Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control
We investigate a differential equation in a Hilbert space that describes vibrations of the Euler-Bernoulli elastic beam with feedback control. The relative compactness of positive semitrajectories of the considered equation is proved. Constructing a Lyapunov functional in explicit form and using the...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3147 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509188319346688 |
|---|---|
| author | Zuev, A. L. Зуєв, А. Л. |
| author_facet | Zuev, A. L. Зуєв, А. Л. |
| author_sort | Zuev, A. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | We investigate a differential equation in a Hilbert space that describes vibrations of the Euler-Bernoulli elastic beam with feedback control. The relative compactness of positive semitrajectories of the considered equation is proved. Constructing a Lyapunov functional in explicit form and using the invariance principle, we obtain representations of limit sets. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.977, 531.39
A. L. Zuev (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck)
LOKALYZACYQ PREDEL|NOHO MNOÛESTVA
TRAEKTORYJ URAVNENYQ ∏JLERA – BERNULLY
S UPRAVLENYEM
∗∗∗∗
We study the differential equation in a Hilbert space that describes oscillations of the Euler – Bernoulli
elastic beam with a feedback control. Relative compactness of the positive semitrajectories of the
considered equation is proved. With the use of construction of a Lyapunov functional in the explicit
form and the invariance principle, representations of the limit sets are obtained.
DoslidΩu[t\sq dyferencial\ne rivnqnnq u hil\bertovomu prostori, wo opysu[ kolyvannq
pruΩno] balky Ejlera – Bernulli z keruvannqm u vyhlqdi zvorotnoho zv’qzku. Dovedeno vidnos-
nu kompaktnist\ dodatnyx napivtra[ktorij rozhlqnutoho rivnqnnq. Otrymano zobraΩennq
hranyçnyx mnoΩyn za dopomohog pobudovy funkcionala Lqpunova v qvnomu vyhlqdi ta pryncy-
pu invariantnosti.
1. Vvedenye. Yssledovanyg system dyfferencyal\n¥x uravnenyj v beskoneç-
nomern¥x prostranstvax s yspol\zovanyem upravlenyq v vyde obratnoj svqzy
posvqwen rqd rabot oteçestvenn¥x y zarubeΩn¥x avtorov [1 – 6]. Odnym yz
naybolee πffektyvn¥x podxodov v πtoj oblasty qvlqetsq prqmoj metod Lqpu-
nova, kotor¥j pozvolqet yssledovat\ asymptotyçeskye svojstva reßenyj (syl\-
nug ustojçyvost\, çastyçnug ustojçyvost\ y stabylyzyruemost\) dlq lynej-
n¥x y nelynejn¥x system [5, 7]. V rabotax [5, 8] postroen¥ funkcyonal¥ Lq-
punova v qvnom vyde dlq nelynejn¥x system dyfferencyal\n¥x uravnenyj,
opys¥vagwyx upravlqem¥e kolebanyq balky ∏jlera – Bernully. V ukazann¥x
rabotax takΩe najden¥ funkcyonal¥ upravlenyq s obratnoj svqz\g, kotor¥e
reßagt zadaçy syl\noj stabylyzacyy y çastyçnoj stabylyzacyy poloΩenyq
ravnovesyq.
Sleduet otmetyt\, çto v yzvestn¥x publykacyqx po upravlenyg beskoneçno-
mern¥my modelqmy ∏jlera – Bernully rassmatryvagtsq tol\ko balky so svo-
bodn¥m koncom yly toçeçnoj massoj na konce (sootvetstvugwye ss¥lky pryve-
den¥ v [5, 8, 9]). Uravnenyq dvyΩenyq bolee sloΩnoj mexanyçeskoj system¥,
sostoqwej yz neskol\kyx upruhyx balok y tverd¥x tel, b¥ly poluçen¥ v rabo-
te avtora [10]. Dlq çastnoho sluçaq πtoj system¥ v stat\e [11] yssledovan¥
lynearyzovann¥e uravnenyq dvyΩenyq v okrestnosty poloΩenyq ravnovesyq s
uçetom dejstvyq syl¥ tqΩesty y dvyΩenyq tverdoho tela, prykreplennoho k
koncu balky. Tam Ωe ustanovlena korrektnost\ abstraktnoj zadaçy Koßy dlq
sootvetstvugweho uravnenyq ∏jlera – Bernully y dokazana neasymptotyçeskaq
ustojçyvost\ tryvyal\noho reßenyq system¥ s upravlenyem v vyde obratnoj
svqzy. Poskol\ku v [11] proyzvodnaq funkcyonala Lqpunova ne qvlqetsq op-
redelenno-otrycatel\noj, vopros o suwestvovanyy predel\n¥x toçek reßenyj
pry t → + ∞ trebuet otdel\noho rassmotrenyq. Yssledovanyg πtoho voprosa
posvqwena dannaq stat\q.
2. Postanovka zadaçy y vspomohatel\n¥e rezul\tat¥. Rassmotrym ly-
nejnoe prostranstvo
X = η ζ φ ω η ζ η η φ ω, , , , , : ( , ), ( , ), ( ) ( ) , , , ,p q H l L l p qT( ) ∈ ∈ = ′ = ∈{ }2
20 0 0 0 0 R ,
hde H lk ( , )0 — prostranstvo Soboleva funkcyj yz L l2 0( , ) , ymegwyx vse
obobwenn¥e proyzvodn¥e do porqdka k vklgçytel\no yz L l2 0( , ) . Dlq πlemen-
tov
∗
PodderΩana hrantom Prezydenta Ukrayn¥ dlq molod¥x uçen¥x.
© A. L. ZUEV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2 173
174 A. L. ZUEV
ξ1 = η ζ φ ω1 1 1 1 1 1, , , , ,p q T( ) ∈ X , ξ2 = η ζ φ ω2 2 2 2 2 2, , , , ,p q T( ) ∈ X
opredelym skalqrnoe proyzvedenye formuloj
〈 〉ξ ξ1 2, X = ′′ ′′ +( ) + + + +∫ η η ζ ζ φ φ ω ω1 2 1 2
0
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx p p q q
l
.
Yspol\zuq neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, lehko proveryt\, çto dlq lgboj
funkcyy η ∈H l1 0( , ) v sluçae η( )0 0= spravedlyvo neravenstvo Frydryxsa –
Vyrtynhera sledugweho vyda:
η L l2 0
2
( , ) = η2
0
( )x dx
l
∫ = ′
∫∫ η ( )s dx dx
xl
0
2
0
≤ ds s ds dx
x xl
0
2
0
2
0
∫ ∫∫ ⋅ ′
η ( ) =
= ′
∫∫ η 2
0
( )s x dx ds
s
ll
≤ l s ds
l2
2
0
2
′∫ η ( ) = l
L l
2
0
2
2 2
′η ( , ). (1)
Analohyçno, pry η ∈H l2 0( , ) , ′ =η ( )0 0 poluçaem
′η L l2 0
2
( , ) ≤ l
L l
2
0
2
2 2
′′η ( , ) . (2)
Yz (1), (2) dlq lgboj funkcyy η ∈H l2 0( , ) , η η( ) ( )0 0 0= ′ = , sleduet ocenka
η H l2 0( , ) = η η ηL l L l L l2 2 20
2
0
2
0
2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
/
+ ′ + ′′( ) ≤ l l
L l
4 2 1 2
04 2
1
2
+ +
′′
/
( , )η .
Otsgda lehko vydet\, çto norma ξ X = 〈 〉ξ ξ, X πkvyvalentna standartnoj
norme v lynejnom podprostranstve X hyl\bertova prostranstva H l2 0( , ) ×
× L l2 0( , ) × R4, sledovatel\no, X X, ⋅( ) — hyl\bertovo prostranstvo.
Pust\ zadano lynejnoe dyfferencyal\noe uravnenye
ξ̇ = A ξ + B u , (3)
hde ξ = ξ ( t ) ∈ X — fazov¥j vektor, u ∈ R — upravlenye, toçka oboznaçaet
proyzvodnug po vremeny t . Opredelym lynejn¥j neohranyçenn¥j operator A :
D ( A ) → X , πlement B ∈ X y upravlenye s obratnoj svqz\g u = h ( ξ ) sledug-
wym obrazom [11]:
A : ξ =
η
ζ
φ
ω
p
q
� A ξ =
ζ
ρ
η γφ
ω
γφ η
η
− ′′ ′′ +
+ ′′ ′
− ′′
=
=
1
0
1
( )
( )
c
m
c
c
J
x l
x l
, B =
0
0
1
ψ
ψ
ψ
( )
( )
l
l′
, (4)
h ( ξ ) = –
1
0
β
ω α γ ρψ ψ φk dx m l
l
+ − +
∫ ( ) +
+ c dx c c dx m l
l
x
l
′′ ′′ + ′′ ′ − ′′ ′( ) − +
∫ ∫=η ψ η ψ η ψ γ ρη η
0
0
0
( ) ( ) , (5)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
LOKALYZACYQ PREDEL|NOHO MNOÛESTVA TRAEKTORYJ URAVNENYQ … 175
hde
D ( A ) = ξ η ζ ζ ζ ζ ζ∈ ∈ ∈ = ′ = = = ′{ }X H l H l p l q l: ( , ), ( , ), ( ) ( ) , ( ), ( )4 20 0 0 0 0 .
(6)
Budem predpolahat\, çto γ — konstanta, α, β , c, ρ , m , J — poloΩytel\n¥e
konstant¥, ψ ( x ) — funkcyq klassa C l2 0[ , ]. Poqsnenyq otnosytel\no fyzy-
çeskoho sm¥sla komponent fazovoho vektora y koπffycyentov system¥ (3) so-
derΩatsq v rabote [11].
