Controllability in oscillation dynamical systems
We consider the problem of controllability in oscillation dynamical systems. A solution of the local control problem is obtained for one class of systems of differential equations. An example of application of the main results is given.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3148 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509188154720256 |
|---|---|
| author | Ilolov, M. Elnazarov, A. A. Илолов, М. Эльназаров, А. А. Илолов, М. Эльназаров, А. А. |
| author_facet | Ilolov, M. Elnazarov, A. A. Илолов, М. Эльназаров, А. А. Илолов, М. Эльназаров, А. А. |
| author_sort | Ilolov, M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | We consider the problem of controllability in oscillation dynamical systems. A solution of the local control problem is obtained for one class of systems of differential equations. An example of application of the main results is given. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.938
M. Ylolov, A. A. ∏l\nazarov (AN Respublyky TadΩykystan, Dußanbe)
UPRAVLQEMOST| V DYNAMYÇESKYX
KOLEBATEL|NÁX SYSTEMAX
We consider problems of controlability in oscillatory dynamical systems. The solution of local control
problem for a class of systems of differential equations is found. An example of application of main
results is presented.
Rozhlqdagt\sq pytannq kerovanosti v dynamiçnyx kolyval\nyx systemax. Znajdeno rozv’qzok
lokal\no] zadaçi upravlinnq dlq odnoho klasu system dyferencial\nyx rivnqn\. Navedeno
pryklad zastosuvannq osnovnyx rezul\tativ.
Vvedenye. Rassmotrym semejstvo system dyfferencyal\n¥x uravnenyj
dx
dt
= X ( x, ε ) , (0.1)
zavysqwyx ot parametra ε . Dopustym, çto pry znaçenyy ε = 0 avtonomnaq
systema
dx
dt
= X0 ( x ) (0.2)
ymeet ynvaryantnoe toroydal\noe mnohoobrazye vyda
x = f ( ϕ ) , (0.3)
hde f ( ϕ ) = ( f1 ( ϕ ) , … , fn ( ϕ )) — funkcyq peremennoj ϕ = ( ϕ1 , … , ϕm ) , ymeg-
waq neprer¥vn¥e çastn¥e proyzvodn¥e po vsem peremenn¥m ϕi do porqdka r
vklgçytel\no y peryodyçeskaq po kaΩdoj yz peremenn¥x ϕi , i = 1, m , s pery-
odom 2 π .
Probleme soxranenyq ynvaryantnoho toroydal\noho mnohoobrazyq semej-
stva system dyfferencyal\n¥x uravnenyj (0.1) posvqweno mnoho rabot.
V 50 – 60-x hodax proßloho stoletyq v pyonerskyx rabotax A.<N.<Kolmoho-
rova, V.<Y.<Arnol\da y G.<Mozera b¥ly ukazan¥ uslovyq soxranenyq ynvary-
antnoho tora dlq odnoho klassa system — hamyl\tonov¥x. Íyrokoe razvytye
dann¥x rezul\tatov pryvelo k sozdanyg znamenytoj KAM-teoryy [1 – 5].
V 70 – 90-x hodax A.<M.<Samojlenko, razvyvaq ydey N.<M.<Kr¥lova, N.<N.<Bo-
holgbova y G.<A.<Mytropol\skoho [6, 7], vvel „funkcyg Hryna – Samojlenko”,
kotoraq oboznaçaet qdro yntehral\noho operatora, svqzannoho s zadaçej ob
ynvaryantnom tore dynamyçeskoj system¥. S ee pomow\g stalo vozmoΩn¥m
yssledovanye uslovyj soxranenyq, ustojçyvosty, πksponencyal\noj dyxotomyy
y hladkosty ynvaryantn¥x torov razlyçn¥x system dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj [8 – 12]. Osnovnaq sut\ ukazann¥x v¥ße rabot zaklgçaetsq v tom, çto pry
lgb¥x dostatoçno mal¥x ε dyofantov¥j tor soxranqetsq. V to Ωe vremq pry
yssledovanyy mnohyx fyzyçeskyx system voznykagt sytuacyy, kohda neobxo-
dymo najty ocenku malosty parametra ε . Kak otmeçagt Y.<Bollt y DΩ.<Meyss
[13], „mera vozmuwenyq, pry kotoroj proysxodyt razrußenye tora, ob¥çno
çrezv¥çajno mala: namnoho men\ße mer¥ çyslennoho v¥çyslenyq dlq spe-
cyal\n¥x vozmuwenyj na specyal\n¥x torax”. Odnako, sleduet otmetyt\, çto
suwestvugt ocenky mer¥ vozmuwenyq ne tol\ko dlq hamyl\tonov¥x, no y dlq
bolee obwyx symplektyçeskyx preobrazovanyj, soxranqgwyx obæem, v kotor¥x
proysxodyt razrußenye ynvaryantn¥x KAM-torov [14, 15]. Naprymer, v rabote
[16] s pomow\g metoda renormalyzacyy hrupp dlq system¥ dyfferencyal\n¥x
uravnenyj s funkcyej Hamyl\tona
© M. YLOLOV, A. A. ∏L|NAZAROV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2 183
184 M. YLOLOV, A. A. ∏L|NAZAROV
H ( p, x, t ) =
1
2
2p x x t+ + −( )ε cos( ) cos( ) (0.4)
b¥lo v¥qsneno, çto pry ε ≥ 0,02759 ynvaryantn¥e KAM-tor¥ ne suwestvugt.
Fyzyçeskyj sm¥sl dannoho fakta oznaçaet, çto ustojçyvost\ system¥ narußa-
etsq y proysxodyt dyffuzyq v fazovom prostranstve. Dannoe qvlenye v¥ra-
Ωaet xaotyçeskoe povedenye dynamyçeskoj system¥. Yssledovanye y ydenty-
fykacyq xaosa v razlyçn¥x oblastqx nauky, estestvoznanyq y texnyky qvlq-
lys\ obæektom analyza uçen¥x, rabotagwyx na st¥ke dvux yly neskol\kyx na-
pravlenyj nauky [17, 18]. Naçynaq s 1990 h. vnymanye b¥lo smeweno v storonu
problem upravlenyq xaosom. Osnovnaq zadaça teoryy upravlenyq sostoqla v
tom, çtob¥ v¥qsnyt\ kakym obrazom moΩno umen\ßyt\ xaos yly, naoborot, uve-
lyçyt\ eho v zavysymosty ot cely zadaçy [19]. Snaçala yzuçaly vozmoΩnost\
preodolenyq „πffekta baboçky”, t. e. svojstva çuvstvytel\nosty povedenyq
system¥ v zavysymosty ot naçal\n¥x dann¥x y parametrov [19]. Dlq πtoho b¥ly
predloΩen¥ mnoΩestvo metodov, v bol\ßynstve yz kotor¥x upravlenye proys-
xodyt s pomow\g „nacelyvanyq” otdel\n¥x traektoryj. Naprymer, ydeq odno-
ho metoda, naz¥vaemoho metodom Ott – Hrebory – Jorke, zaklgçaetsq v tom, çto
posredstvom sootvetstvugweho vozmuwenyq dostupnoho parametra neustojçy-
vug peryodyçeskug orbytu dynamyçeskoj system¥ zastavlqgt sledovat\ Ωela-
emomu povedenyg, otlyçnomu ot xaotyçeskoho [20]. Odnako v sluçae, kohda ne-
obxodymo odnovremenno upravlqt\ ohromn¥m çyslom traektoryj, podobn¥e me-
tod¥ neπffektyvn¥. ∏to proysxodyt vo mnohyx fyzyçeskyx πksperymentax,
takyx kak mahnytnoe uderΩanye plazm¥ yly turbulentn¥e potoky [21]. Odyn
yz takyx πksperymentov podrobno opysan v rabote [22], hde πksperymental\naq
ustanovka naz¥vaetsq „truboj behuwej voln¥”. Dynamyka v πtoj ustanovke
predstavlqetsq hamyl\tonyanom
H ( p, x, t ) =
1
2
2
1 1 1 1 2 2 2 2p k x t k x t+ − +( ) + − +( )ε ω ϕ ε ω ϕcos cos , (0.5)
kotor¥j opys¥vaet vzaymodejstvye zarqΩennoj çastyc¥ edynyçnoj mass¥ s
momentom p y poloΩenyem x s dvumq πlektrostatyçeskymy volnamy. Zdes\
yspol\zovan¥ oboznaçenyq εi , ki
, ωi
, ϕi
, i = 1, 2, sootvetstvenno amplytud¥,
çysla voln¥, çastot¥ y faz¥ dlq dvux voln. Esly rassmatryvat\ vremq t kak
novug uhlovug peremennug, to hamyl\tonyan (0.5) s 1,5 stepeny svobod¥
otobraΩaetsq v hamyl\tonyan s 2 stepenqmy svobod¥. Tohda pry v¥polnenyy
uslovyj KAM-teorem¥ dlq dostatoçno mal¥x znaçenyj amplytud ynvaryant-
n¥j tor nevozmuwennoj system¥ soxranqetsq. Odnako pry perexode nekotoro-
ho poroha znaçenyj amplytud proysxodyt xaotyçeskaq dyffuzyq v dynamyke
πksperymental\noj ustanovky, kotorug yssledovaly v rabote [22]. Dlq toho
çtob¥ upravlqt\ dann¥m xaosom, k hamyl\tonyanu (0.5) neobxodymo dobavyt\
tak naz¥vaem¥j „upravlqgwyj çlen” u tak, çtob¥ u modyfycyrovannoho ha-
myl\tonyana suwestvoval ynvaryantn¥j tor. ∏tot tor budet sluΩyt\ v ka-
çestve bar\era dlq xaotyçeskyx traektoryj dynamyçeskoj system¥, vsledstvye
çeho umen\ßytsq dyffuzyq v systeme. Dann¥j metod b¥l nazvan lokal\n¥m
metodom upravlenyq [23] y takΩe prymenen v takyx fyzyçeskyx processax, kak
yonyzacyq mykrovolnov¥x polej [24] yly process synteza v mahnetyçeskyx us-
tanovkax [22].
Rassmotrym zadaçu lokal\noho upravlenyq dlq obwej system¥ dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj. Dlq πtoho predstavym vozmuwennug systemu (0.1) v vyde
dx
dt
= X x X x0 1( ) ( )+ ε , (0.6)
hde funkcyq X x1( ) udovletvorqet nekotor¥m opredelenn¥m uslovyqm, pry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
UPRAVLQEMOST| V DYNAMYÇESKYX KOLEBATEL|NÁX SYSTEMAX 185
kotor¥x ynvaryantnoe toroydal\noe mnohoobrazye (0.3) nevozmuwennoj syste-
m¥ (0.2) pry dostatoçno mal¥x ε soxranqetsq.
Ysxodq yz yzloΩennoho, budem rassmatryvat\ sledugwye predpoloΩenyq
otnosytel\no system¥ (0.6):
I. Suwestvuet nekotoroe krytyçeskoe znaçenye parametra ε = εc > 0, pry
kotorom ynvaryantn¥e tor¥ vozmuwennoj system¥ (0.6) razrußagtsq.
II. Dannoe krytyçeskoe znaçenye udovletvorqet neravenstvu εc << 1.
Zadaça sostoyt v naxoΩdenyy nekotor¥x neobxodym¥x uslovyj na „uprav-
lqgwyj vektor” u ( x, ε ) , tak çtob¥ systema
dx
dt
= X x X x u x0 1( ) ( ) ( , )+ +ε ε (0.7)
ymela ynvaryantnoe toroydal\noe mnohoobrazye
x = f ( ϕ, ε ) , (0.8)
hde ε ε ε δ∈ +( , )c c y δ — dostatoçno maloe poloΩytel\noe çyslo.
V dannoj rabote postavlennaq zadaça reßena dlq odnoho klassa system
dyfferencyal\n¥x uravnenyj, dlq kotoroho moΩno vvesty lokal\n¥e koordy-
nat¥ v okrestnosty ynvaryantnoho toroydal\noho mnohoobrazyq. Pry πtom ys-
pol\zuetsq metod funkcyy Hryna zadaçy ob ynvaryantnom tore, vperv¥e pred-
loΩenn¥j v rabote [8]. V pervom punkte pryveden¥ osnovn¥e oboznaçenyq y
fakt¥, kotor¥e neobxodym¥ dlq dal\nejßeho yzloΩenyq osnovn¥x rezul\ta-
tov. Zdes\ takΩe sformulyrovana yzloΩennaq v¥ße zadaça dlq bolee konk-
retn¥x system dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Vtoroj punkt soderΩyt osnov-
n¥e rezul\tat¥ stat\y. V tret\em punkte pryveden prymer prymenenyq osnov-
n¥x rezul\tatov dannoj rabot¥.
1.&&Predvarytel\n¥e zameçanyq, oboznaçenyq y rezul\tat¥. Rassmotrym
avtonomnug systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj
dx
dt
= X0 ( x ) (1.1)
v evklydovom prostranstve E n , hde funkcyq X0 ( x ) udovletvorqet uslovyqm
suwestvovanyq y edynstvennosty reßenyj system¥ dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj.
Pust\ dannaq systema uravnenyj ymeet ynvaryantnoe mnohoobrazye
M = ( , ) : ( ),x x f Tmϕ ϕ ϕ= ∈{ }, (1.2)
hde funkcyq f ( )ϕ prynadleΩyt C Tr
m( ) — prostranstvu 2 π -peryodyçeskyx
po ϕ i funkcyj hladkosty r. Systema uravnenyj (1.1), zadannaq na
mnohoobrazyy M, svodytsq k dynamyçeskoj systeme na Tm vyda
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) , a C Tr
m0( ) ( )ϕ ∈ . (1.3)
V monohrafyy [9] pryveden¥ uslovyq, pry kotor¥x okrestnost\ ynvaryantnoho
mnohoobrazyq M moΩno predstavyt\ v vyde proyzvedenyq T Km × δ , hde K δ
qvlqetsq ( )n m− -mern¥m kubom so storonoj h y vmesto evklydov¥x koordy-
nat x = ( x1 , x2 , … , xn ) vveden¥ koordynat¥ ϕ na Tm y h v Kδ .
K πtym uslovyqm otnosqtsq sledugwye:
1) funkcyq f ( ϕ ) udovletvorqet uslovyg
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
186 M. YLOLOV, A. A. ∏L|NAZAROV
rank
∂
∂
f ( )ϕ
ϕ
= m ∀ ϕ ∈ Tm ; (1.4)
2) matryca
∂
∂
f ( )ϕ
ϕ
dopolnqema do peryodyçeskoho bazysa v E n
y matryca
B C Tr
m( ) ( )ϕ ∈ +1
qvlqetsq dopolnqemoj matrycej, tak çto
det
( )
, ( )
∂
∂
f
B
ϕ
ϕ
ϕ ≠ 0, ϕ ∈ Tm . (1.5)
Uravnenye, svqz¥vagwee peremennug x s peremenn¥my ϕ y h, zadaetsq
ravenstvom
x = f B h( ) ( )ϕ ϕ+ . (1.6)
Pry πtom ymeet mesto sledugwaq lemma.
Lemma [10]. Dlq kaΩdoho dostatoçno maloho δ > 0 moΩno ukazat\ takoe
δ1 = δ1 ( δ ) > 0, δ1 ( δ ) → 0 pry δ → 0, çto lgbaq yz toçek x, udovletvo-
rqgwyx uslovyg
ρ ( x, M ) < δ ,
ymeet lokal\n¥e koordynat¥ ϕ y h takye, çto
h < δ1 , ϕ ∈ Tm .
V [10] utverΩdaetsq, çto yz asymptotyçeskoj ustojçyvosty, ustojçyvosty
yly neustojçyvosty ynvaryantnoho mnohoobrazyq M sledugt takye Ωe svojst-
va tora Tm .
V okrestnosty mnohoobrazyq M systema uravnenyj (1.1) prynymaet vyd
d
dt
ϕ
= a ( ϕ, h ) ,
(1.7)
dh
dt
= P ( ϕ, h ) .
Vozmuwenye system¥ (1.1) v okrestnosty M v obwem sluçae ymeet vyd
d
dt
ϕ
= a ( ϕ, h, ε ) ,
(1.8)
dh
dt
= P ( ϕ, h, ε ) h + z ( ϕ, ε ) .
V rabotax [9, 10] dokazano, çto dlq dostatoçno mal¥x ε ynvaryantn¥j tor
system¥ (1.8) soxranqetsq, v çastnosty ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema [9]. Pust\ funkcyy a , P y z ymegt neprer¥vn¥e po ϕ , h yz
oblasty
h ≤ d , ϕ ∈ Tm
çastn¥e proyzvodn¥e po ϕ , h do porqdka r vklgçytel\no. PredpoloΩym,
çto systema
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
UPRAVLQEMOST| V DYNAMYÇESKYX KOLEBATEL|NÁX SYSTEMAX 187
d
dt
ϕ
= a0( )ϕ ,
(1.9)
dh
dt
= P h0( )ϕ ,
hde a0 ( ϕ ) = a ( ϕ, 0, 0 ) , P0 ( ϕ ) = P ( ϕ, 0, 0 ) , ymeet hrubug funkcyg Hryna s
pokazatelem hladkosty r.
Tohda esly r ≥ 1, to moΩno ukazat\ dostatoçno maloe ε 0 takoe, çto
dlq lgboho ε ∈ [ 0, ε0 ] systema uravnenyj (1.8) ymeet ynvaryantn¥j tor
h = h ( ϕ, ε ) , ϕ ∈ Tm . (1.10)
S uçetom system¥ (1.1) systemu (1.8) predstavym v vyde
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) + ε a1 ( ϕ, h ) ,
(1.11)
dh
dt
= P P h h z0( ) ( , , ) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε+[ ] + .
Dopustym, çto v¥polnqgtsq predpoloΩenyq I y II otnosytel\no system¥
(1.11), t. e. pry nekotorom znaçenyy parametra ε systema (1.11) ne ymeet ynva-
ryantnoho tora.
Prybavym k pravoj çasty system¥ (1.11) vektor-funkcyg u = ( u1 , u2 ) ,
naz¥vaemug upravlqgwym vektorom. Tohda (1.11) prymet vyd
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) + ε a1 ( ϕ, h ) + u1 ( ϕ, h, ε ) ,
(1.12)
dh
dt
= P P h h z u h0 1 2( ) ( , , ) ( , ) ( , , )ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε+[ ] + + .
Perejdem k postanovke zadaçy.
Lokal\naq zadaça upravlenyq. Najty uslovyq na upravlqgwyj vektor
u = ( u1 , u2 ) , tak çtob¥ systema (1.12) ymela ynvaryantn¥j tor.
Vvedem vtorug koordynatu u2 ( ϕ, h, ε ) v vyde
u2 ( ϕ, h, ε ) = u21 ( ϕ, h, ε ) h + u22 ( ϕ, ε ) .
Tryvyal\n¥j sluçaj
u1 ( ϕ, h, ε ) = – ε a1 ( ϕ, h ) ,
u21 ( ϕ, h, ε ) = – P h1( , , )ϕ ε ,
u22 ( ϕ, ε ) = – z ( ϕ, ε )
ne predstavlqet ynteresa.
V sledugwem punkte m¥ rassmotrym dva sluçaq, kohda vozmoΩno postroe-
nye tora system¥ (1.12) pry nekotor¥x ohranyçenyqx na upravlqgwyj vektor
u ( ϕ, h, ε ) .
2.&&Postroenye ynvaryantnoho tora system¥ (1.12). 2.1. Rassmotrym
çastn¥j sluçaj system¥ (1.12):
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
188 M. YLOLOV, A. A. ∏L|NAZAROV
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) ,
(2.1)
dh
dt
= P P u h z0 1 210 0( ) ( , , ) ( , , ) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε+ +[ ] + .
Pust\ G qvlqetsq operatorom, zadann¥m na funkcyqx z C Tr
m∈ ( ) sledugwym
obrazom:
G z = G z d0( , ) ( ( ))τ ϕ ϕ ϕ ττ
−∞
+∞
∫ , (2.2)
hde G0( , )τ ϕ — funkcyq Hryna zadaçy ob ynvaryantnom tore. Dopustym, çto
systema
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) ,
(2.3)
dh
dt
= P P h z0 1 0( ) ( , , )) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε+[ ] +
udovletvorqet predpoloΩenyqm I y II. PredpoloΩym, çto ε ∈ ( εc , εc+ δ ) y δ
qvlqetsq dostatoçno mal¥m poloΩytel\n¥m çyslom.
Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema&2.1. Pust\ systema uravnenyj (2.1) udovletvorqet uslovyqm:
1) systema uravnenyj v varyacyqx (1.9) ymeet hrubug funkcyg Hryna
G0( , )τ ϕ ;
2) u C Tr
m21 0( , , ) ( )ϕ ε ∈ ;
3) funkcyq u21 = u21 0( , , )ϕ ε udovletvorqet uslovyg
G P u1 21+[ ] ≤ q < 1. (2.4)
Tohda systema (2.1) ymeet ynvaryantn¥j tor, udovletvorqgwyj neravenstvu
h r ≤ K z r , (2.5)
hde postoqnnaq K ne zavysyt ot z.
Dokazatel\stvo teorem¥<2.1 sleduet yz qvnoho predstavlenyq ynvaryantnoho
tora system¥ (2.1), qvlqgwehosq reßenyem operatornoho uravnenyq
h = G P u h z1 21+[ ] + . (2.6)
2.2. Rassmotrym systemu uravnenyj
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) ,
(2.7)
dh
dt
= P P h u h z u0 1 21 220( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε ϕ ε+ +[ ] + + .
Pust\ sootvetstvugwaq (2.7) systema bez upravlqgweho vektora
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
UPRAVLQEMOST| V DYNAMYÇESKYX KOLEBATEL|NÁX SYSTEMAX 189
(2.8)
dh
dt
= P P h h z0 1( ) ( , , )) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε+[ ] +
udovletvorqet predpoloΩenyqm I y II.
V¥berem funkcyg u22( , )ϕ ε sledugwym obrazom:
u22( , )ϕ ε =
− =
>
z c
c
( , ) ,
,
ϕ ε ε ε
ε ε
pry
pry0
(2.9)
hde εc — znaçenye parametra ε, pry kotorom systema (2.8) ne ymeet ynvaryant-
noho tora. Tohda pry ε = εc systema uravnenyj (2.7) ymeet tryvyal\n¥j ynva-
ryantn¥j tor
h0 = h0 ( ϕ ) ≡ 0 ∀ ϕ ∈ Tm . (2.10)
V¥berem funkcyg u21 = u21 0( , , )ϕ ε takym obrazom, çtob¥ v¥polnqlys\
uslovyq teorem¥<2.1. Vvedem oboznaçenye P10( , )ϕ ε = P1 0( , , )ϕ ε . Tohda systema
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) ,
(2.11)
dh
dt
= P P u h z u0 10 21 220( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε ϕ ε+ +[ ] + +
ymeet tryvyal\n¥j ynvaryantn¥j tor, kotor¥j moΩno predstavyt\ v vyde
h1 = G P u G z uk
k
10 21 22
0
+[ ]( ) +[ ]
=
∞
∑ . (2.12)
Pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥ <2.1 systema
d
dt
ϕ
= a0 ( ϕ ) ,
(2.13)
dh
dt
= P P u h z u0 11 21 22( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε ϕ ε+ +[ ] + + ,
hde P11( , )ϕ ε = P h1 1( , , )ϕ ε , takΩe ymeet ynvaryantn¥j tor. ProdolΩaq dan-
n¥j process, poluçaem posledovatel\nost\ ynvaryantn¥x torov, kotoraq sxo-
dytsq k neprer¥vnoj funkcyy h = h ( ϕ, ε ) . Tem sam¥m dokazana sledugwaq
teorema.
Teorema&2.2. Pust\ dlq system¥ uravnenyj (2.7) v¥polnqgtsq sledugwye
uslovyq:
1) systema uravnenyj v varyacyqx (1.11) ymeet hrubug funkcyg Hryna
G0 ( τ, ϕ ) ;
2) funkcyq u C Tr
m22 ∈ ( ) udovletvorqet sootnoßenyg (2.9);
3) u u C Tr
m21 21= ∈( , ) ( )ϕ ε ;
4) funkcyq u u21 21= ( , )ϕ ε udovletvorqet uslovyg
G P u1 21+[ ] ≤ q < 1 (2.14)
s funkcyej P1 = P g1( , ( ), )ϕ ϕ ε pry proyzvol\nom v¥bore funkcyy g ( ϕ )<∈
∈ C Tr
m( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
190 M. YLOLOV, A. A. ∏L|NAZAROV
Tohda systema (2.7) ymeet ynvaryantn¥j tor
h = h ( ϕ, ε ) , ϕ ∈ Tm , (2.15)
pry ε ε ε δ∈ +( , )c c .
3.&&Prymer. Rassmotrym systemu uravnenyj
d
dt
ϕ
= sin ϕ ,
(3.1)
dh
dt
= − +[ ] +1 2ε ϕ ϕsin sinh .
Funkcyq Hryna system¥ (3.1) pry ε = 0 ymeet vyd
G0 ( τ, ϕ ) =
e− >
≤
τ τ
τ
, ,
, .
esly
esly
0
0 0
(3.2)
Pry nekotorom znaçenyy parametra ε, men\ßem edynyc¥, prybavym ko vtoromu
uravnenyg system¥ (3.1) upravlqgwyj çlen, funkcyg u0 ( ϕ ) = ε ϕcos2 h , tak,
çto systema prymet vyd
d
dt
ϕ
= sin ϕ ,
(3.3)
dh
dt
= − +[ ] +1 ε ϕh sin .
Dlq system¥ (3.3) v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥<2.1, poπtomu ynvaryantn¥j
tor system¥ (3.3) s upravlenyem u0 ( ϕ ) moΩno predstavyt\ v vyde
h = h ( ϕ ) = ε ϕ ϕ ττ
τ
k
k
e d
=
∞
−
+∞
∑ ∫
0 0
sin ( ) , (3.4)
hde
sin ( )ϕ ϕτ =
2 2
2
0 0 1 2
2
e
e
k
k k
τ
τ
ϕ
ϕ
ϕ π
ϕ π
tg
+ tg2
(
(
/ )
/ )
,
, , , , .
pry
pry
≠
= = ± ± …
Posle πlementarn¥x preobrazovanyj poluçym sledugwee predstavlenye ynva-
ryantnoho tora (3.4):
h = h ( ϕ ) =
ε
ε
ϕ ϕ ϕ π
ϕ π
1
2 2
0
2
−
≠
=
tg( (/ ) / )lnsin ,
.
pry
pry
k
k
1. Kolmohorov A. N. O soxranenyy uslovno peryodyçeskyx dvyΩenyj pry malom yzmenenyy
funkcyy Hamyl\tona // Dokl. AN SSSR. – 1954. – 98, # 4. – S.<527 – 530.
2. Arnol\d V. Y. Mal¥e znamenately. Dokazatel\stvo teorem¥ A. N. Kolmohorova o
soxranenyy uslovno peryodyçeskyx dvyΩenyj pry malom yzmenenyy funkcyy Hamyl\tona //
Uspexy mat. nauk. – 1963. – 18, # 5. – S.<13 – 40.
3. Arnol\d V. Y. Mal¥e znamenately y problema ustojçyvosty dvyΩenyq v klassyçeskoj y
nebesnoj mexanyke // Tam Ωe. – # 6. – S.<91 – 192.
4. Mozer G. O razloΩenyy uslovno-peryodyçeskyx dvyΩenyj v sxodqwyesq stepenn¥e rqd¥
// Tam Ωe. – 1969. – 24, # 2. – S.<165 – 211.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
UPRAVLQEMOST| V DYNAMYÇESKYX KOLEBATEL|NÁX SYSTEMAX 191
5. Mozer G. Lekcyy o hamyl\tonov¥x systemax. – M.: Myr, 1973. – 164<s.
6. Kr¥lov N. M., Boholgbov N. N. Vvedenye v nelynejnug mexanyku. – Kyev: Yzd-vo AN USSR,
1937. – 363<s.
7. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M. Metod uskorennoj sxodymosty v
nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 246 s.
8. Samojlenko A. M. Funkcyq Hryna lynejnoho rasßyrenyq dynamyçeskoj system¥ na tore,
uslovyq ee edynstvennosty y svojstva, v¥tekagwye yz πtyx uslovyj // Ukr. mat. Ωurn. –
1980. – 32, # 6. – S.<791 – 797.
9. Samojlenko A. M. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. Ynvary-
antn¥e tor¥. – M.: Nauka, 1987. – 302<s.
10. Samojlenko A. M. Yssledovanye dynamyçeskoj system¥ v okrestnosty kvazyperyodyçeskoj
traektoryy. – Kyev, 1990. – 43<s. – Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky;<90.35).
11. Samojlenko A. M., Ylolov M. Ynvaryantn¥e tor¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj v banaxo-
vom prostranstve // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 44, # 1. – S.<93 – 100.
12. Ylolov M., ∏l\nazarov A. Ynvaryantn¥e tor¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
zapazd¥vanyem v banaxovom prostranstve // Dokl. AN Respublyky TadΩykystan. – 2006. –
49, # 2. – S.<101 – 105.
13. Bollt E., Meiss J. Break-up of invariant tori for the four-dimensional semi-standard map // Physica
D. – 1993. – P. 282 – 297.
14. Berretti A., Marmi S. Standard map as complex rotation numbers: creation of natural boundaries //
Phys. Rev. Lett. – 1992. – 68. – P. 1443 – 1446.
15. MacKay R. S., Meiss J. D., Stark J. Converse KAM theory for symplectic twist maps //
Nonlinearity. – 1989. – 2. – P. 555 – 570.
16. Chandre C., Jausin H. R. Renormalization-group analysis for the transition to chaos in
Hamiltonian systems // Phys. Rept. – 2002. – 365, Issue 1.
17. Stephen E. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. – Second edition. –
New York: Springer, 2003. – 808 p.
18. Ott E., Grebogi C., Yorke J. A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. – 1990. – 64.
19. Shinbrot T., Grebogi C., Ott E., Yorke J. A. Using small perturbations to control chaos // Nature. –
1993. – 363.
20. Gauthier D. J. Controlling chaos // Amer. J. Phys. – 2003. – 71.
21. Chandre C., Ciraolo G., Doveil F. et all. Chanelling chaos by building barriers // Phys. Rev. Lett.
– 2005. – 94.
22. Macor A., Doveil F., Chandre C. et all. Chanelling chaotic transport in a wave-particle experiment
// Arch. in http://arxive.org/physics/0608119 (2006).
23. Doveil F., Auhmani Kh., Macor A., Guyomarc’h D. Experimental observation of resonance overlap
responsible for Hamiltonian chaos // Phys. Plasmas. – 2005. – 12.
24. Huang S., Chandre C., User T. Reducing multiphoton ionization in a linearity polarized
microwave field by local control // Phys. Rev. A. – 2006. – 74.
25. Chandre C., Vittot M., Ciraolo G. et all. Control of stochasticity in magnetic field lines // Nucl.
Fusion. – 2006. – 46. – P. 33 – 45.
Poluçeno 15.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3148 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9b/a0a6488a056c409f9c1343e9a559159b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31482020-03-18T19:46:54Z Controllability in oscillation dynamical systems Управляемость в динамических колебательных системах Ilolov, M. Elnazarov, A. A. Илолов, М. Эльназаров, А. А. Илолов, М. Эльназаров, А. А. We consider the problem of controllability in oscillation dynamical systems. A solution of the local control problem is obtained for one class of systems of differential equations. An example of application of the main results is given. Досліджується диференціальне рівняння у гільбертовому просторі, що описує коливання пружної балки Ейлера - Бернуллі з керуванням у вигляді зворотного зв'язку. Доведено відносну компактність додатних напівтраєкторій розглянутого рівняння. Отримано зображення граничних множин за допомогою побудови функціонала Ляпунова в явному вигляді та принципу інваріантності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3148 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 183–191 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 183–191 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3148/3044 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3148/3045 Copyright (c) 2008 Ilolov M.; Elnazarov A. A. |
| spellingShingle | Ilolov, M. Elnazarov, A. A. Илолов, М. Эльназаров, А. А. Илолов, М. Эльназаров, А. А. Controllability in oscillation dynamical systems |
| title | Controllability in oscillation dynamical systems |
| title_alt | Управляемость в динамических колебательных системах |
| title_full | Controllability in oscillation dynamical systems |
| title_fullStr | Controllability in oscillation dynamical systems |
| title_full_unstemmed | Controllability in oscillation dynamical systems |
| title_short | Controllability in oscillation dynamical systems |
| title_sort | controllability in oscillation dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3148 |
| work_keys_str_mv | AT ilolovm controllabilityinoscillationdynamicalsystems AT elnazarovaa controllabilityinoscillationdynamicalsystems AT ilolovm controllabilityinoscillationdynamicalsystems AT élʹnazarovaa controllabilityinoscillationdynamicalsystems AT ilolovm controllabilityinoscillationdynamicalsystems AT élʹnazarovaa controllabilityinoscillationdynamicalsystems AT ilolovm upravlâemostʹvdinamičeskihkolebatelʹnyhsistemah AT elnazarovaa upravlâemostʹvdinamičeskihkolebatelʹnyhsistemah AT ilolovm upravlâemostʹvdinamičeskihkolebatelʹnyhsistemah AT élʹnazarovaa upravlâemostʹvdinamičeskihkolebatelʹnyhsistemah AT ilolovm upravlâemostʹvdinamičeskihkolebatelʹnyhsistemah AT élʹnazarovaa upravlâemostʹvdinamičeskihkolebatelʹnyhsistemah |