Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups
We study finite groups whose 3-maximal subgroups are permutable with all Sylow subgroups.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3127 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509164777766912 |
|---|---|
| author | Lutsenko, Yu. V. Skiba, A. N. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. |
| author_facet | Lutsenko, Yu. V. Skiba, A. N. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. |
| author_sort | Lutsenko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:55Z |
| description | We study finite groups whose 3-maximal subgroups are permutable with all Sylow subgroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
Ю. В. Луценко, А. Н. Скиба (Гомел. ун-т, Беларусь)
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
С S-КВАЗИНОРМАЛЬНЫМИ ТРЕТЬИМИ
МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ
We study finite groups whose 3-maximal subgroups are permutable with the all Sylow subgroups.
Вивчаються скiнченнi групи, в яких 3-максимальнi пiдгрупи є переставними зi всiма силовськими
пiдгрупами.
1. Введение. Все группы в данной статье являются конечными.
Напомним, что подгруппа H группы G называется 2-максимальной подгруппой
(или второй максимальной подгруппой) группы G, если H является максимальной
подгруппой в некоторой максимальной подгруппе M группы G. Аналогично могут
быть определены 3-, 4-максимальные подгруппы и т. д.
Легко заметить, что в несверхразрешимых группах одна и та же подгруппа мо-
жет быть n- и m-максимальной одновременно для n 6= m. В связи с этим будем
называть подгруппу H группы G строго n-максимальной подгруппой в G, если H
является n-максимальной подгруппой в G, но не является n-максимальной под-
группой в любой собственной подгруппе группы G. Например, в группе SL(2, 3)
единственная подгруппа порядка 2 является 2-максимальной подгруппой, но не
является строго 2-максимальной подгруппой.
Связь между n-максимальными подгруппами (где n > 1) группы G и структу-
рой группы G исследовалась многими авторами. Но, пожалуй, наиболее ранний
результат в данном направлении получен Хуппертом в работе [1], который дока-
зал, что группа является сверхразрешимой, если все ее 2-максимальные подгруппы
нормальны. В этой же работе доказано, что в случае, когда каждая третья макси-
мальная подгруппа группы G является нормальной в G, коммутант G′ группы G
нильпотентен и порядок каждого главного фактора группы G делится не более
чем на два (необязательно различных) простых числа.
Упомянутая выше работа стимулировала многие другие исследования в данном
направлении. В частности, развивая результаты Хупперта, Янко [2] получил описа-
ние групп, в которых 4-максимальные подгруппы нормальны. Он доказал, что если
каждая 4-максимальная подгруппа разрешимой группы G является нормальной в
G и порядок G делится по крайней мере на 4 различных простых числа, то G —
сверхразрешимая группа. Годом позже в работе [3] Янко изучил группы, у которых,
кроме единичной, других 5-максимальных подгрупп не существует.
Среди ранних работ в данном направлении отметим также работу Аграваля
[4], в которой доказано что группа является сверхразрешимой, если каждая ее
2-максимальная подгруппа S-квазинормальна (подгруппа H группы G называется
S-квазинормальной или S-перестановочной в G, если H перестановочна со всеми
силовскими подгруппами группы G). Еще одним естественным развитием упомя-
нутых выше результатов Хупперта и Янко является работа А. Манна [5], в которой
автор анализировал строение групп, в которых каждая n-максимальная подгруппа
субнормальна. Позднее М. Асааду [6] удалось усилить приведенные выше резуль-
c©Ю. В. ЛУЦЕНКО, А. Н. СКИБА, 2009
1630 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С S-КВАЗИНОРМАЛЬНЫМИ ТРЕТЬИМИ ... 1631
таты Хупперта и Янко, рассматривая лишь строго n-максимальные подгруппы для
n = 2, 3, 4.
В данной работе мы даем полное описание групп, в которых все 3-максимальные
подгруппы S-квазинормальны. Базируясь на этом результате, мы также приводим
решение восходящей к Хупперту задачи о полном описании групп, у которых 3-
максимальные подгруппы нормальны, в классе ненильпотентных групп.
2. Предварительные результаты. Напомним некоторые свойства групп Шмид-
та, необходимые в дальнейшем изложении (см. [7], гл. VI).
Лемма 2.1. Если G — группа Шмидта, то:
1) G = [P ]〈a〉, где P, 〈a〉 — силовские p-подгруппа и q-подгруппа группы G
соответственно;
2) G имеет в точности два класса максимальных подгрупп, представителями
которых являются подгруппы P 〈aq〉 и P ′〈a〉;
3) если P неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппа Фраттини совпа-
дают и имеют экспоненту p или экспоненту 4 (если p = 2).
Сформулируем в виде леммы теорему 2.1 работы [8].
Лемма 2.2. Пусть G — ненильпотентная группа. Тогда следующие условия
эквивалентны:
1) G является сверхразрешимой группой Шмидта;
2) каждая 2-максимальная подгруппа группы G нормальна;
3) каждая строго 2-максимальная подгруппа группы G S-квазинормальна.
В работах [9, 10] доказан следующий факт.
Лемма 2.3. Если каждая вторая максимальная подгруппа неразрешимой
группы G является нильпотентной, то G изоморфна одной из групп A5 или
SL(2, 5).
Напомним некоторые свойства S-квазинормальных подгрупп.
Лемма 2.4 [11]. Пусть G — группа и H ≤ K ≤ G. Тогда:
1. Если H является S-перестановочной в G, то H является S-перестановочной
в K.
2. Допустим, что H нормальна в G; K/H является S-перестановочной в G/H
тогда и только тогда, когда K S-перестановочна в G.
3. Если H S-перестановочна в G, то H субнормальна в G.
Следующая лемма доказывается непосредственной проверкой с использовани-
ем индукции по n.
Лемма 2.5. Пусть E — n-максимальная подгруппа q-нильпотентной группы
G. Тогда |G : E| = qαs, где α ≤ n и (s, q) = 1.
Лемма 2.6. Пусть T — подгруппа группы G и Q = 〈a〉 — циклическая q-под-
группа группы G. Если T ∩Qx = 1 для любого x ∈ G и группа G q-нильпотентна,
то |Q| делит |G : T |.
Доказательство. Мы можем предполагать, что T 6= G. Покажем, используя
индукцию по |G : T |, что |Q| делит |G : T |. Пусть T ≤ M, где M — максимальная
подгруппа в G.
Допустим, что для некоторого x ∈ G имеет место 〈a〉x ≤ M. Поскольку
(〈a〉x)m ∩ T = 1 для всех m ∈ M, то, по индукции, |〈a〉x| = |〈a〉| делит |M : T | и
поэтому |Q| = |〈a〉| делит |G : T |.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1632 Ю. В. ЛУЦЕНКО, А. Н. СКИБА
Таким образом, 〈a〉x � M для всех x ∈ G. Тогда M нормальна в G. Так как
(〈a〉∩M)m∩T = 1 для всех m ∈ M, то, по индукции, |〈a〉∩M | делит |M : T |. Это
влечет, что |〈a〉 ∩M | делит |G : T |. Поскольку G/M = 〈a〉M/M ' 〈a〉/M ∩ 〈a〉, то
|〈a〉 : M ∩ 〈a〉| делит |G : T |. Следовательно, |Q| = |〈a〉 : M ∩ 〈a〉||〈a〉 ∩M | делит
|G : T |.
Лемма доказана.
3. Строение групп, у которых все 3-максимальные подгруппы S-квазинор-
мальны. В дальнейшем p, q и r — простые (необязательно различные) числа.
В следующих теоремах P, Q и R обозначают некоторые силовскую p-подгруппу,
силовскую q-подгруппу и силовскую r-подгруппу группы G соответственно.
Через Mβ(q) обозначается q-группа
〈
a, b | aqβ−1
= bq = 1, ab = a1+qβ−2〉
, где
β > 2, и β > 3, если q = 2 (см. [12, с. 190]).
Теорема 3.1. Каждая 3-максимальная подгруппа группы G является S-квази-
нормальной в G в том и только в том случае, когда группа G либо нильпотентна,
либо |G| = pαqβrγ , где α+β+γ ≤ 3, либо G изоморфна SL(2, 3), либо G является
сверхразрешимой группой одного из следующих типов:
1) G — группа Шмидта;
2) G = [P ]Q, где |P | = p, |Q| = qβ (β ≥ 3); группа Q либо циклическая, либо
является абелевой группой типа (qβ−1, q), либо изоморфна группе кватернионов
порядка 8, либо изоморфна группе Mβ(q); CQ(P ) = Ωβ−2(Q);
3) G = [P ]Q, где P — циклическая группа порядка p2, обе группы Φ(P )Q и
G/Φ(P ) являются группами Шмидта и максимальная подгруппа из Q совпадает
с Z(G);
4) G = [P1 × P2]Q, где |P1| = |P2| = p, P1Q — группа Шмидта и группа P2Q
либо нильпотентна, либо также является группой Шмидта;
5) G = ([P ]Q)R, где P и R — минимальные нормальные подгруппы группы G,
|P | = p, |R| = r, Q — циклическая группа и F (G) = PRΦ(Q).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что G — ненильпотентная
группа, в которой каждая 3-максимальная подгруппа является S-квазинормальной.
Тогда в силу леммы 2.4 (3) в группе G каждая 3-максимальная подгруппа является
субнормальной. На основании лемм 2.4 (1) и 2.2 каждая максимальная подгруппа
группы G либо нильпотентна, либо является сверхразрешимой группой Шмидта.
Таким образом, G — группа, в которой каждая 2-максимальная подгруппа нильпо-
тентна.
Предположим вначале, что группа G неразрешима. Согласно лемме 2.3 G
изоморфна одной из групп A5 или SL(2, 5). Но поскольку в группе A5 ' SL(2, 5)/
Z(SL(2, 5)) имеется нетривиальная 3-максимальная подгруппа, то, в силу лем-
мы 2.4 (2) (3), такой случай невозможен.
Таким образом, G — разрешимая группа и каждая собственная подгруппа H
группы G является либо нильпотентной, либо группой Шмидта. Причем если H
— группа Шмидта, то H максимальна в G. Поскольку в разрешимой группе ин-
декс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа и число
различных простых делителей порядка группы Шмидта равно двум, то π(G) ≤ 3.
В дальнейшем будем предполагать, что |G| = pαqβrγ , где α + β + γ > 3.
I. Допустим вначале, что G = [P ]Q является группой Шмидта.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С S-КВАЗИНОРМАЛЬНЫМИ ТРЕТЬИМИ ... 1633
Предположим, что P — абелева группа. Пусть |Q| > q. В этом случае груп-
па G имеет 3-максимальную подгруппу P1Q2, где P1 — некоторая максимальная
подгруппа в P и Q2 — 2-максимальная подгруппа в Q. По условию (P1Q2)Q =
= Q(P1Q2), и поэтому P1Q является подгруппой в G. В силу леммы 2.1(2), Q
является максимальной подгруппой в G и поэтому P1 = 1. Следовательно, |P | = p
и G является сверхразрешимой группой типа 1.
Пусть теперь |Q| = q. В этом случае каждая 2-максимальная подгруппа P2 из
P является 3-максимальной подгруппой в G. Тогда, по условию, P2Q = QP2, и
поэтому P2Q является подгруппой в G. Снова вследствие максимальности Q в G
получаем P2 = 1. Следовательно, |P | = p2 и поэтому |G| = p2q, что противоречит
исходному допущению о группе G.
Предположим теперь, что P — неабелева группа. Пусть |Q| > q. В этом
случае группа G имеет 3-максимальную подгруппу P1Q2, где P1 — некоторая
максимальная подгруппа в P и Q2 — 2-максимальная подгруппа в Q. По усло-
вию (P1Q2)Q = Q(P1Q2), и поэтому P1Q является подгруппой в G. В силу
леммы 2.1(2)(3) Φ(P )Q является максимальной подгруппой в G и поэтому P1 =
= Φ(P ). Следовательно, P является циклической группой, что противоречит не-
абелевости P.
Пусть теперь |Q| = q. Понятно, что каждая 2-максимальная подгруппа P2 из
P является 3-максимальной подгруппой в G. Тогда, по условию, P2Q = QP2, и
поэтому P2Q является подгруппой в G. Следовательно, P2Φ(P )Q является под-
группой в G и поэтому, вследствие максимальности Φ(P )Q в G, получаем либо
P2Φ(P )Q = Φ(P )Q, либо P2Φ(P )Q = G. Понятно, что второй случай невозможен.
Следовательно, P2Φ(P )Q = Φ(P )Q и поэтому P2 ≤ Φ(P ). Если P2 < Φ(P ), то
P является абелевой группой, что противоречит рассматриваемому случаю. Сле-
довательно, P2 = Φ(P ) и поэтому Φ(P ) является единственной 2-максимальной
подгруппой в P. Группа P не является циклической, и поэтому, согласно теоре-
мам 8.2 и 8.4 [13] (гл. III), |Φ(P )| = 2 и P изоморфна группе кватернионов Q8
порядка 8. Поскольку при этом |P/Φ(P )| = 4, то 4 ≡ 1 (mod q). Это влечет q = 3
и поэтому группа G изоморфна группе SL(2, 3).
II. Предположим, что G не является группой Шмидта и π(G) = {p, q}.
Допустим вначале, что группа G имеет нормальную силовскую подгруппу P,
т. е. G = [P ]Q. Предположим, что группа G имеет пару подгрупп Шмидта вида
A = [P ]Q1 и B = [P1]Q (P1 < P, Q1 < Q). Тогда A и B являются максимальными
подгруппами в группе G. Так как в группе A каждая 2-максимальная подгруппа
является S-квазинормальной, то по лемме 2.2 |P | = p. Аналогично можно показать,
что |P1| = p, что невозможно. Таким образом, либо все подгруппы Шмидта группы
G содержат силовскую p-подгруппу из G, либо все они содержат силовскую q-
подгруппу из G.
Если все подгруппы Шмидта группы G содержат P, то |P | = p и |Q| = qβ ,
β ≥ 3.
Пусть x — произвольный элемент из Q такой, что |x| = qβ−2. Тогда, поскольку
|Q| = qβ , x содержится в некоторой максимальной подгруппе Q1 группы Q. Ясно,
что PQ1 является максимальной подгруппой в G, и поэтому либо PQ1 нильпотент-
на, либо PQ1 — группа Шмидта с |P | = p и |Q1| = qβ−1. Очевидно, что в обоих
случаях элемент x централизует группу P, и поэтому CQ(P ) = Ωβ−2(Q).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1634 Ю. В. ЛУЦЕНКО, А. Н. СКИБА
Допустим, что Q — абелева группа. Если при этом группа Q циклическая, то G
является сверхразрешимой группой типа 2.
Предположим, что Q — нециклическая группа. Пусть H — подгруппа Шмидта
группы G. Тогда |G : H| = q и H = [P ]Q1, где Q1 — циклическая максимальная
подгруппа в Q. По основной теореме о конечных абелевых группах Q = Q1 ×Cq,
где |Cq| = q. Ясно, что в этом случае G является сверхразрешимой группой типа 2.
Предположим теперь, что Q — неабелева группа. Тогда Q имеет две различные
максимальные подгруппы Q1 и Q2. Поскольку группа G ненильпотентна, то по
крайней одна из подгрупп PQ1 или PQ2 не является нильпотентной. Следователь-
но, эта подгруппа является группой Шмидта. Это означает, что все, кроме одной,
максимальные подгруппы из Q являются циклическими.
Пусть теперь q = 2 и β = 3. Тогда по теореме 4.4 [12] (гл. V) Q изоморфна
либо группе Q8, либо диэдральной группе. В последнем случае Q = [〈a〉]〈b〉, где
|a| = 22, |b| = 2, ab = a−1. Тогда Q имеет точно три максимальные подгруппы:
〈a〉, 〈a2〉〈b〉 и 〈a2〉〈ab〉, и поэтому подгруппы вида 〈a2〉, 〈b〉 и 〈ab〉 являются 3-
максимальными подгруппами в G. Известно, что диэдральная группа D обладает
свойством Ω1(D) = D (см. [12], гл. V, теорема 4.3). Это означает, что одна из под-
групп порядка 2 диэдральной группы, например 〈ab〉, не содержится в QG. Значит,
эта подгруппа не является S-квазинормальной в G, но является 3-максимальной
подгруппой в G. Полученное противоречие показывает, что Q ' Q8. Следователь-
но, G снова является сверхразрешимой группой типа 2.
Если теперь либо q = 2 и β > 3, либо q — нечетное простое, то по теореме 4.4
[12] (гл. V) в первом случае Q изоморфна одной из групп Mβ(2), Dβ , Qβ или Sβ , а
во втором — группе Mβ(q) (см. [12, с. 190, 191]). Если Q изоморфна одной из групп
Dβ , Qβ или Sβ , то по теореме 4.3 [12] (гл. V) фактор-группа Q/Z(Q) изоморфна
Dβ−1. Но в группе Dβ−1 имеются две нециклические максимальные подгруппы,
и поэтому группа Q имеет по крайней мере две нециклические максимальные
подгруппы, что противоречит доказанному выше. Следовательно, группа Q не мо-
жет быть изоморфна одной из групп Dβ , Qβ или Sβ . Таким образом, группа Q
изоморфна Mβ(q), и поэтому G снова является сверхразрешимой группой типа 2.
Предположим теперь, что любая подгруппа Шмидта группы G содержит не-
которую силовскую q-подгруппу из G. Это означает, что Q = 〈a〉 — циклическая
группа и P 〈aq〉 — максимальная подгруппа группы G с индексом, равным q. По-
скольку подгруппа P 〈aq〉 не является группой Шмидта, она нильпотентна. Сле-
довательно, P 〈aq〉 = P × 〈aq〉 = F (G), и поэтому 〈aq〉 содержится в Z(G). При
этом либо каждая максимальная подгруппа группы G, содержащая силовскую q-
подгруппу группы G, является группой Шмидта, либо G имеет нильпотентную
максимальную подгруппу, содержащую силовскую q-подгруппу группы G.
Предположим, что имеет место первый случай. Пусть M — произвольная мак-
симальная подгруппа группы G вида P1Q, где P1 < P. Тогда M является группой
Шмидта с |P1| = p.
Предположим вначале, что P — неабелева группа. Несложно показать, что в
этом случае P1 = Φ(P ) и Φ(P ) является единственной 2-максимальной подгруппой
в P. Вследствие рассматриваемого случая P не является циклической группой.
Значит, согласно теоремам 8.2 и 8.4 [13] (гл. III) |Φ(P )| = 2 и P изоморфна группе
Q8. Но Φ(P )Q = [Φ(P )]Q — группа Шмидта, что невозможно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С S-КВАЗИНОРМАЛЬНЫМИ ТРЕТЬИМИ ... 1635
Теперь предположим, что P — абелева группа. Допустим, что Φ(P ) 6= 1. Тогда
P1 = Φ(P ) — нормальная подгруппа порядка p группы G.
Допустим, что |Q| > q. Пусть P0 — некоторая максимальная подгруппа груп-
пы P и Q2 — 2-максимальная подгруппа группы Q. Тогда P0Q2 является 3-
максимальной подгруппой в G. По условию (P0Q2)Q = Q(P0Q2), и поэтому
P0Q является подгруппой в группе G. Тогда вследствие максимальности подгруп-
пы Φ(P )Q в группе G имеем Φ(P )Q = P1Q. Это означает, что Φ(P ) является
максимальной подгруппой в P, и поэтому P — циклическая группа порядка p2. Так
как Φ(P ) ⊆ Φ(G) и группа G не является нильпотентной, G/Φ(P ) — сверхраз-
решимая группа Шмидта. Поскольку каждая максимальная подгруппа группы G,
содержащая силовскую q-подгруппу группы G, является сверхразрешимой группой
Шмидта, максимальная подгруппа группы Q совпадает с Z(G). Следовательно, G
— сверхразрешимая группа типа 3.
Предположим теперь, что |Q| = q. Пусть P2 — произвольная 2-максимальная
подгруппа в P. Тогда P2 является 3-максимальной подгруппой в G, и поэтому
P2Q — подгруппа группы G. Рассуждая, как и выше, можно показать, что Φ(P )
является единственной 2-максимальной подгруппой в P. Поэтому вследствие абе-
левости P является циклической группой. Это в свою очередь влечет |G| = p2q,
что противоречит исходному допущению о группе G.
Допустим теперь, что Φ(P ) = 1. В этом случае P является элементарной p-
группой. Рассмотрим максимальную подгруппу T группы G такую, что G = [P1]T.
Поскольку T = [P2]Q — группа Шмидта (в силу рассматриваемого случая), по лем-
ме 2.2 P2 является нормальной подгруппой порядка p в группе G. Таким образом,
G — сверхразрешимая группа типа 4.
Теперь предположим, что G имеет нильпотентную максимальную подгруппу
M, содержащую подгруппу Q. Тогда группа M имеет вид P1 × Q, где P1 < P.
Допустим, что G не имеет максимальных подгрупп, являющихся группами Шмид-
та. Тогда каждая максимальная подгруппа группы G нильпотентна и поэтому
G — группа Шмидта, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно,
в группе G среди максимальных подгрупп существует такая подгруппа H, что H
является группой Шмидта. Не теряя общности, можно предполагать, что Q ≤ H.
В силу леммы 3.9 [13] (гл. II) HM = G. Пусть Hp — силовская p-подгруппа груп-
пы H. Подгруппа Hp не содержится в P1, и поэтому Hp ∩ P1 = 1. Это влечет
H ∩M = Q.
Допустим, что |P1| > p. Пусть E — 2-максимальная подгруппа в M, индекс
которой равен p2. Тогда E является 3-максимальной подгруппой в G и Q ≤ E. Из
условия теоремы следует, что EQx — подгруппа в G для всех x ∈ G. Cогласно
лемме 4.7 [13] (гл. VI) QQx является силовской q-подгруппой в EQx, и поэтому
подгруппа Q = Qx нормальна в группе G. Полученное противоречие показывает,
что |P1| = p.
Ясно, что Hp и P1 являются нормальными подгруппами порядка p в группе G.
Следовательно, G снова является сверхразрешимой группой типа 4.
Предположим теперь, что группа G не имеет нормальных силовских подгрупп.
Пусть H — нормальная подгруппа группы G с индексом, равным p. Тогда Q яв-
ляется подгруппой в H. Допустим, что подгруппа Q нормальна в группе H. Тогда
подгруппа Q нормальна в группе G, что противоречит рассматриваемому случаю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1636 Ю. В. ЛУЦЕНКО, А. Н. СКИБА
Следовательно, H = [P1]Q является подгруппой Шмидта группы G, и поэтому Q
— циклическая группа. По лемме 2.2 P1 является нормальной подгруппой порядка
p в группе G.
Предположим, что NG(Q) — нильпотентная подгруппа группы G. Тогда Q ≤
≤ Z(NG(Q)), так как Q — абелева группа. По теореме 14.3.1 [14] в этом случае
группа G имеет нормальное q-дополнение, что противоречит рассматриваемому
случаю. Следовательно, NG(Q) = [Q]〈b〉 является подгруппой Шмидта в группе
G и |Q| = q. Это влечет |G| = p2q, что противоречит исходному допущению о
группе G.
III. Наконец, рассмотрим случай, когда π(G) = {p, q, r}, где p, q, r — различные
простые делители |G|.
Обозначим через M некоторую нормальную подгруппу группы G такую, что
|G : M | = q. Тогда группа M либо нильпотентна, либо является группой Шмидта.
Предположим, что группа M нильпотентна. Тогда G = [P × R]Q и M =
= P × R ×Q1, где Q1 — некоторая максимальная подгруппа в Q. Подгруппы PQ
и RQ не могут быть одновременно нильпотентными, и поэтому либо PQ и RQ
— группы Шмидта, либо одна из этих подгрупп, например RQ, нильпотентна, а
вторая является группой Шмидта.
Предположим, что имеет место первый случай. Тогда подгруппы PQ и RQ
являются максимальными в G. Следовательно по лемме 2.2 |P | = p и |R| = r.
Кроме того, по лемме 2.1 (1) Q = 〈a〉 является циклической группой и 〈aq〉 —
подгруппа в Z(〈PQ, RQ〉) = Z(G).
Теперь предположим, что подгруппа PQ = P 〈a〉 является группой Шмидта, а
подгруппа RQ нильпотентна. Тогда подгруппа PQ максимальна в G, и поэтому
G = PQ × R, где |R| = r. По лемме 2.2 P является нормальной подгруппой
порядка p в G. Из того, что 〈aq〉 является характеристической подгруппой в Q и
Q нормальна в RQ, следует, что подгруппа 〈aq〉 нормальна в RQ. Так как 〈aq〉
нормальна и в группе PQ, подгруппа 〈aq〉 нормальна в G. Таким образом, G
является группой типа 5.
Теперь предположим, что M является группой Шмидта и G не является группой
типа 5. Не ограничивая общности, можно допустить, что M = [R]P, где P = 〈b〉 —
циклическая группа. Тогда G = [M ]Q = [[R]P ]Q, где Q — группа простого порядка
q и Q не является нормальной подгруппой в G. Действительно, если бы Q была
нормальной в G подгруппой, то G = M ×Q снова была бы группой типа 5.
Поскольку M = [R]P является группой Шмидта, то по лемме 2.2 R является
нормальной подгруппой порядка r группы M, а следовательно, и группы G. Пред-
положим, что RQ — нильпотентная группа. Если при этом PQ также является
нильпотентной группой, то подгруппа Q нормальна в G, что противоречит рас-
сматриваемому случаю. Следовательно, PQ = [P ]Q является группой Шмидта с
|P | = p. Так как при этом CG(R) = RQ, Q нормальна в G, что вновь противоречит
рассматриваемому случаю.
Таким образом, RQ = [R]Q является группой Шмидта. Теперь предположим,
что подгруппа PQ = [P ]Q также является группой Шмидта. Поскольку |P | = p,
то p − 1 = qα для некоторого натурального α. Аналогично, из того, что RQ и
RP являются группами Шмидта и |R| = r, следует, что r − 1 = qβ и r − 1 = pγ
для некоторых натуральных β и γ. Следовательно, p = qβγ−1 = 1 + qα, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С S-КВАЗИНОРМАЛЬНЫМИ ТРЕТЬИМИ ... 1637
невозможно. Таким образом, PQ — нильпотентная группа, и поэтому G = [R](P ×
×Q), причем из максимальности в G подгруппы RQ следует, что P = 〈b〉 является
группой простого порядка p. Это влечет R = F (G) и |G| = pqr, что противоречит
исходному допущению о группе G.
Достаточность. Заметим, что в нильпотентной группе каждая подгруппа явля-
ется S-квазинормальной, а если |G| = pαqβrγ , где p, q, r — простые (необязательно
различные) числа и α+β +γ ≤ 3, то в G либо нет 3-максимальных подгрупп, либо
1 — единственная 3-максимальная подгруппа в G. Кроме того, если G изоморфна
группе SL(2, 3), либо если G — сверхразрешимая группа одного из типов 1, 3 – 5,
то непосредственная проверка показывает, что в G все ее 3-максимальные под-
группы нормальны. Таким образом, в доказательстве достаточности в теореме 3.1
достаточно лишь ограничиться рассмотрением случая, когда G — сверхразрешимая
группа типа 2. Если при этом Q либо циклическая группа, либо абелева группа
типа (qβ−1, q), либо изоморфна группе кватернионов порядка 8, то непосредствен-
ной проверкой также можно показать, что в G все ее 3-максимальные подгруппы
нормальны.
Предположим, что Q ' Mβ(q). Тогда из определения группы Mβ(q) и условия
следует G = ([P ]Q1)Cq, где |P | = p, CQ(P ) = Ωβ−2(Q), Q1 = 〈a〉, Cq = 〈b〉,
|Q1Cq| = qβ , |a| = qβ−1, ab = a1+qβ−2
, β ≥ 3 при нечетном q и β > 3 при q = 2.
Пусть T — произвольная 3-максимальная подгруппа в G. Покажем, что T S-
квазинормальна в G.
Допустим вначале, что T ∩ Qx
1 6= 1 для некоторого x ∈ G. Тогда Qx
1 имеет
собственную подгруппу Z такую, что Z ≤ T и |Z| = q. В силу условия Z ≤ CG(P ),
и поэтому Z нормальна в G. Тогда G/Z = [PZ/Z](Q1Cq/Z), где |Q1Cq/Z| = qα,
α ≥ 2, при нечетном q и α > 2 при q = 2. По теореме 4.3 [12] (гл. V) Z = Q′,
и поэтому Q1Cq/Z — абелева группа типа (qα−1, q). Если при этом α > 2, то,
как мы уже заметили выше, T/Z является S-квазинормальной 3-максимальной
подгруппой в G/Z. Тогда по лемме 2.4 (2) T S-квазинормальна в G. Если α = 2,
то, очевидно, |G| = pq3. Поскольку Z ≤ T и T — 3-максимальная подгруппа в G,
то Z = T нормальна в G.
Предположим теперь, что T ∩ Qx
1 = 1 для всех x ∈ G. Так как группа G
является q-нильпотентной, то по лемме 2.6 |Q1| делит |G : T | и по лемме 2.5 либо
|G : T | = q3, либо |G : T | = pq2. Допустим, что имеет место первый случай. Тогда
P ≤ T, и поэтому T/P является S-квазинормальной подгруппой в G/P в силу
нильпотентности G/P. Следовательно, по лемме 2.4 (2) T S-квазинормальна в G.
Теперь предположим, что |G : T | = pq2. Так как при этом |Q1| делит |G : T |, то
T ' Cq. В силу условия CQ(P ) = Ωβ−2(Q), легко показать, что в этом случае T
S-квазинормальна в G.
Таким образом, каждая 3-максимальная подгруппа группы G является S-квази-
нормальной.
Теорема доказана.
Следствие 3.1. Предположим, что каждая третья максимальная подгруппа
группы G S-квазинормальна в G. Если |π(G)| ≥ 3, то G сверхразрешима. Если
|π(G)| ≥ 4, то G нильпотентна.
4. Решение задачи Хупперта в ненильпотентном случае. В данном пункте
мы применим теорему 3.1 для решения в ненильпотентном случае восходящей к
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1638 Ю. В. ЛУЦЕНКО, А. Н. СКИБА
Хупперту [1] задачи о полном описании групп, у которых все третьи максимальные
подгруппы нормальны.
Теорема 4.1. Пусть G — ненильпотентная группа. Тогда каждая 3-макси-
мальная подгруппа группы G является нормальной в G в том и только в том
случае, когда либо |G| = pαqβrγ , α + β + γ ≤ 3, либо G изоморфна SL(2, 3), либо
G является сверхразрешимой группой одного из следующих типов:
1) G — группа Шмидта;
2) G = [P ]Q, где |P | = p, |Q| = qβ (β ≥ 3); группа Q либо циклическая, либо
является абелевой группой типа (qβ−1, q), либо изоморфна группе кватернионов
порядка 8, либо изоморфна группе Mβ(q) (β > 4); CQ(P ) = Ωβ−2(Q);
3) G = [P ]Q, где P — циклическая группа порядка p2, обе группы Φ(P )Q и
G/Φ(P ) являются группами Шмидта и максимальная подгруппа из Q совпадает
с Z(G);
4) G = [P1 × P2]Q, где |P1| = |P2| = p, P1Q — группа Шмидта и группа P2Q
либо нильпотентна, либо также является группой Шмидта;
5) G = ([P ]Q)R, где P и R — минимальные нормальные подгруппы группы G,
|P | = p, |R| = r, Q — циклическая группа и F (G) = PRΦ(Q).
Доказательство. Необходимость. Пусть G — ненильпотентная группа, в ко-
торой каждая 3-максимальная подгруппа нормальна. Тогда, очевидно, каждая 3-
максимальная подгруппа группы G является S-квазинормальной, и поэтому G яв-
ляется группой одного из типов, описанных в теореме 3.1.
Предположим, что G — сверхразрешимая группа типа 2 в теореме 3.1 и Q '
' Mβ(q), где β ≥ 3 при нечетном q и β > 3 при q = 2. Из определения груп-
пы Mβ(q) и условия следует G = ([P ]Q1)Cq, где |P | = p, CQ(P ) = Ωβ−2(Q),
Q1 = 〈a〉, Cq = 〈b〉, |Q1Cq| = qβ , |a| = qβ−1 и ab = a1+qβ−2
. Если β = 3, то
в силу условия подгруппа Cq является нормальной 3-максимальной подгруппой
в G, что противоречит строению группы Mβ(q). Если β = 4, то в силу условия
подгруппа PCq является нормальной 3-максимальной подгруппой в G. Поскольку
CQ(P ) = Ωβ−2(Q) и |Cq| = q, то PCq нильпотентна. Это в свою очередь влечет
нормальность подгруппы Cq в G, что вновь противоречит строению группы Mβ(q).
Следовательно, в случае, когда G — сверхразрешимая группа типа 2 в теореме 3.1 и
Q ' Mβ(q), имеем β > 4. Таким образом, G — группа одного из типов, описанных
в теореме 4.1.
Достаточность. Проверяется так же, как и при доказательстве теоремы 3.1.
Теорема доказана.
Следствие 4.1. Предположим, что каждая третья максимальная подгруппа
группы G нормальна в G. Если |π(G)| ≥ 3, то G сверхразрешима. Если |π(G)| ≥ 4,
то G нильпотентна.
Следствие 4.2 [1]. Предположим, что каждая третья максимальная подгруп-
па группы G нормальна в G. Тогда коммутант G′ группы G является нильпотен-
тным и порядок каждого главного фактора группы G не делится на p3 для всех
простых p.
Следующий пример показывает, что в общем случае класс групп с S-квазинор-
мальными третьими максимальными подгруппами шире класса групп, в которых
все третьи максимальные подгруппы нормальны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С S-КВАЗИНОРМАЛЬНЫМИ ТРЕТЬИМИ ... 1639
Пример 4.1. Пусть Q = 〈x, y | x9 = y3 = 1, xy = x4〉 и Z7 — группа порядка 7.
Тогда Ω1(Q) = Ω является абелевой группой порядка 9. Так как фактор-группа
Q/Ω изоморфна подгруппе порядка 3 группы автоморфизмов Aut (Z7), можно
построить группу G = [Z7]Q. Понятно, что 〈y〉 является 3-максимальной подгруп-
пой в G, 〈y〉 ненормальна в G и G — группа, в которой каждая 3-максимальная
подгруппа S-квазинормальна.
1. Huppert B. Normalteiler and maximal Untergruppen endlicher gruppen // Math. Z. – 1954. – 60. –
S. 409 – 434.
2. Janko Z. Finite groups with invariant fourth maximal subgroups // Ibid. – 1963. – 82. – S. 82 – 89.
3. Janko Z. Finite simple groups with shot chains of subgroups // Ibid. – 1964. – 84. – S. 428 – 437.
4. Agrawal R. K. Generalized center and hypercenter of a finite group // Proc. Amer. Math. Soc. – 1976.
54. – P. 13 – 21.
5. Mann A. Finite groups whose n-maximal subgroups are subnormal // Trans. Amer. Math. Soc. – 1968.
– 132. – P. 395 – 409.
6. Asaad M. Finite groups some whose n-maximal subgroups are normal // Acta Math. Hung. – 1989. –
54, № 1-2. – P. 9 – 27.
7. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978.
8. Луценко Ю. В., Скиба А. Н. Конечные ненильпотентные группы с нормальными или S-квазинор-
мальными n-максимальными подгруппами // Изв. Гомел. ун-та. – 2009. – № 1(52). – С. 134 – 138.
9. Suzuki M. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order // Proc. Amer. Math. Soc. –
1957. – 8, № 4. – P. 686 – 695.
10. Janko Z. Endliche Gruppen mit lauter nilpotent zweitmaximalen Untergruppen // Math. Z. – 1962. – 79.
– S. 422 – 424.
11. Kegel O. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Ibid. – 1962. – 87. – S. 205 – 221.
12. Gorenstein D. Finite groups. – New York etc.: Harper and Row, 1968.
13. Huppert B. Endliche Gruppen. I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 793 p.
14. Холл М. Теория групп. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
Получено 10.02.09,
после доработки — 15.06.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3127 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:45Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4c/a23b297e3c7750690e69144b4174814c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31272020-03-18T19:45:55Z Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups Строение конечных групп с S-квазинормальными третьими максимальными подгруппами Lutsenko, Yu. V. Skiba, A. N. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. We study finite groups whose 3-maximal subgroups are permutable with all Sylow subgroups. Вивчаються скінченні групи, в яких 3-максимальні підгрупи є переставними зi вciмa силовськими підгрупами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3127 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 12 (2009); 1630-1639 Український математичний журнал; Том 61 № 12 (2009); 1630-1639 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3127/3002 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3127/3003 Copyright (c) 2009 Lutsenko Yu. V.; Skiba A. N. |
| spellingShingle | Lutsenko, Yu. V. Skiba, A. N. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. Луценко, Ю. В. Скиба, А. Н. Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups |
| title | Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups |
| title_alt | Строение конечных групп с S-квазинормальными третьими
максимальными подгруппами |
| title_full | Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups |
| title_fullStr | Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups |
| title_full_unstemmed | Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups |
| title_short | Structure of finite groups with S-quasinormal third maximal subgroups |
| title_sort | structure of finite groups with s-quasinormal third maximal subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3127 |
| work_keys_str_mv | AT lutsenkoyuv structureoffinitegroupswithsquasinormalthirdmaximalsubgroups AT skibaan structureoffinitegroupswithsquasinormalthirdmaximalsubgroups AT lucenkoûv structureoffinitegroupswithsquasinormalthirdmaximalsubgroups AT skibaan structureoffinitegroupswithsquasinormalthirdmaximalsubgroups AT lucenkoûv structureoffinitegroupswithsquasinormalthirdmaximalsubgroups AT skibaan structureoffinitegroupswithsquasinormalthirdmaximalsubgroups AT lutsenkoyuv stroeniekonečnyhgruppsskvazinormalʹnymitretʹimimaksimalʹnymipodgruppami AT skibaan stroeniekonečnyhgruppsskvazinormalʹnymitretʹimimaksimalʹnymipodgruppami AT lucenkoûv stroeniekonečnyhgruppsskvazinormalʹnymitretʹimimaksimalʹnymipodgruppami AT skibaan stroeniekonečnyhgruppsskvazinormalʹnymitretʹimimaksimalʹnymipodgruppami AT lucenkoûv stroeniekonečnyhgruppsskvazinormalʹnymitretʹimimaksimalʹnymipodgruppami AT skibaan stroeniekonečnyhgruppsskvazinormalʹnymitretʹimimaksimalʹnymipodgruppami |