξ η2 2
1
2
2
2
1 2
31
3
+ = + − + ( )( )x x x x O x ,
to, vraxovugçy zvorotnist\ vyxidno] systemy
′′ =ρρ
ρρ
ρρ
1 µ 12
12
3 , ′′ = − −ρρ
ρρ
ρρ
2 ( )1 12
12
3µ ,
′′ = − − −ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
3 ( )1 13
13
3
23
23
3µ µ
v ramkax modeli obmeΩeno] zadaçi tr\ox til, robymo vysnovok pro nestijkist\
toçok libraci] L4 i L5 . OtΩe, spravedlyva taka teorema.
Teorema. Isnugt\ tra[ktori] systemy (10), qki asymptotyçno prytqhu-
gt\sq do toçok libraci] L4 j L5 pry t → – ∞ i t → ∞ , nezaleΩno vid zna-
çennq parametra µ , 0 < µ ≤ 1 / 2. Qk naslidok, toçky libraci] L4 i L5 ne-
stijki za Lqpunovym.
OderΩanyj vysnovok uzhodΩu[t\sq z raniße vidomym [13].
ZauvaΩennq 2. V ramkax zaproponovanoho pidxodu dopomiΩni funkci] x1 ,
x2 i v ne [ funkciqmy Lqpunova u ]x standartnomu sensi. Razom z tym dopo-
miΩna systema (25), wo zv’qzu[ ci funkci] na mnoΩyni nedodatnoho rivnq inteh-
rala Qkobi, dozvolq[ zrobyty vysnovok pro xarakter povedinky rozv’qzku v oko-
li rozhlqduvanyx poloΩen\ rivnovahy doslidΩuvano] systemy. Qkwo vraxuvaty,
wo ostannq naleΩyt\ do katehori] krytyçnyx za Lqpunovym system, to rozhlq-
nuta realizaciq ideolohi] druhoho metodu Lqpunova svidçyt\ pro nevyçerpani
moΩlyvosti danoho metodu. I tut ne tak istotno, wo z joho dopomohog pidtver-
dΩu[t\sq raniße otrymanyj rezul\tat, skil\ky vaΩlyvo te, wo druhyj metod
pracg[ v sytuaci], de zdavalosq b vaΩko rozraxovuvaty na efektyvne joho zas-
tosuvannq.
ZauvaΩennq 3. Xotilosq b zvernuty uvahu na takyj fakt. Zminna ζ vxo-
dyt\ u perßi dva rivnqnnq systemy (10) nelinijnym çynom, tobto v linijnomu na-
blyΩenni systema (10) rozpada[t\sq na dvi pidsystemy. OtΩe, v c\omu vypadku
moΩna hovoryty, wo po zminnij ζ v systemi (10) zv’qzok [ slabkym. Same vlas-
tyvist\ slabkoho zv’qzku po ζ v systemi (10) porqd zi strukturog intehrala
Qkobi v formi (22) my istotno vykorystovu[mo v naßomu doslidΩenni. Zokrema,
rozhlqdagçy rux systemy (10) na mnoΩyni nedodatnoho rivnq intehrala Qkobi,
pryxodymo do dopomiΩno] systemy (25), v qkij slabkyj zv’qzok po zminnij ζ za-
miwu[t\sq syl\nißym zv’qzkom po zminnij v . Qkraz zavdqky perexodu vid sys-
temy (10) zi slabkym zv’qzkom po ζ do systemy (25) z syl\nißym zv’qzkom po v
nam vdalosq pytannq pro stijkist\ vyxidno] nehrubo] systemy zvesty do rozhlq-
du hrubo] dopomiΩno] systemy, radykal\no sprostyvßy tym samym doslidΩennq
stijkosti.
3. Vysnovky. Vstanovlenyj fakt nestijkosti toçok libraci] L4 i L5 , ta
we na pidstavi analizu lyße linijnoho nablyΩennq deqko] dopomiΩno] systemy,
vyhlqda[ dewo nespodivanym.
