General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations
We establish general conditions for the unique solvability of the Cauchy problem for systems of nonlinear functional differential equations.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3146 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509184968097792 |
|---|---|
| author | Dil'na, N. Z. Ronto, A. M. Дільна, Н. З. Ронто, А. М. |
| author_facet | Dil'na, N. Z. Ronto, A. M. Дільна, Н. З. Ронто, А. М. |
| author_sort | Dil'na, N. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | We establish general conditions for the unique solvability of the Cauchy problem for systems of nonlinear functional differential equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
N. Z. Dil\na, A. M. Ronto (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
ZAHAL|NI UMOVY ODNOZNAÇNO} ROZV’QZNOSTI
POÇATKOVO} ZADAÇI DLQ NELINIJNYX
FUNKCIONAL|NO-DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|*
We establish general conditions sufficient for the unique solvability of the Cauchy problem for systems
of nonlinear functional-differential equations.
Ustanovlen¥ obwye uslovyq odnoznaçnoj razreßymosty zadaçy Koßy dlq system nelynejn¥x
funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x uravnenyj.
1. Postanovka zadaçi. Budemo rozhlqdaty poçatkovu zadaçu
′u tk ( ) = ( )( )f u tk , t a b∈[ ], , k n= …1 2, , , , (1)
u ak ( ) = ck , k n= …1 2, , , , (2)
de – ∞ < a < b + ∞, n ∈N , fk : D a b n, ,[ ]( )R → D a b n, ,[ ]( )R , k = 1, 2, … , n, —
neperervni operatory (vzahali kaΩuçy, nelinijni), a c k nk = …{ }1 2, , , � R.
Metog roboty [ vstanovlennq zahal\nyx umov odnoznaçno] rozv’qznosti za-
daçi (1), (2) za prypuwennq, wo nelinijnosti v systemi rivnqn\ (1) moΩna ocinyty
za dopomohog pevnyx linijnyx operatoriv, qki porodΩugt\ odnoznaçno
rozv’qzni poçatkovi zadaçi iz pozytyvnymy operatoramy Hrina. Vidßukannq
takyx operatoriv, vzahali kaΩuçy, ne [ prostog zadaçeg, ale za ]x naqvnosti, qk
pokazano nyΩçe, dlq doslidΩennq rozv’qznosti nelinijno] zadaçi (1), (2) moΩna
vykorystovuvaty rezul\taty linijno] teori].
2. Osnovni oznaçennq. Ponqttq rozv’qzku poçatkovo] zadaçi (1), (2) rozu-
mi[mo u sensi nastupnoho standartnoho oznaçennq (dyv., napryklad, [1]).
Oznaçennq 1. Rozv’qzkom zadaçi (1), (2) nazyva[mo absolgtno neperervnu
vektor-funkcig u = uk k
n( ) =1: a b,[ ] → Rn
, dlq qko] majΩe skriz\ na a b,[ ]
spravdΩu[t\sq rivnist\ (1) i qka v toçci a ma[ vlastyvist\ (2).
Dali znadobyt\sq pryrodne ponqttq pozytyvnosti linijnoho operatora, vyz-
naçenoho na prostori vektor-funkcij z absolgtno neperervnymy komponentamy.
Oznaçennq 2. Linijnyj operator l = lk k
n( ) =1: D a b n, ,[ ]( )R → L a b1 ,[ ]( , R
n)
nazyva[mo pozytyvnym, qkwo
vrai min ( )( )
,t a b
kl u t
∈[ ]
≥ 0, k n= …1 2, , , ,
pry dovil\nomu u = uk k
n( ) =1 z D+ [ ]( )a b n, , R .
Rozhlqnemo linijnu napivodnoridnu zadaçu vyhlqdu
′u tk ( ) = ( )( )l u tk + q tk ( ) , t a b∈[ ], , k n= …1 2, , , , (3)
u ak ( ) = 0, (4)
de lk : D a b n, ,[ ]( )R → L a b1 , ,[ ]( )R , k n= …1 2, , , , — linijni operatory, { qk | k =
= 1, 2, … , n} � L a b1 , ,[ ]( )R .
