On one bifurcation in relaxation systems
We establish conditions under which, in three-dimensional relaxation systems of the form $$\dot{x} = f(x, y, \mu),\quad, \varepsilon\dot{y} = g(x, y),\quad x= (x_1, x_2) \in {\mathbb R}^2,\quad y\in{\mathbb R },$$ where $0 < ε
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3137 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509176527060992 |
|---|---|
| author | Kolesov, A. Yu. Mishchenko, E. F. Rozov, N. Kh. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. |
| author_facet | Kolesov, A. Yu. Mishchenko, E. F. Rozov, N. Kh. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. |
| author_sort | Kolesov, A. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:36Z |
| description | We establish conditions under which, in three-dimensional relaxation systems of the form
$$\dot{x} = f(x, y, \mu),\quad, \varepsilon\dot{y} = g(x, y),\quad x= (x_1, x_2) \in {\mathbb R}^2,\quad y\in{\mathbb R },$$
where $0 < ε |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.926
A. G. Kolesov (Qroslav. un-t, Rossyq),
E. F. Mywenko (Mat. yn-t RAN, Moskva, Rossyq),
N. X. Rozov (Mosk. un-t, Rossyq)
OB ODNOJ BYFURKACYY
V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX*
Conditions are established under which, in three-dimensional relaxation systems of the form
ẋ = f x y( , , )µ , εẏ = g( x, y ) , x = ( , )x x1 2
2∈ R , y ∈ R ,
where 0 < ε << 1, µ << 1, f, g C∈ ∞ , the so-called “blue sky catastrophe” is observed, i.e., a stable
relaxation cycle appears whose period and length tend to zero as µ tends to some critical value µ ε∗( ) ,
µ∗( )0 = 0.
Vstanovleno umovy, za qkyx u tryvymirnyx relaksacijnyx systemax vyhlqdu
ẋ = f x y( , , )µ , εẏ = g( x, y ) , x = ( , )x x1 2
2∈ R , y ∈ R ,
de 0 < ε << 1, µ << 1, f, g C∈ ∞ , sposteriha[t\sq tak zvana „katastrofa blakytnoho neba” —
z’qvlq[t\sq stijkyj relaksacijnyj cykl, period i dovΩyna qkoho prqmugt\ do neskinçennosti
pry prqmuvanni µ do deqkoho krytyçnoho znaçennq µ ε∗( ) , µ∗( )0 = 0.
0. Opysanye problem¥. V nastoqwej stat\e pryveden¥ rezul\tat¥, kasag-
wyesq nelokal\noj byfurkacyy korazmernosty odyn, kotoraq v prostejßem
sluçae zaklgçaetsq v sledugwem. Rassmotrym hladkoe odnoparametryçeskoe
semejstvo vektorn¥x polej Xµ v R
3
, y pust\ pry µ = 0 potok Xµ ymeet pe-
ryodyçeskug traektoryg L0 typa „prostoj sedlo-uzel”. Dalee, pust\ U —
nekotoraq dostatoçno malaq okrestnost\ traektoryy L0, razdelqemaq dvumer-
n¥m syl\no ustojçyv¥m mnohoobrazyem W Lss( )0 na dve oblasty: „uzlovug”
U + , vse traektoryy yz kotoroj stremqtsq k L0 pry t → + ∞, y „sedlovug”
U –
, v kotoroj leΩyt dvumernoe neustojçyvoe mnohoobrazye W Lu
loc( )0 s kraem
L0. Budem predpolahat\, çto vse traektoryy system¥ X0 s naçal\n¥my uslovy-
qmy yz W Lu
loc( )0 s rostom t snaçala v¥xodqt yz okrestnosty U , a zatem snova
vozvrawagtsq v nee, popadaq v uzlovug oblast\ U +
. Qsno, çto v takom sluçae
kaΩdaq yz upomqnut¥x traektoryj okaz¥vaetsq dvoqkoasymptotyçeskoj k L0.
Nakonec, budem sçytat\, çto mnoΩestvo W Lu( )0 , poluçagweesq yz W Lu
loc( )0
posle prodolΩenyq po traektoryqm potoka X0, ne qvlqetsq topolohyçeskym
mnohoobrazyem. V trexmernom sluçae πto oznaçaet, çto ono ne homeomorfno
dvumernomu toru.
Pry sformulyrovann¥x (y pry nekotor¥x dopolnytel\n¥x) predpoloΩe-
nyqx pokazano [1], çto ysçeznovenye v systeme Xµ , 0 < µ << 1, sedlo-uzlovoho
cykla L0 pryvodyt k poqvlenyg ustojçyvoj zamknutoj traektoryy L( )µ ,
pryçem pry µ → 0 y ee peryod, y dlyna neohranyçenno uvelyçyvagtsq, a ona
sama ymeet svoym verxnym topolohyçeskym predelom mnoΩestvo W Lu( )0 ∪ L0.
Opysannaq byfurkacyq poluçyla nazvanye „katastrof¥ holuboho neba”.
Realyzuemost\ takoj byfurkacyy b¥la ustanovlena [2, 3] v synhulqrno voz-
muwenn¥x systemax s odnoj medlennoj y m, m ≥ 2, b¥str¥my peremenn¥my.
* V¥polnena pry fynansovoj podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj
(hrant # 05-01-01004) y celevoj prohramm¥ „Razvytye nauçnoho potencyala v¥sßej ßkol¥”
(proekt RNP 2.1.1.630).
© A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1 63
64 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
NyΩe pryvodqtsq uslovyq, pry kotor¥x „katastrofa holuboho neba” ymeet
mesto v relaksacyonn¥x systemax s dvumq medlenn¥my y odnoj b¥stroj pere-
menn¥my.
1. Postanovka zadaçy. Rassmotrym trexmernug relaksacyonnug systemu
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj
ẋ = f x y( , , )µ , εẏ = g x y( , ), x = (x1, x2) ∈M R2 , y ∈ R, (1)
s dvumq mal¥my parametramyM: 0 < ε << 1, µ << 1 ; funkcyy f y g budem
sçytat\ beskoneçno dyfferencyruem¥my po svoym peremenn¥m.
Opyßem predloΩenyq, pry kotor¥x budet yzuçat\sq systemaM(1) y kotor¥e
harantyrugt nalyçye v nej klassyçeskyx relaksacyonn¥x kolebanyj. Kak
ob¥çno [4], sçytaem, çto uravnenye g x y( , ) = 0 opredelqet hladkug dvumernug
poverxnost\ H, raspadagwugsq na neperesekagwyesq çasty
H H H H H
+ –1 10 20 2− ∪ ∪ ∪ ∪ .
Po opredelenyg
( , )x y ∈M H H
–1 2− ∪ , esly ′ <gy 0 M; ( , )x y ∈M H+ , esly ′ >gy 0 ;
( , )x y ∈M H H10 20∪ , esly ′ =gy 0.
Odnako, v otlyçye ot [4], budem predpolahat\, çto H ymeet formu ne „poloten-
ca”, a „kuvßyna” (rys.M1).
Rys.M1
∏to oznaçaet [5], çto:
poverxnost\
H1− zadaetsq uravnenyem y =
F1−( )x ,
F1− ∈ C∞( )Ω1 , hde Ω1
— vnutrennost\ prostoj zamknutoj kryvoj l1 ∈ C∞
;
poverxnost\
H
+
zadaetsq uravnenyem y =
F+( )x ,
F+ ∈ C∞( )Ω2 , hde Ω2 —
kol\cevaq oblast\, ohranyçennaq kryvoj l1 y prostoj zamknutoj kryvoj l2 ⊂
⊂ Ω1 klassa C∞
;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 65
poverxnost\
H
–2 zadaetsq uravnenyem y =
F 2−( )x ,
F 2− ∈ C∞( )Ω3 , hde
Ω3 = R2
\ ( \ )Ω Ω1 2 .
Krome toho, pry x ∈ l1 y x ∈ l2 v¥polnqgtsq ravenstva F1−( )x =
F+( )x y
F 2−( )x =
F+( )x sootvetstvenno, a kryv¥e l1 y l2 qvlqgtsq proekcyqmy na
ploskost\ y = 0 zamknut¥x kryv¥x
H10 y
H20 .
Uslovye 1. Budem sçytat\, çto pry ( , )x y ∈M H H10 20∪
′′ ≠g x yyy( , ) 0, gradxg x y f x y( , ), ( , , )0( ) ≠ 0, (2)
hde ( , )∗ ∗ — evklydovo skalqrnoe proyzvedenye.
Neravenstva (2) oznaçagt obwnost\ poloΩenyq na lynyqx sr¥va
H10 y
H20 MM[4].
Napomnym, çto systema
ẋ = f (x, y, µ), g ( x, y ) = 0 (3)
naz¥vaetsq v¥roΩdennoj, a povedenye ee traektoryj na ustojçyvoj poverxnos-
ty medlenn¥x dvyΩenyj H1− (kotoraq zadaetsq ravenstvom y = F1−( )x ) svo-
dytsq k rassmotrenyg dvumernoj system¥
ẋ =
f x x, ( ),F1−( )µ , x l∈Ω1 1∪ . (4)
Uslovye 2. PredpoloΩym, çto fazov¥j portret system¥M(4) pry µ = 0 ta-
kov (rys.M2):
v oblasty Ω1 suwestvuet edynstvennoe sostoqnye ravnovesyq x = x , qv-
lqgweesq πksponencyal\no neustojçyv¥m uzlom yly fokusom, a edynstvenn¥j
okruΩagwyj ee poluustojçyv¥j cykl
L0: x = x0( )ϕ ,
d
dt
ϕ
= ω0, x0 2( )ϕ π+ ≡ x0( )ϕ , ω0 0> , (5)
ymeet typ „prostoj sedlo-uzel”;
vse traektoryy yz kol\cevoj oblasty, ohranyçennoj kryv¥my l1 y L 0, za
koneçnoe vremq popadagt na l1;
kryvaq l2 leΩyt v oblasty, ohranyçennoj cyklom L0, no ne soderΩyt y ne
okruΩaet toçku x = x .
Rys.M2
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
66 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
Poqsnym fyhuryrugwee v uslovyy 2 trebovanye prostot¥ sedlo-uzlovoho
cykla (5). Zafyksyruem proyzvol\nug toçku M0 ∈ L0 y oboznaçym çerez Σ
dostatoçno mal¥j otrezok normaly k kryvoj L0 v πtoj toçke (rys.M2); za para-
metr s na sekuwej Σ voz\mem rasstoqnye ot proyzvol\noj toçky M ∈ Σ do
toçky M0, vzqtoe so znakom ”+”, esly M leΩyt na vneßnej çasty normaly, y
so znakom ”–” v protyvnom sluçae. Tohda na mnoΩestve ( , ): ,s s sµ µ µ≤ ≤{ }0 0 ,
hde s0, µ0 > 0 dostatoçno mal¥, opredeleno otobraΩenye posledovanyq Puan-
kare
s → R ( s, µ ), R ∈ C s s∞ −[ ] × [ ]( )0 0 0 0, ,µ µ (6)
po traektoryqm system¥ (4), pryçem spravedlyvo razloΩenye
R ( s, 0 ) = s + d s0
2 + O s( )3 . (7)
Prostota sedlo-uzlovoho cykla L0 oznaçaet v¥polnenye neravenstva d0 > 0.
Uslovye 3. Budem sçytat\, çto dlq funkcyy R ( s, µ ) yz (6)
α0 = ′ >Rµ( , )0 0 0 . (8)
Yz sootnoßenyj (7), (8) y d0 > 0 v¥tekaet, çto pry µ µ∈[ )– ,0 0 otobraΩe-
nye (6) ymeet dve nepodvyΩn¥e toçky s±( )µ = ± –α µ0 0d + O( )µ , kotor¥m v
systeme (4) sootvetstvugt dva cykla — ustojçyv¥j L−( )µ y neustojçyv¥j
L+( )µ ; L±( )0 = L0. Sledovatel\no, vse traektoryy system¥ (4) s naçal\n¥my
uslovyqmy, leΩawymy na kryvoj l2 , pry t → + ∞ stremqtsq k cyklu L−( )µ .
Esly Ωe µ µ∈( ]0 0, , to cyklov v πtoj systeme net, y lgbaq ee traektoryq s na-
çal\n¥m uslovyem yz l2 snaçala asymptotyçesky dolhoe vremq (porqdka 1 µ )
vrawaetsq v okrestnosty ysçeznuvßeho cykla L0, a zatem popadaet na kry-
vugMMl1.
Uslovye 4. Budem sçytat\, çto pry µ = 0 vse traektoryy v¥roΩdennoj sys-
tem¥M(3) na poverxnosty medlenn¥x dvyΩenyj H2− yly, çto to Ωe samoe, sys-
tem¥
ẋ =
f x x, ( ),F 2−( )µ , x l∈Ω3 2∪ , (9)
s naçal\n¥my uslovyqmy, prynadleΩawymy kryvoj l1, za koneçnoe vremq popa-
dagt na kryvug l2.
Pry sformulyrovann¥x predpoloΩenyqx moΩno dat\ kaçestvennoe opysa-
nye povedenyq lgboj traektoryy
x t y t( , , ), ( , , )ε µ ε µ( ): x( , , )0 ε µ = x0, y( , , )0 ε µ = y0 (10)
system¥M(1) s ne zavysqwymy ot ε, µ naçal\n¥my uslovyqmy x0, y0 . Pust\
toçka ( , )x y0 0 raspoloΩena v nekotoroj dostatoçno maloj okrestnosty mnoho-
obrazyq
H1− y x0 prynadleΩyt kol\cevoj oblasty, ohranyçennoj kryv¥my L 0
y l1. Tohda snaçala za asymptotyçesky maloe vremq (porqdka ε εln( )1 ) proys-
xodyt „padenye” fazovoj toçky (10) na poverxnost\ H1− prymerno po prqmoj
x = x0, a zatem dvyΩenye prodolΩaetsq v asymptotyçesky maloj po ε okrest-
nosty kryvoj x t y t1 1( , ), ( , )µ µ( ), hde y t1( , )µ =
F1 1−( )x t( , )µ , a x t1( , )µ — reße-
nye system¥M(4) s naçal\n¥m uslovyem x1 0( , )µ = x0.
Dalee, v sylu uslovyqM2 najdetsq takoj perv¥j moment vremeny t1 = t1( )µ >
> 0, çto x t1 1( , )µ ∈Ml1. A otsgda s uçetom uslovyqM1 sleduet [4], çto pry znaçe-
nyqx t, asymptotyçesky blyzkyx k t1, proysxodyt „sr¥v” s mnohoobrazyq
H1−
y padenye na ustojçyvoe mnohoobrazye H2− v toçku
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 67
x y2 2( ), ( )µ µ( ) : x2( )µ = x t1 1( , )µ , y2( )µ = F2 1 1−( )x t( , )µ .
Posle πtoho traektoryq (10) dvyΩetsq v asymptotyçesky maloj okrestnosty
sootvetstvugweho reßenyq
x t y t2 2( , ), ( , )µ µ( ) : x t2 1( , )µ = x2( )µ , y t2 1( , )µ = y2( )µ
v¥roΩdennoj system¥M(3) do oçerednoho sr¥va y padenyq na
H1− , proysxodq-
wyx pry t � t2( )µ > t1 . Zdes\ t2 — moment vremeny (suwestvugwyj v sylu
uslovyqM4), kohda perv¥j raz x t2 2( , )µ ∈ l2 .
Pry t > t2 xarakter povedenyq traektoryy (10) suwestvenno zavysyt ot zna-
ka µ. PredpoloΩym snaçala, çto πtot parametr fyksyrovan y poloΩytelen.
Tohda systemaM(4) ne ymeet cyklov, a lgboe ee reßenye s naçal\n¥m uslovyem
na kryvoj l2 za koneçnoe (xotq y dostatoçno bol\ßoe — porqdka 1 µ ) vremq
popadaet na kryvug l1. ∏to oznaçaet suwestvovanye takoho momenta vremeny
t = = t3 > t2, çto pry t � t3 traektoryq (10) „sr¥vaetsq” s
H1– y „padaet” na
H2– . Qsno, çto v rassmatryvaemom sluçae opysann¥j process „sr¥vov” y „pade-
nyj” prodolΩaetsq do beskoneçnosty, t.Me. v systemeM(1) realyzugtsq nezatuxa-
gwye klassyçeskye relaksacyonn¥e kolebanyq.
PredpoloΩym dalee, çto parametr µ fyksyrovan y otrycatelen. Tohda [6]
cyklam L±( )µ system¥ (4) pry vsex dostatoçno mal¥x ε > 0 sootvetstvugt us-
tojçyv¥j y neustojçyv¥j cykl¥
˜ ( , )–L ε µ y
˜ ( , )L+ ε µ ysxodnoj system¥M(1),
pryçem
˜ ( , )L± 0 µ =
( , ): ( ), ( )x y y x x L= ∈{ }− ±F1 µ .
Krome toho, v sylu uslovyq 2 ynteresugwaq nas traektoryq (10) pry t > t2 za-
vedomo popadaet v oblast\ prytqΩenyq cykla
˜ ( , )–L ε µ . Takym obrazom, v dan-
nom sluçae relaksacyonn¥x kolebanyj v systemeM(1) net.
Yz pryvedenn¥x kaçestvenn¥x soobraΩenyj moΩno sdelat\ πvrystyçeskoe
zaklgçenye o suwestvovanyy krytyçeskoho znaçenyq µ ε∗( ), µ∗( )0 = 0, para-
metra µ, pry kotorom v systemeM(1) proysxodyt perexod ot hladkyx avtokole-
banyj — ustojçyvoho cykla
˜ ( , )–L ε µ — k relaksacyonn¥m. Toçnee hovorq,
sluçaj µ = µ ε∗( ) sootvetstvuet „sedlo-uzlovoj” byfurkacyy, pryvodqwej k
slyqnyg y ysçeznovenyg cyklov
˜ ( , )L± ε µ .
Çto Ωe kasaetsq „katastrof¥ holuboho neba”, to, kak okaz¥vaetsq, ona
nablgdaetsq (pry odnom dopolnytel\nom uslovyy) v systemeM(1) pry
µ = µ ε∗( ) + ν, 0 1< <<ν . (11)
2. Texnyçeskye rezul\tat¥. Dlq dokazatel\stva osnovnoho rezul\tata o
„katastrofe holuboho neba” trebugtsq dostatoçno neprost¥e vspomohatel\n¥e
texnyçeskye rezul\tat¥ y konstrukcyy, strohoe obosnovanye kotor¥x slyßkom
hromozdko. Poπtomu m¥ ohranyçymsq zdes\ lyß\ razæqsnenyqmy y nekotor¥my
formulyrovkamy; ysçerp¥vagwye formal\n¥e y dovol\no hromozdkye dokaza-
tel\stva budut opublykovan¥ otdel\no.
PreΩde vseho sleduet ubedyt\sq, çto fyhuryrugwee v (11) krytyçeskoe
znaçenye µ ε∗( ) parametra µ dejstvytel\no suwestvuet. Zafyksyruem proyz-
vol\noe dostatoçno maloe δ0 0> y na ploskosty (x1, x2) rassmotrym okrest-
nost\ cykla (5)
U = O x
x L
( ˜, )
˜
δ0
0∈
∪ , (12)
hde O x( ˜, )δ0 — otkr¥t¥j ßar radyusa δ0 s centrom v toçke x̃ . Yspol\zuq
rezul\tat¥ yz [7], moΩno utverΩdat\: dlq lgboho natural\noho k najdutsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
68 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
takye dostatoçno mal¥e ε0 = ε0( )k > 0, µ0 = µ0( )k > 0, çto pry ( , , )x ε µ ∈
∈ U M× 0 0, ε[ ] × −[ ]µ µ0 0, systema (1) ymeet πksponencyal\no orbytal\no us-
tojçyvoe (s pokazatelem πksponent¥ porqdka ε−1
) ynvaryantnoe mnohoobrazye
medlenn¥x dvyΩenyj
y = H x( , , )ε µ : H ∈ C
k U × [ ] × [ ]( )0 0 0 0, – ,ε µ µ , H x( , , )0 µ =
F1−( )x . (13)
Rassmotrym teper\ dvumernug systemu na mnohoobrazyy (13):
ẋ = f x H x, ( , , ),ε µ µ( ), x ∈ U , (14)
y vvedem otobraΩenye posledovanyq
s → R s( , , )ε µ , R s( , , )ε µ ∈ C s sk −[ ] × [ ] × −[ ]( )0 0 0 0 00, , ,ε µ µ (15)
po traektoryqm system¥ (14), dejstvugwee na sekuwej Σ (sm. rys.M2) y qvlqg-
weesq Ck
-hladkym prodolΩenyem po ε otobraΩenyq (6).
MoΩno ustanovyt\ (yspol\zuq teoremu o neqvnoj funkcyy) suwestvovanye
takoj edynstvennoj funkcyy µ = µ ε∗( ), µ∗( )0 = 0, çto pry µ = µ ε∗( ) otobra-
Ωenye (15) ymeet nepodvyΩnug toçku s = s∗( )ε , s∗( )0 = 0, typa „prostoj sed-
lo-uzel”. ∏toj toçke v systeme (14) sootvetstvuet poluustojçyv¥j cykl,
qvlqgwyjsq Ck
-hladkym prodolΩenyem po ε sedlo-uzlovoho cykla (5):
L∗( )ε : x = x∗( , )ϕ ε , x∗ +( , )ϕ π ε2 ≡ x∗( , )ϕ ε ,
(16)
˙ ( )ϕ ω ε= ∗ , x∗( , )ϕ 0 = x0( )ϕ , ω∗( )0 = ω0 .
Esly teper\ dobavyt\ ewe y komponentu y = y∗( , )ϕ ε , hde
y∗( , )ϕ ε = H x∗ ∗( )( , ), , ( )ϕ ε ε µ ε , y∗( , )ϕ 0 =
F1 0−( )x ( )ϕ ,
y∗ +( , )ϕ π ε2 ≡ y∗( , )ϕ ε ,
to poluçytsq poluustojçyv¥j cykl
˜ ( )L∗ ε : x = x∗( , )ϕ ε , y = y∗( , )ϕ ε , ˙ ( )ϕ ω ε= ∗ (17)
typa „prostoj sedlo-uzel” system¥ (1).
V sylu uslovyj 1 – 4 kaΩdaq traektoryq system¥ (1) pry µ = µ ε∗( ), prynad-
leΩawaq neustojçyvomu mnohoobrazyg W Lu
loc
˜ ( )∗( )ε cykla (17), pry t → + ∞
snova stremytsq k
˜ ( )L∗ ε , popadaq v uzlovug oblast\ πtoho cykla. Sledova-
tel\no, µ ε∗( ) dejstvytel\no qvlqetsq krytyçeskym znaçenyem, sootvetstvug-
wym „katastrofe holuboho neba”.
Dal\nejßye rassuΩdenyq otnosqtsq k systeme
ẋ = F x∗( , , )ε ν , (18)
poluçagwejsq posle podstanovky v (14) ravenstva (11). Vvedem v oblasty (12)
„radyal\nug” y „cyklyçeskug” koordynat¥
( , )s ϕ : s s≤ 0 , s0 0= >const , 0 ≤ ϕ ≤ 2 2π π(mod ) ,
svqzann¥e s cyklom (16): v kaçestve ϕ voz\mem uhlovug koordynatu yz (16), a
çerez s oboznaçym uΩe upomynavßyjsq parametr na otrezke normaly ( , )ϕ ε∑
k kryvoj L∗( )ε , provedennom çerez toçku x∗( , )ϕ ε . Neobxodym¥j teper\ tex-
nyçeskyj rezul\tat kasaetsq preobrazovanyq system¥M(18) k vozmoΩno bolee
prostomu vydu. Esly predpoloΩyt\, çto v πtoj systeme ν > 0, to moΩno doka-
zat\ suwestvovanye takoho Ck
-hladkoho perexoda ot koordynat ( , )s ϕ k koor-
dynatam ( , )r ψ („poperek” y „vdol\” cykla (17)), v kotor¥x systema (18) „ras-
weplqetsq v hlavn¥x çlenax”.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 69
Teper\ vernemsq v ysxodnoe trexmernoe prostranstvo y rassmotrym dve dvu-
mern¥e cylyndryçeskye poverxnosty S± , zadagwyesq v peremenn¥x ( , , )r zψ ,
z = y – H ( x, ε, µ ) ravenstvamy
S± = ( , , ): , (mod ),r z r r z zψ ψ π π= ± ≤ ≤ ≤{ }0 00 2 2 , (19)
hde postoqnn¥e r0 > 0, z0 > 0 fyksyrovan¥ y dostatoçno mal¥. Okaz¥vaetsq,
çto pry uslovyy (11) poverxnosty (19) ne ymegt kontakta s traektoryqmy sys-
tem¥M(1). Krome toho, yz opysannoho v¥ße xaraktera povedenyq reßenyj (10)
sleduet, çto korrektno opredelqgtsq operator sootvetstvyq
P+, – ( , )ε ν : S+ →
→ S– po traektoryqm system¥M(1) y analohyçn¥j operator
P+, – ( , )0 0 po tra-
ektoryqm v¥roΩdennoj system¥M(3) pry µ = 0. VaΩn¥m obstoqtel\stvom qvlq-
etsq tot fakt, çto vtoroj yz πtyx operatorov dopuskaet predstavlenye
P+, – ( , )0 0 : ( , )ψ z → γ ψ( ), 0( ), (20)
hde γ ψ( ) ∈ C∞
— 2π-peryodyçeskaq funkcyq.
∏ta funkcyq yhraet suwestvennug rol\ v formulyrovke okonçatel\noho
rezul\tata, y poπtomu ostanovymsq podrobnee na ee opredelenyy. Na ploskosty
( x1, x2
) v peremenn¥x ( , )r ψ zadadym dve zamknut¥e kryv¥e L( )± :
L( )± = ( , ): , (mod )r r rψ ψ π π= ± ≤ ≤{ }0 0 2 2
Rys.M3
(na rys.M3 ßtryxamy yzobraΩen cykl L0, raspoloΩenn¥j meΩdu L ( )− y L ( )+ ).
Zafyksyruem dalee na L ( )+ proyzvol\nug toçku, kotoroj sootvetstvuet uhol
ψ, y v¥pustym yz nee reßenye system¥M(4) pry µ = 0. V sylu uslovyj 1 y 2 po
traektoryqm πtoj system¥ ustanavlyvaetsq vzaymno odnoznaçnoe sootvetstvye
meΩdu kryv¥my L( )+ y l1. Poπtomu budem sçytat\, çto kryvaq l1 parametry-
zovana s pomow\g toj Ωe samoj koordynat¥ ψ, çto y kryvaq L ( )+ (toçnee,
toçkam yz L ( )+ y l1, leΩawym na odnoj y toj Ωe traektoryy, sootvetstvugt
odynakov¥e znaçenyq ψ).
Obratymsq teper\ k toçke na kryvoj l1 s koordynatoj ψ y v¥pustym yz nee
traektoryg system¥ (9) pry µ = 0 (sm. rys.M3). Sohlasno uslovygM4 çerez ko-
neçnoe vremq πta traektoryq popadet v nekotorug toçku kryvoj l2 s koordyna-
toj ϕ̃1 = γ ψ1( ), γ ψ π1 2( )+ ≡ γ ψ1( ) + 2π. (Sçytaem, çto kryvaq l2 C∞
-hladko
parametryzovana cyklyçeskoj peremennoj 0 ≤ ϕ̃ ≤ 2 2π π(mod ) y ymeet tu Ωe
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
70 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
oryentacyg, çto y l1.) Dobavym ewe, çto (sm. uslovyeM1) pry µ = 0 traektoryy
system¥M(9) ne obrazugt kontakta s kryvoj l2, a znaçyt, γ ψ1( ) ∈ C∞
.
Dlq zaverßenyq postroenyq funkcyy γ ψ( ) voz\mem poluçennug na pred¥-
duwem ßahe toçku na l2 y rassmotrym traektoryg system¥ (4) pry µ = 0 s na-
çal\n¥m uslovyem v πtoj toçke (rys.M3). V sylu uslovyq 2 ubeΩdaemsq, çto pry
uvelyçenyy t takaq traektoryq s neobxodymost\g pereseçet obwym obrazom
kryvug L ( )− v nekotoroj toçke s koordynatoj ψ1 = γ ϕ2 1( ˜ ) , hde γ ϕ2( ˜ ) ∈ C∞
,
γ ϕ π2 2( ˜ )+ ≡ γ ϕ2( ˜ ). Ostaetsq zametyt\, çto ynteresugwaq nas funkcyq γ ψ( )
opredelqetsq ravenstvom γ ψ( ) = γ γ ψ2 1( )( ).
Zaklgçytel\n¥j πtap yssledovanyq povedenyq reßenyj system¥M(1) pry us-
lovyy (11) svqzan s yzuçenyem operatora sootvetstvyq
P–, ( , )+ ε ν po ee traek-
toryqm, dejstvugweho yz S− v S+ . PreΩde vseho, moΩno ubedyt\sq, çto pry
lgbom 0 < ν << 1 πtot operator dejstvytel\no suwestvuet. Y samoe hlavnoe,
udaetsq poluçyt\ πffektyvn¥e predstavlenyq dlq obraza toçky ( , )ψ z posle
vozdejstvyq na nee πtoho operatora.
3. Osnovn¥e rezul\tat¥. Opredelym operator posledovanyq Puankare
P( , )ε ν =
P
–,+
( , )ε ν �
P
+,−( , )ε ν : S+ → S+ (21)
po traektoryqm system¥M(1) pry uslovyy (11). S pomow\g rezul\tatov yz [8] y
upomqnut¥x πffektyvn¥x predstavlenyj dlq operatora
P
–,+
( , )ε ν ustanav-
lyvagtsq utverΩdenyq, qvlqgwyesq osnovn¥my v dannoj stat\e.
Teorema 1. Dlq lgboho natural\noho k najdutsq takye dostatoçno ma-
l¥e ε0 = ε0(k) > 0 y ν0 = ν0(k) > 0, çto pry 0 ≤ ε ≤ ε0, 0 ≤ ν ≤ ν0 operator
(21) ymeet vyd
ψ → c∗( , )ε ν ν + γ ψ( ) + Λ1 2( , , , )(mod )ψ ε ν πz ,
P( , )ε ν : (22)
z → Λ2( , , , )expψ ε ν
ε ν
z
c−
∗∗ .
Zdes\ γ ψ( ) — funkcyq yz (20); neprer¥vnaq po sovokupnosty peremenn¥x
funkcyq c∗( , )ε ν takova, çto c∗( , )0 0 > 0; c∗∗ = const > 0 , a 2π -peryody-
çeskye po ψ funkcyy Λ j , j = 1, 2, y yx proyzvodn¥e po ( , )ψ z do porqdka k
vklgçytel\no neprer¥vn¥ po sovokupnosty peremenn¥x na mnoΩestve 0 2, π[ ] ×
× −[ ]z z0 0, × 0 0, ε[ ] × 0 0, ν[ ]. Krome toho, v¥polnqetsq ravenstvo
Λ1 ψ, z( , 0 0, ) ≡ 0.
Yz predstavlenyq (22) lehko zaklgçyt\, çto P( , )ε ν S+ ⊂ S+ , a potomu oto-
braΩenye (21) ymeet maksymal\n¥j attraktor
Amax =
n
n S
=
∞
+
0
∩ P ( , )ε ν . (23)
Qsno takΩe, çto v pervom pryblyΩenyy za strukturu mnoΩestva (23) otveçaet
odnomernoe otobraΩenye
Pκ : ψ ψ→ = κ + γ ψ( ) , (24)
hde κ = c∗( , )ε ν ν , poluçagweesq yz (22) posle otbras¥vanyq asymptotyçesky
mal¥x po ε, ν slahaem¥x. Budem rassmatryvat\ πto otobraΩenye, sçytaq κ
nezavysym¥m parametrom, probehagwym vsg çyslovug os\ R .
