On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type
For a class of systems of nonlinear differential-functional equations, we study asymptotic characteristics of their solutions continuously differentiable and bounded for t > T > 0 (along with the first derivative).
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509190204686336 |
|---|---|
| author | Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. |
| author_facet | Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. |
| author_sort | Pelyukh, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | For a class of systems of nonlinear differential-functional equations, we study asymptotic characteristics of their solutions continuously differentiable and bounded for
t > T > 0 (along with the first derivative). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.929
H. P. Pelgx (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
O SVOJSTVAX REÍENYJ PREDEL|NOJ ZADAÇY
DLQ SYSTEM NELYNEJNÁX DYFFERENCYAL|NO-
FUNKCYONAL|NÁX URAVNENYJ NEJTRAL|NOHO TYPA
For a class of systems of nonlinear differential-functional equations, we study asymptotic characteristics
of their solutions continuously differentiable and bounded for t T≥ > 0 (along with the first
derivative).
Vyvçagt\sq asymptotyçni vlastyvosti neperervno dyferencijovnyx i obmeΩenyx pry t T≥ > 0
(razom iz perßog poxidnog) rozv’qzkiv odnoho klasu system nelinijnyx dyferencial\no-funk-
cional\nyx rivnqn\.
System¥ nelynejn¥x dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x uravnenyj vyda
qx qt′( ) = ′ + ′( )x t F t x t x f t x t( ) , ( ), ( ( )), ( ( ))ϕ , (1)
hde q = const, t ∈ R
+ = [ 0, + ∞ ) , F : R
+ × R
n × R
n × R
n → R
n
, f : R
+ → R
+
,
ϕ : R
+ → R
+
, ymegt ßyrokye pryloΩenyq vo mnohyx oblastqx estestvozna-
nyq. Pry razlyçn¥x predpoloΩenyqx otnosytel\no q, F, f, ϕ takye uravne-
nyq b¥ly obæektom yssledovanyq mnohyx matematykov (sm. [1, 2] y cytyruemug
v nyx lyteraturu), y v nastoqwee vremq rqd voprosov yx teoryy dostatoçno
xoroßo yssledovan. Osobenno πto kasaetsq suwestvovanyq razlyçnoho roda
reßenyj zadaçy Koßy, osnovnoj naçal\noj zadaçy y yssledovanyq yx svojstv.
Narqdu s πtym v poslednee vremq nablgdaetsq pov¥ßenn¥j ynteres k yzuçenyg
struktur¥ mnoΩestva ee neprer¥vno dyfferencyruem¥x reßenyj [3 – 5], koto-
raq yssleduetsq takΩe v nastoqwej rabote. Osnovnoj ee cel\g qvlqetsq yssle-
dovanye struktur¥ mnoΩestva neprer¥vno dyfferencyruem¥x y ohranyçenn¥x
pry t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenyj system¥ uravnenyj (1),
udovletvorqgwyx uslovyg
lim ( ) ( )
t
x qt x t
→ +∞
−[ ] = 0. (2)
Poskol\ku v klasse neprer¥vno dyfferencyruem¥x funkcyj yzuçenye zadaçy
(1), (2), kotorug budem naz¥vat\ predel\noj, πkvyvalentno yzuçenyg system¥
uravnenyj
x qt( ) = x t F x x f x d
t
( ) , ( ), ( ( )), ( ( ))− ′( )
+∞
∫ τ τ τ ϕ τ τ , (3)
dal\nejßej naßej cel\g budet yssledovanye struktur¥ mnoΩestva neprer¥v-
no dyfferencyruem¥x y ohranyçenn¥x pry t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyz-
vodnoj) reßenyj system¥ uravnenyj (3).
Struktura mnoΩestva neprer¥vno dyfferencyruem¥x y ohranyçenn¥x pry
t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenyj system¥ uravnenyj (3) dosta-
toçno polno xarakteryzuetsq nalyçyem q-raznostnoho asymptotyçeskoho rav-
novesyq, opredelenye kotoroho daetsq nyΩe.
Opredelenye. Budem hovoryt\, çto systema uravnenyj (3) ymeet nepre-
r¥vno dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj pro-
yzvodnoj) q-raznostnoe asymptotyçeskoe ravnovesye, esly:
a) proyzvol\noe neprer¥vno dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T >
> 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenye x ( t ) udovletvorqet pry t → + ∞
sootnoßenyg
© H. P. PELGX, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2 217
218 H. P. PELGX
x ( t ) = ω ( t ) + o ( 1 ) , (4)
hde ω ( t ) — neprer¥vno dyfferencyruemaq y ohranyçennaq pry t ≥ T > 0
(vmeste s pervoj proyzvodnoj) vektor-funkcyq, udovletvorqgwaq uslovyg
ω ( qt ) = ω ( t ) ;
b) dlq proyzvol\noj neprer¥vno dyfferencyruemoj y ohranyçennoj pry t ≥
≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj) vektor-funkcyy ω ( t ) , udovletvorq-
gwej uslovyg ω ( qt ) = ω ( t ) , suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemoe y
ohranyçennoe pry t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenye system¥
uravnenyj (3), udovletvorqgwee pry t → + ∞ sootnoßenyg (4).
Prynymaq vo vnymanye opredelenye q-raznostnoho asymptotyçeskoho ravno-
vesyq system¥ uravnenyj (3), estestvenno oΩydat\, çto ono moΩet suwestvovat\
lyß\ pry v¥polnenyy nekotor¥x dopolnytel\n¥x uslovyj, ustanovlenye koto-
r¥x y budet teper\ naßej hlavnoj zadaçej.
Snaçala rassmotrym sluçaj, kohda 0 < q < 1.
Teorema*1. Pust\ v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq:
1) vektor-funkcyq F ( t, x, y, z ) qvlqetsq neprer¥vnoj pry t ∈ R
+ = [ 0,
+ ∞ ) , x, y, z ∈ R
n
, F ( t, 0, 0, 0 ) ≡ 0, y udovletvorqet sootnoßenyg
F t x y z F t x y z( , , , ) ( , , , )′ ′ ′ − ′′ ′′ ′′ ≤ η( )t x x y y z z′ − ′′ + ′ − ′′ + ′ − ′′( ) ,
hde x ′, y ′, z ′, x ″, y ″, z ″ ∈ R
n
, funkcyy η ( t ) y η τ τ( )d
t
∞
∫ qvlqgtsq neotry-
catel\n¥my, neprer¥vn¥my y ohranyçenn¥my pry vsex t ≥ T > 0;
2) rqd¥
H t1( ) = q q ti i
i
− −
=
∞
∑ η( )
1
, H t2( ) = q q di
t
i
i
−
+∞
−
=
∞
∫∑ η τ τ( )
1
ravnomerno sxodqtsq pry vsex t ≥ T > 0 y 3 Hi ( t ) ≤ θ i < 1, i = 1, 2;
3) funkcyy f ( t ) , ϕ ( t ) qvlqgtsq neprer¥vn¥my y takymy, çto f ( t ) ≥ t,
ϕ ( t ) ≥ t pry vsex t ≥ T > 0.
Tohda dlq proyzvol\noho neprer¥vno dyfferencyruemoho y ohranyçennoho
pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenyq γ ( t ) system¥ uravnenyj
(3) suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemaq y ohranyçennaq pry t ≥ T
(vmeste s pervoj proyzvodnoj) vektor-funkcyq ω ( t ) takaq, çto ω ( qt ) =
= ω ( t ) y pry t → + ∞ v¥polnqetsq sootnoßenye (4).