Oboznaçym çerez
˜ : ( )A A Bhξ ξ ξ� +
lynejn¥j operator, v kotorom A, B, u = h ( ξ ) zadan¥ formulamy (4), (5). Leh-
ko vydet\, çto D A( ˜ ) = D A( ) , poskol\ku h ( ξ ) v formule (5) opredeleno pry
vsex ξ ∈D A( ). Pry dostatoçno bol\ßyx α y β v rabote [11] pokazano, çto ly-
nejn¥j neohranyçenn¥j operator
˜ : ( ˜ )A D A X→ qvlqetsq ynfynytezymal\-
n¥m heneratorom syl\no neprer¥vnoj poluhrupp¥ lynejn¥x operatorov
{ }
˜
etA
t ≥0 v X, t. e. lgboe obobwennoe reßenye ξ ( t ) abstraktnoj zadaçy Koßy
dlq uravnenyq (3) s u = h ( ξ ) y naçal\n¥my uslovyqmy
ξ ( 0 ) = ξ0 ∈ X (7)
zapys¥vaetsq v vyde
ξ ( t ) = etÃξ0 , t ≥ 0.
Tam Ωe dokazano, çto reßenye ξ = 0 system¥ (3) s upravlenyem v vyde obrat-
noj svqzy u = h ( ξ ) syl\no ustojçyvo po Lqpunovu, t. e. dlq kaΩdoho ε > 0
suwestvuet takoe δ = δ ( ε ) > 0, çto lgboe reßenye zadaçy (3), (5), (7) obladaet
svojstvom
ξ0 X < δ ⇒ ξ( )t X < ε ∀ t ≥ 0.
Dokazatel\stvo ustojçyvosty v rabote [11] osnovano na yspol\zovanyy funk-
cyonala Lqpunova sledugweho vyda:
2V( )ξ = αφ2 + βω2 + ( )ζ ψω ρ η− + ′′{ }∫ 2 2
0
c dx
l
+ m p l−{ }ψ ω( ) 2 +
+ J q l− ′{ }ψ ω( ) 2 – 2
0
γ φ ηρ ηdx m l
l
∫ +
( ) , (8)
pry πtom pokazano, çto poluhruppa { }
˜
etA
t ≥0 qvlqetsq sΩymagwej v prostran-
stve X s normoj
ξ V = V ( )ξ
y norm¥ ⋅ V y ⋅ X πkvyvalentn¥ v X, esly α y β — dostatoçno bol\ßye
konstant¥ (sm. [11]) .
V¥çyslqq proyzvodnug funkcyonala V ( ξ ) v sylu uravnenyq (3) s upravle-
nyem u = h ( ξ ) , netrudno proveryt\, çto
˙( )V ξ = – kω2
≤ 0. (9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
176 A. L. ZUEV
Neravenstvo (9) obespeçyvaet nevozrastanye funkcyy V ( ξ ( t )) na reßenyqx
uravnenyq (3) s obratnoj svqz\g u = h ( ξ ) . Poπtomu voznykaet vopros o voz-
moΩnosty yssledovanyq ω -predel\n¥x mnoΩestv πtoho uravnenyq s pomow\g
pryncypa ynvaryantnosty LaSallq [12] y sootvetstvugwej modyfykacyy teo-
rem¥ Barbaßyna – Krasovskoho. Kak yzvestno [7, 12 – 14], poloΩytel\n¥j ot-
vet na πtot vopros trebuet dokazatel\stva predkompaktnosty polutraektoryj v
beskoneçnomernom prostranstve X.
3. Dokazatel\stvo predkompaktnosty traektoryj. Osnovn¥m rezul\ta-
tom rabot¥ qvlqetsq sledugwee utverΩdenye.
Teorema. Pust\ α y β — dostatoçno bol\ßye konstant¥, k > 0. Toh-
da lgbaq poloΩytel\naq polutraektoryq ξ( )t t{ } ≥0 uravnenyq (3) s upravle-
nyem u = h ( ξ ) v vyde obratnoj svqzy (5) soderΩytsq v kompaktnom podmno-
Ωestve prostranstva X .
Dokazatel\stvo. Rassmotrym uravnenye otnosytel\no ξ ∈ D ( A ) s para-
metramy λ > 0, u ∈ R , ξ̃ ∈ X :
A ξ + B u – λ ξ = ξ̃ . (10)
Zapyßem πto uravnenye po komponentam vektorov ξ = ( , , , , , )η ζ φ ω p q T
y ξ̃ =
= ( )˜ , ˜, ˜ , ˜ , ˜, ˜η ζ φ ω p q T
:
ζ λη( ) ( )x x− = ˜ ( )η x , –
c d x
dx
x x u
ρ
η γ φ λζ ψ
4
4
( )
( ) ( )+ − + = ˜( )ζ x , x ∈ ( 0, l ) , (11)
ω – λ φ = φ̃ , – λ ω + u = ω̃ , (12)
γ φ η λ ψ+ ′′′ − +c
m
l p l u( ) ( ) = p̃ , –
c
J
l q l u′′ − + ′η λ ψ( ) ( ) = q̃ . (13)
Razreßaq uravnenyq (12) otnosytel\no φ, ω, poluçaem
φ =
u − −
˜ ˜ω
λ
φ
λ2 , ω =
u − ω̃
λ
. (14)
Yz pervoho uravnenyq (11) v¥razym
ζ ( x ) = ˜ ( ) ( )η ληx x+ (15)
y podstavym predstavlenyq (14), (15) vo vtoroe uravnenye (11). V rezul\tate po-
luçym dyfferencyal\noe uravnenye otnosytel\no η ( x ) :
d x
dx c
x
4
4
2η λ ρ η( )
( )+ = f x u f x0 1( ) ( , ˜ )+ ξ , x ∈ ( 0, l ) , (16)
hde
f x0( ) =
ρ γ
λ
ψ
c
x2 +
( ) , f x1( , ˜ )ξ = –
ρ γ
λ
φ γ
λ
ω λη ζ
c
x x˜ ˜ ˜ ( ) ˜( )+ + +
2 .
Yz svojstva ξ ∈ D ( A ) v¥tekagt hranyçn¥e uslovyq
η ( 0 ) = ′η ( )0 = 0, (17)
a takΩe p = ζ ( l ) , q = ′ζ ( )l . Dva poslednyx uslovyq s uçetom (15) mohut b¥t\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
LOKALYZACYQ PREDEL|NOHO MNOÛESTVA TRAEKTORYJ URAVNENYQ … 177
zapysan¥ v vyde
p = ˜ ( ) ( )η ληl l+ , q = ˜ ( ) ( )′ + ′η ληl l . (18)
Podstavlqq ravenstva (14), (18) v (13), naxodym sledugwye hranyçn¥e uslovyq
na η ( x ) pry x = l :
′′′ −η λ η( ) ( )l m
c
l
2
= g u g10 11+ (˜ )ξ , (19)
′′ + ′η λ η( ) ( )l
J
c
l
2
= g u g20 21+ (˜ )ξ , (20)
hde
g10 = –
m
c
l
γ
λ
ψ2 +
( ) , g11(˜ )ξ = m
c
l p
γ
λ
φ γ
λ
ω λη˜ ˜ ˜ ( ) ˜+ + +
2 ,
g20 =
J l
c
′ψ ( )
, g21(˜ )ξ = –
J
c
l qλη̃ ( ) ˜′ +( ) .
Takym obrazom, esly η ∈H l4 0( , ) — reßenye kraevoj zadaçy (16), (17), (19),
(20) pry zadann¥x ξ̃ ∈ X , λ, u, to formul¥ (14), (15), (18) opredelqgt kompo-
nent¥ φ, ω, ζ, p, q reßenyq ξ ∈D A( ) uravnenyq (10). Y naoborot, esly
ξ ∈D A( ) — reßenye uravnenyq (10), to eho komponenta η ∈H l4 0( , ) qvlqetsq
reßenyem kraevoj zadaçy (16), (17), (19), (20), a ostal\n¥e komponent¥ ξ
udovletvorqgt sootnoßenyqm (14), (15), (18).
S pomow\g metoda varyacyy postoqnnoj najdem obwee reßenye uravnenyq
(16) pry hranyçn¥x uslovyqx (17):
η ( x ) = 1
4 3 0 1
0
1 1 2 2µ
ξ η ηf s u f s K x s ds C x C x
x
( ) ( , ˜ ) ( ) ( ) ( )+( ) − + +∫ . (21)
Zdes\ vveden vspomohatel\n¥j parametr µ > 0 y funkcyy K ( x ) , η1( )x , η2( )x
po formulam
µ =
λ ρ2 1 4
4c
/
,
(22)
K ( x ) = sin – cosµ µ µ µx x x sch sh , η1( )x = sinµ µx xsh ,
η2( )x = cos sinµ µ µµx x e xxsh − .
Poskol\ku K ( x ) — hladkaq funkcyq, udovletvorqgwaq uslovyqm
K ( 0 ) = ′K ( )0 = ′′K ( )0 = ′′′K ( )0 = 0,
j -g proyzvodnug po x funkcyy (21) moΩno predstavyt\ sledugwym obrazom:
η( )( )j x = 1
4 3 0 1
0
1 1 2 2µ
ξ η ηf s u f s K x s ds C x C xj
x
j j( ) ( , ˜ ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+( ) − + +∫ , j = 0 3, .
(23)
Dlq lgb¥x ξ̃ ∈ X y λ > 0 funkcyy f0( )⋅ y f1( , ˜ )⋅ ξ leΩat v L l2 0( , ) , po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
178 A. L. ZUEV
πtomu yz predstavlenyj (23) y uravnenyq (16) sleduet, çto reßenye η ( x ) , opre-
delqemoe formuloj (21), leΩyt v H l4 0( , ) pry lgb¥x znaçenyqx C1 , C2 , u .
Dlq ysklgçenyq parametrov C1 , C2 , u yz reßenyq η( )x podstavym v¥ra-
Ωenyq (23) v hranyçn¥e uslovyq (19), (20) y formulu dlq upravlenyq s obrat-
noj svqz\g (5). V rezul\tate poluçym systemu trex lynejn¥x alhebrayçeskyx
uravnenyj otnosytel\no C1 , C2 , u :
W
C
C
u
1
2
=
v
v
v
1
2
3
(˜ )
(˜ )
(˜ )
ξ
ξ
ξ
, (24)
hde komponent¥ matryc¥ W = ( )wij y stolbca svobodn¥x çlenov vi(
˜ )ξ zada-
gtsq sledugwymy sootnoßenyqmy:
w11 = – 2
43
4
µ µ µ µ µ µ
ρ
µ µsin cos sinl l l l
m
l lch sh sh−( ) − ,
w12 = – 2 3µ µ µ µ µ µ µµe l l l l l ll(cos sin ) cos sin− + +( )ch sh –
–
4 4µ
ρ
µ µ µµm
l l e llcos sinsh −( ),
w13 = f s s l s l ds g
l
0
0
10( ) cos ( ) ( )µ µ− − −∫ ch –
–
µ
ρ
µ µ µ µm
f s s l s l s l s l ds
l
0
0
( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )− − − − −( )∫ sh ch ,
w21 = 2
42
5
µ µ µ µ
ρ
µ µ µ µcos cos sinl l
J
l l l lch sh ch+ +( ) ,
w22 = – 2 2µ µ µ µµsin cosl l e llch +( ) –
–
4 5µ
ρ
µ µ µ µ µ µµJ
e l l l l l ll(sin cos ) sin – cos+ +( )sh ch ,
w23 = –
1
2 0
0
µ
µ µ µ µf s s l s l s l s l ds
l
( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )− − + − −( )∫ sh ch +
+
2 2
0
0
20
µ
ρ
µ µJ
f s s l s l ds g
l
( ) sin ( ) ( )− − −∫ sh ,
w31 = 2 02
0
µ ψ µ µ ψ γ µ µc x x x dx m l l
l
′′ + ′
−∫ ( )cos ( ) sinch sh +
+
γρ
µ
µ µ µ µµ µ
4
e l l e l ll l(cos sin ) (cos sin )− − +( )− ,
w32 = 4 0 2 03 2
0
µ ψ µ µ µ µ ψ ψµc c x x e x x dxx
l
( ) sin cos ( ) ( )− +( ) ′′ + ′
∫ ch +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
LOKALYZACYQ PREDEL|NOHO MNOÛESTVA TRAEKTORYJ URAVNENYQ … 179
+ γ µ µ µ γρ
µ
µ µ µ µµ µ µm e l l l e l l e l ll l lsin cos ( cos sin ) (cos sin )−( ) − − + − −( )−sh
4
3 4 ,
w33 = β
µ
µ µ µ µ ψ+ − − + − −( ) ′′∫ ∫c f s x s x s x s x s x dsdx
l x
2
0
0
0
( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( )sh ch +
+
k
c
f s x s x s x s x s dsdx
l x
2 42 3
0
0
0
µ
ρ γρ
µ
µ µ µ µ+ − − − − −( )∫ ∫ ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )sh ch +
+
γ
µ
µ µ µ µ α ρ
µ
m
f s s l s l s l s l ds
c
l
4 3
0
0 4∫ − − − − −( ) +
∗
( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( )ch sh ,
v1(˜ )ξ = –
0
1
l
f s s l s l ds∫ − −( , ˜ )cos ( ) ( )ξ µ µch +
+
µ
ρ
ξ µ µ µ µ ξm
f s s l s l s l s l ds g
l
0
1 11∫ − − − − −( ) +( , ˜ ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( ) (˜ )sh ch ,
v2(˜ )ξ = 1
2
0
1µ
ξ µ µ µ µ
l
f s s l s l s l s l ds∫ − − + − −( )( , ˜ ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )sh ch –
–
2 2
1
0
21
µ
ρ
ξ µ µ ξJ
f s s l s l ds g
l
( , ˜ ) sin ( ) ( ) (˜ )− − +∫ sh ,
v3(˜ )ξ = –
c f s x s x s x s x s x dsdx
l x
2
0
1
0
µ
ξ µ µ µ µ ψ∫ ∫ − − + − −( ) ′′( , ˜ ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( )sh ch +
+
γρ
µ
ξ µ µ µ µ
4 3
0
1
0
l x
f s x s x s x s x s dsdx∫ ∫ − − − − −( )( , ˜ ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( )ch sh +
+
γ
µ
ξ µ µ µ µm
f s s l s l s l s l ds
l
4 3
0
1∫ − − − − −( )( , ˜ ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )sh ch +
+
α φ ω
µ
ρ α ρω
µ
∗ ∗+ +
˜ ˜ ˜k
c c2 42 4 , (25)
α∗ = α γ ρ ψ ψ− +
∫ ( ) ( )x dx m l
l
0
> 0.
V pryvedenn¥x formulax parametr λ v¥raΩen çerez µ posredstvom sootno-
ßenyq (22); velyçyn¥ f s0( ), f s1( , ˜ )ξ , g10, g11(˜ )ξ , g20 , g21(˜ )ξ opredelen¥ v¥-
ße.
Pry zadann¥x konstantax c > 0, m > 0, J > 0, ρ > 0, γ y funkcyy
ψ ∈C l2 0[ , ] komponent¥ matryc¥ W zavysqt tol\ko ot parametra µ . Razlo-
Ωym opredelytel\ W po stepenqm µ
1
:
det ( )W =
2ρα µ µ
∗
+
c
o( ) (26)
1
Vspomohatel\n¥e v¥kladky b¥ly proveden¥ s pomow\g komp\gternoj prohramm¥ Maple.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
180 A. L. ZUEV
pry µ → 0. Ysxodq yz predstavlenyq (26), v¥berem takoe dostatoçno maloe
çyslo µ > 0, çtob¥ v¥polnqlos\ uslovye det ( )W ≠ 0. Dalee budem sçytat\,
çto çyslo λ > 0 fyksyrovano y sootvetstvuet v¥brannomu µ po formule
(22), krome toho, parametr u svqzan s ξ posredstvom lynejnoho funkcyonala
(5). Yz uslovyq det ( )W ≠ 0 sleduet, çto dlq lgboho ξ̃ ∈ X suwestvuet edyn-
stvenn¥j πlement ξ ∈D A( ), kotor¥j udovletvorqet uravnenyg (10) pry uslo-
vyy (5). ∏to oznaçaet, çto ξ = ( ˜ ) ˜A I− −λ ξ1 , t. e. suwestvuet rezol\venta
( ˜ ) :A I X X− →−λ 1
operatora à pry v¥brannom λ > 0. Zapyßem rezol\ventu
v pokomponentnom vyde:
( ˜ ) ˜A I− −λ ξ1 = R R R R R Rp q
T
η ζ φ ωξ ξ ξ ξ ξ ξ(˜ ), (˜ ), (˜ ), (˜ ), (˜ ), (˜ )( ) , (27)
hde lynejn¥e operator¥
R X H lη η η η: ( , ) : ( ) ( )→ ∈ = ′ ={ }2 0 0 0 0 ,
R X L lζ ζ: ( , )→ ∈{ }2 0
y funkcyonal¥
R Xφ φ: → ∈{ }R , R Xω ω: → ∈{ }R ,
R X pp : → ∈{ }R , R X qq : → ∈{ }R
zadagtsq formulamy (14), (15), (18), (21), (24).
Pry sdelann¥x predpoloΩenyqx dlq lgb¥x v1(˜ )ξ , v2(˜ )ξ , v3(˜ )ξ spraved-
lyva ocenka reßenyq C1 , C2 , u system¥ (24):
C C u1 2+ + ≤
M1 1 2 3v v v(˜ ) (˜ ) (˜ )ξ ξ ξ+ +( ) , (28)
hde poloΩytel\naq konstanta M1 opredelqetsq normoj matryc¥ W −1. Yz
formul (25) na osnovanyy neravenstv Koßy – Bunqkovskoho y Frydryxsa (1), (2)
sleduet, çto v j X: → R , j = 1, 2, 3, — lynejn¥e ohranyçenn¥e funkcyonal¥.
Poπtomu ocenka (28) obespeçyvaet ohranyçennost\ lynejnoho otobraΩenyq
ξ̃ � ( ), ,C C u1 2 , opredelennoho systemoj (24):
C C u1 2+ + ≤ M
X
2 ξ̃ ∀ ∈ξ̃ X (29)
s nekotoroj konstantoj M2 0≥ . Sledovatel\no, funkcyonal¥ Rφ ξ φ: ˜ → ,
Rω ξ ω: ˜ → , opredelenn¥e v (14), qvlqgtsq lynejn¥my ohranyçenn¥my funk-
cyonalamy yz X v R . Prymenqq neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho v (23), po-
luçaem ocenku
η( )
( , )
j
L l2 0
≤ 1
4 3 0 1
0
2
0
1 2
µ
ξf s u f s K x s ds dxj
xl
( ) ( , ˜ ) ( )( )
/
+( ) −
∫∫ +
+ C Cj
L l
j
L l1 1 0 2 2 02 2
η η( )
( , )
( )
( , )
+ ≤
≤
l
f u f C C
L
j
L
j
L4 3 0 1 1 1 2 2
2 2 2µ
ξ η η( ) ( , ˜ ) ( ) ( )⋅ + ⋅ + + .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
LOKALYZACYQ PREDEL|NOHO MNOÛESTVA TRAEKTORYJ URAVNENYQ … 181
Otsgda s pomow\g ocenky (29) sleduet suwestvovanye konstant¥ M3 0≥ :
η H l3 0( , ) = η( )
( , )
/
j
L l
j
2 0
2
0
3
1 2
=
∑
≤ M
X
3 ξ̃ . (30)
Po teoreme vloΩenyq (sm., naprymer, [15, c. 83]) prostranstvo H l3 0( , ) kom-
paktno vloΩeno v H l2 0( , ), t. e. lynejn¥j operator Rη ξ η: ˜ → , opredelen-
n¥j s pomow\g (21), (24), perevodyt ohranyçenn¥e podmnoΩestva X v predkom-
paktn¥e podmnoΩestva H l2 0( , ) vsledstvye ocenky (30).
Formul¥ (15) y (30) obespeçyvagt v¥polnenye ocenky
ζ H l2 0( , ) ≤ ˜
( , ) ( , )η λ η
H l H l2 2
0 0+ ≤ ˜ ˜
( , )
η λ ξ
H l X
M2 0 3+ ≤ M
X
4 ξ̃
s nekotoroj poloΩytel\noj konstantoj M4 . Sledovatel\no, lynejn¥j opera-
tor Rζ ξ ζ: ˜ → , dejstvugwyj yz X v L l2 0( , ) po formulam (15), (21), (24), qv-
lqetsq kompaktn¥m. Ocenym teper\ komponent¥ p y q vektora ξ v predstav-
lenyy (18) s uçetom hranyçn¥x uslovyj η( )0 = ′η ( )0 = ˜ ( )η 0 = ˜ ( )′η 0 = 0:
p ≤ ˜ ( ) ( )η λ ηl l+ = ˜ ( ) ( )′ + ′∫ ∫η λ ηx dx x dx
l l
0 0
≤
≤ 1
2 2 20 0 0L l L l L l( , ) ( , ) ( , )
˜ ′ + ′( )η λ η ,
q ≤ ˜ ( ) ( )′ + ′η λ ηl l ≤ 1
2 2 20 0 0L l L l L l( , ) ( , ) ( , )
˜ ′′ + ′′( )η λ η .
Pravaq çast\ kaΩdoho yz πtyx neravenstv ne prev¥ßaet M
X
5 ξ̃ pry nekoto-
roj konstante M5 0> vsledstvye ocenky (30) y neravenstva Frydryxsa vyda
(1), (2). Pryvedenn¥e ocenky dokaz¥vagt ohranyçennost\ lynejn¥x funkcyo-
nalov Rp y Rq . Ytak, pokazano, çto v oboznaçenyqx (27) Rη , Rζ — kompaktn¥e
operator¥, Rφ , Rω , Rp , Rq — ohranyçenn¥e funkcyonal¥, sledovatel\no, ope-
rator ( ˜ ) :A I X X− →−λ 1
kompakten.
Pry vvedenyy v prostranstve X πkvyvalentnoj norm¥ ⋅ V v¥polnen¥ sle-
dugwye svojstva (sm. [11]) : poluhruppa { }
˜
etA
t ≥0 qvlqetsq sΩymagwej; ope-
rator à dyssypatyven ( – à akkretyven). Krome toho, poskol\ku D A( ˜ ) = X,
˜ ( )A 0 = 0 y ( ˜ )A I− −λ 1
— kompaktn¥j operator pry vybrannom λ > 0, kaΩdaq
polutraektoryq { ( )}ξ t t ≥0 = { }
˜
( )etA
tξ 0 0≥ uravnenyq (3), (5) predkompaktna po
teoremeS3 yz [16].
Teorema dokazana.
Dlq poloΩytel\noj polutraektoryy { ( )}ξ t t ≥0 = { }
˜
etA
tξ0 0≥ oboznaçym çerez
Ω( )ξ0 ee ω -predel\noe mnoΩestvo. Kak otmeçeno v¥ße, znaçenyq V t( )( )ξ ≥
≥ 0 ne vozrastagt pry t ≥ 0 y
˙( )V ξ = 0 tol\ko pry ω = 0. Poπtomu yz doka-
zannoj teorem¥ y pryncypa ynvaryantnosty [12], [13] (lemmaS2) v¥tekaet takoe
sledstvye.
Sledstvye. Pust\ α y β — dostatoçno bol\ßye konstant¥, k > 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
182 A. L. ZUEV
Tohda dlq lgboj polutraektoryy { ( )}ξ t t ≥0 uravnenyq (3) s upravlenyem u =
= h ( ξ ) vyda (5) mnoΩestvo Ω( )ξ0 qvlqetsq kompaktn¥m ynvaryantn¥m ot-
nosytel\no poluhrupp¥ { }
˜
etA
t ≥0 podmnoΩestvom mnoΩestva
Sc = ξ ω ξ∈ = ={ }X V c: , ( )0
pry nekotoroj konstante c ≥ 0. Zdes\ funkcyonal V opredelen formu-
lojS(8).
4. Zaklgçenye. Dokazann¥j rezul\tat svodyt analyz predel\n¥x mno-
Ωestv traektoryj uravnenyq (3) s upravlenyem v vyde obratnoj svqzy (5) k ys-
sledovanyg ynvaryantn¥x podmnoΩestv Sc
. V çastnosty, predstavlqet dal\-
nejßyj ynteres proverka uslovyj typa Barbaßyna – Krasovskoho [13] (teore-
maS2) s cel\g poluçenyq dostatoçn¥x uslovyj syl\noj asymptotyçeskoj ustoj-
çyvosty yly çastyçnoj ustojçyvosty reßenyq ξ = 0.
1. Zhurovskyj M. Z., Mel\nyk V. S. Nelynejn¥j analyz y upravlenye beskoneçnomern¥my
systemamy. – Kyev: Nauk. dumka, 1999. – 631 s.
2. Korobov V. Y., Sklqr H. M. K voprosu o syl\noj stabylyzyruemosty sΩymagwyx system v
hyl\bertov¥x prostranstvax // Dyfferenc. uravnenyq. – 1984. – 20, # 11. – S.S1862 – 1969.
3. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. – San Diego, CA: Acad.
Press, 1992. – 476 p.
4. Curtain R. F., Zwart H. An introduction to infinite-dimensional linear systems theory. – New
York: Springer, 1995. – 698 p.
5. Luo Z.-H., Guo B.-Z., Morgul O. Stability and stabilization of infinite dimensional systems with
applications. – London: Springer, 1999. – 403 p.
6. Oostveen J. Strongly stabilizable distributed parameter systems. – Philadelphia: SIAM, 2000. –
150 p.
7. Íestakov A. A. Obobwenn¥j prqmoj metod Lqpunova dlq system s raspredelenn¥my
parametramy. – M.: Nauka, 1990. – 320 s.
8. Zuyev A. L. Partial asymptotic stabilization of nonlinear distributed parameter systems //
Automatica. – 2005. – 41, # 1. – P. 1 – 10.
9. Lagnese J. E., Leugering G. Controllability of thin elastic beams and plates // Control handbook /
Ed. W. S. Levine. – Boca Raton: CRC Press – IEEE Press, 1996. – P. 1139 – 1156.
10. Zuev A. L. Modelyrovanye prostranstvennoho upruhoho manypulqtora s teleskopyçeskym
dvyΩenyem zven\ev // Tr. Yn-ta prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥. – 2005. – 10. –
S. 51 – 58.
11. Zuyev A. L. Stabilization of the spatial oscillations of an elastic system model // Visn. Ky]v. un-tu.
Ser. fiz.-mat. nauky. – 2007. – # 3. – S. 33 – 38. (arXiv:0707.2209v1)
12. LaSalle J. P. Stability theory and invariance principles // Dynam. Syst. (Int. Symp. Dynam. Syst.,
Providence, 1974). – New York: Acad. Press, 1976. – Vol. 1. – P. 211 – 222.
13. Zuev A. L. Çastyçnaq asymptotyçeskaq ustojçyvost\ abstraktn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 5. – S.S629 – 637.
14. Zuev A. L. Ob otnosytel\noj kompaktnosty traektoryj dyfferencyal\n¥x uravnenyj v
banaxovom prostranstve // Dop. NAN Ukra]ny. – 2007. – # 2. – S.S7 – 12.
15. Funkcyonal\n¥j analyz / Pod red. S. H. Krejna. – 2-e yzd. – M.: Nauka, 1972. – 544Ss.
16. Dafermos C. M., Slemrod M. Asymptotic behavior of nonlinear contraction semigroups // J. Funct.
Anal. – 1973. – 13. – P. 97 – 106.
Poluçeno 19.07.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3147 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e6/ffd67b80c84aa47df0ed66981bd805e6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31472020-03-18T19:46:54Z Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control Локализация предельного множества траекторий уравнения Эйлера - Бернулли с управлением Zuev, A. L. Зуєв, А. Л. We investigate a differential equation in a Hilbert space that describes vibrations of the Euler-Bernoulli elastic beam with feedback control. The relative compactness of positive semitrajectories of the considered equation is proved. Constructing a Lyapunov functional in explicit form and using the invariance principle, we obtain representations of limit sets. Досліджується диференціальне рівняння у гільбертовому просторі, що описує коливання пружної балки Ейлера - Бернуллі з керуванням у вигляді зворотного зв'язку. Доведено відносну компактність додатних напівтраєкторій розглянутого рівняння. Отримано зображення граничних множин за допомогою побудови функціонала Ляпунова в явному вигляді та принципу інваріантності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3147 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 173–182 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 173–182 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3147/3042 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3147/3043 Copyright (c) 2008 Zuev A. L. |
| spellingShingle | Zuev, A. L. Зуєв, А. Л. Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control |
| title | Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control |
| title_alt | Локализация предельного множества траекторий уравнения Эйлера - Бернулли с управлением |
| title_full | Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control |
| title_fullStr | Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control |
| title_full_unstemmed | Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control |
| title_short | Localization of the limit set of trajectories of the Euler-Bernoulli equation with control |
| title_sort | localization of the limit set of trajectories of the euler-bernoulli equation with control |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3147 |
| work_keys_str_mv | AT zueval localizationofthelimitsetoftrajectoriesoftheeulerbernoulliequationwithcontrol AT zuêval localizationofthelimitsetoftrajectoriesoftheeulerbernoulliequationwithcontrol AT zueval lokalizaciâpredelʹnogomnožestvatraektorijuravneniâéjlerabernullisupravleniem AT zuêval lokalizaciâpredelʹnogomnožestvatraektorijuravneniâéjlerabernullisupravleniem |