Qk moΩna bulo perekonatysq, moΩlyvist\ perexodu vid systemy rivnos-
tej9(15) do dopomiΩno] systemy (25) istotno pov’qzana zi strukturog intehrala
Qkobi. Same na bazi intehrala Qkobi v formi (22) doslidΩennq stijkosti vdalo-
sq zvesty do systemy menßo] rozmirnosti, linijne nablyΩennq qko] dozvolq[
vstanovyty isnuvannq asymptotyçnyx rozv’qzkiv i, qk naslidok, dovesty nestij-
kist\ rozhlqduvanyx toçok libraci]. Takym çynom, doslidΩennq systemy, qka
vidpovida[ krytyçnomu za Lqpunovym vypadku, vdalosq zvesty do vypadku hrubo]
systemy. V deqkomu sensi ma[mo unikal\nu sytuacig, wo, mabut\, vidobraΩa[
specyfiku prostorovo] obmeΩeno] zadaçi tr\ox til.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
PRO ODNU NETYPOVU SXEMU ZASTOSUVANNQ DRUHOHO METODU LQPUNOVA 1563
Zazvyçaj, koly mova jde pro nestijkist\ system, wo magt\ vyhlqd (10), ce
pov’qzugt\ z vykonannqm deqkyx rezonansnyx rivnostej, qki zadovol\nqgt\
vlasni çastoty linijnoho nablyΩennq systemy. V doslidΩuvanomu Ω vypadku
nestijkist\ toçok libraci] L4 i L5 vdalosq dovesty nezaleΩno vid toho, ra-
cional\no zaleΩni çy ni vlasni çastoty linijnoho nablyΩennq systemy (10). Ta-
kym çynom, u vypadku prostorovo] obmeΩeno] zadaçi tr\ox til ma[mo sytuacig,
koly formal\nij stijkosti systemy (stijkist\ za Birkhofom [16]) vidpovida[
nestijkist\ za Lqpunovym (por. z [17]). Ce, mabut\, odna iz najbil\ß qskravyx i
netryvial\nyx vlastyvostej doslidΩuvano] systemy.
Qkwo ne vyxodyty za ramky standartnyx pidxodiv i obmeΩyty doslidΩennq
stijkosti toçok libraci] systemog rivnqn\ (10), to neodminno vynyka[ neobxid-
nist\ v takomu ]] analizi, qkyj by vraxovuvav nelinijni dodanky v ]] pravij çasty-
ni. Pry c\omu zalyßa[t\sq vidkrytym pytannq, do qkoho porqdku vklgçno na-
leΩyt\ vraxovuvaty nelinijnosti, wob zrobyty vysnovok pro stijkist\ (nestij-
kist\). Zaproponovanyj Ωe pidxid, wo ©runtu[t\sq na konstrukci] deqko] dopo-
miΩno] systemy nyΩço] rozmirnosti, dozvolq[ zrobyty vidpovidnyj vysnovok na
pidstavi ]] linijnoho nablyΩennq. Tym samym moΩemo stverdΩuvaty, wo linijne
nablyΩennq dopomiΩno] systemy (25) vidobraΩa[ prynajmni deqki z tyx vlasty-
vostej rozv’qzkiv vyxidno] systemy, qki v samij vyxidnij systemi moΩna vyqvyty,
vykorystavßy lyße nelinijnyj analiz. Pravda, neobxidno maty na uvazi, wo do-
pomiΩna systema (25) [ nablyΩenog, a tomu, vraxovugçy konservatyvnist\ vy-
xidno] systemy, na efektyvnist\ zaproponovanoho pidxodu moΩna rozraxovuvaty
lyße todi, koly mova jde pro nestijkist\.
1. Gascheau M. Exsamen d’une classe d’èquations differentielles et application à un cas particulier
du probléme des trois corps // Comptes Rend. – 1843. – 16. – P. 393 – 394.
2. Routh E. J. On Laplace’s three particles, with a supplement on the stability of steady motion //
Proc. London Math. Soc. – 1874. – 6. – P. 86 – 97.
3. Arnol\d V. Y., Kozlov V. V., Nejßtadt A. Y. Matematyçeskye aspekt¥ klassyçeskoj y ne-
besnoj mexanyky. – M.: URSS, 2002. – 414 s.
4. Kolmohorov A. N. O soxranenyy uslovno-peryodyçeskyx dvyΩenyj pry malom yzmenenyy
funkcyy Hamyl\tona // Dokl. AN SSSR. – 1954. – 98, # 4. – S. 527 – 530.
5. Arnol\d V. Y. Dokazatel\stvo teorem¥ A. N. Kolmohorova o soxranenyy uslovno-peryody-
çeskyx dvyΩenyj pry malom yzmenenyy funkcyy Hamyl\tona // Uspexy mat. nauk. – 1963. –
18, v¥p. 5. – S. 13 – 40.
6. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus // Nachr. Akad. Wiss.
Göttingen. II Math.-phys. Kl. – 1962. – 1. – P. 1 – 20.
7. Leontovyç A. M. Ob ustojçyvosty lahranΩev¥x peryodyçeskyx reßenyj v ohranyçennoj
zadaçe trex tel // Dokl. AN SSSR. – 1962. – 143, # 3. – S. 525 – 528.
8. Deprit A., Deprit-Bartholomé A. Stability of the triangular Lagrangian points // Astron. J. – 1967. –
72, # 2. – P. 173 – 179.
9. Markeev A. P. Toçky lybracyy v nebesnoj mexanyke y kosmodynamyke. – M.: Nauka, 1978. –
312 s.
10. Sokol\skyj A. H. Dokazatel\stvo ustojçyvosty lahranΩev¥x reßenyj pry krytyçeskom
sootnoßenyy mass // Pys\ma v Astron. Ωurn. – 1978. – 4, # 3. – S. 148 – 152.
11. Sebexej V. Teoryq orbyt. Ohranyçennaq zadaça trex tel. – M.: Nauka, 1982. – 656 s.
12. Roj A. E. DvyΩenye po orbytam. – M.: Myr, 1981. – 544 s.
13. Sosnitskii S. P. On the stability of triangular Lagrangian points in the restricted three-body problem
// Astron. J. – 2008. – 135, # 1. – P. 187 – 195.
14. Lqpunov A. M. Obwaq zadaça ob ustojçyvosty dvyΩenyq // Sobr. soç. T. 2. – M.; L.: Yzd-vo
AN SSSR, 1956. – S. 7 – 263.
15. Nem¥ckyj V. V., Stepanov V V. Kaçestvennaq teoryq dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.;
L.: Hostexteoryzdat, 1949. – 550 s.
16. Birkhoff G. D. Dynamical systems // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. – 1927. – 9. – 296 p.
17. Douady R., Le Galvez P. Example de point fixe elliptique non topologiquement stable en dimen-
sion 4 // C. r. Acad.sci. A. – 1983. – 296, # 21. – P. 895 – 898.
OderΩano 05.05.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3121 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:37Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/75e1f18253b3c9af2cbc3d2e7d683083.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31212020-03-18T19:45:43Z On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method Про одну нетипову схему застосування другого методу Ляпунова Sosnitskii, S. P. Сосницький, С. П. The second Lyapunov method is applied to the analysis of stability of triangular libration points in a three-dimensional restricted circular three-body problem. It is shown that the triangular libration points are unstable. Второй метод Ляпунова применен к исследованию устойчивости треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Доказана неустойчивость треугольных точек либрации. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3121 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1557-1563 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1557-1563 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3121/2990 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3121/2991 Copyright (c) 2009 Sosnitskii S. P. |
| spellingShingle | Sosnitskii, S. P. Сосницький, С. П. On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method |
| title | On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method |
| title_alt | Про одну нетипову схему застосування другого методу Ляпунова |
| title_full | On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method |
| title_fullStr | On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method |
| title_full_unstemmed | On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method |
| title_short | On one atypical scheme of application of the second Lyapunov method |
| title_sort | on one atypical scheme of application of the second lyapunov method |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3121 |
| work_keys_str_mv | AT sosnitskiisp ononeatypicalschemeofapplicationofthesecondlyapunovmethod AT sosnicʹkijsp ononeatypicalschemeofapplicationofthesecondlyapunovmethod AT sosnitskiisp proodnunetipovushemuzastosuvannâdrugogometodulâpunova AT sosnicʹkijsp proodnunetipovushemuzastosuvannâdrugogometodulâpunova |