Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class
We present the solutions of the initial-value problem in the entire space and the solutions of the boundary-value and initial-boundary-value problems for the wave equation $$\frac{∂^2U(t,x)}{∂x^2} = Δ_LU(t,x)$$ with infinite-dimensional Lévy Laplacian $Δ_L$ in the class of Gâteaux functions.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3122 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509158623674368 |
|---|---|
| author | Feller, M. N. Феллер, М. Н. Феллер, М. Н. |
| author_facet | Feller, M. N. Феллер, М. Н. Феллер, М. Н. |
| author_sort | Feller, M. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:43Z |
| description | We present the solutions of the initial-value problem in the entire space and the solutions of the boundary-value and initial-boundary-value problems for the wave equation
$$\frac{∂^2U(t,x)}{∂x^2} = Δ_LU(t,x)$$
with infinite-dimensional Lévy Laplacian $Δ_L$ in the class of Gâteaux functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517. 9
M. N. Feller (Kyev)
KRAEVÁE ZADAÇY DLQ VOLNOVOHO URAVNENYQ
S LAPLASYANOM LEVY V KLASSE HATO
Solutions are presented for an initial problem in the whole space, for boundary-value and initial
boundary-value problems for the wave equation with the infinite-dimensional Lévy Laplacian ∆ L
∂
∂
2
2
U t x
x
( , )
= ∆ L U t x( , ) in the class of Gâteaux functions.
Navedeno rozv’qzky poçatkovo] zadaçi u vs\omu prostori, krajovo] ta poçatkovo-krajovo] zadaç
dlq xvyl\ovoho rivnqnnq z neskinçennovymirnym laplasianom Levi ∆ L
∂
∂
2
2
U t x
x
( , )
= ∆ L U t x( , )
u klasi funkcij Hato.
1. Vvedenye. Beskoneçnomern¥j laplasyan vvel P. Levy [1]. Teoryq lynejn¥x
πllyptyçeskyx y parabolyçeskyx uravnenyj s laplasyanom Levy v nastoqwee
vremq dostatoçno razvyta (sm., naprymer, [2]). Naprotyv, publykacyj po lynej-
n¥m hyperbolyçeskym uravnenyqm s laplasyanom Levy, poΩaluj, net.
Dannaq stat\q posvqwena reßenyqm zadaçy Koßy (naçal\noj zadaçe vo vsem
prostranstve), kraevoj y naçal\no-kraevoj zadaç dlq volnovoho uravnenyq s
laplasyanom Levy
∂
∂
=
2
2
U t x
t
U t xL
( , )
( , )∆
dlq fundamental\n¥x oblastej v klasse funkcyj R. Hato.
Takye zadaçy v ewe odnom vaΩnom klasse — klasse funkcyj H. E. Íylova
[3], v kotorom laplasyan Levy qvlqetsq „proyzvodnoj”, budut rassmotren¥ v
druhoj stat\e.
V klasse funkcyj Hato laplasyan Levy otngd\ ne qvlqetsq „proyzvodnoj”
(sm. formulu (4)). ∏to pozvolylo dlq volnovoho uravnenyq s laplasyanom Le-
vy poluçyt\ reßenye zadaçy Koßy v klassyçeskoj postanovke (teorema 1).
Vproçem, dlq zadaç s hranyçn¥my uslovyqmy (teorem¥ 3 – 5) postanovka otly-
çaetsq ot tradycyonnoj postanovky zadaç dlq koneçnomernoho volnovoho urav-
nenyq.
2. Predvarytel\n¥e svedenyq. Pust\ H — sçetnomernoe vewestvennoe
hyl\bertovo prostranstvo. Rassmotrym skalqrn¥e funkcyy F x( ) na H ,
x H∈ .
Dlq funkcyy F x( ) , dvaΩd¥ syl\no dyfferencyruemoj v toçke x0 , lap-
lasyan Levy v πtoj toçke opredelqetsq, esly on suwestvuet, formuloj
∆L
n
k k H
k
n
F x
n
F x f f( ) lim ( ) ,0 0
1
1
= ′′( )
→ ∞ =
∑ , (1)
hde ′′F x( ) — hessyan funkcyy F x( ) , fk{ }∞
1 — v¥brann¥j ortonormyrovann¥j
bazys v H. Laplasyan Levy zavysyt, voobwe hovorq, ot v¥bora bazysa.
V çastnosty, pust\ H L= 2 0 1( , ) — hyl\bertovo prostranstvo funkcyj
x s( ) , yntehryruem¥x s kvadratom na 0 1,[ ] .