V dopolnenye k uslovyqm 1 – 4 sdelaem novoe predpoloΩenye. Ymenno, bu-
dem sçytat\, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
OB ODNOJ BYFURKACYY V RELAKSACYONNÁX SYSTEMAX 71
′ <γ ψ( ) 1 ∀ ∈[ ]ψ π0 2, . (25)
Tohda, kak netrudno vydet\, otobraΩenye (24) ymeet edynstvennug neprer¥vno
zavysqwug ot κ nepodvyΩnug toçku
ψ ψ κ= 0( ), ψ κ π0 2( )+ ≡ ψ κ0( ) + 2π. (26)
Çto Ωe kasaetsq ysxodnoho otobraΩenyq (22), to pry uslovyy (25) ono oçevyd-
n¥m obrazom qvlqetsq sΩymagwym. Tem sam¥m pryxodym k sledugwemu ut-
verΩdenyg.
Teorema 2. Pust\ krome uslovyj 1 – 4 v¥polnen¥ predpoloΩenyq (11) y
(25). Tohda attraktor (23) sostoyt yz edynstvennoj πksponencyal\no ustoj-
çyvoj nepodvyΩnoj toçky ( , )ψ z = ψ ε ν ε ν( , ), ( , )z( ), dlq komponent kotoroj
pry ν → 0 spravedlyv¥ ravnomern¥e po ε asymptotyçeskye predstavlenyq
ψ ε ν( , ) = 1 1 0+( ) = ∗
o c( ) ( ) ( , )ψ κ κ ε ν ν , z( , )ε ν = O
c
exp – ∗∗
ε ν
, (27)
hde c∗∗ > 0 — postoqnnaq yz (22), a ψ0 = ψ κ0( ) — funkcyq (26).
Poqsnym, poçemu poslednqq teorema harantyruet realyzuemost\ v syste-
meM(1) pry sdelann¥x predpoloΩenyqx ynteresugwej nas byfurkacyy typa
„katastrofa holuboho neba”. Dejstvytel\no, nepodvyΩnoj toçke (27) operato-
ra posledovanyq (21) sootvetstvuet relaksacyonn¥j cykl
˜( , )L ε ν πtoj syste-
m¥, peryod y dlyna kotoroho ravnomerno po ε stremqtsq k beskoneçnosty pry
ν → 0. Krome toho, v sylu pervoho ravenstva yz (27) mnoΩestvo vsex çastyçn¥x
predelov komponent¥ ψ ε ν( , ) pry ν → 0, vzqtoe po modulg 2π, sovpadaet s
otrezkom 0 2, π[ ]. A πto znaçyt, çto verxnyj topolohyçeskyj predel kryvoj
˜( , )L ε ν pry ν → 0 raven W Lu ˜ ( )∗( )ε ∪ ˜ ( )L∗ ε , hde
˜ ( )L∗ ε — „sedlo-uzloj cykl”
(17), a Wu
— eho neustojçyvoe mnohoobrazye, prodolΩennoe po traektoryqm
system¥M(1) pry µ µ ε= ∗( ) y sostoqwee yz dvoqkoasymptotyçeskyx k
˜ ( )L∗ ε re-
ßenyj.
4. Prymer. Rassmotrym v kaçestve prymera systemu vyda
ẋ = f x y1 1( , ) ( )µ v + f x y2 2( ) ( )v , εẏ = x x g y1
2
2
2+ – ( ) . (28)
Budem sçytat\, çto funkcyq g y( ) ∈ C
∞( )R hladko zavysyt ot çet¥rex po-
loΩytel\n¥x parametrov a1, a2 , b1 , b2 y obladaet sledugwymy svojstvamy
(rys.M4):
g( )0 = 0, g y( ) > 0 pry y > 0;
′g y( ) > 0 pry y ∈ 0 1, a[ ), ′g a( )1 = 0;
g a( )1 = b1, ′′g a( )1 < 0;
′g y( ) < 0 pry y a a∈( , )1 2 , ′g a( )2 = 0;
g a( )2 = b2, ′′g a( )2 > 0;
′g y( ) > 0 pry y > a2, g y( ) → + ∞ pry y → + ∞.
PredpoloΩym dalee, çto v1( )y , v2( )y ∈ C∞( )R y
v1( )y ≡ 1, v2( )y ≡ 0 pry 0 ≤ y ≤ a1,
v1( )y ≡ 0, v2( )y ≡ 1 pry y ≥ a2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
72 A. G. KOLESOV, E. F. MYWENKO, N. X. ROZOV
Rys.M4
Nakonec, sdelaem sledugwye dopuwenyq otnosytel\no vektor-funkcyj f1,
f2
: ony beskoneçno dyfferencyruem¥ po sovokupnosty peremenn¥x y takov¥,
çto systema
˙ ( , )x f x= 1 µ (29)
udovletvorqet uslovyqm 2 y 3, a systema ˙ ( )x f x= 2 ymeet vyd
˙ –x x1 1= , ˙ –x x2 2= .
Krome toho, predpoloΩym, çto pry µ = 0 traektoryy system¥M(29) ne obrazugt
kontakta s okruΩnost\g x1
2 + x2
2 = b1 (πto trebovanye πkvyvalentno v¥polne-
nyg vtoroho neravenstva yz (2)).
Opysannaq systemaM(28) zavedomo udovletvorqet uslovyqm 1 – 4. V dannom
sluçae nesloΩno prydat\ uslovyqm teorem¥M2 bolee obozrym¥j xarakter y, v
çastnosty, ubedyt\sq v yx pryncypyal\noj realyzuemosty. Dejstvytel\no,
predpoloΩym, çto b2 → 0 pry fyksyrovann¥x proçyx parametrax. Tohda kry-
vaq l2 = ( , )x x1 2{ : x1
2 + x2
2 = b2} stqhyvaetsq v toçku y vsledstvye πtoho funk-
cyq γ ψ( ) yz (20) stremytsq (v metryke C1 0 2, π[ ]) k nekotoroj konstante.
Takym obrazom, pry mal¥x b2 neravenstvo (25) v¥polnqetsq.
V zaklgçenye dobavym, çto opysannaq sytuacyq realyzuetsq v systemeM(28)
pry podxodqwem v¥bore parametrov, esly systemaM(29) v polqrn¥x koordynatax
x1 = x1
0 + ρ ϕcos , x2 = x2
0 + ρ ϕsin , x x1
0
2
0 0 0, ( , )( ) ≠ ,
ymeet vyd
ρ̇ = µ ρ ρ ρ+ ( )[ ]2
0
2 2
– , ϕ̇ = 1, ρ0 0= >const .
1. Turaev D. V., Íyl\nykov L. P. Dokl. AN RAN. – 1995 – 342, # 5. – S. 596 – 599.
2. Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Blue sky catastrophe in singularly-perturbed systems. – Ber-
lin, 2003. – Preprint WIAS, # 841.
3. Shilnikov A., Shilnikov L., Turaev D. Moscow Math. J. – 2005. – 5, # 1. – P. 269 – 282.
4. Mywenko E. F., Rozov N. X. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s mal¥m parametrom y relaksa-
cyonn¥e kolebanyq. – M.: Nauka, 1975.
5. Kolesov A. G. Mat. zametky. – 1994. – 56, v¥p. 6. – S. 40 – 47.
6. Anosov D. V. Mat. sb. – 1960. – 50, # 3. – S. 299 – 334.
7. Mytropol\skyj G. A., L¥kova O. B. Yntehral\n¥e mnohoobrazyq v nelynejnoj mexanyke. –
M.: Nauka, 1973.
8. Mywenko E. F., Kolesov G. S., Kolesov A. G., Rozov N. X. Peryodyçeskye dvyΩenyq y by-
furkacyonn¥e process¥ v synhulqrno vozmuwenn¥x systemax. – M.: Nauka, 1995.
Poluçeno 15.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3137 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:56Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/03/49e3ae6f6eea1fae17b01464022db403.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31372020-03-18T19:46:36Z On one bifurcation in relaxation systems Об одной бифуркации в релаксационных системах Kolesov, A. Yu. Mishchenko, E. F. Rozov, N. Kh. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. We establish conditions under which, in three-dimensional relaxation systems of the form $$\dot{x} = f(x, y, \mu),\quad, \varepsilon\dot{y} = g(x, y),\quad x= (x_1, x_2) \in {\mathbb R}^2,\quad y\in{\mathbb R },$$ where $0 < ε Встановлено умови, за яких у тривимірних релаксаційних системах вигляду $$\dot{x} = f(x, y, \mu),\quad, \varepsilon\dot{y} = g(x, y),\quad x= (x_1, x_2) \in {\mathbb R}^2,\quad y\in{\mathbb R },$$ де $0 < ε Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3137 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 1 (2008); 63–72 Український математичний журнал; Том 60 № 1 (2008); 63–72 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3137/3022 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3137/3023 Copyright (c) 2008 Kolesov A. Yu.; Mishchenko E. F.; Rozov N. Kh. |
| spellingShingle | Kolesov, A. Yu. Mishchenko, E. F. Rozov, N. Kh. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. Колесов, А. Ю. Мищенко, Е. Ф. Розов, Н. Х. On one bifurcation in relaxation systems |
| title | On one bifurcation in relaxation systems |
| title_alt | Об одной бифуркации в релаксационных системах |
| title_full | On one bifurcation in relaxation systems |
| title_fullStr | On one bifurcation in relaxation systems |
| title_full_unstemmed | On one bifurcation in relaxation systems |
| title_short | On one bifurcation in relaxation systems |
| title_sort | on one bifurcation in relaxation systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3137 |
| work_keys_str_mv | AT kolesovayu ononebifurcationinrelaxationsystems AT mishchenkoef ononebifurcationinrelaxationsystems AT rozovnkh ononebifurcationinrelaxationsystems AT kolesovaû ononebifurcationinrelaxationsystems AT miŝenkoef ononebifurcationinrelaxationsystems AT rozovnh ononebifurcationinrelaxationsystems AT kolesovaû ononebifurcationinrelaxationsystems AT miŝenkoef ononebifurcationinrelaxationsystems AT rozovnh ononebifurcationinrelaxationsystems AT kolesovayu obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT mishchenkoef obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT rozovnkh obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT kolesovaû obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT miŝenkoef obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT rozovnh obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT kolesovaû obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT miŝenkoef obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah AT rozovnh obodnojbifurkaciivrelaksacionnyhsistemah |