On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations
We prove that any C3+&beta; -smooth orientation-preserving circle diffeomorphism with rotation number from the Diophantine class D&delta; , 0 < &beta; < &delta; < 1, is C 2+&beta;-&delta; -smoothly conjugate to the rigid rotati...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3155 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509198709686272 |
|---|---|
| author | Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. |
| author_facet | Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. |
| author_sort | Teplins’kyi, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | We prove that any C3+&beta; -smooth orientation-preserving circle diffeomorphism with rotation number
from the Diophantine class D&delta; , 0 < &beta; < &delta; < 1, is C 2+&beta;-&delta; -smoothly conjugate to the rigid rotation of the circle by appropriate angle. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. Ю. Теплiнський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА
З ЖОРСТКИМИ ПОВОРОТАМИ
We prove that any C3+β-smooth orientation-preserving circle diffeomorphism with rotation number from
the Diophantine class Dδ , 0 < β < δ < 1, is C2+β−δ-smoothly conjugate to the rigid rotation of the
circle by appropriate angle.
Доказано, что любой C3+β-гладкий сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности, число
вращения которого принадлежит диофантовому классу Dδ , 0 < β < δ < 1, является C2+β−δ-гладко
сопряженным с жестким поворотом окружности на определенный угол.
1. Огляд проблематики i формулювання результату. Одиничним колом ми
називаємо фактор-простiр T1 = R/Z iз зрозумiлим чином заданими орiєнтацiєю,
метрикою, мiрою Лебега та операцiєю додавання за модулем 1. Основною арифме-
тичною характеристикою зберiгаючого орiєнтацiю гомеоморфiзму T одиничного
кола T1 є число обертання ρ = ρ(T ), яке визначається як границя lim
i→∞
xi
i
, де
xi = Li
T x0 — траєкторiя пiдняття LT гомеоморфiзму T з T1 на R. (Тобто LT —
строго зростаюча функцiя з R до R, що має властивiсть LT (x + 1) ≡ LT (x) + 1 i
при факторизацiї по Z дає T.)
З часiв Пуанкаре [1, 2] вiдомо, що число обертання ρ(T ) є завжди визначеним (з
точнiстю до цiлого доданка, так само, як i власне пiдняття LT ) i не залежить вiд ви-
бору точки x ∈ R. Хоча число обертання є, строго кажучи, не числом, а елементом
T1, його зазвичай ототожнюють з вiдповiдним дiйсним числом ρ з промiжку [0, 1).
Число обертання ρ є або рацiональним p/q, i тодi гомеоморфiзм T має хоча б одну
q-перiодичну траєкторiю (тобто в його q-й iтерацiї є нерухома точка ξ∗ = T qξ∗),
або ж iррацiональним, i тодi гомеоморфiзм T не має жодної перiодичної точки. В
останньому випадку (який є предметом розгляду цiєї статтi) порядок точок на колi
для будь-якої траєкторiї ξi = T iξ0, i ∈ Z, збiгається з порядком точок для жорсткого
повороту Rρ : ξ 7→ ξ + ρ mod 1. Цей факт iнколи називають комбiнаторною (або
арифметичною) еквiвалентнiстю T та Rρ. Iншим класичним результатом стосовно
гомеоморфiзму T з iррацiональним числом обертання є його строга ергодичнiсть,
тобто iснування та єдинiсть для нього iнварiантної нормованої борелiвської мiри
µ = µT на T1. При цьому має мiсце спiввiдношення ρ ≡ µ
(
[ξ, T ξ]
)
, а вiдображення
φ : ξ 7→ η0 + µ
(
[ξ0, ξ]
)
(1)
(визначене з точнiстю до адитивної константи) є неперервним i переводить T в Rρ
у сенсi φ ◦ T = Rρ ◦ T.
Розвинена на початку XX столiття теорiя Данжуа [3, 2] показала, що за умов
певної гладкостi гомеоморфiзму T (точна умова полягає в тому, що T ∈ C1(T1), i
похiдна T ′ > 0 має обмежену варiацiю на T1) з iррацiональним числом обертання
вiдображення (1) є гомеоморфiзмом, тобто має мiсце спряження
c© О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ, 2008
268 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 269
φ ◦ T ◦ φ−1 = Rρ. (2)
Зазначений факт називають топологiчною (або ж неперервною) еквiвалентнiстю
T та Rρ.
Наступним логiчним запитанням було виявити умови, за яких спряження φ
має певний ступiнь гладкостi. Зауважимо, що з точки зору вивчення iнварiантної
мiри неперервна диференцiйовнiсть спряження φ згiдно з (1) є еквiвалентною до
iснування додатної неперервної щiльностi h iнварiантної мiри µ (при цьому маємо
точно h = φ′). Наявнiсть такої щiльностi давала б змогу говорити про геометричну
(або ж гладку1) еквiвалентнiсть T та Rρ. Але вивчення цього питання виявило-
ся набагато складнiшим, i вiдповiдь на нього виявляє залежнiсть вiд так званих
дiофантових властивостей (iррацiонального) числа обертання.
Дiйсне число ρ належить до дiофантового класу Dδ, δ ≥ 0, якщо iснує така
стала C > 0, що |ρ − p/q| ≥ Cq−2−δ для будь-якого рацiонального числа p/q.
Легко переконатися, що Dδ ⊂ Dδ′ при δ < δ′. Якщо число ρ ∈
⋃
δ≥0 Dδ, то воно
називається дiофантовим. Очевидно, всi дiофантовi числа є iррацiональними.
Iррацiональнi числа, якi не є дiофантовими, мають назву лiувiллевих.
У серединi XX столiття до даної задачi прийшли у зв’язку з розглядом дещо
iншого кола питань. А саме, нагальнi дослiдження з небесної механiки змусили
вивчати питання щодо гладкостi замiни координат, яка лiнеаризує певнi слабко
нелiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь. Як легко зауважити, дифеоморфiзми
кола природно виникають як перерiзи Пуанкаре для потокiв на двовимiрних торах,
тодi як останнi є частинним випадком найбiльш важливої структури, що виникає
у зазначених задачах небесної механiки, а саме — гладких iнварiантних торiв [4].
В результатi постала вiдома КАМ-теорiя, один iз перших результатiв якої був та-
ким [5]: якщо аналiтичний дифеоморфiзм кола має дiофантове число обертання i
є достатньо близьким до лiнiйного (в нашiй термiнологiї — до жорсткого повороту
кола на вiдповiдний кут), то вiн лiнеаризується за допомогою аналiтичної замiни
координат. У тiй же статтi було побудовано приклад аналiтичного дифеоморфiзму
кола з довiльним лiувiллевим числом обертання, який не лiнеаризується навiть за
допомогою абсолютно неперервної замiни координат, не зважаючи на свою яку
завгодно близькiсть до лiнiйного.
Суттєвим недолiком наведеного результату КАМ-теорiї щодо вiдображень ко-
ла, який називають локальною теоремою зведення, була саме його локальнiсть —
вимога близькостi T до Rρ, якої не було анi в теорiї Пуанкаре, анi в теорiї Дан-
жуа. Справжнiм проривом у тематицi в 70-х роках стали працi М. Ермана [6], який
побудував теорiю, що усувала цю вимогу, для випадку ρ ∈ ∩δ>0Dδ. Його учень Ж.-
К. Йоккос [7] поширив глобальну теорему зведення Ермана на випадок довiльних
дiофантових чисел обертання. Результат, який до останнього часу вважався вiнцем
даної теорiї, було опублiковано в 1989 р. I. Катцнельсоном i Д. Орнштейном [8]:
якщо T ∈ Cr(T1), T ′ > 0, ρ ∈ Dδ, 0 < δ < r − 2, то φ ∈ Cr−1−δ−ε(T1) для як
завгодно малого ε > 0. Крiм того, в роботi [8] побудовано приклади, згiдно з якими
гладкiсть φ, вищу за Cr−1−δ, одержати неможливо.
1Вивчення умов, за яких топологiчна еквiвалентнiсть певних математичних об’єктiв обумовлює
їхню гладку еквiвалентнiсть, у захiднiй науцi традицiйно асоцiюється з так званою теоремою Мостоу
про жорсткiсть i вiдповiдно називається теорiєю жорсткостi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
270 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
В статтi Я. Г. Синая i К. М. Ханiна [9], опублiкованiй водночас iз [8], до близько-
го кола задач було застосовано iнший пiдхiд. В останньому роздiлi [9] було анонсо-
вано наступний результат (теорема 2): якщо дифеоморфiзм T ∈ C2+α(T1), T ′ > 0,
має число обертання ρ ∈ Dδ, причому δ < α, то спряження φ ∈ C1+α−δ(T1). Його
повного доведення в роботi [9] немає, лише наведено ряд ключових iдей та оцiнок,
але й серед тих є серйозна помилка, а саме, у нерiвностi типу Данжуа (лема 12),
на яку спирається вся схема доведення. (З тексту статтi [9] зрозумiло, що поспiх
її авторiв був викликаний саме нагальною конкуренцiєю з авторами [8].) Проци-
товане твердження з [9] для α ≤ 1 вдалося довести лише нещодавно в роботi [10].
Зауважте, що воно є посиленням результату [8] у частинному випадку 0 < δ < 1,
2 + δ < r ≤ 3. Метою даної статтi є поширення цього твердження на випадок
3 < r < 3 + δ. Сформулюємо це таким чином.
Теорема 1. Нехай T — C3+β-гладкий зберiгаючий орiєнтацiю дифеоморфiзм
одиничного кола з числом обертання ρ ∈ Dδ, причому 0 < β < δ < 1. Тодi T є
C2+β−δ-гладко спряженим iз жорстким поворотом кола на ρ.
Цей результат є новим i сильнiшим за вiдповiдний частинний випадок резуль-
тату [8]. Крiм цього, на вiдмiну вiд усiх попереднiх результатiв, вiн є точним:
вказана нами гладкiсть має мiсце, а бiльшої досягти не можна (згiдно з прикла-
дами в [8]). Пiдхiд, що нами використовується, є вiдмiнним вiд пiдходiв [6 – 8];
вiн базується на iдеологiї [9], iнструментарiї викривлення подвiйних вiдношень,
успiшно застосованому в [11], та певних точних спiввiдношеннях мiж елементами
структури, згенерованої на колi динамiкою траєкторiй. Зауважимо, шо доведена
нами асимптотична формула для викривлення подвiйних вiдношень (див. нижче
твердження 2) має також i самостiйне значення.
Тут i далi для заданого вiдображення F запис Fn позначає його n-ту iтера-
цiю F ◦ F ◦ . . . ◦ F (n разiв). Усi константи, якi в неявному виглядi мiстяться в
асимптотичних записах O(·), залежать лише вiд функцiї f у пунктi 2 та лише вiд
дифеоморфiзму T у пунктi 3.
2. Асимптотика подвiйних вiдношень. Просте вiдношення трьох попарно
вiдмiнних точок x1, x2, x3 задається як
R(x1, x2, x3) =
x1 − x2
x2 − x3
,
а викривлення простого вiдношення цих точок вiдносно строго зростаючої функцiї
f — як
D(x1, x2, x3; f) =
R(f(x1), f(x2), f(x3))
R(x1, x2, x3)
.
Подвiйне вiдношення чотирьох попарно вiдмiнних точок x1, x2, x3, x4 задаєть-
ся як
Cr(x1, x2, x3, x4) =
(x1 − x2)(x3 − x4)
(x2 − x3)(x4 − x1)
,
а викривлення подвiйного вiдношення цих точок вiдносно строго зростаючої функцiї
f — як
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 271
Dist(x1, x2, x3, x4; f) =
Cr(f(x1), f(x2), f(x3), f(x4))
Cr(x1, x2, x3, x4)
.
Якщо функцiя f є гладкою й такою, що її похiдна f ′ нiде не дорiвнює нулю
(тобто є строго додатною), то i викривлення простого вiдношення, i викривлення
подвiйного вiдношення є визначеними також у випадку, коли вiдповiднi точки не
є попарно вiдмiнними. А саме, вони визначаються шляхом граничного переходу
або ж просто формальною пiдстановкою f ′(a) замiсть (f(a) − f(a)) : (a − a) в
означеннях, наведених вище.
Легко бачити, що завжди
Dist(x1, x2, x3, x4; f) =
D(x1, x2, x3; f)
D(x1, x4, x3; f)
. (3)
Обидва викривлення — i простого, i подвiйного вiдношень — є мультиплiкатив-
ними вiдносно суперпозицiї функцiй: для двох функцiй f та g маємо
D(x1, x2, x3; f ◦ g) = D(x1, x2, x3; g) ·D(g(x1), g(x2), g(x3); f), (4)
Dist(x1, x2, x3, x4; f ◦ g) =
= Dist(x1, x2, x3, x4; g) ·Dist(g(x1), g(x2), g(x3), g(x4); f). (5)
У роботi [10] для випадку f ∈ C2+α, α ∈ (0, 1], доведено асимптотичнi оцiнки
D(x1, x2, x3; f) = 1 + O(x1 − x3) i Dist(x1, x2, x3, x4; f) = 1 + (x1 − x3)O(∆α),
де ∆ = max{x1, x2, x3, x4} − min{x1, x2, x3, x4}. У випадку вищої гладкостi f ∈
∈ C3+β , β ∈ [0, 1], можливо порахувати наступнi члени в обох асимптотиках.
Похiдною Шварца тричi диференцiйовної функцiї f називають вираз
Sf =
f ′′′
f ′
− 3
2
(
f ′′
f ′
)
.
Твердження 1. Нехай f ∈ C3+β
(
[A,B]
)
, β ∈ [0, 1], i f ′ > 0. Тодi для будь-
яких x1, x2, x3 ∈ [A,B] має мiсце асимптотична оцiнка
D(x1, x2, x3; f) = 1+(x1−x3)
(
f ′′(x1)
2f ′(x1)
+
1
6
Sf(x1)(x2 + x3 − 2x1) +O(∆1+β)
)
,
(6)
де ∆ = max{x1, x2, x3} −min{x1, x2, x3}.
Почнемо з доведення наступної леми.
Лема 1. Для довiльного θ ∈ [A,B] маємо
f ′′(θ)
2f ′(θ)
+
f ′′′(θ)
6f ′(θ)
(x1 + x2 + x3 − 3θ)−
(
f ′′(θ)
2f ′(θ)
)2
(x2 + x3 − 2θ) =
=
f ′′(x1)
2f ′(x1)
+
1
6
Sf(x1)(x2 + x3 − 2x1) +O(∆1+β
θ ), (7)
де ∆θ = max{x1, x2, x3, θ} −min{x1, x2, x3, θ}.
Доведення. З очевидних асимптотик f ′′(x1) = f ′′(θ)+f ′′′(θ)(x1−θ)+O(|x1−
− θ|1+β) i f ′(x1) = f ′(θ) + f ′′(θ)(x1 − θ) +O((x1 − θ)2) випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
272 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
f ′′(x1)
2f ′(x1)
=
f ′′(θ)
2f ′(θ)
+
(
f ′′′(θ)
2f ′(θ)
− (f ′′(θ))2
2(f ′(θ))2
)
(x1 − θ) +O(∆1+β
θ ). (8)
З iншого боку, Sf(x1) = Sf(θ) +O(|x1 − θ|β) i |x2 + x3 − 2x1| ≤ 2∆θ, отже,
1
6
Sf(x1)(x2 +x3− 2x1) =
(
f ′′′(θ)
6f ′(θ)
− (f ′′(θ))2
4(f ′(θ))2
)
(x2 +x3− 2x1)+O(∆1+β
θ ). (9)
Додавши (8) i (9), одержимо (7).
Лему доведено.
Зауваження 1. Лема 1, зокрема, дозволяє дати альтернативне, бiльш загальне
(але менш компактне) формулювання твердження 1, оскiльки ми можемо вибрати
θ = x2 чи x3, або будь-яку iншу точку мiж min{x1, x2, x3} та max{x1, x2, x3} й
отримати таку саму оцiнку O(∆1+β), як у (6).
Доведення твердження 1. Використавши x2 як референтну точку для взяття
похiдних, одержимо
f(x1)− f(x2)
x1 − x2
=
= f ′(x2) +
1
2
f ′′(x2)(x1 − x2) +
1
6
f ′′′(x2)(x1 − x2)2 +O(|x1 − x2|2+β),
f(x2)− f(x3)
x2 − x3
=
= f ′(x2) +
1
2
f ′′(x2)(x3 − x2) +
1
6
f ′′′(x2)(x3 − x2)2 +O(|x3 − x2|2+β)
i, подiливши перший вираз на другий вiдповiдно до розкладу
1
1 + t
= 1− t + t2 +
+O(t3), будемо мати
D(x1, x2, x3; f) = 1 + (x1 − x3)
[
f ′′(x2)
2f ′(x2)
+
f ′′′(x2)
6f ′(x2)
(x1 + x3 − 2x2)−
−
(
f ′′(x2)
2f ′(x2)
)2
(x3 − x2)
]
+O(∆2+β). (10)
Якщо x2 лежить мiж x1 та x3, то з оцiнки (10) випливає
D(x1, x2, x3; f) = 1 + (x1 − x3)
[
f ′′(x2)
2f ′(x2)
+
f ′′′(x2)
6f ′(x2)
(x1 + x3 − 2x2)−
−
(
f ′′(x2)
2f ′(x2)
)2
(x3 − x2) +O(∆1+β)
]
. (11)
Легко бачити, що вираз у квадратних дужках (не рахуючи O(·)) є в точностi лiвою
частиною (7) для θ = x2, отже, (6) доведено.
Припустимо тепер, що x1 лежить мiж x2 та x3. Тодi варiант оцiнки (6) для
D(x2, x1, x3; f) доведено. Також доведено варiант оцiнки (10) для D(x1, x3, x2; f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 273
Як неважко перевiрити, виконується точне спiввiдношення
D(x1, x2, x3; f) = 1 +
x1 − x3
x2 − x3
(D(x2, x1, x3; f)− 1)D(x1, x3, x2; f). (12)
Пiдставляючи
D(x2, x1, x3; f)− 1 =
= (x2 − x3)
(
f ′′(x2)
2f ′(x2)
+
1
6
Sf(x2)(x1 + x3 − 2x2) +O(∆1+β)
)
та
D(x1, x3, x2; f) = 1 + (x1 − x2)
f ′′(x2)
2f ′(x2)
+O(∆1+β)
у (12), одержуємо (11), i (6) знову випливає з леми 1.
Випадок, коли x3 лежить мiж x1 та x2, розглядається аналогiчно.
У випадку, коли двi чи три з точок x1, x2 i x3 збiгаються, всi наведенi мiркування
зберiгають свою силу (з очевидними змiнами).
Твердження доведено.
Твердження 2. Нехай f ∈ C3+β
(
[A,B]
)
, β ∈ [0, 1], i f ′ > 0. Тодi для будь-
яких x1, x2, x3, x4 ∈ [A,B] має мiсце асимптотична оцiнка
Dist(x1, x2, x3, x4; f) = 1 + (x1 − x3)
(
1
6
(x2 − x4)Sf(θ) +O(∆1+β)
)
, (13)
де ∆ = max{x1, x2, x3, x4} −min{x1, x2, x3, x4}, тодi як θ може бути довiльною
точкою на вiдрiзку мiж min{x1, x2, x3, x4} та max{x1, x2, x3, x4}.
Доведення. З твердження 1 i леми 1 випливає
D(x1, x2, x3; f) = 1 + (x1 − x3)
[
f ′′(θ)
2f ′(θ)
+
f ′′′(θ)
6f ′(θ)
(x1 + x2 + x3 − 3θ)−
−
(
f ′′(θ)
2f ′(θ)
)2
(x2 + x3 − 2θ) +O(∆1+β)
]
,
D(x1, x4, x3; f) = 1 + (x1 − x3)
[
f ′′(θ)
2f ′(θ)
+
f ′′′(θ)
6f ′(θ)
(x1 + x4 + x3 − 3θ)−
−
(
f ′′(θ)
2f ′(θ)
)2
(x4 + x3 − 2θ) +O(∆1+β)
]
.
Подiливши згiдно з (3) перший вираз на другий вiдповiдно до розкладу
1
1 + t
=
= 1− t + t2 +O(t3), отримаємо (13).
Зауваження 2. Очевидно, що оцiнку (13) можна записати у виглядi
log Dist(x1, x2, x3, x4; f) = (x1 − x3)
(
1
6
(x2 − x4)Sf(θ) +O(∆1+β)
)
. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
274 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
3. Дифеоморфiзми кола. 3.1. Головнi конструкцiї. Будемо використовувати
розклад iррацiонального числа обертання у неперервний (або ланцюговий) дрiб [12]:
ρ = [k1, k2, . . . , kn, . . .] =
1
k1 +
1
k2 +
1
. . .
kn +
1
. . .
∈ (0, 1). (15)
Числовим значенням виразу (15) за означенням є границя послiдовностi рацiо-
нальних наближень pn/qn = [k1, k2, . . . , kn]. Додатнi числа kn, n ≥ 1, що ма-
ють назву неповних кратних, для iррацiонального ρ визначаються однозначно.
Взаємопростi натуральнi числа pn та qn задовольнять рекурентнi спiввiдношен-
ня pn = knpn−1 +pn−2, qn = knqn−1 +qn−2 для n ≥ 1, де для зручностi покладено
p0 = 0, q0 = 1 та p−1 = 1, q−1 = 0.
Для заданого гомеоморфiзму T з iррацiональним ρ можна розглянути траєкто-
рiю ξi = T iξ0, i ≥ 0, довiльним чином вiдмiченої точки ξ0 ∈ T1 i вибрати з
неї послiдовнiсть динамiчних наближень ξqn
, n ≥ 0, iндексами яких є знамен-
ники вiдповiдних рацiональних наближень до ρ. Зручно також використовувати
ξq−1 = ξ0 − 1. Добре вивченi арифметичнi властивостi рацiональних наближень
з огляду на комбiнаторну еквiвалентнiсть мiж T та Rρ показують, що динамiчнi
наближення наближаються до вiдмiченої точки по черзi з двох бокiв:
ξq−1 < ξq1 < ξq3 < . . . < ξq2m+1 < . . . < ξ0 < . . . < ξq2m
< . . . < ξq2 < ξq0 . (16)
У вiдповiдностi з (16) означимо n-й фундаментальний вiдрiзок ∆(n)(ξ) як дугу
[ξ, T qnξ] для парного n та як дугу [T qnξ, ξ] для n непарного, ξ ∈ T1. Якщо є
вiдмiчена точка, то позначатимемо ∆(n)
0 = ∆(n)(ξ0), ∆(n)
i = ∆(n)(ξi) = T i∆(n)
0 .
Iтерацiї T qn та T qn−1 , обмеженi на фундаментальнi вiдрiзки ∆(n−1)
0 та ∆(n)
0
вiдповiдно, є нiчим iншим як двома неперервними компонентами вiдображення
першого повернення для T на їхнє об’єднання ∆(n−1)
0 ∪ ∆(n)
0 (iз ототожненими
мiж собою кiнцевими точками ξqn−1 , ξqn). Послiдовнi образи вiдрiзкiв ∆(n−1)
0
та ∆(n)
0 до свого поверненням на ∆(n−1)
0 ∪ ∆(n)
0 цiлком вкривають коло T1 без
взаємоперекриття (окрiм кiнцiв), формуючи таким чином n-те динамiчне розбиття
Pn =
{
∆(n−1)
i , 0 ≤ i < qn
}
∪
{
∆(n)
i , 0 ≤ i < qn−1
}
одиничного кола T1. Кiнцi вiдрiзкiв з Pn складають множину
Ξn = {ξi, 0 ≤ i < qn−1 + qn}.
Позначимо через ∆n довжину вiдрiзкiв ∆(n)(ξ) для жорсткого повороту Rρ.
Легко обчислити, що ∆n = |qnρ − pn|. З теорiї неперервних дробiв випливає, що
∆n ∼
1
qn+1
(тут символ “∼” означає “порiвнюване”, тобто запис A ∼ B означає,
що A = O(B) i B = O(A) водночас), а отже, умову належностi ρ до дiофантового
класу Dδ можна еквiвалентним чином записати як
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 275
∆1+δ
n−1 = O(∆n). (17)
Також матимемо на увазi унiверсальну властивiсть
∆n
∆n−k
≤
√
2
(
√
2)k
, (18)
яка випливає з очевидної оцiнки ∆n ≤
1
2
∆n−2.
Важливу роль у дослiдженнях властивостей дифеоморфiзмiв кола вiдiграють
нерiвностi типу Данжуа. Так називають оцiнки близькостi похiдної (T qn)′ до 1
(оригiнальна нерiвнiсть Данжуа [3] була власне оцiнкою величини (T qn)′). У [10]
було показано, що для довiльного дифеоморфiзму T ∈ C2+α(T1), T ′ > 0, α ∈ (0, 1],
з iррацiональним числом обертання має мiсце оцiнка типу Данжуа
(T qn)′(ξ) = 1 +O(εn,α), (19)
де εn,α = lαn−1 +
ln
ln−1
lαn−2 +
ln
ln−2
lαn−3 + . . . +
ln
l0
та lm = maxξ∈T1
∣∣∆m(ξ)
∣∣.
Зауважте, що оцiнка (19) не вимагає накладання жодних дiофантових умов на
ρ(T ). На жаль, покращити цю оцiнку для випадку бiльш гладкого T ∈ C3+β(T1),
β ∈ [0, 1], без додаткових припущень неможливо. Ми припускатимемо, що спря-
ження є принаймнi C1-гладким: φ ∈ C1+γ(T1), φ′ > 0, з деяким γ ∈ [0, 1].
(Нагадаємо, що за умови β < δ < 1 це припущення виконується з γ = 1 − δ
вiдповiдно до результату [10], i нашою метою є збiльшити значення цього γ до
1− δ + β.)
Дане припущення є еквiвалентним до наявностi в iнварiантної мiри додатної
неперервної щiльностi h = φ′ ∈ Cγ(T1). Ця щiльнiсть задовольняє гомологiчне
рiвняння
h(ξ) = T ′(ξ)h(Tξ). (20)
Неперервнiсть i додатнiсть h одразу приводить до оцiнки h(ξ) ∼ 1, з якої
випливає, що (T i)′(ξ) =
h(ξ)
h(T iξ)
∼ 1 та
∣∣∆(n)(ξ)
∣∣ ∼ ln ∼ ∆n ∼
1
qn+1(
внаслiдок рiвностi ∆n =
∫
∆(n)(ξ)
h(η) dη
)
. Згiдно з цими фактами введемо до
розгляду величину
En,σ =
n∑
k=0
∆n
∆n−k
∆σ
n−k−1,
тодi εn,α в (19) можна замiнити на En,α (якщо, звичайно, C1-гладкiсть спряження
є вiдомою).
З нашого припущення також випливає, що (T i)′ ∈ Cγ(T1) рiвноступенево
вiдносно i ∈ Z, тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
276 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
(T i)′(ξ)− (T i)′(η) = O(|ξ − η|γ) (21)
внаслiдок (T i)′ξ − (T i)′η =
h(ξ)
h(T iξ)
− h(η)
h(T iη)
та T iξ − T iη ∼ ξ − η.
Додаткову гладкiсть T буде використано через наступнi вирази: pn = pn(ξ0) =
=
∑qn−1
i=0
ST (ξi)
h(ξi)
(ξi − ξi+qn−1), p̄n = p̄n(ξ0) =
∑qn−1−1
i=0
ST (ξi+qn)
h(ξi+qn
)
(ξi+qn
− ξi).
Маємо
pn + p̄n =
∑
ξ∈Ξn
ST (ξ̂)
ξ̂ − ξ
h(ξ̂)
, (22)
де ξ̂ позначає точку з множини Ξn яка iде пiсля ξ у (циклiчному) порядку
. . . → ξqn−1 → ξ0 → ξqn
→ . . . .
Легко бачити, що ξ̂i = ξi+qn
для 0 ≤ i < qn−1 та ξ̂i = ξi−qn−1 для qn−1 ≤ i <
< qn + qn−1.
У наступних двох пiдпунктах буде встановлено певну логiчну залежнiсть мiж
оцiнками типу Данжуа у двох рiзних формах, а саме: (T qn)′(ξ) = 1 + O(∆ν
n) та
(T qn)′(ξ) = 1 +O(En,σ).
3.2. Твердження, що використовують показники гладкостi. В усiх твер-
дженнях цього пiдпункту ми вважаємо, що T ∈ C3+β та h ∈ Cγ з деякими
константами β, γ ∈ [0, 1], але не робимо жодних припущень щодо дiофантових
властивостей ρ.
Наступна лема вiдповiдає точному iнтегральному спiввiдношенню∫
T1
ST (ξ)
1
h(ξ)
dξ (див. лему 16 в [9]). Зауважимо, що вона не використовує зна-
чення показника γ.
Лема 2. Якщо (T qn)′(ξ) = 1 + O(∆ν
n), ν ∈ [0, 1], то pn + p̄n =
= O(∆min{β,2ν−1}
n−1 ).
Доведення. Використовуючи подання ST =
(
T ′′
T ′
)′
− 1
2
(
T ′′
T ′
)2
, з (22) виво-
димо
pn + p̄n =
∑
ξ∈Ξn
[(
T ′′(ξ̂)
T ′(ξ̂)
− T ′′(ξ)
T ′(ξ)
)
− 1
h(ξ̂)
+O(|ξ̂ − ξ|1+β)
]
−
−1
2
∑
ξ∈Ξn
(
T ′′(ξ)
T ′(ξ)
)2
ξ̂ − ξ
h(ξ̂)
=
=
∑
ξ∈Ξn
T ′′(ξ)
T ′(ξ)
[
1
h(ξ)
− 1
h(ξ̂)
− 1
2
T ′′(ξ)
T ′(ξ)
ξ̂ − ξ
h(ξ̂)
]
+O(∆β
n−1).
Зауважимо, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 277
h(ξ)− h(ξ̂) = O(|ξ̂ − ξ|ν) (23)
внаслiдок (20). Зокрема, (23) свiдчить про те, що вираз в останнiх квадратних
дужках є O(|ξ̂ − ξ|ν), тому з оцiнки T ′′(ξ) =
T ′(ξ̂)− T ′(ξ)
ξ̂ − ξ
+O(ξ̂ − ξ) випливає
pn + p̄n =
=
∑
ξ∈Ξn
(
T ′(ξ̂)
T ′(ξ)
− 1
)
1
ξ̂ − ξ
[
1
h(ξ)
− 1
h(ξ̂)
− 1
2
(
T ′(ξ̂)
T ′(ξ)
− 1
)
1
h(ξ̂)
]
+O(∆min{β,ν}
n−1 ).
Пiдстановки T ′(ξ) =
h(ξ)
h(Tξ)
та T ′(ξ̂) =
h(ξ̂)
h(T ξ̂)
перетворюють (точно) останню
оцiнку на таку:
pn + p̄n =
1
2
∑
ξ∈Ξn
h(ξ̂)
(h(ξ))2(ξ̂ − ξ)
(h(ξ)
h(ξ̂)
− 1
)2
−
(
h(Tξ)
h(T ξ̂)
− 1
)2+O(∆min{β,ν}
n−1 ).
(24)
З умов леми випливає, що кожен iз двох останнiх виразiв у круглих дужках є
O
(
|ξ̂ − ξ|ν
)
. Це означає, по-перше, що
pn + p̄n =
1
2
∑
ξ∈Ξn
(
h(Tξ)
h(T ξ̂)
− 1
)2 [
h(T ξ̂)
(h(Tξ))2(T ξ̂ − Tξ)
− h(ξ̂)
(h(ξ))2(ξ̂ − ξ)
]
+
+O(∆min{β,2ν−1}
n−1 ), (25)
оскiльки, як легко переконатися, суми в (24) та (25) вiдрiзняються лише скiнченною
кiлькiстю членiв порядку O(|ξ̂ − ξ|2ν−1) кожний i 2ν − 1 ≤ ν. По-друге, оскiльки
h(T ξ̂)
(h(Tξ))2(T ξ̂ − Tξ)
:
h(ξ̂)
(h(ξ))2(ξ̂ − ξ)
−1 =
T ′(ξ)
T ′(ξ̂)
(
T ′(ξ) :
T ξ̂ − Tξ
ξ̂ − ξ
)
−1 = O(ξ̂−ξ),
то вирази в квадратних дужках у формулi (25) є обмеженими, а отже вся сума в
нiй є
∑
ξ∈Ξn
O(|ξ̂ − ξ|2ν) = O(∆2ν−1
n−1 ).
Лема 3. Якщо (T qn)′(ξ) = 1 +O(∆ν
n), то pn = O(∆min{β,2ν−1,γ}
n−1 ).
Доведення. З оцiнки (21) випливає
|∆(n)
i |
|∆(n)
0 |
:
|∆(n−2)
i |
|∆(n−2)
0 |
= 1 +O(∆γ
n−2). (26)
Разом iз ST (ξi+qn
)−ST (ξi) = O(∆β
n) та (23), оцiнка (26) приводить до наступної:
p̄n +
|∆(n)
0 |
|∆(n−2)
0 |
pn−1 =
qn−1−1∑
i=0
O(∆n(∆γ
n−2 + ∆β
n + ∆ν
n)) =
=
∆n
∆n−2
O(∆min{β,γ,ν}
n−2 ) = O(∆min{β,γ,ν}
n ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
278 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
З огляду на це лема 2 засвiдчує, що pn =
|∆(n)
0 |
|∆(n−2)
0 |
pn−1 + O(∆ω
n−1), де ω =
= min{β, 2ν − 1, γ} ≤ 1. Iтеруючи останню оцiнку, одержуємо
pn =
n∑
k=0
|∆(n)
0 | |∆(n−1)
0 |
|∆(n−k)
0 | |∆(n−k−1)
0 |
O(∆ω
n−k−1) =
= O
(
∆ω
n−1
n∑
k=0
∆n
∆n−k
(
∆n−1
∆n−k−1
)1−ω
)
,
де остання сума обмежена внаслiдок (18).
Лема 4. Якщо pn = O(∆ω
n−1), де ω ∈ [0, 1], то
Dist(ξ0, ξ, ξqn−1 , η;T qn) = 1 + (ξ − η)O(∆min{β,γ,ω}
n−1 ), ξ, η ∈ ∆(n−1)
0 ,
Dist(ξ0, ξ, ξqn
, η;T qn−1) = 1 + (ξ − η)
∆n
∆n−2
O(∆min{β,γ,ω}
n−2 ), ξ, η ∈ ∆(n−2)
0 .
Доведення. Вiдповiдно до (14) та (5) маємо
log Dist(ξ0, ξ, ξqn−1 , η;T qn) =
=
1
6
qn−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn−1)(T
iξ − T iη)ST (ξi) + (ξ − η)O(∆β
n−1).
З iншого боку,
qn−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn−1)(T
iξ − T iη)ST (ξi)− h(ξ0)(ξ − η)pn =
= (ξ − η)
qn−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn−1)ST (ξi)
[
T iξ − T iη
ξ − η
− (T i)′(ξ0)
]
= (ξ − η)O(∆γ
n−1)
внаслiдок (21). Звiдси випливає перша оцiнка леми. Щоб довести другу оцiнку,
аналогiчним чином помiчаємо, що
log Dist(ξ0, ξ, ξqn
, η;T qn−1) =
=
1
6
qn−1−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn
)(T iξ − T iη)ST (ξi) + (ξ − η)O(∆β
n−1)
та
qn−1−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn
)(T iξ − T iη)ST (ξi)− h(ξ0)(ξ − η)
|∆(n)
0 |
|∆(n−2)
0 |
pn−1 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 279
= (ξ − η)
qn−1−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn
)ST (ξi)
[
T iξ − T iη
ξ − η
− (T i)′(ξ0)
|∆(n−2)
i |
|∆(n−2)
0 |
:
|∆(n)
i |
|∆(n)
0 |
]
=
= (ξ − η)
qn−1−1∑
i=0
(ξi − ξi+qn)ST (ξi)O(∆γ
n−2) = (ξ − η)
∆n
∆n−2
O(∆γ
n−2)
(див. (26)).
Лему доведено.
Введемо до розгляду функцiї
Mn(ξ) = D(ξ0, ξ, ξqn−1 ;T
qn), ξ ∈ ∆(n−1)
0 ,
Kn(ξ) = D(ξ0, ξ, ξqn ;T qn−1), ξ ∈ ∆(n−2)
0 ,
де вiдмiчену точку ξ0 зафiксовано довiльним чином. У справедливостi наступних
трьох точних спiввiдношень неважко переконатися безпосередньо:
Mn(ξ0)Mn(ξqn−1) = Kn(ξ0)Kn(ξqn), (27)
Kn+1(ξqn−1)− 1 =
|∆(n+1)
0 |
|∆(n−1)
0 |
(
Mn(ξqn+1)− 1
)
, (28)
(T qn+1)′(ξ0)
Mn+1(ξ0)
− 1 =
|∆(n+1)
0 |
|∆(n)
0 |
(
1− (T qn)′(ξ0)
Kn+1(ξ0)
)
. (29)
Зауважимо також, що
Mn(ξ)
Mn(η)
= Dist(ξ0, ξ, ξqn−1 , η;T qn),
Kn(ξ)
Kn(η)
= Dist(ξ0, ξ, ξqn
, η;T qn−1). (30)
Лема 5. Якщо pn = O(∆ω
n−1), ω ∈ [0, 1], то
(T qn)′(ξ) = 1 +O(En,1+min{β,γ,ω}).
Доведення. Покладемо σ = 1+min{β, γ, ω}. З огляду на (30) лема 4 засвiдчує,
що Mn(ξ)/Mn(η) = 1+O(∆σ
n−1) та Kn(ξ)/Kn(η) = 1+O(∆n∆σ−1
n−2). Оскiльки за
наших припущень (T i)′(ξ) ∼ 1, то й Mn(ξ) ∼ 1 та Kn(ξ) ∼ 1. Це дає можливiсть
записати
Mn(ξ) = mn +O(∆σ
n−1), Kn(ξ) = mn +O(∆n∆σ−1
n−2), (31)
де m2
n — значення добуткiв у (27). Внаслiдок (28) та (31) одержуємо оцiнку
mn+1 − 1 =
|∆(n+1)
0 |
|∆(n−1)
0 |
(mn − 1) +O(∆n+1∆σ−1
n−1), (32)
що iтерується в оцiнку mn − 1 = O(∆nEn−1,σ−1), яка у свою чергу приводить до
оцiнок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
280 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Mn(ξ) = 1 +O(∆n−1En,σ−1), Kn(ξ) = 1 +O(∆nEn−1,σ−1) (33)
(зауважте, що ∆n−1En,σ−1 = ∆σ
n−1 + ∆nEn−1,σ−1). Внаслiдок (29) та (33) одер-
жуємо оцiнку
(T qn+1)′(ξ0)− 1 =
|∆(n+1)
0 |
|∆(n)
0 |
(1− (T qn)′(ξ0)) +O(∆nEn+1,σ−1), (34)
що iтерується в
(T qn)′(ξ0)− 1 = O
(
n∑
k=0
∆n
∆n−k
∆n−k−1En−k,σ−1
)
=
= O
(
∆n
n∑
k=0
n−k∑
m=0
∆n−k−1
∆n−k−m
∆σ−1
n−k−m−1
)
= O
(
∆n
n∑
k=0
n∑
s=k
∆n−k−1
∆n−s
∆σ−1
n−s−1
)
=
= O
(
∆n
n∑
s=0
∆σ−1
n−s−1
∆n−s
s∑
k=0
∆n−k−1
)
= O(En,σ),
оскiльки
∑s
k=0
∆n−k−1 = O(∆n−s−1) внаслiдок (18).
Лему доведено.
Пiдсумком даного пiдпункту є наступне твердження.
Твердження 3. Припустимо, що для дифеоморфiзму T ∈ C3+β(T1), T ′ > 0,
β ∈ [0, 1], з iррацiональним числом обертання iснує щiльнiсть h ∈ Cγ(T1), h > 0,
γ ∈ [0, 1], iнварiантної мiри i виконується асимптотична оцiнка (T qn)′(ξ) = 1 +
+O(∆ν
n) з певною дiйсною сталою ν. Тодi (T qn)′(ξ) = 1 +O(En,1+min{β,γ,2ν−1}).
Доведення безпосередньо випливає з лем 3 та 5.
Зауваження 3. В роботi [7] для довiльного дифеоморфiзму T ∈ C3(T1) до-
ведено оцiнку (T qn)′(ξ) = 1 +O(l1/2
n ), яка за нашого припущення щодо iснування
додатної щiльностi h рiвносильна такiй: (T qn)′(ξ) = 1+O(∆1/2
n ). Отже, насправдi
показник ν ≥ 1
2
, але ми не використовуємо цей факт.
3.3. Твердження, що використовують дiофантiв показник. У цьому пiд-
пунктi ми використовуємо припущення ρ ∈ Dδ, δ ≥ 0, але тимчасово не зважаємо
на ступiнь гладкостi T та умову Гельдера для h.
Лема 6. Якщо (T qn)′(ξ) = 1 + O(∆ν
n), ν ∈
[
δ
1 + δ
, 1
]
, то h ∈
∈ Cν(1+δ)−δ(T1).
Доведення. Розглянемо двi точки ξ0, ξ ∈ T1 i таке n ≥ 0, що ∆n ≤
∣∣φ(ξ) −
−φ(ξ0)
∣∣ < ∆n−1. Нехай k — найбiльше натуральне число таке, що
∣∣φ(ξ)−φ(ξ0)
∣∣ ≥
≥ k∆n. (Очевидно, що 1 ≤ k ≤ kn+1.) Внаслiдок комбiнаторики траєкторiй,
неперервностi h i гомологiчного рiвняння (20) маємо
log h(ξ)− log h(ξ0) = O
(
k∆ν
n +
+∞∑
s=n+1
ks+1∆ν
s
)
,
i така сама оцiнка є правильною для h(ξ)− h(ξ0), тому що log h(ξ) = O(1).
Оскiльки kn+1 < ∆n−1/∆n = O
(
∆
− δ
1+δ
n
)
, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
ПРО ГЛАДКIСТЬ СПРЯЖЕННЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА З ЖОРСТКИМИ ... 281
k∆ν
n = kν(1+δ)−δ∆ν(1+δ)−δ
n k(1+δ)(1−ν)∆δ(1−ν)
n = O
(
(k∆n)ν(1+δ)−δ
)
,
+∞∑
m=n+1
km+1εm = O
(
+∞∑
m=n+1
∆
ν(1+δ)−δ
1+δ
m
)
=
= O
(
+∞∑
m=n+1
∆ν(1+δ)−δ
m−1
)
= O
(
∆ν(1+δ)−δ
n
)
внаслiдок (17) та (18). Зрештою, одержуємо
h(ξ)− h(ξ0) = O((k∆n)ν(1+δ)−δ) =
= O(|φ(ξ)− φ(ξ0)|ν(1+δ)−δ) = O(|ξ − ξ0|ν(1+δ)−δ).
Лему доведено.
Лема 7. Якщо σ ∈ [0, 1 + δ), то En,σ = O
(
∆
σ
1+δ
n
)
.
Доведення. З (17) випливає
En,σ = O
(
∆n
n∑
k=0
∆
σ
1+δ−1
n−k
)
.
Твердження леми тепер випливає з оцiнки
∑n
k=0
∆
σ
1+δ−1
n−k = O
(
∆
σ
1+δ−1
n
)
, що є
наслiдком (18).
Пiдсумком цього пiдпункту є наступне твердження.
Твердження 4. Припустимо, що для дифеоморфiзму T ∈ C1(T1), T ′ > 0, з
числом обертання ρ ∈ Dδ, δ ≥ 0, iснує додатна неперервна щiльнiсть h iнварi-
антної мiри i виконується асимптотична оцiнка (T qn)′(ξ) = 1+O(En,σ) з певною
сталою σ ∈ [0, 1 + δ). Тодi (T qn)′(ξ) = 1 +O
(
∆
σ
1+δ
n
)
i h ∈ Cmax{0,σ−δ}(T1).
Доведення безпосередньо випливає з лем 7 та 6.
3.4. Доведення теореми 1. Застосуємо скiнченну iндуктивну процедуру по-
чергового застосування тверджень 3 та 4 для того, щоб крок за кроком покращити
оцiнку типу Данжуа у формi
(T qn)′(ξ) = 1 +O(En,σ). (35)
З результату [10] випливає, що (35) має мiсце для σ = 1 (див. (19)), i це бу-
де базою нашої iндукцiї. Розглянемо рекурентну послiдовнiсть σ0 = 1, σi+1 =
= min
{
1 + β,
2
1 + δ
σi
}
, i ≥ 0. Крок iндукцiї запишемо у виглядi наступного
твердження.
Лема 8. Припустимо, що σi ∈ [1, 1 + β] та оцiнка (35) виконується для
σ = σi. Тодi σi+1 ∈ [1, 1 + β] та оцiнка (35) виконується для σ = σi+1.
Доведення. Насамперед зазначимо, що σi < 1 + δ, оскiльки β < δ. З тверджен-
ня 4 випливає, що h ∈ Cγi(T1) iз γi = σi − δ ∈ (0, 1) та (T qn)′(ξ) = 1 + O(∆νi
n )
iз νi =
σi
1 + δ
∈ (0, 1). Тодi твердження 3 приводить до оцiнки (35) для σ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
282 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
= min{1 + β, 1 + γi, 2νi}, але це i є в точностi σi+1, тому що 1 + σi − δ >
2σi
1 + δ
(дiйсно, (1 + σi − δ)(1 + δ) − 2σi = (1 − δ)(1 + δ − σi) > 0). Обмеження на σi+1
доводяться тривiально.
Лему доведено.
Єдине, що залишилося зазначити для доведення теореми 1, — це те, що
σi = min
{
1 + β,
(
2
1 + δ
)i
}
,
де
2
1 + δ
> 1, i тому ця послiдовнiсть досягає значення 1+β за скiнченну кiлькiсть
крокiв. А як тiльки одержано оцiнку (35) iз σ = 1 + β, твердження 4 одразу ж
засвiдчує, що h ∈ C1+β−δ.
Теорему доведено.
1. Poincare H. Memoire sur les courbes definie par une equation differentielle I – IV // J. math. pures
et appl. – 1881–1886.
2. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 383 с.
3. Denjoy A. Sur les courbes definies par les equation differentielles a la surface du tore // J. math.
pures et appl. – 1932. – 11. – P. 333 – 375.
4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в
нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 244 с.
5. Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР.
– 1961. – 25, № 1. – С. 21 – 86.
6. Herman M.-R. Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations // I.
H. E. S. Publ. Math. – 1979. – 49. – P. 5 – 233.
7. Yoccoz J.-C. Conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle dont le nombre de rotation
verifie une condition diophantienne // Ann. sci. Ecole norm. supér. Ser. 4. – 1984. – 17, № 3. –
P. 333 – 359.
8. Katznelson Y., Ornstein D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of
the circle // Erg. Theory and Dynam. Sys. – 1989. – 9, № 4. – P. 643 – 680.
9. Синай Я. Г., Ханин К. М. Гладкость сопряжений диффеоморфизмов окружности с поворотами
// Успехи мат. наук. – 1989. – 44, № 1. – С. 57 – 82.
10. Khanin K., Teplinsky A. Herman’s theory revisited. – Toronto, 2007. – 11 p. – Preprint / Univ.
Toronto (arXiv: math. DS/0707.0075).
11. De Melo W., van Strien S. A structure theorem in one dimensional dynamics // Ann. Math. – 1989.
– 129, № 3. – P. 519 – 546.
12. Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Физматгиз, 1960. – 112 с.
Одержано 18.06.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3155 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:18Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9a/e64c4b258ee935be6f070707f170b19a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31552020-03-18T19:46:54Z On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations Про гладкість спряження дифеоморфізмів кола з жорсткими поворотами Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. We prove that any C3+&beta; -smooth orientation-preserving circle diffeomorphism with rotation number from the Diophantine class D&delta; , 0 < &beta; < &delta; < 1, is C 2+&beta;-&delta; -smoothly conjugate to the rigid rotation of the circle by appropriate angle. Доказано, что любой C3+&beta; -гладкий сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности, число вращения которого принадлежит диофантовому классу D&delta; , 0 < &beta; < &delta; < 1, является C 2+&beta;-&delta; -гладко сопряженным с жестким поворотом окружности на определенный угол. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3155 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 268–282 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 268–282 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3155/3058 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3155/3059 Copyright (c) 2008 Teplins’kyi O. Yu. |
| spellingShingle | Teplins’kyi, O. Yu. Теплінський, О. Ю. On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| title | On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| title_alt | Про гладкість спряження дифеоморфізмів кола з жорсткими поворотами |
| title_full | On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| title_fullStr | On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| title_full_unstemmed | On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| title_short | On the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| title_sort | on the smoothness of conjugation of circle diffeomorphisms with rigid rotations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3155 |
| work_keys_str_mv | AT teplinskyioyu onthesmoothnessofconjugationofcirclediffeomorphismswithrigidrotations AT teplínsʹkijoû onthesmoothnessofconjugationofcirclediffeomorphismswithrigidrotations AT teplinskyioyu progladkístʹsprâžennâdifeomorfízmívkolazžorstkimipovorotami AT teplínsʹkijoû progladkístʹsprâžennâdifeomorfízmívkolazžorstkimipovorotami |