Dokazatel\stvo. Pust\ γ ( t ) — nekotoroe neprer¥vno dyfferencyruemoe
y ohranyçennoe pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenye system¥
uravnenyj (3). Tohda v sylu uslovyj 1 – 3 ymeem toΩdestvo
γ ( t ) = ω τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t q F q q q q di
t
i i i i
i
f− ′( )−
+∞
− − − −
=
∞
∫∑
1
,
hde
ω ( t ) = γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t q F q q q q di
t
i i i i
i
f+ ′( )−
+∞
− − − −
=
∞
∫∑
1
.
Otsgda neposredstvenno v¥tekaet, çto vektor-funkcyq ω ( t ) qvlqetsq nepre-
r¥vno dyfferencyruemoj y ohranyçennoj pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyz-
vodnoj) y v¥polnqetsq sootnoßenye (4).
PokaΩem teper\, çto vektor-funkcyq ω ( t ) udovletvorqet uslovyg ω ( qt ) =
= ω ( t ) . Dejstvytel\no, poskol\ku ymeem toΩdestvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
O SVOJSTVAX REÍENYJ PREDEL|NOJ ZADAÇY DLQ SYSTEM NELYNEJNÁX … 219
γ ( qt ) = γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t F d
t
f− ′( )
+∞
∫ ,
to
ω ( qt ) = γ ( qt ) +
+ q F q q q q di
t
i i i i
i
f− +
+∞
− + − + − + − +
=
∞
∫∑ ′( )1 1 1 1 1
1
τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( )) =
= γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t F d
t
f− ′( )
+∞
∫ +
+ q F q q q q di
t
i i i i
i
f−
+∞
− − − −
=
∞
∫∑ ′( )τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( ))
0
=
= γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t q F q q q q di
t
i i i i
i
f+ ′( )−
+∞
− − − −
=
∞
∫∑
1
= ω ( t ) .
TeoremaO 1 dokazana. Tem sam¥m dokazano, çto pry v¥polnenyy uslovyj 1 – 3
utverΩdenye a) ymeet mesto.
Otvet na vopros o spravedlyvosty utverΩdenyq b) daet sledugwaq teorema.
Teorema*2. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq 1 – 3. Tohda dlq proyzvol\noj ne-
prer¥vno dyfferencyruemoj y ohranyçennoj pry t ≥ T (vmeste s pervoj pro-
yzvodnoj) vektor-funkcyy ω ( t ) , udovletvorqgwej uslovyg ω ( qt ) = ω ( t ) ,
suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T (vmeste
s pervoj proyzvodnoj) reßenye x ( t ) system¥ uravnenyj (3), udovletvorqg-
wee sootnoßenyg (4).
Dokazatel\stvo. Rassmotrym systemu nelynejn¥x uravnenyj vyda
x ( t ) = ω τ τ τ ϕ τ τ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t q F q x q x q x q di
t
i i i i
i
f− ′( )−
+∞
− − − −
=
∞
∫∑
1
, (5)
hde ω ( t ) — proyzvol\naq neprer¥vno dyfferencyruemaq y ohranyçennaq pry
t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) vektor-funkcyq, udovletvorqgwaq uslo-
vyg ω ( qt ) = ω ( t ) . Poskol\ku proyzvol\noe neprer¥vno dyfferencyruemoe y
ohranyçennoe pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenye system¥ urav-
nenyj (5) qvlqetsq reßenyem system¥ (3) (v πtom moΩno ubedyt\sq neposredst-
venno podstanovkoj (5) v (3)) y udovletvorqet uslovyg (4) (v¥tekaet yz uslo-
vyj 1 – 3), dlq dokazatel\stva teorem¥OO2 dostatoçno dokazat\ suwestvovanye
neprer¥vno dyfferencyruemoho y ohranyçennoho pry t ≥ T (vmeste s pervoj
proyzvodnoj) reßenyq system¥ uravnenyj (5).
Dlq postroenyq reßenyq system¥ uravnenyj (5) vospol\zuemsq metodom po-
sledovatel\n¥x pryblyΩenyj, kotor¥e opredelym s pomow\g sootnoßenyj
x0 ( t ) = ω ( t ) , ′x t0( ) = ω ′ ( t ) ,
xm ( t ) = ω ( t ) –
– q F q x q x q x q di i
m
i
m
i
m
i
ti
f− −
−
−
−
−
−
−
+∞
=
∞
′( )∫∑ τ τ τ ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( ))1 1 1
1
,
(6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
220 H. P. PELGX
′x tm ( ) = ω ′ ( t ) +
+ q F q t x q t x q t x q ti i
m
i
m
i
m
i
i
f− −
−
−
−
−
−
−
=
∞
′( )∑ , , ,( ) ( ( )) ( ( ))1 1 1
1
ϕ , m = 1, 2, … .
Prynymaq vo vnymanye uslovyq 1 – 3 teorem¥, metodom matematyçeskoj ynduk-
cyy moΩno pokazat\, çto vektor-funkcyy xm( t ) , m = 0, 1, … , neprer¥vno
dyfferencyruem¥ pry t ≥ T. Bolee toho, vvedq oboznaçenyq
M1 = max ( )
t T
t
≥
ω , M2 = max ( )
t T
t
≥
′ω ,
M = max ,M M1 2{ }, θ = max ,θ θ1 2{ } ,
pokaΩem, çto pry t ≥ T y vsex m ≥ 0 v¥polnqgtsq neravenstva
x tm ( ) ≤
M
1− θ
, ′x tm ( ) ≤
M
1− θ
. (7)
Dejstvytel\no, funkcyy x0 ( t ) = ω ( t ) , ′x t0( ) = ω ′ ( t ) udovletvorqgt nera-
venstvam (7). PredpoloΩym, çto funkcyy xk ( t ) , ′x tk ( ), k = 0, 1, … , m – 1, op-
redelenn¥e sootnoßenyqmy (6), takΩe udovletvorqgt neravenstvam (7). Tohda
v sylu (6), (7) y uslovyj 1 – 3 poluçaem
x tm ( ) ≤ M1 +
+ q F q x q x f q x q di i
m
i
m
i
m
i
ti
− −
−
−
−
−
−
−
+∞
=
∞
′( )∫∑ τ τ τ ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( ))1 1 1
1
≤
≤ M q q x qi
i t
i
m
i
1
1
1
+ −
=
∞ +∞
−
−
−∑ ∫ [η τ τ( ) ( ) +
+ x f q x q dm
i
m
i
−
−
−
−+ ′ ]1 1( ( )) ( ( ))τ ϕ τ τ ≤
≤ M
M
q q di
i t
i
1
1
3
1
+
−
−
=
∞ +∞
−∑ ∫θ
η τ τ( ) ≤ M
M
1 1
+
− θ
θ ≤
M
1− θ
,
′x tm ( ) ≤ M2 +
+ q F q t x q t x f q t x q ti i
m
i
m
i
m
i
i
− −
−
−
−
−
−
−
=
∞
′( )∑ , , ,( ) ( ( )) ( ( ))1 1 1
1
ϕ ≤
≤ M q q t x q t x f q ti
i
i
m
i
m
i
2
1
1 1+ +[−
=
∞
−
−
−
−
−∑ η( ) ( ( ))( ) +
+ ′ ]−
−x q tm
i
1( ( ))ϕ ≤ M
M
q q ti
i
i
2
1
3
1
+
−
−
=
∞
−∑θ
η( ) ≤ M
M+
−1 θ
θ ≤
M
1− θ
.
Sledovatel\no, vse funkcyy x tm ( ), m = 0, 1, … , y yx proyzvodn¥e, oprede-
lenn¥e sootnoßenyqmy (6), udovletvorqgt neravenstvam (7) pry t ≥ T.