Esly funkcyq F x( ) dvaΩd¥ syl\no dyfferencyruema v toçke x ∈ L2 0 1( , )
y vtoroj dyfferencyal ymeet vyd
© M. N. FELLER, 2009
1564 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
KRAEVÁE ZADAÇY DLQ VOLNOVOHO URAVNENYQ S LAPLASYANOM LEVY … 1565
d F x h
F x
x s
h s ds
F x
x s
2
2
2
0
1
2
2
( ; )
( )
( )
( )
( )
( )
= +∫
δ
δ
δ
δ δδ τ
τ τ
x
h s h ds d
( )
( ) ( )
0
1
0
1
∫∫ ,
hde vtoraq varyacyonnaq proyzvodnaq
δ
δ
2
2
F x
x s
( )
( )
y vtoraq smeßannaq varyacyon-
naq proyzvodnaq
δ
δ δ τ
2F x
x s x
( )
( ) ( )
funkcyy F x( ) neprer¥vn¥ sootvetstvenno po s
y s, τ (h ∈ L2 0 1( , ) ), to hovorqt, çto d F x h2 ( ; ) ymeet normal\nug formu [1].
Oboznaçym çerez B mnoΩestvo vsex ravnomerno plotn¥x bazysov v L2 0( ,
1) , t.Le. takyx ortonormyrovann¥x bazysov fk{ }∞
1 v L2 0 1( , ) , çto
lim ( , ) ( , )( , ) ( , )
n
n L Ly y
→ ∞
=ϕ
2 20 1 0 11 ∀ ∈y L2 0 1( , ) ,
hde ϕn s( ) =
1 2
1n
f skk
n
( )
=∑ .
Ymeet mesto sledugwee utverΩdenye (sm. [1, 2]). Esly funkcyq F x( )
dvaΩd¥ syl\no dyfferencyruema y vtoroj dyfferencyal ymeet normal\nug
formu, to
∆LF x
F x
x s
ds( )
( )
( )
= ∫
δ
δ
2
2
0
1
(2)
dlq proyzvol\noho bazysa yz B.
Oboznaçym çerez Ω ohranyçennug oblast\ v hyl\bertovom prostranstve H
(t.Le. ohranyçennoe otkr¥toe mnoΩestvo v H), çerez Ω Ω Γ= ∪ oblast\ v
prostranstve H s poverxnost\g Γ.
Opredelym oblast\ Ω s poverxnost\g Γ sledugwym obrazom:
Ω = ∈ ≤ <{ }x H Q x R: ( )0 2 , Γ = ∈ ={ }x H Q x R: ( ) 2
,
hde Q x( ) — dvaΩd¥ syl\no dyfferencyruemaq funkcyq takaq, çto
∆L Q x( ) = γ , γ — postoqnnoe poloΩytel\noe ne ravnoe nulg çyslo. Takye
oblasty y takye poverxnosty naz¥vagt fundamental\n¥my.
Prymeramy fundamental\n¥x oblastej qvlqgtsq:
1) ßar Ω = ∈ ≤{ }x H x RH: 2 2
;
2) πllypsoyd Ω = ∈{x H : ( , )Bx x H ≤ R2} , hde B = γ E A x+ ( ) , E — edy-
nyçn¥j operator, a A x( ) — vpolne neprer¥vn¥j operator v H.
Vvedem funkcyg
T x
R Q x
( )
( )
=
−2
γ
.
Funkcyq T x( ) obladaet takymy svojstvamy:
0
2
< ≤T x
R
( )
γ
pry x ∈ Ω ,
T x( ) = 0 pry x ∈ Γ , ∆L T x( ) = −1 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1566 M. N. FELLER
3. Klass funkcyj Hato. Pust\ H L= 2 0 1( , ) . Oboznaçym çerez G klass
funkcyj Hato — sovokupnost\ funkcyj vyda
F x f x t x t t t dt dtN N N( ) ( ), , ( ); , ,= … … …( ) …∫∫ 1 1 1
0
1
0
1
, (3)
hde f N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… — neprer¥vnaq funkcyq 2N peremenn¥x (–L∞ <
< ξk < ∞, 0 ≤ tk ≤ 1, k = 1, 2, … , N ).
Oboznaçym çerez G
∗
funkcyy yz G, proyzvodqwaq funkcyq kotor¥x yme-
et neprer¥vn¥e proyzvodn¥e vtoroho porqdka po ξ ξ1, ,… N . Tohda dlq F ∈
∈ G∗
ymeet mesto formula
∆L
k x tk
N
NF x
f
dt dt
k k
( )
( )
= …
∂
∂
…
==
∑∫∫
2
2
10
1
0
1
1
ξ ξ
(4)
dlq proyzvol\noho bazysa yz B.
Dejstvytel\no, vtoroj dyfferencyal funkcyy F x( ) , ymegwej vyd (3),
raven
d F x h
f
h t d
k x tk
N
k
k k
2
2
2
10
1
0
1
2( ; ) ( )
( )
= …
∂
∂ ==
∑∫∫ ξ ξ
tt dtN1 … +
+ …
∂
∂ ∂
==
≠
∑∫∫
2
10
1
0
1
f
h t h t
j k x tj k
j k
N
j k
i i
ξ ξ
ξ ( ),
( ) ( )) dt dtN1 … =
= …
∂
∂
== =
≠
∑∫∫ ∏
2
2
10
1
0
1
1
f
dt
k x sk
N
i
i
i k
N
k
ξ ξ ( )
∫
0
1
2h s ds( ) +
+ …
∂
∂ ∂
==
≠
∑∫∫
2
10
1
0
1
f
h t h t
j k x tj k
j k
N
j k
i i
ξ ξ
ξ ( ),
( ) ( )) dt dtj k
y, znaçyt, d F x h2 ( ; ) ymeet normal\nug formu, a
δ
δ ξ ξ
2
2
2
2
10
1
0
1
F x
x s
f
dt
k x sk
N
i
i
k
( )
( ) ( )
= …
∂
∂ ==
∑∫∫
==
≠
∏
1
i k
N
.
Sohlasno (2) ymeem
∆L
k x tk
N
NF x
f
dt dt
k k
( )
( )
= …
∂
∂
…
==
∑∫∫
2
2
10
1
0
1
1
ξ ξ
.
3.1. Naçal\naq zadaça s odnorodn¥m kraev¥m uslovyem. 1. Vnaçale
rassmotrym naçal\nug zadaçu vo vsem prostranstve
∂
∂
=
2
1
2 1
V t x
t
V t xL
( , )
( , )∆ , t > 0, (5)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
KRAEVÁE ZADAÇY DLQ VOLNOVOHO URAVNENYQ S LAPLASYANOM LEVY … 1567
V x F x1 0( , ) ( )= , (6)
∂
∂
=
=
V t x
t t
1
0
0
( , )
, (7)
hde V t x1( , ) — funkcyq na 0, T[ ] × H, F x( ) — zadannaq funkcyq.
Teorema 1. Pust\ funkcyq F x( ) ∈ ∗
G ,
F x f x t x t t t dt dtN N N( ) ( ), , ( ); , ,= … … …( ) …∫∫ 1 1
0
1
0
1
1 ,
takaq, çto proyzvodqwaq funkcyq f N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… ymeet v RN
neprer¥vn¥e proyzvodn¥e po ξ ξ1, ,… N do porqdka N + 3, kotor¥e vmeste
s f N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… prynadleΩat L( )RN
y ravn¥ nulg na beskoneç-
nosty.
Tohda reßenye zadaçy (5) – (7) zadaetsq formuloj
V t x f y y t t
N N N
R
1 2
0
1
0
1
1 1
1
2
( , )
( )
( , , ; , , )/= … … …∫∫ π
�
NN
∫ ×
× cos t y e dy dy dtk
k
N i x t y
N
k kk
N
2
1
1
1
=
∑
∑ …= ( )
11 … dtN , (8)
hde
�f y y t tN N( , , ; , , )1 1… … =
=
1
2 2 1 1
1
( )
( , , ; , , )/π
ξ ξ ξ
ξ
N N N
R
i y
f t t e d
N
k kk
N
… … ∑∫
− =
11 … d Nξ
— preobrazovanye Fur\e funkcyy f N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… .
Dokazatel\stvo. Yz (8) ymeem
∂
∂
V t x
t
1( , )
= − … … …∫∫ ∫
1
2 2
0
1
0
1
1 1
( )
( , , ; , , )/π N N N
R
f y y t t
N
� ×
× y t y e dk
k
N
k
k
N i x t yk kk
N
2
1
2
1
1
= =
∑ ∑
∑ =sin
( )
yy dy dt dtN N1 1… … , (9)
∂
∂
2
1
2
V t x
t
( , )
= − … … …∫∫ ∫
1
2 2
0
1
0
1
1 1
( )
( , , ; , , )/π N N N
R
f y y t t
N
� ×
× y t y e dk
k
N
k
k
N i x t yk kk
N
2
1
2
1
1
= =
∑ ∑
∑ =cos
( )
yy dy dt dtN N1 1… … . (10)
Yz (8), yspol\zuq formulu (4), naxodym
∆LV t x1( , ) =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1568 M. N. FELLER
= − … … …∫∫ ∫
1
2 2
0
1
0
1
1 1
( )
( , , ; , , )/π N N N
R
f y y t t
N
� ×
× cos t y y e dk
k
N
k
k
N i x t yk kk
N
2
1
2
1
1
= =
∑ ∑
∑ = ( )
yy dy dt dtN N1 1… … . (11)
Podstavlqq (10) y (11) v uravnenye (5), poluçaem toΩdestvo.
Polahaq v (8) y v (9) t = 0, ubeΩdaemsq, çto
V x1 0( , ) = … … …∫∫ ∫
1
2 2
0
1
0
1
1 1
( )
( , , ; , , )/π N N N
R
f y y t t
N
� ×
× e dy dy dt dt
i x t y
N N
k kk
N ( )=∑ … …1
1 1 =
= … … …( ) … =∫∫ f x t x t t t dt dt F xN N N( ), , ( ); , , ( )1 1
0
1
0
1
1 ,
∂
∂
=
=
V t x
t t
1
0
0
( , )
.
Teorema dokazana.
Zametym, çto v klasse funkcyj Hato reßenye naçal\noj zadaçy dlq volno-
voho uravnenyq s laplasyanom Levy poluçeno v klassyçeskoj postanovke.
2. Teper\ rassmotrym vspomohatel\nug zadaçu
∂
∂
=
2
2
2 2
V t x
t
V t xL
( , )
( , )∆ , t > 0, x ∈ Ω , (12)
V x2 0 0( , ) = , (13)
V t x V t x2 1( , ) ( , )Γ = . (14)
Teorema 2. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥ 1. Krome toho, pust\
ψ( )0 0= , hde ψ( )t = t f t tN
N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… . PredpoloΩym, çto ob-
last\ Ω fundamental\na, Ω = x H∈{ : 0 ≤ Q x( ) ≤ R2} , ∆L Q x( ) = cosnt.
Tohda reßenye zadaçy (12) – (14) zadaetsq formuloj
V t x2( , ) =
= … … …∫∫ ∫
∞
1
2
2
2
0
1
0
1
1 1
0( )
ˆ( , , , ; , , )/π π
β
N N N
R
h y y t t
N
∫∫ ×
× e t e d dy
T x y i x t ykk
N
k kk
N( ) ( )
sin
β
β β
2 2
1 1
−
= =∑ ∑
11 1… …dy dt dtN N , (15)
hde
ˆ( , , ,h y yNβ 1 … ; t tN1, , )… =
2
1 10π
τh y y t tN N( , , , ; , , )… …
∞
∫ sin βτ τd —
synus-preobrazovanye Fur\e funkcyy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
KRAEVÁE ZADAÇY DLQ VOLNOVOHO URAVNENYQ S LAPLASYANOM LEVY … 1569
h t y y t tN N( , , , ; , , )1 1… … =
=
1
2 2 1 1
( )
( , , ; , , )/π
ξ ξ
N
N
N N
R
t f t t t t
N
… …∫ ×
× cos t y e d dk
k
N it y
N
kk
N
k2
1
1
1
=
−∑
∑ …= ξ
ξ ξ .
Dokazatel\stvo. Zametym, çto poskol\ku po uslovyg ψ( )0 0= , to h(0 ,
y yN1, ,… ; t tN1, , )… = 0.
Yz (15) ymeem
∂
∂
= − … … …
2
2
2 2 1 1
1
2
2V t x
t
h y y t
N N
( , )
( )
ˆ( , , , ; , ,/π π
β ttN
RN
)
00
1
0
1 ∞
∫∫∫∫ ×
× e t e d
T x y i x t ykk
N
k kk
N( ) ( )
sin
β
β β β
2 2
1 12−
= =∑ ∑
ddy dy dt dtN N1 1… … (16)
y
∆L N N NV t x h y y t t2 2 1 1
0
1
2
2
( , )
( )
ˆ( , , , ; , , )/= … … …
π π
β
∞∞
∫∫∫∫
RN0
1
0
1
×
× β
β2 2
1
2 2
1−
∑
=
−
∑ =y e Tk
k
N T x y
L
kk
N( )
(∆ xx) ×
× sin
( )
t e d dy dy dt dt
i x t y
N N
k kk
N
β β=∑ … …1
1 1 –
– … … …
∞
∫∫∫
1
2
2
2 1 1
00
1
0
1
( )
ˆ( , , , ; , , )/π π
β
N N N
R
h y y t t
N
∫∫
−
=∑
e
T x ykk
N( ) β2 2
1 ×
× sin
( )
t y e d dy dy dt dtk
i x t y
N N
k
N
k kk
N
β β2
1 1
1
1=∑ … …
=
∑ .
Poskol\ku ∆L T x( ) = – 1, to
∆L N N NV t x h y y t t2 2 1 1
1
2
2
( , )
( )
ˆ( , , , ; , , )/= − … … …
π π
β
000
1
0
1 ∞
∫∫∫∫
RN
×
× e t e d
T x y i x t ykk
N
k kk
N( ) ( )
sin
β
β β β
2 2
1 12−
= =∑ ∑
ddy dy dt dtN N1 1… … . (17)
Podstavlqq (16) y (17) v uravnenye (12), poluçaem toΩdestvo.
Polahaq v (15) t = 0, ubeΩdaemsq, çto V x2 0( , ) = 0. Na poverxnosty Γ
T x( ) = 0, poπtomu yz (15) ymeem
V t x h t y y t t
N N N
RN
2 2 1 1
0
1
0
1
2
( , ) ( , , , ; , , )/Γ = … … …∫∫ π
11
∫ ×
× e dy dy dt dt
i x t y
N N
k kk
N ( )=∑ … …1
1 1 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1570 M. N. FELLER
= … … …∫∫∫∫
1
2
1 1
0
1
0
1
( )
( , , ; , , )
π
ξ ξ
N
N
N N
RR
t f t t t t
NN
×
× cos t y ek
k
N it y i x t ykk
N
k k kk2
1
1
=
− +∑
∑ = ξ ( )==∑ … … …1
1 1 1
N
d d dy dy dt dtN N Nξ ξ =
= … … …∫∫∫
1
2 2 1 1
0
1
0
1
( )
( , , ; , , )/π N N N
R
f y y t t
N
� ×
× cos t y e dy dy dtk
k
N i x t y
N
k kk
N
2
1
1
1
=
∑
∑ …= ( )
11 … dtN = V t x1( , ) .
Teorema dokazana.
3. Nakonec, rassmotrym naçal\nug zadaçu s odnorodn¥m kraev¥m uslovyem
dlq volnovoho uravnenyq s laplasyanom Levy
∂
∂
=
2
2
V t x
t
V t xL
( , )
( , )∆ , t > 0, x ∈ Ω , (18)
V x F x( , ) ( )0 = , (19)
V t x( , ) = 0 na Γ, (20)
hde V t x( , ) — funkcyq na 0, T[ ] × H, F x( ) — zadannaq funkcyq.
Teorema 3. Pust\ funkcyq F x( ) ∈ ∗
G ,
F x f x t x t t t dt dtN N N( ) ( ), , ( ); , ,= … … …( ) …∫∫ 1 1
0
1
0
1
1
( f N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… — funkcyq na R N2
). Krome toho, pust\ v¥polnq-
gtsq uslovyq teorem 1 y 2.
Tohda reßenye zadaçy (18) – (20) zadaetsq formuloj
V t x f y y t t
N N N
RN
( , )
( )
( , , ; , , )/= … … …∫∫
1
2 2 1 1
0
1
0
1
π
�∫∫ ×
× cos t y e dy dy dtk
k
N i x t y
N
k kk
N
2
1
1
1
=
∑
∑ …= ( )
11 … dtN –
– … … …∫∫∫
∞
1
2
2
2
0
1
0
1
1 1
0( )
ˆ( , , , ; , , )/π π
β
N
R
N N
N
h y y t t∫∫
−
=∑
e
T x ykk
N( ) β2 2
1 ×
× sin
( )
t e d dy dy dt dt
i x t y
N N
k kk
N
β β=∑ … …1
1 1 , (21)
hde
�f y yN( , ,1 … ; t tN1, , )… — preobrazovanye Fur\e funkcyy f N( , ,ξ ξ1 … ;
t tN1, , )… ,
ˆ( , , ,h y yNβ 1 … ; t tN1, , )… — synus-preobrazovanye Fur\e funkcyy
h t y y t t t f t tN N N
N
N( , , , ; , , )
( )
( , , ;/1 1 2 1
1
2
… … = …
π
ξ ξ tt tN
RN
1, , )…∫ ×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
KRAEVÁE ZADAÇY DLQ VOLNOVOHO URAVNENYQ S LAPLASYANOM LEVY … 1571
× cos t y e d dk
k
N it y
N
k kk
N
2
1
1
1
=
−∑
∑ …= ξ
ξ ξ .
Dokazatel\stvo. Sohlasno formule (21) y formulam (8) y (15), funkcyq
V t x V t x V t x( , ) ( , ) ( , )= −1 2 .
Funkcyq V t x( , ) udovletvorqet uravnenyg (18) poskol\ku
∂
∂
2
1
2
V t x
t
( , )
=
= ∆L V t x1( , ) ,
∂
∂
2
2
2
V t x
t
( , )
= ∆L V t x2( , )
, naçal\nomu uslovyg (19) (poskol\ku
V x1 0( , ) = F x( ) , V x2 0( , ) = 0) y kraevomu uslovyg (20) poskol\ku( V t x2( , ) Γ =
= V t x1( , )) . Takym obrazom, formula (21) opredelqet reßenye zadaçy (18)L–L(20).
Teorema dokazana.
3.2. Kraevaq zadaça s odnorodn¥m naçal\n¥m uslovyem. Rassmotrym
kraevug zadaçu s odnorodn¥m naçal\n¥m uslovyem dlq volnovoho uravnenyq s
laplasyanom Levy
∂
∂
=
2
2
W t x
t
W t xL
( , )
( , )∆ , t > 0, x ∈ Ω , (22)
W x( , )0 0= , (23)
W t x G t x( , ) ( , )= na Γ, (24)
hde W t x( , ) — funkcyq na 0, T[ ] × H, G t x( , ) — zadannaq funkcyq.
Teorema 4. Pust\ funkcyq G t x( , ) dvaΩd¥ dyfferencyruema po t y
G t x( , ) ∈ ∗
G ∀ ∈[ ]t 0, T ,
G t x g t x t x t t t dt dtN N N( , ) , ( ), , ( ); , ,= … … …( ) …1 1 1
0
1
∫∫∫
0
1
g t N, , ,ξ ξ1 …(( ; t tN1, ,… ) — funkcyq na 0 2, T[ ] × )R N
. Pust\, krome toho,
g N0 1, , ,ξ ξ…( ; t tN1, , )… = 0, a funkcyy t g tk
N, , ,ξ ξ1 …( ; t tN1, , )… , k = 0,
1, 2, absolgtno yntehryruem¥ v 0, ∞[ ) .
PredpoloΩym, çto oblast\ Ω fundamental\na, Ω = x H∈{ : 0 ≤
≤ Q x( ) ≤ R2} , ∆L Q x( ) = const.
Tohda reßenye zadaçy (22) – (24) zadaetsq formuloj
W t x( , ) =
= … +( …∫∫∫ ∫
∞
1
2
2
22
0
1
0
1
1
0
1
( )
ˆ , ( ) ( ) ,/π π
γ
N
RN
g x t T x z ,, ( )x tN +
+ 2 1
1
2
2
2
1T x z t t e t e d dN N
T x zkk
N
( ) ; , , sin( )… ) ∑− =γ γ γ zz dz dt dtN N1 1… … , (25)
hde ˆ( , , ,g Nγ ξ ξ1 … ; t tN1, , )… =
2
10π
τ ξ ξg N( , , ,…
∞
∫ ; t t dN1, , ) sin… γ τ τ —
synus-preobrazovanye Fur\e funkcyy g N( , , , )τ ξ ξ1 … .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1572 M. N. FELLER
Dokazatel\stvo. Yz (25) ymeem
∂
∂
2
2
W t x
t
( , )
=
= − … +(∫∫∫ ∫
∞
1
2
2
22
0
1
0
1
2
1
0( )
ˆ , ( ) ( )/π π
γ γ
N
RN
g x t T x z11, , ( )… x tN +
+ 2 1
1
2
2
2
1T x z t t e t e d dN N
T x zkk
N
( ) ; , , sin( )… ) ∑− =γ γ γ zz dz dt dtN N1 1… … (26)
y
∆L W t x( , ) =
= … +(∫∫∫ ∫
∞
1
2
2
22
0
1
0
1
2
1
0
1
( )
ˆ , ( ) ( )/π π
γ γ
N
RN
g x t T x z ,, , ( )… x tN +
+ 2 1
2
T x z t t e T xN N
T x
L( ) ; , , ( )( )… ) γ ∆ ×
× sin t e d dz dz dt dt
z
N N
kk
N
γ γ
− =∑
… …
1
2
1 1
2
1 +
+ …
∂
∂
+
∂
∂
∞
∫
2 1
2 22
0
2
2π π ξ ξ( )
ˆ
( )
ˆ
( )/N
k
k
k
L
g z
T x
g
T x∆
∑−
=
=∑∫∫∫ e
z
k
N
R
kk
N
N
1
2
10
1
0
1 2
1 ×
× e t dz dz d dt dtT x
N N
( ) sinγ γ γ
2
1 1… … .
No ∆L T x( ) = – 1, a yntehryruq po çastqm, poluçaem
∂
∂
−
∂
∂
∑− =
2
2
1
2
1
2
2
1ˆ
( )
ˆg z
T x
g
e dz
k
k
k
zkk
N
ξ ξ
…… =
=
∑∫ dzN
k
N
RN
0
1
.
Poπtomu
∆L W t x( , ) =
= − … +(∫∫∫ ∫
∞
1
2
2
22
0
1
0
1
2
1
0( )
ˆ , ( ) ( )/π π
γ γ
N
RN
g x t T x z11, , ( )… x tN +
+ 2 1
1
2
2
2
1T x z t t e t e d dN N
T x zkk
N
( ) ; , , sin( )… ) ∑− =γ γ γ zz dz dt dtN N1 1… … . (27)
Podstavlqq (26) y (27) v uravnenye (22), poluçaem toΩdestvo.
Polahaq v (25) t = 0, ymeem W x( , )0 = 0.
Na poverxnosty Γ T x( ) = 0 y poπtomu yz (25) naxodym
W t x( , ) Γ =
= … … …( )∫∫ ∫
∞
2
0
1
0
1
1 1
0π
γˆ , ( ), , ( ); , ,g x t x t t tN N sin t d dt dtNγ γ 1 … =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
KRAEVÁE ZADAÇY DLQ VOLNOVOHO URAVNENYQ S LAPLASYANOM LEVY … 1573
= … … …( ) …∫∫ g t x t x t t t dt dtN N N, ( ), , ( ); , ,1 1 1
0
1
0
1
= G t x( , ) .
Teorema dokazana.
3.3. Naçal\no-kraevaq zadaça. Rassmotrym naçal\no-kraevug zadaçu dlq
volnovoho uravnenyq s laplasyanom Levy
∂
∂
=
2
2
U t x
t
U t xL
( , )
( , )∆ , t > 0, x ∈ Ω , (28)
U x F x( , ) ( )0 = , (29)
U t x G t x( , ) ( , )= na Γ, (30)
hde U t x( , ) — funkcyq na 0, T[ ] × H, F x( ) , G t x( , ) — zadann¥e funkcyy.
Teorema 5. Pust\ funkcyq F x( ) ∈ ∗
G ,
F x f x t x t t t dt dtN N N( ) ( ), , ( ); , ,= … … …( ) …∫∫ 1 1 1
0
1
0
1
,
hde f N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… — funkcyq na R N2
, neprer¥vno dyfferency-
ruemaq v kaΩdoj toçke ( , , )ξ ξ1 … N ∈ RN
, pryçem sama funkcyq y ee proyz-
vodn¥e do porqdka N + 3 summyruem¥ v RN
y ravn¥ nulg na beskoneçnosty.
Pust\ takΩe ψ( )0 0= , hde ψ( )t = t f t tN
N( , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… .
Krome toho, funkcyq G t x( , ) dvaΩd¥ dyfferencyruema po t y G t x( , ) ∈
∈ G
∗
∀ ∈[ ]t 0 1, ,
G t x g t x t x t t t dt dtN N N( , ) , ( ), , ( ); , ,= … … …( ) …1 1 1
0
1
∫∫∫
0
1
( g t N( , , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… — funkcyq na 0, T[ ] × R N2
). PredpoloΩym, çto
g N( , , ,0 1ξ ξ… ; t tN1, , )… = 0, a funkcyy t g tk
N( , , ,ξ ξ1 … ; t tN1, , )… , k =
= 0, 1, 2, absolgtno yntehryruem¥ v 0, ∞[ ) .
Pust\ oblast\ Ω fundamental\na, Ω = x H∈{ : 0 ≤ Q x( ) ≤ R2} ,
∆L Q x( ) = const.
Tohda reßenye zadaçy (28) – (30) zadaetsq formuloj
U t x( , ) =
= … … …∫∫∫
1
2 2 1 1
0
1
0
1
( )
( , , ; , , )/π N N N
R
f y y t t
N
� ×
× cos t y e dy dy dtk
k
N i x t y
N
k kk
N
2
1
1
1
=
∑
∑ …= ( )
11 … dtN –
– … … …
∞
∫∫∫
1
2
2
2 1 1
00
1
0
1
( )
ˆ( , , , ; , , )/π π
β
N N N
R
h y y t t
N
∫∫
−
=∑
e
T x ykk
N( ) β2 2
1 ×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
1574 M. N. FELLER
× sin
( )
t e d dy dy dt dt
i x t y
N N
k kk
N
β β=∑ … …1
1 1 +
+ … +( …∫∫∫ ∫
∞
1
2
2
22
0
1
0
1
1
0
1
( )
ˆ , ( ) ( ) ,/π π
γ
N
RN
g x t T x z ,, ( )x tN +
+ 2 1
1
2
2
2
1T x z t t e t e d dN N
T x zkk
N
( ) ; , , sin( )… ) ∑− =γ γ γ zz dz dt dtN N1 1… … , (31)
hde
�f y y t tN N1 1, , ; , ,… …( ) =
=
1
2 2 1 1
1
( )
( , , ; , , )/π
ξ ξ ξ
ξ
N N N
R
i y
f t t e d
N
k kk
N
… … ∑∫
− =
11 … d Nξ ,
ˆ , , , ; , ,h y y t tN Nβ 1 1… …( ) =
=
2
1 1
0π
τ βτ τh y y t t dN N( , , , ; , , ) sin… …
∞
∫ ,
h t y y t tN N( , , , ; , , )1 1… … =
1
2 2 1 1
( )
( , , ; , , )/π
ξ ξ
N
N
N N
R
t f t t t t
N
� … …∫ ×
× cos t y e d dk
k
N it y
N
k kk
N
2
1
1
1
=
∑
∑ …= ξ
ξ ξ ,
ˆ , , , ; , , ( , , , ; , ,g t t g t tN N N Nγ ξ ξ
π
τ ξ ξ1 1 1 1
2
… …( ) = … … )) sin
0
∞
∫ γ τ τd .
Dokazatel\stvo. Sohlasno formule (31) funkcyq U t x( , ) = V t x( , ) +
+ W t x( , ) , hde V t x( , ) opredelqetsq formuloj (21), a W t x( , ) — formu-
lojL(25).
Yz teorem 3 y 4 sleduet, çto funkcyq U t x( , ) udovletvorqet uravnenyg (28)
y dlq nee v¥polnqgtsq naçal\noe uslovye (29) y kraevoe uslovye (30).
Teorema dokazana.
1. Lévy P. Problémes concrets d’analyse fonctionnelle. – Paris: Gauthier-Villars, 1951. – 510 p.
2. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
3. Íylov H. E. O nekotor¥x voprosax analyza v hyl\bertovom prostranstve. I // Funkc. ana-
lyz y eho pryl. – 1967. – 1, # 2. – S. 81 – 90.
Poluçeno 29.04.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3122 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:39Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2e/2d61e68b8d564639aa491a0353e5182e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31222020-03-18T19:45:43Z Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class Краевые задачи для волнового уравнения с лапласианом Леви в классе Гато Feller, M. N. Феллер, М. Н. Феллер, М. Н. We present the solutions of the initial-value problem in the entire space and the solutions of the boundary-value and initial-boundary-value problems for the wave equation $$\frac{∂^2U(t,x)}{∂x^2} = Δ_LU(t,x)$$ with infinite-dimensional Lévy Laplacian $Δ_L$ in the class of Gâteaux functions. Наведено розв'язки початкової задачі у всьому просторі, крайової та початково-крайової задач $$\frac{∂^2U(t,x)}{∂x^2} = Δ_LU(t,x)$$ для хвильового рівняння з нескінченновимірним лапласіаном Леві $Δ_L$ у класі функцій Гато. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3122 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 11 (2009); 1564-1574 Український математичний журнал; Том 61 № 11 (2009); 1564-1574 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3122/2992 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3122/2993 Copyright (c) 2009 Feller M. N. |
| spellingShingle | Feller, M. N. Феллер, М. Н. Феллер, М. Н. Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class |
| title | Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class |
| title_alt | Краевые задачи для волнового уравнения с лапласианом Леви в классе Гато |
| title_full | Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class |
| title_fullStr | Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class |
| title_short | Boundary-value problems for the wave equation with Lévy Laplacian in the Gâteaux class |
| title_sort | boundary-value problems for the wave equation with lévy laplacian in the gâteaux class |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3122 |
| work_keys_str_mv | AT fellermn boundaryvalueproblemsforthewaveequationwithlevylaplacianinthegateauxclass AT fellermn boundaryvalueproblemsforthewaveequationwithlevylaplacianinthegateauxclass AT fellermn boundaryvalueproblemsforthewaveequationwithlevylaplacianinthegateauxclass AT fellermn kraevyezadačidlâvolnovogouravneniâslaplasianomlevivklassegato AT fellermn kraevyezadačidlâvolnovogouravneniâslaplasianomlevivklassegato AT fellermn kraevyezadačidlâvolnovogouravneniâslaplasianomlevivklassegato |