On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters
Oscillation spectral properties (the number of zeros, their alternation for eigenfunctions, the simplicity of the spectrum, etc.) are described for the Sturm-Liouville problem with generalized coefficients.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3140 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509177930055680 |
|---|---|
| author | Zvereva, M. B. Pokornyi, Yu. V. Shabrov, S. A. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. |
| author_facet | Zvereva, M. B. Pokornyi, Yu. V. Shabrov, S. A. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. |
| author_sort | Zvereva, M. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:36Z |
| description | Oscillation spectral properties (the number of zeros, their alternation for eigenfunctions, the simplicity of the spectrum, etc.) are described for the Sturm-Liouville problem with generalized coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.927
G. V. Pokorn¥j, M. B. Zvereva, S. A. Íabrov (VoroneΩ. un-t, Rossyq)
O RASÍYRENYY OSCYLLQCYONNOJ TEORYY
ÍTURMA – LYUVYLLQ NA ZADAÇY
S YMPUL|SNÁMY PARAMETRAMY
∗∗∗∗
We describe oscillation spectrum properties (a number of zeros, their alternation for eigenfunctions, the
simplicity of a spectrum, and so on) for the Sturm – Liouville problem with generalized coefficients.
Opysano oscylqcijni spektral\ni vlastyvosti (çyslo nuliv, ]x çerhovanist\ dlq vlasnyx funk-
cij, prostotu spektra ta in.) dlq zadaçi Íturma – Liuvillq z uzahal\nenymy koefici[ntamy.
V nastoqwej rabote yzlahagtsq rezul\tat¥, pod¥toΩyvagwye yssledovanyq
voroneΩcev za poslednye dva desqtyletyq pry postroenyy oscyllqcyonnoj
teoryy dlq zadaçy o styl\t\esovskoj strune
–( )pu Q u′ ′ + ′ = λ ′M u ,
(1)
u( )0 = u l( ) = 0,
hde ′Q y ′M — obobwenn¥e proyzvodn¥e ot funkcyj ohranyçennoj varyacyy
Q x( ) y M x( ) . ∏ty yssledovanyq suwestvenno tonyzyrovan¥ monohrafyej [1], a
takΩe potrebnostqmy sovremennoj fyzyky [2].
Ydeq yspol\zovanyq yntehrala Styl\t\esa dlq analyza uravnenyj s ym-
pul\sn¥my parametramy zaymstvovana namy yz nekotor¥x rabot Fellera y
M.;Krejna seredyn¥ XX veka. Podskazkoj dlq yspol\zovanyq yntehro-dyf-
ferencyal\noj form¥ dlq uravnenyq (1), t. e.
− ′∫ d pu
x
( )
0
+ udQ
x
0
∫ = λ udM
x
0
∫ , (2)
b¥la matematyçeskaq model\ Atkynsona y M. Krejna styl\t\esovskoj stru-
n¥;[3]
′+u x( ) = ′u–( )0 – λ udM
x
0
0+
∫ ,
hde ′+u x( ) — pravaq proyzvodnaq, u−( )0 — nekoe „prodlennoe znaçenye” proyz-
vodnoj. Vneßnym symvolom πtoho uravnenyq polahalos\ sçytat\ sootnoßenye
– ( )d
dM
u x′+ = λu x( ).
Neskol\ko ran\ße poslednee uravnenye voznyklo u Fellera v zadaçe o dyffu-
zyy [3]. Oscyllqcyonn¥e svojstva v πtyx rabotax ne rassmatryvalys\.
1. Na mnoΩestve E absolgtno neprer¥vn¥x na 0, l[ ] funkcyj s proyzvod-
n¥my yz BV l0,[ ] rassmatryvaetsq uravnenye (2), t. e.
− ′∫ d pu
x
( )
0
+ udQ
x
0
∫ = λ udM
x
0
∫ ,
hde p( )⋅ >> 0, p ∈ BV l0,[ ], funkcyq Q( )⋅ ne ub¥vaet, a M ( )⋅ stroho vozrasta-
et na 0, l[ ]. Yntehral¥ ponymagtsq po Styl\t\esu (sm., naprymer, [4, 5]). Esly
p, Q , M dostatoçno hladkye, to uravnenye (2) πkvyvalentno ob¥knovennomu
dyfferencyal\nomu uravnenyg
∗
V¥polnena pry fynansovoj podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj
(hrant # 07-01-00397).
© G. V. POKORNÁJ, M. B. ZVEREVA, S. A. ÍABROV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1 95
96 G. V. POKORNÁJ, M. B. ZVEREVA, S. A. ÍABROV
–( )pu′ ′ + qu = λmu
pry q Q= ′, m M= ′ .
Okaz¥vaetsq, pry ob¥çn¥x kraev¥x uslovyqx
u( )0 = u l( ) = 0 (3)
zadaça (2), (3) ymeet dyskretn¥j stroho poloΩytel\n¥j prostoj spektr ( )0 <
λ0 < λ1 < … , a sootvetstvugwye sobstvenn¥e funkcyy ϕ0( )x , ϕ1( )x , … yme-
gt peremeΩagwyesq nuly, pryçem ϕk ymeet vnutry ( , )0 l toçno k nulej-
uzlov.
Nalyçye v (2) yntehrala Styl\t\esa oznaçaet vozmoΩnost\ poqvlenyq (v ot-
lyçye ot ob¥knovennoho dyfferencyal\noho uravnenyq) osobennostej, poroΩ-
denn¥x skaçkamy p, Q, M. Esly S — sovokupnost\ toçek, hde p, Q, M mohut
ymet\ razr¥v¥, to v kaΩdoj yz takyx toçek uravnenye (2) kak b¥ razdvayvaetsq,
pryobretaq razn¥j sm¥sl pry x = ξ − 0 y x = ξ + 0 (esly ξ ∈S ). XuΩe toho,
neqsno, çto ponymat\ pod ′ −u ( )ξ 0 ; : to ly levug proyzvodnug
lim
( ) – ( – )
ε
ξ ξ ε
ε↓0
u u
, to ly lev¥j predel lim ( – )
ε
ξ ε
↓
′
0
u . Analohyçn¥j vopros voz-
nykaet y o symvole yntehrala
0
0ξ –
∫ — to ly πto nesobstvenn¥j yntehral, to
ly yntehral po poluyntervalu 0, ξ[ ). ∏ty nedorazumenyq snymaet sledugwaq
teorema.
Teorema(1. Dlq lgboj funkcyy u x( ) ∈ E y lgboj toçky ξ > 0 oba na-
zvann¥e znaçenyq sleva sovpadagt. To Ωe verno y sprava dlq lgboj ξ < l, a
takΩe dlq yntehralov.
Napomnym, çto çerez E m¥ oboznaçaem mnoΩestvo absolgtno neprer¥vn¥x
na 0, l[ ] funkcyj, proyzvodn¥e kotor¥x ymegt ohranyçennug varyacyg na
0, l[ ].
Vvedem pomymo (2) neodnorodnoe uravnenye
− ′∫ d pu
x
( )
0
+ udQ
x
0
∫ = dF
x
0
∫ , (4)
hde F — funkcyq ohranyçennoj varyacyy.
Oboznaçym çerez S mnoΩestvo vsex toçek, hde p x( ), Q x( ), F x( ) ymegt ne-
nulev¥e prost¥e skaçky, t. e. ne sovpadagwye lev¥e y prav¥e predel¥. V¥bro-
syv S yz 0, l[ ], zamenym kaΩdug toçku ξ ∈ S paroj symvolov ξ – 0{ , ξ + }0 .
Budem sçytat\, çto ξ – 0 > x dlq vsex x < ξ y ξ + 0 < x dlq vsex x > ξ. Mno-
Ωestvo, poluçennoe yz 0, l[ ] zamenoj toçek ξ ∈ S na sootvetstvugwye par¥
ξ – 0{ , ξ + }0 , oboznaçym çerez 0, l S[ ] .
MnoΩestvu 0, l S[ ] moΩno dat\ sledugwee korrektnoe opredelenye kak od-
nomernomu metryçeskomu prostranstvu.
Vzqv Ωordanovo predstavlenye ysxodn¥x koπffycyentov p, Q, F v vyde
p = p+ – p– , Q = Q+ – Q–
y F = F+ – F –
, oboznaçym çerez σ summu neub¥-
vagwyx funkcyj
σ( )x = x p x+ +( ) + p x–( ) + Q x+( ) + Q x–( ) + F x+( ) + F x–( ).
Ne ohranyçyvaq obwnosty, moΩno predpolahat\, çto σ( )x ymeet razr¥v¥ (pol-
n¥e skaçky) tol\ko v toçkax S.
Vvedem na mnoΩestve 0, l[ ] \ S metryku ρ( , )x y = σ σ( ) – ( )x y . Esly S ≠ ∅,
to πto metryçeskoe prostranstvo, oçevydno, ne polno. Eho standartnoe metry-
çeskoe popolnenye s toçnost\g do yzomorfyzma sovpadaet s 0, l S[ ] , ynducyruq
v nem topolohyg.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
O RASÍYRENYY OSCYLLQCYONNOJ TEORYY ÍTURMA – LYUVYLLQ … 97
Oçevydna razr¥vnost\ πtoho prostranstva, ravno kak y eho kompaktnost\.
M¥ rassmatryvaem uravnenye (4) na mnoΩestve znaçenyj x yz 0, l S[ ] , ne do-
puskaq tem sam¥m v (4) znaçenyq x yz S. Na 0, l S[ ] funkcyy p( )⋅ , Q( )⋅ , F( )⋅
stanovqtsq neprer¥vn¥my, poskol\ku yx znaçenyq p( )ξ + 0 , p( – )ξ 0 , Q( )ξ + 0 ,
Q( – )ξ 0 , F( )ξ + 0 , F( – )ξ 0 , qvlqgwyesq v 0, l[ ] predel\n¥my, teper\ okaz¥-
vagtsq sobstvenn¥my znaçenyqmy v sootvetstvugwyx toçkax yz 0, l S[ ] .
Neprer¥vnost\ rassmatryvaem¥x funkcyj u( )⋅ pozvolqet soxranqt\ ob¥ç-
n¥j sm¥sl Rymana – Styl\t\esa dlq yntehral\noho slahaemoho v (4) pry x = ξ –
– 0 y x = ξ + 0, esly v kaçestve sobstvenn¥x yspol\zovat\ znaçenyq, kotor¥e
ranee b¥ly predel\n¥my.
Takym obrazom, uravnenye (4) namy rassmatryvaetsq kak b¥ dvuxslojno: per-
v¥j uroven\ — dlq znaçenyj x ∈; 0, l[ ] v sluçae reßenyj u x( ) (pod znakom yn-
tehrala) y vtoroj uroven\ — dlq znaçenyj x v toΩdestve (4), hde x prynymaet-
sq yz 0, l S[ ] . ∏to skaΩetsq uΩe na opredelenyy zadaçy Koßy, kohda pry x S∉
ona formulyruetsq ob¥çno, t.;e. sçytagtsq napered zadann¥my znaçenyq reße-
nyq u( )ξ y eho proyzvodnoj ′u ( )ξ , a pry x S∈ narqdu so znaçenyem u( )ξ mo-
Ωet b¥t\ zaranee zadana odna yz odnostoronnyx proyzvodn¥x ′u ( – )ξ 0 yly
′ +u ( )ξ 0 .
Teorema 2. Dlq lgb¥x çysel u0 , v0 y dlq lgboj toçky x S S0 0∉[ ], su-
westvuet edynstvennoe reßenye u x( ) uravnenyq (4) takoe, çto
u x( )0 = u0 , ′u x( )0 = v0 . (5)
2. M¥ suwestvenno opyraemsq na vozmoΩnost\ adekvatnoho opysanyq urav-
nenyq (2) v vyde
– ( )d pu′ + udQ = λudM , (6)
hde symvol dg pry g ∈ ; BV l0,[ ] toçno opys¥vaetsq, çto pozvolqet rassmatry-
vat\ dyfferencyal\noe neravenstvo
– ( )d pu′ + udQ ≥ 0 (7)
y yzuçat\ raspredelenye nulej eho reßenyj, a takΩe bolee sloΩnoe nera-
venstvo
v0 0( ) – ( )x d pu udQ′ +[ ] ≥ (8)
so znakoperemennoj v0( )x .
Opyraqs\ na henezys ponqtyq dyfferencyala, opredelqgweho yntehral
Styl\t\esa, m¥ ponymaem pod dg pry g( )⋅ ∈ ; BV l0,[ ] lynejn¥j funkcyonal
l u( ) yz C l∗[ ]0, , opredelqem¥j ravenstvom
l u( ) = udg
l
0
∫ .
Symvol dg m¥ naz¥vaem dyfferencyalom Styl\t\esa. Lynejnost\ po g πto-
ho dyfferencyala dg oçevydna. Ravenstvo dg = 0 oznaçaet (analohyçno lem-
me Dgbua – Rejmona), çto g ≡ const, a neravenstvo dg ≥ 0 — çto dg est\ polo-
Ωytel\n¥j funkcyonal na mnoΩestve (konuse) neotrycatel\n¥x funkcyj, çto
πkvyvalentno neub¥vanyg g x( ). Sohlasno teoreme o preobrazovanyy mer¥ dlq
lgboj neprer¥vnoj u x( ) suwestvuet h BV∈ takaq, çto udg = dh. Poπtomu
dlq g x( ) yz C l1 0,[ ] dyfferencyal dg adekvaten ′g dx .
Qz¥k dyfferencyalov delaet zapysy dlq lev¥x çastej (6) – (8) vneßne
bolee vnqtn¥my, çem vse slahaem¥e v (2). ∏to çysto assocyatyvnoe vpeçatlenye
pomohaet prowe ulavlyvat\ analohyg meΩdu rezul\tatamy dlq uravnenyq (2) y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
98 G. V. POKORNÁJ, M. B. ZVEREVA, S. A. ÍABROV
klassyçeskymy faktamy dlq teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj. V otlyçye ot (2), vse slahaem¥e v (6) – (8) — funkcyonal¥, t.;e. abstrakt-
n¥e πlement¥, ne ymegwye nykakoho potoçeçnoho soderΩanyq na 0, l[ ], çto yx
otlyçaet ot ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Naprotyv, uravne-
nye (2) — potoçeçnoe.
3. Dlq kvazydyfferencyal\noho v¥raΩenyq
Du = – ( )d pu′ + udQ
spravedlyvo „razloΩenye na mnoΩytely” Poja – Mamman¥.
Teorema 3. Esly d Q ≥ 0, t .,e. Q ne ub¥vaet, to suwestvugt stroho
poloΩytel\n¥e funkcyy ϕ0 , ϕ1 takye, çto
Du = – ( )ϕ ϕ ϕ0 1 0d d
dx
u
.
∏to predstavlenye obosnov¥vaet xarakternug dlq teoryy zadaçy (2), (3) tex-
nyku podsçeta çysla nulej s pomow\g teorem¥ Rollq. Prost¥m prymenenyem
πtoho fakta qvlqetsq takoe sledstvye.
Sledstvye. Funkcyq Hryna G x s( , ) zadaçy Du = dF pry uslovyqx (3) su-
westvuet y stroho poloΩytel\na pry 0 < x, s < l.
Zdes\ m¥ pod funkcyej Hryna ponymaem funkcyg G x s( , ) takug, çto reße-
nye uravnenyq Du = dF pry uslovyqx (3) moΩno zapysat\ v vyde
u x( ) = G x s dF s
l
( , ) ( )
0
∫ .
4. Analyz raspredelenyq nulej dyfferencyal\n¥x neravenstv pozvolqet
ustanavlyvat\ vaΩn¥e svojstva spektra. Naprymer, lgbaq sobstvennaq funk-
cyq v0( )x , sootvetstvugwaq sobstvennomu znaçenyg λ0 , navernqka udovlet-
vorqet dyfferencyal\nomu neravenstvu
v0 0Du ≥ ,
ravno kak y prysoedynennaq funkcyq.
Teorema 4. Pust\ v0( )x — netryvyal\noe reßenye zadaçy
Du = 0, u u l( ) ( )0 0= = ,
a funkcyq u x( ) qvlqetsq reßenyem neravenstva
v0 0( )x Du ≥ ,
pryçem v lgboj nulevoj toçke ξ funkcyy v0( )x v¥polnqetsq ravenstvo
p u( – ) ( – )ξ ξ0 0′ = p u( ) ( )ξ ξ+ ′ +0 0 . Pust\ u( )0 = 0, ′v0 0( – ) ( )l u l ≤ 0. Tohda
funkcyy v0( )x y u x( ) kollynearn¥, t.,e. dlq nekotoroj konstant¥ C ver-
no toΩdestvo u x( ) = C xv0( ) .
V πtoj teoreme m¥ snymaem predpoloΩenye o neub¥vanyy Q x( ) y sçytaem
Q BV l∈ [ ]0, .
Otsgda sleduet kak heometryçeskaq, tak y alhebrayçeskaq prostota vsex
sobstvenn¥x znaçenyj.
5. Çyslo nulej sobstvenn¥x funkcyj namy ustanavlyvaetsq s pomow\g
sxem¥, kotorug m¥ uslovno naz¥vaem „nakaçkoj nulej”. Prototyp πtoj sxem¥
ymeetsq u Íturma y yspol\zuetsq v [3, 6].
Esly vvesty v rassmotrenye reßenye u x( , )λ uravnenyq (2) s naçal\n¥my us-
lovyqmy
u( )0 0= , ′ =u ( )0 1, (9)
to pry kaΩdom λ, kohda u l( , )λ = 0, poluçaem sobstvennug funkcyg. Poπto-
mu otsleΩyvanye povedenyq nulej funkcyy u x( , )λ , yx zavysymosty ot λ pry-
vodyt k otvetu o nulqx sobstvenn¥x funkcyj. Svqz\ nulej πtoj funkcyy s pa-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
O RASÍYRENYY OSCYLLQCYONNOJ TEORYY ÍTURMA – LYUVYLLQ … 99
rametrom λ y yx πvolgcyej pry yzmenenyy λ opredelqetsq uravnenyem
u x( , )λ = 0 v vyde neqvnoj funkcyy x( )λ . ∏ta funkcyq zavedomo mnohoznaçna
( pry kaΩdom λ funkcyq u x( , )λ moΩet ymet\ po x mnoho nulej, y kolyçest-
vo yx na 0, l[ ] vozrastaet s ub¥vanyem λ ) . V πtoj mnohoznaçnosty udobno ra-
zobrat\sq, v¥delyv neprer¥vn¥e vetvy.
Metod nakaçky nulej. ProdolΩym vpravo ot toçky x = l, t.;e. na mno-
Ωestvo l, ∞[ ), koπffycyent¥ p, Q, M ysxodnoho uravnenyq tak, çtob¥ ony
b¥ly neprer¥vn¥my v toçke x = l y çtob¥ p, Q b¥ly konstantamy vpravo ot l,
a M — lynejnoj vozrastagwej funkcyej ( M x( ) = m x0 + c pry m0 > 0). Re-
ßenyq πtoho prodolΩennoho uravnenyq budut opredelen¥ na 0, ∞[ ) , pryçem na
0, l[ ] ony budut sovpadat\ s reßenyqmy ysxodnoho uravnenyq. Soxranym za pro-
dolΩenn¥my koπffycyentamy ysxodnoe oboznaçenye. Na l, ∞[ ) πto uravnenye
ymeet vyd
– ( )d p u0 ′ = λm udx0 ,
t.;;e. – p u0 ′′ = λm u0 (zdes\ p0 = p l( )) . Rasprostranqq na l, ∞[ ) sootvetstvug-
wee reßenye u x( , )λ zadaçy (2) – (9), zameçaem, çto pry λ > 0 πta funkcyq
ymeet beskoneçnoe çyslo nulej v l, ∞[ ) y, znaçyt, v 0, ∞[ ) .
Oboznaçym nuly u x( , )λ na ( , )0 ∞ v porqdke yx vozrastanyq çerez
z z zk0 1( ), ( ), , ( ),λ λ λ… …;.
Vse ony qvlqgtsq prost¥my nulqmy u x( , )λ , neprer¥vno zavysqwymy ot λ. V
sylu teorem¥ Íturma kaΩdaq yz funkcyj zk ( )λ stroho ub¥vaet po λ, kohda
ee znaçenye prynadleΩyt luçu ( ; )0 ∞ .
Pry λ , sovpadagwem s veduwym sobstvenn¥m znaçenyem λ 0, oçevydno,
z0 0( )λ = l. Pry λ = 0 funkcyq u x( , )0 ne ymeet nulej v 0, l( ], tak kak uravne-
nye – (– )d pu′ + udQ = 0 ne oscyllyruet na 0, l[ ], poskol\ku dQ ≥ 0. Poπtomu
λ0 > 0. Esly λ neprer¥vno uvelyçyvat\, to vse nulev¥e toçky zi( )λ budut ne-
prer¥vno, nyhde ne ostanavlyvaqs\, dvyhat\sq vlevo. Kohda oçerednaq yz nyx
zk ( )λ sovpadet s l, sootvetstvugwee reßenye u x( , )λ , obnulyvßys\ v toçke
x = l, okaΩetsq sobstvennoj funkcyej (2), (3), a znaçenye λ, dlq kotoroho
zk ( )λ = l, — sobstvenn¥m znaçenyem. Poskol\ku popadanyg zk ( )λ v toçku l
dolΩno b¥lo predßestvovat\ proxoΩdenye çerez πtu toçku pred¥duwyx nulej
z0( )λ , z1( )λ , … , zk −1( )λ , to ravenstvo zk ( )λ = l opredelqet λ k, t.;e. k-e sobst-
vennoe znaçenye.
Teorema 5. Pust\ funkcyq Q x( ) ne ub¥vaet, a M x( ) stroho vozrastaet
na 0, l[ ]. Tohda spektr Λ zadaçy (2), (3) sostoyt yz neohranyçennoj posledo-
vatel\nosty vewestvenn¥x stroho poloΩytel\n¥x prost¥x sobstvenn¥x zna-
çenyj λ0 < λ1 < … . Pry πtom sootvetstvugwaq λ k sobstvennaq funkcyq
ϕk x( ) ymeet v ( , )0 l toçno k nulej, v kaΩdom yz kotor¥x ona menqet znak;
nuly ϕk x( ) y ϕk x+1( ) peremeΩagtsq.
1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥my vozdej-
stvyqmy. – Kyev: Vywa ßk., 1987.
2. Al\beveryo S., Hestezy F., Xoπh-Kron R., Xol\den X. Reßaem¥e modely v kvantovoj mexany-
ke. – M.: Myr, 1991.
3. Atkynson F. Dyskretn¥e y neprer¥vn¥e dyskretn¥e zadaçy. – M.: Myr, 1991.
4. Saks S. Teoryq yntehrala. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1974. – 480 s.
5. Ryss F., Sekefal\dy-Nad\ B. Lekcyy po funkcyonal\nomu analyzu. – M.: Myr, 1978. –
587;s.
6. Levytan B. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm. – M.; L.: Hostexteoryzdat, 1950. –
159;s.
Poluçeno 30.08.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3140 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:58Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/09/e70db9d6351da863ec81ad4db8db1409.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31402020-03-18T19:46:36Z On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами Zvereva, M. B. Pokornyi, Yu. V. Shabrov, S. A. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. Oscillation spectral properties (the number of zeros, their alternation for eigenfunctions, the simplicity of the spectrum, etc.) are described for the Sturm-Liouville problem with generalized coefficients. Описано осциляційні спектральні властивості (число нулів, їх чергованість для власних функцій, простоту спектра та ін.) для задачі Штурма - Ліувілля з узагальненими коефіцієнтами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3140 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 1 (2008); 95–99 Український математичний журнал; Том 60 № 1 (2008); 95–99 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3140/3028 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3140/3029 Copyright (c) 2008 Zvereva M. B.; Pokornyi Yu. V.; Shabrov S. A. |
| spellingShingle | Zvereva, M. B. Pokornyi, Yu. V. Shabrov, S. A. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. Зверева, М. Б. Покорный, Ю. В. Шабров, С. А. On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| title | On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| title_alt | О расширении осцилляционной теории Штурма - Лиувилля на задачи с импульсными параметрами |
| title_full | On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| title_fullStr | On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| title_full_unstemmed | On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| title_short | On extension of the Sturm-Liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| title_sort | on extension of the sturm-liouville oscillation theory to problems with pulse parameters |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3140 |
| work_keys_str_mv | AT zverevamb onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT pokornyiyuv onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT shabrovsa onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT zverevamb onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT pokornyjûv onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT šabrovsa onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT zverevamb onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT pokornyjûv onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT šabrovsa onextensionofthesturmliouvilleoscillationtheorytoproblemswithpulseparameters AT zverevamb orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT pokornyiyuv orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT shabrovsa orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT zverevamb orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT pokornyjûv orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT šabrovsa orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT zverevamb orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT pokornyjûv orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami AT šabrovsa orasšireniioscillâcionnojteoriišturmaliuvillânazadačisimpulʹsnymiparametrami |