DokaΩem teper\, çto posledovatel\nosty vektor-funkcyj x tm ( ), ′x tm ( ),
m = 0, 1, … , opredelqem¥x sootnoßenyqmy (6), ravnomerno sxodqtsq pry t ≥
≥ T. Dlq πtoho, oçevydno, dostatoçno pokazat\, çto pry t ≥ T y vsex cel¥x
m ≥ 1 v¥polnqgtsq neravenstva
x t x tm m( ) ( )− −1 ≤ M mθ , ′ − ′ −x t x tm m( ) ( )1 ≤ M mθ . (8)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
O SVOJSTVAX REÍENYJ PREDEL|NOJ ZADAÇY DLQ SYSTEM NELYNEJNÁX … 221
V sylu (6) y uslovyj 1 – 3 pry m = 1 ymeem
x t x t1 0( ) ( )− ≤
≤ q F q q f q q di i i i i
ti
− − − − −
+∞
=
∞
′( )∫∑ τ ω τ ω τ ω ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( ))
1
≤
≤ q q q f q q di
i
i i i i
t
−
=
∞
− − − −
+∞
∑ ∫ + + ′[ ]
1
η τ ω τ ω τ ω ϕ τ τ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ≤
≤ 3
1
M q q di
i t
i−
=
∞ +∞
−∑ ∫ η τ τ( ) ≤ 3 2M H t⋅ ( ) ≤ M θ ,
′ − ′x t x t1 0( ) ( ) ≤ q F q t q t f q t q ti i i i i
i
− − − − −
=
∞
′( )∑ , , ,( ) ( ( )) ( ( ))ω ω ω ϕ
1
≤
≤ q q t q t f q t q ti
i
i i i i−
=
∞
− − − −∑ + + ′[ ]
1
η ω ω ω ϕ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ≤
≤ 3 1M H t⋅ ( ) ≤ M θ ,
y, sledovatel\no, neravenstva (8) v¥polnqgtsq. PredpoloΩym, çto neravenstva
(8) dokazan¥ dlq nekotoroho m ≥ 1, y pokaΩem, çto ony soxranqgtsq pry
perexode ot m k m + 1. Dejstvytel\no, prynymaq vo vnymanye (6) – (8) y us-
lovyq 1 – 3, poluçaem
x t x tm m+ −1( ) ( ) ≤
≤ q F q x q x q x qi i
m
i
m
i
m
i
ti
f− − − − −
+∞
=
∞
′( )∫∑ τ τ τ ϕ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( ))
1
–
– F q x q x f q x q di
m
i
m
i
m
i−
−
−
−
−
−
−′( )τ τ τ ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( ))1 1 1 ≤
≤ q q x q x qi
i t
i
m
i
m
i−
=
∞ +∞
− −
−
−∑ ∫ −[
1
1
η τ τ τ( ) ( ) ( ) +
+ x f q x f q x q x q dm
i
m
i
m
i
m
i( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))−
−
− −
−
−− + ′ − ′ ]τ τ ϕ τ ϕ τ τ1 1 ≤
≤ 3 2M H tmθ ⋅ ( ) ≤ M mθ +1
,
′ − ′+x t x tm m1( ) ( ) ≤ q F q t x q t x f q t x q ti i
m
i
m
i
m
i
i
− − − − −
=
∞
′( )∑ , , ,( ) ( ( )) ( ( ))ϕ
1
–
– F q t x q t x f q t x q ti
m
i
m
i
m
i−
−
−
−
−
−
−′( ), , ,( ) ( ( )) ( ( ))1 1 1 ϕ ≤
≤ q q t x q t x q t x f q t x f q ti
i
i
m
i
m
i
m
i
m
i−
=
∞
− −
−
− −
−
−∑ − + −[
1
1 1
η( ) ( ( )) ( ( ))( ) ( ) +
+ ′ − ′ ]−
−
−x q t x q tm
i
m
i( ( )) ( ( ))ϕ ϕ1 ≤ 3 1M H tmθ ⋅ ( ) ≤ M mθ +1.
Takym obrazom, neravenstva (8) ymegt mesto pry vsex m ≥ 0 y, sledovatel\-
no, posledovatel\nosty vektor-funkcyj x tm ( ), ′x tm ( ), m = 0, 1, … , ravnomer-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
222 H. P. PELGX
no sxodqtsq pry t ≥ T, a vektor-funkcyq
x ( t ) = lim ( )
m
mx t
→ +∞
qvlqetsq neprer¥vno dyfferencyruem¥m reßenyem system¥ uravnenyj (5),
udovletvorqgwym uslovyqm
x t( ) ≤
M
1− θ
, ′x t( ) ≤
M
1− θ
(v πtom moΩno ubedyt\sq, esly v sootnoßenyqx (6), (7) perejty k predelu pry
m → + ∞ ) .
TeoremaOO2 dokazana.
Neposredstvenn¥m sledstvyem dokazann¥x v¥ße teorem qvlqetsq sledug-
waq teorema.
Teorema*3. Esly 0 < q < 1 y v¥polnqgtsq uslovyq 1 – 3, to systema
uravnenyj (3) ymeet neprer¥vno dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T
(vmeste s pervoj proyzvodnoj) q-raznostnoe asymptotyçeskoe ravnovesye.
Rassmotrym teper\ systemu uravnenyj (3) v sluçae q > 1.
Teorema*4. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq 1, 3 teorem¥OO1 y uslovye
2 ′ ) rqd¥
˜ ( )H t1 = q q ti
i
i
=
∞
∑
0
η( ), ˜ ( )H t2 = q q di
i t
i
=
∞ +∞
∑ ∫
0
η τ τ( )
ravnomerno sxodqtsq pry t ≥ T y 3 1˜ ( ) ˜H ti i≤ <θ , i = 1, 2.
Tohda dlq proyzvol\noho neprer¥vno dyfferencyruemoho y ohranyçennoho
pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenyq γ ( t ) system¥ uravnenyj (3)
suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemaq y ohranyçennaq pry t ≥ T (vmeste
s pervoj proyzvodnoj) vektor-funkcyq ω ( t ) takaq, çto ω ( qt ) = ω ( t ) y pry
t → + ∞ v¥polnqetsq sootnoßenye (4).
Dejstvytel\no, pust\ γ ( t ) — nekotoroe neprer¥vno dyfferencyruemoe y
ohranyçennoe pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenye system¥ urav-
nenyj (3) y, sledovatel\no, ymeet mesto toΩdestvo
γ ( qt ) = γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , ( ), ,( ( )) ( ( ))t F f d
t
− ′( )
+∞
∫ . (9)
Tohda v sylu uslovyjOO1, 2 ′, 3 πto reßenye moΩno predstavyt\ v vyde
γ ( t ) = ω τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , ( ), ,( ( )) ( ( ))t q F q q f q q di
i
i i i i
t
+ ′( )
=
∞ +∞
∑ ∫
0
,
hde
ω ( t ) = γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , ( ), ,( ( )) ( ( ))t q F q q f q q di
i
i i i i
t
− ′( )
=
∞ +∞
∑ ∫
0
.
Lehko proveryt\, çto takym obrazom opredelennaq vektor-funkcyq ω ( t ) qvlq-
etsq neprer¥vno dyfferencyruemoj y ohranyçennoj pry t ≥ T (vmeste s per-
voj proyzvodnoj) y reßenye γ ( t ) udovletvorqet sootnoßenyg (4). Ostaetsq,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
O SVOJSTVAX REÍENYJ PREDEL|NOJ ZADAÇY DLQ SYSTEM NELYNEJNÁX … 223
takym obrazom, pokazat\, çto vektor-funkcyq ω ( t ) udovletvorqet uslovyg
ω ( qt ) = ω ( t ) . V samom dele, prynymaq vo vnymanye (9), poluçaem
ω ( qt ) = γ ( qt ) –
– q F q q f q q di
i
i i i i
t
+
=
∞
+ + + +
+∞
∑ ∫ ′( )1
0
1 1 1 1τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ, ( ), ,( ( )) ( ( )) =
= γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , ( ), ,( ( )) ( ( ))t F f d
t
− ′( )
+∞
∫ –
– q F q q f q q di
i
i i i i
t=
∞ +∞
∑ ∫ ′( )
1
τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ, ( ), ,( ( )) ( ( )) =
= γ τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , ( ), ,( ( )) ( ( ))t q F q q f q q di
i
i i i i
t
− ′( )
=
∞ +∞
∑ ∫
0
= ω ( t ) .
TeoremaOO4 dokazana.
Teorema*5. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq 1, 2′, 3. Tohda dlq proyzvol\noj ne-
prer¥vno dyfferencyruemoj y ohranyçennoj pry t ≥ T (vmeste s pervoj pro-
yzvodnoj) vektor-funkcyy ω ( t ) , udovletvorqgwej uslovyg ω ( qt ) = ω ( t ) ,
suwestvuet neprer¥vno dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T (vmeste
s pervoj proyzvodnoj) reßenye x ( t ) system¥ uravnenyj (3), udovletvorqg-
wee pry t → + ∞ sootnoßenyg (4).
Dokazatel\stvo. Poskol\ku proyzvol\noe neprer¥vno dyfferencyrue-
moe y ohranyçennoe pry t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenye system¥
uravnenyj
x ( t ) = ω τ γ τ γ τ γ ϕ τ τ( ) , ( ), ,( ( )) ( ( ))t q F q q f q q di
i
i i i i
t
+ ′( )
=
∞ +∞
∑ ∫
0
, (10)
hde ω ( t ) — proyzvol\naq neprer¥vno dyfferencyruemaq y ohranyçennaq pry
t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) vektor-funkcyq, udovletvorqgwaq uslo-
vyg ω ( qt ) = ω ( t ) , qvlqetsq reßenyem system¥ uravnenyj (3) (v πtom moΩno
ubedyt\sq neposredstvennoj podstanovkoj (10) v (3)) y udovletvorqet uslovyg
(4) (v¥tekaet yz uslovyjOO1, 2 ′, 3), dlq dokazatel\stva teorem¥ dostatoçno do-
kazat\ suwestvovanye neprer¥vno dyfferencyruemoho y ohranyçennoho pry
t ≥ T (vmeste s pervoj proyzvodnoj) reßenyq system¥ uravnenyj (10). Posled-
nee Ωe moΩno dokazat\ s pomow\g metoda posledovatel\n¥x pryblyΩenyj
analohyçno tomu, kak b¥la dokazana teoremaOO2. Zametym lyß\, çto v dannom
sluçae posledovatel\n¥e pryblyΩenyq xm ( t ) , m = 0, 1, … , y yx proyzvodn¥e
opredelqgtsq sootnoßenyqmy
x0 ( t ) = ω ( t ) , ′x t0( ) = ω′ ( t ) ,
xm ( t ) = ω ( t ) +
+ q F q x q x f q x q di
i
i
m
i
m
i
m
i
t=
∞
− − −
+∞
∑ ∫ ′( )
0
1 1 1τ τ τ ϕ τ τ, , ,( ) ( ( )) ( ( )) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
224 H. P. PELGX
′x tm ( ) = ′ − ′( )− − −
=
∞
∑ω ϕ( ) , , ,( ) ( ( )) ( ( ))t q F q t x q t x f q t x q ti i
m
i
m
i
m
i
i
1 1 1
0
,
m = 1, 2, … .
Prynymaq vo vnymanye teorem¥OO4, 5, pryxodym k sledugwemu utverΩde-
nyg.
Teorema*6. Esly q > 1 y v¥polnqgtsq uslovyq OO1, 2 ′, 3, to systema
uravnenyj (3) ymeet neprer¥vno dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T >
> 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj) q-raznostnoe asymptotyçeskoe ravnove-
sye.
Takym obrazom, dlq system¥ uravnenyj (3) y, sledovatel\no, dlq predel\noj
zadaçy (1), (2) dokazana sledugwaq teorema o suwestvovanyy neprer¥vno dyf-
ferencyruemoho y ohranyçennoho pry t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyzvodnoj)
q-raznostnoho asymptotyçeskoho ravnovesyq.
Teorema*7. Pust\ v¥polnqetsq odno yz predpoloΩenyj:
1) 0 < q < 1 y v¥polnqgtsq uslovyq 1 – 3;
2) q > 1 y v¥polnqgtsq uslovyq OO1, 2 ′, 3.
Tohda systema uravnenyj (3) (predel\naq zadaça (1), (2)) ymeet neprer¥v-
no dyfferencyruemoe y ohranyçennoe pry t ≥ T > 0 (vmeste s pervoj proyz-
vodnoj) q-raznostnoe asymptotyçeskoe ravnovesye.
1. Xejl DΩ. Teoryq dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x uravnenyj. – M.: Myr, 1984. – 548 s.
2. Kato T., Mcheod J. B. The functional-differential equation ′ = +y x ay x by x( ) ( ) ( )λ // Bull.
Amer. Math. Soc. – 1971. – 77. – P. 891 – 937.
3. Samojlennko A. M., Pelgx H. P. Ohranyçenn¥e na vsej vewestvennoj osy reßenyq system
nelynejn¥x dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x uravnenyj y yx svojstva // Ukr. mat. Ωurn.
– 1994. – 46, # 6. – S.O737 – 747.
4. Pelgx H. P. Ob asymptotyçeskyx svojstvax reßenyj system nelynejn¥x dyfferencyal\-
no-funkcyonal\n¥x uravnenyj // Dyfferenc. uravnenyq. – 2003. – # 1. – S.O45 – 49.
5. Pelgx H. P., Bel\skyj D. V. O povedenyy reßenyj lynejn¥x dyfferencyal\no-funkcyo-
nal\n¥x uravnenyj s postoqnn¥my koπffycyentamy y lynejno preobrazovann¥m arhumen-
tom v okrestnosty osob¥x toçek // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 12. – S.O1668 – 1676.
Poluçeno 05.09.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3151 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:10Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ea/39e0dc01e094b363547d2f0e8c426aea.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31512020-03-18T19:46:54Z On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type О свойствах решений предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. For a class of systems of nonlinear differential-functional equations, we study asymptotic characteristics of their solutions continuously differentiable and bounded for t > T > 0 (along with the first derivative). Вивчаються асимптотичні властивості неперервно диференційовних i обмежених при t > T > 0 (разом із першою похідною) розв'язків одного класу систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3151 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 217–224 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 217–224 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3151/3050 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3151/3051 Copyright (c) 2008 Pelyukh G. P. |
| spellingShingle | Pelyukh, G. P. Пелюх, Г. П. Пелюх, Г. П. On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| title | On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| title_alt | О свойствах решений предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_full | On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| title_fullStr | On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| title_full_unstemmed | On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| title_short | On properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| title_sort | on properties of solutions of a limit problem for systems of nonlinear functional differential equations of neutral type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3151 |
| work_keys_str_mv | AT pelyukhgp onpropertiesofsolutionsofalimitproblemforsystemsofnonlinearfunctionaldifferentialequationsofneutraltype AT pelûhgp onpropertiesofsolutionsofalimitproblemforsystemsofnonlinearfunctionaldifferentialequationsofneutraltype AT pelûhgp onpropertiesofsolutionsofalimitproblemforsystemsofnonlinearfunctionaldifferentialequationsofneutraltype AT pelyukhgp osvojstvahrešenijpredelʹnojzadačidlâsistemnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijnejtralʹnogotipa AT pelûhgp osvojstvahrešenijpredelʹnojzadačidlâsistemnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijnejtralʹnogotipa AT pelûhgp osvojstvahrešenijpredelʹnojzadačidlâsistemnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijnejtralʹnogotipa |