On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space
This survey is devoted to the structure of “simple” systems $S = (H;H_1,…,H_n)$ of subspaces $H_i,\; i = 1,…, n,$ of a Hilbert space $H$, i.e., $n$-tuples of subspaces such that, for each pair of subspaces $H_i$ and $H_j$, the angle $0 < θ_{ij} ≤ π/2$ between them is fixed. We give a descript...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3130 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509168353411072 |
|---|---|
| author | Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. |
| author_facet | Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. |
| author_sort | Samoilenko, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:55Z |
| description | This survey is devoted to the structure of “simple” systems $S = (H;H_1,…,H_n)$ of subspaces $H_i,\; i = 1,…, n,$ of a Hilbert space $H$, i.e., $n$-tuples of subspaces such that, for each pair of subspaces $H_i$ and $H_j$, the angle $0 < θ_{ij} ≤ π/2$ between them is fixed. We give a description of “simple” systems of subspaces in the case where the labeled graphs naturally associated with these systems are trees or unicyclic graphs and also in the case where all subspaces are one-dimensional. If the cyclic range of a graph is greater than or equal to two, then the problem of description of all systems of this type up to unitary equivalence is *-wild. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.552.4
Ю. С. Самойленко, А. В. Стрелец (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА*
This review deals with the structure of “simple” systems S = (H;H1, . . . ,Hn) of subspaces Hi, i =
= 1, . . . , n, in a Hilbert space H, i.e., such n-kas of subspaces that, for every pair of subspaces Hi, Hj , the
angle 0 < θij 6
π
2
between them is fixed. We present the description of “simple” systems of subspaces in
the case where marked graphs naturally connected with these systems are trees or unicyclic graphs and aslo
in the case where all subspaces are one-dimensional. If the cyclic range of a graph is greater than or equal to
two, the problem of the description of all systems of this type with accuracy up to the unitary equivalency is
∗-wild.
Огляд присвячено структурi „простих” систем S = (H;H1, . . . ,Hn) пiдпросторiв Hi, i = 1, . . . , n,
у гiльбертовому просторi H, тобто таких n-ок пiдпросторiв, що для кожної пари пiдпросторiв Hi, Hj
зафiксовано кут 0 < θij 6
π
2
мiж ними. Наведено опис „простих” систем пiдпросторiв, коли помiченi
графи, що пов’язанi з ними природним чином, є деревами або унiциклiчними графами, а також коли всi
пiдпростори є одновимiрними. У випадку ж, коли циклiчний ранг графа є бiльшим або дорiвнює двом,
задача опису всiх таких систем з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi є ∗-дикою.
1. Введение. 1.1. Простые n-ки подпространств в гильбертовом пространстве.
1. Изучение систем L = (V ;V1, . . . , Vn) n подпространств V1, . . . , Vn линейного
пространства V, в частности, описание неразложимых четверок подпространств
в V, с точностью до эквивалентности, описание неразложимых представлений в
пространстве V конечных частично упорядоченных множеств и т. д. являются
классическими задачами (см., например, [2, 34, 9, 35, 6, 7, 16, 36, 29, 27, 28, 21]).
Пусть H — гильбертово пространство, Hi ⊂ H, i = 1, . . . , n, — набор подпро-
странств в нем. Изучению систем подпространств
S = (H;H1, . . . ,Hn)
гильбертова пространства H также посвящены многочисленные публикации (см.,
например, [15, 5, 4, 12, 22, 8, 14]).
С каждой системой подпространств S гильбертова пространства H естествен-
ным образом связывается набор ортопроекторов {Pi}ni=1 в H, где Pi — ортогональ-
ный проектор, образ которого равен Hi.
Систему S называют неприводимой, если любой оператор C ∈ B(H) такой, что
C(Hi) ⊂ Hi,
i = 1, . . . , n,
C(H⊥i ) ⊂ H⊥i ,
(1)
является скалярным оператором, т. е. C = λI, где λ ∈ C, I — единичный оператор
в H. Заметим, что условие (1) выполнено тогда и только тогда, когда оператор C
коммутирует с проекторами Pi, i = 1, . . . , n.
Две системы S = (H;H1, . . . ,Hn) и S′ = (H′;H′1, . . . ,H′n) подпространств в
H и H′ называют унитарно эквивалентными, если существует унитарный опера-
*Частково пiдтримано проектом № 20 „Еволюцiйнi та спектральнi задачi сучасної математичної
фiзики” програми „Математичне моделювання фiзичних та механiчних процесiв у сильно неоднорiдних
середовищах”.
c©Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ, 2009
1668 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1669
тор U ∈ B(H,H′) такой, что U(Hi) = H′i, i = 1, . . . , n. Это условие выполнено
тогда и только тогда, когда U сплетает проекторы Pi и P ′i , i = 1, . . . , n, т. е.
выполнено равенство UPi = P ′iU, i = 1, . . . , n.
2. Любая неприводимая система подпространств S = (H;H1) унитарно экви-
валентна одной из систем
S1 = (C; C) или S2 = (C; {0}).
Неприводимые пары подпространств существуют только в одно- и двумерном
гильбертовом пространстве H.
Приведем список всех неприводимых унитарно неэквивалентных пар подпро-
странств:
1. Четыре системы подпространств в одномерном гильбертовом пространстве:
(C; 0, 0), (C; C, 0), (C; 0,C), (C; C,C).
2. Семейство систем подпространств в двумерном пространстве, параметри-
зованное θ ∈
(
0,
π
2
)
. Если обозначить через {e1, e2} ортонормированный базис в
H, то
Sθ = (H;H1,H2),
где H1, H2 — подпространства, порожденные вектором e1 и вектором
x = cos θ e1 + sin θ e2
соответственно.
Для пары проекторов P1 и P2, которые в базисе {e1, e2} записываются в виде
P1 =
(
1 0
0 0
)
, P2 =
(
τ2
√
τ2(1− τ2)√
τ2(1− τ2) 1− τ2
)
, τ = cos θ,
выполнены равенства
P1P2P1 = τ2P1, P2P1P2 = τ2P2.
Будем говорить, что подпространства H1 и H2 расположены друг относитель-
но друга под углом θ
(
0 < θ <
π
2
)
, если для ортогональных проекторов P1 и P2 на
них выполнено соотношение
P1P2P1 = τ2P1, P2P1P2 = τ2P2,
где τ = cos θ ∈ (0, 1). Если подпространства ортогональны, то угол между ними
равен
π
2
.
Для любой пары ортопроекторов P1, P2 вH (пары подпространств S = (H;H1,
H2)) найдутся (см. [12]) пространство H и самосопряженный оператор A, 0 6
6 A 6 IH, в нем (точки 0 и 1 не являются собственными значениями оператора A)
такие, что
H = (H1 ∩H2)⊕ (H1 ∩H⊥2 )⊕ (H⊥1 ∩H2)⊕ (H⊥1 ∩H⊥2 )⊕ (H⊕ H) (2)
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1670 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
P1 = IH1∩H2 ⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ 0H⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
IH 0
0 0
)
,
(3)
P2 = IH1∩H2 ⊕ 0H1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
⊕
(
A2
√
A2(IH −A2)√
A2(IH −A2) IH −A2
)
.
Используя спектральное представление самосопряженного оператора A в виде
спектрального интеграла по разложению единицы EA(·) в H, на интервале (0, 1)
представление (3) можно записать в виде следующего спектрального представле-
ния для пары ортопроекторов (пары подпространств).
Теорема 1. Пусть S = (H;H1,H2) — пара подпространств в H, P1 и P2
— ортопроекторы на H1 и H2 соответственно. Тогда пространство H раскла-
дывается в прямую сумму подпространств (2) и существует разложение едини-
цы EA(·) на интервале (0, 1) со значениями в ортопроекторах в H такое, что
P1 = IH1∩H2 ⊕ IH1∩H⊥2 ⊕ 0H⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
(
1 0
0 0
)
⊗ IH,
(4)
P2 = IH1∩H2 ⊕ 0H1∩H⊥2 ⊕ IH⊥1 ∩H2
⊕ 0H⊥1 ∩H⊥2 ⊕
⊕
1∫
0
(
τ2
√
τ2(1− τ2)√
τ2(1− τ2) 1− τ2
)
⊗ dEA(τ),
где интеграл сходится равномерно.
Спектральное представление (4) пары ортопроекторов используется при иссле-
довании многих вопросов функционального анализа. Например, с его помощью
доказываются следующие утверждение и, как следствие, теорeма 2 — критерий
замкнутости суммы двух подпространств (см. [4]).
Утверждение 1. Пусть подпространства H1, H2 гильбертова простран-
ства H находятся в общем положении, т. е.
H1 ∩H2 = H⊥1 ∩H⊥2 = H1 ∩H⊥2 = H⊥1 ∩H2 = 0.
Множество H1 + H2 замкнуто тогда и только тогда, когда выполнено одно из
следующих эквивалентных условий:
1 6∈ σ(P1P2) или ‖P1P2‖ < 1,
где P1, P2 — ортопроекторы на H1, H2 соответственно, а σ(·) — спектр со-
ответствующего оператора.
Теорема 2. Множество H1 + H2 замкнуто тогда и только тогда, когда
существует число ε > 0 такое, что
σ(P1P2) ∩ (1− ε, 1) = ∅.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1671
3. Задача об описании с точностью до унитарной эквивалентности неприво-
димых n-ок подпространств
S = (H;H1, . . . ,Hn)
и любых n-ок, как прямой суммы (или интеграла) неприводимых, при n > 3 явля-
ется ∗-дикой задачей (см. [32, 17, 18]). ∗-Дикой является даже задача об описании
троек подпространств S = (H;H1,H2,H3) таких, что H2⊥H3 (о ∗-диких задачах
см. [17, 18]).
Поскольку задача описания с точностью до унитарной эквивалентности всех
неприводимыx n-ок подпространств в пространстве H при n > 3 „безнадежна”,
естественно выделить тот или иной класс n-ок подпространств в H и, по воз-
можности, описать все неприводимые n-ки подпространств в H из выбранного
класса. Например, статьи [30, 1, 37, 31] посвящены изучению ортоскалярных n-ок
подпространств гильбертова пространства H.
4. Зафиксируем целое число n и набор углов θij ∈
(
0,
π
2
]
, 0 6 i < j 6
6 n. Настоящий обзор посвящен изучению структуры n-ок подпространств S =
= (H;H1, . . . ,Hn) таких, что все подпространства различны и для любой пары
подпространств Hi и Hj , i 6= j, угол между подпространствами равен θij , т. е.
либо имеют место соотношения
PiPjPi = τ2
ijPi и PjPiPj = τ2
jiPj , (5)
где
0 < τij = τji = cos θij < 1
(
0 < θij <
π
2
)
,
либо подпространства Hi и Hj ортогональны, т. е.
PiPj = PjPi = 0
(
θij =
π
2
)
. (6)
Такие n-ки подпространств S = (H;H1, . . . ,Hn) будем называть простыми.
Цель работы — дать ответы на следующие вопросы:
1. Существуют ли простые системы подпространств S = (H;H1, . . . ,Hn) та-
кие, что углы между Hi и Hj равны θij , 0 6 i < j 6 n?
2. Если ответ положительный, то как описать все такие системы с точностью
до унитарной эквивалентности?
1.2. Помеченные графы. 1. Простые системы подпространств удобно зада-
вать с помощью конечных неориентированных графов Γ = (V,R) без кратных
ребер и петель (V = {1, . . . , n} — множество вершин графа, R = {γij = γji} —
множество ребер графа) и функций τ, определенных на ребрах графа τ : R→ (0, 1):
каждому подпространствуHi соответствует вершина графа i, вершины i и j соеди-
нены ребром γij , тогда и только тогда, когда для подпространствHi иHj выполне-
но условие (5), при этом τ(γij) = τij ; если же соответствующие подпространства
ортогональны, то вершины ребром не соединены. Например, граф
••
• •
•
••
τ1
τ2
τ3
τ4
τ5
τ6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1672 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
соответствует семерке подпространств, где шесть подпространств попарно орто-
гональны, а седьмое находится под заданными углами к ним. В пункте 2 будет
показано, то такие семерки существуют тогда и только тогда, когда
τ2
1 + τ2
2 + τ2
3 + τ2
4 + τ2
5 + τ2
6 6 1,
и неприводимая такая семерка единственна с точностью до унитарной эквивалент-
ности.
Пару (Γ, τ) называем помеченным графом. Определим матрицу смежности
помеченного графа AΓ,τ = (aij):
aij =
τ(γij), i 6= j, γij ∈ R,
0 в противном случае,
спектр помеченного графа σ(Γ, τ) = σ(AΓ,τ ) и индекс помеченного графа λΓ,τ
— наибольшее собственное значение матрицы AΓ,τ . Заметим, что если положить
τ(γij) = 1, то получим матрицу смежности AΓ, спектр σ(Γ) и индекс λΓ самого
графа Γ (см. [3]).
Для индексов и спектров помеченных графов имеют место следующие свойства.
Утверждение 2. 1. Если Γ — двудольный граф, то спектр помеченного графа
(Γ, τ) симметричен относительно 0.
2. Пусть помеченный граф (Γ̃, τ̃) получен из помеченного связного графа (Γ, τ)
удалением некоторой вершины. Тогда
λΓ̃,τ̃ < λΓ,τ .
3. Если для одного и того же связного графа Γ введены две функции на ребрах τ
и τ̃ такие, что τ 6= τ̃ и τ̃(γij) 6 τ(γij) для любого ребра γij , то
λΓ,τ̃ < λΓ,τ .
Эти свойства спектра и индекса помеченного графа доказываются так же, как
и в спектральной теории графов (см., например, [3, 33, 38]).
2. В силу известного критерия Сильвестра матрица положительно определена
тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры положительны; она
неотрицательно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры
неотрицательны (см., например, [40]).
В работе нам понадобятся условия положительной (неотрицательной) опреде-
ленности матрицы BΓ,τ = I−AΓ,τ . Приведем некоторые такие условия в терминах
свойств графа Γ и функции τ.
a) Ясно, что матрица BΓ,τ положительно (неотрицательно) определена тогда и
только тогда, когда 1− λΓ,τ > 0 (1− λΓ,τ > 0), т. е. λΓ,τ < 1 (λΓ,τ 6 1).
Покажем, что если значения функции τ достаточно малы, то матрица BΓ,τ
положительно определена.
Утверждение 3. Если τ(γij) < λ−1
Γ для всех γij ∈ R, то матрица BΓ,τ
является положительно определенной.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1673
Доказательство. Положим
τ0 = max
γij∈R
τ(γij), (7)
тогда, с одной стороны, τ0 < λ−1
Γ , а с другой — λΓ,τ 6 τ0λΓ (в силу утверждения 2),
следовательно, выполнено условие λΓ,τ < 1.
Утверждение доказано.
Для связного графа Γ также выполняется следующий критерий неотрицатель-
ной определенности матрицы BΓ,τ .
Утверждение 4. Пусть Γ — связный граф. Матрица BΓ,τ неотрицательно
определена тогда и только тогда, когда для всех ее ведущих главных миноров
выполнены неравенства
Mk > 0, k = 1, . . . , n− 1,
Mn > 0.
(8)
Доказательство. Если условия (8) выполнены, то BΓ,τ неотрицательно опре-
делена (см., например, [40]). Покажем обратное. Пусть Γ̃ — граф, который полу-
чается из графа Γ удалением вершины n и всех ребер, соединенных с ней, а τ̃
— сужение τ на ребра графа Γ̃. Тогда матрица BΓ̃,τ̃ получается из матрицы BΓ,τ
вычеркиванием последнего столбца и последней строки. Если матрица BΓ,τ не-
отрицательно определена, то λΓ,τ 6 1, следовательно, λΓ̃,τ̃ < λΓ,τ 6 1 (в силу
утверждения 2). Таким образом, BΓ̃,τ̃ положительно определена, поэтому Mk > 0,
k = 1, . . . , n− 1, как главные миноры положительно определенной матрицы.
Утверждение доказано.
Для конкретных (Γ, τ) некоторые из условий (8) можно не проверять, так как
они выполняются автоматически. Например, если Γ — двудольный граф и верши-
ны графа Γ занумерованы так, что вершины 1, . . . ,m принадлежат одной доле, а
вершины m+ 1, . . . , n — другой (мы предполагаем, что 2m > n). Тогда
M1 = . . . = Mm = 1 > 0
автоматически и условий неотрицательной определенности BΓ,τ не более чем
n
2
.
б) Пусть (Γ, τ ) — помеченный граф, такой, что для каждого ребра γij определено
некоторое натуральное число mij > 2 и функция τ задана формулой
τ(γij) = cos
π
mij
.
Соответствующая матрица BΓ,τ положительно определена тогда и только тогда,
когда помеченный граф (Γ, τ) связан с графом Дынкина – Кокстера, и неотрица-
тельно (но не положительно) определена тогда и только тогда, когда помеченный
граф (Γ, τ) связан с евклидовым графом (расширенным графом Дынкина), см.,
например, [25, 10, 38].
3. Если простая n-ка ненулевых подпространств неприводима, то соответ-
ствующий ей граф является связным. В дальнейшем будем рассматривать только
связные графы Γ.
Одной из характеристик системы подпространств является обобщенная размер-
ность системы подпространств S:
dimS = (dimH; dimH1, . . . ,dimHn) ∈ Nn+1
∞ , N∞ = N ∪ {∞}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1674 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
Утверждение 5. Если граф Γ связный, то обобщенная размерность со-
ответствующей графу простой n-ки подпространств S имеет вид
dimS = (d; d0, . . . , d0),
где d, d0 ∈ N∞, d0 6 d.
Доказательство. Достаточно заметить, что если вершины i и j соединены
ребром, то оператор
Uij =
PiPj
τij
⌈
Hj
: Hj → Hi
является унитарным.
1.3. Алгебра TLΓ,τ,⊥ и связь между ее представлениями и простымиn-ками
подпространств. 1. Простые системы подпространств удобно рассматривать
так же, как представления в гильбертовом пространстве соответствующей ∗-алгеб-
ры. Для помеченного графа (Γ, τ) рассмотрим ∗-алгебру
TLΓ,τ,⊥ = C〈p1, . . . , pn | p2
i = p∗i = pi, i ∈ V ;
pipjpi = τ2
ijpi, pjpipj = τ2
ijpj , если γij ∈ R;
pipj = pjpi = 0 в противном случае〉.
Взаимно однозначное соответствие между простыми системами подпространств
S = (H;H1, . . . ,Hn) и представлениями π ∗-алгебры TLΓ,τ,⊥ в гильбертовом про-
странстве H задается равенством Hi = Imπ(pi), i ∈ V.
В обозначении алгебры TLΓ,τ,⊥ буквы TL выбраны в честь физиков
H. N. V. Temperley и E. H. Lieb’а, которые в работе [23] ввели алгебры
C〈p1, . . . , pn | p2
i = p∗i = pi, i = 1, . . . , n;
pipjpi = τ2
0 pi, если |i− j| = 1;
pipj = pjpi в противном случае〉
в связи с изучением моделей статистической физики (соотношения в таких алгеб-
рах задаются цепочкой An). Об обобщенных алгебрах Темперли – Либа, связанных
с графами Γ, см. [11]. Символ ⊥ в обозначении алгебры TLΓ,τ,⊥ указывает на то,
что проекторы, соответствующие не связанным вершинам в графе, в отличие от
обобщенных алгебр Темперли – Либа, ортогональны, а не коммутируют. С другой
стороны, алгебры с ортогональностью устроены проще, чем алгебры с коммутатив-
ностью (являются их фактор-алгебрами), но графов Γ, для которых удается описать
∗-представления алгебр TLΓ,τ,⊥, значительно больше.
2. Знание размерности или роста алгебры полезно для изучения ее ∗-пред-
ставлений в пространстве H. Например, для любой конечномерной ∗-алгебры A
верно следующее утверждение:
Утверждение 6. Если dim A <∞, то она имеет конечное число неприводи-
мых ∗-представлений.
Доказательство. Обозначим
∗-Rad A =
{
x ∈ A |π(x) = 0, π ∈ ∗-Rep A
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1675
где ∗-Rep A — множество всех ∗-представлений алгебры A. Поскольку ∗-Rad A со-
держит максимальный нильпотентный идеал Rad A, ∗-алгебра A/∗ -Rad A конеч-
номерна, полупроста и, следовательно, имеет лишь конечное число неприводимых
представлений.
В дальнейшем под термином „представление алгебры в гильбертовом простран-
стве H” будем подразумевать ∗-представление соответствующей ∗-алгебры.
3. В работах [24, 26] с помощью построения базиса Гребнера показано, в
частности, что, как линейное пространство, алгебра TLΓ,τ,⊥ изоморфна линейно-
му пространству N, порожденному всеми нормальными словами, т. е. конечными
словами w = pi1 . . . pil , где l ∈ N и ik ∈ V, 1 6 k 6 l, которые не содержат в
качестве подслова слова из множества
p2
i , i ∈ V ; pipj , pjpi, γij 6∈ R; pipjpi, pjpipj , γij ∈ R. (9)
Более того, если через w1 ◦ w2 обозначить результат редуцирования слова w1w2,
т. е. замену „запрещенных” подслов в нем по правилам
p2
i → pi, i ∈ V ; pipj → 0, pjpi → 0, γij 6∈ R;
pipjpi → τ2
ijpi, pjpipj → τ2
ijpj , γij ∈ R,
то относительно умножения ◦ линейное пространство N является алгеброй, изо-
морфной алгебре TLΓ,τ,⊥. Как следствие получаем следующее утверждение.
Утверждение 7. Размерность и рост алгебры TLΓ,τ,⊥ не зависят от выбора
функции τ.
Подробнее о нормальных словах и алгоритме построения базиса Гребнера для
алгебры, заданной образующими и соотношениями, см., например, обзор [39] и
библиографию в нем.
1.4. Обзор результатов. В работе для произвольного фиксированного гра-
фа Γ выделим те функции τ, для которых существуют простые n-ки подпро-
странств, и опишем, если это возможно, все такие n-ки с точностью до унитарной
эквивалентности, или докажем, что задача их описания является „безнадежной”.
Покажем, что в зависимости от Γ эти задачи либо конечного представленческого
типа (все проекторы π(pk), k = 1, . . . , n, в неприводимом представлении имеют
одномерный образ и существует только конечное число унитарно неэквивалент-
ных неприводимых представлений), либо ручного представленческого типа (число
всех неприводимых унитарно неэквивалентных представлений для некоторых τ
бесконечно, но для любого неприводимого представления π в Hπ все проекто-
ры π(pk), k = 1, . . . , n, имеют одномерный образ и существует число N(Γ) ∈ N
такое, что выполняется неравенство dimHπ 6 N(Γ)), либо найдутся такие τ, для
которых алгебра ∗-дикая (задача описания всех неприводимых неэквивалентных
∗-представлений является ∗-дикой, т. е. не менее сложной, чем описание с точнос-
тью до унитарной эквивалентности пары неприводимых унитарных операторов).
Если Γ — дерево (п. 2), следуя [26], приводим условия на функцию τ, при кото-
рых ненулевая неприводимая простая n-ка подпространств существует (теорема 5).
В этом случае такая n-ка единственна, d = n или d = n − 1, d0 = 1. В п. 2 также
приведены примеры простых конфигураций пространств, связанных с звездными
графами Tl1,...,ls .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1676 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
В случае, когда Γ — унициклический граф (п. 3), следуя [26, 19], приведены
условия на функцию τ, при которых ненулевая простая n-ка подпространств суще-
ствует. В этом случае такая конфигурация, вообще говоря, не является единствен-
ной. Более того, число унитарно неэквивалентных неприводимых конфигураций
может быть бесконечным, но все такие неприводимые n-ки конечномерны, d = n,
или d = n− 1, или d = n− 2, а d0 = 1, и множество всех таких неэквивалентных
n-ок можно параметризовать числом ϕ ∈ Φ ⊂ [0, 2π) (теорема 8). Следуя [26, 19,
20], изучены представления, связанные с циклом.
В п. 4 получены условия на функцию τ, при которых существует ненулевая про-
стая n-ка одномерных подпространств, соответствующая произвольному связному
графу Γ. Множество классов эквивалентности всех таких n-ок можно параметри-
зовать вектором ω ∈ Ω1 × . . . × Ων(Γ), где Ωi ⊂ [0, 2π), ν(Γ) = |R| − |V | + 1
— циклический ранг графа (следствие 1). Изучены примеры симметричных n-ок
одномерных подпространств.
Однако если циклический ранг графа ν(Γ) больше 2 (п. 5), то при достаточ-
но малых τij существуют простые неприводимые n-ки не одномерных подпро-
странств. В этом случае задача описания с точностью до унитарной эквивалент-
ности всех неприводимых n-ок подпространств не менее сложная, чем описание с
точностью до унитарной эквивалентности пары неприводимых унитарных опера-
торов, т. е. является ∗-дикой (теорема 12).
2. Простые n-ки подпространств, связанные с деревьями. 2.1. Алгебра
TLΓ,τ,⊥. Пусть Γ — дерево. Тогда для любого τ алгебра TLΓ,τ,⊥ является ко-
нечномерной, так как в силу (9) в нормальном слове в случае дерева буквы повто-
ряться не могут, следовательно, длина нормального слова ограничена количеством
вершин n в дереве (см. [26]). Любому нормальному нетривиальному (т. е. отлич-
ному от единицы e) слову w в этом случае можно сопоставить пару вершин (i, j),
где pi — первая буква в слове, pj — последняя. Такое сопоставление однозначно,
поскольку в дереве существует единственный кратчайший путь из вершины i в
вершину j и только в таком пути ни одна вершина не встречается более одного
раза. Следовательно, dimTLΓ,τ,⊥ = n2 + 1, где n — количество вершин в дереве.
2.2. Конструкция представления алгебры TLΓ,τ,⊥. Рассмотрим матрицу
BΓ,τ = I −AΓ,τ = (bij),
bij =
1, i = j, i ∈ V,
−τij , i 6= j, γij ∈ R,
0, i 6= j, γij 6∈ R.
В линейном пространстве L, порожденном множеством векторов
{e1, e2, . . . , en},
определим полуторалинейную форму B(·, ·), положив B(ei, ej) = bij .
Пусть полуторалинейная форма B неотрицательно определена на L. Если она
положительно определена, то вL введем скалярное произведение формулой 〈x, y〉 =
= B(x, y) и полученное гильбертово пространство обозначимHτ . Если же формаB
не является положительно определенной, то в качестве Hτ используем фактор-
пространство пространства L по ядру формы B. Таким образом, гильбертово про-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1677
странствоHτ порождено множеством векторов {e1, e2, . . . , en} (возможно, линейно
зависимых), каждый из которых имеет единичную норму, а матрица BΓ,τ является
матрицей Грамма этого множества векторов.
Пусть Pi ∈ B(Hτ ), i ∈ V, — ортогональный проектор на одномерное подпро-
странство, порожденное вектором ei. Определим отображение
πτ : TLΓ,τ,⊥ → B(Hτ ) : pi 7→ Pi, i = 1, . . . , n.
Теорема 3. Пусть Γ — дерево и функция τ такова, что матрица BΓ,τ явля-
ется неотрицательно определенной. Тогда:
1) отображение πτ является ненулевым неприводимым представлением алгеб-
ры TLΓ,τ,⊥;
2) dimHτ = n, если матрица BΓ,τ положительно определена, и dimHτ = n−
−1, если она не является положительно определенной. В обоих случаях dim ImPi =
= 1, i = 1, . . . , n.
Доказательство. 1. Пусть вершины i и j не соединены ребром, тогда
PiPjx = 〈ei, ej〉〈ej , x〉ei = bij〈ej , x〉ei = 0.
Если же вершины i и j соединены ребром, то
PjPiPjx = 〈ej , ei〉〈ei, ej〉〈ej , x〉ej = bjibijPjx = τ2
ijPjx.
Таким образом, πτ является представлением.
Покажем, что оно неприводимо. Пусть C коммутирует со всеми проекторами,
тогда
Cek = CPkek = PkCek = λkek, k ∈ V,
для некоторого λk ∈ C. Пусть
l =
(
jm = k, jm−1, . . . , j2, j1 = 1
)
— кратчайший путь из вершины 1 в вершину k. Тогда найдется µk ∈ C \ {0} такое,
что ek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1e1. Таким образом,
λkek = Cek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1Ce1 = λ1ek
и C — скалярный оператор.
2. Размерность пространстваHτ равна рангу матрицы BΓ,τ . Если матрица BΓ,τ
положительно определена, то ее ранг равен n, следовательно, в этом случае
dimHτ = n. Поскольку BΓ,τ = I −AΓ,τ , то матрица BΓ,τ неотрицательно опреде-
лена и не является положительно определенной тогда и только тогда, когда λΓ,τ =
= 1. В силу теоремы Фробениуса кратность λΓ,τ равна 1, поэтому ранг матри-
цы BΓ,τ равен n− 1, следовательно, в этом случае dimHτ = n− 1.
Теорема доказана.
2.3. Описание всех простых неприводимых n-ок подпространств для де-
ревьев.
Теорема 4. Пусть Γ — дерево и функция τ такова, что существует π — не-
нулевое неприводимое представление алгебры TLΓ,τ,⊥ в гильбертовом простран-
стве H. Тогда матрица BΓ,τ является неотрицательно определенной и представ-
ление π унитарно эквивалентно представлению πτ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1678 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
Доказательство. Покажем, что для представления π образы всех проекто-
ров Qj = π(pj) одномерны. Возьмем x1 такое, что Q1x1 = x1 и ‖x1‖ = 1.
Для каждой вершины j 6= 1 существует единственный кратчайший путь в де-
реве lj = (i1 = j, i2, . . . , im = 1). Положим
xj = (−1)m+1 Qi1Qi2 . . . Qimxim
τi1i2τi2i3 . . . τim−1im
.
Тогда ‖xj‖ = 1, j ∈ V, и подпространство, порожденное множеством векторов
{xj}j∈V , инвариантно относительно неприводимого представления π, следова-
тельно, оно совпадает с пространством H и образы проекторов Qj порождаются
векторами xj соответственно.
Очевидно, что если вершины i и j не соединены, то 〈xi, xj〉 = 0, а если они
соединены, то либо lj = (j, i) ∪ li, либо li = (i, j) ∪ lj . Пусть, для определенности,
выполнено первое равенство. Это означает, что xj = −τ−1
ij Qjxi, но тогда
〈xi, xj〉 = − 1
τij
〈xi, Qjxi〉 = − 1
τij
〈xi, QiQjQixi〉 = −τij .
Таким образом, матрица BΓ,τ является матрицей Грамма множества векторов
{xj}j∈V , следовательно, она неотрицательно определена и представление π уни-
тарно эквивалентно представлению πτ .
Теорема доказана.
Объединяя теоремы 3 и 4, для систем подпространств получаем следующую
теорему.
Теорема 5. Пусть Γ — дерево. Ненулевая неприводимая простая n-ка подпро-
странств S, соответствующая паре (Γ, τ), существует тогда и только тогда,
когда матрица BΓ,τ неотрицательно определена. В этом случае такая n-ка под-
пространств единственна, с точностью до унитарной эквивалентности, и для ее
обобщенной размерности справедливо равенство
dimS = (n′; 1, 1, . . . , 1),
где n′ = n, если матрицаBΓ,τ положительно определена, и n′ = n−1 в противном
случае.
2.4. Примеры. Если τ(γij) < λ−1
Γ для всех ребер γij ∈ R, то в силу утвержде-
ния 3 существует нетривиальное неприводимое представление πτ алгебры TLΓ,τ,⊥.
Ниже в примерах мы фиксируем граф Γ и приводим необходимые и достаточ-
ные условия на функцию τ для существования представления алгебры TLΓ,τ,⊥.
1. Приведем, следуя [20], описание неприводимых представлений алгебры
TLΓ,τ,⊥, в предположении, что
τij = τ0 ∈ (0, 1), γij ∈ R.
Поскольку τij = τ0, справедливо равенство BΓ,τ = I − τ0AΓ. Поэтому матри-
ца BΓ,τ неотрицательно определена тогда и только тогда, когда 1−τ0λΓ > 0. Таким
образом, получаем следующее утверждение.
Утверждение 8. 1. Ненулевое неприводимое представление π в гильбертовом
пространстве H алгебры TLΓ,τ,⊥ существует тогда и только тогда, когда τ0 6
6 λ−1
Γ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1679
2. Если τ0 < λ−1
Γ , то dimH = n.
3. Если τ0 = λ−1
Γ , то dimH = n− 1.
Обозначим через ΣΓ множество тех τ0, для которых существует ненулевое
неприводимое представление алгебры TLΓ,τ,⊥ в гильбертовом пространстве.
Тогда (см., например, [3, 33]) для графов Дынкина An, Dn, E6, E7 и E8 спра-
ведливы равенства
ΣAn =
0;
1
2 cos
π
n+ 1
, ΣDn =
0;
1
2 cos
π
2(n− 1)
,
ΣE6 =
0;
1
2 cos
π
12
, ΣE7 =
0;
1
2 cos
π
18
, ΣE8 =
0;
1
2 cos
π
30
.
Если Γ является одним из расширенных графов Дынкина D̃n, Ẽ6, Ẽ7 или Ẽ8,
то ΣΓ =
(
0,
1
2
]
. Для всех остальных деревьев ΣΓ ⊂
(
0,
1
2
)
.
2. Пусть Γ — „звезда”
••
• •
•
•
τ1
τ2
τ3
τ4
τs
· ··
т. е. дерево, вершины 1, . . . , s которого соединены с вершиной n = s + 1. В этом
случае для главных диагональных миноров матрицы BΓ,τ справедливы равенства
M1 = . . . = Ms = 1,
Mn = 1− (τ2
1 + τ2
2 + . . .+ τ2
s ).
Следовательно, в силу утверждения 4 матрица BΓ,τ неотрицательно определена
тогда и только тогда, когда
τ2
1 + τ2
2 + . . .+ τ2
s 6 1.
При этом она положительно определена тогда и только тогда, когда
τ2
1 + τ2
2 + . . .+ τ2
s < 1.
В этом случае размерность пространства представления равна n. В случае, когда
τ2
1 + . . .+ τ2
s = 1,
размерность соответствующего пространства представления равна n− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1680 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
3. Пусть Γ — „звезда” с двумя вершинами на каждом из s лучей,
•••
•
•
•
•
• •
•
•
µ1τ1
µ2
τ2
µ3
τ3
µ4 τ4
µs
τs
· ·
·
т. е. дерево, вершины 2j − 1, 2j, j = 1, . . . , s, которого соединены между собой
ребром с меткой τj , а все вершины 2j − 1, j = 1, . . . , s, соединены с вершиной
n = 2s+ 1, ребро γ2j−1,n помечено числом µj . Тогда в силу утверждения 4 необ-
ходимое и достаточное условие существования ненулевого представления таково:
s∑
j=1
µ2
j
1− τ2
j
6 1.
В частности, для Ẽ6
•••
•
•
• •
µ1τ1
µ2
τ2
µ3 τ3
необходимое и достаточное условие существования соответствующей конфигу-
рации имеет вид
µ2
1
1− τ2
1
+
µ2
2
1− τ2
2
+
µ2
3
1− τ2
3
6 1.
4. Пусть граф Γ = An помечен следующим образом:
• • • • •
τ1 τ2 τn−1
Рассмотрим полиномы
Pk(x1, . . . , xk−1) = det
1 x1 0 . . . 0
x1 1 x2 . . . 0
0 x2 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
=
= 1−
k∑
i=1
x2
i +
k∑
i1=1
k∑
i2=i1+2
x2
i1x
2
i2 −
k∑
i1=1
k∑
i2=i1+2
k∑
i3=i2+2
x2
i1x
2
i2x
2
i3 + . . . .
Тогда в силу утверждения 4 условия
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1681
Pk(τ1, . . . , τk−1) > 0, k = 1, . . . , n− 1,
Pn(τ1, . . . , τn−1) > 0
являются необходимыми и достаточными условиями существования соответству-
ющей конфигурации.
Поскольку
Pk(x, . . . , x) = xnUn
(
1
2x
)
,
где Un — полином Чебышева второго рода, то в частном случае, когда все углы
равны, τ1 = . . . = τn−1 = τ0, условия существования конфигурации
Uk
(
1
2τ0
)
> 0, k = 1, . . . , n− 1,
Un
(
1
2τ0
)
> 0
выполнены тогда и только тогда, когда
τ0 6
1
2 cos
π
n+ 1
.
5. Пусть Γ — „звезда”, имеющая s лучей, каждый из которых содержит lj ,
j = 1, . . . , s, вершин:
•••••
•
•
•
•
• • • •
µ1τ1,l1−1τ1,1
µ2
τ2,l2−1
τ2,1
µs τs,ls−1 τs,1
·
·
·
Тогда в силу утверждения 4 необходимые и достаточные условия существова-
ния соответствующей конфигурации имеют вид
Pk(τj,1, . . . , τj,k−1) > 0, j = 1, . . . , s, k = 1, . . . , lj ,
s∑
j=1
µ2
j
Plj−1(τj,1, . . . , τj,lj−2)
Plj (τj,1, . . . , τj,lj−1)
6 1.
В частном случае, когда
τj = τj,1 = . . . = τj,lj−1, j = 1, . . . , s,
необходимые и достаточные условия существования соответствующей конфигура-
ции можно записать в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1682 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
τj <
1
2 cos
π
lj + 1
, j = 1, . . . , s,
s∑
j=1
µ2
j
Ulj−1
(
1
2τj
)
τjUlj
(
1
2τj
) 6 1.
В частности, для Ẽ7
••••
•
• • •
µ1τ1τ1
µ2
µ3 τ3 τ3
необходимые и достаточные условия существования соответствующей конфигу-
рации таковы:
τ1 <
1√
2
, τ3 <
1√
2
,
µ2
1
1− τ2
1
1− 2τ2
1
+ µ2
2 + µ2
3
1− τ2
3
1− 2τ2
3
6 1,
а для Ẽ8
•••
•
• • • • •
µ1τ1
µ2
µ3 τ3 τ3 τ3 τ3
необходимые и достаточные условия существования соответствующей конфигу-
рации имеют вид
τ3 <
1√
3
,
µ2
1
1− τ2
1
+ µ2
2 + µ2
3
τ4
3 − 3τ2
3 + 1
3τ4
3 − 4τ2
3 + 1
6 1.
Примеры утверждений о существовании конфигураций для помеченных дере-
вьев см. также в [13].
3. Простые n-ки подпространств, связанные с унициклическими графами.
В этом пункте рассматриваются связные унициклические графы Γ = (V,R). Будем
обозначать такой граф Γ = (Cm; Γ1,Γ2 . . .Γm), где Cm = (V0, R0) — цикл из m
вершин, а Γk = (Vk, Rk), k = 1, . . . ,m, — такие деревья, что их множества вершин
попарно не пересекаются, и вершина k ∈ Vk, k = 1, . . . ,m. Тогда множество
вершин графа V = V1 ∪ . . . ∪ Vm, а множество ребер R = R0 ∪R1 ∪ . . . ∪Rm.
3.1. Алгебра TLΓ,τ,⊥. В случае унициклического графа алгебра TLΓ,τ,⊥ бес-
конечномерна. Действительно, если обозначить ŵ = p1p2 . . . pm, то слово ŵr явля-
ется нормальным.
Алгебра TLΓ,τ,⊥ имеет полиномиальный рост. Действительно, для любой вер-
шины j, отличной от 1, существует единственный кратчайший путь wj из этой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1683
вершины в ближайшую вершину цикла k (вершину k не включаем в этот путь,
полагая путь пустым, если j = k). Обозначим через wj соответствующее такому
пути слово (wj = e, если j = k). Далее из вершины k 6= 1 есть единственный
кратчайший путь в вершину m, который не содержит вершину 1, и единственный
кратчайший путь в вершину 2, который не содержит 1. Обозначим соответствую-
щие слова через vj и vj . Если k = 1, то будем полагать vj = vj = e. В силу (9)
любое слово w = pi1 . . . pim , в котором хотя бы один проектор повторяется более
одного раза, можно представить в виде
wi1vi1ŵ
rp1v
∗
imw
∗
im или wi1vi1p1ŵ
∗rv∗imw
∗
im . (10)
Более подробно об этом результате см. в [24, 26]. В [24] также показано, что алгеб-
ра TLΓ,τ,⊥ является конечномерной над своим центром.
3.2. Конструкция представлений алгебры TLΓ,τ,⊥. Пусть ϕ ∈ [0, 2π). Рас-
смотрим матрицу BΓ,τ,ϕ = (bij),
bkj =
1, k = j, k ∈ V,
−τkj , k 6= j, γkj ∈ R \ {γ1m},
−eiϕτ1m, k = 1, j = m,
−e−iϕτ1m, k = m, j = 1,
0, k 6= j, γkj 6∈ R.
В линейном пространстве L, порожденном множеством векторов
{e1, e2, . . . , en},
определим полуторалинейную форму B(·, ·), положив B(ei, ej) = bij .
Пусть Φτ ⊂ [0, 2π) — множество тех ϕ, для которых матрица BΓ,τ,ϕ неотри-
цательно определена. Для ϕ ∈ Φτ , для которых BΓ,τ,ϕ положительно определена,
введем скалярное произведение формулой 〈x, y〉 = B(x, y). Полученное гильбер-
тово пространство обозначим через Hτ,ϕ. Для тех же ϕ ∈ Φτ , для которых матри-
ца BΓ,τ,ϕ не является положительно определеной, в качествеHτ,ϕ возьмем фактор-
пространство пространства L по ядру формы BΓ,τ,ϕ. Таким образом, гильбертово
пространство Hτ,ϕ порождено множеством векторов {e1, e2, . . . , en}, каждый из
которых имеет единичную норму, и матрица BΓ,τ,ϕ является матрицей Грамма
этого множества векторов.
Как и для деревьев, определим Pi как ортогональный проектор на одномерное
подпространство пространства Hτ,ϕ, порожденное вектором ei, и отображение
πτ,ϕ : TLΓ,τ,⊥ → B(Hτ,ϕ) : pi 7→ Pi, i = 1, . . . , n.
Теорема 6. Пусть Γ — унициклический граф и функция τ такова, что мно-
жество Φτ тех функций ϕ ∈ [0, 2π), для которых матрица BΓ,τ,ϕ является не-
отрицательно определенной, не является пустым. Тогда:
1) отображения πτ,ϕ, ϕ ∈ Φτ , являются ненулевыми неприводимыми пред-
ставлениями алгебры TLΓ,τ,⊥;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1684 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
2) представления πτ,ϕ и πτ,ϕ̃, ϕ, ϕ̃ ∈ Φτ , унитарно эквивалентны тогда и
только тогда, когда ϕ = ϕ̃;
3) размерность пространства Hτ,ϕ равна n, n− 1 или n− 2.
Доказательство. 1. Пусть вершины i и j не соединены ребром, тогда
PiPjx = 〈ei, ej〉〈ej , x〉ei = bij〈ej , x〉ei = 0.
Если же вершины i и j соединены ребром, то
PjPiPjx = 〈ej , ei〉〈ei, ej〉〈ej , x〉ej = bjibijPjx = τ2
ijPjx.
Таким образом, πτ,ϕ является представлением.
Покажем, что оно неприводимо. Пусть C коммутирует со всеми проекторами,
тогда
Cek = CPkek = PkCek = λkek, k ∈ V,
для некоторого λk ∈ C. Пусть
l = (jm = k, jm−1, . . . , j2, j1 = 1)
— некоторый путь из вершины 1 в вершину k. Тогда найдется µk ∈ C \ {0} такое,
что ek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1e1. Таким образом,
λkek = Cek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1Ce1 = λ1ek
и C — скалярный оператор.
2. Пусть πτ,ϕ и πτ,ϕ̃ унитарно эквивалентны, т. е. существует унитарный опе-
ратор U : H → H̃ такой, что UPk = P̃kU. Но тогда существует λk, такое, что
Uek = UPkek = P̃kUek = λkẽk,
где последнее равенство справедливо, так как P̃k — одномерный проектор. С другой
стороны, имеют место равенства
1 = 〈ek, ek〉 = 〈Uek, Uek〉 = λkλk〈ẽk, ẽk〉 = λkλk,
следовательно, найдется ψk ∈ [0, 2π) такое, что λk = e−iψk . Таким образом,
ẽk = eiψkUek.
Тогда если γkj ∈ R \ {γ1m}, k < j, то
−τkj = 〈ẽk, ẽj〉 = ei(ψk−ψj)〈ek, ej〉 = −ei(ψk−ψj)τkj .
Таким образом, ψk = ψj для любых пар вершин (k, j). Но тогда
−eiϕ̃τ1m = 〈ẽ1, ẽm〉 = 〈e1, em〉 = −eiϕτ1m,
следовательно, ϕ̃ = ϕ.
3. Размерность пространства Hτ,ϕ совпадает с рангом матрицы BΓ,τ,ϕ. Пока-
жем, что если матрица BΓ,τ,ϕ неотрицательно определена, то ее ранг больше или
равен n− 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1685
Через Γ̃ = Γ \ V ′, V ′ ⊂ V, обозначим граф, который получается из графа Γ
после удаления вершин V ′ и всех ребер, соединенных с этими вершинами. При
этом τ̃ — сужение τ на ребра Γ̃.
Рассмотрим граф Γ̃ = Γ \ {1}, который получается из Γ, если удалить вершину 1
и все ребра, соединенные с ней. Тогда компонентами связности Γ̃ будут компо-
ненты связности графа Γ̃1 = Γ1 \ {1} и дерево Γ̂ = Γ \V1. После удаления первого
столбца и первой строки из матрицы BΓ,τ,ϕ получившаяся матрица не зависит
от ϕ и является блочно-диагональной матрицей, состоящей из блоковBΓ̃1,τ̃1
иBΓ̂,τ̂ .
Следовательно, ранг матрицы BΓ,τ,ϕ больше или равен сумме рангов матриц BΓ̃1,τ̃1
и BΓ̂,τ̂ .
Поскольку матрица BΓ,τ,ϕ неотрицательно определена, существует представле-
ние πτ,ϕ алгебры TLΓ,τ,⊥. Его сужения на подалгебры, порожденные множества-
ми проекторов {pi}i∈V1 и {pi}i∈V \V1 , являются представлениями алгебр TLΓ1,τ1,⊥
и TLΓ̂,τ̂ ,⊥, следовательно, λΓ1,τ1 6 1 и λΓ̂,τ̂ 6 1. Но тогда λΓ̃1,τ̃1
< 1 по утвержде-
нию 3. Следовательно, матрица BΓ̃1,τ̃1
положительно определена, а матрица BΓ̂,τ̂
неотрицательно определена. Таким образом, ранг матрицы BΓ̃1,τ̃1
равен |V1| − 1,
а ранг матрицы BΓ̂,τ̂ больше или равен |V2|+ . . .+ |Vm| − 1. Следовательно, ранг
матрицы BΓ,τ,ϕ больше или равен |V | − 2 = n− 2.
Теорема доказана.
3.3. Описание всех простых неприводимых n-ок подпространств для связ-
ных унициклических графов.
Теорема 7. Пусть Γ — унициклический граф и функция τ такова, что су-
ществует π — ненулевое неприводимое представление алгебры TLΓ,τ,⊥ в гильбер-
товом пространстве H. Тогда найдется ϕ ∈ [0, 2π) такое, что матрица BΓ,τ,ϕ
является неотрицательно определенной и представление π унитарно эквивалент-
но представлению πτ,ϕ.
Доказательство. Покажем, что для представления π образы всех проекто-
ров Qj = π(pj) одномерны.
Для каждого пути l = (i1, i2, . . . , ik) запишем унитарный оператор
Vl = (−1)k+1 Qi1Qi2 . . . Qik
τi1i2τi2i3 . . . τik−1ik
⌈
Hik
: Hik → Hi1 .
Пусть L1 — множество всех путей, которые начинаются и заканчиваются в
вершине 1. Положим V = Vl0 , где l0 = (1, 2, . . . ,m, 1) ∈ L1. Тогда, учитывая (10),
для любого l ∈ L1 найдется r ∈ N ∪ {0} такое, что Vl = V r или Vl = V ∗r. Пусть
C1 : H1 → H1 — некоторый оператор такой, что C1V = V C1. Тогда C1Vl = VlC1
для любого l ∈ L1. Для каждой вершины j 6= 1 зафиксируем кратчайший путь lj =
= (1, . . . , j), не проходящий через ребро γ1m, и положим
Cj = V ∗ljC1Vlj : Hj → Hj .
Для любой пары вершин j, k ∈ V путь lk ∪ (k, j) ∪ l∗j принадлежит L1, следова-
тельно,
C1VlkV(k,j)V
∗
lj = VlkV(k,j)V
∗
ljC1,
откуда
CkV(k,j) = V(k,j)Cj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1686 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
Поскольку π неприводимо, то H = H1 + . . . + Hn. Для x =
∑
j∈V
xj , где
xj ∈ Hj , j = 1, . . . , n, положим Cx =
∑
j∈V
Cjxj . Пусть x = 0, тогда для любого
y =
∑
j∈V
yj , yj ∈ Hj , j = 1, . . . , n, справедливы равенства
〈Cx, y〉 =
∑
j∈V
∑
k∈V
〈Cjxj , yk〉 =
∑
j∈V
∑
k∈V
〈QjCjxj , Qkyk〉 =
=
∑
j∈V
∑
k∈V
〈xj , C∗kyk〉 =
〈
x,
∑
k∈V
C∗kyk
〉
= 0.
Таким образом, оператор C корректно определен. Далее, для произвольных x, y
имеем
〈CQjx, y〉 =
∑
k∈V
〈CjQjx, yk〉 =
∑
k∈V
〈Qjx,C∗kyk〉,
〈QjCx, y〉 =
∑
i∈V
∑
k∈V
〈QjCixi, yk〉 =
∑
i∈V
∑
k∈V
〈Qjxi, C∗kyk〉.
Тогда CQj = QjC, следовательно, C = λI, λ ∈ C. Но для любого x1 ∈ H1 имеем
C1x1 = Cx1 = λx1, и, значит, dimH1 = 1. Далее, Hj = V ∗ljH1, т. е. dimHj = 1, и
найдется ϕ ∈ [0, 2π) такое, что V = eiϕ.
Зафиксируем x1 ∈ H1 такое, что Q1x1 = x1, ‖x1‖ = 1, и положим xj = V ∗ljx1.
Тогда ‖xj‖ = 1, j ∈ V.
Очевидно, что если вершины i и j не соединены, то 〈xi, xj〉 = 0, а если они
соединены и γij ∈ R\{γ1m}, то либо lj = (j, i)∪ li, либо li = (i, j)∪ lj . Пусть, для
определенности, выполнено первое равенство. Это означает, что xj = −τ−1
ij Qjxi,
но тогда
〈xi, xj〉 = − 1
τij
〈xi, Qjxi〉 = − 1
τij
〈xi, QiQjQixi〉 = −τij ,
〈x1, xm〉 = 〈x1, V
∗
lmx1〉 = −τ1m〈V x1, x1〉 = −eiϕτ1m.
Таким образом, матрица BΓ,τ,ϕ является матрицей Грамма множества векто-
ров {xj}j∈V , следовательно, она неотрицательно определена и представления π и
πτ,ϕ унитарно эквивалентны.
Теорема доказана.
Объединяя теоремы 6 и 7, для систем подпространств получаем следующую
теорему.
Теорема 8. Пусть Γ — унициклический граф, Φτ — множество всех ϕ ∈
∈ [0, 2π) таких, что матрица BΓ,τ,ϕ неотрицательно определена.
Неприводимая простая n-ка подпространств, соответствующая паре (Γ, τ),
существует тогда и только тогда, когда множество Φτ не пусто, при этом,
с точностью до унитарной эквивалентности, для каждого ϕ ∈ Φτ существует
единственная ненулевая неприводимая простая n-ка подпространств Sτ,ϕ и все
они не эквивалентны между собой.
Для обобщенной размерности системы подпространств Sτ,ϕ справедливо ра-
венство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1687
dimSτ,ϕ = (n′; 1, 1, . . . , 1),
где n′ = n, если матрица BΓ,τ,ϕ положительно определена, и n′ = n− 1 или n′ =
= n− 2, в противном случае.
3.4. Примеры. Для каждого унициклического графа Γ существует число δ =
= δ(Γ) такое, что если все τij < δ, то представления πϕ существуют при всех ϕ ∈
∈ [0, 2π) (утверждение 14).
1. Пусть Γ — цикл, каждое ребро которого помечено одним и тем же числом τ.
•
• •
•
••
τ
τ
τ
ττ
Тогда:
1. Если τ <
1
2
, то для любого ϕ ∈ [0, 2π) существует представление πτ,ϕ и
dimHτ,ϕ = n.
2. Если τ =
1
2
, то для любого ϕ ∈ [0, 2π) существует представление πτ,ϕ, при
этом dimHτ,ϕ = n, если ϕ 6= 0, и dimHτ,ϕ = n− 1, если ϕ = 0.
3. Если
1
2
< τ <
1
2 cos(π/n)
, то представление πτ,ϕ существует для всех
ϕ ∈ [nα, 2π − nα], где α — решение уравнения
τ =
1
2 cosα
(11)
на интервале
(
0,
π
n
)
. При этом dimHτ,ϕ = n, если ϕ ∈ (nα, 2π−nα), и dimHτ,ϕ =
= n− 1, если ϕ = nα или ϕ = 2π − nα.
4. Если τ =
1
2 cos(π/n)
, то представление πτ,ϕ существует только при ϕ = π
и dimHτϕ = n− 2.
5. При τ >
1
2 cos(π/n)
ни для какого ϕ представление πτ,ϕ не существует.
4. Простые n-ки одномерных подпространств. В этом пункте мы приведем
описание всех неприводимых представлений алгебры TLΓ,τ,⊥, таких, что образы
всех образующих алгебры — одномерные проекторы.
4.1. Конструкция представлений алгебры TLΓ,τ,⊥ одномерными проекто-
рами. Пусть ω — функция, определенная на ребрах графа:
ω : R→ [0, 2π) : γkj 7→ ωkj .
Введем (n× n)-матрицу BΓ,τ,ω = (bkj) такую, что
bkj =
1, k = j,
−eiωkjτkj , k < j, γkj ∈ R,
−e−iωkjτkj , k > j, γkj ∈ R,
0, k 6= j, γkj 6∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1688 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
Пусть Ωτ — множество функций ω таких, что матрица BΓ,τ,ω неотрицательно опре-
делена. Рассмотрим линейное пространство, порожденное множеством векторов
{e1, e2, . . . , en}. Положим B(ei, ej) = bij и доопределим B(·, ·) до полуторалиней-
ной формы. Если функция ω ∈ Ωτ такова, что BΓ,τ,ω положительно определена, то
введем скалярное произведение формулой 〈x, y〉 = B(x, y). Полученное гильберто-
во пространство обозначим через Hτ,ω. Если же функция ω ∈ Ωτ такова, что мат-
рица BΓ,τ,ω не является положительно определенной, то в качестве Hτ,ω возьмем
фактор-пространство по ядру формы B. Таким образом, гильбертово простран-
ство Hτ,ω порождено множеством векторов {e1, e2, . . . , en}, которые, возможно,
линейно зависимы, и каждый из которых имеет единичную норму, а матрица BΓ,τ,ω
является матрицей Грамма этого множества векторов.
Построим ∗-представление πτ,ω алгебры TLΓ,τ,⊥. Определим
πτ,ω : TLΓ,τ,⊥ → B(Hτ,ω) : pk 7→ Pk, k ∈ V,
где Pk — одномерный проектор на подпространство, порожденное вектором ek,
т. е.
Pkx = 〈x, ek〉ek, x ∈ H.
Теорема 9. Пусть Γ — связный граф и функция τ такова, что множество
Ωτ функций ω ∈ [0, 2π), для которых матрица BΓ,τ,ω является неотрицательно
определенной, не является пустым. Тогда:
1) отображения πτ,ω, ω ∈ Ωτ , являются ненулевыми неприводимыми пред-
ставлениями алгебры TLΓ,τ,⊥;
2) представления πτ,ω и πτ,ω̃, ω, ω̃ ∈ Ωτ , унитарно эквивалентны тогда и
только тогда, когда на вершинах графа существует функция
ψ : V → [0, 2π) : k 7→ ψk
такая, что
eiω̃kj = eiωkjei(ψk−ψj). (12)
Доказательство. 1. Если pkpj = 0, то для любого x ∈ H
PkPjx = 〈x, ej〉〈ej , ek〉ek = bkj〈x, ej〉ek = 0.
Если pkpjpk = τ2
kjpk, то для любого x ∈ H
PkPjPkx = 〈x, ek〉〈ek, ej〉〈ej , ek〉ek = bkjbjk〈x, ek〉ek = τ2
kjPkx.
Таким образом, для пары проекторов Pk и Pj выполняются соотношения.
Теперь покажем, что πτ,ω неприводимо. Пусть C коммутирует со всеми проек-
торами, тогда
Cek = CPkek = PkCek = λkek, k ∈ V,
для некоторого λk ∈ C. С другой стороны, поскольку граф связный, существует
путь из вершины 1 в вершину k
l =
(
jm = k, jm−1, . . . , j2, j1 = 1
)
.
Тогда найдется µk ∈ C\{0} такое, что ek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1e1. Таким образом,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1689
λkek = Cek = µkPkPjm−1 . . . Pj2P1Ce1 = λ1ek,
и C — скалярный оператор.
2. Пусть πτ,ω и πτ,ω̃ унитарно эквивалентны, т. е. существует U : H → H̃ такой,
что UPk = P̃kU. Но тогда существует λk такое, что
Uek = UPkek = P̃kUek = λkẽk,
где последнее равенство справедливо, так как P̃k — одномерный проектор. С другой
стороны, имеют место равенства
1 = 〈ek, ek〉 = 〈Uek, Uek〉 = λkλk〈ẽk, ẽk〉 = λkλk.
Следовательно, найдется ψk ∈ [0, 2π) такое, что λk = e−iψk . Таким образом,
ẽk = eiψkUek.
Тогда, если γkj ∈ R, k < j,
−eiω̃kjτkj = 〈ẽk, ẽj〉 = ei(ψk−ψj)〈ek, ej〉 = −ei(ψk−ψj)eiωkjτkj ,
и, значит,
eiω̃kj = ei(ψk−ψj)eiωkj .
Пусть теперь существует ψ такое, что выполнено условие (12). Определим
унитарный оператор U : H → H̃ формулой
Uek = e−iψk ẽk.
Тогда
P̃kUx = 〈Ux, ẽk〉ẽk = 〈Ux, eiψkUek〉eiψkUek = 〈x, ek〉Uek = UPkx.
Таким образом, P̃kU = UPk, k ∈ V.
Теорема доказана.
Следствие 1. 1. Если Γ — дерево, то все представления πτ,ω, ω ∈ Ωτ , уни-
тарно эквивалентны.
2. Если Γ — связный граф с одним циклом, то существует ребро γ ∈ R такое,
что для любого представления πτ,ω, ω ∈ Ωτ , найдется единственное эквивалент-
ное ему представление πτ,ω̃, ω̃ ∈ Ωτ , такое, что ω̃(R \ {γ}) = {0}.
3. Пусть Γ — связный граф и ν = ν(Γ) = |R| − |V |+ 1 — его циклический ранг.
Тогда существует набор R0 ⊂ R из ν ребер такой, что для любого представле-
ния πτ,ω, ω ∈ Ωτ , найдется единственное эквивалентное ему представление πτ,ω̃,
ω̃ ∈ Ωτ , такое, что ω̃(R \R0) = {0}.
Замечание 1. По существу, неэквивалентные представления алгебры TLΓ,τ,⊥
одномерными проекторами параметризуются элементами некоторого подмноже-
ства группы S1-когомологии графа Γ.
Замечание 2. Ситуация с возможными рангами неотрицательно определен-
ных матриц BΓ,τ,ω авторам не ясна. Поэтому в теореме нет утверждения о возмож-
ных размерностях пространства Hτ,ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1690 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
4.2. Описание всех простых неприводимых n-ок одномерных подпро-
странств для связных графов.
Теорема 10. Пусть Γ — связный граф и функция τ такова, что существу-
ет π — ненулевое неприводимое представление алгебры TLΓ,τ,⊥ в гильбертовом
пространстве H такое, что dimHk = 1, k ∈ V, где Hk = ImQk, Qk = π(pk).
Тогда найдется функция ω : R → [0, 2π) такая, что матрица BΓ,τ,ω является
неотрицательно определенной и представление π унитарно эквивалентно пред-
ставлению πτ,ω.
Доказательство. Для пары вершин k, j ∈ V, соединенных ребром, определим
оператор
Ukj = −QkQj
τkj
.
Если сузить этот оператор на Hj , то получим унитарный оператор, действующий
из Hj в Hk. Пусть l = (j1, j2, . . . , jm) — путь в графе, определим
Ul = Uj1j2Uj2j3 . . . Ujm−1jm .
Очевидно, что сужение Ul на Hjm является унитарным оператором из Hjm в Hj1 .
Зафиксируем e1 ∈ H1 такое, что ‖e1‖ = 1. Поскольку граф связный, для любой
вершины k существует хотя бы один путь lk из вершины 1 в вершину k; зафикси-
руем его. Положим ek = Ulke1. Очевидно, что ‖ek‖ = 1 и система векторов
{e1, e2, . . . , en}
порождает H, так как представление неприводимо и линейная оболочка этой сис-
темы инвариантна относительно представления.
Пусть k < j. Если pkpj = 0, то, очевидно, 〈ek, ej〉 = 0. Если же pkpjpk = τ2
kjpk,
то
〈ek, ej〉 = 〈Ulke1, Ulje1〉 = −τkj〈U∗ljUjkUlke1, e1〉.
Очевидно, что сужение оператора U∗ljUjkUlk наH1 действует как унитарный опера-
тор в H1, но так как H1 — одномерное пространство, найдется число ωkj ∈ [0, 2π)
такое, что 〈ek, ej〉 = −eiωkjτkj .
Теорема доказана.
Объединяя теоремы 9 и 10, для систем подпространств получаем следующую
теорему.
Теорема 11. Пусть Γ — произвольный граф, ν = ν(Γ) = |R| − |V | + 1 —
циклический ранг графа, R0 ⊂ R — фиксированное множество из ν ребер, после
удаления которых граф все еще будет связным, Ωτ — множество всех функций
ω : R → [0, 2π) таких, что ω(R \ R0) = {0} и матрица BΓ,τ,ω неотрицательно
определена.
Неприводимая простая n-ка одномерных подпространств, соответствующая
паре (Γ, τ), существует тогда и только тогда, когда множество Ωτ не пус-
то, при этом, с точностью до унитарной эквивалентности, для каждого ω ∈
∈ Ωτ существует единственная ненулевая неприводимая простая n-ка одномерных
подпространств Sτ,ω и все они не эквивалентны между собой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1691
4.3. Примеры. 1. Мы получили описание представлений πτ,ω одномерными
проекторами алгебры TLΓ,τ,⊥, при этом необходимым и достаточным условием су-
ществования каждого такого представления является неотрицательная определен-
ность матрицы BΓ,τ,ω. Приведем некоторые достаточные условия положительной
определенности матрицы BΓ,τ,ω для любой функции ω.
Обозначим через Vk ⊂ V множество вершин, соединенных ребром с верши-
ной k.
Утверждение 9. Пусть для любого k ∈ V
rk =
∑
j∈Vk
τkj < 1. (13)
Тогда для любой функции ω : R → [0, 2π) существует неприводимое представле-
ние πτ,ω.
Доказательство. Действительно, выполнение неравенства (13) означает, что
матрица BΓ,τ,ω является матрицей со строгим диагональным преобладанием, так
как
bkk = 1 > rk =
∑
j∈Vk
τkj =
∑
j∈V \{k}
|bkj |.
Далее, поскольку BΓ,τ,ω — эрмитова матрица с положительными диагональными
элементами, все ее собственные значения положительны, следовательно, BΓ,τ,ω —
положительно определенная матрица (см., например, [40], теорема 6.1.10).
Утверждение доказано.
Обозначим через µk = |Vk| валентность вершины k и положим
µ = max
k∈V
µk.
Следствие 2. Каждое из следующих двух условий является достаточным
для существования неприводимого представление πτ,ω алгебры TLΓ,τ,⊥ при любой
функции ω : R→ [0, 2π) :
1) для любого γkj ∈ R
τkj <
1
µk
;
2) для любого γkj ∈ R
τkj <
1
µ
.
Действительно,
rk =
∑
j∈Vk
τkj <
∑
j∈Vk
1
µk
= 1.
2. Будем говорить, что система подпространств S = (H;H1, . . . ,Hn), или
система соответствующих ортопроекторов {Pk}nk=1, симметрична, если для лю-
бой перестановки σ ∈ Sn системы проекторов {Pσ(k)}nk=1 и {Pk}nk=1 унитарно
эквивалентны.
Пусть τ0 ∈ (0, 1). Приведем описание всех простых симметричных систем
одномерных подпространств S = (H;H1, . . . ,Hn) таких, что PkPjPk = τ2
0Pk для
всех k 6= j.
Обозначим через ω+ и ω− функции на ребрах полного графа с n вершинами Kn
такие, что ω+(γ) = 0, ω−(γ) = π, для любых γ ∈ RKn
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1692 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
Утверждение 10. 1. Если τ0 ∈
(
0,
1
n− 1
)
, то существуют две неприво-
димые симметричные неэквивалентные системы одномерных подпространств
Sτ0,ω+ и Sτ0,ω−. При этом dimHτ0,ω+ = dimHτ0,ω− = n.
2. Если τ0 =
1
n− 1
, то существуют две неприводимые симметричные не-
эквивалентные системы одномерных подпространств Sτ0,ω+ и Sτ0,ω−. При этом
dimHτ0,ω+ = n и dimHτ0,ω− = n− 1.
3. Если τ0 ∈
(
1
n− 1
, 1
)
, то существуeт единственная симметричная
неприводимая система одномерных подпространств Sτ0,ω+ . При этом
dimHτ0,ω+ = n.
5. O сложности описания n-ок подпространств для графов с двумя и более
циклами. В этом пункте мы приведем конструкцию, которая позволяет построить
представления алгебры TLΓ,τ,⊥, параметризованные операторнозначными функци-
ями, определенными на ребрах графа, образы которых лежат в унитарных операто-
рах. Вопрос о существовании представления для такой функции будет сводится к
вопросу о неотрицательной определенности соответствующей полуторалинейной
формы. Будут получены критерий неприводимости такого представления, критерий
эквивалентности двух таких представлений и показано, что любое неприводимое
представление унитарно эквивалентно представлению, построенному с помощью
этой конструкции. Для связных графов с двумя и более циклами задача описания
представлений при малых τ(γij) содержит задачу об описании пар унитарных опе-
раторов в гильбертовом пространстве с точностью до унитарной эквивалентности,
т. е. является ∗-дикой задачей.
5.1. Алгебра TLΓ,τ,⊥. Случай, когда связный граф не является ни деревом,
ни унициклическим графом, характеризуется условием ν(Γ) > 2, где ν(Γ) — цик-
лический ранг графа. В этом случае найдется вершина j такая, что существуют, по
крайней мере, два различных пути
l1 = (i11 = j, i12, . . . , i1m1) и l2 = (i21 = j, i22, . . . , i2m2)
такие, что вершины в каждом из путей не повторяются и вершины i1m1 , i2m2
соединены ребрами с вершиной j. Пусть
w1 = pi11pi12 . . . pi1m1
и w2 = pi21pi22 . . . pi2m2
— нормальные слова алгебры TLΓ,τ,⊥, соответствующие путям l1 и l2. Тогда вслед-
ствие (9) для любого конечного набора чисел (r1, r2, r3, r4, r5 . . .), ri ∈ N ∪ {0},
слово
w = wr11 w
r2
2 w
r3
1 w
r4
2 w
r5
1 . . .
является нормальным. Таким образом, в случае ν(Γ) > 2 алгебра TLΓ,τ,⊥ содержит
свободную алгебру с двумя образующими, следовательно, она является алгеброй
экспоненциального роста.
5.2. Конструкция представлений алгебры TLΓ,τ,⊥. Зафиксируем некото-
рое гильбертово пространство H0. Пусть η — функция, которая сопоставляет каж-
дому ребру графа унитарный оператор в гильбертовом пространстве H0:
η : R→ B(H0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1693
Для каждой упорядоченной пары вершин (k, j), соединенной ребром γkj ∈ R,
положим Vkj = η(γkj), если k < j, и Vkj = V ∗jk, если k > j. Определим набор
операторов Bkj ∈ B(H0) формулой
Bkj =
I, k = j,
0, k 6= j, γkj 6∈ R,
τkjVkj , k 6= j, γkj ∈ R.
Пусть H̃ — прямая сумма n копий пространства H0:
H̃ = H0 ⊕H0 ⊕ . . .⊕H0,
а Γk, k = 1, 2, . . . , n, — вложения H0 в H̃ такие, что
Γ∗k : H̃ → H0 : (x1, . . . , xn) 7→ xk.
Обозначим H̃k = Im Γk, k = 1, 2, . . . , n.
Положим
B(x, y) = Bη(x, y) =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈BjkΓ∗kx,Γ
∗
jy〉, x, y ∈ H̃.
Если непрерывная полуторалинейная форма B неотрицательно определена и
H̃0 — ee ядро, то она задает скалярное произведение в гильбертовом пространстве
H = Hη = H̃/H̃0. Обозначим соответствующий гомоморфизм через
ρ : H̃ → H : x 7→ x+ H̃0.
Построим ∗-представление πτ,η алгебры TLΓ,τ,⊥. Определим
πτ,η : TLΓ,τ,⊥ → B(H) : pk 7→ Pk, k ∈ V,
где Pk — ортогональный проектор на подпространство Hk = ρ(H̃k). Заметим, что
H̃k ∩ H̃0 = {0}, поэтому ρk — сужение ρ на H̃k — взаимно однозначно отображает
H̃k на Hk. Следовательно, корректно определен идемпотент с образом H̃k:
P̃k : H̃ → H̃ : x 7→ ρ−1
k (Pkρ(x)).
Тогда непосредственно из определения P̃k следует равенство
Pkρ(x) = ρ(P̃kx).
С каждым путем в графе l = (j1, j2, . . . , jm), m > 1, можно связать число τl и
набор операторов
Pl = Pj1 . . . Pjm ,
P̃l = P̃j1 . . . P̃jm ,
Bl = Bj1j2 . . . Bjm−1jm ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1694 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
τl = τj1j2 . . . τjm−1jm ,
Vl =
Bl
τl
= Vj1j2 . . . Vjm−1jm .
Заметим, что Vl — унитарный оператор, действующий в H0, а Bl — оператор, про-
порциональный унитарному, такой, что для любых x, y ∈ H̃ справедливо равенство
〈BlΓ∗jm P̃jmx,Γ∗j1 P̃j1y〉 = 〈Plρ(x), ρ(y)〉H,
которое непосредственно вытекает из следующего утверждения.
Утверждение 11. Для любых векторов x, y ∈ H̃ справедливы равенства〈
Pjρ(x), ρ(y)
〉
H =
〈
Γ∗j P̃jx,Γ
∗
j P̃jy
〉
, j ∈ V, (14)〈
Pj1Pj2Pj3 . . . Pjmρ(x), ρ(y)
〉
H =
〈
Bj1j2Bj2j3 . . . Bjm−1jmΓ∗jm P̃jmx,Γ
∗
j1 P̃j1y
〉
,
(15)
где j1, . . . , jm ∈ V, m > 1, — произвольный набор вершин графа.
Доказательство. Установим сначала равенство (15) для случая m = 2. Дей-
ствительно, для любых x, y ∈ H̃〈
Pj1Pj2ρ(x), ρ(y)
〉
H =
〈
ρ(P̃j2x), ρ(P̃j1y)
〉
H =
〈
Bj1j2Γ∗j2 P̃j2x,Γ
∗
j1 P̃j1y
〉
.
Как следствие получаем два утверждения:
1) если вершины j1 и j2 различны и не соединены ребром, то проекторы Pj1
и Pj2 ортогональны;
2) если j1 = j2 = j, то PjPj = Pj и Bjj = I, и мы получили равенство (14).
Установим равенство (15) для случая m > 2. Без ограничения общности можно
рассматривать только наборы, соответствующие путям в графе. Действительно,
если для некоторого 1 6 i < m вершины ji и ji+1 различны и не соединены
ребром, то Bjiji+1 = 0 и равенство очевидно. Если же ji = ji+1, то Bjiji+1 = 1 и
можно заменить эти два проектора в произведении одним.
Пусть l = (j1, j2, . . . , jm) — произвольный путь из m > 2 вершин, а l̂ =
= (j1, j2, . . . , jm−1) — путь, который получится, если удалить из l последнюю
вершину.
Допустим, что равенство установлено для любого набора, который соответству-
ет пути из менее чем m вершин графа, тогда
〈Plρ(x), ρ(y)〉H = 〈Pl̂ρ(P̃jmx), ρ(y)〉H =
= 〈Bl̂Γ∗jm−1
P̃jm−1 P̃jmx,Γ
∗
j1 P̃j1y〉 =
= 〈Γ∗jm−1
P̃jm−1 P̃jmx,Γ
∗
jm−1
Γjm−1B
∗
l̂
Γ∗j1 P̃j1y〉 =
= 〈Pjm−1Pjmρ(x), ρ(Γjm−1B
∗
l̂
Γ∗j1 P̃j1y)〉H =
= 〈Bjm−1jmΓ∗jm P̃jmx,Γ
∗
jm−1
P̃jm−1Γjm−1B
∗
l̂
Γ∗j1 P̃j1y〉H =
= 〈Bl̂Bjm−1jmΓ∗jm P̃jmx,Γ
∗
j1 P̃j1y〉H =
= 〈BlΓ∗jm P̃jmx,Γ∗j1 P̃j1y〉H.
Таким образом, утверждение 11 доказано по индукции.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1695
Лемма 1. Отображение πτ,η является представлением алгебры TLΓ,τ,⊥.
Доказательство. Если γkj 6∈ R, то для любых x, y ∈ H̃
〈PjPkρ(x), ρ(y)〉H = 〈BjkΓ∗kP̃kx,Γ
∗
j P̃jy〉 = 0.
Если γkj ∈ R, то для любых x, y ∈ H̃
〈PkPjPkρ(x), ρ(y)〉H = 〈BkjBjkΓ∗kP̃kx,Γ
∗
kP̃kxy)〉 =
= τ2
kj〈Γ∗kP̃kx,Γ∗kP̃ky〉 = τ2
kj〈Pkρ(x), ρ(y)〉H.
Таким образом, PkPjPk = τ2
kjPk.
Лемма доказана.
5.3. Критерии неприводимости представлений πτ,η. Пусть C : H → H —
оператор, который коммутирует с проекторами Pk, k ∈ V. Тогда подпростран-
ства Hk и H⊥k , k ∈ V, инвариантны относительно C. Определим операторы
C̃k : H̃k → H̃k, k ∈ V,
формулой
C̃kx = ρ−1
k (Cρ(x)), x ∈ H̃k, (16)
тогда для любого x ∈ H̃k
Cρ(x) = ρ(C̃kx). (17)
Определим
Ck = Γ∗kC̃kΓk : H0 → H0. (18)
Утверждение 12. Пусть оператор C коммутирует со всеми проектора-
ми Pk, k ∈ V, а операторы Ck определены формулами (16), (18). Тогда для любого
пути l = (j1, j2, . . . , jm)
VlCjm = Cj1Vl.
Доказательство. Действительно, для любого пути l, любых u, v ∈ H0 имеем
равенства
〈BlCjmu, v〉 = 〈BlΓ∗jmC̃jmΓjmu,Γ
∗
j1Γj1v〉 =
= 〈Plρ(C̃jmΓjmu), ρ(Γj1v)〉H = 〈PlCρ(Γjmu), ρ(Γj1v)〉H =
= 〈ρ(Γj1Cj1Γ∗j1 P̃lΓjmu), ρ(Γj1v)〉H = 〈Cj1Γ∗j1 P̃lΓjmu, v〉 =
= 〈Γ∗j1 P̃lΓjmu,C∗j1v〉 = 〈ρ(P̃lΓjmu), ρ(Γj1C
∗
j1v)〉H =
= 〈Plρ(Γjmu), ρ(Γj1C
∗
j1v)〉H = 〈Blu,C∗j1v〉.
Таким образом, BlCjm = Cj1Bl, следовательно, VlCjm = Cj1Vl.
Утверждение доказано.
Пусть Ck — семейство операторов
Ck : H0 → H0, k ∈ V,
таких, что для любых k, j ∈ V, k 6= j, соединенных ребром γkj , выполнены равен-
ства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1696 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
CkVkj = VkjCj . (19)
Поскольку любое x ∈ H̃ можно представить в виде
x =
n∑
k=1
Γkuk, uk ∈ H0,
определим C : H → H равенством
Cρ(x) =
n∑
k=1
ρ(ΓkCkuk), uk ∈ H0. (20)
Утверждение 13. Пусть Ck : H0 → H0, k ∈ V, — семейство операторов,
которые удовлетворяют равенству (19), а C — оператор, определенный равен-
ством (20). Тогда C корректно определен и коммутирует с любым Pk, k ∈ V.
Доказательство. Пусть ρ(x) = 0, тогда для любого
y =
n∑
j=1
Γjvj , vj ∈ H0,
выполнены равенства
〈
Cρ(x), ρ(y)
〉
H =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
ρ(ΓkCkuk), ρ(Γjvj)
〉
H =
=
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
BjkCkuk, vj
〉
=
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
Bjkuk, C
∗
j vj
〉
=
=
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
ρ(Γkuk), ρ(ΓjC∗j vj)
〉
H =
n∑
j=1
〈
ρ(x), ρ(ΓjC∗j vj)
〉
H = 0.
Таким образом, оператор C корректно определен.
Если x ∈ H̃k, т. е. x = Γkuk, то
Cρ(x) = ρ(ΓkCkuk) = ρ(ΓkCkΓ∗kΓkuk) = ρ(C̃kx),
где C̃k = ΓkCkΓ∗k.
Покажем, что для любого j ∈ V равенство〈
(CPj − PjC)ρ(x), ρ(x)
〉
H
= 0
выполнено для любого x ∈ H̃. Действительно,〈
PjCρ(Γkuk), ρ(Γiui)
〉
H =
=
〈
Pjρ(ΓkCkuk), ρ(Γiui)
〉
H =
〈
PiPjPkρ(ΓkCkuk), ρ(Γiui)
〉
H =
=
〈
BijBjkCkuk, ui
〉
= 〈CiBijBjkuk, ui〉,〈
CPjρ(Γkuk), ρ(Γiui)
〉
H =
〈
ρ(ΓjCjΓ∗j P̃jΓkuk), ρ(Γiui)
〉
H =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1697
=
〈
BijCjΓ∗j P̃jΓkuk, ui
〉
=
〈
BijΓ∗j P̃jΓkuk, C
∗
i ui
〉
=
=
〈
PiPjρ(Γkuk), ρ(ΓiC∗i ui)
〉
H = 〈BijBjkuk, C∗i ui〉.
Таким образом,
〈
PjCρ(x), ρ(x)
〉
H =
〈
CPjρ(x), ρ(x)
〉
H.
Утверждение доказано.
Пусть Lk — множество всех замкнутых путей с началом и концом в вершине k.
Лемма 2. Представление πτ,η алгебры TLΓ,τ,⊥ является неприводимым
тогда и только тогда, когда множество унитарных операторов {Vl}l∈L1 непри-
водимо.
Доказательство. Пусть πτ,η неприводимо. Возьмем произвольный C1 : H0 →
→ H0 такой, что C1Vl = VlC1 для любого l ∈ L1. Поскольку граф связный, для
каждой вершины k ∈ V существует некоторый путь lk = (1, . . . , k). Зафиксируем
его и положим
Ck = V ∗lkC1Vlk .
Покажем, что для любых k, j ∈ V, k 6= j, k и j соединены ребром, выполнено
равенство (19). Так как j и k соединены ребром, путь l′ = lk ∪ (k, j) ∪ l∗j ∈ L1,
следовательно,
VlkVkjV
∗
ljC1 = C1VlkVkjV
∗
lj ,
откуда получаем
VkjCj = VkjV
∗
ljC1Vlj = V ∗lkC1VlkVkj = CkVkj .
Таким образом, можно определить оператор C по формуле (20). Как мы показали,
C коммутирует со всеми Pj , j ∈ V, следовательно, C = λI, λ ∈ C, I — единичный
оператор в H. Тогда, очевидно, Ck = λI0, где I0 — единичный оператор в H0.
Следовательно, множество операторов {Vl}l∈L1 неприводимо.
Обратно, пусть множество операторов {Vl}l∈L1 неприводимо. Рассмотрим про-
извольный оператор C, коммутирующий со всеми Pj , j ∈ V, и построим Ck,
k ∈ V, по формулам (16), (18). Тогда для операторов Ck выполнено равенство (19),
откуда непосредственно следует, что для любого пути l = (j1, . . . , jm) выполнено
VlCjm = Cj1Vl, и значит, для любого l ∈ L1 оператор C1 коммутирует с Vl. Итак,
C1 = λI0, λ ∈ C, но тогда Ck = VlkC1V
∗
lk
= λVlkV
∗
lk
= λI0, где lk = (k, . . . , 1) —
некоторый путь. Таким образом, C = λI, и мы показали, что представление πτ,η
является неприводимым.
Лемма доказана.
Следствие 3. Пусть Γ — дерево или унициклический граф. Тогда если πτ,η
неприводимо, то dimH0 = 1.
Доказательство. 1. Γ — дерево. Тогда для любого l ∈ L1 найдется k ∈ V
такое, что l = l∗k ∪ lk, следовательно, Vl = V ∗lkVlk = I.
2. Γ — унициклический граф, тогда все отличные от единичного операторы
среди Vl есть степени некоторого унитарного оператора или сопряженного к нему.
Эта семья неприводима, только если dimH0 = 1.
Следствие доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1698 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
5.4. Критерий унитарной эквивалентности представлений πτ,η.
Лемма 3. Представления πτ,η и πτ,η′ унитарно эквивалентны тогда и толь-
ко тогда, когда для всех k ∈ V существуют унитарные операторы Uk : H′0 → H0
такие, что
V ′jk = U∗j VjkUk. (21)
Доказательство. Пусть πτ,η и πτ,η′ унитарно эквивалентны, т. е. существует
унитарный оператор
U : H′ → H
такой, что PkU = UP ′k, k ∈ V. Очевидно, что U(H′k) ⊂ Hk, следовательно, можно
определить операторы Ũk : H̃′k → H̃k формулой
Ũkx = ρ−1
k (Uρ′(x)), x ∈ H̃′k, k ∈ V.
Тогда для любых x, y ∈ H̃′k〈
Ũkx, Ũky
〉
H̃k
=
〈
ρ−1
k (Uρ′(x)), ρ−1
k (Uρ′(y))
〉
H̃k
=
=
〈
Uρ′(x), Uρ′(y)
〉
Hk
=
〈
ρ′(x), ρ′(y)
〉
H′k
= 〈x, y〉H̃′k .
Таким образом, Ũk — унитарные операторы.
Далее, определим унитарные операторы из H′0 в H0 формулой
Uk = Γ∗kŨkΓ′k.
Тогда для любых u, v ∈ H′0
〈B′jku, v〉H′0 =
〈
P ′jP
′
kρ
′(Γ′ku), ρ′(Γ′jv)
〉
H′ =
〈
UP ′kρ
′(Γ′ku), UP ′jρ
′(Γ′jv)
〉
H =
=
〈
PkUρ
′(Γ′ku), PjUρ′(Γ′jv)
〉
H =
〈
PjPkρ(ŨkΓ′ku), ρ(ŨjΓ′jv)
〉
H =
=
〈
PjPkρ(ΓkUku), ρ(ΓjUjv)
〉
H = 〈BjkUku, Ujv〉H0 = 〈U∗j BjkUku, v〉H′0 .
Мы показали, что B′jk = U∗j BjkUk, следовательно, справедливы равенства (21).
Обратно, пусть существуют унитарные операторы Uk : H′0 → H0, для которых
выполнены равенства (21).
Определим U : H′ → H равенством
Uρ′(x) =
n∑
k=1
ρ(ΓkUkuk), x =
n∑
k=1
Γ′kuk, uk ∈ H′0. (22)
Очевидно, что если x ∈ H̃′k, т. е. x = Γ′kuk, то
Uρ′(x) = ρ(ΓkUkuk) = ρ(ΓkUkΓ′k
∗Γ′kuk) = ρ(Ũkx).
Для произвольных
x =
n∑
k=1
Γ′kuk, y =
n∑
k=1
Γ′kvk, vk, uk ∈ H′0,
справедливы равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1699
〈
Uρ′(x), Uρ′(y)
〉
H =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
ρ(ΓkUkuk), ρ(ΓjUjvj)
〉
H =
=
n∑
k=1
n∑
j=1
〈BjkUkuk, Ujvj〉H0 =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈B′jkuk, vj〉H′0 =
=
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
P ′kρ
′(Γ′kuk), Pjρ′(Γ′jvj)
〉
H′ = 〈ρ′(x), ρ′(y)〉H′ .
Таким образом, U — корректно определенный унитарный оператор.
Лемма доказана.
5.5. О всех неприводимых представлениях алгебры TLΓ,τ,⊥.
Лемма 4. Для любого неприводимого представления
π : TLΓ,τ,⊥ → B(Ĥ)
найдутся пространство H0 и функция η : R → B(H0) такая, что полуторали-
нейная форма Bη неотрицательно определена и представление πτ,η унитарно
эквивалентно представлению π.
Доказательство. Обозначим P̂j = π(pj), Ĥj = Im P̂j . Для каждого пути
l = (j1, j2, . . . , jm−1, jm) в графе определим унитарный оператор из Ĥjm в Ĥj1
формулой
Ul = Uj1j2 . . . Ujm−1jm , Ujk =
P̂jP̂k
τjk
⌈
Ĥk
.
Положим H0 = Ĥ1. Зафиксируем для каждой вершины k путь lk = (k, . . . , 1) и
положим
η(γjk) = U∗lj′Uj′k′Ulk′ : H0 → H0,
где j′ = min {j, k}, k′ = max {j, k}. Заметим, что тогда выполнено равенство
Vjk = U∗ljUjkUlk .
По функции η построим пространство H̃ и полуторалинейную формуBη.Покажем,
что она неотрицательно определена.
Действительно, для произвольного x ∈ H̃ и произвольной пары вершин j, k ∈ V
справедливы равенства
〈BjkΓ∗kx,Γ
∗
jx〉 = 〈Γ∗kx,Γ∗jx〉 = 〈UlkΓ∗kx, Ulj Γ∗jx〉, k = j,
〈BjkΓ∗kx,Γ
∗
jx〉 = 0 = 〈UlkΓ∗kx, Ulj Γ∗jx〉, γkj 6∈ R,
〈BjkΓ∗kx,Γ
∗
jx〉 = τkj〈VjkΓ∗kx,Γ
∗
jx〉 = 〈UlkΓ∗kx, Ulj Γ∗jx〉, γkj ∈ R,
следовательно,
Bη(x, x) =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈BjkΓ∗kx,Γ
∗
jx〉 =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈UlkΓ∗kx, Ulj Γ∗jx〉 > 0.
Таким образом, существует представление πτ,η в гильбертовом пространстве
H = Hη.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1700 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
Поскольку представление неприводимо, а множество векторов вида
x =
n∑
k=1
xk, xk ∈ Ĥk, (23)
замкнуто и инвариантно относительно представления, любое x ∈ Ĥ можно пред-
ставить в виде (23). Определим оператор U : Ĥ → H формулой
Ux =
n∑
k=1
ρ(ΓkU∗lkxk).
Тогда для любых x, y ∈ Ĥ имеют место равенства
〈Ux,Uy〉H =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈
ρ(ΓkU∗lkxk), ρ(ΓjU∗ljyj)
〉
H =
=
n∑
k=1
n∑
j=1
〈BjkU∗lkxk, U∗ljyj〉 =
n∑
k=1
n∑
j=1
〈xk, yj〉Ĥ = 〈x, y〉Ĥ,
так как 〈BjkU∗lkxk, U∗ljyj〉 = 〈xk, yj〉Ĥ. Последнее равенство очевидно, если γjk 6∈
6∈ R, так как в этом случае правая и левая части равенства равны 0. Оно также
очевидно, если k = j. В случае, когда γjk ∈ R,
〈BjkU∗lkxk, U∗ljyj〉H0 = τjk〈VjkU∗lkxk, U∗ljyj〉Ĥ = τjk〈Ujkxk, yj〉Ĥ = 〈xk, yj〉Ĥ.
Итак, оператор U корректно определен и является унитарным оператором.
Лемма доказана.
5.6. О ∗-дикости алгебры TLΓ,τ,⊥ в случае, когда ν(Γ) > 2 и τ (γij) доста-
точно малы.
Утверждение 14. Положим δ =
1
2|R| . Тогда если τkj 6 δ для всех ребер
γkj ∈ R, то для любой функции η полуторалинейная форма Bη является неотри-
цательно определенной. Если же τkj < δ для всех ребер γkj ∈ R, то полуторали-
нейная форма Bη положительно определена.
Доказательство. Действительно, так как τkj 6 δ и
|〈VkjΓ∗jx,Γ∗kx〉| 6 ‖Vkj‖‖Γ∗jx‖‖Γ∗kx‖ 6 ‖x‖2H̃,
то
∣∣B(x, x)− ‖x‖2H̃
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∑
γkj∈R
τkj(〈VjkΓ∗kx,Γ
∗
jx〉+ 〈VkjΓ∗jx,Γ∗kx〉)
∣∣∣∣∣∣ 6
6 2|R|δ‖x‖2H̃ = ‖x‖2H̃.
Отсюда непосредственно следует, что 0 6 B(x, x) 6 2‖x‖2H̃. В случае τkj < δ
получаем строгие неравенства.
Утверждение доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1701
Теорема 12. Пусть Γ — связный граф, а ν = ν(Γ) = |R| − |V | + 1 — его
циклический ранг. Тогда если τkj 6 δ, где δ =
1
2|R| , то существует взаимно одно-
значное соответствие между множеством всех неприводимых унитарно неэкви-
валентных наборов из ν унитарных операторов и множеством всех неприводимых
унитарно неэквивалентных представлений алгебры TLΓ,τ,⊥.
Доказательство. Поскольку τkj 6 δ, по предыдущему утверждению для лю-
бой функции η определено представление πτ,η.
Циклический ранг связного графа Γ = (V ;R) можно трактовать как макси-
мальное число ребер, которые можно удалить из него так, чтоб получившийся
граф Γ′ = (V ;R′) был все еще связным. Очевидно, что из графа Γ′ нельзя удалить
ни одного ребра с сохранением связности, т. е. Γ′ — дерево. Зафиксируем такое
дерево Γ′. Обозначим R0 = R \ R′. Рассмотрим гильбертово пространство H0 и
функции η0 : R → B(H0) такие, что η0(R′) = {I0}, где I0 — единичный оператор
в H0.
Представление πτ,η0 неприводимо тогда и только тогда, когда набор унитарных
операторов {η0(γij)}γij∈R0 является неприводимым. Действительно, так как для
каждого ребра γij ∈ R0 существует путь l ∈ L1 такой, что все его ребра, за
исключением γij , принадлежат R′, выбирая направление пути l, можно добиться
равенства Vl = η0(γij).
Покажем, что представления πτ,η0 и πτ,η′0 эквивалентны тогда и только тогда,
когда наборы унитарных операторов η0(R0) и η′0(R0) унитарно эквивалентны. По
лемме 3 представления πτ,η0 и πτ,η′0 эквивалентны тогда и только тогда, когда
существует набор унитарных операторов Uk : H′0 → H0, k ∈ V такой, что
η′0(γij) = U∗i η0(γij)Uj , i < j. (24)
Пусть представления πτ,η0 и πτ,η′0 эквивалентны, тогда для ребра γij ∈ R′ из
равенства (24) получаем равенство I ′0 = U∗i I0Uj . Следовательно, Ui = Uj , но так
как Γ′ — связный граф, то для любой пары вершин i и j выполнено равенство
Ui = Uj . Положим U = Ui, i ∈ V. Тогда для ребра γij ∈ R0 равенство (24) примет
η′0(γij) = U∗η0(γij)U, (25)
т. е. наборы операторов η0(R0) и η′0(R0) унитарно эквивалентны. Обратно, пусть
такие наборы унитарно эквивалентны, т. е. существует унитарный оператор U
такой, что равенство (25) выполнено для ребер γij ∈ R0. Тогда, положив Ui = U,
i ∈ V, получим, что для всех ребер γij ∈ R выполнено равенство (24).
Покажем, что для любой функции η найдется η0 такая, что представление πτ,η
унитарно эквивалентно представлению πτ,η0 . Положим H′0 = H0, U1 = I0. Без
ограничения общности можно считать, что вершины упорядочены так, что для лю-
бого пути без возвратов l = (i0 = 1, i1, . . . , im) в дереве Γ′ выполнены неравенства
1 = i0 < i1 < . . . < im. Тогда для каждой вершины j, за исключением вершины 1,
существует единственная вершина i, соединенная с j, такая, что i < j. Определим
Uj рекурсивно формулой
Uj = η(γij)∗Ui, γij ∈ R′, i < j,
и определим функцию η0 равенством
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
1702 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, А. В. СТРЕЛЕЦ
η0(γij) = U∗i η(γij)Uj , γij ∈ R, i < j.
Очевидно, что представления πτ,η и πτ,η0 унитарно эквивалентны, при этом
η0(γij) = I0, если γij ∈ R′.
Теорема доказана.
Таким образом, в случае, когда τij достаточно малы, задача описания с точ-
ностью до унитарной эквивалентности всех неприводимых представлений алгеб-
ры TLΓ,τ,⊥ эквивалентна задаче описания с точностью до унитарной эквивалент-
ности всех неприводимых семейств, состоящих из ν(Γ) унитарных операторов.
При ν(Γ) > 2 такая задача является ∗-дикой.
Авторы искренне признательны М. А. Власенко, Р. В. Грушевому, Н. Д. Попо-
вой, В. И. Рабановичу, С. В. Слободянюку, Л. Н. Тимошкевич, И. С. Фещенко за
полезные советы и обсуждения результатов, приведенных в работе.
1. Albeverio S., Ostrovskyi V., Samoilenko Y. On functions on graphs and representations of a certain class
of ∗-algebras // J. Algebra. – 2007. – 308, № 2. – P. 567 – 582.
2. Brenner S. Endomorphism algebras of vector spaces with distinguished sets of subspaces // Ibid. – 1967.
– 6. – P. 100 – 114.
3. Cvetković D. M., Doob M., Sachs H. Spectra of graphs. Theory and applications. – Berlin: VEB Deutsch.
Verlag Wiss., 1980 (рус. перевод: Киев: Наук. думка, 1984).
4. Davis C. Separation of two linear subspaces // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1958. – 19. – P. 172 – 187.
5. Dixmier J. Position relative de deux variétés dans un espace de Hilbert // Rev. Sci. – 1948. – 86. –
P. 387 – 399.
6. Dlab V., Ringel C. Indecomposable representation of graphs and algebras // Mem. Amer. Math. Soc. –
1976. – 6, № 173.
7. Donovan P. W., Freislich M. R. The representation theory of finite graphs and associated algebras //
Carleton Math. Lect. Notes. – 1973. – 5. – P. 1 – 119.
8. Enomoto M., Watatani Y. Relative position of four subspaces in a Hilbert space // Adv. Math. – 2006. –
201. – P. 263 – 317.
9. Gelfand I. M., Ponomarev V. A. Problems of linear algebra and classification of quadruples of subspaces
in a finite-dimensional vector space // Hilbert Space Operators and Operator Algebras (Proc. Int. Conf.,
Tihany, 1970). – Amsterdam: North-Holland, 1972. – P. 163 – 237.
10. Goodman F. M., Harpe P., Jones V. F. E. Coxeter graphs and towers of algebras. – New York: Springer-
Verlag, 1989.
11. Graham J. J. Modular representations of Hecke algebras and related algebras. – Ph.D. thesis, Univ.
Sydney, 1995.
12. Halmos P. R. Two subspaces // Trans. Amer. Math. Soc. – 1969. – 144. – P. 381–389.
13. Ivanov S. V. On ∗-representations of algebras given by graphs // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2007. –
№ 1. – P. 17 – 27.
14. Jones V., Sunder V. S. Introduction to subfactors // London Math. Soc. Lect. Note Ser., 234. – Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 1997.
15. Jordan C. Essaisur la géométrie à n dimensions // Bull. Soc. math. France. – 1875. – 3. – P. 103 – 174.
16. Kac V. G. Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory // Invent. math. – 1980. –
56. – P. 57 – 92.
17. Kruglyak S. A., Samoı̆lenko Yu. S. On complexity of description of representations of ∗-algebras generated
by indepotents // Proc. Amer. Math. Soc. – 2000. – 128, № 6. – P. 1655 – 1664.
18. Ostrovskyı̆ V. L., Samoı̆lenko Yu. S. Introduction to the theory of representations of finitely presented
∗-algebras. I. Representations by bounded operators. – Amsterdam: Harwood Acad. Publ., 1999.
19. Popova N. D. On finite-dimensional representations of one algebra of Temperley – Lieb type // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 2001. – 7, № 3. – P. 80 – 92.
20. Popova N. D., Samoilenko Yu. S. On the existence of configurations of subspaces in a Hilbert space with
fixed angles // SIGMA Symmetry Integrability Geom. Meth. Appl. – 2006. – 2, № 055. – P. 1 – 5.
21. Simson D. Linear representations of partially ordered sets and vector space categories // Algebra, Logic,
Appl. – 1992. – Vol. 4.
22. Sunder V. S. N subspaces // Can. J. Math. – 1988. – 40. – P. 38 – 54.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
О ПРОСТЫХ n-КАХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1703
23. Temperley H. N. V., Lieb E. H. Relations between ‘percolations’ and ‘colouring’ problems and other
graph theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation
problem // J. Proc. Roy. Soc. London Ser. A. – 1971. – 322. – P. 251 – 280.
24. Vlasenko M. On the growth of an algebra generated by a system of projections with fixed angles // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 2004. – 10, № 1. – P. 98 – 104.
25. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Ч. 4 – 6. – М.: Мир, 1972.
26. Власенко М. А., Попова Н. Д. О конфигурациях подпространств гильбертова пространства с
фиксированными углами между ними // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 5. – С. 606 – 615.
27. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств //
Функцион. анализ и его прил. – 1974. – 8, № 3. – С. 34 – 42.
28. Завадский А. Г., Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества конечного роста // Там же. –
1982. – № 2. – С. 72 – 73.
29. Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН
СССР. – 1972. – 28. – С. 32 – 41.
30. Кругляк С., Рабанович В., Самойленко Ю. О суммах проекторов // Функцион. анализ и его прил.
– 2002. – 36, № 3. – С. 20 – 35.
31. Кругляк С. А., Ройтер А. В. Локально скалярные представления графов в категории гильбертовых
пространств // Там же. – 2005. – 39, № 2. – С. 13 – 30.
32. Кругляк С. А., Самойленко Ю. С. Об унитарной эквивалентности наборов самосопряженных
операторов // Там же. – 1980. – 14, № 1. – С. 60 – 62.
33. Москалева Ю. П., Самойленко Ю. С. Введение в спектральную теорию графов: Учеб. пособие. –
Киев: Центр учебной лит., 2007.
34. Назарова Л. А. Представления четвериады // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1967. – 31, № 6. –
С. 1361 – 1378.
35. Назарова Л. А. Представления колчанов бесконечного типа // Там же. – 1973. – 37. – С. 752 – 791.
36. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств // Зап. науч. сем.
ЛОМИ АН СССР. – 1972. – 28. – С. 5 – 31.
37. Самойленко Ю. С., Островський В. Л. Про спектральнi теореми для лiнiйно пов’язаних сiмей
самоспряжених операторiв з заданими спектрами, асоцiйованих з розширеними графами Динкiна //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1556 – 1570.
38. Самойленко Ю. С., Тимошкевич Л. М. Про спектральну теорiю графiв Кокстера // У свiтi матема-
тики. – 2009. – 15, № 3. – С. 14 – 24.
39. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // Соврем. пробл. мате-
матики. Фундам. направления. – М.: ВИНИТИ, 1990. – 57. – С. 5 – 177.
40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – М.: Мир, 1989.
Получено 09.10.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3130 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:49Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/74/3cb6b2e261ea5a9ce9707f72d0ed4e74.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31302020-03-18T19:45:55Z On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space O простых $n$-ках подпространств гильбертова пространства Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. This survey is devoted to the structure of “simple” systems $S = (H;H_1,…,H_n)$ of subspaces $H_i,\; i = 1,…, n,$ of a Hilbert space $H$, i.e., $n$-tuples of subspaces such that, for each pair of subspaces $H_i$ and $H_j$, the angle $0 < θ_{ij} ≤ π/2$ between them is fixed. We give a description of “simple” systems of subspaces in the case where the labeled graphs naturally associated with these systems are trees or unicyclic graphs and also in the case where all subspaces are one-dimensional. If the cyclic range of a graph is greater than or equal to two, then the problem of description of all systems of this type up to unitary equivalence is *-wild. Огляд присвячено струкрурі „простих" систем $S = (H;H_1,…,H_n)$ підпросторів $H_i,\; i = 1,…, n,$, у гільбертовому просторі $H$, тобто таких $n$-ок підпросторів, що для кожної пари підпросторів $H_i$, $H_j$ зафіксовано кут $0 < θ_{ij} ≤ π/2$ — між ними. Наведено опис „простих" систем підпросторів, коли помічені графи, що пов'язані з ними природним чином, є деревами або уніциклічними графами, а також коли всі підпростори є одновимірними. У випадку ж, коли циклічний ранг графа є більшим або дорівнює двом, задача опису всіх таких систем з точністю до унітарної еквівалентності є *-дикою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3130 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 12 (2009); 1668-1703 Український математичний журнал; Том 61 № 12 (2009); 1668-1703 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3130/3008 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3130/3009 Copyright (c) 2009 Samoilenko Yu. S.; Strilets O. V. |
| spellingShingle | Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. Самойленко, Ю. С. Стрелец, А. В. On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space |
| title | On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space |
| title_alt | O простых $n$-ках подпространств гильбертова пространства |
| title_full | On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space |
| title_fullStr | On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space |
| title_full_unstemmed | On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space |
| title_short | On simple $n$-tuples of subspaces of a Hilbert space |
| title_sort | on simple $n$-tuples of subspaces of a hilbert space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3130 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoyus onsimplentuplesofsubspacesofahilbertspace AT striletsov onsimplentuplesofsubspacesofahilbertspace AT samojlenkoûs onsimplentuplesofsubspacesofahilbertspace AT strelecav onsimplentuplesofsubspacesofahilbertspace AT samojlenkoûs onsimplentuplesofsubspacesofahilbertspace AT strelecav onsimplentuplesofsubspacesofahilbertspace AT samoilenkoyus oprostyhnkahpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT striletsov oprostyhnkahpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT samojlenkoûs oprostyhnkahpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT strelecav oprostyhnkahpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT samojlenkoûs oprostyhnkahpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva AT strelecav oprostyhnkahpodprostranstvgilʹbertovaprostranstva |