Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations
We give a brief survey of the main results obtained in recent years in the theory of impulsive differential equations.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3139 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509177038766080 |
|---|---|
| author | Perestyuk, N. A. Chernikova, O. S. Перестюк, М. О. Чернікова, О. С. |
| author_facet | Perestyuk, N. A. Chernikova, O. S. Перестюк, М. О. Чернікова, О. С. |
| author_sort | Perestyuk, N. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:36Z |
| description | We give a brief survey of the main results obtained in recent years in the theory of impulsive differential equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
M. O. Perestgk, O. S. Çernikova (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI}
DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| Z IMPUL|SNOG DI{G
*
We present a short survey of the principal results on the theory of impulsive differential equations
obtained during last years.
Pryveden kratkyj obzor osnovn¥x rezul\tatov po teoryy ympul\sn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj, ustanovlenn¥x v teçenye poslednyx let.
Teoriq dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym zburennqm [ odnym iz najvaΩ-
lyvißyx rozdiliv suçasno] teori] dyferencial\nyx rivnqn\. Stanovlennq ta
formuvannq teori] impul\snyx system pov’qzane z doslidΩennqmy vçenyx ky]v-
s\ko] naukovo] ßkoly nelinijno] mexaniky (dyv., napryklad, [1, 2], a takoΩ oh-
lqd [3]). Odnym iz perßyx takyx doslidΩen\ bulo vyvçennq kolyvan\ maqtnyka,
wo pidda[t\sq impul\snij di] [4]. U podal\ßomu ide] [4] bulo rozvynuto
G.5O.5Mytropol\s\kym, A.5M.5Samojlenkom ta ]xnimy uçnqmy [1, 2, 5 – 7]. Re-
zul\taty vkazanyx robit pryvernuly uvahu faxivciv v us\omu sviti, stymulgvaly
podal\ßyj vsebiçnyj rozvytok teori] dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym
zburennqm.
V ostannij ças sposteriha[t\sq zrostannq interesu specialistiv do riznyx as-
pektiv teori] impul\snyx system, vse ßyrßym sta[ kolo doslidΩuvanyx pytan\.
Znaçna kil\kist\ publikacij ostannix rokiv pov’qzana z pytannqmy stijkosti ta
riznomanitnyx „stijkopodibnyx” vlastyvostej rozv’qzkiv i mnoΩyn (intehral\-
nyx, invariantnyx) dlq riznyx klasiv impul\snyx system. Ob’[ktamy vyvçennq [
qk systemy zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snog di[g, tak i syste-
my rivnqn\ z zapiznennqm ta impul\snym zburennqm, synhulqrno zbureni dyfe-
rencial\ni rivnqnnq z impul\snog di[g, rivnqnnq z vypadkovym impul\snym zbu-
rennqm, impul\sni dyferencial\ni rivnqnnq v banaxovomu prostori towo. Pry
c\omu osnovnymy metodamy doslidΩennq stijkosti [ prqmyj metod Lqpunova,
poßyrenyj [1, 2] na vypadok impul\snyx system, metod porivnqnnq [8], a takoΩ
po[dnannq nazvanyx metodiv. Çasto pry analizi vlastyvostej ta povedinky roz-
v’qzkiv impul\snyx system zastosovugt\ metod intehral\nyx nerivnostej, zok-
rema analohy vidomyx nerivnostej Hronuolla – Bellmana, Bixari dlq kuskovo-
neperervnyx funkcij (dyv., napryklad, [1, 2]). Okremyj cykl robit prysvqçeno
doslidΩenng krajovyx zadaç dlq impul\snyx system dyferencial\nyx rivnqn\;
rezul\taty cyx doslidΩen\ vykladeno u monohrafiqx [9, 10].
U danij statti navedeno ohlqd deqkyx rezul\tativ z teori] impul\snyx sys-
tem, vstanovlenyx protqhom ostannix rokiv. Pry c\omu zbereΩeno poznaçennq,
pryjnqti avtoramy vkazanyx publikacij.
Qk bulo zaznaçeno vywe, velyku kil\kist\ doslidΩen\ u teori] impul\snyx
system prysvqçeno pytannqm stijkosti rozv’qzkiv riznyx klasiv impul\snyx sys-
tem. Perßi hlyboki systematyçni doslidΩennq u c\omu naprqmku bulo provede-
no matematykamy ky]vs\ko] ßkoly nelinijno] mexaniky. Rezul\taty, vstanovleni
v 1970 – 1980-x rokax predstavnykamy ci[] naukovo] ßkoly, na danyj ças [ za-
hal\novidomymy i ßyroko zastosovugt\sq u doslidΩennq qk vitçyznqnyx, tak i
zakordonnyx matematykiv (styslyj ohlqd vidpovidnyx publikacij navedeno v
[3]). Metodyka vyvçennq pytan\ stijkosti ta asymptotyçno] povedinky rozv’qz-
kiv system dyferencial\nyx rivnqn\, zaproponovana avtoramy [1, 2], vyqvylasq
efektyvnog i pry doslidΩenni pytan\ stijkosti mnoΩyn. Pytannq stijkosti in-
variantnyx ta intehral\nyx mnoΩyn deqkyx klasiv impul\snyx system doslid-
Ωeno v robotax [11 – 15]. Navedemo okremi z vstanovlenyx u cyx robotax re-
*
Vykonano za pidtrymky DerΩavnoho fondu fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny.
© M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1 81
82 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
zul\taty, qki xarakteryzugt\ ]x zmist.
U roboti [11] vyvça[t\sq pytannq asymptotyçno] stijkosti tryvial\noho inva-
riantnoho tora x = 0, ϕ ∈5 ℑm systemy dyferencial\nyx rivnqn\
d
dt
a
ϕ ε ϕ= ( ), dx
dt
P x= ( )ϕ , t j≠ τ ,
(1)
∆x B x
t j=
=
τ
ϕ( ) ,
de a( )ϕ ∈ 5 C mLip( )ℑ ; P( )ϕ , B( )ϕ ∈ 5 C m( )ℑ , ϕ = ( , , )ϕ ϕ1 … m ; x = ( , , )x xn1 … ;
ε5∈5( , )0 0ε — malyj parametr; τ j → + ∞ pry j → +∞ , τ j > t0, t0 — poçatko-
vyj moment, i systemy
d
dt
ϕ
= ε ϕa( ), dx
dt
= P x( )ϕ + f x( , )ϕ , t j≠ τ ,
(2)
∆x
t j= τ
= B x( )ϕ + I x( , )ϕ ,
de f x( , )ϕ , I x( , )ϕ ∈5 C m( )ℑ ,
f x( , )ϕ ≤ a x , I x( , )ϕ ≤ a x (3)
pry vsix ϕ ∈5 ℑm, x ≤ h, h > 0, a > 0.
Vidnosno poslidovnosti τ j{ } vvaΩa[t\sq, wo rivnomirno vidnosno t ≥ t0 is-
nu[ skinçenna hranycq
lim
( , )
T
i t t T
T→∞
+
= p, (4)
de i t t T( , )+ — kil\kist\ toçok poslidovnosti τ j{ }, wo naleΩat\ promiΩku
t t T, +[ ]. Nexaj Ωϕ — ω-hranyçna mnoΩyna dodatno] pivtra[ktori] rozv’qzku
ϕ ϕt ( ), ϕ ∈5 ℑm, t ∈5 0, + ∞[ ), perßoho rivnqnnq systemy5(1), Ω = Ωϕϕ∈ℑm
∪ .
Dlq system5(1) i (2) vstanovleno nastupni dostatni umovy asymptotyçno]
stijkosti tryvial\noho invariantnoho tora.
Teorema 1 [11]. Nexaj u systemi5(1) poslidovnist\ τ j{ } zadovol\nq[ umo-
vu5(4).
Todi qkwo vykonu[t\sq nerivnist\
γ + p lnα < 0, (5)
de γ = max Re ( )
, ,j n
j P
= …
∈
( )( )
1
ϕ
λ ϕ
Ω
, α2 = max ( ) ( )
, ,j n
j
TE B E B
= …
∈
+( ) +( )( )
1
ϕ
λ ϕ ϕ
Ω
, to pry
dostatn\o malyx znaçennqx ε > 0 tryvial\nyj invariantnyj tor x = 0, ϕ5∈
∈5 ℑm systemy5(1) [ asymptotyçno stijkym.
Teorema 2 [11, 12]. Nexaj u systemi5(2) poslidovnist\ τ j{ } zadovol\nq[
umovu5(4).
Todi qkwo vykonu[t\sq nerivnist\5(5) i funkci] f x( , )ϕ , I x( , )ϕ zadovol\-
nqgt\ umovu5(3) z dostatn\o malym znaçennqm a, to pry dostatn\o malyx
znaçennqx ε > 0 tryvial\nyj invariantnyj tor x = 0 , ϕ ∈ℑm systemy5(2) [
eksponencial\no stijkym.
VaΩlyvym momentom u cyx teoremax [ te, wo vlasni znaçennq matryc\ dos-
tatn\o rozhlqdaty na mnoΩyni Ω, a ne na vs\omu tori. Pry dovedenni vykorys-
tovu[t\sq metod zamoroΩuvannq.
Dlq doslidΩennq stijkosti invariantnyx ta intehral\nyx mnoΩyn zastosovu-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI} DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| … 83
[t\sq takoΩ druhyj metod Lqpunova, toçniße, uzahal\nennq druhoho metodu
Lqpunova [1, 2] na vypadok impul\snyx system. U roboti [11] rozhlqda[t\sq sys-
tema
d
dt
ϕ
= a( )ϕ , dx
dt
= f x( , )ϕ , t j≠ τ ,
(6)
∆x t j= τ = I x( , )ϕ ,
de a( )ϕ ∈5 C mLip( )ℑ ; f x( , )ϕ , I x( , )ϕ — zadani v oblasti Z = ϕ ∈ℑ ∈{ }m hx J, ,
de Jh = x R x h hn∈ ≤ >{ }, , 0 , neperervni ta 2π-periodyçni po ϕν, ν5=51, …
… , m, funkci] i f ( , )ϕ 0 ≡ 0, I( , )ϕ 0 ≡ 0 dlq vsix ϕ ∈ℑm .
Poslidovnist\ τ j{ } momentiv çasu impul\snoho zburennq zadovol\nq[ umovu
τ τj j> −1, j = 1, 2, … , lim
i
i→∞
= ∞τ .
Porqd z oblastg Z vvodyt\sq do rozhlqdu oblast\ ZΩ = ϕ ∈ ∈{ }Ω, x Jh , de
Ω =
Ωϕ
ϕ∈ℑm
∪ , a çerez Ωϕ poznaçeno ω-hranyçnu mnoΩynu dodatno] pivtra[k-
tori] rozv’qzku ϕ ϕt ( ), ϕ ∈ℑm , t ∈ + ∞[ )0, , perßoho rivnqnnq systemy5(6).
Do rozhlqdu vvodqt\sq dopomiΩni funkci] (analohy klasyçnyx funkcij Lq-
punova), vyznaçeni i neperervno dyferencijovni v oblasti Z.
Funkciq V x( , )ϕ nazyva[t\sq dodatno vyznaçenog v oblasti Z, qkwo v Jh
isnu[ neperervna skalqrna funkciq W x( ) , W( )0 = 0, taka, wo
V x( , )ϕ ≥ W x( ) > 0
pry x ≠ 0, ϕ ∈ℑm .
Funkciq V x( , )ϕ nazyva[t\sq neskinçenno velykog, qkwo dlq bud\-qkoho
dodatnoho çysla A isnu[ dodatne çyslo R take, wo V x( , )ϕ > A, qk til\ky
x > R.
Teorema 3 [11]. Qkwo dlq systemy5(6) v oblasti Z isnu[ dodatno vyznaçe-
na neskinçenno velyka funkciq V x( , )ϕ taka, wo v oblasti Z Ω zadovol\nq[
nerivnosti
gradϕ ϕ ϕV x a( , ), ( ) + gradx V x f x( , ), ( , )ϕ ϕ ≤ 0,
V x I xϕ ϕ, ( , )+( ) – V x( , )ϕ ≤ – ( , )ψ ϕV x( ),
de ψ( )s — neperervna funkciq, vyznaçena dlq vsix s ≥ 0, pryçomu ψ( )s > 0
pry s > 0, to tryvial\nyj invariantnyj tor x = 0, ϕ ∈ℑm systemy5(6) [
asymptotyçno stijkym v cilomu.
V [12] doslidΩeno stijkist\ tryvial\noho invariantnoho tora dlq rozryvno]
dynamiçno] systemy
d
dt
ϕ
= ε ϕa( ), dx
dt
= f x( , )ϕ ,
ϕ ∉H ,
∆ Γx ϕ∈ = I x( , )ϕ ,
de ϕ ∈ℑm , x Rn∈ , a( )ϕ ∈ 5 C mLip( )ℑ ; f x( , )ϕ , I x( , )ϕ — neperervni ta 2π-pe-
riodyçni po ϕν, ν = 1, … , m, funkci] i f ( , )ϕ 0 ≡ 0 , I( , )ϕ 0 ≡ 0 dlq vsix
ϕ ∈ℑm ; mnoΩyna H — pidmnoΩyna tora ℑm: H = ϕ ϕ∈ℑ ={ }m b: , 0 ; b =
= ( , , )b bm1 … — vektor z ciloçyslovymy dodatnymy koordynatamy, pryçomu vy-
konu[t\sq umova transversal\nosti
a b( ),ϕ ϕ ∈H
≠ 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
84 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
Slid zaznaçyty, wo pytannq, pov’qzani z isnuvannqm i vlastyvostqmy invari-
antnyx mnoΩyn dlq okremyx vypadkiv systemy5(6), rozhlqdalysq v [2], a takoΩ
pizniße v roboti [16]. V [2] vstanovleno dostatni umovy isnuvannq invariantno]
mnoΩyny vyhlqdu x u= ( )ϕ ta stijkosti tako] mnoΩyny dlq system
d
dt
ϕ
= ω, dx
dt
= A x( )ϕ + f ( )ϕ ,
ϕ ∉H, ∆ x = I( )ϕ ,
ϕ ∈H ,
i
d
dt
ϕ
= ω, dx
dt
= A x( )ϕ + f x( , )ϕ ,
ϕ ∉H, ∆ x = I x( , )ϕ ,
ϕ ∈H ,
de ϕ = ( , , )ϕ ϕ1 … m ; x = ( , , )x xn1 … ; ω = ( , , )ω ω1 … m — vektor z dodatnymy
komponentamy; f, I — neperervni (kuskovo-neperervni z rozryvamy perßoho ro-
du na mnoΩyni H ) funkci], 2π-periodyçni po koΩnij komponenti ϕ j , j = 1, …
… , m; A( )ϕ — neperervna 2π-periodyçna po koΩnij komponenti ϕ j kvadratna
matrycq. MnoΩyna H — mnohovyd rozmirnosti m – 1, qkyj vyznaça[t\sq riv-
nqnnqm
F( )ϕ = 0, de
F( )ϕ — skalqrna funkciq zminno] ϕ, neperervna i 2π-
periodyçna po koΩnij komponenti zminno] ϕ.
V [16] rozhlqdagt\sq pytannq pro isnuvannq ta vlastyvosti invariantno]
mnoΩyny vyhlqdu x u= ( )ϕ , ϕ ∈ℑm , x Rn∈ , dlq systemy
d
dt
ϕ
= a( )ϕ , dx
dt
= A x( )ϕ + f ( )ϕ , ϕ ∉H , ∆ x = I( )ϕ , ϕ ∈H.
DoslidΩennq zi stijkosti rozv’qzkiv impul\snyx system, rozpoçati A.5M.5Sa-
mojlenkom i M. O. Perestgkom [1, 2], prodovΩeno i dopovneno v [17 – 20]. Zok-
rema, v [17] za dopomohog druhoho metodu Lqpunova vstanovleno dostatni umovy
rivnomirno] asymptotyçno] stijkosti i dostatni umovy nestijkosti tryvial\noho
rozv’qzku periodyçno] systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym zburen-
nqm u fiksovani momenty çasu. Navedemo odyn iz vstanovlenyx u cij statti re-
zul\tativ.
Nahada[mo [1, 2], wo systema dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym zburen-
nqm
˙ ( , )x f t x= , t i≠ τ ,
(7)
∆x
t i= τ
= I xi( ), i = …1 2, , ,
nazyva[t\sq periodyçnog z periodom ω > 0, qkwo f t x( , )+ ω ≡ f t x( , ), t i≠ τ ,
ta isnu[ take p ∈ N, wo I xi p+ ( ) ≡ I xi( ) , τi p+ = τ ωi + , i = 1, 2, … .
Nexaj G = Gkk =
∞
1∪ , Gk = ( , ) : ,t x R t x Bn
k k H∈ < < ∈{ }+
−
1
1τ τ , BH = x Rn∈{ :
x H≤ } . U roboti [17] navedeno nastupni oznaçennq.
Funkciq g : R+ → Rm
, m ∈ N, nazyva[t\sq final\no nenul\ovog, qkwo dlq
dovil\noho m > 0 isnu[ take t > M, wo g t( ) ≠ 0.
Çyslova poslidovnist\ uk k{ } =
∞
1 nazyva[t\sq final\no nenul\ovog, qkwo
dlq dovil\noho natural\noho çysla M isnu[ k > M take, wo uk ≠ 0.
Teorema 4 [17]. Nexaj dlq systemy5(7) isnu[ periodyçna vidnosno t z perio-
dom ω neperervno dyferencijovna v oblasti G funkciq V t x( , ), qka zado-
vol\nq[ umovy
a x( ) ≤ V t x( , ) ≤ b x( ), a, b ∈ K,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI} DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| … 85
de K — klas funkcij Xana,
dV
dt
≤ 0 pry ( , )t x ∈ G,
∆V xi( ) = V x I xi iτ + +( )0, ( ) – V xi( , )τ ≤ 0.
Qkwo vzdovΩ dovil\noho final\no nenul\ovoho rozv’qzku systemy5(7) vyko-
nu[t\sq xoça b odna z umov:
1)
dV
dt
— final\no nenul\ova funkciq,
2) poslidovnist\ Vi{ } final\no nenul\ova,
to tryvial\nyj rozv’qzok systemy5(7) [ rivnomirno asymptotyçno stijkym.
Pryvertagt\ uvahu rezul\taty roboty [20], de porqd z dostatnimy umovamy
vstanovleno j neobxidni umovy stijkosti rozv’qzkiv impul\sno] systemy.
V robotax [21 – 24] doslidΩu[t\sq povedinka rozv’qzkiv impul\snyx system zi
strukturnymy zburennqmy. Pry c\omu efektyvnym [ zastosuvannq matryçno-
znaçnyx funkcij Lqpunova. Za dopomohog vkazanoho pidxodu vstanovleno dos-
tatni umovy stijkosti (asymptotyçno] stijkosti) rozv’qzkiv vidnosno dvox mir,
dostatni umovy zbereΩennq stijkosti vidnosno dvox mir u vypadku, koly nepe-
rervna systema zi strukturnymy zburennqmy pidda[t\sq dodatkovo impul\snomu
zburenng, a takoΩ rozhlqnuto pytannq, pov’qzani z pobudovog dopomiΩnyx
matryçnoznaçnyx funkcij.
U roboti [25] dlq linijno] systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym
zburennqm u fiksovani momenty çasu
u̇ Pu= , t i≠ τ , u t( )+ = Qu, t i= τ , (8)
de u ∈ K, K ⊂ Rn
— konus u prostori Rn
, QK ⊂ K, det Q ≠ 0 , funkciq f u( ) =
= Pu — kvazimonotonna vidnosno konusa K, vstanovleno dostatni umovy asymp-
totyçno] stijkosti vidnosno konusa K tryvial\noho rozv’qzku systemy5(8). Roz-
hlqnuto pytannq pro praktyçnu ta texniçnu stijkist\ vidnosno konusa Rn
+ try-
vial\noho rozv’qzku systemy5(8). Deqki z rezul\tativ [25], a takoΩ metod poriv-
nqnnq zastosovano u [26], de vstanovleno dostatni umovy praktyçno] ta texniç-
no] stijkosti poloΩennq rivnovahy kvazilinijno] impul\sno] systemy.
V roboti [27] za dopomohog druhoho metodu Lqpunova ta pryncypu porivnqn-
nq vstanovleno dostatni umovy vlastyvostej stijkosti tryvial\noho rozv’qzku
impul\sno] systemy
′x = f t x xk k, , ( )λ( ), t t tk k∈( ]+, 1 ,
x tk( )+ = xk
+ , xk
+ = xk + I xk k( ) , k = 0, 1, 2, … ,
xk = x tk( ) , I x0 0( ) ≡ 0, x t( )0
+ = x0 ,
de f ∈ C R R R Rn m n
+ × ×[ ], , Ik ∈ C R Rn n, , λk ∈ C R Rn m, ; f t k, , ( )0 0λ( ) ≡
≡ 0, Ik ( )0 = 0, k = 0, 1, 2, … .
U roboti [28] doslidΩu[t\sq stijkist\ tak zvanyx „ruxomyx” invariantnyx
mnohovydiv dlq impul\snyx system vyhlqdu
˙ ( , , )x f t x= λ , t k≠ τ , t t> 0 ,
(9)
∆ x k( )τ = I xk k( ),τ λ( ), k = 1, 2, … ,
de f ∈ C R R R Rn d n
+ × ×( ), , λ ∈Rd
— parametr.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
86 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
Dlq poslidovnosti rk = rk ( )λ > 0, k = 0, 1, 2, … , vvedeno do rozhlqdu mnoho-
vyd Ω =
Ωk
k =
∞
0
∪ , Ωk = x R t x G x rn
k k∈ ∈ ={ }: ( , ) , , Gk = ( , ) :t x R Rn
k∈{ ×+ τ <
< t k≤ }+τ 1 , k = 0, 1, 2, … , qkyj nazyvagt\ invariantnym, qkwo z rivnosti x0 =
= r0 vyplyva[ rivnist\ x t( ) = rk , t ∈ τ τk k, +( ]1 , k = 0, 1, 2, … , de x t( ) =
= x t t x( , , )0 0 . Vstanovleno dostatni umovy isnuvannq invariantnoho mnohovydu
vkazano] struktury dlq systemy5(9), a takoΩ umovy joho rivnomirno] asympto-
tyçno] stijkosti.
U statti [29] vstanovlggt\sq dostatni umovy stijkosti (rivnomirno], asymp-
totyçno], rivnomirno] asymptotyçno]) mnoΩyn u rozßyrenomu fazovomu prosto-
ri dlq systemy
˙ ( )x t = f t x t x t h, ( ), ( – )( ) , t > t0, t x tk≠ ( )τ ( ) ,
x t( ) = ϕ0( )t , t t h t∈[ )0 0– , ,
∆x t t x t kk
( ) ( )= ( )τ τ = I x tk ( )( ), t > t0, k = 1, 2, … .
U roboti [30] doslidΩugt\sq deqki vlastyvosti rozv’qzkiv majΩe periodyç-
nyx system dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym zburennqm. Pry c\omu iz
zastosuvannqm kuskovo-neperervnyx dopomiΩnyx funkcij vstanovleno dostatni
umovy asymptotyçno] stijkosti v cilomu tryvial\nomu rozv’qzku rozhlqduvano]
impul\sno] systemy. Pytannqm isnuvannq majΩe periodyçno] kuskovo-nepererv-
no] dopomiΩno] funkci] typu funkci] Lqpunova dlq impul\snyx system pry-
svqçeno robotu [31]. Slid zaznaçyty, wo rizni vlastyvosti rozv’qzkiv majΩe pe-
riodyçnyx system z impul\snym zburennqm za dopomohog inßyx metodiv vyvça-
lysq v [1, 2, 32].
Riznomanitni pytannq, pov’qzani zi stijkistg ta obmeΩenistg rozv’qzkiv riz-
nyx klasiv impul\snyx system, rozhlqdalysq v publikaciqx [33 – 40].
U statti [33] dlq systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snym zburennqm
u fiksovani momenty çasu vvedeno ponqttq neperervno] zaleΩnosti ta rivnomir-
no] stijkosti rozv’qzkiv wodo momentiv çasu impul\sno] di] i vstanovleno dostat-
ni umovy takyx vlastyvostej rozv’qzkiv. Navedemo vidpovidni oznaçennq [33].
Nexaj x t t x( , , )0 0 — rozv’qzok systemy
˙ ( , )x f t x= , t i≠ τ ,
∆x t i= τ = I xi i iτ τ, ( )( ), i = 1, 2, … , (10)
x t( )0 = x0 ,
de f : R D+ × → Rn
, D — oblast\ v Rn
, D ≠ ∅, t0 < τ1 < τ2 < … ; Ii : R D+ × →
→ Rn ; t R0 ∈ + , x0 ∈ D, a x t t x∗ ∗ ∗( , , )0 0 — rozv’qzok systemy
˙ ( , )x f t x∗ ∗= , t i≠ ∗τ ,
∆x
t i
∗
= τ = I xi i iτ τ∗ ∗( ), ( ) , i = 1, 2, … ,
x t∗ ∗( )0 = x0
∗ ,
de t R0
∗
+∈ , x0
∗ ∈ D, t0
∗ < τ1
∗ < τ2
∗
< … .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI} DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| … 87
Rozv’qzok x t t x( , , )0 0 systemy (10) nazyva[t\sq neperervno zaleΩnym vid mo-
mentiv impul\sno] di] τ1 < τ2 < … , qkwo ∀ >ε 0 ∀ >T 0 ∃ δ δ ε= ( , )T > 0:
∀( )∗ ∗t x0 0, ∈ R D+ × , t t0 0– ∗ < δ , x x0 0– ∗ < δ , τ τ δi i– ∗ < , i = 1, 2, … ⇒
⇒ x t t x x t t x( , , ) – ( , , )0 0 0 0
∗ ∗ ∗ < ε dlq t ∈ t T0,[ ] ª
τ τi i
i
, ∗
=
∞
1
∪ , de
τ τi i, ∗ =
τ τ τ τ
τ τ τ τ
i i i i
i i i i
, , ,
, , ,
∗ ∗
∗ ∗
( ] ≤
( ] >
t0 = max ,t ti 0
∗[ ].
Rozv’qzok x t t x( , , )0 0 systemy5(10) nazyva[t\sq rivnomirno stijkym vidnosno
momentiv impul\sno] di] τ1 < τ2 < … , qkwo ∀ >ε 0 ∃ δ δ ε= ( ) > 0: ∀( )∗ ∗t x0 0, ∈
∈ R D+ × , t t0 0– ∗ < δ , x x0 0– ∗ < δ , τ τ δi i– ∗ < , i = 1, 2, … ⇒ x t t x( , , )0 0 –
– x t t x∗ ∗ ∗( , , )0 0 < ε dlq t ∈ t0, ∞[ ] \
τ τi i
i
, ∗
=
∞
1
∪ .
V [34, 35] vstanovleno umovy, za qkyx stijkist\ (nestijkist\) u terminax dvox
mir impul\sno] systemy vyplyva[ z analohiçno] vlastyvosti pevno] systemy dy-
ferencial\nyx rivnqn\ bez impul\snoho zburennq; rezul\taty vstanovleno za
dopomohog tak zvanoho „variacijnoho” metodu Lqpunova.
V [36] ide] druhoho metodu Lqpunova zastosovano dlq vstanovlennq dostat-
nix umov deqkyx form obmeΩenosti dlq system z impul\snym zburennqm u vy-
padkovi momenty çasu.
V [37] rozhlqda[t\sq systema dyferencial\nyx rivnqn\ z vypadkovog pravog
çastynog i vypadkovym impul\snym zburennqm u fiksovani momenty çasu
dx
dt
= f t x t, , ( )ξ( ), t ti≠ ,
(11)
∆x t ti= = x ti( )+ 0 – x ti( – )0 = I xi i( , )η ,
de t ∈ R, x Rn∈ , i ∈ Z. Vidnosno funkcij f t x y( , , ) , I x zi ( , ) , y Rk∈ , z R l∈ i
momentiv çasu ti vvaΩa[t\sq, wo f periodyçna po t z periodom T, i pry deqko-
mu natural\nomu p vykonugt\sq rivnosti I x zi p+ ( , ) = I x zi ( , ) , ti p+ = ti + T.
Nexaj ξ( )t — stoxastyçno neperervnyj vypadkovyj proces, ηi — poslidov-
nist\ vypadkovyx velyçyn, qki zadano na deqkomu jmovirnisnomu prostori
( , , )Ω F P i qki nabuvagt\ znaçen\ vidpovidno v Rk
, R l
. VvaΩa[t\sq takoΩ, wo
ξ( )t i ηi periodyçno zv’qzani, tobto dlq s1, s2, … , sm ∈ R, l l lr1 2, , ,… ∈ Z, A1,
A2 , … , Am ∈ B R k( ) , B1, B2, … , Bm ∈ B R l( ) , de B R k( ) , B R l( ) — borelevi σ-
alhebry na R k
, R l
,
P ξ ξ η η( ) , , ( ) , , ,s T A s T A B Bm m l p l p rr1 1 11
+ ∈ … + ∈ ∈ … ∈{ }+ + =
= P ξ ξ η η( ) , , ( ) , , ,s A s A B Bm m l rl r1 1 1
1
∈ … ∈ ∈ … ∈{ } .
VvaΩa[t\sq, wo funkci] f t x y( , , ) , I x zi ( , ) vymirni za sukupnistg zminnyx i vy-
konugt\sq umovy:
1) isnugt\ vypadkovyj lokal\no intehrovnyj na R proces B t( ) i poslidov-
nist\ vypadkovyx velyçyn Li ( )ω taki, wo f x t f x t1 2, ( ) – , ( )ξ ξ( ) ( ) ≤ B t( ) ×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
88 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
× x x1 2– , I x I xi i i i( , ) – ( , )1 2η η ≤ L x xi 1 2– ∀ x1, x Rn
2 ∈ ;
2) dlq dovil\noho s ∈ R
P f t t dt
s
, , ( )0
0
ξ( ) < ∞
∫ = 1;
3) vidobraΩennq Ai : A xi = x + I x zi( , ) dlq koΩnoho z ∈ R l
vyznaçene na
vs\omu prostori R n
i oblastg joho znaçen\ [ prostir R n
.
Rozv’qzok systemy5(11) — ce vypadkovyj proces x t( , )ω , wo z imovirnistg 1
na intervali t ti i, +( ]1 zadovol\nq[ perße iz spivvidnoßen\5(11), a pry t = ti —
druhe.
Vstanovleno takyj rezul\tat.
Teorema 5 [37]. Nexaj dlq systemy5(11) vykonugt\sq umovy 1 – 3. Todi dlq
isnuvannq T-periodyçnoho i periodyçno zv’qzanoho z ξ( )t i η i ]] rozv’qzku ne-
obxidno i dostatn\o, wob cq systema mala rozv’qzok y t( ), qkyj rivnomirno
vidnosno k = 1, 2, … (abo k = – 1, – 2, … ) zadovol\nq[ umovu
1
1 1k
y iT r
i
k
+
>{ }
=
∑P ( ) → 0
pry r → ∞.
Za dopomohog c\oho rezul\tatu v [37] doslidΩu[t\sq isnuvannq periodyçnyx
rozv’qzkiv okremyx klasiv system iz vypadkovym impul\snym zburennqm (system
iz malym zburennqm, linijnyx ta blyz\kyx do nyx system). Navedemo, napryk-
lad, oderΩanyj pry c\omu rezul\tat dlq vypadku, koly systemy5(10) ma[ vyhlqd
dx
dt
= A t x( ) + ξ( )t , t ti= , ∆x t ti= = B xi i+ η . (12)
Tut ξ( )t i η i — vypadkovyj proces i poslidovnist\ vypadkovyx velyçyn, qki
zadovol\nqgt\ navedeni vywe umovy, a takoΩ umovy
M ξ( )t dt
T
< ∞∫
0
, M η i
i
p
< ∞
=
∑
1
.
A t( ), B i, ξ( )t i η i vvaΩagt\sq kompleksnoznaçnymy.
Nexaj X t( ) — matrycant linijno] odnoridno] impul\sno] systemy
dx
dt
= A t x( ) , t ti≠ , ∆x t ti= = B xi . (13)
Teorema 6 [37]. Dlq toho wob dlq dovil\noho vkazanoho vywe vypadkovoho
procesu ξ( )t i poslidovnosti vypadkovyx velyçyn η i systema5(12) mala [dy-
nyj z toçnistg do stoxastyçno] ekvivalentnosti T -periodyçnyj i periodyçno
zv’qzanyj z ξ( )t i η i rozv’qzok x t( ) takyj, wo sup ( )
0≤ ≤t T
x tM < ∞, neob-
xidno i dostatn\o, wob spektr matryci monodromi] X T( ) systemy5 (13) ne
peretynavsq z odynyçnym kolom, tobto σ X T( )( ) ∩ S = ∅, d e S = λ ∈{ C
λ = }1 .
Teorema56 poßyrg[ vidpovidnyj rezul\tat dlq linijno] periodyçno] impul\s-
no] systemy5[2] na klas impul\snyx system z vypadkovym zburennqm.
Pytannq pro isnuvannq periodyçnyx rozv’qzkiv impul\snyx rivnqn\ doslid-
Ωugt\sq takoΩ v [38], de vstanovleno dostatni umovy isnuvannq [dynoho perio-
dyçnoho po zminnij t rozv’qzku u t x( , ) slabkonelinijno] systemy rivnqn\ z ças-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI} DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| … 89
tynnymy poxidnymy z impul\snog di[g
∂
∂ ∂
2u
t x
= A u
x
∂
∂
+ f t x u t x u t xx, , , ( , ), ( , )′( ), t ti≠ ,
∆ ∂
∂
u
x t ti=
= B u
x
∂
∂
+ I x u ui x( , , )′ , u t( , )0 0= ,
de u = ( , , )u um1 … , f = ( , , )f fm1 … , Ii = ( , , )( ) ( )I Ii i
m1 … , A , B — stali ( )n n× -
matryci, funkci] f, Ii zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
f t x u ux( , , , )′ = f t T x u ux( , , , )+ ′ , I x u ui p x+ ′( , , ) = I x u ui x( , , )′
dlq deqkoho natural\noho çysla p, T — period systemy, – ∞ < t < + ∞; x ≤ a,
u ≤ h, ′ux ≤ l.
Velyka kil\kist\ doslidΩen\ ostannix rokiv pov’qzana z vlastyvostqmy roz-
v’qzkiv dyferencial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku z impul\snym zburennqm (dyv.
[39 – 44]). Qk i vywe, vkaΩemo lyße osnovni rezul\taty, vstanovleni v c\omu
naprqmku za ostanni roky. Pry c\omu, qk i vywe, my zberiha[mo poznaçennq, qki
vvedeni avtoramy vkazanyx robit.
U stattqx [39, 40] prodovΩeno doslidΩennq ruxu oscylqtora pid di[g im-
pul\snyx syl, rozpoçati v [2]. V [39] vyvçagt\sq periodyçni rozv’qzky linijnoho
dyferencial\noho rivnqnnq z impul\snym zburennqm u fiksovani momenty çasu
˙̇ ˙x px qx+ + = 0, t k≠ τ ,
∆ dx
dt t k= τ
= Ik , I Rk ∈ , k Z∈ ,
i linijnoho rivnqnnq
˙̇x x+ =ω2 0
u vypadku, koly impul\sne zburennq vidbuva[t\sq u momenty proxodΩennq ruxo-
mog toçkog deqkoho fiksovanoho poloΩennq, i impul\snu dig moΩna opysaty
takym çynom:
∆ dx
dt x x= 0
= I x( ˙).
U statti [40] detal\no doslidΩeno pytannq pro isnuvannq periodyçnyx roz-
v’qzkiv ta povedinku fazovyx tra[ktorij dyferencial\noho rivnqnnq nelinijno-
ho oscylqtora z impul\snog di[g u nefiksovani momenty çasu (impul\sne zbu-
rennq vidbuva[t\sq u momenty proxodΩennq ruxomog toçkog deqkoho fiksova-
noho poloΩennq x x= ∗ 5)
˙̇ sinx x+ = 0, x x≠ ∗ ,
∆ dx
dt x x= ∗
= I x( ˙),
de I y( ) — neperervna funkciq svoho arhumentu.
Rqd publikacij prysvqçeno doslidΩenng kolyvnosti rozv’qzkiv rivnqn\ dru-
hoho porqdku z impul\snog di[g, a takoΩ stijkosti rozv’qzkiv. Tak, v [41] vsta-
novleno dostatni umovy kolyvnosti rozv’qzkiv rivnqnnq
′′ + =x f t x( , ) 0 , t t≥ 0 , t tk≠ ,
x tk
+( ) = g x tk k( )( ) , ′( )+x tk = h x tk k′( )( ) , k = 1, 2, … ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
90 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
de 0 ≤ t0 < t1 < … < tk < 5… , lim
k
kt→ ∞
= + ∞, ′x tk( ) = lim
( ) – ( )
h
k kx t h x t
h→ −
+
0
,
x tk
+( ) = lim
( ) –
h
k kx t h x t
h→ +
++ ( )
0
.
V [42] vyvçagt\sq oscylqcijni vlastyvosti rozv’qzkiv rivnqnnq z impul\snog
di[g
˙̇ ( )x f x+ = 0, t tk≠ ,
x tk( )+ 0 = x tk( ), ˙( )x tk + 0 = b x tk k˙( ).
V [43] rozhlqda[t\sq rivnqnnq druhoho porqdku z impul\snog di[g u fiksovani
momenty çasu
p t y t( ) ( )′( )′ = f t y t y t, ( ) ( )′( ) , t tk≠ , t ≥ 0 ,
y tk( )+ – y tk( ) = I y tk k( )( ), ′ +y tk( ) – ′y tk( ) = J y tk k
′( )( ) , k = 1, 2, … ,
de p: ,0 ∞[ ) → ( , )0 ∞ — neperervna funkciq i
1
0 p s
ds
t
( )∫ → ∞ p r y t → ∞ ; f :
0, ∞[ ) × R × R → ( , )0 ∞ — neperervna funkciq, qka [ nespadnog vidnosno dru-
hoho i tret\oho arhumentiv; funkci] Ik i Jk : R → ( , )0 ∞ [ neperervnymy i ne-
spadnymy, k = 1, 2, … ; 0 < t1 < t2 … < tn <5… , lim
k
kt→ ∞
= ∞. Vstanovleno dostat-
ni umovy isnuvannq rozv’qzkiv y t( ) rozhlqduvanoho rivnqnnq, vyznaçenyx na
0, ∞[ ) , qki magt\ vlastyvosti takoho rodu: lim ( ) ( )
t
p t y t
→ ∞
′ = ∞, lim ( ) ( )
t
p t y t
→ ∞
′ ∈
∈ ( , )0 ∞ , lim ( ) ( )
t
p t y t
→ ∞
′ = 0, lim ( ) ( )
t
p t y t
→ ∞
′ 5∈ ( , )− ∞0 .
Pryverta[ uvahu pidxid, za dopomohog qkoho v roboti [44] doslidΩugt\sq os-
cylqcijni vlastyvosti rozv’qzkiv rivnqnnq druhoho porqdku z impul\snog di[g.
Vstanovleno neobxidni i dostatni umovy kolyvnosti rozv’qzkiv impul\snoho riv-
nqnnq vyhlqdu
d x
dt
2
2 + f t x t x t x t m, ( ), ( ), , ( )− … −( )τ τ1 = 0, t t T∈ +∞( , ) \0 ,
x t( )+ 0 = x t( – )0 = x t( ) , t t T∈ +∞( , )0 ∩ , (14)
∆ dx t
dt
( )
+ g t x t x t x t m, ( ), ( ), , ( )− … −( )τ τ1 = 0, t t T∈ +∞( , )0 ∩ ,
de m ∈ N i f : 0, \+∞[ )( )T × Em + 1 → E i g : T× Em + 1 → E — neperervni vidob-
raΩennq, E — dijsnyj banaxiv prostir, T — dovil\na zliçenna mnoΩyna dij-
snyx çysel t n , n ∈ N, dlq qko] 0 < t1 < t2 … < tn < … i lim
n
nt→ ∞
= + ∞; τ1, … , τm
— dodatni çysla, ∆ dx t
dt
( )
=
d x t
dt
+ ( )
–
d x t
dt
– ( )
,
d x t
dt
– ( )
i
d x t
dt
+ ( )
— vidpovidno liva
i prava poxidni rozv’qzku x t( ) v toçci t, t0 ∈ 0, + ∞[ ) \ T. Vvodqt\sq do rozhlq-
du: E1 — dovil\nyj pidprostir prostoru E, dlq qkoho codim E1 = 1, ϕ — do-
vil\nyj neperervnyj funkcional na E z qdrom ker ϕ = E1, E 2 = e E∈{ :
ϕ( )e > }0 , E3 = e E e∈ >{ }: ( )ϕ 0 , X + — mnoΩyna vsix rozv’qzkiv x = x t( ) sys-
temy (10), dlq qkyx ϕ x t( )( ) > 0 pry dosyt\ velykyx t > 0, X – — mnoΩyna vsix
rozv’qzkiv x = x t( ), dlq qkyx ϕ x t( )( ) < 0 dlq dosyt\ velykyx t > 0.
Rozv’qzok x = x t( ) nazyva[t\sq oscylggçym wodo prostoru E1, qkwo dlq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI} DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| … 91
dovil\noho çysla a > 0 znajdut\sq taki çysla s1, s2 ∈ ( , )a +∞ , wo ϕ x s( )1( ) ×
× ϕ x s( )2( ) < 0. V roboti [44] vstanovleno neobxidni i dostatni umovy vykonannq
spivvidnoßennq X + ∪ X – ≠ ∅ . Vykonannq ostann\oho spivvidnoßennq oçe-
vydnym çynom pov’qzane iz pytannqm pro oscylqcig rozv’qzkiv systemy5(14)
wodo prostoru E1.
U prypuwenni, wo
f s x x xm( , , , , )0 1 … = p s f x x xk k m
k
n
( ) ( , , , )0 1
1
…
=
∑ ,
g t x x xm( , , , , )0 1 … = q t g x x xk k m
k
n
( ) ( , , , )0 1
1
…
=
∑ ,
de ( , , , , )s x x xm0 1 … ∈ 0, \+∞[ )( )T × E m +1
, ( , , , , )t x x xm0 1 … ∈ T × E m +1
, n N∈ ,
pk : ( , )0 +∞ \ T → ( , )0 +∞ , k = 1, n , — neperervni obmeΩeni funkci], qk : T →
→ ( , )0 +∞ , k = 1, n , — dovil\ni vidobraΩennq i fk : E m +1 → E , gk : E m +1 → E,
k = 1, n , — neperervni vidobraΩennq, dlq qkyx f Ek i
m +1 ⊂ Ei , g Ek i
m +1 ⊂ Ei dlq
vsix k = 1, n , i = 1 3, , dovedeno nastupni tverdΩennq.
Teorema 7 [44]. Nexaj:
A) inf
( ), ( – ), , ( – )
( ), ( – ), , ( – )s t
k m
k m
f z s z s z s
f z t z t z t≥ ≥
…( )( )
…( )( )τ
ϕ τ τ
ϕ τ τ
1
1
> 0
i
inf
( ), ( – ), , ( – )
( ), ( – ), , ( – )s t
k m
k m
g z s z s z s
g z t z t z t≥ ≥
…( )( )
…( )( )τ
ϕ τ τ
ϕ τ τ
1
1
> 0
dlq vsix z ∈F 2 ∪ F3, k = 1, n; çerez F k poznaçeno mnoΩynu neperervnyx na
0, +∞[ ) i dyferencijovnyx na 0, +∞[ ) funkcij z z tk= ( ) iz znaçennqmy v Ek ,
k = 1, 2, dlq koΩno] z qkyx ϕ z tk ( )( ) — monotonna nespadna na 0, +∞[ ) funk-
ciq; τ = max , ,τ τ1 …{ }m ;
V) nevlasni intehraly
d z t
f z t z t z tk m
ϕ
ϕ τ τ
( )
( ), ( – ), , ( – )
( )
…( )( )
+∞
∫
10
, k = 1, n ,
i çyslovi rqdy
∆ ϕ
ϕ τ τ
z t
g z t z t z t
l
k l l l ml
( )
( ), ( – ), , ( – )
– 1
12
( )
…( )( )=
∞
∑ , k = 1, n ,
zbihagt\sq dlq vsix z ∈F 2 ∪
F3;
S) vykonu[t\sq spivvidnoßennq X + ∪ X – ≠ ∅.
Todi
tp t dt tq tk k
t Tk
( ) ( )+
∈
+∞
=
∞
∑∫∑
01
< + ∞. (15)
Teorema 8 [44]. Nexaj vidobraΩennq fk i gk , k = 1, n , lokal\no lipßycevi
abo cilkom neperervni i vykonu[t\sq spivvidnoßennq5(15). Todi dlq syste-
my5(14) dlq dosyt\ velykoho t0 spravdΩu[t\sq nerivnist\ X + ∪ X – ≠ ∅.
Rqd doslidΩen\, pov’qzanyx iz vyvçennqm qkisno] povedinky rozv’qzkiv de-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
92 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
qkyx klasiv impul\snyx system, zdijsneno za dopomohog metodiv teori] hlobal\-
nyx atraktoriv dynamiçnyx system. U roboti [45] doslidΩu[t\sq qkisna povedin-
ka rozv’qzkiv zadaçi
∂tu t Au t B u t( ) ( ) ( )+ + ( ) = g t( ), (16)
u( )τ = u τ ,
u ti( )+ 0 – u t u ti i i( ) ( )∈ ( )ψ , i Z∈ , (17)
de5(16) — dvovymirna systema rivnqn\ Nav’[ – Stoksa u funkcional\nij posta-
novci [46] iz fazovym prostorom H, T-periodyçnog pravog çastynog g. Roz-
v’qzky zadaçi5(16) zaznagt\ u fiksovani momenty çasu ti{ } impul\snyx zbu-
ren\5(17), velyçyna qkyx xarakteryzu[t\sq bahatoznaçnymy funkciqmy ψ i{ :
H H� β( )} (çerez β( )H poznaçeno sukupnist\ usix neporoΩnix obmeΩenyx
pidmnoΩyn H). VvaΩa[t\sq, wo g L R H∈ ∞( ; ), g t T( )+ ≡ g t( ), ti p+ = ti + T,
t0 < 0 < t1 < … < tp < T , ψ i p+ = ψ i , ψ i — kompaktnoznaçne, opukloznaçne, na-
pivneperervne zverxu vidobraΩennq. Dovedeno, wo vsi rozv’qzky rozhlqduvano]
zadaçi v fazovomu prostori prytqhugt\sq z çasom do kompaktno], v pevnomu sen-
si minimal\no] mnoΩyny.
V robotax [47, 48] metodamy teori] hlobal\nyx atraktoriv neavtonomnyx dy-
namiçnyx system vyvça[t\sq qkisna povedinka rozv’qzkiv impul\sno zburenyx ne-
skinçennovymirnyx system. Zokrema, dovedeno, wo systema nelinijnyx rivnqn\
typu reakci]-dyfuzi], rozv’qzky qko] zaznagt\ impul\snoho zburennq u fiksovani
momenty çasu (rozhlqnuto zatuxagçyj, periodyçnyj ta translqcijno-kom-
paktnyj xarakter zburen\) porodΩu[ neavtonomnu dynamiçnu systemu, dlq qko]
u fazovomu prostori isnu[ kompaktna prytqhugça mnoΩyna — hlobal\nyj at-
raktor.
Qk zaznaçalosq vywe, cykl publikacij (v tomu çysli dvi monohrafi]) po-
v’qzano z doslidΩennqm vlastyvostej rozv’qzkiv krajovyx zadaç [9, 10, 49 – 52] .
V roboti [49] uperße bulo rozhlqnuto periodyçni krajovi zadaçi dlq system zvy-
çajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snog di[g iz zastosuvannqm teori]
psevdoobernenyx matryc\. Tut pokazano, wo linearyzovana periodyçna krajova
zadaça [ fredhol\movog, ta doslidΩeno slabkonelinijnu zadaçu qk v nekrytyç-
nomu, tak i v najbil\ß skladnomu dlq doslidΩennq krytyçnomu, abo rezonans-
nomu vypadku. Potim cej pidxid bulo zastosovano dlq zahal\nyx neterovyx
krajovyx zadaç [50, 51] ta dlq impul\snyx system iz zapiznennqm [52]. Xarakter-
nym dlq cyx zadaç [ te, wo v nyx kil\kist\ krajovyx umov ne zbiha[t\sq z rozmir-
nistg dyferencial\no] systemy, tobto rozhlqdagt\sq qk nedovyznaçeni krajovi
zadaçi dlq system dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snog di[g, tak i perevyzna-
çeni. V podal\ßomu rezul\taty rozhlqdu takyx impul\snyx krajovyx zadaç z
neterovym operatorom u linijnij çastyni vvijßly do monohrafij [9, 10].
1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdej-
stvyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 282 s.
2. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapure: World Sci.,
1995. – 462 p.
3. Perestgk N. A., Çernykova O. S. Ustojçyvost\ reßenyj ympul\sn¥x system // Ukr. mat.
Ωurn. – 1997. – 49, # 1. – S. 98 – 111.
4. Kr¥lov N. M., Boholgbov N. N. Vvedenye v nelynejnug mexanyku. – Kyev: Yzd-vo AN USSR,
1937. – 363 s.
5. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M., Perestgk N. A. K voprosu obosnovanyq metoda
usrednenyq dlq uravnenyq vtoroho porqdka s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Ukr. mat. Ωurn. –
1977. – 29, # 6. – S. 750 – 762.
6. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Metod usrednenyq v systemax s
ympul\sn¥m vozdejstvyem // Tam Ωe. – 1985. – 37, # 1. – S. 56 – 64.
7. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Yntehral\n¥e mnoΩestva odnoho
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
DEQKI SUÇASNI ASPEKTY TEORI} DYFERENCIAL|NYX RIVNQN| … 93
klassa dyfferencyal\n¥x uravnenyj s ympul\sn¥m vozdejstvyem. – Kyev, 1987. – 43 s. –
(Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky).
8. Lakshmikantham V., Leela S., Kaul S. Comparison principle for impulsive differential equations
with variable times and stability theory // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Appl. – 1994. –
22, # 4. – P. 499 – 503.
9. Bojçuk A. A., Ûuravlev V. F., Samojlenko A. M. Obobwenno-obratn¥e operator¥ y netero-
v¥ kraev¥e zadaçy. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1995. – 318 s.
10. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value
problems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
11. Dudzqnyj I. O., Perestgk M. O. Pro stijkist\ tryvial\noho invariantnoho tora odnoho kla-
su system z impul\snym zburennqm // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 3. – S. 338 – 349.
12. Perestyuk N., Doudzianiy S. Stability of invariant toruses of impulsive systems // Proc. XXV Sum-
mer School „Applications of Mathematics in Engineering and Economics” (Sozopol, 1999). – Sofia:
Heron Press, 2000. – P. 28 – 32.
13. Perestyuk N., Chernikova O. Some conditions for stability of invariant sets of discontinuous dyna-
mical systems // Ibid. – P. 25 – 27.
14. Perestgk M. O., Çernikova O. S. Pro stijkist\ invariantnyx mnoΩyn rozryvnyx dynamiçnyx
system // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 1. – S. 78 – 84.
15. Perestyuk N., Chernikova O. On the stability of integral sets of impulsive differential systems //
Math. Notes. – 2001. – 2, # 1. – P. 49 – 60.
16. Schneider K., Kostadinov S. I., Stamov G. T. Integral manifolds of impulsive differential equations
defined on torus // Proc. Jap. Acad.Ser. A. – 1999. – 75. – P. 53 – 57.
17. Hladylyna R. Y., Yhnat\ev A. O. Ob ustojçyvosty peryodyçeskyx system s ympul\sn¥m voz-
dejstvyem // Mat. zametky. – 2004. – 76, v¥p. 1. – S. 44 – 51.
18. Yhnat\ev A. O. Metod funkcyj Lqpunova v zadaçax ustojçyvosty reßenyj system dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Mat. sb. – 2003. – 194, # 10. – S. 117 –
132.
19. Hladylyna R. Y., Yhnat\ev A. O. Yssledovanye ustojçyvosty po çasty peremenn¥x ym-
pul\sn¥x system metodom funkcyj Lqpunova // Yzbr. tr. 8-ho meΩdunar. sem. „Ustojçy-
vost\ y kolebanyq nelynejn¥x system upravlenyq” (STAB-04). – M.: Yn-t probl. uprav-
lenyq RAN, 2004. – S. 53 – 61.
20. Hladylyna R. Y., Yhnat\ev A. O. O neobxodym¥x y dostatoçn¥x uslovyqx asymptotyçeskoj
ustojçyvosty ympul\sn¥x system // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 8. – S. 1035 – 1043.
21. Martynyuk A. A., Stavroulakis I. P. Stability analysis of linear impulsive differential systems under
structural perturbation // Tam Ωe. – 1999. – 51, # 6. – S. 784 – 795.
22. Martynyuk A. A., Stavroulakis I. P. Stability analysis with respect to two measures of impulsive
systems under structural perturbations // Tam Ωe. – # 11. – S. 1476 – 1484.
23. Martynyuk A. A., Begmuratov K. A. Analytical construction of the hierarchical matrix Lyapunov
function for impulsive systems // Tam Ωe. – 1997. – 49, # 4. – S. 548 – 557.
24. Mart¥ngk A. A., Sl¥n\ko V. Y. Ob ustojçyvosty dvyΩenyq nelynejnoj ympul\snoj syste-
m¥ // Prykl. mexanyka. – 2004. – 40, # 2. – S. 134 – 144.
25. Dvyrn¥j A. Y, Sl¥n\ko V. Y. Ob ustojçyvosty lynejn¥x ympul\sn¥x system otnosytel\no
konusa // Dop. NAN Ukra]ny. – 2004. – # 4. – S. 37 – 43.
26. Dvyrn¥j A. Y. Dostatoçn¥e uslovyq praktyçeskoj y texnyçeskoj ustojçyvosty kvazyly-
nejn¥x ympul\sn¥x system // Prykl. mexanyka. – 2005. – 41, # 1. – S. 135 – 141.
27. Lakshmikantham V., Liu X. Impulsive hybrid systems and stability theory // Dynam. Systems and
Appl. – 1998. – # 7. – P. 1 – 9.
28. Stamov G. T. Stability of moving invariant manifolds for impulsive differential equations // J.
Techn. Univ. Plovdiv “Fundamental Sci. and Appl.”. – 1999. – 7. – P. 99 – 107.
29. Bainov D. D., Stamova I. M. Stability of sets for impulsive differential-difference equations with
variable impulsive perturbations // Communs Appl. Nonlinear Anal. – 1998. – 5, # 1. – P. 69 – 81.
30. Stamov G. T. Asymptotic stability in the large of the solutions of almost periodic impulsive diffe-
rential equations // Note Math. – 2005. – 25, # 2. – P. 75 – 83.
31. Stamov G. T. Almost periodic functions of Lyapunov for impulsive differential equations //
Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A. Math. Anal. – 2002. – 9. – P. 339 –
351.
32. Axmetov M. U., Perestgk N. A. O metode sravnenyq dlq dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
ympul\sn¥m vozdejstvyem // Dyfferenc. uravnenyq. – 1990. – 26, # 9. – S. 1475 – 1483.
33. Angelova J., Dishliev A. Continuous dependence and uniform stability of solutions of impulsive dif-
ferential equations on impulsive moments // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Appl. – 1997.
– 28, # 5. – P. 825 – 835.
34. Kou C., Zhang S., Wu S. Stability analysis in terms of two measures for impulsive differential
equations // J. London Math. Soc. – 2002. – 66, # 2. – P. 142 – 152.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
94 M. O. PERESTGK, O. S. ÇERNIKOVA
35. Kou C., Zhang S., Duan Y. Variational Lyapunov method and stability analysis for impulsive delay
differential equations // Comput. and Math. Appl. – 2003. – 46. – P. 1761 – 1777.
36. Wu S., Meng X. Boundedness of nonlinear differential with impulsive effect on random moments //
Acta math. appl. sinica. English Ser. – 2004. – 20, # 1. – P. 147 – 154.
37. Perestgk N. A., Samojlenko A. M., StanΩyckyj A. N. O suwestvovanyy peryodyçeskyx re-
ßenyj nekotor¥x klassov system dyfferencyal\n¥x uravnenyj so sluçajn¥m ympul\sn¥m
vozdejstvyem // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 8. – S. 1061 – 1079.
38. Perestgk N. A., Tkaç A. B. Peryodyçeskye reßenyq slabonelynejnoj system¥ uravnenyj v
çastn¥x proyzvodn¥x s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Tam Ωe. – 1997. – 49, # 4. – S. 601 – 605.
39. Samojlenko V. H., {lhondy[v K. K. Pro periodyçni rozv’qzky linijnyx dyferencial\nyx
rivnqn\ z impul\snog di[g // Tam Ωe. – # 1. – S. 141 – 148.
40. Samojlenko A. M., Samojlenko V. H., Sobçuk V. V. Pro periodyçni rozv’qzky rivnqnnq neli-
nijnoho oscylqtora z impul\snog di[g // Tam Ωe. – 1999. – 51, # 6. – S. 827 – 834.
41. Chen Yong-shao, Feng Wei-zhen. Oscillations of second order nonlinear ODE with impulses // J.
Math. Anal. and Appl. – 1997. – 210. – P. 150 – 169.
42. Graef J., Karsai J. Intermittant and impulsive effect in second order systems // Nonlinear Analysis,
Theory, Methods and Appl. – 1997. – 30, # 3. – P. 1561 – 1571.
43. Cheng D., Yan J. Global existence and asymptotic behaviour of solutions of second-order nonlinear
impulsive differential equations // Int. J. Math. and Math. Sci. – 2001. – 25, # 3. – P. – 175 – 182.
44. Perestgk M. O., Slgsarçuk V. G. Umovy isnuvannq nekolyvnyx rozv’qzkiv nelinijnyx dy-
ferencial\nyx rivnqn\ iz zapiznennqm ta impul\snym zburennqm u banaxovomu prostori //
Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 6. – S. 790 – 798.
45. Perestgk M. O. Hlobal\ni atraktory evolgcijnyx neavtonomnyx rivnqn\ bez [dynosti roz-
v’qzku // Ky]v. nac. un-t. Nauk. zap. – 2004. – 8. – S. 81 – 87.
46. Babyn A. V., Vyßyk M. Y. Attraktor¥ πvolgcyonn¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1989. – 289 s.
47. Kapustqn A. V., Perestgk N. A. Hlobal\n¥j attraktor πvolgcyonnoho vklgçenyq s ym-
pul\sn¥m vozdejstvyem v fyksyrovann¥e moment¥ vremeny // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55,
# 8. – S. 1058 – 1068.
48. Kapustyan O. V., Iovane G. Global attractors for impulsive reaction-diffusion equation // Nelinij-
ni kolyvannq. – 2005. – 8, # 3. – S. 319 – 328.
49. Bojçuk A. A., Perestgk N. A., Samojlenko A. M. Peryodyçeskye reßenyq ympul\sn¥x dyf-
ferencyal\n¥x system v krytyçeskyx sluçaqx // Dyfferenc. uravnenyq. – 1991. – 27, # 9.
– S. 1516 – 1521.
50. Bojçuk A. A., Xrawevskaq R. F. Slabonelynejn¥e kraev¥e zadaçy dlq dyfferencyal\n¥x
uravnenyj s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Ukr. mat. Ωurn. – 1993. – 45, # 2. – S. 221 – 225.
51. Samojlenko A. M., Bojçuk A. A. Lynejn¥e neterov¥ kraev¥e zadaçy dlq dyfferencyal\-
n¥x system s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Tam Ωe. – 1992. – 44, # 4. – S. 564 – 568.
52. Bojçuk A. A., Ûuravlev V. F., Samojlenko A. M. Lynejn¥e neterov¥ kraev¥e zadaçy dlq
ympul\sn¥x dyfferencyal\n¥x system s zapazd¥vanyem // Dyfferenc. uravnenyq. – 1994. –
30, # 10. – S. 1677 – 1682.
OderΩano 15.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3139 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:57Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/dc58e45876dea4b0bf3563806700b75b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31392020-03-18T19:46:36Z Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations Деякі сучасні аспекти теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією Perestyuk, N. A. Chernikova, O. S. Перестюк, М. О. Чернікова, О. С. We give a brief survey of the main results obtained in recent years in the theory of impulsive differential equations. Приведен краткий обзор основных результатов no теории импульсных дифференциальных уравнений, установленных в течение последних лет. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3139 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 1 (2008); 81–94 Український математичний журнал; Том 60 № 1 (2008); 81–94 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3139/3026 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3139/3027 Copyright (c) 2008 Perestyuk N. A.; Chernikova O. S. |
| spellingShingle | Perestyuk, N. A. Chernikova, O. S. Перестюк, М. О. Чернікова, О. С. Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| title | Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| title_alt | Деякі сучасні аспекти теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| title_full | Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| title_fullStr | Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| title_full_unstemmed | Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| title_short | Some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| title_sort | some modern aspects of the theory of impulsive differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3139 |
| work_keys_str_mv | AT perestyukna somemodernaspectsofthetheoryofimpulsivedifferentialequations AT chernikovaos somemodernaspectsofthetheoryofimpulsivedifferentialequations AT perestûkmo somemodernaspectsofthetheoryofimpulsivedifferentialequations AT černíkovaos somemodernaspectsofthetheoryofimpulsivedifferentialequations AT perestyukna deâkísučasníaspektiteoríídiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû AT chernikovaos deâkísučasníaspektiteoríídiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû AT perestûkmo deâkísučasníaspektiteoríídiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû AT černíkovaos deâkísučasníaspektiteoríídiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû |