Monogenic functions in a biharmonic algebra
We present a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative biharmonic algebra by using analytic functions of complex variables. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions defined in different biharmonic planes. It is proved that every biha...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3125 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509159703707648 |
|---|---|
| author | Gryshchuk, S. V. Plaksa, S. A. Грищук, С. В. Плакса, С. А. Грищук, С. В. Плакса, С. А. |
| author_facet | Gryshchuk, S. V. Plaksa, S. A. Грищук, С. В. Плакса, С. А. Грищук, С. В. Плакса, С. А. |
| author_sort | Gryshchuk, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:55Z |
| description | We present a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative biharmonic algebra by using analytic functions of complex variables. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions defined in different biharmonic planes. It is proved that every biharmonic function in a bounded simply connected domain is the first component of a certain monogenic function defined in the corresponding domain of a biharmonic plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.96
S. V. Hrywuk, S. A. Plaksa (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
MONOHENNÁE FUNKCYY
V BYHARMONYÇESKOJ ALHEBRE*
We present a constructive description of monogenic functions taking values in a commutative
biharmonic algebra by using analytic functions of a complex variable. We establish the isomorphism
between algebras of monogenic functions defined in various biharmonic planes. We prove that every
biharmonic function in a bounded simply connected domain is the first component of a monogenic
function defined in the corresponding domain of a biharmonic plane.
Navedeno konstruktyvnyj opys monohennyx funkcij, wo nabuvagt\ znaçen\ u komutatyvnij bi-
harmoniçnij alhebri, za dopomohog analityçnyx funkcij kompleksno] zminno]. Vstanovleno izo-
morfizm miΩ alhebramy monohennyx funkcij, zadanymy v riznyx biharmoniçnyx plowynax. Do-
vedeno, wo koΩna biharmoniçna funkciq v obmeΩenij odnozv'qznij oblasti [ perßog komponen-
tog deqko] monohenno] funkci], zadano] u vidpovidnij oblasti biharmoniçno] plowyny.
Assocyatyvnug, kommutatyvnug nad polem kompleksn¥x çysel C alhebru vto-
roho ranha s edynycej, sohlasno rabote [1], budem naz¥vat\ byharmonyçeskoj,
esly v nej ymeetsq bazys e e1 2,{ } , udovletvorqgwyj uslovyqm
e e1
2
2
2 2
0+( ) = , e e1
2
2
2 0+ ≠ , (1)
kotor¥j takΩe budem naz¥vat\ byharmonyçeskym.
V rabote [1] dokazano, çto suwestvuet edynstvennaq byharmonyçeskaq alheb-
ra B, bazys kotoroj (zametym, çto on ne qvlqetsq byharmonyçeskym) sostoyt yz
edynyc¥ alhebr¥ 1 y πlementa ρ, dlq kotoroho ρ2 0= . Krome toho, tam Ωe
opysan¥ vse byharmonyçeskye bazys¥ e e1 2,{ } y pokazano, çto ony obrazugt
dvuparametryçeskoe semejstvo:
e1 1 2= +α α ρ , e i2 1 2
1
1
2
= ± + −
α α
α
ρ , (2)
hde i — mnymaq kompleksnaq edynyca, a kompleksn¥e çysla α1 0≠ , α2 mo-
hut b¥t\ v¥bran¥ proyzvol\no. Zdes\ y dalee vo vsex formulax, soderΩawyx
znak ±, odnovremenno v¥byragtsq lybo verxnye, lybo nyΩnye znaky.
Pod byharmonyçeskoj ploskost\g µe e1 2, budem ponymat\ lynejnug obo-
loçku µ ζe e xe ye
1 2 1 2, := ={ + : x, y ∈ }R πlementov e1 , e2 nad polem dejst-
vytel\n¥x çysel R.
Oblasty D dekartovoj ploskosty x Oy postavym v sootvetstvye konhruπnt-
*
V¥polnena pry çastyçnoj podderΩke Hosudarstvennoho fonda fundamental\n¥x yssledova-
nyj Ukrayn¥ (proekt #25.1/084) y Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥ # 0107U002027.
© S. V. HRYWUK, S. A. PLAKSA, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12 1587
1588 S. V. HRYWUK, S. A. PLAKSA
nug ej oblast\ D xe yeζ ζ:= ={ +1 2 : ( , )x y D∈ } v ploskosty µe e1 2, .
Poskol\ku v ravenstvax (2) α1 0≠ , to lgboj otlyçn¥j ot nulq πlement
byharmonyçeskoj ploskosty obratym. Poπtomu proyzvodnaq funkcyj, zadan-
n¥x v oblastqx byharmonyçeskoj ploskosty, opredelqetsq tak Ωe, kak y v
kompleksnoj ploskosty.
Tak, funkcyg Φ : Dζ → B budem naz¥vat\ monohennoj v oblasty Dζ , es-
ly v kaΩdoj toçke ζ ζ∈ D suwestvuet koneçn¥j predel
lim ( ) ( ) ( )
, ,h h e e
h h
→ ∈
−+ −( ) = ′
0
1
1 2µ
ζ ζ ζΦ Φ Φ ,
naz¥vaem¥j proyzvodnoj funkcyy Φ v toçke ζ.
Esly funkcyq
Φ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ζ = + + +U x y e U x y ie U x y e U x y1 1 2 1 3 2 4 iie2 ,
(3)
ζ = +xe ye1 2 ,
hde U Dk : → R , k = 1 4, , ymeet neprer¥vn¥e proyzvodn¥e do çetvertoho po-
rqdka vklgçytel\no v oblasty Dζ , to v sylu ravenstva
∆ Φ
Φ Φ Φ
Φ2
4
4
4
2 2
4
4
42:
( ) ( ) ( ) ( )=
∂
∂
+
∂
∂ ∂
+
∂
∂
=
ζ ζ ζ
x x y y
(( )ζ e e1
2
2
2 2
+( ) (4)
y uslovyq (1) kaΩdaq yz ee komponent U x yk ( , ) , k = 1 4, , qvlqetsq byharmo-
nyçeskoj funkcyej, t. e. udovletvorqet v oblasty D byharmonyçeskomu urav-
nenyg
∆2 0U x y( , ) = . (5)
Tak Ωe, kak y monohenn¥e funkcyy v kompleksnoj ploskosty, monohenn¥e
funkcyy v oblasty Dζ proyzvol\noj byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, ,
prynymagwye znaçenyq v byharmonyçeskoj alhebre B, v svog oçered\, obrazu-
gt alhebru, kotorug budem oboznaçat\ dalee M( , ),µ ζe e D
1 2
.
V rabote [2] rassmotren¥ monohenn¥e funkcyy, opredelenn¥e v oblastqx
odnoj yz byharmonyçeskyx ploskostej, byharmonyçeskyj bazys v kotoroj obra-
zugt πlement¥
e1 1= , e i
i
2
2
= − ρ , (6)
y ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq yx monohennosty (uslovyq
Koßy – Rymana), kotor¥e zapyßem zdes\ v svernutom vyde
∂
∂
=
∂
∂
Φ Φ( ) ( )ζ ζ
y x
e2 ∀ = + ∈ζ ζxe ye D1 2 . (7)
Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto funkcyq (3) qvlqetsq monohennoj v ob-
lasty Dζ proyzvol\noj byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, tohda y tol\ko
tohda, kohda ee komponent¥ U x yk ( , ) , k = 1 4, , dyfferencyruem¥ v oblasty
D y v¥polnqetsq ravenstvo
∂
∂
=
∂
∂
Φ Φ( ) ( )ζ ζ
y
e
x
e1 2 ∀ = + ∈ζ ζxe ye D1 2 . (8)
V dannoj rabote poluçeno konstruktyvnoe opysanye vsex monohenn¥x funk-
cyj v ploskosty µe e1 2, s pomow\g monohenn¥x funkcyj kompleksnoj pere-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
MONOHENNÁE FUNKCYY V BYHARMONYÇESKOJ ALHEBRE 1589
mennoj y ustanovlen yzomorfyzm meΩdu alhebramy monohenn¥x funkcyj, za-
dann¥x v razlyçn¥x byharmonyçeskyx ploskostqx. Pokazano takΩe, çto kaΩ-
daq byharmonyçeskaq v ohranyçennoj odnosvqznoj oblasty funkcyq qvlqetsq
pervoj komponentoj monohennoj funkcyy (3), kotoraq pry πtom najdena v
qvnom vyde.
1. Konstruktyvnoe opysanye monohenn¥x funkcyj v ploskosty µµe e1 2, .
Edynstvennomu maksymal\nomu ydealu J ≡ ∈{ }c cρ : C alhebr¥ B sootvetst-
vuet lynejn¥j neprer¥vn¥j funkcyonal f : B C→ , qdrom kotoroho qvlqet-
sq J y pry πtom f ( )1 1= . Oboznaçym çerez G oblast\ v C, na kotorug
funkcyonal f otobraΩaet oblast\ Dζ . Vvedem v rassmotrenye lynejn¥j ope-
rator A, kotor¥j kaΩdoj funkcyy Φ : Dζ → B stavyt v sootvetstvye funk-
cyg F GΦ : → C po formule F z fΦ Φ( ) : ( )= ( )ζ , hde ζ = xe ye1 2+ y z : =
= f ( )ζ = α1( )x iy± .
Tohda oçevydno, çto esly funkcyq Φ monohenna v oblasty Dζ , to F zΦ( ) =
= ( ) ( )AΦ z — monohennaq funkcyq kompleksnoj peremennoj z v oblasty G,
t.Qe. holomorfna, esly z = α1( )x iy+ , yly antyholomorfna v sluçae z =
= α1( )x iy− .
Analohyçno teoreme 2.4 yz [3] dokaz¥vaetsq sledugwee utverΩdenye.
Teorema 1. KaΩdaq monohennaq v oblasty Dζ funkcyq Φ: Dζ → B pred-
stavyma v vyde
Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζ
π
ζ ζ
γ
= − +−∫
1
2
1
0
i
t t dtA ∀ ∈ζ ζD , (9)
hde γ — proyzvol\naq zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq v oblasty
G, oxvat¥vagwaq toçku f ( )ζ , a Φ0 : Dζ → J — monohennaq v oblasty
Dζ funkcyq, prynymagwaq znaçenyq v ydeale J.
Zametym, çto kompleksnoe çyslo z f= ( )ζ qvlqetsq spektrom πlementa ζ
alhebr¥ B y yntehral v ravenstve (9) qvlqetsq hlavn¥m prodolΩenyem mono-
hennoj funkcyy F z z( ) ( ) ( )= AΦ kompleksnoj peremennoj z v oblast\ Dζ .
Yz teorem¥ 1 sleduet, çto alhebra M( , ),µ ζe e D
1 2
razlahaetsq v prqmug
summu alhebr¥ hlavn¥x prodolΩenyj v Dζ monohenn¥x funkcyj kompleks-
noj peremennoj y alhebr¥ monohenn¥x v Dζ funkcyj, prynymagwyx znaçenyq
v ydeale J.
V sledugwej teoreme opysan¥ vse monohenn¥e funkcyy, opredelenn¥e v ob-
lasty Dζ proyzvol\noj byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, so znaçenyqmy v
ydeale J s pomow\g monohenn¥x funkcyj kompleksnoj peremennoj.
Teorema 2. KaΩdaq monohennaq v oblasty Dζ funkcyq Φ0: ,Dζ → J pry-
nymagwaq znaçenyq v ydeale J, predstavyma v vyde
Φ0 0( ) ( )ζ ρ= F z ∀ ∈ζ ζD , (10)
hde F G0 : → C — monohennaq funkcyq kompleksnoj peremennoj z f= ( )ζ .
Dokazatel\stvo. Poskol\ku Φ0 prynymaet znaçenye v ydeale J, spra-
vedlyvo ravenstvo
Φ0 0( ) ( , )ζ ϕ ρ= x y ∀ = + ∈ζ ζxe ye D1 2 , (11)
hde ϕ0 : D → C .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1590 S. V. HRYWUK, S. A. PLAKSA
Dlq funkcyy (11) v¥polnqetsq uslovye monohennosty (8) pry Φ Φ= 0 :
∂
∂
=
∂
∂
ϕ
ρ
ϕ
ρ0
1
0
2
( , ) ( , )x y
y
e
x y
x
e ∀ ∈( , )x y D . (12)
Yspol\zuq v¥raΩenye obratnoho k e1 πlementa e1
1− =
1
1
1
2
1α
α
α
ρ−
y
sootnoßenyq (2), poluçaem ravenstvo ρ ρe e i1
1
2
− = ± , s uçetom kotoroho pryvo-
dym uslovye (12) k vydu
∂
∂
= ±
∂
∂
ϕ
ρ
ϕ
ρ0 0( , ) ( , )x y
y
i
x y
x
∀ ∈( , )x y D ,
otkuda, vsledstvye odnoznaçnosty razloΩenyq πlementov alhebr¥ B po bazysu
1, ρ{ } , poluçaem ravenstvo
∂
∂
= ±
∂
∂
ϕ ϕ0 0( , ) ( , )x y
y
i
x y
x
∀ ∈( , )x y D .
Sledovatel\no, funkcyq F z0( ) : = ϕ0( , )x y qvlqetsq monohennoj funkcyej
kompleksnoj peremennoj z = f xe ye( )1 2+ v oblasty G.
Teorema dokazana.
Teorema 3. KaΩdaq monohennaq v oblasty Dζ f u n k c y q Φ : Dζ → B
ymeet v Dζ proyzvodn¥e vsex porqdkov.
Dokazatel\stvo. Funkcyq Φ predstavlqetsq ravenstvom (9), v kotorom
yntehral ymeet proyzvodn¥e vsex porqdkov v oblasty Dζ , a monohennaq funk-
cyq Φ0 predstavyma v vyde (10) y, sledovatel\no, qvlqetsq beskoneçno dyf-
ferencyruemoj po peremenn¥m x, y funkcyej v oblasty D. Poπtomu proyz-
vodnaq ′Φ0 udovletvorqet v Dζ uslovyqm vyda (8), t.Qe. qvlqetsq monohennoj
funkcyej. Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto proyzvodn¥e vsex porqdkov
funkcyy Φ0 qvlqgtsq monohenn¥my funkcyqmy v oblasty Dζ .
Teorema dokazana.
Yz teorem¥ 3, ravenstva (4) y uslovyq (1) sleduet, çto komponent¥ U x yk ( , ) ,
k = 1 4, , kaΩdoj funkcyy (3), monohennoj v oblasty Dζ , udovletvorqgt by-
harmonyçeskomu uravnenyg (5) v oblasty D.
V sylu ravenstv (9), (10) vse monohenn¥e funkcyy Φ : Dζ → B mohut b¥t\
postroen¥ s pomow\g dvux proyzvol\n¥x kompleksnoznaçn¥x monohenn¥x
funkcyj F z( ) , F z0( ) kompleksnoj peremennoj z G∈ v vyde
Φ( ) ( ) ( ) ( )ζ
π
ζ ζ ρ
γ
= − + ( )−∫
1
2
1
0
i
F t t dt F f ∀ ∈ζ ζD . (13)
V rabote [2] postroen¥ v qvnom vyde hlavn¥e prodolΩenyq holomorfn¥x
funkcyj kompleksnoj peremennoj v byharmonyçeskug ploskost\ µe e1 2, , po-
stroennug na vektorax (6).
Hlavnoe prodolΩenye monohennoj funkcyy F z( ) kompleksnoj peremennoj
z = α1( )x iy G± ∈ v oblast\ Dζ proyzvol\noj byharmonyçeskoj ploskosty
µe e1 2, poluçym, yspol\zovav razloΩenye rezol\vent¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
MONOHENNÁE FUNKCYY V BYHARMONYÇESKOJ ALHEBRE 1591
( )
( )
t
t z
z iy
t z
− =
−
−
±
−
−ζ
α
α
ρ1
1
2
2
1 1
2
2
∀ = + ∈ζ ζxe ye D1 2 ∀ ∈t γ
po bazysu 1, ρ{ } . Takym obrazom,
1
2 2
1
1
2π
ζ
α
α
γi
F t t dt F z
F z
z
iy
( ) ( ) ( )
( )
− = − ′ ±
−∫ ρ ∀ = + ∈ζ ζxe ye D1 2 .
(14)
V çastnosty, esly α1 1= , α2 0= y bazysn¥e πlement¥ e1 , e2 byharmo-
nyçeskoj ploskosty µe e1 2, opredelen¥ ravenstvamy (6), to pravaq çast\ ra-
venstva (14) uprowaetsq y ravenstvo (13) prynymaet vyd
Φ( ) ( ) ( ) ( )ζ ρ= − ′ −
F z
iy
F z F z
2
0 ∀ = + ∈ζ ζx ye D2 , (15)
hde z ≡ f ( )ζ = x + i y ∈ G.
Zametym, çto v rabote [4] ravenstvo (15) zapysano neskol\ko v ynom vyde y
poluçeno dlq monohenn¥x funkcyj Φ pry dopolnytel\n¥x predpoloΩenyqx o
heometryy oblasty Dζ .
2. Ob yzomorfyzme alhebr monohenn¥x funkcyj, zadann¥x v razlyç-
n¥x byharmonyçeskyx ploskostqx. Rassmotrym snaçala vspomohatel\n¥e
utverΩdenyq.
Lemma 1. Pust\ byharmonyçeskye bazys¥ e e1 2,{ } y � �e e1 2,{ } svqzan¥ so-
otnoßenyqmy
�e e r1 1 1= + ρ , �e e r2 2 2= ± +( )ρ , r1 , r2 ∈C . (16)
Esly funkcyq Φ : Dζ → B monohenna v oblasty Dζ byharmonyçeskoj
ploskosty µe e1 2, , to funkcyq
� �Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ ρ= + ′ +xr yr1 2 (17)
qvlqetsq monohennoj v oblasty
� �Dζ :Q=
�ζ{ = xe ye� �1 2± : ζ = xe ye D1 2+ ∈ }ζ
byharmonyçeskoj ploskosty µ � �e e1 2, .
Dokazatel\stvo. DokaΩem, çto yz monohennosty funkcyy Φ( )ζ v oblas-
ty Dζ sleduet monohennost\ funkcyy (17) v oblasty
� �Dζ . S πtoj cel\g poka-
Ωem, çto dlq funkcyy
�Φ v¥polnqgtsq neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq
monohennosty vyda (8), t.Qe. uslovyq
∂
∂
= ±
∂
∂
� �
�
� �
�Φ Φ( ) ( )ζ ζ
y
e
x
e1 2 ∀ = ± ∈� � � �ζ ζxe ye D1 2 . (18)
V sylu monohennosty funkcyj Φ y ′Φ pry vsex ζ ζ∈ D spravedlyv¥ ra-
venstva
∂
∂
= ′
Φ
Φ
( )
( )
ζ
ζ
y
e2 ,
∂ ′
∂
= ′′
Φ
Φ
( )
( )
ζ
ζ
y
e2 . (19)
Teper\, uçyt¥vaq sootnoßenyq (16), (17) y (19), poluçaem ravenstva
∂
∂
=
∂
∂
+
∂ ′
∂
+ + ′
� �
�Φ Φ Φ( ) ( ) ( )
( )
ζ ζ ζ
ρ
y
e
y y
xr yr r1 1 2 2ΦΦ ( ) ( )ζ ρ ρ
+e r1 1 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1592 S. V. HRYWUK, S. A. PLAKSA
= � ′ + ′′ + + ′( ) +Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ) (ζ ζ ρ ζ ρe xr yr e r e r2 1 2 2 2 1 11ρ) =
= ′ + +( ) + ′′ +Φ Φ( ) ( ) ( ) ( )ζ ρ ζe e r e r e xr yr e e1 2 2 1 1 2 1 2 1 22 .
Analohyçno s uçetom ravenstv
∂
∂
= ′
Φ
Φ
( )
( )
ζ
ζ
x
e1 ,
∂ ′
∂
= ′′
Φ
Φ
( )
( )
ζ
ζ
x
e1 ,
spravedlyv¥x pry vsex ζ ζ∈ D vsledstvye monohennosty funkcyj Φ y ′Φ ,
naxodym
±
∂
∂
= ′ + +( ) + ′′
� �
�Φ
Φ Φ
( )
( ) ( ) (
ζ
ζ ρ
x
e e e r e r e2 1 2 2 1 1 2 ζζ) ( )xr yr e e1 2 1 2+ .
Takym obrazom, dlq funkcyy
�Φ v¥polnqgtsq uslovyq (18), t.Qe. ona mono-
henna v oblasty
� �Dζ .
Lemma dokazana.
Lemma 2. Pust\ byharmonyçeskye bazys¥ e e1 2,{ } , � �e e1 2,{ } svqzan¥ soot-
noßenyqmy (16) y funkcyq
� � �Φ : Dζ → B monohenna v oblasty
� �Dζ byharmo-
nyçeskoj ploskosty µ � �e e1 2, . Tohda suwestvuet edynstvennaq monohennaq v ob-
lasty Dζ :Q= ζ{ = xe ye1 2+ : �ζ = xe ye D� � � �1 2± ∈ }ζ byharmonyçeskoj ploskosty
µe e1 2, funkcyq Φ( )ζ , udovletvorqgwaq ravenstvu (17).
Dokazatel\stvo. Rassmotrym funkcyg
Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ ρ= − ′ +� � � � �xr yr e1 2 1
2
∀ ∈ζ ζD , (20)
monohennost\ kotoroj v oblasty Dζ ustanavlyvaetsq analohyçno tomu, kakQ
pry dokazatel\stve lemm¥ 1 dokazana monohennost\ funkcyy (17) v oblas-
tyQQ
� �Dζ .
DokaΩem, çto funkcyq (20) udovletvorqet ravenstvu (17). S πtoj cel\g um-
noΩym obe çasty ravenstva (20) na ρ y dalee, prodyfferencyrovav yx po x,
poluçym ravenstvo
∂
∂
=
∂
∂
Φ Φ( ) ( )ζ
ρ
ζ
ρ
x x
� �
∀ ∈ζ ζD . (21)
Teper\ s uçetom sootnoßenyj
∂
∂
� �Φ( )ζ
x
= � � �′Φ ( )ζ e1 ,
∂
∂
Φ( )ζ
x
= ′Φ ( )ζ e1 , �e e1 1ρ ρ= y
(21) poluçaem ravenstva
� � �
� �
�
� �
′ =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
Φ
Φ Φ Φ
( )
( ) ( ) (
ζ ρ
ζ
ρ
ζ
ρe
x
e
x
e1
2
1 1
ζζ
ρ ζ
)
( )
∂
= ′
x
e e1 1Φ ,
vsledstvye kotor¥x funkcyq (20) udovletvorqet ravenstvu (17).
DokaΩem, nakonec, edynstvennost\ monohennoj funkcyy Φ, udovletvorqg-
wej ravenstvu (17). Dlq πtoho dostatoçno pokazat\, çto funkcyy
�Φ ≡ 0 v D�ζ
sootvetstvuet lyß\ funkcyq Φ ≡ 0 v Dζ . Dejstvytel\no, pry
�Φ ≡ 0 soot-
noßenye (17) prynymaet vyd
Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ+ ′ + ≡xr yr1 2 0 . (22)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
MONOHENNÁE FUNKCYY V BYHARMONYÇESKOJ ALHEBRE 1593
UmnoΩaq toΩdestvo (22) poçlenno na ρ, poluçaem Φ( )ζ ρ ≡ 0 , otkuda, v svog
oçered\, sleduet toΩdestvo
′ + ≡Φ ( ) ( )ζ ρxr yr1 2 0 . (23)
Nakonec, sravnyvaq toΩdestva (22) y (23), ubeΩdaemsq v tom, çto Φ ≡ 0 .
Lemma dokazana.
Teorema 4. Pust\ byharmonyçeskyj bazys e e1 2,{ } obrazovan πlementa-
myQ(6), a � �e e1 2,{ } — proyzvol\n¥j byharmonyçeskyj bazys, πlement¥ kotoro-
ho predstavlen¥ ravenstvamy vyda (2). Pust\, krome toho, Dζ — oblast\
byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, y
� �Dζ :Q=
�ζ{ = xe ye� �1 2± : ζ = xe ye1 2+ ∈
∈ Dζ} — sootvetstvugwaq ej oblast\ byharmonyçeskoj ploskosty µ � �e e1 2, .
Tohda alhebr¥ M( , ),µ ζe e D
1 2
, M( , ),µ ζ� � ��
e e D
1 2
yzomorfn¥, pry πtom soot-
vetstvye meΩdu funkcyqmy Φ ∈ M( , ),µ ζe e D
1 2
y
�Φ ∈ M( , ),µ ζ� � ��
e e D
1 2
usta-
navlyvaetsq ravenstvom (17), v kotorom r1 2 1: /= α α , r2 : = i(α1
2 +
+ 2 11 2α α − ) / ( )2 1
2α , a α1 , α2 — te Ωe kompleksn¥e çysla, çto y v raven-
stvax vyda (2) dlq πlementov bazysa � �e e1 2,{ } .
Dokazatel\stvo. Rassmotrym byharmonyçeskyj bazys � �e e1
1
2
1( ) ( ),{ } takoj,
çto
� �e e1
1
1 1
( ) /= α , � �e e2
1
2 1
( ) /= α ,
y opredelym oblast\
�
�D
ζ( )
( )
1
1
:Q=
�ζ{ ( )1
= xe ye� �1
1
2
1( ) ( )± : ζ = xe ye1 2+ ∈ Dζ} v plos-
kosty µ � �e e1
1
2
1( ) ( ),
.
KaΩdoj funkcyy Φ ∈ M( , ),µ ζe e D
1 2
postavym v sootvetstvye funkcyg
�Φ( )1 ∈ M µ
ζ� � �
�
e e
D
1
1
2
1 1
1
( ) ( ) ( ),
( ),( ) po formule vyda (17). Poskol\ku πlement¥ bazysa
� �e e1
1
2
1( ) ( ),{ } svqzan¥ s πlementamy e1 , e2 sootnoßenyqmy vyda (16), v sylu
lemmQ1, 2 ukazannoe sootvetstvye meΩdu alhebramy M( , ),µ ζe e D
1 2
, M µ � �e e1
1
2
1( ) ( ),( ,
�
�D
ζ( )
( )
1
1 ) qvlqetsq vzaymno odnoznaçn¥m. Pry πtom yz ravenstv
� � � �Φ Φ1
1 1
2
1 1( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ( ) ( ) =
= Φ Φ Φ Φ1 1 1 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ζ ζ ρ ζ ζ+ ′ +( ) + ′ +xr yr xr yr22 ) ρ( ) =
= Φ Φ Φ Φ1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ ζ ρ+ ( )′ +xr yr
sleduet, çto proyzvedenye funkcyj
�Φ1
1( )
,
�Φ2
1( ) ∈ M µ
ζ� � �
�
e e
D
1
1
2
1 1
1
( ) ( ) ( ),
( ),( ) sootvetst-
vuet proyzvedenyg funkcyj Φ1 , Φ2 ∈ M( , ),µ ζe e D
1 2
, t.Qe. alhebr¥ M( ,µe e1 2
,
Dζ ) , M µ
ζ� � �
�
e e
D
1
1
2
1 1
1
( ) ( ) ( ),
( ),( ) yzomorfn¥.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1594 S. V. HRYWUK, S. A. PLAKSA
Nakonec, yzomorfyzm meΩdu alhebramy M µ
ζ� � �
�
e e
D
1
1
2
1 1
1
( ) ( ) ( ),
( ),( ) , M( , ),µ ζ� � ��
e e D
1 2
ustanavlyvaetsq s pomow\g ravenstva
� � � �Φ Φ( ) : ( ) ( )ζ ζ= ( )1 1
, � �ζ α ζ= 1
1( )
,
pry πtom monohennost\ funkcyy
�Φ v oblasty
� �Dζ qvlqetsq oçevydn¥m sled-
stvyem uslovyj monohennosty vyda (8) dlq funkcyy
�Φ( )1
y neravenstva α1 ≠
≠ 0.
Teorema dokazana.
Teper\ predstavlqetsq oçevydn¥m tot fakt, çto sohlasno teoremeQ4 v dal\-
nejßyx yssledovanyqx dostatoçno ohranyçyt\sq yzuçenyem monohenn¥x funk-
cyj v byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, , postroennoj na vektorax (6).
3. Predstavlenye byharmonyçeskyx funkcyj v vyde komponent mono-
henn¥x funkcyj. Vsgdu v dal\nejßem bazysn¥e πlement¥ e1 , e2 byharmony-
çeskoj ploskosty µe e1 2, opredelen¥ ravenstvamy (6).
PokaΩem, çto kaΩdaq funkcyq U x y1( , ) , byharmonyçeskaq v ohranyçennoj
odnosvqznoj oblasty D dekartovoj ploskosty x Oy, qvlqetsq pervoj kompo-
nentoj nekotoroj funkcyy (3), monohennoj v sootvetstvugwej oblasty Dζ
byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, .
Rassmotrym vspomohatel\n¥e utverΩdenyq.
Lemma 3. Lgbaq monohennaq funkcyq (3), u kotoroj U1 0≡ , ymeet vyd
Φ( )ζ = − + − − +( )i ax kx ay by n2 2 + e ay by c2
22 2+ +( ) +
+ ie axy bx ky m2 2− − + +( ) ∀ = +ζ xe ye1 2 , (24)
hde a, b, c, k, m, n — proyzvol\n¥e dejstvytel\n¥e postoqnn¥e.
Dokazatel\stvo. Uslovye monohennosty (7), zapysannoe pokomponentno,
ymeet vyd (sm. [2])
∂
∂
=
∂
∂
U x y
y
U x y
x
1 3( , ) ( , )
, (25)
∂
∂
=
∂
∂
U x y
y
U x y
x
2 4( , ) ( , )
, (26)
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
U x y
y
U x y
x
U x y
x
3 1 42
( , ) ( , ) ( , )
, (27)
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
U x y
y
U x y
x
U x y
x
4 2 32
( , ) ( , ) ( , )
. (28)
Podstavlqq funkcyg U1 0≡ v ravenstvo (25) y yntehryruq zatem eho po
peremennoj x, poluçaem
U x y u y3 3( , ) ( )= ∀ ∈( , )x y D . (29)
Zdes\ y dalee v dokazatel\stve çerez uk pry k = 2, 3, 4 oboznaçen¥ nekotor¥e
beskoneçno dyfferencyruem¥e funkcyy u Dk
y: → R , hde Dy
— proekcyq
oblasty D na os\ Oy.
Teper\ posle yntehryrovanyq ravenstva (27) po peremennoj x s uçetom toΩ-
destva U1 0≡ y ravenstva (29) pryxodym k ravenstvu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
MONOHENNÁE FUNKCYY V BYHARMONYÇESKOJ ALHEBRE 1595
U x y
x
u y u y4 3 4
2
( , ) ( ) ( )= − ′ + ∀ ∈( , )x y D . (30)
Podstavlqq v¥raΩenyq (29), (30) v ravenstvo (28) y yntehryruq eho po peremen-
noj x, poluçaem
U x y x u y xu y u y2
2
3 4 2
1
4
( , ) ( ) ( ) ( )= − ′′ + ′ + ∀ ∈( , )x y D . (31)
S uçetom ravenstv (30), (31) ravenstvo (26) pryvodytsq k vydu
− ′′′ + ′′ + ′ + ′ =
x
u y xu y u y u y
2
3 4 2 3
4
1
2
0( ) ( ) ( ) ( ) ∀ ∈( , )x y D . (32)
Dalee, dyfferencyruq dvaΩd¥ ravenstvo (32) po peremennoj x, poluçaem ra-
venstva
′′′ = ′′ =u y u y3 4 0( ) ( ) (33)
∀ ∈y Dy .
′ + ′ =u y u y2 3
1
2
0( ) ( ) (34)
Posle yntehryrovanyq ravenstv (33) sootvetstvugwee çyslo raz po peremennoj
y naxodym funkcyy u3 y u4 :
u y ay by c3
22 2( ) = + + , u y ky m4 ( ) = + ∀ ∈y Dy
, (35)
hde a, b, c, k, m — proyzvol\n¥e dejstvytel\n¥e postoqnn¥e.
Sledovatel\no, posle podstanovky funkcyj (35) v ravenstva (29), (30) po-
luçaem
U x y ay by c3
22 2( , ) = + + (36)
∀ ∈( , )x y D .
U x y axy bx ky m4 2( , ) = − − + + (37)
Analohyçno, posle podstanovky funkcyy u3 v ravenstvo (34) y yntehryro-
vanyq eho po peremennoj y naxodym funkcyg u2 :
u y ay by n2
2( ) = − − + ∀ ∈y Dy
, (38)
hde n — proyzvol\naq dejstvytel\naq postoqnnaq, a posle podstanovky funk-
cyj (35), (38) v ravenstvo (31) poluçaem
U x y ax kx ay by n2
2 2( , ) = − + − − + ∀ ∈( , )x y D . (39)
Nakonec, posle podstanovky komponent U1 0≡ , (36), (37), (39) v razloΩe-
nye (3) monohennoj funkcyy Φ poluçaem ravenstvo (24).
Lemma dokazana.
Lemma 4 . Pust\ D — ohranyçennaq odnosvqznaq oblast\ dekartovoj
ploskosty x Oy. Esly F — holomorfnaq funkcyq v oblasty G : = z{ = x +
+ i y : (x, y) ∈ D} kompleksnoj ploskosty, to funkcyy
Φ1 2 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ζ = + − +u x y i x y e x y ie u x yv v ,
Φ2 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ζ = + + −( )yu x y iy x y e x y y x yv vU +
+ ie x y yu x y2 V( , ) ( , )+( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1596 S. V. HRYWUK, S. A. PLAKSA
Φ3 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ζ = + + −( )xu x y ix x y e x y x x yv vV +
+ ie xu x y x y2 ( , ) ( , )−( )U ∀ = + ∈ζ ζxe ye D1 2
qvlqgtsq monohenn¥my v oblasty Dζ byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, ;
zdes\
u x y F z( , ) : Re ( )= , v( , ) : Im ( )x y F z= ,
U F( , ) : Re ( )x y z= , V F( , ) : Im ( )x y z= ∀ = +z x iy
y F — pervoobraznaq funkcyq F v oblasty G.
Dokazatel\stvo provodytsq neposredstvennoj proverkoj uslovyj monohen-
nosty (7) dlq funkcyj Φ1 , Φ2 , Φ3 .
Yzvestno, çto kaΩdaq byharmonyçeskaq funkcyq U x y1( , ) v oblasty D
predstavlqetsq formuloj Hursa (sm., naprymer, [5, s. 108])
U x y z z z1( , ) Re ( ) ( )= +( )ϕ ψ , z x iy= + , (40)
hde ϕ, ψ — holomorfn¥e funkcyy v oblasty G, opredelennoj v lemmeQ4,
z x iy:= − .
Teorema 5. KaΩdaq funkcyq U x y1( , ) , byharmonyçeskaq v ohranyçennoj
odnosvqznoj oblasty D dekartovoj ploskosty x O y, qvlqetsq pervoj kom-
ponentoj v razloΩenyy (3) funkcyy
Φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζ ϕ ψ ϕ ψ= + + + −( )z z z ie z z z z2 2 F , (41)
ζ = +xe ye1 2 , z x iy= + ,
monohennoj v oblasty Dζ byharmonyçeskoj ploskosty µe e1 2, , pry πtom ϕ ,
ψ — holomorfn¥e v oblasty G : = z{ = x + i y : (x, y) ∈ D} funkcyy, vxodqwye
v ravenstvo (40), y F — pervoobraznaq funkcyy ψ v oblasty G. Vse mono-
henn¥e v oblasty Dζ funkcyy, v razloΩenyy (3) kotor¥x pervoj komponen-
toj qvlqetsq funkcyq U1 , predstavym¥ v vyde summ¥ funkcyj (24) y (41).
Dokazatel\stvo. Posle vvedenyq oboznaçenyj u x y z1( , ) : Re ( )= ϕ , u x2( ,
y z) : Re ( )= ψ , v2( , ) : Im ( )x y z= ψ perepyßem ravenstvo (40) v vyde
U x y u x y xu x y y x y1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + + v . (42)
Teper\, yspol\zuq ravenstvo (42) y lemmu 4, ubeΩdaemsq v tom, çto funk-
cyqQ(41) monohenna v oblasty Dζ y ee pervoj komponentoj v razloΩenyy (3)
qvlqetsq funkcyq U1 . Nakonec, prymenenye lemm¥ 3 oçevydn¥m obrazom pry-
vodyt k opysanyg vsex monohenn¥x v oblasty Dζ funkcyj, v razloΩenyy (3)
kotor¥x pervoj komponentoj qvlqetsq funkcyq U1 , v vyde summ¥ funk-
cyjQ(24) y (41).
Teorema dokazana.
1. Mel\nyçenko Y. P. Byharmonyçeskye bazys¥ v alhebrax vtoroho ranha // Ukr. mat. Ωurn. –
1986. – 36, # 2. – S. 252 – 254.
2. Kovalev V. F., Mel\nyçenko Y. P. Byharmonyçeskye funkcyy na byharmonyçeskoj ploskos-
ty // Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1981. – # 8. – S. 25 – 27.
3. Mel\nyçenko Y. P., Plaksa S. A. Kommutatyvn¥e alhebr¥ y prostranstvenn¥e potencyal\-
n¥e polq. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2008. – 230 s.
4. Kovalev V. F. Byharmonyçeskaq zadaça Ívarca. – Kyev, 1986. – 19 s. – (Preprynt / AN Uk-
rayn¥. Yn-t matematyky; 86.16).
5. Musxelyßvyly N. Y. Nekotor¥e osnovn¥e zadaçy matematyçeskoj teoryy upruhosty. – M.:
Nauka, 1986. – 708 s.
Poluçeno 31.03.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3125 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:40Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/14ebeef19917dd0ed2d9b84d031b1254.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31252020-03-18T19:45:55Z Monogenic functions in a biharmonic algebra Моногенные функции в бигармонической алгебре Gryshchuk, S. V. Plaksa, S. A. Грищук, С. В. Плакса, С. А. Грищук, С. В. Плакса, С. А. We present a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative biharmonic algebra by using analytic functions of complex variables. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions defined in different biharmonic planes. It is proved that every biharmonic function in a bounded simply connected domain is the first component of a certain monogenic function defined in the corresponding domain of a biharmonic plane. Наведено конструктивний опис моногенних функцій, що набувають значень у комутативній бі-гармонічній алгебрі, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Встановлено ізоморфізм між алгебрами моногенних функцій, заданими в різних бігармонічних площинах. Доведено, що кожна бігармонічна функція в обмеженій однозв'язній області є першою компонентою деякої моногенної функції, заданої у відповідній області бігармонічної площини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3125 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 12 (2009); 1587-1596 Український математичний журнал; Том 61 № 12 (2009); 1587-1596 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3125/2998 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3125/2999 Copyright (c) 2009 Gryshchuk S. V.; Plaksa S. A. |
| spellingShingle | Gryshchuk, S. V. Plaksa, S. A. Грищук, С. В. Плакса, С. А. Грищук, С. В. Плакса, С. А. Monogenic functions in a biharmonic algebra |
| title | Monogenic functions in a biharmonic algebra |
| title_alt | Моногенные функции в бигармонической алгебре |
| title_full | Monogenic functions in a biharmonic algebra |
| title_fullStr | Monogenic functions in a biharmonic algebra |
| title_full_unstemmed | Monogenic functions in a biharmonic algebra |
| title_short | Monogenic functions in a biharmonic algebra |
| title_sort | monogenic functions in a biharmonic algebra |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3125 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuksv monogenicfunctionsinabiharmonicalgebra AT plaksasa monogenicfunctionsinabiharmonicalgebra AT griŝuksv monogenicfunctionsinabiharmonicalgebra AT plaksasa monogenicfunctionsinabiharmonicalgebra AT griŝuksv monogenicfunctionsinabiharmonicalgebra AT plaksasa monogenicfunctionsinabiharmonicalgebra AT gryshchuksv monogennyefunkciivbigarmoničeskojalgebre AT plaksasa monogennyefunkciivbigarmoničeskojalgebre AT griŝuksv monogennyefunkciivbigarmoničeskojalgebre AT plaksasa monogennyefunkciivbigarmoničeskojalgebre AT griŝuksv monogennyefunkciivbigarmoničeskojalgebre AT plaksasa monogennyefunkciivbigarmoničeskojalgebre |