Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations

We establish asymptotic representations for the solutions of a class of nonlinear nonautonomous second-order differential equations.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Evtukhov, V. M., Belozerova, M. A., Евтухов, В. М., Белозерова, М. А.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3158
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509201437032448
author	Evtukhov, V. M. Belozerova, M. A. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А.
author_facet	Evtukhov, V. M. Belozerova, M. A. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А.
author_sort	Evtukhov, V. M.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:47:10Z
description	We establish asymptotic representations for the solutions of a class of nonlinear nonautonomous second-order differential equations.
first_indexed	2026-03-24T02:37:20Z
format	Article
fulltext	UDK 517.925 V. M. Evtuxov, M. A. Belozerova (Odes. nac. un-t) ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO NELYNEJNÁX NEAVTONOMNÁX DYFFERENCYAL\|NÁX URAVNENYJ VTOROHO PORQDKA Vstanovleno asymptotyçni zobraΩennq dlq rozv’qzkiv odnoho klasu nelinijnyx neavtonomnyx dyferencial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku. Vstanovleno asymptotyçni zobraΩennq dlq rozv’qzkiv odnoho klasu nelinijnyx neavtonomnyx dyferencial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku. 1. Postanovka zadaçy y formulyrovka osnovn¥x rezul\tatov. Rassmotrym dyfferencyal\noe uravnenye ′′y = α ϕ ϕ0 0 1p t y y( ) ( ) ( )′ , (1.1) v kotorom α0 ∈. – ,1 1{ }, p : a, ω[ [ → 0, +∞] [ , – ∞ < a < ω ≤ + ∞, — neprer¥vnaq funkcyq, ϕi : ∆Yi → 0, +∞] [ , i = 0, 1, — stroho monotonn¥e, dvaΩd¥ nepre- r¥vno dyfferencyruem¥e funkcyy, udovletvorqgwye uslovyqm lim ( ) ( )z Y z i ii Yi z z z→ ∈ ′ ∆ ϕ ϕ = σi , lim sup ( ) ( )z Y z i ii Yi z z z→ ∈ ′′ ′ ∆ ϕ ϕ < + ∞, i = 0, 1, (1.2) hde Yi = lybo lybo 0, ,±∞     ∆Yi — nekotoraq odnostoronnqq okrestnost\ Yi , (1.3) σ i ∈R, pryçem σ0 + σ1 ≠ 1. V sylu pervoho yz uslovyj (1.2) kaΩdaq yz funkcyj ϕi , i ∈{ }0 1, , ymeet vyd ϕi z( ) = z zi i σ θ ( ) , hde θi : ∆Yi → 0, +∞] [ takova, çto lim ( ) ( )z Y z i ii Yi z z z→ ∈ ′ ∆ θ θ = 0. (1.4) Sledovatel\no, dlq lgboho reßenyq y uravnenyq (1.1), opredelennoho na ne- kotorom promeΩutke t0, ω[ [ � a, ω[ [ y udovletvorqgweho uslovyqm y i( ) .: t0, ω[ [ → ∆Yi , lim ( )( ) t iy t ↑ω = Yi , i = 0, 1, (1.5) ymegt mesto predstavlenyq ϕi iy t( )( )( ) = y ti oi( ) ( ) ( ) σ + 1 , i = 0, 1, pry t ↑ ω . Zna- çyt, prostejßym çastn¥m sluçaem (1.1) qvlqetsq obobwennoe uravnenye ∏m- dena – Faulera ′′y = α σ σ 0 0 1p t y y( ) ′ , voznykagwee vo mnohyx oblastqx estestvoznanyq. Osnovn¥e rezul\tat¥ ob asymptotyçeskom povedenyy reßenyj πtoho uravnenyq pry σ0 > 0 y σ 1 = 0 © V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA, 2008 310 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 311 pryveden¥ v monohrafyy [1] (sm. takΩe [2] ). V sluçae proyzvol\n¥x σ0 y σ1, udovletvorqgwyx neravenstvu σ0 + σ1 ≠ 1, asymptotyka eho reßenyj yssledo- vana v [3 – 10], a pry σ0 + σ1 = 1 — v [11]. Pry ϕ1( )′y ≡ 1, t..e. dlq uravnenyq ′′y = α ϕ0 0p t y( ) ( ) , vopros¥ asymptotyçeskoho povedenyq reßenyj so svojstvamy (1.5) yzuçalys\ v [12 – 18]. Cel\g nastoqwej rabot¥ qvlqetsq rasprostranenye na obwyj sluçaj urav- nenyq (1.1) nekotor¥x yz poluçenn¥x v ukazann¥x rabotax rezul\tatov. Reßenye y uravnenyq (1.1), zadannoe na promeΩutke t0, ω[ [ � a, ω[ [ , budem naz¥vat\ P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyem, esly dlq neho narqdu s (1.5) v¥polnqetsq lim ( ) ( ) ( )t y t y t y t↑ ′( ) ′′ω 2 = λ0. (1.6) V sylu vyda uravnenyq (1.1) kaΩdoe eho P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenye qvlqetsq stroho monotonn¥m vmeste so svoej pervoj proyzvodnoj. Odnako v dal\nejßem moΩno ohranyçyt\sq rassmotrenyem lyß\ monotonno vozrastagwyx P Y Yω( ,0 1, λ0)-reßenyj, poskol\ku vopros ob asymptotyke monotonno ub¥vagwyx P Yω( 0 , Y1 0, )λ -reßenyj moΩet b¥t\ sveden k voprosu ob asymptotyke pry t ↑ ω mono- tonno vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj s pomow\g zamen¥ y na – y, çto pryvodyt k smene v uravnenyy (1.1) znaka α 0 na protyvopoloΩn¥j. Pry yssledovanyy monotonno vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj obozna- çenyq yz (1.3) moΩno konkretyzyrovat\ sledugwym obrazom: Yi = lybo lybo 0, ,+∞     ∆Yi = y Y y i Y y i Y i i 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 , , , – , , , , , , , , +∞[ [ +∞ [ [ = ] ] =        esly = esly = esly = yi 0 > 0. (1.7) Dalee, zameçaem, çto sohlasno (1.1) znak vtoroj proyzvodnoj lgboho P Yω( 0 , Y1 0, )λ -reßenyq sovpadaet so znakom α 0 . Poπtomu pry α 0 = 1 uravnenye (1.1) ne ymeet monotonno vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj, a pry α 0 = – 1 — mo- notonno vozrastagwyx P Yω λ( , , )0 0+∞ -reßenyj. Takym obrazom, pry yzuçenyy monotonno vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj uravnenyq (1.1) neobxodymo sçytat\, çto Y1 = +∞ = =     , , , – . esly esly α α 0 0 1 0 1 (1.8) Teper\ vvedem vspomohatel\n¥e oboznaçenyq, poloΩyv πω( )t = t t pry pry ω ω ω = +∞ < +∞     , – , I t1( ) = p d A t ( ) ( ) ( ) ( ) –τ π τ θ π τ π τ τω ω λ ω σ ω 1 1 10 1 1 ( ) ∫ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 312 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA Aω 1 = a p d p d a a , ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) , – – – – esly esly π τ τ θ π τ τ ω τ π τ θ π τ τ ω σ ω λ ω ω σ ω λ ω 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0     = +∞     < +∞        ∫ ∫ I t0( ) = A t p d ω τ ϕ π τ τω 0 0∫ ( )( ) ( ) , Aω 0 = a p d p d a a , ( ) ( ) , , ( ) ( ) . esly esly τ ϕ τ τ ω τ ϕ τ τ ω ω 0 0 ∫ ∫ = +∞ < +∞        Budem takΩe hovoryt\, çto funkcyq ϕi z( ) , hde i ∈{ }0 1, , udovletvorqet uslo- vyg Si , esly dlq lgboj neprer¥vno dyfferencyruemoj funkcyy L : ∆Yi → → 0; +∞] [takoj, çto lim ( ) ( )z Y z i Yi zL z L z→ ∈ ′ ∆ = 0, (1.9) ymeet mesto sootnoßenye θi zL z( )( ) = θi z o( )( ( ))1 1+ pry z → Yi , z Yi ∈∆ . (1.10) Uslovyg Si zavedomo udovletvorqgt funkcyy ϕ i z( ) , dlq kotor¥x θi z( ) ymegt koneçn¥j predel pry z → Yi , a takΩe funkcyy vyda z zi iσ µln , z iσ ln ln z iµ y dr. Dlq monotonno vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj spravedlyv¥ sledug- wye utverΩdenyq. Teorema 1.1. Pust\ v¥polnqetsq uslovye (1.8) y funkcyq ϕ1( )z udovlet- vorqet uslovyg S1 . Tohda dlq suwestvovanyq vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 - reßenyj, λ0 ∈ R \ ,0 1{ } , uravnenyq (1.1) neobxodymo, a esly λ0 ≠ σ1 – 1, lybo λ0 = σ1 – 1 y λ σ σ0 0 1 1( – )+ > 0, (1.11) to y dostatoçno v¥polnenye uslovyj Y0 = +∞ > <     , , , , esly esly α λ α λ 0 0 0 0 0 0 0 (1.12) lim ( ) ( ) ( )t t I t I t↑ ′ ω ωπ 1 1 = λ σ σ λ 0 0 1 0 1 1 ( – ) – + , α π λ ω0 0 1 ( ) – t > 0 pry t a∈[ [, ω 1. Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq pry t ↑ ω ymegt mesto asymp- totyçeskye predstavlenyq y t y t y t ( ) ( ) ( ) –1 1σ ϕ sign 0( ) ∼ α λ λ λ σ σ σ 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 – ( – )( – ) ( )+ I t , (1.13) ′y t y t ( ) ( ) ∼ λ λ πω 0 0 1( – ) ( )t . 1 Pry ω = + ∞ sçytaem a > 0. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 313 Teorema 1.2. Pust\ v¥polnqetsq uslovye (1.8). Tohda dlq suwestvovanyq vozrastagwyx P Y Yω( , , )0 1 ±∞ -reßenyj uravnenyq (1.1) neobxodymo v¥polne- nye uslovyq Y0 = +∞ = +∞ < +∞     , , , . esly esly ω ω0 (1.14) Esly Ωe funkcyq ϕ0( )z udovletvorqet uslovyg S0, to v sovokupnosty s (1.14) uslovyq α σ σ0 0 1 01( – – ) ( )I t > 0 pry t a∈[ [, ω , lim ( ) ( ) ( )t t I t I t↑ ′ ω ωπ 0 0 = 0 (1.15) qvlqgtsq neobxodym¥my y dostatoçn¥my dlq suwestvovanyq P Y Yω( , , )0 1 ±∞ - reßenyj uravnenyq (1.1). Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq pry t ↑ ω ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq ′( ) ′( ) y t y t ( ) ( ) –1 1 0σ ϕ = α σ σ0 0 1 01 1 1( – – ) ( ) ( )I t o+[ ], ′y t y t ( ) ( ) = 1 1 1 πω( ) ( ) t o+[ ] . (1.16) V sylu ne sovsem çetkoho zadanyq nelynejnosty uravnenyq (1.1) ustanovlen- n¥e rezul\tat¥ dagt asymptotyku pry t ↑ ω eho vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 - reßenyj v neqvnom vyde. Odnako, kak pokazano v sledugwyx teoremax, pry ne- kotor¥x dopolnytel\n¥x ohranyçenyqx mohut b¥t\ v¥pysan¥ qvn¥e asympto- tyçeskye formul¥ pry t ↑ ω dlq rassmatryvaem¥x reßenyj y yx perv¥x pro- yzvodn¥x. Teorema 1.3. Pust\ v¥polnqetsq uslovye (1.8) y pry kaΩdom znaçenyy i ∈{ }0 1, funkcyq ϕi z( ) udovletvorqet uslovyg Si . Tohda dlq suwestvova- nyq vozrastagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj, λ0 ∈ R \ ,0 1{ } , uravnenyq (1.1) neobxodymo, a esly v¥polneno odno yz uslovyj (1.11), to y dostatoçno, çtob¥ v¥polnqlys\ uslovyq (1.12), pryçem dlq kaΩdoho takoho reßenyq pry t ↑ ω ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) = α λ λ λ σ σ θ π σ σ ω λ λ σ σ 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 – – – – ( – ) ( ) ( ) ( ) – – +     +[ ]I t t o , ′y t( ) = α λ πω 0 0 1( – ) ( )t × (1.17) × λ λ σ σ θ π σ σ ω λ λ σ σ 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 – – – – ( – ) ( ) ( ) ( ) – – +     +[ ]I t t o . Teorema 1.4. Pust\ v¥polnqetsq uslovye (1.18) y funkcyy ϕi z( ) , i = 0, 1, udovletvorqgt uslovyqm Si . Tohda dlq kaΩdoho vozrastagweho P Y Yω( ,0 , ±∞) -reßenyq uravnenyq (1.1) pry t ↑ ω ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) = π σ σ θω σ σ σ σ ( ) ( – – ) ( ) ( ) ( )– – – – t I t I t o1 1 10 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1     +[ ], (1.18) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 314 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA ′y t( ) = ( – – ) ( ) ( ) ( )– – – – 1 1 10 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 σ σ θ σ σ σ σ I t I t o    +[ ]. Zameçanyq. 1.1. V sluçaqx, kohda λ0 = σ1 – 1 y ( – )( – )1 11 0 1σ σ σ+ > 0, rezul\tat, analohyçn¥j ukazannomu v teoreme.1.1, ostaetsq v syle pry nekotor¥x dopolnytel\n¥x ohranyçenyqx. 1.2. Esly v uslovyqx teorem.1.1 – 1.4 α 0 , Y0, Y1 zamenyt\ na – α 0 , – Y0, – Y1 (sootvetstvenno), a v asymptotyçeskyx predstavlenyqx zamenyt\ na protyvopo- loΩn¥e znaky pry y y ′y , to poluçym sootvetstvugwye rezul\tat¥ dlq mono- tonno ub¥vagwyx P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj. 2. Dokazatel\stva osnovn¥x teorem. Dokazatel\stvo teorem¥ 1.1. Neobxodymost\. Pust\ v¥polnqetsq uslovye (1.8) y y : t0, ω[ [ → R — vozras- tagwee P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenye uravnenyq (1.1), dlq kotoroho λ0 ∈ R \ ,0 1{ } . Tohda yz (1.1) v sylu (1.6) ymeem ′( )y t y t ( ) ( ) 2 = λ α ϕ θσ 0 0 0 1 1 1 1p t y t y t y t o( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ′ ′( ) +[ ] pry t ↑ ω . (2.1) Krome toho, yz (1.6) sleduet, çto ′y t y t ( ) ( ) = λ λ πω 0 0 1 1 1 ( – ) ( ) ( ) t o+[ ] pry t ↑ ω , (2.2) t..e. ymeet mesto vtoroe yz predstavlenyj (1.13). Prynymaq vo vnymanye sootno- ßenyq (2.1) y (2.2), a takΩe uçyt¥vaq, çto funkcyy ′y t( ) , p t( ), ϕ0 y t( )( ), θ1 ′( )y t( ) prynymagt poloΩytel\n¥e znaçenyq v nekotoroj levoj okrestnosty ω, poluçaem pervoe y tret\e yz uslovyj (1.12). V sylu (2.2) yz (1.6) takΩe sleduet, çto ′′ ′ y t y t ( ) ( ) = 1 1 1 1 0( – ) ( ) ( ) λ πω t o+[ ] pry t ↑ ω . Znaçyt, ymeet mesto predstavlenye ′y t( ) = π πω λ ω λ( ) ( )– –t L t 1 1 1 10 0     , hde L : ∆Y0 → 0;+∞] [ udovletvorqet (1.9). Poskol\ku funkcyq ϕ1( )z udovletvorqet uslovyg S1, πto oznaçaet, çto θ1 ′( )y t( ) = πω λ( ) –t 1 10     1 1+( )o( ) pry t ↑ ω . Poπtomu sohlasno (2.2) y (2.1) pry t ↑ ω poluçym asymptotyçeskoe sootnoße- nye ′ ( ) y t y t y t ( ) ( ) ( ) –σ ϕ 1 0 = α λ λ λ σ 0 0 0 0 1 1 1 ( – ) – × × p t t t t o( ) ( ) ( ) ( ) ( )– –θ π π πω λ ω ω σ 1 1 10 1 1 1    +[ ]. (2.3) Prymenqq pravylo Lopytalq y yspol\zuq (1.2), (2.3), naxodym lim ( ) ( ) ( ) ( ( )) – t y t y t I t y t↑ω σ ϕ 1 1 0 1 sign = lim ( ) ( ) ( ( )) ( ) – t y t y t y t I t↑     ′ ( )′ω σ ϕ 1 0 1 1 sign = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 315 = lim ( ) ( ) ( ) – ( ) ( ( )) ( ( )) – ( ) ( ) ( ) ( ) – – –t y t y t y t y t y t y t t t p t t↑ ′ ( ) ′        ω σ ω λ ω ω σ ϕ ϕ ϕ σ θ π π π 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 = = α λ λ λ σ σ σ 0 0 0 0 0 11 1 1 1 ( – ) – ( – – ). Takym obrazom, ymeet mesto pervoe yz predstavlenyj (1.13). Otsgda, uçyt¥vaq (2.2) y (2.3), poluçaem vtoroe yz uslovyj (1.12). Dostatoçnost\. PredpoloΩym, çto v¥polnqgtsq uslovyq (1.8), (1.11), (1.12) y funkcyq ϕ1( )z udovletvorqet uslovyg S1. V πtom sluçae α λ0 0 1( – – σ σ0 1– ) πω( ) ( )t I t1 > 0 pry t a∈] [, ω , y poπtomu v I t1( ) predel yntehryrova- nyq Aω 1 opredelqetsq sledugwym obrazom: Aω 1 = a, ( – ) , , ( – ) . esly esly α λ σ σ ω α λ σ σ 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 + < + >     Rassmotrym funkcyg Φ( )y = z dz z Y y – ( ) σ ϕ 1 0 0∗ ∫ , hde Y0 ∗ = y Y y 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 , – , , , ( – ) , – , – , . esly esly esly σ σ α λ α λ σ σ σ σ α λ + < > + > + > <       Dlq πtoj funkcyy suwestvuet obratnaq funkcyq Φ–1 , zadannaq v sylu (1.7) na promeΩutke 0, +∞[ [ , esly α λ σ σ0 0 0 1 1( – )+ < 0, yly pry α λ σ0 0 0( + +. σ1 1– ) > 0 na promeΩutke cϕ0 0,[ [, hde cϕ0 = − ∗∫ z dz zY Y – ( ) σ ϕ 1 0 0 , pryçem lim ( ) y Y y Y y → ∈ 0 0 ∆ Φ = + ∞, lim ( )– z z → +∞ Φ 1 = Y0 pry α λ σ σ0 0 0 1 1( – )+ < 0, (2.4) lim ( ) y Y y Y y → ∈ 0 0 ∆ Φ = 0, lim ( )– z z ↑0 1Φ = Y0 pry α λ σ σ0 0 0 1 1( – )+ > 0, y, sohlasno pravylu Lopytalq, lim ( ) ( ) –y Y y Y y y y y→ ∈ 0 0 1 0 1 ∆ Φ ϕ σ sign = 1 1 0 1– –σ σ . (2.5) Uravnenye (1.1) s pomow\g preobrazovanyq Φ y t( )( ) = α λ λ λ σ 0 0 0 0 1 11 1 1 1 – ( – ) ( ) ( )I t z x+[ ], (2.6) ′y t y t ( ) ( ) = λ λ πω 0 0 21 1 ( – ) ( ) ( ) t z x+[ ], hde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 316 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA x = β πωln ( )t , β = 1 1 pry pry ω ω = +∞ < +∞    , – , (2.7) svedem k systeme dyfferencyal\n¥x uravnenyj ′z1 = β λ λ 0 0 1 2 11 1 1 B F x z z G x z ( – ) ( , )( ) – ( )( )+ +    , (2.8) ′z2 = β λ λ λ λ λ σ( – ) ( , ) ( )( ) ( , ) – ( ) – , – 0 2 1 2 2 0 1 0 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1K x z z G x z BF x z z z+ + + +      , v kotoroj B = α λ λ λ σ 0 0 0 0 1 1 1 ( – ) – , G x( ) = πω t x I t x I t x ( ) ( ) ( ) ( ) ′( ) ( ) 1 1 , F x z( , )1 = α λ ϕ σ 0 0 1 1 1 0 1 1( ) ( ), ( ) ( ), –sign Y t x z I t x Y t x z ( ) ( ) ( )( ) , K x z z( , , )1 2 = θ θ πω λ 1 1 1 2 1 1 10 Y t x z z t x [ ]( )( ) ( )    ( ), , ( ) – , hde Y t z( , )1 = Φ– ( )( )1 1 11BI t z+( ) , Y t z z1 1 2 [ ]( , , ) = λ λ πω 0 1 0 21 1 Y t z t z ( , ) ( – ) ( ) ( )+ . V sylu svojstv funkcyy Φ–1 , pryvedenn¥x v formulax (2.4), lim ( , ) t Y t ↑ω θ = = Y0 pry θ ≤ 1 2 . S yspol\zovanyem pravyla Lopytala y (1.2) dlq kaΩdoho ta- koho θ naxodym lim ( , ) ( , ) ( ) ( , ) – t Y t Y t I t Y t↑ ( )ω σθ θ ϕ θ 1 1 0 1 sign = lim ( , ) ( , ) ( , ) ( ) – t Y t Y t Y t I t↑ ( )     ′ ′ω σθ θ ϕ θ 1 0 1 1 sign = = lim ( ) ( ) – – ( , ) ( , ) ( , )t B I t Y t Y t Y t↑ + ′ ′ ( ) ( )    ω θ σ θ ϕ θ ϕ θ 1 11 1 0 0 = = B( )( – – )1 1 0 1+ θ σ σ . Otsgda, uçyt¥vaq vyd funkcyy Y t( , )θ y vtoroe yz uslovyj (1.12), poluçaem π θ θ ω( ) ( , ) ( , ) t Y t Y t ′ = = π θ ϕ θ θ ω σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )– t I t B I t I t Y t Y t Y t ′ + ( )1 1 1 0 1 1 0 1 sign ~ λ λ 0 0 1– pry t ↑ ω . (2.9) Takym obrazom, Y t( , )θ = πω λ λ( ) ( ( )) –t o0 0 1 1 1 + pry t ↑ ω . Poπtomu, uçyt¥vaq tret\e yz uslovyj (1.12), moΩno v¥brat\ çyslo t ∈ a, ω[ [ tak, çtob¥ Y t x( )( , z1) ∈ ∆Y0 , Y t z z1 1 2 [ ]( ), , ∈ ∆Y1 , πω λ( ) –t 1 10 ∈ ∆Y1 pry t ∈ t0, ω[ [ y zi ≤ 1 2 , i = = 1, 2. Krome toho, uçyt¥vaq pervoe yz uslovyj (1.12), ymeem sign Y t z( , )1 = = α λ0 0sign takΩe pry t ∈ t0, ω[ [ y zi ≤ 1 2 , i = 1, 2. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 317 Teper\ rassmotrym systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2.8) na mno- Ωestve Ω = x D0, +∞[ [ × , hde x0 = β πωln ( )t0 , D = ( , ): , ,z z z ii1 2 1 2 1 2≤ ={ }. Na πtom mnoΩestve prav¥e çasty πtoj system¥ qvlqgtsq neprer¥vn¥my funk- cyqmy po peremennoj x y dvaΩd¥ neprer¥vno dyfferencyruem¥my po pere- menn¥m z1, z2, pryçem ′F x zz1 1( , ) = B Y t x z Y t x z Y t x z 1 1 1 0 1 0 1 – – ( ), ( ), ( ), σ ϕ ϕ ( ) ′ ( )( ) ( )( )     , ′′F x zz1 2 1( , ) = B Y t x z Y t x z Y t x z F x z Y t x z Y t x z Y t x z 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 ( ), ( ), ( ), ( , ) ( ), ( ), ( ), ( ) ′ ( )( ) ( )( ) + ( ) ′ ( )( ) ( )( )   ϕ ϕ ϕ ϕ – – Y t x z Y t x z Y t x z ( ), ( ), ( ), 1 0 1 0 1 ( ) ′′ ( )( ) ′ ( )( )   ϕ ϕ , ′K x z zz1 1 2( , , ) = B F x z Y t x z z Y t x z z t x( , ) ( ), , ( ), , ( ) –1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 10 [ ] [ ]( ) ′ ( )( ) ( )    θ θ πω λ , ′K x z zz2 1 2( , , ) = Y t x z z Y t x z z z t x 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 11 0 [ ] [ ]( ) ′ ( )( ) + ( )    ( ), , ( ), , ( ) ( ) – θ θ πω λ , ′′K x z zz1 2 1 2( , , ) = ′ ( ) ′′ ( )( ) + ′ ( )( )    [ ] [ ] [ ]K x z z B F x z Y t x z z Y t x z z z Y t x z zz1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 21 ( , , ) ( , ) ( ), , ( ), , ( ) ( ), , θ θ + + Y t x z Y t x z Y t x z ( ), ( ), ( ), –1 0 1 0 1 1 ( ) ′ ( )( ) ( )( )    ϕ ϕ σ , ′′K x z zz2 2 1 2( , , ) = ′ ( ) ′′ ( )( ) + ′ ( )( ) [ ] [ ] [ ]K x z z Y t x z z Y t x z z z Y t x z zz2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 21 ( , , ) ( ), , ( ), , ( ) ( ), , θ θ , ′′K x z zz z1 2 1 2, ( , , ) = ′ + ( ) ′′ ( )( ) ′ ( )( ) +       [ ] [ ] [ ] K x z z z Y t x z z Y t x z z Y t x z z z2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 1 ( , , ) ( ), , ( ), , ( ), , θ θ . RazloΩyv pry kaΩdom fyksyrovannom x ∈ x0, +∞[ [ funkcyy F x z( , )1 y 1 1F x z( , ) po formule Tejlora s ostatkom v forme LahranΩa v okrestnosty z 1 = = 0 do vtoroho porqdka vklgçytel\no, funkcyg K x z z( , , )1 2 v okrestnosty toçky ( , )z z1 2 = ( , )0 0 , a funkcyg 1 2 0+ z –σ v okrestnosty toçky z2 = 0, za- pyßem systemu (2.9) v vyde ′z1 = F x1( ) + A x z11 1( ) + A x z12 2( ) + R x z z1 1 2( , , ) , (2.10) ′z2 = F x2( ) + A x z21 1( ) + A x z22 2( ) + R x z z2 1 2( , , ) , hde F x1( ) = β λ λ 0 0 1 0 ( – ) ( , ) – ( ) B F x G x     , F x2( ) = β λ λ BG x K x F x ( ) ( , , ) ( , ) – – 0 0 0 1 10 0     , A x11( ) = β λ λ 0 01 0 ( – ) ( , ) – ( ) B F x G x′    , A x12( ) = β λ λ 0 0 1 0 ( – ) ( , ) B F x , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 318 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA A x21( ) = β λ λ ( – ) ( ) ( , , ) ( , ) – ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 1 B G x K x F x G x F x K x F x z′ ′        , A x22( ) = β λ λ σ λ λ ( – ) ( ) ( , ) – ( , , ) ( , , ) – 1 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 2 G x BF x K x K xz+ ′( ) + +    , R x z z1 1 2( , , ) = βλ λ θ0 0 1 2 1 1 2 21 0 1 2 1 ( – ) ( , ) ( , ) ( ) B F x z z F x z z′ + ′′ +    , R x z z2 1 2( , , ) = β λ λ θ σ G x B z K x z z F x ( ) ( – ) ( – ) ( , , ) ( , ) – 0 2 0 2 1 2 3 2 1 1 2 1   × × 2 2 2 2 2 1 2( ( , ) – ( , ) ( , )′ ′′( )F x F x F x zθ θ θ + ( – ) ( , ) ( , ) – ( , ) –1 2 0 0 02 2 1 1z F x F x F x z σ ′( ) × × ′′ + + + ′( ) = ∑ K x z z F x F x F x zz z i j i j i j, , – –( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) – ( , )θ θ σ σ θ σ 3 4 1 2 1 1 2 5 2 1 1 2 0 1 0 01 × × K x K x z zz i i i ( , , ) ( , , )0 0 0 0 1 2 2 2+ ′    = ∑ + + σ1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ′ + ′    = ∑F x F x K x K x z z zz i i i ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) – – ′ ′ ′  == ∑∑F x F x K x z z F x K x z z zz i ii z ii i ( , ) ( , ) ( , , ) – ( , ) ( , , ) – – 0 0 0 0 0 0 0 12 1 1 2 1 2 1 2 2 0 0 2 2σ λ λ , θi ≤ 1 2 , i = 1, … , 5. Uçyt¥vaq (2.10) y to, çto funkcyq ϕ1( )z udovletvorqet uslovyg S1, ymeem θ λ λ πω 1 0 0 0 1 Y t x t x ( ), ( – ) ( ) ( ) ( )     = θ πω λ 1 1 10 1 1t x o( ) ( )–( )    +( ) pry x → + ∞. Otsgda lim ( , , ) x K x → +∞ 0 0 = 1 y sohlasno (1.2) lim ( , , ) x zK x i→ +∞ ′ 0 0 = 0, i ∈{ }1 2, . Poπtomu v sylu (2.9), svojstv funkcyy Φ−1 , pryvedenn¥x v formulax (2.5), y uslovyq (1.12), poluçaem lim ( ) x iF x → +∞ = 0, i = 1, 2, predel\naq matryca koπffycyentov lynejnoj çasty system¥ (2.10) ymeet vyd A = lim ( ) ( ) ( ) ( )x A x A x A x A x→ +∞       11 12 21 22 = 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 β σ σ λ λ β λ β λ σ λ ( – ) – – ( – ) – + +           y lim ( , , ) z z iR x z z z z1 2 0 1 2 1 2+ → + = 0, i = 1, 2, ravnomerno po x x∈ +∞[ [0, . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 319 Zapyßem dlq matryc¥ A xarakterystyçeskoe uravnenye det –A Eν 2[ ] = 0, hde E2 — edynyçnaq matryca vtoroho porqdka: ν2 – β λ σ λ ν( – – ) – 0 1 0 1 1 – λ σ σ λ0 0 1 0 2 1 1 ( – ) ( – ) + = 0. V sylu (1.11) πto uravnenye ne ymeet kornej s nulevoj dejstvytel\noj çast\g. Takym obrazom, dlq system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2.10) v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥.2.1 yz [19]. Sohlasno πtoj teoreme systema (2.8) ymeet xo- tq b¥ odno reßenye zi i{ } =1 2 : x1, +∞[ [ → R2 , x1 ≥ x0, stremqweesq k nulg pry x → + ∞. Emu vsledstvye zamen (2.6), (2.7) sootvetstvuet reßenye y uravne- nyq.(1.1), dopuskagwee pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq Φ y t( )( ) = α λ λ λ σ 0 0 0 0 11 1 1 1 1 – ( – ) ( ) ( )I t o+[ ], ′y t y t ( ) ( ) = λ λ πω 0 0 1 1 1 ( – ) ( ) ( ) t o+[ ]. S uçetom (2.5) pervoe yz nyx zapyßem v vyde y t y t y t ( ) ( ) ( ) –1 0 1σ ϕ sign ( ) = α λ λ λ σ σ σ 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 1 1 – ( – )( – ) ( ) ( )+ +[ ]I t o pry t ↑ ω . V sylu πtyx predstavlenyj y (1.1) qsno, çto poluçennoe reßenye y qvlqetsq vozrastagwym P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyem. Teorema.1.1 dokazana. Dokazatel\stvo teorem¥ 1.2. Neobxodymost\. Pust\ v¥polnqetsq uslo- vye (1.8), y : t0, ω[ [ → R — vozrastagwee P Y Yω( , , )0 1 ∞ -reßenye uravne- nyq.(1.1). Tohda sohlasno (1.6) yz toΩdestva ′′ ′( ) y t y t y t ( ) ( ) ( ) 2 = ′    ′ ′    y t y t y t y t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 + 1 sleduet, çto ′    ′ ′    y t y t y t y t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = – 1 + o( )1 pry t ↑ ω . Otsgda s uçetom (1.5) neposredstvenno v¥tekagt asymptotyçeskye sootnoße- nyq y t( ) = πω( ) ( ) ( )t y t o′ +( )1 1 , ′′y t( ) = o y t t ′    ( ) ( )πω pry t ↑ ω . (2.11) V sylu pervoho yz πtyx sootnoßenyj ymeet mesto vtoroe yz predstavlenyj (1.16) y v¥polnqetsq uslovye (1.14). ∏to oznaçaet, çto suwestvuet takaq udov- letvorqgwaq (1.9) neprer¥vno dyfferencyruemaq funkcyq L : ∆Y0 → → 0; +∞] [ , çto y t( ) = π πω ω( ) ( )t L t( ). Poπtomu v sylu uslovyq S 0 θ0 y t( )( ) = =. θ πω0 ( )t( ). 1 1+( )o( ) pry t ↑ ω . Prymenqq pravylo Lopytalq y yspol\zuq po- luçennoe predstavlenye v sovokupnosty s formulamy (1.2), (1.6), naxodym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 320 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA lim ( ) ( ) ( ) – t y t I t y t↑ ′( ) ′( )ω σ ϕ 1 0 1 0 = lim ( ) ( ) ( ) – t y t y t I t↑ ′( ) ′( )         ′ ′ω σ ϕ 1 1 0 0 = = lim ( ) ( ) ( ) – ( ) ( ) ( ) – ( ) ( )t y t y t y t y t y t y t p t t↑ −′′ ′( ) ′( ) ′ ′ ′( ) ′( )     ( )ω σ ω ϕ ϕ ϕ σ ϕ π 0 1 1 1 0 0 1 = α σ σ0 0 11( – – ) , t..e. ymeet mesto pervoe yz predstavlenyj (1.16). S uçetom znaka ′y t( ) poluça- em takΩe pervoe yz uslovyj (1.15). Krome toho, uçyt¥vaq (2.11), ymeem π ϕ π ϕ α σ σ ω ω σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( – – ) ( ) – t p t t y t y t 0 1 0 0 1 1 1 0 0 ( ) ′( ) ′ → pry t ↑ ω , otkuda sleduet vtoroe yz uslovyj (1.15). Dostatoçnost\. PredpoloΩym, çto funkcyq ϕ0( )z udovletvorqet uslo- vyg S0, a takΩe v¥polnqgtsq uslovyq (1.8), (1.14) y (1.15). Tohda v sylu per- voho yz uslovyj (1.15) v I t0( ) predel yntehryrovanyq Aω 0 opredelqetsq sledu- gwym obrazom: Aω 0 = a, ( – ) , , ( – ) . esly esly α σ σ ω α σ σ 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 + < + >     Rassmotrym funkcyg Φ( )z = ( ) ( ) –τ τ ϕ τ σ0 1 1 d Y z ∗ ∫ , hde Y1 ∗ = y Y 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 > + > + <     , ( – ) , , ( – ) . esly esly α σ σ α σ σ Yz formul (1.2) sleduet, çto dlq πtoj funkcyy suwestvuet obratnaq funkcyq Φ–1 , zadannaq na promeΩutke ∆, hde ∆ = 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 , , , – , , – , , , , , , – , +∞[ [ + < = ∞] ] + > = [ [ + > = ] ] + < =         esly y esly y esly y esly y σ σ α σ σ α σ σ α σ σ α ϕ ϕ c c cϕ 1 = – ( ) –τ τ ϕ τ σ0 1 0 1 0 d y Y ∫ , pryçem lim ( ) z Y z Y z → ∈ 1 1 ∆ Φ = Y1, lim ( )– z Y z z → ∈ 1 1 ∆ Φ = Y1 pry σ σ0 1 1+ – < 0, lim ( ) z Y z Y z → ∈ 1 1 ∆ Φ = – ∞, lim ( ) – – z z → ∞ Φ 1 = Y1 pry σ σ0 1 1+ – > 0 y α0 = – 1, (2.12) lim ( ) z Y z Y z → ∈ 1 1 ∆ Φ = 0, lim ( )– z z ↑0 1Φ = Y1 pry σ σ0 1 1+ – > 0 y α0 = 1, y, sohlasno pravylu Lopytalq, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 321 lim ( ) ( ) –z Y z z z→ 1 0 1 1 Φ ϕ σ = 1 1 0 1– –σ σ . (2.13) Uravnenye (1.1) s pomow\g preobrazovanyq Φ ′( )y t( ) = α0 0 11I t z x( ) ( )+[ ], ′y t y t ( ) ( ) = 1 1 2πω( ) ( ) t z x+[ ], (2.14) hde x = β πωln ( )t , β = 1 1 pry pry ω ω = +∞ < +∞    , – , (2.15) svedem k systeme dyfferencyal\n¥x uravnenyj ′z1 = β σG x K x z z z z( ) ( , , )( ) – ( )– 1 2 2 11 10+ +[ ], (2.16) ′z2 = – – ( , , ) ( )( ) ( , ) – β α σ z z K x z z G x z F x z2 2 2 1 2 2 1 0 1 1 0 + +    , v kotoroj G x( ) = πω t x I t x I t x ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ( ) ( ) 0 0 , F x z( , )1 = Y t x z I t x Y t x z 1 1 1 0 0 1 1 0[ ] [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ), – σ ϕ , Y t z1 1 [ ]( , ) = Φ– ( )( )1 0 0 11α I t z+( ), K x z z( , , )1 2 = θ π θ π ω ω 0 1 1 2 0 1 t x Y t x z z x t x ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) +     ( )( ) [ ] . V sylu svojstv funkcyy Φ–1 , pryvedenn¥x v formulax (2.12), lim ( x Y x → +∞ [ ]1 , θ) = Y1 pry θ ≤ 1 2 . Uçyt¥vaq vyd funkcyy Φ y (1.2), s yspol\zovanyem pra- vyla Lopytalq naxodym lim , ( ) , – t Y t I t Y t↑ [ ] [ ] ( )( ) ( )( )ω σθ ϕ θ 1 1 0 1 1 0 = lim , , ( ) – t Y t Y t I t↑ [ ] [ ] ( )( ) ( )( )         ′ ′ω σθ ϕ θ 1 1 1 1 0 0 = α σ σ θ0 0 11 1( – – )( )+ . Yspol\zuq πto predel\noe sootnoßenye, analohyçno tomu, kak b¥lo ustanovle- no (2.9), poluçaem lim ( ) , ,t t Y t Y t↑ [ ] [ ] ( )( )′ ( )ω ωπ θ θ 1 1 = 0. (2.17) ∏to oznaçaet, çto Y t1[ ]( ), θ = πω( ) ( )t o 1 pry t ↑ ω . Poπtomu s uçetom (1.14) moΩno v¥brat\ çyslo t a0 ∈[ [, ω tak, çtob¥ Y t z1 1 [ ]( ), ∈ ∆Y1 , πω( ) ,t Y t z z 1 1 21 [ ]( ) + ∈ ∈. ∆Y0 , πω( )t ∈ ∆Y0 pry t t∈[ [0, ω y zi ≤ 1 2 . Rassmotrym teper\ systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2.16) na mno- Ωestve Ω = x D0, +∞[ [ × , hde x0 = β ln t0 , D = ( , ): , ,z z z ii1 2 1 2≤ ={ }δ . Na πtom mnoΩestve prav¥e çasty system¥ qvlqgtsq neprer¥vn¥my funkcyqmy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 322 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA po peremennoj x y dvaΩd¥ neprer¥vno dyfferencyruem¥my po peremenn¥m z1, z2. Kak y pry dokazatel\stve teorem¥.1.1, razloΩyv pry kaΩdom fyksyrovan- nom x x∈ +∞[ [0, funkcyg 1 1F x z( , ) po formule Tejlora s ostatkom v forme LahranΩa v okrestnosty z1 = 0 do vtoroho porqdka vklgçytel\no, funkcyg K x z z( , , )1 2 v okrestnosty toçky ( , )z z1 2 = (0, 0), a funkcyg ( )–1 2 0+ z σ v ok- restnosty toçky z2 = 0, zapyßem systemu (2.16) v vyde ′z1 = F x1( ) + A x z11 1( ) + A x z12 2( ) + R x z z G x1 1 2( , , ) ( ) , ′z2 = F x2( ) + A x z21 1( ) + A x z22 2( ) + R x z z2 1 2( , , ), hde F x1( ) = βG x K x( ) ( , , ) –0 0 1[ ], F x2( ) = βα0 0 0 0 G x K x F x ( ) ( , , ) ( , ) , A x11( ) = βG x K xz( ) ( , , ) –′[ ]1 0 0 1 , A x12( ) = β σG x K x K xz( ) ( , , ) – ( , , )′[ ]2 0 0 0 00 , A x21( ) = βα0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 G x K x F x K x F x F x z ( ) ( , , ) ( , ) – ( , , ) ( , ) ( , ) ′ ′        , A x22( ) = – ( ) ( , , ) ( , ) ( – ) ( , , ) ( , ) β βα σ+ ′ +         0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 G x K x F x K x F x z , R x z z1 1 2( , , ) = β σ σ θ σK x z z z( , , ) ( ) ( )– – 1 2 0 0 2 2 4 21 2 1 0     + + – – σ0 1 2 2 1 2 1 2 0 0K x z z K x z K x z z z zz z i j i j i j ( , , ) – ( , , ) ( , , ) , ( ) + ′′    = ∑ , R x z z2 1 2( , , ) = – ( ) ( ) – – ( – ) ( , , ) ( , ) –β βα σσz G x z z K x z z F x z2 2 0 2 1 0 2 1 2 1 1 1 10+ +( )    + + ( – ) ( , ) ( , , ) – ( , , ) σ0 2 1 1 2 1 0 0 z F x z K x z z K x( ) + ( – ) ( , , ) ( , ) σ0 2 1 1 0 0 1z K x F x z   – – 1 0F x( , )   + K x z z F x F x F x F x z ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) – ( , )1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 θ θ θ θ′′ ′( )( ) – – F x F x z K x z z K x ( , ) ( , ) ( , , ) – ( , , ) 0 0 0 02 1 1 2( ) + + 1 0 1 2 2 3 1 2 F x K x z zz z i j i j( , ) ( , , ) , ′′    = ∑ θ θ , θi ≤ 1 2 , i = 1, … , 4. Poskol\ku v sylu (2.17) lim ( , , ) x K x → +∞ 0 0 = 1, lim ( , , ) x zK x i→ +∞ ′ 0 0 = 0, i ∈{ }1 2, , uçyt¥vaq (1.15) y (1.2), poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 323 lim ( ) ( )x i ii F x A x→ +∞ = 0, i = 1, 2, lim ( ) ( ) – x G x A x→ +∞ = 11 β , lim ( ) – x A x→ +∞ =1 22 β, lim ( ) ( )x A x A x→ +∞ =12 11 0σ , lim ( ) ( )x A x A x→ +∞ 21 22 = 0, A x dxii z ( ) 0 +∞ ∫ = + ∞, i = 1, 2, lim ( , , ) z z iR x z z z z1 2 0 1 2 1 2+ → + = 0, i = 1, 2, ravnomerno po x x∈ +∞[ [0, . Tohda sohlasno teoreme.1.3 y zameçanyg 1.4 yz [19] systema (2.16) ymeet xotq b¥ odno reßenye zi i{ } =1 2 : x1, +∞[ [ → R2 , x1 ≥ x0, stremqweesq k nulg pry x → → + ∞. Emu v sylu zamen (2.14), (2.15) sootvetstvuet reßenye y uravnenyq.(1.1), dopuskagwee pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq Φ ′( )y t( ) = α0 0 1 1I t o( ) ( )+[ ], ′y t y t ( ) ( ) = 1 1 1 πω( ) ( ) t o+[ ] . S uçetom (2.13) pervoe yz nyx perepyßem v vyde ′( ) ′( ) y t y t ( ) ( ) –1 0 1 σ ϕ = α σ σ0 0 1 01 1 1( – – ) ( ) ( )I t o+[ ] pry t ↑ ω . V sylu πtyx predstavlenyj y (1.1) y qvlqetsq vozrastagwym P Y Yω( , , )0 1 +∞ -re- ßenyem. Teorema.1.2 dokazana. Dokazatel\stvo teorem¥ 1.3. Yz teorem¥.1.1 sleduet, çto pry v¥pol- nenyy uslovyj (1.8), (1.12) kaΩdoe vozrastagwee P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenye y : ty, ω[ [ → 0, +∞] [ , hde λ0 ∈ R \ ,0 1{ } y udovletvorqet (1.11), dopuskaet pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq (1.13). Yntehryruq vtoroe yz nyx po promeΩutku t ty,[ ] � ty, ω[ [ , poluçaem y t( ) = πω λ λ ε ( ) – ( ) t t0 0 1 + , (2.18) hde lim ( ) t t ↑ω ε = 0. PoloΩym L z( ) = πω εt z t z( ) ( )( ) ( ) , hde t z( ) — funkcyq obratnaq k z = = πω λ λ( ) –t 0 0 1. Tohda sohlasno (2.18) y vtoromu yz sootnoßenyj (1.13) lim ( ) ( )z Y z Y zL z L z→ ∈ ′ 0 0 ∆ = lim – ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( )t t t t t t↑ ′ +   ω ω ω ω λ λ π ε π ε π 0 0 1 = = λ λ π λ λω ω0 0 0 0 1 1 – lim ( ) ( ) ( ) – –t t y t y t↑ ′    = 0. Otsgda, uçyt¥vaq, çto funkcyq ϕ0( )z udovletvorqet uslovyg S0, v sylu (1.10) ymeem θ0 y t( )( ) = θ π πω λ λ ω λ λ 0 1 1 0 0 0 0( ) ( )– –t L t         = θ πω λ λ0 1 0 0 1 1( ) ( ( ))–t o     + ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 324 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA pry t ↑ ω . V sylu πtoho sootnoßenyq pervoe yz predstavlenyj (1.13) moΩno zapysat\ v vyde y t y t( ) ( )– –1 1 0σ σ sign ∼ α λ λ λ σ σ θ π σ ω λ λ 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 – ( – )( – ) ( ) ( ) –+     I t t pry t ↑ ω , otkuda s uçetom znaka y, kotor¥j opredelqetsq vtor¥m yz uslovyj (1.12), sle- duet pervoe yz predstavlenyj (1.17). Podstavlqq eho vo vtoroe yz predstavle- nyj (1.13), poluçaem vtoroe yz predstavlenyj (1.17). Teorema.1.3 dokazana. Dokazatel\stvo teorem¥ 1.4. Yz teorem¥.1.2 sleduet, çto esly funkcyq ϕ0( )z udovletvorqet uslovyg S0, a takΩe v¥polnqgtsq uslovyq (1.8), (1.14), (1.15), to kaΩdoe vozrastagwee P Y Yω( , , )0 1 ±∞ -reßenye y : t0, ω[ [ → 0, +∞] [ dopuskaet pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq (1.16). Uçyt¥vaq, çto ϕ σ 1 1′( ) ′y t y t( ) ( ) – = θ1 ′( )y t( ) , zapys¥vaem pervoe yz nyx v vyde ′y t( ) = α σ σ θ ε σ σ 0 0 1 1 0 1 11 1 0 1( – – ) ( ) ( ) ( ) – –′( ) +( )y t I t t . (2.19) PoloΩym L z( ) = α σ σ θ ε σ σ 0 0 1 1 1 11 1 0 1( – – ) ( ) ( ) – –′( )( ) + ( )( )y t z t z , hde t z( ) — fun- kcyq, obratnaq k z = I t0 1 1 0 1( ) – –σ σ . Tohda, uçyt¥vaq (1.4), (2.19) y vtoroe yz predstavlenyj (1.16), ymeem lim ( ) ( )z Y z Y zL z L z→ ∈ ′ 1 1 ∆ = lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t I t I t t t y t y t y t↑ ′ ′ + + ′′ ′ ′( ) ′( )    ω α ε ε θ θ 0 0 0 1 11 = = lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( – – ) ( ) – ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – ( ) t I t y t I t y t t t y t y t y t t t t ↑ ′′ ′ ′ + ′ ′ ′( ) ′( ) + +        ω α ε σ σ ε θ θ ε ε ε0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 1 = = lim ( ) ( ) ( – – ) ( ) ( )( – – ) ( ) – t y t y t t t t↑ ( ) ′ ( ) +( )    ω σ ω α ϕ σ σ ϕ π ε σ σ ε 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 1 – – ′ ′( ) ′( ) + +( )     θ θ ε ε ε1 1 2 2 1 1 y t y t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) – ( ) = 0. Poπtomu pervoe yz predstavlenyj (1.16) v sylu uslovyq S1 moΩno predstavyt\ v vyde ′y t( ) – –1 0 1σ σ = α σ σ θ σ σ 0 0 1 0 1 0 1 11 1 10 1( – – ) ( ) ( ) ( )– –I t I t o    +[ ] pry t ↑ ω , otkuda sleduet vtoroe yz predstavlenyj (1.18). Podstavlqq eho vo vtoroe yz predstavlenyj (1.16), poluçaem vtoroe yz predstavlenyj (1.18). Teorema.1.4 dokazana. 3. Prymer uravnenyq so stepenn¥m koπffycyentom. V kaçestve prymera rassmotrym na promeΩutke 0, +∞] [ dyfferencyal\noe uravnenye ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 325 ′′y = At y y y yγ σ µ σ µ0 0 1 1ln ln′ ′ , (3.1) hde A ∈ R \ 0{ }, σ0, σ1, µ0, µ1 ∈ R , σ0 + σ1 ≠ 1. ∏to uravnenye qvlqetsq urav- nenyem (1.1), v kotorom α0 = sign A, p t( ) = A tγ , ϕi z( ) = z z iσ µ1 ln , i = 0, 1. V sylu struktur¥ funkcyj ϕi , i = 0, 1, uravnenye (3.1) dopuskaet prymenenye teorem.1.3 y 1.4. Pry yx yspol\zovanyy nam potrebugtsq sledugwye vspomoha- tel\n¥e oboznaçenyq: D0 = 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 10 0 1 1 1 1 0 – – – – – – – – – – – – σ σ γ σ γ σ σ σ σ γ σ σ µ σ µ σ σ + + + +    A × × sign A( – – ) ( ) 1 1 0 1 0 σ σ σ γ+ +     , D1 = A A1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1– – ( – – )– – –σ σ µ σ σ µ µ σ σ + +     sign , D2 = A A( – – ) ( – – )– –1 10 1 1 1 0 10 1σ σ σ σσ σ sign ( ) . Snaçala yssleduem vopros o nalyçyy y asymptotyke P Y Y+∞( , , )0 1 0λ -reßenyj, hde λ0 ∈ R \ ,0 1{ } . Pry πtom moΩno sçytat\, çto a = 2. V dannom sluçae πω( )t = t, I t1( ) = A d A t 1 10 1 1 1 1 1 λ τ τ τ µ γ σ µ – ln–+ +∞ ∫ , I t0( ) = A d A t τ τ τσ γ µ0 0 0+ +∞ ∫ ln . Poπtomu s uçetom v¥bora predelov yntehryrovanyq Ak +∞, k = 0, 1, pry t → + ∞ poluçaem predstavlenyq I t1( ) ∼ A t t A t A t γ σ λ γ σ µ λ γ σ µ λ γ σ µ µ γ σ µ µ µ + ≠ + = ≠ = ≠           + + 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 – – ln , – – , – ln , – – , , – ln ln , – – , – , – esly esly esly (3.2) I t0( ) ∼ A t t A t A t σ γ γ σ µ γ σ µ γ σ µ σ γ µ µ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 + + + ≠ + + = ≠ + = =         + + + ln , – , ln , – , – , – ln ln , – , – . esly esly esly (3.3) Krome toho, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 326 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA lim ( ) ( )t t I t I t→ +∞ ′1 1 = γ + 2 – σ1, lim ( ) ( )t t I t I t→ +∞ ′0 0 = σ0 + γ + 1. (3.4) Tohda v sylu (3.2) – (3.4) yz teorem.1.3, 1.4 y zameçanyj 1.1, 1.2 v¥tekagt sle- dugwye utverΩdenyq. Sledstvye 3.1. Dlq suwestvovanyq P Y Y+∞( , , )0 1 0λ -reßenyj, λ0 ∈ R \ 0{ , 1} , uravnenyq (3.1) neobxodymo, a esly γ σ σ γ + + + 2 1 1 0 – ≠ σ1 – 1, lybo 1 1 0 1 0 – –σ σ σ γ+ + > 0, (3.5) to y dostatoçno v¥polnenye uslovyj λ0 = γ σ σ γ + + + 2 1 1 0 – , γ – σ1 ≠ – 2, σ0 + γ + 1 ≠ 0. (3.6) Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho P Y Y+∞ + + +    0 1 1 0 2 1 , , –γ σ σ γ -reßenyq pry t → + ∞ ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t0 2 1 1 1 0 1 1 0 0 1 γ σ σ σ µ µ σ σ + +– – – – –(ln ) , (3.7) ′y t( ) ∼ γ σ σ σ γ σ σ σ µ µ σ σ+ + + + 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 – – – (ln )– – – –D t t . Zameçanye 3.1. Esly γ σ σ γ + + + 2 1 1 0 – = σ1 – 1, 1 1 0 1 0 – –σ σ σ γ+ + < 0 y µi ∈ – ;∞( ]0 ∪ ∪ ( ; )2 +∞ pry i = 1, 2, to moΩno pokazat\, çto uslovyq (3.6) takΩe qvlqgtsq dostatoçn¥my dlq suwestvovanyq P Y Y+∞ + + +    0 1 1 0 2 1 , , –γ σ σ γ -reßenyj uravne- nyq.(3.1), dopuskagwyx pry t → + ∞ asymptotyçeskye predstavlenyq (3.7). Sledstvye 3.2. Dlq suwestvovanyq P Y Y+∞ ±∞( , , )0 1 -reßenyj uravne- nyq.(3.1) neobxodymo y dostatoçno v¥polnenye uslovyq σ0 + γ = – 1 . Bolee toho, pry µ0 ≠ – 1 dlq kaΩdoho takoho P Y Y+∞ ±∞( , , )0 1 -reßenyq pry t → + ∞ ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t t1 1 1 1 0 0 1 1 0 1(ln ) (ln ln )– – – – µ σ σ µ σ σ + , ′y t( ) ∼ D t t1 1 1 1 0 0 1 1 0 1(ln ) (ln ln )– – – – µ σ σ µ σ σ + , a pry µ0 = – 1 — predstavlenyq vyda y t( ) ∼ D t t t2 1 1 10 1 1 0 1(ln ln ) (ln ln ln )– – – –σ σ µ σ σ , ′y t( ) ∼ D t t2 1 1 10 1 1 0 1(ln ln ) (ln ln ln )– – – –σ σ µ σ σ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 327 V¥brav teper\ v kaçestve ω lgboe çyslo yz promeΩutka ( , )0 +∞ , yssledu- em vopros o nalyçyy y asymptotyke P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj uravnenyq.(3.1), hde λ0 ∈ R \ ,0 1{ } . V πtom sluçae πω( )t = t – ω , I t1( ) = A A t1 10 1 1λ τ ω µ γ ω– (∫ – – τ σ) –1 1 ln ( – )ω τ τµ1 d , I t0( ) = A A t ω τ ωγ 0∫ ( – τ σ) 0 ln (ω – τ τµ) 0 d . Poπtomu s uçetom v¥bora predelov yntehryrovanyq pry t ↑ ω poluçym predstavlenyq I t1( ) ∼ – – – ( – ) ln( – ) , , – – ln( – ) , , – , – – ln ln ( – ), , – , –A t t A t A t ω σ λ ω ω σ ω µ λ ω σ µ ω λ ω σ µ γ µ σ µ γ µ µ γ µ 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 esly esly esly ≠ + = ≠ = =          +  (3.8) I t0( ) ∼ – ( ) ln( – ) , – , – ln( – ) , – , – , – ln ln ( – ), – , – . A t t A t A t ω σ ω ω σ ω µ ω σ µ ω ω σ µ γ σ µ γ µ γ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 + − ≠ + = ≠ = =         + + esly esly esly (3.9) Krome toho, lim ( ) ( ) ( )t t I t I t↑ − ′ ω ω 1 1 = 2 – σ1, lim ( ) ( ) ( )t t I t I t↑ − ′ ω ω 0 0 = σ0 + 1. (3.10) Tohda v sylu (3.8) – (3.10) yz teorem.1.3, 1.4 y zameçanyq 1.1 v¥tekagt sledu- gwye utverΩdenyq. Sledstvye 3.3. Dlq suwestvovanyq P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyj, λ0 ∈ R \ ,0 1{ } , uravnenyq (3.1) neobxodymo, a esly 2 1 1 0 – σ σ + ≠ σ1 – 1 lybo 1 1 0 1 0 – –σ σ σ + > 0, to y dostatoçno v¥polnenye uslovyj λ0 = 2 1 1 0 – σ σ + , σ1 – 2 ≠ 0, σ0 + 1 ≠ 0. (3.11) Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho P Y Yω σ σ0 1 1 0 2 1 , , – +     -reßenyq pry t ↑ ω ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t0 1 2 1 10 1 1 0 1 1 0 0 1ω ω ω γ σ σ σ σ σ µ µ σ σ– – – – – – –( – ) ln( – ) + , (3.12) ′y t( ) ∼ – – – ( – ) ln( – )– – – – – – 2 1 1 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 0 1 + + +σ σ σ ω ω ω γ σ σ σ σ σ µ µ σ σD t t . Sledstvye 3.4. Dlq suwestvovanyq P Y Yω( , , )0 1 ±∞ -reßenyj uravnenyq.(3.1) neobxodymo y dostatoçno v¥polnenye uslovyq σ0 = – 1. Bole toho, pry µ0 ≠ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 328 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA ≠ – 1 dlq kaΩdoho takoho P Y Yω( , , )0 1 ±∞ -reßenyq pry t ↑ ω ymegt mes- to asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t t1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 1ω ω ω ω γ σ σ µ σ σ µ σ σ– – – – – –( – ) ln( – ) ln ln( – ) + , ′y t( ) ∼ D t t1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 0 1ω ω ω γ σ σ µ σ σ µ σ σ– – – – – –ln( – ) ln ln( – ) + , a pry µ0 = – 1 — predstavlenyq vyda y t( ) ∼ ( – ) ln ln( – ) ln ln ln( – )– – – – – –t D t tω ω ω ω γ σ σ µ σ σ µ σ σ 2 1 1 11 0 1 0 1 1 0 1 , ′y t( ) ∼ D t t2 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1ω ω ω γ σ σ σ σ µ σ σ– – – – – –ln ln( – ) ln ln ln( – ) . Teper\ rassmotrym vopros o suwestvovanyy y asymptotyke pry t ↓ ω , 0 ≤ ≤ ω < + ∞, reßenyj, opredelenn¥x v pravoj okrestnosty ω. Dlq yssledovanyq takyx reßenyj v¥polnym zamenu z( )τ = y t( ), ω τ– = t – ω . (3.13) V rezul\tate poluçym uravnenye ′′z = A z z z z( – ) ln ln2 0 0 1 1ω τ γ σ µ σ µ′ ′ , (3.14) kotoroe teper\ sleduet yssledovat\ uΩe pry τ ω↑ . Reßenye uravnenyq (3.1), sootvetstvugwee pry πtom P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reßenyg uravnenyq (3.14), budem na- z¥vat\ P Y Yω λ+( , , )0 1 0 -reßenyem. Poskol\ku pry 0 < ω < + ∞ lim ( – ) τ ω γω τ ↑ 2 = ωγ , dlq uravnenyq (3.14) ymegt mesto predel\n¥e sootnoßenyq (3.8) – (3.10). V πtom sluçae vopros ob asymp- totyke pry t ↓ ω P Y Yω λ+( , , )0 1 0 -reßenyj uravnenyq (3.1) moΩet b¥t\ reßen na osnovanyy sledstvyj 3.3, 3.4 s uçetom zamen (3.14). Takym obrazom, pryxodym k sledugwym utverΩdenyqm. Sledstvye 3.5. Dlq suwestvovanyq P Y Yω λ+( , , )0 1 0 -reßenyj, λ0 R \ ,0 1{ } , uravnenyq (3.1) neobxodymo, a esly 2 1 1 0 – σ σ + ≠ σ1 – 1 lybo 1 1 0 1 0 – –σ σ σ + > 0, to y dostatoçno v¥polnenye uslovyj (3.11). Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho P Y Yω σ σ+ +    0 1 1 0 2 1 , , – -reßenyq pry t ↓ ω ymegt mesto asymptotyçeskye pred- stavlenyq y t( ) ∼ D t t o0 1 2 1 11 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1ω ω ω γ σ σ σ σ σ µ µ σ σ– – – – – – –( – ) ln( – ) ( ) + +[ ], (3.15) ′y t( ) ∼ 2 1 1 0 1 0 1 1 1 11 0 0 1 0 1 0 1 0 – – – ( – ) ln( – )– – – – – – σ σ σ ω ω ω γ σ σ σ σ σ µ µ σ σD t t + + . Zameçanye 3.2. Esly 2 1 1 0 – σ σ + = σ1 – 1, 1 1 0 1 0 – –σ σ σ + < 0 y µ i ∈ – ;∞( ]0 ∪ ∪ ( ; )2 +∞ pry i = 1, 2, to moΩno pokazat\, çto uslovyq (3.11) takΩe qvlqgtsq dostatoçn¥my dlq suwestvovanyq P Y Yω σ σ+ +    0 1 1 0 2 1 , , – -reßenyj uravnenyq (3.1), dopuskagwyx pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq (3.12), a pry t ↓ ω asymptotyçeskye predstavlenyq (3.15). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 329 Sledstvye 3.6. Dlq suwestvovanyq P Y Yω+ ∞( , , )0 1 -reßenyj uravnenyq (3.1) neobxodymo y dostatoçno v¥polnenye uslovyq σ0 = – 1. Bolee toho, pry µ0 ≠ ≠ – 1 dlq kaΩdoho takoho P Y Yω+ ∞( , , )0 1 -reßenyq pry t ↓ ω ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t t1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 1ω ω ω ω γ σ σ µ σ σ µ σ σ– – – – – –( – ) ln( – ) ln ln( – ) + , ′y t( ) ∼ D t t1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 1ω ω ω γ σ σ µ σ σ µ σ σ– – – – – –ln( – ) ln ln( – ) + , a pry µ0 = – 1 — predstavlenyq vyda y t( ) ∼ D t t t2 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1ω ω ω ω γ σ σ σ σ µ σ σ– – – – – –( – ) ln ln( – ) ln ln ln( – ) , ′y t( ) ∼ D t t2 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1ω ω ω γ σ σ σ σ µ σ σ– – – – – –ln ln( – ) ln ln ln( – ) . Dalee, zametym, çto pry ω = 0 uravnenye (3.14) prynymaet vyd ′′z = A z z z zτ γ σ µ σ µ0 0 1 1ln ln′ ′ . (3.16) ∏to uravnenye sleduet yssledovat\ pry τ ↑ 0 . Dlq πtoho uravnenyq π τ0( ) = τ, I1( )τ = − + +∞ ∫A t t dt A 1 10 1 1 1 1 1λ µ γ σ µ τ – (– ) ln(– )– , I0( )τ = − +∫A t t dt A ln(– ) (– )µ σ γ τ ω 0 0 0 . Poπtomu pry τ ↑ 0 I1( )τ ∼ A A A γ σ λ τ τ γ σ µ λ τ γ σ µ λ τ γ σ µ µ γ σ µ µ µ + ≠ + = ≠ = =          + + 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 – – (– ) ln(– ) , – , – ln(– ) , – – , – , – ln ln (– ) , – – , – , – esly esly esly (3.17) I0( )τ ∼ A A A σ γ τ τ γ σ µ τ γ σ µ τ γ σ µ σ γ µ µ 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 + + − − + ≠ + − + = ≠ − + = =         + + + ( ) ln( ) , – , ln( ) , – , – , ln ln ( ) , – , – . esly esly esly (3.18) Krome toho, lim ( ) ( )τ τ τ τ↑ ′ 0 1 1 I I = – γ – 2 + σ1, lim ( ) ( )τ τ τ τ↑ ′ 0 0 0 I I = –σ0 – γ – 1. (3.19) Tohda v sylu (3.17) – (3.19) yz teorem.1.3, 1.4 y zameçanyj 1.1, 1.2 s uçetom (3.13) v¥tekagt sledugwye utverΩdenyq. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 330 V. M. EVTUXOV, M. A. BELOZEROVA Sledstvye 3.7. Dlq suwestvovanyq P Y Y0 0 1 0+( , , )λ -reßenyj, λ0 ∈ { }R \ ,0 1 , uravnenyq (3.1) neobxodymo, a esly γ σ σ γ + + + 2 1 1 0 – ≠ σ1 – 1 lybo 1 1 0 1 0 – –σ σ σ γ+ + > 0, to y dostatoçno v¥polnenye uslovyj (3.6). Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho P Y Y0 0 1 1 0 2 1+ + + +     , , –γ σ σ γ -reßenyq pry τ ↓ 0 ymegt mesto asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t0 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 γ σ σ σ µ µ σ σ + +– – – – –ln , (3.20) ′y t( ) ∼ γ σ σ σ γ σ σ σ µ µ σ σ+ + + 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 – – – ln – – – – –D t t . Zameçanye 3.3. Esly γ σ σ γ + + + 2 1 1 0 – = σ1 – 1, 1 1 0 1 0 – –σ σ σ γ+ + < 0 y µi ∈ – ;∞( ]0 ∪ ∪ ( ; )2 +∞ pry i = 1, 2, to moΩno pokazat\, çto uslovyq (3.6) takΩe qvlqgtsq dostatoçn¥my dlq suwestvovanyq P Y Y0 0 1 1 0 2 1+ + + +     , , –γ σ σ γ -reßenyj uravne- nyq..(3.1), dopuskagwyx pry t ↓ 0 asymptotyçeskye predstavlenyq (3.20). Sledstvye 3.8. Dlq suwestvovanyq P Y Y0 0 1+ ±∞( , , )-reßenyj neobxodymo y dostatoçno v¥polnenye uslovyq σ0 + γ = – 1. Bolee toho, v sluçae, kohda µ0 ≠ – 1, dlq kaΩdoho takoho P Y Y0 0 1+ ±∞( , , ) -reßenyq pry t ↓ 0 ymegt mes- to asymptotyçeskye predstavlenyq y t( ) ∼ D t t t1 1 1 1 0 0 1 1 0 1ln ln ln– – – – µ σ σ µ σ σ + , ′y t( ) ∼ D t t1 1 1 1 0 0 1 1 0 1ln ln ln– – – – µ σ σ µ σ σ + , a v sluçae µ0 = – 1 — predstavlenyq vyda y t( ) ∼ D t t t2 1 1 10 1 1 0 1ln ln ln ln ln– – – –σ σ µ σ σ , ′y t( ) ∼ D t t2 1 1 10 1 1 0 1ln ln ln ln ln– – – –σ σ µ σ σ . V¥vod¥. V nastoqwej rabote poluçyla dal\nejßee razvytye metodyka, raz- rabotannaq v [15 – 18] dlq ustanovlenyq asymptotyky monotonn¥x reßenyj dyfferencyal\noho uravnenyq ′′y = α ϕ0 p t y( ) ( ) , hde ϕ( )y — funkcyq, v nekotorom sm¥sle blyzkaq k stepennoj. Zdes\ ona ras- prostranqetsq na dyfferencyal\n¥e uravnenyq (1.1) bolee obweho vyda. Pry πtom voznykagt problem¥, kotor¥e trebugt yspol\zovanyq y razrabotky nov¥x podxodov y metodov yssledovanyq. Podobnoho typa problem¥ voznykaly v svoe vremq pry rasprostranenyy rezul\tatov, poluçenn¥x dlq obobwennoho uravne- nyq ∏mdena – Faulera ′′y = p t y y( ) σsign , na dyfferencyal\n¥e uravnenyq vyda ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3 ASYMPTOTYÇESKYE PREDSTAVLENYQ REÍENYJ SUWESTVENNO … 331 ′′y t( ) = p t y y y( ) σ λ′ sign . Yssledovanye uravnenyj daΩe takoho çastnoho vyda potrebovalo (sm. rabot¥ [3 – 11]) suwestvennoho peresmotra mnohyx osnovopolahagwyx ydej, kotor¥e ys- pol\zovalys\ pry yzuçenyy obobwennoho uravnenyq ∏mdena – Faulera. Dlq uravnenyq (1.1) v¥delen dostatoçno ßyrokyj klass P Y Yω λ( , , )0 1 0 -reße- nyj, kotor¥e dopuskagt ustanovlenye yx asymptotyky pry t ↑ ω . Krome toho, ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq takyx reße- nyj. VaΩnoj osobennost\g predloΩennoj zdes\ metodyky qvlqetsq edynoob- razn¥j podxod k yssledovanyg sluçaev ω = + ∞ y ω < + ∞, a takΩe sluçaev, kohda kaΩd¥j yz parametrov Y0 yly Y1 raven lybo nulg, lybo ± ∞. 1. Kyhuradze Y. T., Çanturyq T. A. Asymptotyçeskye svojstva reßenyj neavtonomn¥x ob¥k- novenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1990. – 430 s. 2. Kostyn A. V. Ob asymptotyke prodolΩaem¥x reßenyj uravnenyq typa ∏mdena – Faulera // Dokl. AN SSSR. – 1971. – 200, # 1. – S. 28 – 31. 3. Kostyn A.V., Evtuxov V. M. Asymptotyka reßenyj odnoho nelynejnoho dyfferencyal\- noho uravnenyq // Tam Ωe. – 1976. – 231, # 5. – S. 1059 – 1062. 4. Evtuxov V. M. Ob odnom nelynejnom dyfferencyal\nom uravnenyy vtoroho porqdka // Tam Ωe. – 1977. – 233, # 4. – S. 531 – 534. 5. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye predstavlenyq reßenyj odnoho klassa nelynejn¥x dyf- ferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka // Soobw. AN HSSR. – 1982. – 106, # 3. – S..473.– 476. 6. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye svojstva reßenyj odnoho klassa dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka // Math. Nachr. – 1984. – 115. – S. 215 – 236. 7. Kostyn A. V. Asymptotyka pravyl\n¥x reßenyj nelynejn¥x ob¥knovenn¥x dyfferen- cyal\n¥x uravnenyj // Dyfferenc. uravnenyq. – 1987. – 23, # 3. – S. 524 – 526. 8. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye svojstva monotonn¥x reßenyj odnoho klassa nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj n-ho porqdka // Dokl. rasßyr. zasedanyj sem. Yn-ta prykl. matematyky Tbyl. un-ta. – 1988. – 3, # 3. – S. 62 – 65. 9. Evtuxov V. M. Asymptotyçeskye predstavlenyq monotonn¥x reßenyj nelynejnoho dyf- ferencyal\noho uravnenyq typa ∏mdena – Faulera n-ho porqdka // Dokl. AN Rossyy. – 1992. – 234, # 2. – S. 258 – 260. 10. Evtuxov V. M. Ob odnom klasse monotonn¥x reßenyj nelynejnoho dyfferencyal\noho uravnenyq n-ho porqdka typa ∏mdena – Faulera // Soobw. AN Hruzyy. – 1992. – 145, # 2. – S. 269 – 273. 11. Evtuxov V. M. Asymptotyka reßenyj odnoho polulynejnoho dyfferencyal\noho uravne- nyq vtoroho porqdka // Dyfferenc. uravnenyq. – 1990. – 26, # 5. – S. 776 –787. 12. Wong P. K. Existence and asymptotic behavior of proper solutions of a class of second-order non- linear differential equations // Pacif. J. Math. – 1963. – 13. – P. 737 – 760. 13. Marić V., Tomić M. Asymptotic properties of solutions of the equation ′′y = f x y( ) ( )Φ // Math. Z. – 1976. – 149. – S. 261 – 266. 14. Talliaferro S. D. Asymptotic behavior of the solutions of the equation ′′y = Φ( ) ( )t f y // SIAM J. Math. Anal. – 1981. – 12, # 6. – P. 1 – 24. 15. Evtukhov V. M., Kirillova L. A. Asymptotic representations of solutions of nonlinear second order differential equations // Mem. Different. Equat. and Math. Phys. – 2003. – 30. – P. 153 – 158. 16. Kyrylova L. O. Asymptotyçni vlastyvosti rozv’qzkiv nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku, qki blyz\ki do rivnqn\ Emdena – Faulera // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Ma- tematyka. – 2004. – Vyp. 228. – S. 30 – 35. 17. Evtuxov V. M., Kyryllova L. A. Ob asymptotyke reßenyj nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka // Dyfferenc. uravnenyq. – 2005. – 41, # 8. – S. 1053 –1061. 18. Kyryllova L. A. Ob asymptotyke reßenyj nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj vto- roho porqdka // Nelinijni kolyvannq. – 2005. – 8, # 1. – S. 18 – 28. 19. Evtuxov V. M. Ob ysçezagwyx na beskoneçnosty reßenyqx vewestvenn¥x neavtonomn¥x system kvazylynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Dyfferenc. uravnenyq. – 2003. – 39, # 4. – S. 433 – 444. Poluçeno 08.12.05 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
id	umjimathkievua-article-3158
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:37:20Z
publishDate	2008
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/bf/19ee6241cd24dc1abef55121aeb3eabf.pdf
spelling	umjimathkievua-article-31582020-03-18T19:47:10Z Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка Evtukhov, V. M. Belozerova, M. A. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А. We establish asymptotic representations for the solutions of a class of nonlinear nonautonomous second-order differential equations. Встановлено асимптотичні зображення для розв'язків одного класу нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь другого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3158 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 3 (2008); 310–331 Український математичний журнал; Том 60 № 3 (2008); 310–331 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3158/3064 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3158/3065 Copyright (c) 2008 Evtukhov V. M.; Belozerova M. A.
spellingShingle	Evtukhov, V. M. Belozerova, M. A. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А. Евтухов, В. М. Белозерова, М. А. Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
title	Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
title_alt	Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка
title_full	Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
title_fullStr	Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
title_full_unstemmed	Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
title_short	Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
title_sort	asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3158
work_keys_str_mv	AT evtukhovvm asymptoticrepresentationsofthesolutionsofessentiallynonlinearnonautonomoussecondorderdifferentialequations AT belozerovama asymptoticrepresentationsofthesolutionsofessentiallynonlinearnonautonomoussecondorderdifferentialequations AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofthesolutionsofessentiallynonlinearnonautonomoussecondorderdifferentialequations AT belozerovama asymptoticrepresentationsofthesolutionsofessentiallynonlinearnonautonomoussecondorderdifferentialequations AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofthesolutionsofessentiallynonlinearnonautonomoussecondorderdifferentialequations AT belozerovama asymptoticrepresentationsofthesolutionsofessentiallynonlinearnonautonomoussecondorderdifferentialequations AT evtukhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT belozerovama asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT belozerovama asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT belozerovama asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka

Asymptotic representations of the solutions of essentially nonlinear nonautonomous second-order differential equations

Репозитарії

Схожі ресурси