* Vykonano za çastkovo] pidtrymky AS CR, Institutional Research Plan No. AV0Z10190503,
GA CR (Grant No. 201/06/0254), DerΩavnoho fondu fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny
(hrant #A0107U003322) ta National Scholarship Programme of the Slovak Republic.
© N. Z. DIL|NA, A. M. RONTO, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2 167
168 N. Z. DIL|NA, A. M. RONTO
Oznaçennq 3. Budemo hovoryty, wo linijnyj operator l = lk k
n( ) =1 : D a b,[ ]( ,
R
n)→ L a b n
1 , ,[ ]( )R naleΩyt\ mnoΩyni S a ba
n, ,[ ]( )R , qkwo napivodnoridna
zadaça (3), (4) ma[ lyße [dynyj rozv’qzok u = uk k
n( ) =1 dlq koΩnoho { qk | k = 1,
2, … , n} � L a b1 , ,[ ]( )R , i, bil\ße toho, rozv’qzok zadaçi (3), (4) ma[ vlas-
tyvist\
min ( )
,t a b
ku t
∈[ ]
≥ 0, k n= …1 2, , , ,
qkwo funkci] qk, k = 1, 2, … , n, nevid’[mni majΩe skriz\ na a b,[ ].
3. Poznaçennq. U roboti budemo vykorystovuvaty nastupni poznaçennq:
1) R : = (– , )∞ ∞ , N : = 1 2 3, , , …{ };
2) x : = max1≤ ≤k n kx dlq x = xk k
n n( ) ∈=1 R ;
3) D a b n, ,[ ]( )R — banaxiv prostir absolgtno neperervnyx funkcij a b,[ ]A→
→ Rn
z normog
D a b n, ,[ ]( )R ∋ u � u u s ds
a
b
+ ′∫ ( ) ;
4) mnoΩynu D
+ a b n, ,[ ]( )R zadano formulog
D
+ a b n, ,[ ]( )R A: =
u u a b uk k
n n
a b
k= ( ) ∈ [ ]( ){ ≥= ∈[ ]1 0D , , min ( )
,
R
ξ
ξ
dlq vsix k n= }…1 2, , , ;
5) mnoΩynu D++ [ ]( )a b n, , R vyznaçeno za formulog
D
++ [ ]( )a b n, , R A: = u u a b uk k
n n
a b
k= ( ) ∈ [ ]( )
≥= ∈[ ]1 0D , , min ( )
,
R
ξ
ξ
i dlq vsixvrai min ( ) , ,
,
,
ξ
ξ
∈[ ]
′ ≥ =
…
a b
ku k n0 1 2 ;
6) D0 a b n, ,[ ]( )R vidpovidno( , D0
+ [ ]( )a b n, , R , D R0
++ [ ]( ))a b n, , — mnoΩyna
vsix u = uk k
n( ) =1 z D a b n, ,[ ]( )R
vidpovidno( , D
+ a b n, ,[ ]( )R , D
++ [ ]( a b, , R
n)),
dlq qkyx u ak ( ) = 0, k n= …1 2, , , ;
7)AA L a b n
1 , ,[ ]( )R — banaxiv prostir usix intehrovnyx za Lebehom vektor-fun-
kcij u : a b,[ ] → Rn
zi standartnog normog
L a b n
1 , ,[ ]( )R ∋ u � u s ds
a
b
( )∫ .
4. Zahal\na umova rozv’qznosti poçatkovo] zadaçi. Osnovnym rezul\ta-
tom statti [ nastupna teorema.
Teorema 1. Nexaj isnugt\ linijni operatory pi = pik k
n( ) =1
: D a b n, ,[ ]( )R →
→ L a b1 ,[ ]( , Rn) , i = 1, 2, dlq qkyx pry dovil\nyx absolgtno neperervnyx funk-
ciqx u = uk k
n( ) =1 : a b,[ ] → Rn
, v =
vk k
n( ) =1 : a b,[ ] → Rn
iz vlastyvostqmy
u ak ( ) = vk a( ) , u tk ( ) ≥ vk t( ) dlq t a b∈[ ], , k n= …1 2, , , , (5)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
ZAHAL|NI UMOVY ODNOZNAÇNO} ROZV’QZNOSTI POÇATKOVO} .… 169
spravdΩugt\sq ocinky
p u tk2 ( – )( )v ≤ ( )( )f u tk – ( )( )f tkv ≤ p u tk1 ( – )( )v ,
t a b∈[ ], , k n= …1 2, , , . (6)
Nexaj, krim c\oho, dlq operatoriv p1 ta p2 magt\ misce vklgçennq
p S a ba
n
1 ∈ [ ]( ), , R , 1
2 1 2( )p p+ ∈ S a ba
n, ,[ ]( )R . (7)
Todi zadaça Koßi (1), (2) [ odnoznaçno rozv’qznog pry dovil\nyx dijsnyx ck ,
k = 1, 2, … , n.
Pytannq pro naleΩnist\ linijnoho operatora p : D a b n, ,[ ]( )R → L a b1 ,[ ]( ,
R
n) mnoΩyni S a ba
n, ,[ ]( )R tisno pov’qzane z vykonannqm dlq porodΩeno] nym
poçatkovo] zadaçi tverdΩennq pro intehruvannq dyferencial\no] nerivnosti.
Rqd umov, wo harantugt\ vykonannq vklgçennq
p S a ba
n∈ [ ]( ), , R (8)
dlq deqkyx klasiv linijnyx operatoriv p, wo dopuskagt\ neperervne rozßy-
rennq na prostir usix neperervnyx funkcij, otrymano v [2 – 8].
5. DopomiΩni tverdΩennq. Pry dovedenni teoremyA1 nam znadobyt\sq re-
zul\tat roboty [9] wodo odnoznaçno] rozv’qznosti abstraktnoho rivnqnnq v na-
pivuporqdkovanomu banaxovomu prostori (dyv. takoΩ [10] ).
Rozhlqnemo abstraktne operatorne rivnqnnq
Fx z= , (9)
v qkomu F : E → E — nelinijnyj operator, wo di[ u normovanomu banaxovomu
prostori E E, ⋅ nad polem R, K Ei ⊂ , i = 1, 2, — zamkneni konusy, a z —
dovil\nyj element iz E.
Konusy Ki , i = 1, 2, porodΩugt\ pryrodni çastkovi vporqdkuvannq prosto-
ru E. Budemo pysaty, wo x
�K
i
y i y
�K
i
x, todi i til\ky todi, koly x y,{ } � E
i y – x ∈ Ki , i = 1, 2.
ZauvaΩennq. Monotonno] zaleΩnosti rozv’qzku rivnqnnq (9) vid z, popry
zauvaΩennq za teoremogA7 iz [9] ta za dovedennqm teoremyA49.4 iz [10] za umov
sformul\ovano] teoremyA2, u zahal\nomu vypadku nema[. V c\omu moΩna pere-
konatys\, zauvaΩyvßy, wo u vypadku linijnoho operatora f = fk k
n( ) =1 umovy
teoremy, vzahali kaΩuçy, monotonno] zaleΩnosti ne harantugt\.
Teorema 2 (teoremaA49.4 iz [10]). Nexaj konus K2 [ normal\nym ta vidtvo-
rggçym. Krim c\oho, nexaj vykonu[t\sq umova
B x y1( – )
�K
2
Fx – Fy
�K
2
B x y2( – ), ( , )x y E∈ 2 ,
x yK�
1
, (10)
de Bi A: E → E, i = 1, 2, — taki linijni operatory, wo isnugt\ B1
1−
ta (B1 +
+A B2
1)–
, pryçomu spravdΩugt\sq vklgçennq
B K1
1
2
− ( ) � K1, ( ) ( )–B B K1 2
1
2+ � K1. (11)
Todi rivnqnnq (9) ma[ [dynyj rozv’qzok x E∈ pry dovil\nomu z E∈ .
Nastupna lema vstanovlg[ zv'qzok miΩ vlastyvistg, opysanog v oznaçenni 3,
ta pozytyvnog oborotnistg pevnoho linijnoho operatora.
Lema 1. Qkwo p = pk k
n( ) =1: D a b n, ,[ ]( )R → L a b n
1 , ,[ ]( )R — linijnyj
operator z vlastyvistg (8), to linijnyj operator Vp A :
D R0 a b n, ,[ ]( )) →
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
170 N. Z. DIL|NA, A. M. RONTO
→ D0 a b,[ ]( , R
n) , zadanyj formulog
D0 a b n, ,[ ]( )R ∋ u � V up : = u – ( )( )pu t dt
a
⋅
∫ ,
bude oborotnym i dlq obernenoho operatora Vp
–1
vykonu[t\sq vklgçennq
V a bp
n– , ,1
0D++ [ ]( )( )R � D0
+ [ ]( )a b n, , R .
TverdΩennq lemyA1 vyplyva[ iz vlastyvostej mnoΩyny S a ba
n, ,[ ]( )R .
Lema 2. Dlq dovil\nyx linijnyx operatoriv pi A: D a b n, ,[ ]( )R → L a b1 ,[ ]( ,
R
n) , i = 1, 2, spravdΩu[t\sq rivnist\
Vp1
+ Vp 2
= 2 1
2 1 2
V
p p( )+
. (12)
Spravedlyvist\ formuly (12) perevirq[t\sq bezposeredn\o.
6. Dovedennq teoremy 1. Oçevydno, wo zadaça (1), (2) rivnosyl\na systemi
rivnqn\
u tk ( ) = ck + ( )( )f u s dsk
a
t
∫ , t a b∈[ ], , k = 1, 2, … , n.
Nexaj c = ck k
n n( ) ∈=1 R — dovil\nyj fiksovanyj vektor. Dlq koΩno] vektor-
funkci] v =
vk k
n( ) =1 ∈ D0 a b n, ,[ ]( )R poklademo
( )( )F tkv A: = vk t( ) – f c s dsk
a
t
( ) ( )v +( )∫ , t a b∈[ ], , k = 1, 2, … , n. (13)
Oçevydno, wo vidpovidne do vidobraΩen\ (13) vidobraΩennq F = Fk k
n( ) =1 [ ope-
ratorom u banaxovomu prostori E, de, za oznaçennqm,
E = D0 a b n, ,[ ]( )R . (14)
Lehko baçyty, wo funkciq u z D a b n, ,[ ]( )R [ rozv’qzkom zadaçi (1), (2) todi i
til\ky todi, koly funkciq v = u – c zadovol\nq[ rivnqnnq
Fv = 0. (15)
OtΩe, dostatn\o pokazaty, wo rivnqnnq (15) ma[ [dynyj rozv’qzok v u prosto-
riA(14).
Spivvidnoßennq (6) rivnosyl\ne spivvidnoßenng
−p u tk1 ( – )( )v ≤ – f u c tk ( ) ( )+( ) + f c tk ( ) ( )v +( ) ≤
−p u tk2 ( – )( )v ,
t a b∈[ ], , k = 1, 2, … , n,
dlq koΩno] pary funkcij u, v{ } � D0 a b n, ,[ ]( )R iz vlastyvistg (5). Tomu dlq
vsix takyx par u ta v pry majΩe vsix t a b∈[ ], vykonu[t\sq nerivnist\
′u tk ( ) – ′vk t( ) – p u tk1 ( – )( )v ≤ ′u tk ( ) – ′vk t( ) –
– f u c t f c tk k( ) ( ) – ( ) ( )+( ) +( )[ ]v ≤ ′u tk ( ) – ′vk t( ) – p u tk2 ( – )( )v . (16)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
ZAHAL|NI UMOVY ODNOZNAÇNO} ROZV’QZNOSTI POÇATKOVO} .… 171
Intehrugçy çleny nerivnostej (16), otrymu[mo nerivnosti
u tk ( ) – vk t( ) –
p u s dsk
a
t
1 ( – ) ( )v( )∫ ≤ u tk ( ) – vk t( ) – f u c s dsk
a
t
( ) ( )+( )∫ +
+
f c s dsk
a
t
( ) ( )v +( )∫ ≤ u tk ( ) – vk t( ) –
p u s dsk
a
t
2 ( – ) ( )v( )∫ ,
t a b∈[ ], , k = 1, 2, … , n.
Beruçy do uvahy poznaçennq (13), zvidsy oderΩu[mo, wo dlq vsix funkcij u =
= uk k
n( ) =1 , v =
vk k
n( ) =1 z D0 a b n, ,[ ]( )R , qki magt\ vlastyvist\ (5), spravdΩu-
gt\sq ocinky
u tk ( ) – vk t( ) –
p u s dsk
a
t
1 ( – ) ( )v( )∫ ≤ F u tk( )( ) – F tkv( )( ) ≤
≤ u tk ( ) – vk t( ) –
p u s dsk
a
t
2 ( – ) ( )v( )∫ , t a b∈[ ], , k = 1, 2, … , n.
Dlq dovil\noho x z D0 a b n, ,[ ]( )R poklademo
( )( )B x t1 = x t( ) – ( )( )p x s ds
a
t
1∫ , t a b∈[ ], , (17)
( )( )B x t2 = x t( ) – ( )( )p x s ds
a
t
2∫ , t a b∈[ ], , (18)
ta oznaçymo mnoΩyny K1 i K2 nastupnymy rivnostqmy (dyv. poznaçennq 4 – 6 iz
p.A3):
K1 = D0
+ [ ]( )a b n, , R , K2 = D0
++ [ ]( )a b n, , R . (19)
NaleΩnist\ linijnoho operatora p1 mnoΩyni S a ba
n, ,[ ]( )R u terminax le-
myA1 oznaça[, wo vidpovidnyj operator Vp1
[ oborotnym i, krim toho, spravdΩu-
[t\sq vklgçennq
V K
p1
1
2
– ( ) � K1. (20)
Dali v umovi (7) prypuska[t\sq, wo operator
1
2 1 2( )p p+ naleΩyt\ mnoΩyni
S a ba ,[ ]( , Rn) . Z ohlqdu na lemyA1 ta 2 ce oznaça[, wo isnu[ operator
1
2 1
2
1
1 2
V
p p( )
–
+
, qkyj [ pozytyvnym obernenym do operatora Vp1
+ Vp2
. OtΩe,
spravdΩu[t\sq vklgçennq
V V Kp p1 2
1
2+( ) ( )
–
� K1. (21)
Takym çynom, my vstanovyly, wo dlq vidobraΩennq (13) vykonu[t\sq umova (10)
pry E, K1 i K2, zadanyx formulamy (14), (19), i operatorax B1, B2, vyznaçe-
nyx rivnostqmy (17), (18). Pry c\omu, z ohlqdu na spivvidnoßennq (20) i (21) ta
rivnosti Bi = Vpi
, i = 1, 2, operatory (17), (18) magt\ vlastyvosti (11).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
172 N. Z. DIL|NA, A. M. RONTO
MnoΩyny (19) [ konusamy v banaxovomu prostori D0 a b n, ,[ ]( )R , pry c\omu
konus D0
++ [ ]( )a b n, , R , qk nevaΩko perekonatysq, [ vidtvorggçym i normal\-
nym. Zastosovugçy teoremuA2, vstanovlg[mo odnoznaçnu rozv’qznist\ nelinij-
no] poçatkovo] zadaçi (1), (2) i cym, z ohlqdu na dovil\nist\ dijsnoho vektora c =
= ck k
n( ) =1 v formuli (13), zaverßu[mo dovedennq teoremyA1.
1. Azbelev N. V., Maksymov V. P., Raxmatullyna L. F. Vvedenye v teoryg funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1991. – 280 s.
2. Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. Optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problem
for first order linear functional differential equations // Czech. Math. J. – 2002. – 52, # 3. – P. 513 –
530.
3. Halk R., Lomtatidze A., Půža B. New optimal conditions for unique solvability of the Cauchy prob-
lem for first order linear functional differential equations // Math. Bohem. – 2002. – 127, # 4. –
P. 509 – 524.
4. Ronto A. N. Exact solvability conditions of the Cauchy problem for system of linear first-order
functional differential equations determined by (σ1, σ2 , … , σn ; τ) -positive operators // Ukr.
Math. J. – 2003. – 55, # 11. – P. 1853 – 1884.
5. Dyl\naq N. Z., Ronto A. N. Nekotor¥e nov¥e uslovyq razreßymosty zadaçy Koßy dlq sys-
tem lynejn¥x funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2004.
– 56, # 7. – S. 867 – 884.
6. Rontó A. On the initial value problem for systems of linear differential equations with argument
deviations // Miskolc Math. Notes. – 2005. – 6, # 1. – P. 105 – 127.
7. Hakl R., Lomtatidze A., Půža B. On nonnegative solutions of first order scalar functional differen-
tial equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. – 2001. – 23. – P. 51 – 84.
8. Samojlenko A. M., Dil\na N. Z., Ronto A. M. Rozv’qznist\ zadaçi Koßi dlq linijnyx inteh-
ro-dyferencial\nyx rivnqn\ z peretvorenym arhumentom // Nelinijni kolyvannq. – 2005. – 8,
# 3. – S. 388 – 403.
9. PoloΩytel\no obratym¥e lynejn¥e operator¥ y razreßymost\ nelynejn¥x uravnenyj /
M.AA.AKrasnosel\skyj, E. A. Lyfßyc, G. V. Pokorn¥j, V. Q. Stecenko // Dokl. AN
TadΩSSR. – 1974. – 17, # 1. – S. 12 – 14.
10. Krasnosel\skyj M. A., Zabrejko P. P. Heometryçeskye metod¥ nelynejnoho analyza. – M.:
Nauka, 1975. – 512 s.
OderΩano 05.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3146 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:05Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/da/5093e7b2cffb37b547a6d6a037387cda.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31462020-03-18T19:46:54Z General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations Загальні умови однозначної розв'язності початкової задачі для нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь Dil'na, N. Z. Ronto, A. M. Дільна, Н. З. Ронто, А. М. We establish general conditions for the unique solvability of the Cauchy problem for systems of nonlinear functional differential equations. Установлены общие условия однозначной разрешимости задачи Коши для систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3146 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 167–172 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 167–172 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3146/3040 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3146/3041 Copyright (c) 2008 Dil'na N. Z.; Ronto A. M. |
| spellingShingle | Dil'na, N. Z. Ronto, A. M. Дільна, Н. З. Ронто, А. М. General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| title | General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| title_alt | Загальні умови однозначної розв'язності початкової задачі для нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь |
| title_full | General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| title_fullStr | General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| title_full_unstemmed | General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| title_short | General conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| title_sort | general conditions for the unique solvability of initial-value problem for nonlinear functional differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3146 |
| work_keys_str_mv | AT dil039nanz generalconditionsfortheuniquesolvabilityofinitialvalueproblemfornonlinearfunctionaldifferentialequations AT rontoam generalconditionsfortheuniquesolvabilityofinitialvalueproblemfornonlinearfunctionaldifferentialequations AT dílʹnanz generalconditionsfortheuniquesolvabilityofinitialvalueproblemfornonlinearfunctionaldifferentialequations AT rontoam generalconditionsfortheuniquesolvabilityofinitialvalueproblemfornonlinearfunctionaldifferentialequations AT dil039nanz zagalʹníumoviodnoznačnoírozv039âznostípočatkovoízadačídlânelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ AT rontoam zagalʹníumoviodnoznačnoírozv039âznostípočatkovoízadačídlânelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ AT dílʹnanz zagalʹníumoviodnoznačnoírozv039âznostípočatkovoízadačídlânelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ AT rontoam zagalʹníumoviodnoznačnoírozv039âznostípočatkovoízadačídlânelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹ |