Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type
It is proved that for the validity of a theorem on differential inequalities for the hyperbolic equation $$ \frac{\partial^2u(t, x)}{\partial t \partial x} = l(u)(t,x)+q(t,x)$$ with a nonincreasing linear operator $l: {C}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})\rightarrow{L}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})$,...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3156 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509196698517504 |
|---|---|
| author | Šremr, J. Шремр, И. Шремр, И. |
| author_facet | Šremr, J. Шремр, И. Шремр, И. |
| author_sort | Šremr, J. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:46:54Z |
| description | It is proved that for the validity of a theorem on differential inequalities for the hyperbolic equation
$$ \frac{\partial^2u(t, x)}{\partial t \partial x} = l(u)(t,x)+q(t,x)$$
with a nonincreasing linear operator
$l: {C}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})\rightarrow{L}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})$, it is necessary that the operator indicated be an $(a, c)$-Volterra operator. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
И. Шремр (Ин-т математики АН Чешской Республики, Брно)
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
НЕРАВЕНСТВАХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА*
It is proved that for the validity of a theorem on differential inequalities for the hyperbolic equation
∂2u(t, x)
∂t ∂x
= `(u)(t, x) + q(t, x)
with a nonincreasing linear operator ` : C
(
[a, b] × [c, d];R
)
→ L
(
[a, b] × [c, d];R
)
, it is necessary that
the operator indicated be an (a, c)-Volterra operator.
Показано, що для того, щоб для лiнiйного функцiонально-диференцiального рiвняння гiперболiчно-
го типу
∂2u(t, x)
∂t ∂x
= `(u)(t, x) + q(t, x)
з вiд’ємним лiнiйним оператором ` : C
(
[a, b] × [c, d];R
)
→ L
(
[a, b] × [c, d];R
)
була справедливою
теорема про диференцiальнi нерiвностi, необхiдною є (a, c)-вольтерровiсть оператора `.
1. Введение. На прямоугольнике D = [a, b]× [c, d] рассмотрим линейное функцио-
нально-дифференциальное уравнение гиперболического типа
∂2u(t, x)
∂t ∂x
= `(u)(t, x) + q(t, x), (1.1)
где ` : C
(
D; R
)
→ L
(
D; R
)
— линейный ограниченный оператор, а q ∈ L
(
D; R
)
.
Как обычно в теории Каратеодори, под решением уравнения (1.1) понимаем
функцию u ∈ C∗
(
D; R
)
(см. п. 2), удовлетворяющую почти всюду на D этому
уравнению.
Известно, что теоремы о дифференциальных неравенствах играют важную роль
в теории обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений и имеют
много полезных следствий. Эти результаты очень важны, например, для метода
нижних и верхних функций и техники монотонных итераций, эффективных при
доказательстве существования решений различных начальных и краевых задач (см.,
например, [1 – 6] и приведенную там библиографию).
Теорему о функционально-дифференциальных неравенствах гиперболического
типа можно сформулировать следующим образом.
Определение 1.1 [7]. Будем говорить, что для уравнения (1.1) справедлива
теорема о дифференциальных неравенствах, и писать ` ∈ Sac(D), если имеет
место следующая импликация:
*Поддержана Грантовым агентством Чешской Республики (грант № 201/06/0254) и Академией
наук Чешской Республики (институциональный исследовательский план № AV0Z10190503).
c© И. ШРЕМР, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2 283
284 И. ШРЕМР
u ∈ C∗(D; R),
utx(t, x) ≥ `(u)(t, x) для почти всех (t, x) ∈ D,
u(a, c) ≥ 0,
ut(t, c) ≥ 0 для почти всех t ∈ [a, b],
ux(a, x) ≥ 0 для почти всех x ∈ [c, d]
=⇒
=⇒ u(t, x) ≥ 0 для (t, x) ∈ D.
Заметим, что в отличие от скалярных обыкновенных дифференциальных урав-
нений можно легко построить пример уравнения (1.1), для которого теорема о
дифференциальных неравенствах не будет справедливой. Следовательно, вклю-
чение ` ∈ Sac(D) имеет место не для всех ` ∈ L(D). Некоторые эффективные
условия, гарантирующие справедливость включения ` ∈ Sac(D), можно найти в
работе [7]. Приведенные там теоремы содержат в себе предположение о том, что
отрицательный оператор является так называемым (a, c)-вольтерровым операто-
ром. Ниже мы покажем (см. теорему 3.1), что это предположение является также
необходимым и, следовательно, его нельзя исключить.
Рассмотрим теперь характеристическую начальную задачу (задачу Дарбу) для
уравнения (1.1). В этом случае значения решения u предписаны на характеристи-
ческих кривых t = a и x = c, т. е. рассматриваются начальные условия
u(t, c) = ϕ(t) для t ∈ [a, b], u(a, x) = ψ(x) для x ∈ [c, d], (1.2)
где ϕ : [a, b] → R, ψ : [c, d] → R — абсолютно непрерывные функции, удовлетворя-
ющие условию ϕ(a) = ψ(c).
Известно, что для задачи (1.1), (1.2) имеет место альтернатива Фредгольма (см.,
например, [8]).
Теорема 1.1 [8]. Для того чтобы задача (1.1), (1.2) была однозначно разре-
шима при любом q ∈ L
(
D; R
)
и произвольных абсолютно непрерывных функциях
ϕ : [a, b] → R и ψ : [c, d] → R, удовлетворяющих условию ϕ(a) = ψ(c), необходимо
и достаточно, чтобы однородная задача
∂2u(t, x)
∂t ∂x
= `(u)(t, x), (1.10)
u(t, c) = 0 для t ∈ [a, b], u(a, x) = 0 для x ∈ [c, d] (1.20)
имела только тривиальное решение.
Из определения 1.1 и теоремы 1.1 непосредственно следует такое утверждение.
Предложение 1.1. Нижеследующие утверждения эквивалентны:
1. Оператор ` принадлежит множеству Sac(D).
2. Задача (1.1), (1.2) однозначно разрешима при любом q ∈ L
(
D; R
)
и произ-
вольных абсолютно непрерывных функциях ϕ : [a, b] → R и ψ : [c, d] → R, удов-
летворяющих условию ϕ(a) = ψ(c). Кроме того, решение этой задачи является
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ... 285
неотрицательным на множестве D, если неоднородная часть q неотрицательна
и начальные функции ϕ и ψ неотрицательные и неубывающие.
3. Оператор K` : C∗(D; R) → L
(
D; R
)
, определенный формулой
K`(v)(t, x) = vtx(t, x)− `(v)(t, x) для почти всех (t, x) ∈ D,
является инверсно положительным на множестве B, где
B =
{
v ∈ C∗(D; R) : v(a, c) ≥ 0,
vt(t, c) ≥ 0 для почти всех t ∈ [a, b],
vx(a, x) ≥ 0 для почти всех x ∈ [c, d]
}
.
2. Обозначения и определения. Введем следующие обозначения:
1. N — множество натуральных чисел.
2. R — множество действительных чисел, R+ = [0,+∞[ .
3. C
(
D; R
)
— банахово пространство непрерывных функций v : D → R с нор-
мой ‖v‖C = max
{
|v(t, x)| : (t, x) ∈ D
}
.
4. C
(
D; R+
)
=
{
v ∈ C
(
D; R
)
: v(t, x) ≥ 0 для (t, x) ∈ D
}
.
5. C2
(
D; R
)
— множество функций v : D → R, непрерывных вместе со своими
производными первого и второго порядка.
6. C∗
(
D; R
)
— множество функций v : D → R, допускающих представление
v(t, x) = v1(t) + v2(x) +
t∫
a
x∫
c
h(s, η)dηds, (t, x) ∈ D,
где v1 : [a, b] → R, v2 : [c, d] → R — абсолютно непрерывные функции и h ∈
∈ L
(
D; R
)
. Эквивалентные определения класса C∗
(
D; R
)
приведены в замеча-
нии 2.1.
7. L
(
D; R
)
— банахово пространство функций p : D → R, суммируемых в
смысле Лебега, с нормой ‖p‖L =
∫∫
D
|p(t, x)|dtdx.
8. L
(
D; R+
)
=
{
p ∈ L
(
D; R
)
: p(t, x) ≥ 0 для почти всех (t, x) ∈ D
}
.
9. L(D) — множество линейных ограниченных операторов ` : C
(
D; R
)
→
→ L
(
D; R
)
.
10. mesA — лебегова мера множества A ⊂ R2.
Определение 2.1. Будем говорить, что оператор ` ∈ L(D) является поло-
жительным, если он отображает множествоC
(
D; R+
)
во множествоL
(
D; R+
)
.
Класс положительных операторов обозначим через P(D). Оператор ` ∈ L(D) на-
зывается отрицательным, если −` ∈ P(D).
Определение 2.2. Будем говорить, что оператор ` ∈ L(D) является (a, c)-
вольтерровым, если для каждого прямоугольника [a, t0]×[c, x0] ⊆ D и произвольной
функции v ∈ C
(
D; R
)
, удовлетворяющих условию
v(t, x) = 0 для (t, x) ∈ [a, t0]× [c, x0],
выполняется условие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
286 И. ШРЕМР
`(v)(t, x) = 0 для почти всех (t, x) ∈ [a, t0]× [c, x0].
Аналогично, Ω: L
(
D; R
)
→ C
(
D; R
)
называется (a, c)-вольтерровым опера-
тором, если условие
Ω(p)(t, x) = 0 для (t, x) ∈ [a, t0]× [c, x0]
выполнено для всех прямоугольников [a, t0] × [c, x0] ⊆ D и функций p ∈ L
(
D; R
)
таких, что
p(t, x) = 0 для почти всех (t, x) ∈ [a, t0]× [c, x0].
Замечание 2.1. Нетрудно проверить (см., например, [9 – 11]), что v ∈ C∗(D;
R) тогда и только тогда, когда v : D → R удовлетворяет следующим условиям:
a) для всех x ∈ [c, d] функции v(·, x) : [a, b] → R и v(a, ·) : [c, d] → R абсолютно
непрерывны;
b) для почти всех t ∈ [a, b] функция vt(t, ·) : [c, d] → R абсолютно непрерывна;
c) vtx ∈ L(D; R).
В силу теоремы Фубини ясно, что можно заменить порядок интегрирования
в интегральном представлении функции v ∈ C∗(D; R) и, следовательно, условия
a) – c) можно заменить на симметричные им условия:
A) функция v(·, c) : [a, b] → R абсолютно непрерывна, для всех t ∈ [a, b] фун-
кция v(t, ·) : [c, d] → R также абсолютно непрерывна;
B) для почти всех x ∈ [c, d] функция vx(·, x) : [a, b] → R абсолютно непре-
рывна;
C) vxt ∈ L(D; R).
Заметим также, что множество C∗(D; R) совпадает с классом функций двух
переменных, которые являются абсолютно непрерывными на D в смысле Карате-
одори (см., например, [10, 12 – 14]).
Определение 2.3. Пусть однородная задача (1.10), (1.20) имеет только три-
виальное решение. Обозначим через Ω оператор, который сопоставляет каждой
функции q ∈ L
(
D; R
)
решение u задачи (1.1), (1.20). Оператор Ω называется
оператором Дарбу задачи (1.10), (1.20).
Замечание 2.2. Из теоремы 1.1 следует, что оператор Ω корректно определен.
Более того, ясно, что Ω является линейным оператором, отображающим множество
L
(
D; R
)
во множество C
(
D; R
)
. С другой стороны, из следствия 6.3, доказанного
в работе [8], вытекает, что этот оператор непрерывен.
Замечание 2.3. Легко проверить, что при условии ` ∈ Sac(D) оператор Дарбу
Ω задачи (1.10), (1.20) отображает множество L
(
D; R+
)
во множество C
(
D; R+
)
и, следовательно, оператор Ω положителен.
3. Основные результаты. Как было отмечено выше, эффективные условия
для справедливости включения ` ∈ Sac(D) указаны в работе [7], где можно найти,
например, следующий результат.
Предложение 3.1 ([7], теорема 3.5). Пусть ` — отрицательный (a, c)-воль-
терров оператор и существует функция γ ∈ C∗
(
D; R
)
такая, что выполнены
условия
∂2γ(t, x)
∂t ∂x
≤ `(γ)(t, x) для почти всех (t, x) ∈ D,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ... 287
γ(t, x) > 0 для (t, x) ∈ [a, b[×[c, d[
и
∂γ(t, c)
∂t
≤ 0 для почти всех t ∈ [a, b[ ,
∂γ(a, x)
∂x
≤ 0 для почти всех x ∈ [c, d[ .
Тогда оператор ` принадлежит множеству Sac(D).
Из следующей теоремы вытекает, что предположение, касающееся (a, c)-воль-
терровости оператора ` в предложении 3.1, является необходимым. Аналогичный
результат для функционально-дифференциальных уравнений с обыкновенными
производными первого и второго порядка был доказан в работах [15, 16].
Сформулируем основной результат этой работы.
Теорема 3.1. Пусть отрицательный оператор ` ∈ L(D) принадлежит мно-
жеству Sac(D). Тогда этот оператор необходимо является (a, c)-вольтерровым
оператором.
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся несколько вспомогательных
предложений.
Предложение 3.2. Пусть (t0, x0) ∈ ]a, b]× ]c, d] — произвольная точка и ` ∈
∈ L(D) — отрицательный оператор такой, что ` ∈ Sac(D). Кроме того, пусть u
— решение задачи (1.1), (1.2), где
q(t, x) = 0 для почти всех (t, x) ∈ [a, t0]× [c, x0], (3.1)
ϕ(t) = 0 для t ∈ [a, t0], ψ(x) = 0 для x ∈ [c, x0]. (3.2)
Тогда u удовлетворяет условию
u(t, x) = 0 для (t, x) ∈ [a, t0]× [c, x0]. (3.3)
Доказательство. Положим D0 = [a, t0]× [c, x0]. В силу включения ` ∈ Sac(D)
и теоремы 1.1 ясно, что задача
∂2v(t, x)
∂t ∂x
= `(v)(t, x) +
∣∣q(t, x)∣∣, (3.4)
v(t, c) =
t∫
a
|ϕ′(s)|ds, t ∈ [a, b],
v(a, x) =
x∫
c
|ψ′(η)|dη, x ∈ [c, d],
(3.5)
имеет единственное решение v. Кроме того, v допускает оценку
v(t, x) ≥ 0, (t, x) ∈ D. (3.6)
Тогда с учетом включения ` ∈ Sac(D) нетрудно проверить, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
288 И. ШРЕМР
v(t, x) ≥ u(t, x), (t, x) ∈ D, (3.7)
так как u является решением задачи (1.1), (1.2), где функции q, ϕ и ψ удовлетво-
ряют условиям (3.1), (3.2). Однако оператор `, по предположению, отрицателен, и
поэтому из условий (3.4) и (3.6) вытекает, что
vtx(t, x) ≤
∣∣q(t, x)∣∣ для почти всех (t, x) ∈ D.
Отсюда, в силу условий (3.1), (3.2), (3.5) и (3.6), следует
0 ≤ v(t, x) ≤
t∫
a
|ϕ′(s)|ds+
x∫
c
|ψ′(η)|dη +
t∫
a
x∫
c
∣∣q(s, η)∣∣dηds = 0
для всех (t, x) ∈ D0, т. е.
v(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0 . (3.8)
С другой стороны, с учетом условий (1.1), (3.4), (3.7) и предположения −` ∈ P(D)
получаем
utx(t, x) = `(u− v)(t, x) + q(t, x) + `(v)(t, x) ≥ q(t, x) + `(v)(t, x) =
= vtx(t, x) + q(t, x)−
∣∣q(t, x)∣∣ для почти всех (t, x) ∈ D.
Следовательно, в силу (3.1) и (3.8) ясно, что
utx(t, x) ≥ 0 для почти всех (t, x) ∈ D0.
Заметив теперь, что функции ϕ и ψ в начальных условиях (1.2) удовлетворяют
равенствам (3.2), из последнего неравенства непосредственно получим
u(t, x) =
t∫
a
x∫
c
usη(s, η)dηds ≥ 0, (t, x) ∈ D0 . (3.9)
Теперь справедливость требуемого равенства (3.3) вытекает из условий (3.7) – (3.9).
Из приведенного предложения, в частности, следует, что если оператор ` в
уравнении (1.1) отрицателен и для гиперболического уравнения (1.1) справедлива
теорема о дифференциальных неравенствах, то оператор Дарбу задачи (1.10), (1.20)
необходимо (a, c)-вольтерров. Более точно, имеет место следующее утверждение.
Следствие 3.1. Пусть отрицательный оператор ` ∈ L(D) принадлежит
множеству Sac(D). Тогда оператор Дарбу задачи (1.10), (1.20) является (a, c)-
вольтерровым оператором.
Для доказательства теоремы 3.1 также потребуется найти гладкую аппроксима-
цию непрерывной функции двух переменных. Для полноты изложения приведем
следующую лемму, касающуюся этого классического вопроса теории функций дей-
ствительной переменной.
Лемма 3.1. Пусть (t0, x0) ∈ ]a, b]× ]c, d] — произвольная точка, а v0 ∈ C
(
D;
R
)
— функция, удовлетворяющая условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ... 289
v0(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0, (3.10)
где D0 = [a, t0]× [c, x0]. Тогда существует последовательность {vn}+∞n=1 функций
класса C2
(
D; R
)
такая, что
vn(t, x) = 0 для (t, x) ∈ D0, n ∈ N, (3.11)
и
lim
n→+∞
‖vn − v0‖C = 0. (3.12)
Доказательство. Пусть fn : R → R, n ∈ N, — функции, определенные равен-
ством
fn(s) =
1, если s ≤ 0,
exp
(
n3s3
n3s3 − 1
)
, если 0 < s <
1
n
,
0, если s ≥ 1
n
.
Ясно, что функции fn, n ∈ N, непрерывны вместе со своими производными пер-
вого и второго порядка и допускают оценку
0 ≤ fn(s) ≤ 1, s ∈ R, n ∈ N.
Для каждого n ∈ N положим
χn(t, x) = 1− fn(t− t0)fn(x− x0), (t, x) ∈ D.
Тогда χn ∈ C2
(
D; R
)
для всех n ∈ N и, кроме того, выполнены условия
0 ≤ χn(t, x) ≤ 1, (t, x) ∈ D, n ∈ N,
χn(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0, n ∈ N,
и
χn(t, x) = 1, (t, x) ∈ D \
(
[a, t0 + 1/n]× [c, x0 + 1/n]
)
, n ∈ N. (3.13)
Из функционального анализа известно, что для функции v0 можно указать такую
последовательность {wn}+∞n=1 функций класса C2
(
D; R
)
, что
lim
n→+∞
‖wn − v0‖C = 0. (3.14)
Положим теперь
vn(t, x) = χn(t, x)wn(t, x), (t, x) ∈ D, n ∈ N.
Ясно, что vn ∈ C2
(
D; R
)
для всех n ∈ N и выполняются равенства (3.11). Докажем
справедливость условия (3.12). Зафиксируем произвольное ε > 0. Функция v0
непрерывна на прямоугольнике D, и поэтому существует такое δ > 0, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
290 И. ШРЕМР
∣∣v0(t2, x2)− v0(t1, x1)
∣∣ < ε
2
для (t1, x1), (t2, x2) ∈ D, |t2 − t1|+ |x2 − x1| < δ. (3.15)
Кроме того, в силу условия (3.14) существует n0 ∈ N такое, что n0 >
2
δ
и
∣∣wn(t, x)− v0(t, x)
∣∣ < ε
2
, (t, x) ∈ D, n ≥ n0. (3.16)
Отсюда с учетом (3.10) и (3.15) получаем∣∣v0(t, x)∣∣ < ε
2
для (t, x) ∈
(
[a, t0 + 1/n]× [c, x0 + 1/n]
)
∩ D, n ≥ n0. (3.17)
С другой стороны, ясно, что для всех (t, x) ∈ D и n ∈ N выполняется соотношение∣∣v0(t, x)− vn(t, x)
∣∣ ≤ ∣∣v0(t, x)∣∣(1− χn(t, x)
)
+
∣∣v0(t, x)− wn(t, x)
∣∣χn(t, x) ≤
≤
∣∣v0(t, x)∣∣(1− χn(t, x)
)
+
∣∣v0(t, x)− wn(t, x)
∣∣.
Следовательно, в силу условий (3.13), (3.16) и (3.17) получим∣∣v0(t, x)− vn(t, x)
∣∣ < ε, (t, x) ∈ D, n ≥ n0 ,
что и устанавливает справедливость условия (3.12).
Перейдем к доказательству теоремы 3.1.
Доказательство теоремы 3.1. Предположим противное, т. е. оператор ` не
является (a, c)-вольтерровым. Тогда существуют функция v0 ∈ C
(
D; R
)
и точка
(t0, x0) ∈ ]a, b]× ]c, d] такие, что (t0, x0) 6= (b, d), выполняется равенство (3.10) и
mes
{
(t, x) ∈ D0 : `(v0)(t, x) 6= 0
}
> 0,
где D0 = [a, t0]× [c, x0]. Не ограничивая общности, можем считать, что
mes
{
(t, x) ∈ D0 : `(v0)(t, x) < 0
}
> 0. (3.18)
Сначала покажем, что
Ω
(
`(|v0|)
)
(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0, (3.19)
где Ω обозначает оператор Дарбу задачи (1.10), (1.20). В силу леммы 3.1 существует
последовательность {vn}+∞n=1 функций класса C2
(
D; R
)
такая, что выполняются
равенства (3.11) и
lim
n→+∞
∥∥vn − |v0|
∥∥
C
= 0. (3.20)
Отсюда имеем
lim
n→+∞
∥∥Ω
(
`(vn)
)
− Ω
(
`(|v0|)
)∥∥
C
= 0, (3.21)
так как операторы ` и Ω непрерывны (см. замечание 2.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ... 291
Пусть теперь zn = Ω
(
`(vn)
)
для всех n ∈ N. Для каждого натурального n
функция zn, очевидно, является решением задачи
∂2zn(t, x)
∂t ∂x
= `(zn)(t, x) + `(vn)(t, x), (3.22)
zn(t, c) = 0 для t ∈ [a, b], zn(a, x) = 0 для x ∈ [c, d]. (3.23)
Положим
wn(t, x) = vn(t, x) + zn(t, x), (t, x) ∈ D, n ∈ N.
Ясно, что wn ∈ C∗
(
D; R
)
для всех n ∈ N, поскольку все функции vn принадлежат
множеству C2
(
D; R
)
. Кроме того, в силу условий (3.22) и (3.23) получим
∂2wn(t, x)
∂t ∂x
= `(wn)(t, x) +
∂2vn(t, x)
∂t ∂x
для почти всех (t, x) ∈ D,
wn(t, c) = vn(t, c) для t ∈ [a, b], wn(a, x) = vn(a, x) для x ∈ [c, d].
Поэтому с учетом равенств (3.11) из предложения 3.2 находим
wn(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0, n ∈ N.
Подставляя (3.11) в последнее условие, получаем
Ω
(
`(vn)
)
(t, x) = zn(t, x) = −vn(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0, n ∈ N,
и, следовательно, в силу условия (3.21) имеет место равенство (3.19).
Обозначим через u решение задачи (1.1), (1.20), где
q(t, x) =
−`(|v0|)(t, x), (t, x) ∈ D0,
0, (t, x) ∈ D \ D0.
(3.24)
В силу включения ` ∈ Sac(D) и теоремы 1.1 это решение существует и единствен-
но. Кроме того, легко проверить, что
u(t, x) ≥ 0, (t, x) ∈ D, (3.25)
ибо оператор `, согласно предположению, отрицателен.
Далее, с учетом (3.18) из (3.24) получаем
mes
{
(t, x) ∈ D0 : q(t, x) > 0
}
> 0. (3.26)
Поскольку u = Ω(q), а оператор Ω является (a, c)-вольтерровым (см. следствие 3.1),
из (3.19) и (3.24) нетрудно получить равенство
u(t, x) = 0, (t, x) ∈ D0. (3.27)
С другой стороны, в силу условия (3.25) и предположения −` ∈ P(D) из
уравнения (1.1) вытекает оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
292 И. ШРЕМР
utx(t, x) ≤ q(t, x) для почти всех (t, x) ∈ D,
и поэтому в силу условий (3.24) и (3.27)
utx(t, x) ≤ 0 для почти всех (t, x) ∈ D. (3.28)
Однако функция u удовлетворяет однородным начальным условиям (1.20), и по-
этому в силу (3.28)
u(t, x) =
t∫
a
x∫
c
usη(s, η)dηds ≤ 0, (t, x) ∈ D. (3.29)
Из (3.29), принимая во внимание (3.25), заключаем, что u ≡ 0 на множестве D,
и поэтому в силу уравнения (1.1) имеем q ≡ 0 на D, что противоречит неравен-
ству (3.26).
Полученное противоречие доказывает теорему.
1. Bernfeld S., Lakshmikantham V. Monotone methods for nonlinear boundary value problems in
Banach spaces // Nonlinear Anal. – 1979. – 3. – P. 303 – 316.
2. Deimling K., Lakshmikantham V. Existence and comparision theorems for differential equations in
Banach spaces // Ibid. – 1979. – 3. – P. 569 – 575.
3. Lakshmikantham V., Pandit S. G. The method of upper, lower solutions and hyperbolic partial
differential equations // J. Math. Anal. and Appl. – 1985. – 105. – P. 466 – 477.
4. Mawhin J., Ortega R., Robles-Pérez A. M. A maximum principle for bounded solutions of the
telegraph equations and applications to nonlinear forcings // Ibid. – 2000. – 251. – P. 695 – 709.
5. Ortega R., Robles-Pérez A. M. A maximum principle for periodic solutions of the telegraph equation
// Ibid. – 1998. – 221. – P. 625 – 651.
6. Sattinger D. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems //
Indiana Univ. Math. J. – 1972. – 21. – P. 979 – 1000.
7. Lomtatidze A., Mukhigulashvili S., Šremr J. Nonnegative solutions of the characteristic initial
value problem for linear partial functional-differential equations of hyperbolic type // Math. Comput.
Modelling. – 2007. doi:10.1016/j.mcm.2007.07.003 (см. также Preprint / Acad. Sci. Czech Republic.
Inst. Math., № 160, 2005).
8. Šremr J. On the characteristic initial value problem for linear partial functional-differential equations
of hyperbolic type // Proc. Edinburgh Math. Soc. (to appear) (см. также Preprint / Acad. Sci. Czech
Republic. Inst. Math., № 161, 2005).
9. Deimling K. Absolutely continuous solutions of Cauchy problem for uxy = f(x, y, u, ux, uy) //
Ann. mat. pura ed appl. – 1971. – 89. – P. 381 – 391.
10. Dzagnidze O. Some new results on the continuity and differentiability of functions of several real
variables // Proc. A. Razmadze Math. Inst. – 2004. – 134. – P. 1 – 144.
11. Толстов Г. П. О второй смешанной производной // Мат. сб. – 1949. – 24, № 1. – С. 27 – 51.
12. Carathéodory C. Vorlesungen über relle Funktionen. – Leipzig; Berlin: Verlag und Druck Von
B. G. Teubner, 1918.
13. Lojasiewicz S. An introduction to the theory of real functions. – Chichester: Wiley Int. Publ., 1988.
14. Walczak S. Absolutely continuous functions of several variables and their application to to differential
equations // Bull. Polish Acad. Sci. Math. – 1987. – 35, № 11–12. – P. 733 – 744.
15. Bravyi E., Lomtatidze A., P◦uža B. A note on the theorem on differential inequalities // Georg. Math.
J. – 2000. – 7, № 4. – С. 627 – 631.
16. Štěpánková H. A note on the theorem on differential inequalities // Electron. J. Qual. Theory
Different. Equat. – 2005. – 7. – P. 1 – 8.
Получено 16.10.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3156 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:16Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/37/e2882213a4f095fe4f61d7f704eac137.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31562020-03-18T19:46:54Z Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type Некоторые замечания о линейных функционально-дифференциальных неравенствах гиперболического типа Šremr, J. Шремр, И. Шремр, И. It is proved that for the validity of a theorem on differential inequalities for the hyperbolic equation $$ \frac{\partial^2u(t, x)}{\partial t \partial x} = l(u)(t,x)+q(t,x)$$ with a nonincreasing linear operator $l: {C}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})\rightarrow{L}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})$, it is necessary that the operator indicated be an $(a, c)$-Volterra operator. Показано, що для того, щоб для лінійного функціонально-диференціального рівняння гіперболічного типу $$ \frac{\partial^2u(t, x)}{\partial t \partial x} = l(u)(t,x)+q(t,x)$$ з від'ємним лінійним оператором $l: {C}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})\rightarrow{L}([a, b]\times [c,d];\mathbb{R})$ була справедливою теорема про диференціальні нерівності, необхідною є $(a, c)$-вольтерровість оператора $l$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3156 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 2 (2008); 283–292 Український математичний журнал; Том 60 № 2 (2008); 283–292 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3156/3060 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3156/3061 Copyright (c) 2008 Šremr J. |
| spellingShingle | Šremr, J. Шремр, И. Шремр, И. Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| title | Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| title_alt | Некоторые замечания о линейных функционально-дифференциальных неравенствах гиперболического типа |
| title_full | Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| title_fullStr | Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| title_full_unstemmed | Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| title_short | Some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| title_sort | some remarks on linear functional differential inequalities of hyperbolic type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3156 |
| work_keys_str_mv | AT sremrj someremarksonlinearfunctionaldifferentialinequalitiesofhyperbolictype AT šremri someremarksonlinearfunctionaldifferentialinequalitiesofhyperbolictype AT šremri someremarksonlinearfunctionaldifferentialinequalitiesofhyperbolictype AT sremrj nekotoryezamečaniâolinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhneravenstvahgiperboličeskogotipa AT šremri nekotoryezamečaniâolinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhneravenstvahgiperboličeskogotipa AT šremri nekotoryezamečaniâolinejnyhfunkcionalʹnodifferencialʹnyhneravenstvahgiperboličeskogotipa |