Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations
We establish asymptotic representations for one class of solutions of two-dimensional systems of ordinary differential equations that are more general than systems of the Emden–Fowler type.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3126 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509161893134336 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Vladova, E. S. Евтухов, В. М. Владова, E. С. Евтухов, В. М. Владова, E. С. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Vladova, E. S. Евтухов, В. М. Владова, E. С. Евтухов, В. М. Владова, E. С. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:55Z |
| description | We establish asymptotic representations for one class of solutions of two-dimensional systems of ordinary differential equations that are more general than systems of the Emden–Fowler type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.925.44
V. M. Evtuxov, E. S. Vladova (Odes. nac. un-t)
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ
REÍENYJ SUWESTVENNO NELYNEJNÁX
DVUMERNÁX SYSTEM OBÁKNOVENNÁX
DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ
Asymptotic representations are established for one class of solutions of two-dimensional systems
of ordinary differential equations of a type more general than the type of Emden – Fowler
systems.
Vstanovleno asymptotyçni zobraΩennq dlq odnoho klasu rozv’qzkiv dvovymirnyx system zvyçaj-
nyx dyferencial\nyx rivnqn\ bil\ß zahal\noho typu, niΩ systemy typu Emdena – Faulera.
1. Postanovka zadaçy y osnovnoj rezul\tat. Rassmatryvaetsq systema dyf-
ferencyal\n¥x uravnenyj
′ = − −y p t yi i i i iα ϕ( ) ( )3 3 , i = 1, 2, (1.1)
v kotoroj αi ∈ −{ }1 1, ; p ti ( ) : a, ω[ [ → 0, +∞] [ — neprer¥vn¥e funkcyy,
– ∞ < a < ω ≤ + ∞1
, ϕi : ∆ ( )Yi
0 → 0, +∞] [ — neprer¥vno dyfferencyruem¥e
y pravyl\no menqgwyesq pry y Yi→ 0
funkcyy porqdkov σ i takyx, çto
σ σ1 2 1≠ , hde ∆ ( )Yi
0
— nekotoraq odnostoronnqq okrestnost\ toçky Yi
0
, Yi
0
ravno lybo 0, lybo ±∞ .
Takaq systema uravnenyj v sluçae, kohda ϕ σ
i y y i( ) = , naz¥vaetsq syste-
moj typa ∏mdena – Faulera. Asymptotyçeskye svojstva ee reßenyj detal\no
yssledovan¥ v rabotax [1 – 3].
V nastoqwej rabote, otkaz¥vaqs\ ot predpoloΩenyq, çto funkcyy ϕi y( ) ,
i = 1, 2, qvlqgtsq stepenn¥my, predpolahaem, çto ony blyzky k stepenn¥m v ok-
restnostqx toçek Yi
0
v sm¥sle opredelenyq pravyl\no menqgwyxsq funk-
cyj<[4].
Reßenye ( )yi i = 1
2
system¥ (1.1), zadannoe na promeΩutke t0, ω[ [ ⊂ a, ω[ [ ,
budem naz¥vat\ P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyem, esly dlq neho v¥polnqgtsq us-
lovyq
y t Yi i( ) ( )∈ ∆ 0
pry t t∈[ [0, ω , lim ( )
t
i iy t Y
↑
=
ω
0
,
(1.2)
lim
( ) ( )
( )t
i
i
i
t y t
y t↑
′ =
ω
ωπ λ , i = 1, 2,
hde
πω
ω
ω ω
( )
, ,
, .
t
t
t
=
= +∞
− < +∞
esly
esly
1
<Pry ω = +∞ sçytaem, çto a > 0.
© V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12 1597
1598 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
Cel\g rabot¥ qvlqetsq ustanovlenye v sluçae, kohda λ1 y λ2 — otlyç-
n¥e ot nulq vewestvenn¥e postoqnn¥e, neobxodym¥x y dostatoçn¥x uslovyj
suwestvovanyq P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyj system¥ dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj (1.1), a takΩe asymptotyçeskyx pry t ↑ ω formul dlq takyx reßenyj.
PoloΩyv
µi
i
i i
Y
Y Y
=
= +∞
= −
1 esly
lybo y ( ) pravaq okr
, ,0
0 00 ∆ eestnost\ 0
1, esly
lybo y ( )
,
,− = −∞
= −
Y
Y Y
i
i i
0
0 00 ∆ llevaq okrestnost\ 0 ,
zametym, çto çysla µi , i = 1, 2, opredelqgt znaky komponent P Y Yω λ( , ,1
0
2
0
1 ,
λ2 ) -reßenyq v nekotoroj levoj okrestnosty ω.
Krome toho, poloΩym
I t p di i
A
t
i
1
1
( ) ( )= ∫ τ τ , I t p di i
A
t
i
2
2
( ) ( ) ( )= ∫ π τ τ τω , i = 1, 2,
hde
Ai
ia
ia
p d
a p d
1 =
< +∞
= +∞
∫
∫
ω τ τ
τ τ
ω
ω
, ( ) ,
, ( )
esly
esly ,,
A
p d
a p
i
ia
i
2 =
< +∞∫ω π τ τ τ
π τ
ω
ω
ω
, ( ) ( ) ,
, ( ) (
esly
esly ττ τ
ω
) .d
a
= +∞
∫
TakΩe otmetym, çto v sylu svojstv pravyl\no menqgwyxsq funkcyj [4]
lim
( )
( )
( )
z Y
z Y
i
i
i
i
i
z z
z→
∈
′ =
∆ 0
ϕ
ϕ
σ , ϕ σ θi z z i
i z( ) ( )= , i = 1, 2, (1.3)
hde θi z( ) — medlenno menqgwaqsq pry z Yi→ 0
funkcyq.
Teorema. Pust\ λi ∈ { }R\ 0 , i = 1, 2. Tohda dlq suwestvovanyq P Yω ( 1
0 ,
Y2
0
1 2, , )λ λ -reßenyj system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.1) neobxodymo,
a esly v¥polnqetsq odno yz uslovyj
lybo λ λ1 2 0+ ≠ , lybo λ λ1 2 0+ = y σ σ1 2 1< , (1.4)
to y dostatoçno, çtob¥ dlq kaΩdoho i ∈{ }1 2,
lim
( ) ( )
( )t
i
i
i i i
t p t
I t↑
− −= −
ω
ωπ λ σ λ
1
3 3 , esly λ σ λi i i− =− −3 3 0 , (1.5)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1599
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t p t
I t↑
=
ω
ωπ2
2
1 , esly λ σ λi i i− − − =3 3 0 , (1.6)
y v¥polnqlys\ znakov¥e uslovyq
λ πωi t( ) > 0 pry Yi
0 = ±∞ , λ πωi t( ) < 0 pry Yi
0 0= , (1.7)
α λ π µωi i itsign ( )[ ] = . (1.8)
Bolee toho, kaΩdoe takoe reßenye dopuskaet pry t ↑ ω asymptotyçeskye
predstavlenyq
y t
y t
t p t
oi
i i
i i
i
( )
( )
( ) ( )
( )
ϕ
α π
λ
ω
3 3
1 1
− −( ) = +[ ] , i = 1, 2, (1.9)
pryçem takyx reßenyj suwestvuet odnoparametryçeskoe semejstvo v sluçae,
kohda λ λ σ σ1 2 1 21( )− < 0, y dvuparametryçeskoe semejstvo, esly (λ1 +
+ λ πω2 ) ( )t > 0 pry t a∈[ [, ω y λ λ σ σ1 2 1 21( )− > 0.
Zameçanye. Raznost\ λ λ σi i i− − −3 3 sohlasno uslovyqm λi ∈ { }R\ 0 , i =
= 1, 2, y σ σ1 2 1≠ moΩet b¥t\ ravna nulg lyß\ pry odnom znaçenyy
i ∈{ }1 2, .
Dokazatel\stvo teorem¥. Neobxodymost\. Pust\ yi : t0, ω[ [ →
→ ∆ ( )Yi
0
, i = 1, 2, — proyzvol\noe P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenye system¥ dyf-
ferencyal\n¥x uravnenyj (1.1). Tohda sohlasno opredelenyg Pω -reßenyq, a
ymenno v sylu (1.2), s uçetom vvedenn¥x çysel µi , i = 1, 2, ymeem y ti ( ) =
= µ πω
λ
i
ot i( ) ( )+ 1
, i = 1, 2, pry t ↑ ω . Poskol\ku zdes\ λi ≠ 0 , to
πω
λ( )t i → Yi , i = 1, 2, pry t ↑ ω y poπtomu v¥polnqgtsq uslovyq (1.7).
Dalee, v sylu tret\eho yz uslovyj (1.2) yz (1.1) ymeem
λ α π ϕωi i i i i iy t t p t y t o( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ( ) +[ ]− −3 3 1 1 , i = 1, 2, pry t ↑ ω .
(1.10)
Otsgda v¥tekagt asymptotyçeskye predstavlenyq (1.9) y s uçetom toho, çto
funkcyy ϕi , pi , i = 1, 2, poloΩytel\n¥ na promeΩutkax, hde ony opredele-
n¥, — sootnoßenyq (1.8).
Teper\ s uçetom uslovyj (1.2) y (1.3) naxodym
lim
( )
( )
( ) ( )
t
i
i i
i
t
y t
t y t
y↑
− −( )
′
ω
ω
ω
π
π ϕ3 3
(( )
( ) ( )
t
t y ti iπ ϕω 3 3− −( )
= lim
( ) ( )
( )t
i
i
t y t
y t↑
′
−
ω
ωπ 1 –
–
π ϕ
ϕ
ω ( ) ( )
( )
( ) ( )t y t
y t
y t y ti
i
i i i′ ′ ( )−
−
− − −3
3
3 3 3
3 −− −( )
i iy t3 ( )
= λ λ σi i i− − ≠ −− −1 13 3 ,
esly λ λ σi i i− ≠− −3 3 0 ,
y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1600 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
lim
( )
( )
( )
( )t
i
i i
i
t
y t
y t
y t↑
− −( )
′
ω
ωπ ϕ
ϕ
3 3
3 −− −( )i iy t3 ( )
= lim
( ) ( )
( )t
i
i
t y t
y t↑
′
ω
ωπ –
–
π ϕ
ϕ
ω ( ) ( )
( )
( ) ( )t y t
y t
y t y ti
i
i i i′ ′ ( )−
−
− − −3
3
3 3 3
3 −− −( )
i iy t3 ( )
= 0, esly λ λ σi i i− =− −3 3 0 .
V sylu πtyx predel\n¥x sootnoßenyj
y d
y
i
i iA
t
i
( )
( ) ( )
τ τ
π τ ϕ τω 3 3− −( )∫
�
=
y t o
y t
i
i i i i i
( ) ( )
( )
1 1
3 3 3 3
+[ ]
−( ) ( )− − − −λ λ σ ϕ
pry t ↑ ω ,
esly λ λ σi i i− ≠− −3 3 0 ,
y d
y
i
i iA
t
i
( )
( )
τ τ
ϕ τ3 3− −( )∫
�
=
π
ϕ
ω ( ) ( )
( )
( )
t y t
y t
oi
i i3 3
1 1
− −( ) +[ ] pry t ↑ ω ,
esly λ λ σi i i− =− −3 3 0 ,
hde predel yntehryrovanyq
�Ai raven lybo ω, lybo t0 y v¥bran tak, çtob¥
sootvetstvugwyj yntehral stremylsq pry t ↑ ω lybo k nulg, lybo k ± ∞.
Poπtomu, zapys¥vaq (1.10) v vyde
y t
t y t
i
i i
( )
( ) ( )π ϕω 3 3− −( ) = α λi i ip t o− +[ ]1 1 1( ) ( ) pry t ↑ ω ,
esly λ λ σi i i− ≠− −3 3 0 ,
y t
y t
i
i i
( )
( )ϕ3 3− −( ) = α λ πωi i it p t o− +[ ]1 1 1( ) ( ) ( ) pry t ↑ ω ,
esly λ λ σi i i− =− −3 3 0 ,
v rezul\tate yntehryrovanyq na promeΩutke ot
�Ai do t poluçaem dlq kaΩdo-
ho i ∈{ }1 2, pry t ↑ ω asymptotyçeskye sootnoßenyq
y t
y t
i
i i
( )
( )ϕ3 3− −( ) =
α λ σ λ
λ
i i i i
i
iI t o
( )
( ) ( )
−
+[ ]− −3 3
1 1 1 ,
esly λ σ λi i i− ≠− −3 3 0 ,
y t
y t
i
i i
( )
( )ϕ3 3− −( ) =
α
λ πω
i i
i
I t
t
o2 1 1
( )
( )
( )+[ ] , esly λ σ λi i i− =− −3 3 0 .
Yz πtyx asymptotyçeskyx sootnoßenyj y (1.10) vsledstvye opredelenyq
P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyq v¥tekagt uslovyq (1.5) y (1.6).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1601
Dostatoçnost\. PredpoloΩym, çto λi ∈ { }R\ 0 , i = 1 2, , y narqdu s uslo-
vyqmy (1.5) – (1.8) v¥polnqetsq odno yz uslovyj (1.4). PokaΩem, çto v πtom
sluçae systema dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.1) ymeet xotq b¥ odno P Yω ( 1
0 ,
Y2
0
1 2, , )λ λ -reßenye, dopuskagwee pry t ↑ ω asymptotyçeskye sootnoße-
nyq<(1.9).
Snaçala, rassmatryvaq systemu sootnoßenyj vyda
y
y
Q ti
i i
i iϕ3 3
1
− −
= +[ ]
( )
( ) v , i = 1 2, , (1.11)
v kotoroj
Q t
I t
i
i i i i
i
i i i
( )
( )
( ),
=
−
−− −
−
α λ λ σ
λ
λ σ λ3 3
1 3 3esly −−
− −
≠
− =
i
i
i
i
i i i
I t
t
0
02
3 3
,
( )
( )
, ,
α
λ π
λ σ λ
ω
esly
ustanavlyvaem, çto ona odnoznaçno opredelqet zadann¥e na mnoΩestve D0 =
= t0, ω[ [ × V0 , hde t a0 ∈[ [, ω y V0 = ( , )v v1 2{ : vi ≤ 1 / 2, i = }1 2, , nepre-
r¥vno dyfferencyruem¥e neqvn¥e funkcyy yi = Y ti ( , , )v v1 2 vyda
Y t ti i
z ti i( , , ) ( ) ( , , )
v v
v v
1 2
1 2= +µ πω
λ
, i = 1 2, , (1.12)
hde funkcyy zi takov¥, çto
z ti
i( , , )v v1 2
2
≤
λ
pry ( , , )t Dv v1 2 0∈ (1.13)
y
lim ( , , )
t
iz t
↑
=
ω
v v1 2 0 ravnomerno po ( , )v v1 2 0∈V . (1.14)
Dlq πtoho, polahaq v (1.11)
y ti i
zi i= +µ πω
λ( ) , i = 1 2, , (1.15)
poluçaem s uçetom (1.3) y (1.5) – (1.8) opredelennug na mnoΩestve Ω0 =
= t1, ω[ [ × Z0 × V0 , hde t1 — nekotoroe çyslo yz promeΩutka a, ω[ [ y
Z0 = ( , )z z1 2{ : zi ≤ λi /2} , systemu sootnoßenyj vyda
πω
λ σ λ σ
( )t i i i i iz z+ − −− − −3 3 3 =
= Q t ti i i
z
i
i i( ) ( ) ( )θ µ πω
λ
3 3
3 3 1− −
+− −( ) + v , i = 1 2, ,
otkuda sleduet, çto
z zi i i− − −σ3 3 = σ λ λ3 3− − −i i i +
+
ln ( ) ( ) ( )
ln
Q t ti i i
z
i
i iθ µ πω
λ
3 3
3 3 1− −
+− −( ) +
v
ππω ( )t
, i = 1 2, .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1602 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
Teper\, çastyçno razreßaq πtu systemu otnosytel\no z1 y z2 , naxodym
z a t b t Z t z zi i i i i= − + + +λ ( ) ( , , ) ( , , )v v1 2 1 2 , i = 1 2, , (1.16)
hde
a t
Q t Q t
t
i
i i
i
( )
ln ( ) ( )
( ) ln ( )
=
( )
−
−
−
3
1 2
3
1
σ
ωσ σ π
,
b ti
i i
i
( , , )
ln ( ) ( )
v v
v v
1 2
3
1
1 1 3
=
+ +
−
−σ
σ σ(1 2− )) ln ( )πω t
,
Z t z zi ( , , )1 2 =
ln ( ) ( )θ µ π θ µ πω
λ σ
ω
λ
3 3
3 3 3
− −
+ +− − −( )i i
z
i i
zt ti i i i ii
t
( )
−( ) ln ( )1 1 2σ σ πω
,
i = 1 2, .
Zdes\
lim ( , , )
t
ib t
↑
=
ω
v v1 2 0 , i = 1 2, , ravnomerno po ( , )v v1 2 0∈V (1.17)
y v sylu svojstv medlenno menqgwyxsq funkcyj (sm. [4])
lim ( , , )
t
iZ t z z
↑
=
ω
1 2 0 , i = 1 2, , ravnomerno po ( , )z z Z1 2 0∈ . (1.18)
Poskol\ku v¥polnqgtsq uslovyq (1.5), (1.6), ymegt mesto asymptotyçeskye
predstavlenyq
Q t Q ti i
i( ) ( )3
3
−
−σ
= C ti
oiπω
λ σ σ( ) ( ) ( )1 11 2− +
, i = 1 2, , pry t ↑ ω ,
hde C1 , C2 — nekotor¥e poloΩytel\n¥e postoqnn¥e, y poπtomu
lim ( )
t
i ia t
↑
=
ω
λ , i = 1 2, . (1.19)
Krome toho, ymeem
∂
∂
Z t z z
z
i
i
( , , )1 2 =
σ
σ σ
µ π θ µ π
θ µ
ω
λ
ω
λ
3
1 21
−
+ +
−
′( )i i
z
i i
z
i i
t ti i i i( ) ( )
ππω
λ( )t i iz+( ) ,
∂
∂ −
Z t z z
z
i
i
( , , )1 2
3
=
=
1
1 1 2
3 3 3
3 3 3
−
′−
+
− −
− − −
σ σ
µ π θ µ πω
λ
ω
λ
i
z
i it ti i i( ) ( ) ++
− −
+
−
− −
( )
( )
z
i i
z
i
i it
3
3 3
3 3θ µ πω
λ( )
, i = 1 2, .
Otsgda s uçetom uslovyj lim
( )
( )z Y
i
ii
z z
z→
′
0
θ
θ
= 0, i = 1 2, , kotor¥m udovletvorqgt
medlenno menqgwyesq funkcyy θi , i = 1 2, , sleduet, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1603
lim
( , , )
t
i
k
Z t z z
z↑
∂
∂
=
ω
1 2 0 , i k, ,= 1 2 , ravnomerno po ( , )z z Z1 2 0∈ .
V sylu pryvedenn¥x v¥ße predel\n¥x sootnoßenyj suwestvuet çyslo t0 ∈
∈ t1, ω[ [ takoe, çto na mnoΩestve t0, ω[ [ × Z0 × V0 v¥polnqgtsq nera-
venstva
a t b t Z t z zi i i i( ) ( , , ) ( , , )+ + −v v1 2 1 2 λ ≤
λ0
2
, i = 1 2, , (1.20)
λ λ λ0 1 2
1
2
= { }min , ,
y uslovyq Lypßyca
Z t z z Z t z zi i( , , ) ( , , )1 2 1 2− � � ≤
1
3 1
2
z zk k
k
−
=
∑ � , i = 1 2, , (1.21)
pry t t∈[ [0, ω y lgb¥x ( , )z z1 2 , ( , )� �z z Z1 2 0∈ .
V¥brav takym obrazom çyslo t0 , oboznaçym çerez B banaxovo prostranstvo
neprer¥vn¥x y ohranyçenn¥x na mnoΩestve Ω = t0, ω[ [ × V0 vektor-funkcyj
z = ( )zi i = 1
2
: Ω → R2
s normoj
z z t z t t= + ∈{ }sup ( , , ) ( , , ) :( , , )1 1 2 2 1 2 1 2v v v v v v Ω .
V¥delym yz neho podprostranstvo B0 tex funkcyj yz B, dlq kotor¥x z ≤
≤ λ0 , y rassmotrym na B0 , v¥brav predvarytel\no proyzvol\n¥m obrazom
çyslo ν ∈ ( , )0 1 , operator Φ = ( )Φi i = 1
2
, opredelenn¥j sootnoßenyqmy
Φi z t( ) ( , , )v v1 2 = z ti ( , , )v v1 2 –
– ν λz t a ti i i( , , ) ( )v v1 2 + −[ – b ti ( , , )v v1 2 –
– Z t z t z ti , ( , , ), ( , , )1 1 2 2 1 2v v v v( ) ] , i = 1 2, . (1.22)
Dlq lgboho z ∈B0 v sylu uslovyj (1.20) ymeem
Φi z t( ) ( , , )v v1 2 ≤ ( ) ( , , )1
2
1 2
0− +ν
νλ
z ti v v , i = 1 2, ,
pry ( , , )t v v1 2 ∈Ω .
Poπtomu na mnoΩestve Ω
Φi
i
i
i
z t z t( ) ( , , ) ( ) ( , , )v v v v1 2
1
2
1 2
1
2
1
= =
∑ ∑≤ − ν +
+ ν λ ν ν λ0 01≤ − +( ) z ≤ ( )1 0 0 0− + =ν λ ν λ λ .
Otsgda sleduet, çto Φ ( )z ≤ λ0 , t.<e. Φ( )B B0 0⊂ .
Pust\ teper\ z, �z ∈B0 . Tohda v sylu (1.21) pry ( , , )t v v1 2 ∈Ω
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1604 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
Φ Φi iz t z t( ) ( , , ) ( ) ( , , )v v v v1 2 1 2− � ≤ ( ) ( , , ) ( , , )1 1 2 1 2− −ν z t z ti iv v v v� +
+ ν Z t z t z t Z t z ti i, ( , , ), ( , , ) , ( ,1 1 2 2 1 2 1 1v v v v v( ) − � ,, ), ( , , )v v v2 2 1 2�z t( ) ≤
≤ ( ) ( , , ) ( , , )1 1 2 1 2− −ν z t z ti iv v v v� +
+
ν
3
1 2 1 2
1
2
z t z tk k
k
( , , ) ( , , )v v v v−
=
∑ � , i = 1 2, .
Znaçyt, na mnoΩestve Ω
Φ Φk k
k
z t z t( ) ( , , ) ( ) ( , , )v v v v1 2 1 2
1
2
−
=
∑ � ≤
≤ 1
3
1 2 1 2
1
2
−
−
=
∑ν
z t z tk k
k
( , , ) ( , , )v v v v� ≤ 1
3
−
−
ν
z z� ,
otkuda sleduet, çto
Φ Φ( ) ( )z z z z− ≤ −
−� �1
3
ν
.
Tem sam¥m pokazano, çto operator Φ otobraΩaet prostranstvo B0 v sebq y
qvlqetsq na nem operatorom sΩatyq. Tohda sohlasno pryncypu sΩat¥x otobra-
Ωenyj suwestvuet edynstvennaq vektor-funkcyq z ∈B0 takaq, çto z z= Φ( ) .
V sylu (1.22) πta neprer¥vnaq na mnoΩestve Ω vektor-funkcyq qvlqetsq
edynstvenn¥m reßenyem system¥ (1.16), udovletvorqgwym uslovyg z ≤ λ0 .
Yz (1.16) s uçetom πtoho uslovyq y (1.17) – (1.19) sleduet, çto komponent¥ dan-
noho reßenyq stremqtsq k nulg pry t ↑ ω ravnomerno po ( , )v v1 2 0∈V . Ne-
prer¥vnaq dyfferencyruemost\ πtoho reßenyq na mnoΩestve Ω neposred-
stvenno v¥tekaet yz yzvestnoj lokal\noj teorem¥ o suwestvovanyy neqvn¥x
funkcyj, opredelqem¥x systemoj sootnoßenyj. Vsledstvye (1.15) poluçennoj
vektor-funkcyy z zi i= =( ) 1
2
sootvetstvuet vektor-funkcyq ( )Yi i = 1
2
s kompo-
nentamy vyda (1.12), kotoraq qvlqetsq reßenyem system¥ (1.11).
Teper\, prymenqq k systeme dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.1) preobra-
zovanye
y t Y t x xi i( ) , ( ), ( )= ( )v v1 2 , i = 1 2, , x t= β πωln ( ) , (1.23)
hde
β
ω
ω
=
= +∞
− < +∞
1
1
, ,
, ,
esly
esly
y uçyt¥vaq, çto vektor-funkcyq Y t x xi i
, ( ), ( )v v1 2 1
2( )( ) = pry t t∈[ [0, ω y
v1( )x( , v2( )x ) ∈<V0 qvlqetsq reßenyem system¥ uravnenyj
y t
y t
Q t xi
i i
i i
( )
( )
( ) ( )
ϕ3 3
1
− −( ) = +[ ]v , i = 1 2, , (1.24)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1605
poluçaem systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj vyda
′ = −
+
+− −
−
v v v
v
v
i i i i
i
i
h x h x xβ β ξ( ) ( ) ( , , )3 3 1 2
3
1
1
–
– βg xi i( ) 1 +[ ]v , i = 1 2, , (1.25)
v kotoroj
h xi ( ) =
= h x t
t p t
I t
i
i
i i i
i
i
( )
( ) ( )
( )
,
( ) =
− − −
λ
λ σ λ
πω
3 3 1
esly λλ σ λ
λ π
λ σω
i i i
i i
i
i
t p t
I t
− ≠
−
− −3 3
2
2
0,
( ) ( )
( )
, esly 33 3 0− − =
i iλ ,
g x t
t p t
I t
i
i
i
i i i
( )
( ) ( )
( )
,
( ) =
− ≠− −
π
λ σ λω
1
3 3 0esly ,,
( ) ( )
( )
, ,
π
λ σ λω
2
2
3 31 0
t p t
I t
i
i
i i i− − =
− −esly
ξ ξ
ϕ
i
i i ix x t
Y t Y
, , ( ), ,
( , , ) (
v v v v
v v
1 2 1 2
1 2( ) = ( ) =
′ tt
Y ti
, , )
( , , )
v v
v v
1 2
1 2
( )
.
Zdes\ v sylu uslovyj (1.5), (1.6)
lim ( ) lim ( )
x
i
t
i ih x h x t
→+∞ ↑
= ( ) =
ω
λ ,
lim ( ) lim ( )
x
i
t
i i i ig x g x t
→+∞ ↑
− −= ( ) = −
ω
λ σ λ3 3 , i = 1 2, . (1.26)
Poskol\ku lim ( , , )
t
iY t
↑ ω
v v1 2 = Yi
0
, i = 1 2, , ravnomerno po ( , )v v1 2 0∈V y v¥-
polnqetsq pervoe yz uslovyj (1.3), to, krome toho, ymeet mesto predstavlenye
ξ σi i ix R x, , ( , , )v v v v1 2 1 1 2( ) = + , i = 1 2, ,
hde
R xi1 1 2 0( , , )v v → pry x → +∞ ravnomerno po ( , )v v1 2 0∈V . (1.27)
Uçyt¥vaq πty predstavlenyq y predstavlenyq
1
1
1
3
3 2 1 2
+
+
= + − +
v
v
v v v v
–
– ( , )
i
i
i i iR , i = 1 2, ,
v kotor¥x funkcyy Ri2 takov¥, çto
lim
( , )
v v
v v
v1 2 0
2 1 2 0
+ →
∂
∂
=
Ri
k
, i, k = 1, 2, (1.28)
zapys¥vaem systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.25) v vyde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1606 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
′ = + +v v vi i i if x p x p x( ) ( ) ( )1 1 2 2 +
+ V x V xi i1 1 2 2 1 2( , , ) ( , , )v v v v+ , i = 1, 2, (1.29)
hde
f x h x h x g xi i i i i( ) ( ) ( ) ( )= − − − −β σ3 3 ,
p x h x g xii i i i( ) ( ) ( )= − + − −β σ3 3 , p x h xi i i3 3− −=( ) ( )β ,
V x h x R xik i ik( , , ) ( ) ( , , )v v v v1 2 3 3 1 2= − − −β , i, k = 1, 2.
V πtoj systeme v sylu uslovyj (1.26) – (1.28)
lim ( )
x
if x
→+∞
= 0 , i = 1, 2,
P
p x p x
p x p xx
=
→ +∞
lim
( ) ( )
( ) ( )
11 12
21 22
=
−
−
β λ β σ λ
β σ λ β λ
1 2 2
1 1 2
,
lim ( , , )
x
iV x
→+∞
=1 1 2 0v v , i = 1, 2, ravnomerno po ( , )v v1 2 0∈V ,
lim ( , , )
v v
v v
1 2 0
2 1 2 0
+ →
=V xi , i = 1, 2, ravnomerno po t t∈[ [0, ω .
Xarakterystyçeskoe uravnenye det P E−[ ]ν 2 = 0, hde E2 – edynyçnaq matry-
ca vtoroho porqdka, predel\noj matryc¥ koπffycyentov lynejnoj çasty sys-
tem¥ ymeet vyd
ν β λ λ λ λ σ σ2
1 2 1 2 1 21 0+ + + − =( ) ( ) . (1.30)
V sylu uslovyj λi ∈ { }R\ 0 , i = 1, 2, σ σ1 2 1≠ y v¥polnenyq odnoho yz uslo-
vyj<(1.4) ono ne ymeet kornej s nulevoj dejstvytel\noj çast\g.
Sledovatel\no, dlq system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.29) v¥-
polnen¥ vse uslovyq lemm¥<1 yz rabot¥ [5]. Sohlasno πtoj lemme systema
dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.29) ymeet xotq b¥ odno reßenye vi i{ } = 1
2
:
x1, +∞[ [ → R2
1 0x x≥( = β πωln ( )t0 ) , stremqweesq k nulg pry x → +∞ .
Bolee toho, takyx reßenyj suwestvuet odnoparametryçeskoe semejstvo, esly
sredy kornej uravnenyq (1.30) ymeetsq tol\ko odyn koren\ s otrycatel\noj
dejstvytel\noj çast\g, t.<e. pry v¥polnenyy neravenstva λ λ σ σ1 2 1 21( )− < 0,
y dvuparametryçeskoe semejstvo, esly vse eho korny ymegt otrycatel\n¥e
dejstvytel\n¥e çasty, t.<e. kohda v¥polnqgtsq neravenstva β λ λ( )1 2+ < 0 y
λ λ σ σ1 2 1 21( )− > 0. ∏tym reßenyqm system¥ (1.29) v sylu zamen¥ (1.23) y
system¥ sootnoßenyj (1.24), kotoroj udovletvorqgt funkcyy Y t x ti , ( ( ))v1( ,
v2( ( )x t )) , i = 1 2, , sootvetstvugt reßenyq ( , )y y1 2 system¥ dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj (1.1), dopuskagwye asymptotyçeskye predstavlenyq
y t
y t
Q t oi
i i
i
( )
( )
( ) ( )
ϕ3 3
1 1
− −( ) = +[ ] , i = 1 2, , pry t ↑ ω .
Dann¥e asymptotyçeskye predstavlenyq v sylu uslovyj (1.5) y (1.6) mohut b¥t\
zapysan¥ v vyde (1.9).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1607
Ostalos\ ubedyt\sq v tom, çto kaΩdoe yz ukazann¥x v¥ße reßenyj system¥
dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.1) qvlqetsq P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyem.
Poskol\ku ym sootvetstvugt reßenyq v v1 2( ), ( )x x( ) system¥ (1.29), stremq-
wyesq k nulg pry x → +∞ , v sylu ustanovlenn¥x ranee svojstv funkcyj
Y ti ( , v v1 2, ) , i = 1 2, , perv¥e dva yz uslovyj (1.2) zavedomo v¥polnqgtsq. Kro-
me toho, dlq dann¥x reßenyj system¥ (1.1) s uçetom (1.24) y (1.26) ymeem
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t y t
y t↑
′
ω
ωπ = lim
( ) ( ) ( )
( )t
i i i i
i
t p t y t
y t↑
− −( )
ω
ωα π ϕ3 3
=
= lim
( ) ( )
( )t
i i
i
t p t
O t↑ ω
ωα π
= lim ( )
t
i ih x t
↑
( ) =
ω
λ .
Znaçyt, v¥polnqetsq y tret\e yz uslovyj (1.2) opredelenyq P Y Yω λ( , ,1
0
2
0
1 ,
λ2 ) -reßenyq.
Teorema dokazana.
2. Prymer¥. Snaçala v kaçestve prymera, yllgstryrugweho poluçenn¥j
rezul\tat, rassmotrym systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj vyda
′ = − − −
− −
y p t y y yi i i i i i
i iα
σ γ
( ) ln3 3 3
3 3
sign , i = 1 2, , (2.1)
hde αi , σ i , pi takye Ωe, kak v systeme (1.1), y γ i ∈R .
Pust\ λi ∈ { }R\ 0 , i = 1, 2, y Yi
0
ravno lybo nulg, lybo ± ∞ pry kaΩdom
znaçenyy i ∈{ }1 2, . Poskol\ku kaΩdaq komponenta lgboho P Y Yω λ( , ,1
0
2
0
1 ,
λ2 ) -reßenyq ( , )y y1 2 system¥ uravnenyj (2.1) qvlqetsq znakoopredelennoj v
nekotoroj levoj okrestnosty ω, v sootvetstvyy s prynqt¥my oboznaçenyqmy v
dannoj okrestnosty sign y ti ( ) = µi , i = 1, 2. Pry πtom µi = 1, esly Yi
0 = + ∞,
y µi = – 1, esly Yi
0 = – ∞. V sluçae, kohda Yi
0 = 0, µi moΩet b¥t\ ravn¥m
kak + 1, tak y – 1.
Zdes\ ϕi iy( ) = y yi i
i iσ γ
ln , i ∈{ }1 2, . Ona qvlqetsq pravyl\no menqg-
wejsq funkcyej porqdka σ i kak pry yi → 0, tak y pry yi → ± ∞.
V sylu dokazannoj teorem¥ dlq suwestvovanyq P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyj
system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2.1) neobxodymo, a esly v¥polnqetsq
odno yz uslovyj (1.4), to y dostatoçno, çtob¥ dlq kaΩdoho i ∈{ }1 2, ymely
mesto predel\n¥e sootnoßenyq (1.5), (1.6), v¥polnqlys\ znakov¥e uslovyq (1.7)
y
α λ π µωi i itsign ( )[ ] = ,
pryçem lgboe takoe reßenye ( , )y y1 2 dopuskaet asymptotyçeskye predstav-
lenyq
y t
y t y t
i
i i
i i
( )
( ) ln ( )3 3
3 3
− −
− −σ γ =
=
α µ π
λ
ωi i i
i
t p t
o
3
1 1
− +[ ]( ) ( )
( ) , i = 1 2, , pry t ↑ ω . (2.2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1608 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
Sohlasno tret\emu yz uslovyj (1.2)
y t ti i
oi( ) ( ) ( )= +µ πω
λ 1
, i = 1 2, , pry t ↑ ω .
Poπtomu ln y ti ( ) = λi o+[ ]( )1 ln y ti ( ) , i = 1 2, , pry t ↑ ω y asymptotyçe-
skye predstavlenyq (2.2) moΩno zapysat\ v vyde
y t
y t
i
i
i
( )
( )3
3
−
−σ =
=
α µ π λ π
λ
ω ω
γ
i i i i
i
t t p t
o
i
3 3
3
1 1
− −
−
+[ ]
( ) ln ( ) ( )
( ) , i = 1 2, , pry t ↑ ω .
Yz πtyx sootnoßenyj lehko naxodym qvn¥e asymptotyçeskye pry t ↑ ω for-
mul¥ dlq komponent P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyq:
y ti ( ) = c t ti
i i i iπ πω
σ σ σ
ω
γ σ γ( ) ln ( )( )/( ) (1 13 1 2 3 3+ − +− − − ))/( )1 1 2− σ σ ×
× p t p t oi i
i1 1
3
11 2 3 1 2 1 1/( ) /( )
( ) ( ) ( )−
−
−− +[ ]σ σ σ σ σ
, i = 1 2, ,
hde
ci i i i
i i i i= − − −− −
−
−
µ λ λσ γ σ σ γ σ( )/( ) ( )/(3 1 2 3 31 1
3
11 1 2− σ σ )
.
∏ty asymptotyçeskye predstavlenyq qvlqgtsq nov¥my daΩe dlq sluçaq
system¥ typa ∏mdena – Faulera, t.<e. kohda γ γ1 2 0= = .
Dalee rassmotrym uravnenye
′′ = ′u p t u uα ϕ ϕ0 1 2( ) ( ) ( ) , (2.4)
hde α0 1 1∈ −{ }, , p : a, ω[ [ → 0, +∞] [ — neprer¥vnaq funkcyq, ϕi :
∆ ( )Ui
0 → 0, +∞] [ , i = 1 2, , — neprer¥vno dyfferencyruem¥e y pravyl\no
menqgwyesq pry z Ui→ 0
funkcyy porqdkov σ i takyx, çto σ2 1≠ y σ1 +
+ σ2 ≠ 1, ∆ ( )Ui
0
— nekotoraq odnostoronnqq okrestnost\ toçky Ui
0
, Ui
0
ravno lybo 0, lybo ± ∞.
Reßenye u uravnenyq (2.4) budem naz¥vat\ Pω λ( )0 -reßenyem (– ∞ ≤ λ0 ≤
≤ + ∞), esly ono opredeleno na nekotorom promeΩutke t0, ω[ [ ⊂ a, ω[ [ y
udovletvorqet uslovyqm
u t Ui
i
( )( ) ( )− ∈1 0∆ pry t t∈[ [0, ω , lim ( )( )
t
i
iu t U
↑
− =
ω
1 0 , i = 1 2, ,
lim
( ) ( )
( )t
t u t
u t↑
′′
′
=
ω
ωπ λ0 .
Netrudno zametyt\, çto dlq kaΩdoho Pω λ( )0 -reßenyq uravnenyq (2.4) tak-
Ωe ymeem
lim
( ) ( )
( )t
t u t
u t↑
′ = +
ω
ωπ λ1 0 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1609
Vvedem funkcyg
ψ
ϕ
( )
( )
z
ds
sB
z
= ∫
2
, B
U
ds
s
b
ds
s
b
U
=
∫2
0
2
2
2
0
,
( )
,
(
esly sxodytsq
esly
ϕ
ϕ
,
))
rasxodytsq,
b
U2
0
∫
b — lgboe çyslo yz promeΩutka ∆ ( )U2
0
.
Poskol\ku ′ψ ( )z > 0 pry z U∈ ∆ ( )2
0
, to ψ : ∆ ( )U2
0 → ∆ ( )Y2
0
, hde ∆ ( )Y2
0
— odnostoronnqq okrestnost\ Y2
0
, Y2
0
ravno lybo nulg, lybo ± ∞. Krome
toho, s yspol\zovanyem svojstv pravyl\no menqgwyxsq funkcyj y pravyla
Lopytalq naxodym
lim
( ) ( )
lim
( )
(z U z U
z
z z
z
z
→ →
=
′
′2
0
2
0
2
2
ψ ϕ
ϕ
ψ zz)
= −1 2σ . (2.5)
Uravnenye (2.4) s pomow\g preobrazovanyq
u y= 1 , ψ( )′ =u y2 (2.6)
svodytsq k systeme uravnenyj
′ = −y y1
1
2ψ ( ) ,
(2.7)
′ =y p t y2 0 1 1α ϕ( ) ( ) ,
pryçem zdes\ ψ−1
qvlqetsq pravyl\no menqgwejsq pry y Y2 2
0→ funkcyej
porqdka
1
1 2− σ
, poskol\ku
lim
( )
( )y Y
y y
y2 2
0
2
1
2
1
2→
−
−
( )′ψ
ψ
= lim
( )
( )y Y
y y
y2 2
0
2 2
1
2
1
2→
−
−
( )ϕ ψ
ψ
= lim
( ) ( )
z U
z z
z→ 2
0
2ψ ϕ
=
1
1 2− σ
.
Netrudno takΩe zametyt\, çto reßenye u uravnenyq (2.4) qvlqetsq
Pω λ( )0 -reßenyem tohda y tol\ko tohda, kohda sootvetstvugwee emu v sylu za-
men (2.5) reßenye ( , )y y1 2 system¥ (2.7) qvlqetsq P U Yω λ1
0
2
0
0, ,( + 1, (1 –
– σ2 ) λ0) -reßenyem.
Esly po analohyy s tem, kak b¥ly opredelen¥ çysla µi dlq Yi
0
y ∆ ( )Yi
0
,
i = 1 2, , vvesty çysla µi
0
dlq Ui
0
y ∆ ( )Ui
0
, i = 1 2, , to v sylu otobraΩenyq
ψ : ∆ ( )U2
0 → ∆ ( )Y2
0
budem ymet\
µ
σ µ
σ µ
2
0 2 2 2
0
2 2 2
0
1
1 0
=
− = ±∞
− =
( ) , ,
( ) , .
esly
esly
U
U
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
1610 V. M. EVTUXOV, E. S. VLADOVA
Pry πtom moΩem sçytat\, çto µ1
0 = µ1 .
V sluçae, kohda λ0 0 1∈ −{ }R\ , y σ2 1≠ , dlq suwestvovanyq P U Yω 1
0
2
0,( ,
λ0 + 1, (1 – σ2 ) λ0) -reßenyj system¥ (2.4) sohlasno dokazannoj teoreme neob-
xodymo, a esly v¥polnqetsq odno yz uslovyj
lybo λ σ0 2 2 1( )− ≠ , lybo λ σ0 2 2 1( )− =
y ( )σ σ σ2 1 21 1 0− + −( ) > ,
to y dostatoçno, çtob¥
lim
( ) ( )
( )
( )
t
A
t
t p t
p d↑ ∫
= − − −
ω
ωπ
τ τ
λ σ σ σ
1
0 2 1 11 , esly λ σ σ σ0 2 1 11( )− − ≠ ,
lim
( ) ( )
( ) ( )t
A
t
t p t
p d↑ ∫
=
ω
ω
ω
π
π τ τ τ
2
2
1 , esly λ σ σ σ0 2 1 11( )− − = ,
y v¥polnqlys\ znakov¥e uslovyq
( ) ( )1 00+ >λ πω t pry U1
0 = ±∞ ,
( ) ( )1 00+ <λ πω t pry U1
0 0= , µ µ λ πω1
0
2
0
01 0( ) ( )+ >t ,
λ πω0 0( )t > y α µ0 2
0 1= pry U2
0 = ±∞ , λ πω0 0( )t <
y α µ0 2
0 1= − pry U2
0 0= .
Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto pry t ↑ ω asymptoty-
çeskye reßenyq
y t
y t
t
o1
1
2 01
1 1
( )
( )
( )
( )
ψ
π
λ
ω
− ( )
=
+
+[ ] ,
y t
y t
t p t
o2
1 1
0
2 01
1 1
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
ϕ
α π
σ λ
ω
( ) =
−
+[ ] ,
pryçem takyx reßenyj suwestvuet odnoparametryçeskoe semejstvo v sluçae,
kohda λ λ0 01( )+ ( )1 1 2− −σ σ < 0, y dvuparametryçeskoe semejstvo, esly
λ λ0 01( )+ ( )1 1 2− −σ σ > 0 y 1 2 2 0+ −[ ]( )σ λ <πω ( )t > 0.
V sylu zamen¥ (2.6) πty asymptotyçeskye sootnoßenyq s uçetom (2.5) mohut
b¥t\ zapysan¥ v vyde
π
λω ( ) ( )
( )
( )
t u t
u t
o
′ = + +1 10 ,
′
( ) ′( )
u t
u t u t
( )
( ) ( )ϕ ϕ1 2
=
α π
λ
ω0
0
1 1
( ) ( )
( )
t p t
o+[ ] .
Zdes\, v otlyçye ot rabot¥ [6] (teorema 1.1), vopros o suwestvovanyy y asympto-
tyke Pω λ( )0 -reßenyj uravnenyq (2.4) pry λ0 0 1∈ −{ }R\ , v¥qsnen bez dopol-
nytel\n¥x ohranyçenyj na funkcyg ϕ1 .
3. V¥vod¥. V nastoqwej rabote dlq system¥ dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj vyda (1.1) v¥delen klass P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyj y pry λi ∈ { }R\ 0 us-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ … 1611
tanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq yx suwestvovanyq, a takΩe
asymptotyçeskye pry t ↑ ω formul¥ dlq komponent takyx reßenyj. Pry
πtom reßen y vopros o kolyçestve takyx reßenyj.
V sluçae konkretnoho vyda nelynejnostej yz najdenn¥x v rabote neqvn¥x
asymptotyçeskyx formul udaetsq (sm. perv¥j prymer) poluçyt\ qvn¥e asymp-
totyçeskye predstavlenyq dlq obeyx komponent P Y Yω λ λ( , , , )1
0
2
0
1 2 -reßenyj.
V sylu proyzvol\nosty v¥bora ω ≤ + ∞ osnovnoj rezul\tat pozvolqet v¥qs-
nyt\ vopros o nalyçyy u system¥ (1.1) ne tol\ko pravyl\n¥x, no y razlyçn¥x
typov synhulqrn¥x reßenyj.
1. Myrzov D. D. Ob asymptotyçeskyx svojstvax reßenyj odnoj system¥ typa ∏mdena – Fau-
lera // Dyfferenc. uravnenyq. – 1985. – 21, # 9. – S. 1498 – 1504.
2. Myrzov D. D. Nekotor¥e asymptotyçeskye svojstva reßenyj odnoj system¥ typa ∏mdena –
Faulera // Tam Ωe. – 1987. – 23, # 9. – S. 1519 – 1532.
3. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye predstavlenyq pravyl\n¥x reßenyj odnoj dvumernoj
system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Dop. NAN Ukra]ny. – 2002. – # 4. – S. 11 – 17.
4. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 144 s.
5. Evtuxov V. M., Xar\kov V. M. Asymptotyçeskye predstavlenyq reßenyj suwestvenno nely-
nejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka // Dyfferenc. uravnenyq. – 2007. –
43, # 10. – S. 1311 – 1323.
6. Evtuxov V.M., Belozerova M. A. Asymptotyçeskye predstavlenyq reßenyj suwestvenno ne-
lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60,
#<3. – S. 310 – 331.
Poluçeno 27.04.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3126 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:43Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/b4c0a4dfad7b7267a3c4182c4dea0e0c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31262020-03-18T19:45:55Z Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations Асимптотические представления решений существенно нелинейных двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Evtukhov, V. M. Vladova, E. S. Евтухов, В. М. Владова, E. С. Евтухов, В. М. Владова, E. С. We establish asymptotic representations for one class of solutions of two-dimensional systems of ordinary differential equations that are more general than systems of the Emden–Fowler type. Встановлено асимптотичні зображення для одного класу розв'язків двовимірних систем звичайних диференціальних рівнянь більш загального типу, ніж системи типу Емдена - Фаулера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3126 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 12 (2009); 1597-1611 Український математичний журнал; Том 61 № 12 (2009); 1597-1611 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3126/3000 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3126/3001 Copyright (c) 2009 Evtukhov V. M.; Vladova E. S. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Vladova, E. S. Евтухов, В. М. Владова, E. С. Евтухов, В. М. Владова, E. С. Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| title | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| title_alt | Асимптотические представления решений существенно
нелинейных двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| title_fullStr | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| title_full_unstemmed | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| title_short | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| title_sort | asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear two-dimensional systems of ordinary differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3126 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlineartwodimensionalsystemsofordinarydifferentialequations AT vladovaes asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlineartwodimensionalsystemsofordinarydifferentialequations AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlineartwodimensionalsystemsofordinarydifferentialequations AT vladovaes asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlineartwodimensionalsystemsofordinarydifferentialequations AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlineartwodimensionalsystemsofordinarydifferentialequations AT vladovaes asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlineartwodimensionalsystemsofordinarydifferentialequations AT evtukhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhdvumernyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT vladovaes asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhdvumernyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhdvumernyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT vladovaes asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhdvumernyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhdvumernyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT vladovaes asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhdvumernyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij |