Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems
By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3149 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509189467537408 |
|---|---|
| author | Kmit, I. Ya. Ptashnik, B. I. Кміть, І. Я. Пташник, Б. Й. |
| author_facet | Kmit, I. Ya. Ptashnik, B. I. Кміть, І. Я. Пташник, Б. Й. |
| author_sort | Kmit, I. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems of integral operator
equations, we prove the existence and uniqueness of classical solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.95
I. Q. Kmit\, B. J. Ptaßnyk
(In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ
DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX SYSTEM *
By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed
problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some
multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems
of integral operator equations, we prove the existence and uniqueness of classical solutions.
Metodom xarakterystyk yssledovan¥ korrektn¥e postanovky lokal\n¥x (zadaça Koßy, sme-
ßann¥e zadaçy) y nelokal\n¥x (s nerazdelenn¥my y yntehral\n¥my uslovyqmy) zadaç dlq
nekotor¥x mnohomern¥x poçty lynejn¥x hyperbolyçeskyx system pervoho porqdka. Na osnova-
nyy svedenyq πtyx zadaç k systemam yntehro-operatorn¥x uravnenyj dokazan¥ teorem¥ suwest-
vovanyq y edynstvennosty klassyçeskyx reßenyj.
1. Vstup. Klasyçnyj metod xarakterystyk, poçatkovo rozroblenyj dlq dos-
lidΩennq zadaçi Koßi dlq linijnyx (majΩe linijnyx) odnovymirnyx hiperboliç-
nyx system perßoho porqdku (dyv., napryklad, [1]), vyqvyvsq potuΩnym zasobom
i dlq vyvçennq korektnosti mißanyx zadaç [2, 3]. Podal\ßi zastosuvannq cej
metod znajßov pry vyvçenni klasyçnyx i neklasyçnyx (z nerozdilenymy ta
intehral\nymy umovamy qk za prostorovog, tak i çasovog zminnymy) zadaç dlq
kvazilinijnyx hiperboliçnyx system na plowyni [4 – 9]. U danij roboti my
vykorystovu[mo metod xarakterystyk dlq korektno] postanovky krajovyx zadaç
dlq hiperboliçnyx system z tr\oma nezaleΩnymy zminnymy. Zaznaçymo, wo
pytannqm korektnosti zadaç u vypadku bahat\ox nezaleΩnyx zminnyx
prysvqçeno roboty [10 – 20], v qkyx vykorystano inßu metodyku doslidΩennq,
zokrema „enerhetyçnyj metod”, peretvorennq Laplasa ta Fur’[.
Pry sprobi pobuduvaty analoh klasyçnoho metodu xarakterystyk u bahatovy-
mirnomu vypadku vynykagt\ pevni trudnowi ta osoblyvosti. VaΩlyvog peredu-
movog zastosovnosti metodu xarakterystyk dlq odnovymirnyx majΩe linijnyx
( )n n× -hiperboliçnyx system [ toj fakt, wo vony dopuskagt\ diahonal\nu for-
mu zapysu [21], u qkij holovna çastyna predstavlq[ rivno n tak zvanyx xarakte-
rystyçnyx naprqmkiv (koΩne rivnqnnq vyznaça[ rivno odyn naprqmok, pryçomu
cej naprqmok pov'qzanyj lyße z odni[g nevidomog funkci[g systemy). Dlq m-
vymirnyx ( )n n× -hiperboliçnyx system diahonal\na forma zapysu [ moΩlyvog
lyße v duΩe çastkovyx vypadkax. Ce pov’qzano z tym, wo v zahal\nomu vypadku
(navit\ pry m = 2) my ma[mo n rivnqn\ z n nevidomymy funkciqmy i ci rivnqnnq
predstavlqgt\ n2
riznyx naprqmkiv. U svog çerhu ce zumovlg[ skladnist\ vy-
znaçennq vxidnyx i vyxidnyx xvyl\ hiperboliçno] systemy, wo [ neobxidnym dlq
postanovky krajovyx umov. Vidtak zvedennq krajovyx zadaç dlq bahatovymirnyx
hiperboliçnyx system do system intehral\nyx rivnqn\ [ netryvial\nym zavdan-
nqm.
Rezul\taty, otrymani v danij roboti, stosugt\sq klasu dvovymirnyx majΩe
linijnyx (ne obov’qzkovo symetryçnyx) hiperboliçnyx system, qki porodΩugt\
lyße n naprqmkiv, ale pry c\omu ne zvodqt\sq do vywezhadanoho diahonal\-
noho vyhlqdu. U poperednix doslidΩennqx u danomu naprqmku rozhlqdalysq
perevaΩno symetryçni abo linijni hiperboliçni systemy, pryçomu ci vlastyvos-
ti vykorystovuvalysq dlq dovedennq teorem pro korektnu postanovku mißanyx
zadaç. Naß analiz, xoça j oxoplg[ lyße deqkyj klas bahatovymirnyx hiperbo-
liçnyx system, da[ moΩlyvist\, podibno do odnovymirnoho vypadku, korektno
*
Çastkovo pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt
#A14.1 / 017).
© I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK, 2008
192 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 193
stavyty klasyçni krajovi zadaçi, vykorystovugçy intehral\nu formu zapysu os-
tannix. Ce, u svog çerhu, dozvolq[ doslidΩuvaty takoΩ nelokal\ni zadaçi z ne-
rozdilenymy (zokrema, periodyçnymy) ta intehral\nymy umovamy, a takoΩ zadaçi
z nelinijnymy umovamy.
2. Zadaça Koßi. Dlq systemy dyferencial\nyx rivnqn\
a u x t u y t uij jt i j x i j y
j
n
– ( , ) – ( , )λ λ1 2
1
( )
=
∑ = f x y t ui( , , , ) , i n≤ , (1)
rozhlqnemo zadaçu z poçatkovymy umovamy
u x yi( , , )0 = ϕi x y( , ), i n≤ , (2)
de aij — deqki dijsni konstanty, u = ( u1, … , un
) .
Nexaj s1, … , sn — deqka perestanovka çysel 1, … , n. Prypustymo, wo dlq
vsix x, y, t ∈ R vykonugt\sq nerivnosti
λ11( , )x t ≤ min ( , )
–2 1
1≤ ≤i n
i x tλ , max ( , )
–2 1
1
≤ ≤i n
i x tλ ≤ λn x t1( , ) , (3)
λs y t
12( , ) ≤ min ( , )
–2 1
2≤ ≤i n
si
y tλ , max ( , )
–2 1
2
≤ ≤i n
si
y tλ ≤ λs n
y t2( , ) . (4)
Nexaj matrycq A = aij i j
n{ } =, 1
[ nevyrodΩenog:
det A ≠ 0 ; (5)
pry c\omu systema (1) ne zvodyt\sq do diahonal\noho vyhlqdu, koly holovna
çastyna koΩnoho z rivnqn\ [ poxidnog lyße odni[] nevidomo] funkci] vzdovΩ
deqkoho naprqmku. Prypustymo takoΩ, wo vsi funkci] λij neperervni za oboma
arhumentamy, a za perßym arhumentom neperervno dyferencijovni ta zadovol\-
nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq. Vidomo [22], wo todi koΩna iz zadaç Koßi
d
d
ξ
τ
= – ( ),λ ξ τ τi1( ), ξ( )t x= , ( , )x t ∈R
2
,
d
d
σ
τ
= – ( ),λ σ τ τi2( ), σ( )t y= , ( , )y t ∈R
2
,
de i ∈ 1, ,…{ }n , ma[ [dynyj klasyçnyj rozv’qzok, qkyj moΩna prodovΩyty do
peretynu z prqmog τ ={ }0 . Ci rozv’qzky poznaçymo çerez ξ = ω τi x t1( ; , ) ta
σ = ω τi y t2( ; , ) vidpovidno. Takym çynom, dlq koΩnoho i ∈ 1, ,…{ }n koΩne z
rivnqn\ ξ = ω τi x t1( ; , ) ta σ = ω τi y t2( ; , ) vyznaça[ rivnqnnq poverxni ( u prosto-
ri R
3
zminnyx ξ, σ, τ ) , qka proxodyt\ çerez toçku ( , , )x y t ∈ R
3
i prodovΩu-
[t\sq do peretynu z plowynog τ ={ }0 .
Pov’qΩemo z koΩnog toçkog ( , , )x y t ∈ R
3
„xarakterystyçnyj konus” ta-
kym çynom: ( , , )x y t — verßyna konusa, a poverxni ξ = ω τ11( ; , )x t , ξ =
= ω τn x t1( ; , ), σ = ω τs y t
12( ; , ) ta σ = ω τs n
y t2( ; , ) utvorggt\ biçnu poverxng
konusa, qka v peretyni z plowynog τ ={ }0 vyznaça[ meΩu osnovy konusa.
Nexaj D — deqka obmeΩena oblast\ u plowyni τ ={ }0 . Poznaçymo çerez Ω �
� R
3
oblast\, qka sklada[t\sq z mnoΩyny toçok ( , , )x y t takyx, wo osnovy
xarakterystyçnyx konusiv iz verßynamy v cyx toçkax povnistg naleΩat\ D.
Oblast\ Ω nazyvagt\ oblastg vplyvu poçatkovyx danyx (2), zadanyx na D, a
oblast\ D — oblastg zaleΩnosti rozv’qzkiv systemy (1) v Ω. Oblasti Ω i D ,
na pidstavi prypuwen\ (3) i (4), oznaçeni korektno.
Oçevydno, wo dlq koΩnoho i ∈ 1, ,…{ }n liva çastyna i-ho rivnqnnq syste-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
194 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
myA(1) [ poxidnog vzdovΩ vidpovidnoho naprqmku, qkyj nazyva[t\sq xarakterys-
tyçnym i zada[t\sq xarakterystyçnog kryvog ξ = ω τi x t1( ; , ), σ = ω τi y t2( ; , ).
Nexaj funkci] ϕi ta fi dostatn\o hladki. Intehrugçy koΩne rivnqnnq syste-
my (1) uzdovΩ vidpovidnoho jomu xarakterystyçnoho naprqmku ta vraxovugçy
(5), otrymu[mo, wo zadaça (1), (2) [ ekvivalentnog do systemy intehral\nyx riv-
nqn\
u x y ti( , , ) = 1 0 0
1
1 2
1det
( ; , ), ( ; , )
A
A a x t y tji
ad
j
n
js s j j
s
n
= =
∑ ∑ ( )
ϕ ω ω +
+ f x t y t u dj j j
t
ω τ ω τ τ τ1 2
0
( ; , ), ( ; , ), ,( )
∫ , i n≤ , (6)
de Aji
ad
i j
n{ } =, 1
— pry[dnana matrycq do A.
Teorema 1. Nexaj vykonano umovy (3) – (5) ta prypuwennq wodo hladkosti
funkcij λij , funkci] fi neperervni za vsima arhumentamy, neperervno dyfe-
rencijovni po x, y, u ta zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq po u n∈R
rivnomirno po ( x, y, t ) ∈ M dlq koΩnoho kompaktu M ∈R
3
, a funkci] ϕi ne-
perervno dyferencijovni. Todi zadaça (1), (2) v oblasti R
3
ma[ [dynyj kla-
syçnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Pobudu[mo poslidovnist\ oblastej Ω j
+
ta Ω j
–
, j ≥ 1, ob’[d-
nannq qkyx vyçerpu[ ves\ prostir R
3
, de
Ω j
+ = ( , , ) ( ; – , ) ( ; , ), ( ; – , )x y t t j j x t j j t j jn s∈{ < <R
3
11 1 21
ω ω ω <
< y t j j t jsn
< < < }ω 2 0( ; , ), ,
Ω j
– = ( , , ) ( ; – , – ) ( ; , – ), ( ; – , – )x y t t j j x t j j t j jn sn
∈{ < <R
3
1 11 2ω ω ω <
< y t j j j ts< − < < }ω
1 2 0( ; , – ), .
Dovedennq teoremy dosyt\ provesty dlq oblastej Ω j
+
ta Ω j
–
pry dovil\nomu
fiksovanomu j ∈N . Zafiksu[mo dovil\ne j ∈N . Oçevydno, wo oblastg za-
leΩnosti rozv’qzkiv zadaçi v Ω j
+
[ oblast\ Ω j
+ ∩ t ={ }0 . Oskil\ky (6) [ syste-
mog intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry 2-ho rodu, to, vykorystovugçy pryncyp
styskugçyx vidobraΩen\ ta metod prodovΩennq (abo iteruvannq) po t lokal\-
noho rezul\tatu, otrymu[mo, wo isnu[ [dynyj neperervnyj rozv’qzok u sys-
temyA(6). Detal\niße, nexaj L — spil\na konstanta v umovax Lipßycq dlq vsix
funkcij fi po u n∈R , de ( , , )x y t ∈ Ω j
+
. Poznaçymo Ω( )θ = Ω j
+ ∩ t <{ }θ . Na
perßomu kroci dovedemo isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku v Ω( )t0 dlq
deqkoho t0 0> . Dlq c\oho vykorysta[mo pryncyp styskugçyx vidobraΩen\.
Zastosu[mo operator P, wo zada[t\sq pravymy çastynamy (6), do neperervnyx
vektor-funkcij u1
i u2
i rozhlqnemo ]xng riznycg v Ω( )t0 . Oçevydnog [ ocin-
ka
max –
( )Ω t
Pu Pu
0
1 2 ≤ t Q u u
t
0
1 2
0
max –
( )Ω
, (7)
de
Q = Ln A A
i j
ij
admax det
,
−1
, (8)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 195
a çerez ⋅ poznaçeno evklidovu normu v prostori R
n
. Vyberemo t0 = ( )2 1Q −
,
pry c\omu v (7) konstanta t0Q = 1 2 . Todi v Ω( )t0 isnu[ [dynyj neperervnyj
rozv’qzok systemy (6). Oskil\ky konstanta L (a vidtak, i konstanta t0) zale-
Ωyt\ vid usi[] oblasti Ω j
+
, to, iterugçy otrymanyj lokal\nyj rezul\tat v ob-
lastqx Ω Ω( ) ( )it j0 ∩( ) \ Ω ( )i t−( )1 0 , de 2 ≤ i ≤ j t0 , za wonajbil\ße j t0
krokiv dovodymo isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku u systemy (6). Cej
rozv’qzok moΩna znajty metodom poslidovnyx nablyΩen\.
Wob dovesty, wo rozv’qzok u [ neperervno dyferencijovnym po x (analo-
hiçno po y), zdyferencig[mo (1) i (2) formal\no za zminnog x i vraxu[mo, woAAu
[ vidomog neperervnog vektor-funkci[g. Otrymana zadaça ekvivalentna takij
systemi intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry 2-ho rodu vidnosno funkcij
∂x iu x y t( , , ) :
∂x iu x y t( , , ) = 1
1 1det
( , , )
A
A a R u x y tji
ad
j
n
js j s
s
n
= =
∑ ∑ ′( )
+
+
∇ ⋅ +∫
0
t
u j jf u u f u( , , , ) ( , , ) ( , , , )ξ σ τ ∂ ξ σ τ ∂ ξ σ τξ ξ +
+ a u djs j
s
n
s
x t y tj j
∂ λ ξ τ ∂ ξ σ τ τξ ξ
ξ ω τ σ ω τ
1
1
1 2
( , ) ( , , )
( ; , ), ( ; , )= = =
∑
, i n≤ , (9)
de
′( )R u x y tj s ( , , ) = ∂ ϕ ξ ωξ ξ ωs j x t
y t
j
, ( ; , )
( ; , )2 0
0
1
( ) =
,
a çerez ” ”⋅ poznaçeno skalqrnyj dobutok u prostori R
n
. Isnuvannq, [dynist\
ta neperervnist\ rozv’qzku systemy (9) dovodymo analohiçno do dovedennq po-
dibnoho rezul\tatu dlq systemy (6). Tak samo dovodymo neperervnu dyferen-
cijovnist\ rozv’qzku u za zminnog y. Todi neperervnist\ funkcij ∂t iu x y t( , , )
vyplyva[ z systemy (1) ta umovy (5). Ce dovodyt\ teoremu dlq oblasti Ω j
+
. Do-
vedennq dlq koΩno] okremo] oblasti Ω j
–
provodyt\sq analohiçno. Oskil\ky j
— dovil\ne natural\ne çyslo, to dovedennq teoremy zaverßeno.
3. Mißani zadaçi z lokal\nymy krajovymy umovamy. Mißani zadaçi z lo-
kal\nymy krajovymy umovamy, na protyvahu do zadaçi Koßi, magt\ tu specyfi-
ku, wo vony porodΩugt\ taki xvyli, qki isnugt\ lyße skinçennyj promiΩok ça-
su, wo obmeΩenyj zverxu momentom çasu vyxodu cyx xvyl\ na meΩu oblasti.
OtΩe, mißani zadaçi vyznaçagt\ qk xvyli, wo vxodqt\ v oblast\, tak i xvyli, wo
vyxodqt\ z ne]. U bahatovymirnomu vypadku heometriq cyx xvyl\ [ dosyt\ sklad-
nog. My sperßu vyvça[mo vypadok, koly oblast\ [ ßarom, pislq çoho rozhlq-
da[mo texniçno vaΩçyj vypadok oktantu, osoblyvistg qkoho [ poqva obmeΩug-
çoho oblast\ biçnoho rebra.
Çerez R+ budemo poznaçaty mnoΩynu dijsnyx nevid’[mnyx çysel.
3.1. Zadaça v ßari. Rozhlqnemo mißanu zadaçu dlq systemy (1) v oblasti
Π = ( , , )x y t x∈ <{ <R
3 0 1, – ,∞ < }< ∞ < < ∞y t0 . Nexaj dlq deqkoho k ∈ {1, …
… , n }
λ λ λ11 21 1, , ,… k < 0 ; λ λ λk k n+ + …1 1 2 1 1, ,, , , > 0, ( , ) ,x t ∈[ ]0 1 × R+ . (10)
Prypustymo, wo matrycq A ma[ diahonal\no-bloçnu strukturu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
196 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
A =
A
A
1
2
0
0
, (11)
de A1 i A2 — ( )k k× - ta ( – )n k × ( – )n k -matryci vidpovidno, a çerez 0 pozna-
çeno nul\ovi matryci vidpovidnyx rozmiriv. Zaznaçymo, wo bud\-qka matrycq A
Ωordanovoho vyhlqdu ma[ strukturu (11).
Dlq systemy (1) rozhlqnemo zadaçu z poçatkovymy umovamy (2) ta krajovymy
umovamy
ui x = 0 = µi y t( , ), i k≤ ,
(12)
ui x =1 = µi y t( , ), k i n+ ≤ ≤1 ,
de ( , )y t ∈ R × R+ . Nexaj vsi funkci] λij neperervni za oboma arhumentamy ta
neperervno dyferencijovni za perßym arhumentom, a funkci] λi y t2( , ) , krim to-
ho, zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq po y ∈R rivnomirno po t ∈ 0, T[ ] dlq koΩ-
noho T > 0. Todi çerez toçku ( , , )x y t ∈ Π proxodyt\ n xarakterystyk syste-
myA(1), koΩnu z qkyx moΩna prodovΩyty u naprqmku spadannq çasovo] zminno]
do peretynu z ∂Π .
Poznaçymo çerez t x ti( , ) najmenße znaçennq τ, pry qkomu poverxnq ξ =
= ω τi x t1( ; , ) peretyna[ meΩu oblasti Π; Πµi , Πϕi — mnoΩyny toçok ( , , )x y t ∈
∈ Π , dlq qkyx t x ti( , ) > 0, t x ti( , ) = 0 vidpovidno; I1 = 1, ,…{ }k , I2 =
= k n+ …{ }1, , . Todi zadaça (1), (2), (12) pry dostatn\o hladkyx vyxidnyx danyx [
ekvivalentnog do systemy intehral\nyx rivnqn\
u x y ti( , , ) = 1
det
( , , )
A
A a R u x y t
m
ji
m ad
js
s Ij I
j s
mm
( )
( )
∈∈
∑∑ +
+ f x t y t u di
t x t
t
j j
j ( , )
( ; , ), ( ; , ), ,∫ ( )
ω τ ω τ τ τ1 2 , i Im∈ , (13)
de Aij
m ad
i j Im
( ){ } ∈,
— pry[dnana matrycq do Am, m = 1, 2,
R u x y ti j( )( , , ) =
µ ω
ϕ ω ω
µ
ϕ
j i i i i
j i i i
t x t y t t x t x y t
x t y t x y t
2
1 20 0
( , ); , , ( , ) ( , , )
( ; , ), ( ; , ) ( , , ) .
,( )( ) ∈
( ) ∈
Π
Π
Taka forma zapysu vyxidno] zadaçi [ moΩlyvog zavdqky tomu, wo umovy (2) i
(12) iz uraxuvannqm (11) vyznaçagt\ lyße vxidni xvyli i ne vplyvagt\ na pove-
dinku vyxidnyx xvyl\. Inßymy slovamy, qkwo systema (1) mistyt\ poxidnu fun-
kci] uj za i-m xarakterystyçnym naprqmkom, a kryva, wo zada[ cej naprqmok,
peretyna[ ∂Π u dvox toçkax, to znaçennq nevidomo] funkci] uj zada[t\sq ly-
ße v odnij iz cyx toçok, a same v tij, wo vidpovida[ menßomu çasovi.
Dlq vstanovlennq klasyçno] rozv’qznosti zadaçi (1), (2), (12) neobxidnym [
vykonannq umov pohodΩennq nul\ovoho ta perßoho porqdkiv miΩ (2) i (12):
µi y( , )0 = ϕi y( , )0 , i k≤ ,
(14)
µi y( , )0 = ϕi y( , )1 , k + 1 ≤ i ≤ n,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 197
ta
∂ ϕy i y( , )0 = ∂ µy i y( , )0 , i k≤ ,
∂ ϕy i y( , )1 = ∂ µy i y( , )0 , k + 1 ≤ i ≤ n, (15)
a y y y yij t j i x j i y j
j
k
∂ µ λ ∂ ϕ λ ∂ ϕ( , ) – ( ) ( , ) – ( ) ( , ), ,0 0 0 0 0 01 2
1
( )
=
∑ =
= f y yi 0 0 0, , , ( , )ϕ( ), i k≤ ,
a y y y yij t j i x j i y j
j k
k
∂ ν λ ∂ ϕ λ ∂ ϕ( , ) – ( ) ( , ) – ( ) ( , ), ,0 1 0 1 0 11 2
1
( )
= +
∑ =
= f y yi 1 0 1, , , ( , )ϕ( ), k + 1 ≤ i ≤ n,
de ϕ = ( , , )ϕ ϕ1 … n .
Teorema 2. Nexaj vykonano umovy (4), (5), (10), (11), (14), (15) ta prypuwen-
nq wodo hladkosti funkcij λij , funkci] fi neperervni za vsima arhumentamy,
neperervno dyferencijovni po x, y, u ta zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lip-
ßycq po u n∈R rivnomirno po ( , , )x y t ∈ M dlq koΩnoho kompaktu M ∈Π ,
a funkci] ϕi ta µi neperervno dyferencijovni. Todi zadaça (1), (2), (12) v
oblasti Π ma[ [dynyj klasyçnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Dovedennq isnuvannq ta [dynosti neperervnoho rozv’qzku pro-
vedemo za takog sxemog. Budu[mo poslidovnist\ obmeΩenyx oblastej Π j � Π,
j ≥ 1, qka povnistg vyçerpu[ Π, de
Π j = ( , , ) ( ; – , ) ( ; , ),x y t t j j y t j j t js sn
∈ < < < <{ }Π ω ω
12 2 0 . (16)
Z umov na funkci] λi2 vyplyva[, wo oblastg zaleΩnosti rozv’qzkiv zadaçi (1),
(2), (12) v Π j [ ∂Π ∩ Π j . Teoremu dosyt\ dovesty dlq koΩno] okremo] oblasti
Π j . Pry c\omu dovedennq isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku provo-
dyt\sq za sxemog, vykorystanog v dovedenni teoremyA1.
Dovedemo teper, wo rozv’qzok u neperervno dyferencijovnyj po x. Pozna-
çymo
S yrp( , )τ = ∂ µ τ λ τ ∂ µ ττ p r y py y y( , ) – ( , ) ( , )2 .
Todi na pidstavi (1), (2), (12) ta rivnostej, otrymanyx z (1), (2), (12) dyferencig-
vannqm, dlq znaxodΩennq funkcij ∂x iu x y t( , , ) , i n≤ , otrymu[mo systemu inte-
hral\nyx rivnqn\ vyhlqdu (9), de
′( )R u x y tj s ( , , ) = 1
0 011 1λ τ λ τ( , ) ( , )… k
×
× 1 0
1
1
11det
( , , , ) – ( , )
( , )
A
A f y u a S yrs
ad
r rp rp
p
k
r
k
t x tj
( )
== =
∑∑ τ τ
τ
,
qkwo t x tj ( , ) > 0, j k≤ ,
′( )R u x y tj s ( , , ) = 1
1 111 1λ τ λ τk n+ …, ( , ) ( , )
×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
198 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
× 1 1
2
2
11det
( , , , ) – ( , )
( , )
A
A f y u a S yrs
ad
r rp rp
p k
n
r k
k
t x tj
( )
= += + =
∑∑ τ τ
τ
,
qkwo t x tj ( , ) > 0, k + 1 ≤ j ≤ n, ta
′( )R u x y tj s ( , , ) = ∂ ϕ ξ ωξ ξ ωs j x t
y t
j
, ( ; , )
( ; , )2 0
0
1
( ) =
,
qkwo t x tj ( , ) = 0, j n≤ . Dali dovedennq provodyt\sq u koΩnij okremij oblasti
Π j . VvaΩagçy u vidomog neperervnog funkci[g, zastosu[mo do otrymano]
systemy intehral\nyx rivnqn\ pryncyp styskugçyx vidobraΩen\ ta metod pro-
dovΩennq po t. V rezul\tati otryma[mo neperervnu dyferencijovnist\ po x
rozv’qzku u. Podibno dovodyt\sq neperervna dyferencijovnist\ po y. Nepe-
rervna dyferencijovnist\ u po t pislq c\oho vyplyva[ z (1).
Teoremu dovedeno.
3.2. Zadaça v oktanti. Rozhlqnemo teper mißanu zadaçu dlq systemy (1) v
oblasti K = ( , , )x y t x∈ < < ∞{ R
3 0 , 0 < < ∞y , 0 < < ∞}t . Nexaj funkci] λi1
zadovol\nqgt\ umovy (10) dlq vsix ( , )x t ∈ +R
2
i dlq deqko] perestanovky s1, …
… , sn çysel 1, … , n ta dlq deqkoho l ∈ 1, ,…{ }n vykonugt\sq nerivnosti
λ λ λs s sl1 22 2 2, , ,… < 0, λ λ λs s sl l n+ +
…
1 22 2 2, , , > 0, ( , )y t ∈ +R
2
. (17)
Budemo vymahaty takoΩ, wob
max ( , ) ( , )
–k i n
i nx t x t
+ ≤ ≤
≤
1 1
1 1λ λ , ( , )x t ∈ +R
2
,
(18)
max ( , ) ( , )
–l i n
s si n
y t y t
+ ≤ ≤
≤
1 1
2 2λ λ , ( , )y t ∈ +R
2 .
Poznaçymo I1 = 1, ,…{ }k ∩ s sl1, ,…{ } , I2 = 1, ,…{ }k \ I1, I3 = k n+ …{ }1, , ∩
∩ s sl1, ,…{ } , I4 = k n+ …{ }1, , \ I3. Prypustymo, wo A ma[ diahonal\no-bloç-
nyj vyhlqd
A =
A
A
A
A
1
2
3
4
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, (19)
de A1 = aij i j I{ } ∈, 1
, A2 = aij i j I{ } ∈, 2
, A3 = aij i j I{ } ∈, 3
, A4 = aij i j I{ } ∈, 4
. Dlq syste-
myA(1) rozhlqnemo zadaçu z poçatkovymy umovamy (2) ta krajovymy umovamy
ui x = 0 = µi y t( , ), i k≤ ,
(20)
ui y = 0 = νi x t( , ), i s sl∈ …{ }1, , .
Zaznaçymo, wo nerivnosti (18) dagt\ moΩlyvist\ korektno vyznaçyty oblast\
vplyvu ta oblast\ zaleΩnosti, wo sutt[vo vykorystovu[t\sq pry dovedenni isnu-
vannq klasyçnoho rozv’qzku zadaçi (1), (2), (20).
Nexaj usi funkci] λij neperervni za oboma arhumentamy, krim toho,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 199
λk +11, , … , λn1 zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq za zminnog x ∈ +R , a λs l +12, …
… , λsn 2 — za zminnog y ∈ +R . Poznaçymo çerez t x y ti( , , ) najmenße znaçennq
τ, pry qkomu kryva ξ = ω τi x t1( ; , ), σ = ω τi y t2( ; , ) peretyna[ meΩu oblasti K;
K iϕ , K iµ ta K iν — mnoΩyny toçok ( , , )x y t ∈ K , dlq qkyx t x y ti( , , ) = 0,
ωi it x y t x t1 ( , , ); ,( ) = 0 ta ωi it x y t y t2 ( , , ); ,( ) = 0 vidpovidno. Todi za dostatn\o
hladkyx vyxidnyx danyx zadaça (1), (2), (20) zvodyt\sq do systemy intehral\nyx
rivnqn\ vyhlqdu (13), de 1 ≤ m ≤ 4,
R u x y ti j( )( , , ) =
µ ω
ν ω
ϕ ω ω
µ
ν
j i i i i
j i i i i
j i i
t x y t y t t x y t x y t K
t x y t y t t x y t x y t K
x t y t x y
2
1
1 20 0
( )
( )
( ) ∈
( ) ∈
( )
( , , ); , , ( , , ) , ( , , ) ,
( , , ); , , ( , , ) , ( , , ) ,
( ; , ), ( ; , ) , ( , ,, ) .t K i∈
ϕ
(21)
Oznaçennq 1. Neperervnym rozv’qzkom zadaçi (1), (2), (20) budemo nazyvaty
neperervnyj rozv’qzok systemy (13), de R u x y ti j( )( , , ) vyznaçagt\sq formula-
my (21).
Dlq isnuvannq neperervnoho rozv’qzku zadaçi (1), (2), (20) neobxidnym [ vyko-
nannq umov pohodΩennq nul\ovoho porqdku
µi t( , )0 = νi t( , )0 , i I∈ 1,
µi y( , )0 = ϕi y( , )0 , i k≤ , (22)
νi y( , )0 = ϕi x( , )0 , i s sl∈ …{ }1, , .
Dlq vstanovlennq klasyçno] rozv’qznosti zadaçi neobxidnym [ vykonannq umov
pohodΩennq 1-ho porqdku, qki (u vypadku isnuvannq neperervnoho rozv’qzku za-
daçi (1), (2), (20)) magt\ vyhlqd
∂ ϕy i y( , )0 = ∂ µy i y( , )0 , i k≤ ,
∂ ϕx i x( , )0 = ∂ νx i x( , )0 , i s sl∈ …{ }1, , ,
(23)
a y y y yij t j i x j i y j
j
k
∂ µ λ ∂ ϕ λ ∂ ϕ( , ) – ( , ) ( , ) – ( , ) ( , )0 0 0 0 0 01 2
1
( )
=
∑ =
= f y yi 0 0 0, , , ( , )ϕ( ), i k≤ ,
a t t t t tij t j i x j i y j
j I
n
∂ ν λ ∂ ν λ ∂ µ( , ) – ( , ) ( , ) – ( , ) ( , )0 0 0 0 01 2
1
( )
∈
∑ =
= f t u ti 0 0 0 0, , , ( , , )( ), i I∈ 1.
Spravedlyvymy [ nastupni tverdΩennq.
Teorema 3. Nexaj vykonano umovy (10), (17) – (19), (22) ta prypuwennq wodo
hladkosti funkcij λij , funkci] fi neperervni za vsima arhumentamy ta zado-
vol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq po u n∈R rivnomirno po ( , , )x y t ∈ M
dlq koΩnoho kompaktu M K∈ , a funkci] ϕi , µi ta νi neperervni za vsima
arhumentamy. Todi zadaça (1), (2), (20) v oblasti K ma[ [dynyj neperervnyj
rozv’qzok.
Teorema 4. Nexaj vykonano umovy teoremyA3 i spravdΩugt\sq spivvidno-
ßennq (23) dlq vsix x , y , t ∈ R+ . Krim c\oho, nexaj funkci] fi neperervno
dyferencijovni za arhumentamy x, y, u, a funkci] ϕi ta µi neperervno dy-
ferencijovni. Todi zadaça (1), (2), (20) v oblasti K ma[ [dynyj klasyçnyj
rozv’qzok.
Dovedennq teoremA3 i 4 dosyt\ provesty poslidovno u koΩnij iz oblastej
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
200 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
K j � K, j ≥ 1, de
K j = ( , , ) ( ; , ), ( ; , ), ,x y t K x t j j y t j j t j K Kn s j
j
n
∈ < < < < < <{ } =
=
∞
0 0 01 2
1
ω ω ∪ .
Oskil\ky K j ∩ ∂K [ oblastg zaleΩnosti rozv’qzkiv zadaçi (1), (2), (20) v K j ,
to dlq dovedennq moΩna skorystatysq tymy Ω mirkuvannqmy, wo j pry dove-
denni teoremA1 i 2.
ZauvaΩennq 1. V usix rozhlqnutyx zadaçax, analohiçno do odnovymirnoho
vypadku, kil\kist\ krajovyx umov, qki zadagt\sq na meΩi oblasti, vyznaça[t\sq
kil\kistg xarakterystyk systemyA(1), qki vyxodqt\ na cg meΩu. Prote vidmin-
nist\ vid odnovymirnoho vypadku polqha[ v tomu, wo koΩnij xarakterystyci, qk
pravylo, vidpovida[ bil\ße, niΩ odna nevidoma funkciq. Inßymy slovamy, u ba-
hatovymirnomu vypadku diahonalizaciq systemy stosovno xarakterystyçnyx na-
prqmkiv [ nemoΩlyvog. Cej fakt zumovlg[ osnovnu trudnist\ pry zadanni kla-
syçnyx krajovyx umov: usi xvyli, qki vyznaçagt\sq systemogA(1), ne povynni za-
znavaty vplyvu krajovyx umov na vyxodi, a lyße na vxodi. Dlq podolannq cyx
trudnowiv my zaproponuvaly deqkyj analoh diahonalizaci] v odnomirnomu vypad-
ku, a same „bloçnu diahonalizacig” systemyA(1), qka polqha[ u vybori diahonal\-
no-bloçnoho vyhlqdu matryci A. Ce oznaça[, wo u holovnij çastyni systemy dy-
ferencial\nyx rivnqn\ (1) zv’qzanymy miΩ sobog [ lyße funkci] ui , zaindekso-
vani tymy i, dlq qkyx koefici[nty aii naleΩat\ do odnoho j toho Ω nenul\o-
voho bloku matryci A.
4. Mißana zadaça z nelokal\nymy krajovymy umovamy. Metodyka ko-
rektno] postanovky mißanyx zadaç dlq systemyA(1) dozvolq[ doslidΩuvaty ta-
koΩ deqki neklasyçni zadaçi, zokrema, z nelokal\nymy umovamy, a takoΩ zadaçi
z nelinijnymy umovamy. Dlq prykladu v oblasti Π rozhlqnemo systemuA(1) z
poçatkovymy umovamy (2) ta nelokal\nymy krajovymy umovamy
b y t uij j x
j
n
( , ) =
=
∑ 0
1
+ c y t uij j x
j
n
( , ) =
=
∑ 1
1
+ h x y t u dxij j
j
n
( , , )
0
1
1
∫∑
=
= H y ti( , ), i n≤ .
(24)
Poznaçymo
B y t( , ) =
b b c c
b b c c
b b c c
k k n
k k n
n nk n k nn
11 1 1 1 1
21 2 2 1 2
1 1
… …
… …
� � � � � �
… …
,
,
,
+
+
+
.
Prypustymo, wo
det ( , )B y t ≠ 0 , ( , )y t ∈ × +R R . (25)
Todi (24) moΩna zapysaty u vyhlqdi
µi y t( , ) = 1
1 1
0det
( , ) – ( , )
B
B H y t b y t uji
ad
j
n
j js
s k
n
s x
= = +
=∑ ∑
–
– c y t u h x y t u dxjs
s
n
s x js s
s
n
( , ) – ( , , )
=
=
=
∑ ∫∑
1
1
0
1
1
, i n≤ , (26)
de µi y t( , ) = u y ti( , , )0 , i ≤ k; µi y t( , ) = u y ti( , , )1 , k + 1 ≤ i ≤ n ; Bi j
ad
i j
n{ } =, 1
—
pry[dnana matrycq do B.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 201
Zadaça (1), (2), (24) ekvivalentna systemi intehro-operatornyx rivnqn\
u x y ti( , , ) = 1
1det
( )( , , )
A
A a R u x y t
m
ji
m ad
j I
js j s
s
k
m
( )
∈ =
∑ ∑ +
+ f x t y t u dj j j
t x t
t
j
ω τ ω τ τ τ1 2( ; , ), ( ; , ), ,
( , )
( )
∫ , i Im∈ , (27)
de Ai j
m ad
i j Im
( ){ } ∈,
— pry[dnana matrycq do Am, 1 ≤ m ≤ 4,
( )( , , )R u x y ti j =
µ ω
ϕ ω ω
µ
ϕ
j i i i i
j i i i
t x t y t t x t x y t
x t y t x y t
2
1 20 0
( ( , ); , ), ( , ) , ( , , ) ,
( ; , ), ( ; , ) , ( , , ) ,
( ) ∈
( ) ∈
Π
Π
(28)
funkci] µi , i n≤ , vyznaçagt\sq formulamy (26).
Oznaçennq 2. Neperervnym rozv’qzkom zadaçi (1), (2), (24) budemo nazyvaty
neperervnyj rozv’qzok systemy intehro-operatornyx rivnqn\ (27), v qkij
( )( , , )R u x y ti j vyznaçagt\sq formulamy (28).
Teorema 5. Nexaj vykonano umovy (3) – (5), (10), (11), (25), usi funkci] λi j
neperervni, λi1 zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq za zminnog x ∈ 0 1,[ ], a λi2 —
za zminnog y ∈R rivnomirno po t ∈ 0, T[ ] dlq koΩnoho T > 0, funkci] fi
neperervni za vsima arhumentamy ta zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq
po u n∈R rivnomirno po ( , , )x y t ∈ M dlq koΩnoho kompaktu M ∈Π , a
funkci] ϕi , bi j , ci j , hi j t a Hi neperervni za vsima arhumentamy. Qkwo
vykonugt\sq umovy pohodΩennq nul\ovoho porqdku
b y y c y yi j j i j j
j
n
j
n
( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0 1
11
ϕ ϕ+
==
∑∑ +
+
0
1
1
0∫∑
=
h x y x y dxi j j
j
n
( , , ) ( , )ϕ = H yi( , )0 , i n≤ ,
to zadaça (1), (2), (24) v oblasti Π ma[ [dynyj neperervnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Teoremu dosyt\ dovesty dlq dovil\no] fiksovano] pidoblasti
Π j � Π, j ≥ 1, de Π j vyznaçeno formulamy (16). Zafiksu[mo j ∈N . Nexaj
Ω — oblast\ vplyvu poçatkovyx umov (2), zadanyx na Π j ∩ t ={ }0 , qka vyzna-
ça[t\sq konstruktyvno zavdqky prypuwennqm (3), (4) i (10). Oçevydno, wo zvu-
Ωennq zadaçi (1), (2), (24) na oblast\ Ω [ zadaçeg Koßi (1), (2) v Ω, isnuvannq
ta [dynist\ neperervnoho rozv’qzku qko] vyplyva[ z teoremyA1.
Nexaj t0 — dovil\ne dodatne çyslo, qke spravdΩu[ umovu
ω τ ω τ11 10 1( ; , ) ( ; , )t tn< dlq vsix τ ∈[ ]0, j i dlq vsix t t∈ +[ ]τ τ, 0 .
Qkwo t t∈[ ]0 0, , to vykonugt\sq rivnosti
h u dxi j j
0
1
∫ = h u dxi j j
t
0
0 011ω ( ; , )
∫ + h u dxi j j
t
tn
ω
ω
11
1
0 0
1 0
( ; , )
( ; , )
∫ + h u dxi j j
tnω 1 1 0
1
( ; , )
∫ , i, j n≤ ,
de druhyj dodanok u pravij çastyni koΩno] rivnosti [ vidomog funkci[g ( uj ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
202 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
wo vxodqt\ do c\oho dodanka, [ rozv’qzkamy zhadano] vywe zadaçi Koßi); krim
toho, funkci] us x = 0, k + 1 ≤ s ≤ n, ta us x =1, s ≤ k, vyznaçagt\sq z syste-
myA(27), u qkij ( )R ui j A( , , )x y t = ϕ ωj i x t1 0( ; , )( , ωi y t2 0( ; , )) . Poznaçymo Π( )t0 =
= Π j ∩ t t<{ }0 . V oblasti Π( )t0 zadaça (1), (2), (24) ekvivalentna do systemy
intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry 2-ho rodu (i pravi çastyny systemy zadagt\
operator P ), dlq qko] spravedlyvog [ lokal\na teorema isnuvannq ta [dynosti
neperervnoho rozv’qzku. Spravdi, nexaj u1
ta u2
— dovil\ni neperervni roz-
v’qzky vkazano] systemy rivnqn\. Vraxovugçy ocinky
ω11 0 0( ; , )t ≤ t
j
max
, ,0 1 0
11[ ]×[ ]
λ , 1 0 01– ( ; , )ωn t ≤ t
j
nmax
, ,0 1 0
1[ ]×[ ]
λ ,
otrymu[mo
max –
( )Π t
Pu Pu
0
1 2 ≤ t R u u
t
0
1 2
0
max –
( )Π
,
de
R =
Q n B B
i s x
is
ad
xj j
1
0 0
1
+
={ } ={ }
−
max max det
, ,Π Π∩ ∩
×
× QSn n h
j
n
i s
is
j
+ { }
[ ]×[ ]
2
0 1 0
11 1max , max
, , , ,
λ λ
Π
,
pryçomu konstantu Q vyznaçeno formulog (8), a S [ najbil\ßym maksymal\-
nym znaçennqm funkcij bis i cpr v Π j ∩ x ={ }0 po s k≤ , k + 1 ≤ r ≤ n ta
i, p ≤ n. Pokladagçy t0 = ( )2 1R −
, na osnovi pryncypu styskugçyx vidobraΩen\
vstanovlg[mo isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku dano] zadaçi v oblasti
Π( )t0 (lokal\nyj rezul\tat).
Wob dovesty teoremu dlq vsi[] oblasti Π j (hlobal\nyj rezul\tat), prodov-
Ωymo po t otrymanyj lokal\nyj rezul\tat dlq oblasti Π( )t0 na oblast\ Π j .
Take prodovΩennq potrebu[ skinçenno] kil\kosti (ne bil\ße, niΩ j t0 ) itera-
cijnyx krokiv.
Oskil\ky j — dovil\ne natural\ne çyslo, to dovedennq teoremy zaverßeno.
ZauvaΩennq 2. Rezul\taty roboty moΩna poßyryty na systemy hiperboliç-
nyx rivnqn\ vyhlqdu (1) z dovil\nym çyslom prostorovyx zminnyx.
ZauvaΩennq 3. Umova hlobal\no] lipßycevosti funkcij fi za zminnog u
obmeΩu[ rist fi po u pry u → ∞, ne dozvolqgçy bil\ß, niΩ linijne ]x zros-
tannq. Cg umovu moΩna poslabyty do nastupno]: dlq koΩnoho kompaktu M v
oblasti rozhlqdu zadaçi isnu[ konstanta C > 0 taka, wo dlq vsix i ≤ n ta dlq
bud\-qkyx u1
, u n2 ∈R vykonugt\sq nerivnosti
f x y t u f x y t ui i( , , , ) – ( , , , )1 2 ≤ C F x y t u ulog log , , , –1 2( ) , (29)
de F x y t( , , , )v — deqkyj polinom po v iz koefici[ntamy z prostoru C M( ) .
Pry c\omu dlq dovedennq teorem 1 – 5, v qkyx fi spravdΩugt\ umovu (29),
moΩna vykorystaty metodyku roboty [23].
1. Petrovskyj Y. H. Lekcyy ob uravnenyqx s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Fyzmathyz, 1961.
– 400 s.
2. Abolynq V. ∏., M¥ßkys A. D. O smeßannoj zadaçe dlq lynejnoj hyperbolyçeskoj system¥
na ploskosty // Uç. zap. Latv. un-ta. – 1958. – 20, # 3. – S. 87 – 104.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 203
3. Abolynq V. ∏., M¥ßkys A. D. Smeßannaq zadaça dlq poçty lynejnoj hyperbolyçeskoj sys-
tem¥ na ploskosty // Mat. sb. – 1960. – 50, # 4. – S. 423 – 442.
4. Andrusqk R. V., Kyrylyç V. M., M¥ßkys A. D. Lokal\naq y hlobal\naq razreßymost\ kvazy-
lynejnoj hyperbolyçeskoj zadaçy Stefana na prqmoj // Dyferenc. uravnenyq. – 2006. – 42,
# 4. – S. 489 – 503.
5. Kmit\ I. Q. Nelokal\na zadaça dlq kvazilinijno] hiperboliçno] systemy perßoho porqdku z
dvoma nezaleΩnymy zminnymy // Ukr. mat. Ωurn. – 1993. – 45, # 9. – S. 1307 – 1311.
6. M¥ßkys A. D., Fylymonov A. M. Neprer¥vn¥e reßenyq hyperbolyçeskyx system kvazyly-
nejn¥x uravnenyj s dvumq nezavysym¥my peremenn¥my // Nelynejn¥j analyz y nelynejn¥e
dyfferencyal\n¥e uravnenyq. – 2003. – S. 337 – 351.
7. M¥ßkys A. D., Fylymonov A. M. Neprer¥vn¥e reßenyq kvazylynejn¥x hyperbolyçeskyx
system s dvumq nezavysym¥my peremenn¥my // Dyferenc. uravnenyq. – 1981. – 17 , # 3. –
S.A488 – 500.
8. Ptaßnyk B. J., Il\kiv V. S., Kmit\ I. Q., Poliwuk V. M. Nelokal\ni krajovi zadaçi dlq riv-
nqn\ iz çastynnym poxidnymy. – Ky]v: Nauk. dumka, 2002. – 415 s.
9. Fylymonov A. M. Dostatoçn¥e uslovyq hlobal\noj razreßymosty smeßannoj zadaçy dlq
kvazylynejn¥x hyperbolyçeskyx system s dvumq nezavysym¥my peremenn¥my. – M., 1980. –
17 s. – Dep. v VYNYTY, # 6 - 81.
10. Friedrichs K. O. Symmetric positive linear differential equations // Communs Pure and Appl.
Math. – 1958. – 11. – P. 333 – 418.
11. Hersh R. Mixed problems in several variables // J. Math. and Mech. – 1963. – 12. – P. 317 – 334.
12. Higdon Robert L. Initial-boundary value problems for linear hyperbolic systems // SIAM Rev. –
1986. – 28. – P. 177 – 217.
13. Kreiss H. O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Communs Pure and Appl.
Math. – 1970. – 23. – P. 277 – 289.
14. Lax P., Phillips R. S. Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential opera-
tors // Ibid. – 1960. – 13. – P. 427 – 455.
15. Majda A., Osher S. Initial-boundary value problem for hyperbolic equations with uniformly cha-
racteristic boundary // Ibid. – 1975. – 28. – P. 607 – 675.
16. Metivier G. The block structure condition for symmetric hyperbolic systems // Bull. London Math.
Soc. – 2000. – 32, # 6. – P. 689 – 702.
17. Rauch J. Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1985. – 291. – P. 167 – 187.
18. Secchi P. The initial-boundary value problem for linear symmetric hyperbolic systems with cha-
racteristic boundary of constant multiplicity // Different. and Integr. Equat. – 1996. – 9. – P. 671 –
700.
19. Secchi P. Well-posedness of characteristic symmetric hyperbolic systems // Arch. Ration. Mech.
and Anal. – 1996. – 134, # 2. – P. 155 – 197.
20. Secchi P. Full regularity of solutions to a nonuniformly characteristic boundary value problem for
symmetric hyperbolic systems // Adv. Math. Appl. – 2000. – 10, # 1. – P. 39 – 55.
21. Kurant R. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1964. – 830 s.
22. Petrovskyj Y. H. Lekcyy po teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.:
Nauka, 1970. – 279 s.
23. Kmit I. Generalized solutions to singular initial-boundary hyperbolic problems with non-Lipschitz
nonlinearities // Bull. Acad. serbe sci. et arts. Classe sci. math. et natur., sci. math. – 2006. – 133,
# 31. – P. 87 – 99.
OderΩano 18.06.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3149 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:09Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cf/081289998994a384118b0fa6fc12e9cf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31492020-03-18T19:46:54Z Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем Kmit, I. Ya. Ptashnik, B. I. Кміть, І. Я. Пташник, Б. Й. By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems of integral operator equations, we prove the existence and uniqueness of classical solutions. Методом характеристик исследованы корректные постановки локальных (задача Коши, смешанные задачи) и нелокальных (с неразделенными и интегральными условиями) задач для некоторых многомерных почти линейных гиперболических систем первого порядка. На основании сведения этих задач к системам интегро-операторных уравнений доказаны теоремы существования и единственности классических решений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3149 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 192–203 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 192–203 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3149/3046 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3149/3047 Copyright (c) 2008 Kmit I. Ya.; Ptashnik B. I. |
| spellingShingle | Kmit, I. Ya. Ptashnik, B. I. Кміть, І. Я. Пташник, Б. Й. Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| title | Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| title_alt | Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| title_full | Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| title_fullStr | Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| title_full_unstemmed | Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| title_short | Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| title_sort | well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3149 |
| work_keys_str_mv | AT kmitiya wellposednessofboundaryvalueproblemsformultidimensionalhyperbolicsystems AT ptashnikbi wellposednessofboundaryvalueproblemsformultidimensionalhyperbolicsystems AT kmítʹíâ wellposednessofboundaryvalueproblemsformultidimensionalhyperbolicsystems AT ptašnikbj wellposednessofboundaryvalueproblemsformultidimensionalhyperbolicsystems AT kmitiya korektnístʹkrajovihzadačdlâbagatovimírnihgíperbolíčnihsistem AT ptashnikbi korektnístʹkrajovihzadačdlâbagatovimírnihgíperbolíčnihsistem AT kmítʹíâ korektnístʹkrajovihzadačdlâbagatovimírnihgíperbolíčnihsistem AT ptašnikbj korektnístʹkrajovihzadačdlâbagatovimírnihgíperbolíčnihsistem |