Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions
We obtain necessary and sufficient conditions of reversibility of the linear bounded operator d m / d t m + A in the space of functions bounded on R.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3163 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509206063349760 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:47:10Z |
| description | We obtain necessary and sufficient conditions of reversibility of the linear bounded operator d m / d t m + A in the space of functions bounded on R. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.983
V. G. Slgsarçuk (Nac. un-t vod. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, Rivne)
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA
PRO OBOROTNIST| FUNKCIONAL|NYX OPERATORIV
U PROSTORI OBMEÛENYX FUNKCIJ
We obtain necessary and sufficient conditions of reversibility of the linear bounded operator d
m
/ dt
m +
+ A in the space of functions bounded on R.
Poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty lynejnoho ohranyçennoho opera-
tora d
m
/ dt
m + A v prostranstve ohranyçenn¥x na R funkcyj.
1. Postanovka osnovno] zadaçi. Nexaj E i X — banaxovi prostory, perßyj z
qkyx [ skinçennovymirnym. Poznaçymo çerez C X0( , )R banaxiv prostir obme-
Ωenyx i neperervnyx na R funkcij x = x ( t ) zi znaçennqmy v X z normog
x C X0( , )R = sup ( )
t
Xx t
∈R
,
çerez C Xm ( , )R , m ∈N, banaxiv prostir funkcij x C X∈ 0( , )R , dlq koΩno] z
qkyx
dx
dt
d x
dt
C X
m
m, , ( , )… ∈ 0 R , z normog
x C Xm( , )R =
max , , ,( , )
( , ) ( , )
x dx
dt
d x
dtC X
C X
m
m
C X
0
0 0
R
R R
…
i çerez l E∞( , )Z banaxiv prostir obmeΩenyx na Z funkcij y = y ( n ) zi znaçen-
nqmy v E z normog
y l E∞ ( , )Z = sup ( )
n
Ey n
∈Z
.
E. Muxamadi[v [1] doslidyv oborotnist\ linijnoho majΩe periodyçnoho ope-
ratora
d
dt
B+ : C X1( , )R → C X0( , )R
B C X C X c: ( , ) ( , ) —0 0R R→( )-neperervnyj operator u vypadku skinçennovy-
mirnoho prostoru X (skinçenna rozmirnist\ c\oho prostoru [ istotnog vymo-
hog).
U danij statti my vstanovymo neobxidni i dostatni umovy oborotnosti ana-
lohiçnoho operatora u vypadku X = l E∞( , )Z . Zaznaçymo, wo dim ( , )l E∞ Z =
= + ∞ .
2. MajΩe periodyçni i c - neperervni operatory. Rozhlqnemo banaxiv pro-
stir �
0
obmeΩenyx na R Z× funkcij x = x ( t, n ) zi znaçennqmy v E, koΩna
z qkyx neperervna na R za zminnog t dlq koΩnoho n ∈Z . Normu v �0
vy-
znaçymo rivnistg
x � 0 = sup ( , )
( , )t n
Ex t n
∈ ×R Z
.
TakoΩ rozhlqnemo banaxiv prostir �m
funkcij x ∈�0, dlq koΩno] z qkyx
dx
dt
d x
dt
m
m, ,… ∈�0, z normog
© V. G. SLGSARÇUK, 2008
398 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 399
x m� =
max , , ,x
dx
dt
d x
dt
m
m�
� �
0
0 0
…
.
Poznaçymo çerez L X X( , )1 2 , de X1 i X2 — banaxovi prostory, banaxiv prostir
usix linijnyx neperervnyx operatoriv C : X1 → X2 z normog
C L X X( , )1 2
= sup
x
X
X
Cx
1
1
2=
.
Dlq koΩno] toçky ( , )τ p ∈ ×R Z vyznaçymo u prostori �
0
linijnyj operator
S pτ, rivnistg
( )( , ),S x t npτ = x t n p( , )+ +τ .
Oçevydno, wo cej operator [ neperervnym, ma[ obernenyj neperervnyj opera-
torKK S pτ,
−1
,
S pτ,
−1 = S p− −τ, ,
prostory � i , i = 0, m , invariantni po vidnoßenng do c\oho operatora i
S p L i iτ, ( , )� �
= 1, i = 0, m . (1)
Operator A L i j∈ ( , )� � , i, j ∈ { 0, 1, … , m } , nazyvatymemo majΩe perio-
dyçnym, qkwo zamykannq H ( A ) mnoΩyny
S AS pp pτ τ τ, , : ( , )− − ∈ ×{ }R Z
[ kompaktnym u prostori L
i j( , )� � . Qkwo
H ( A ) = { A } ,
to operator A budemo nazyvaty avtonomnym.
Analohiçno, element z prostoru � i , i ∈ { 0, 1, … , m } , nazyvatymemo
majΩe periodyçnym, qkwo zamykannq mnoΩyny
S z ppτ τ, : ( , ) ∈ ×{ }R Z
[ kompaktnym u prostori �
i . Usi majΩe periodyçni elementy prostoru �
i
utvorggt\ banaxiv prostir, qkyj poznaçatymemo çerez �
i . Normu v �
i
vyzna-
ça[mo rivnistg
z i� = z i� .
Poslidovnist\ elementiv xk ∈�0 , k ∈N , budemo nazyvaty lokal\no zbiΩ-
nog do elementa x ∈�0
pry k → ∞ i poznaçaty
x xk
lok., �0
→ pry k → ∞ ,
qkwo cq poslidovnist\ obmeΩena i dlq koΩnyx T ∈ +∞( , )0 i p ∈N
lim max ( , ) ( , )
,k t T n p
k Ex t n x t n
→ ∞ ≤ ≤
− = 0.
Analohiçno, poslidovnist\ elementiv x k
m∈� , k ∈N , nazyvatymemo lokal\no
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
400 V. G. SLGSARÇUK
zbiΩnog do elementa x m∈� pry k → ∞ i poznaçatymemo
x xk
m
lok., � → pry k → ∞ ,
qkwo cq poslidovnist\ obmeΩena i dlq koΩnyx T ∈ +∞( , )0 i p ∈N
lim max
( , ) ( , )
,k t T n p s
m s
k
s
s
s
E
d x t n
dt
d x t n
dt→∞ ≤ ≤ =
∑ −
0
= 0.
Tut i dali
d x t n
dt
0
0
( , )
oznaça[ x t n( , ) .
Operator F : � �i j→ , i, j ∈ { 0, 1, … , m } , budemo nazyvaty c -nepererv-
nym, qkwo dlq dovil\nyx x
i∈� i x k
i∈� , k ∈N , dlq qkyx
x xk
i
lok., � → pry k → ∞ ,
vykonu[t\sq spivvidnoßennq
F Fx xk
j
lok., � → pry k → ∞ .
Ponqttq c - neperervnoho operatora uviv do rozhlqdu (na movi „ε, δ ” ) E.KMu-
xamadi[v [1]; joho vyvçennq bulo prodovΩeno v robotax [2 – 9] ta in. Oznaçennq
c - neperervnoho operatora, v qkomu vykorystano lokal\no zbiΩni poslidovnosti,
zaproponuvav avtor (dyv., napryklad, [10 – 12]).
Vydilymo deqki vlastyvosti majΩe periodyçnyx elementiv prostoru
L i j( , )� � :
a) koΩnyj operator
˜ ( )A A∈H [ majΩe periodyçnym;
b) A f j∈� dlq koΩnoho f i∈� ;
v) dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ take çyslo l ( ε ) , wo koΩna mnoΩyna
[ , ( )] ([ , ( )] )t t l m m l0 0 0 0+ × +ε ε ∩ Z mistyt\ toçku ( τ, m ) , dlq qko]
S A S Am m L i jτ τ, , ( , )− − −
� �
< ε ;
h) iz c - neperervnosti operatora A vyplyva[ c - neperervnist\ koΩnoho ope-
ratora
˜ ( )A A∈H .
3. Rivnomirno c - neperervni operatory. U podal\ßomu budemo takoΩ
vykorystovuvaty linijni rivnomirno c - neperervni operatory.
Operator F ∈L i j( , )� � , i, j ∈ { 0, 1, … , m } , nazyvatymemo rivnomirno c -
neperervnym, qkwo dlq koΩnyx ε > 0, T > 0 i p ∈ N isnugt\ taki δ > 0, Q >
> 0 i s ∈ N , wo dlq dovil\nyx τ ∈ R i x
i∈� , dlq qkyx
k
i k
k
E
d x t n
dt=
∑
0
( , )
< δ
dlq vsix ( , ) , ([ , ] )[ ]t n Q Q s s∈ − + + × −τ τ ∩ Z i x i� ≤ 1, vykonu[t\sq neriv-
nist\
k
j k
k
E
d x t n
dt=
∑
0
( )( , )F
< ε
dlq vsix ( , ) , ([ , ] )[ ]t n T T p p∈ − + + × −τ τ ∩ Z .
Oçevydno, wo linijni c - neperervni majΩe periodyçni operatory rivnomirno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 401
c - neperervni.
Dlq linijnyx rivnomirno c - neperervnyx operatoriv vaΩlyvymy [ dva nastup-
nyx tverdΩennq.
Lema81. Dlq koΩnyx rivnomirno c - neperervnoho elementa A prostoru
L
m( , )� �0
i obmeΩeno] rivnomirno neperervno] funkci] v : R
2 → R , dlq qko]
analohiçnu vlastyvist\ magt\ çastynni poxidni
∂
∂
v( , )t t
t
n1
1
, … ,
∂
∂
m
n
m
t t
t
v( , )1
1
, sprav-
dΩu[t\sq spivvidnoßennq
lim sup
, ,
, , , ,
ε
ε ε
→ ∈ ∈ =
−
0 1
0
T p x
T p T p
m
Ax A x
R Z �
�
v v = 0,
de
vε, ,T p = v( ( ), ( ))ε εt T n p− − .
Dovedennq. Rozhlqnemo vyznaçenu i neperervnu na R razom iz poxidnymy
do m -ho porqdku vklgçno skalqrnu funkcig q = q ( t ) , dlq qko] q ( t ) = 1, qk-
wo t ≤ 1 / 2 , q ( t ) = 0, qkwo t ≥ 1, i 0 ≤ q ( t ) ≤ 1 dlq vsix tK∈ [ – 1, 1 ] .
Vyznaçymo operator Q Lk p
m m
, , ( , )τ ∈ � � rivnistg
( ), , ( , )Q x t nk pτ = q
t
k
q
n p
k
x t n
−
−
τ ( , ).
Zafiksu[mo dovil\ne çyslo δ > 0. Z rivnomirno] c - neperervnosti operatora
A vyplyva[, wo isnu[ çyslo kδ > 0, dlq qkoho
sup ( )( , ) ( , )( ), ,
x
k p E
m
Ax p AQ x p
� ≤
−
1
τ ττ < δ (2)
dlq vsix ( , )τ p ∈ ×R Z i k k≥ δ .
Nexaj ε0 — take dodatne çyslo, wo
vε, ,T p x m�
≤ 2
1 2
2
1 2sup ( , )
( , )t t
t t
∈R
v ,
qkwo ε ε∈( , ]0 0 , x m� ≤ 1 i ( , )T p ∈ ×R Z. Taka nerivnist\ vykonu[t\sq zav-
dqky umovam, qki zadovol\nq[ funkciq v( , )t t1 2 . Na pidstavi (2) ta nerivnosti
trykutnyka dlq koΩnoho ε ε∈( , ]0 0 spravdΩugt\sq spivvidnoßennq
sup
, ,
, , , ,
T p x
T p T p
m
Ax A x
∈ ∈ ≤
−
R Z �
�
1
0v vε ε ≤
≤
sup ( ( ), ( )) ( )( , )
, , , ,τ
ε τ ε τ
∈ ∈ ∈ ∈ ≤
− −
R Z R Zs T p x m
T s p Ax s
� 1
v –
– ( ), , , ,
( , )
( , ) sup ( , )AQ x s t tk s T p E
t t
δ τ ε τ δv v+
∈
2
1 2
2
1 2
R
≤
≤ sup ( ( ), ( )) ( )( , )
, , , ,τ
ε τ ε τ
∈ ∈ ∈ ∈ ≤
− −
R Z R Zs T p x m
T s p Ax s
� 1
v –
– v( ( ), ( )) ( , )( ), ,ε τ ε τ
δ τ− −T s p AQ x sk s E
+
+
sup ( , )
, , , ,
, , , , , ,( )
τ
τ ε τδ
ω τ
∈ ∈ ∈ ∈ ≤R Z R Zs T p x
k s T p s E
m
AQ x s
� 1
+
2
1 2
2
1 2δ sup ( , )
( , )t t
t t
∈R
v ≤
≤
3
1 2
2
1 2δ sup ( , )
( , )t t
t t
∈R
v +
sup ( , )
, , , ,
, , , , , ,( )
τ
τ ε τδ
ω τ
∈ ∈ ∈ ∈ ≤R Z R Zs T p x
k s T p s E
m
AQ x s
� 1
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
402 V. G. SLGSARÇUK
de
ωε τ, , , ,T p s = v v( ( ), ( )) ( ( ), ( ))ε ε ε τ εt T n p T s p− − − − − . (3)
Oskil\ky
( ), , , , , , ( , )Q x t nk s T p sδ τ ε τω =
q
t
k
q
n s
k
t T n p
−
−
− −[τ ε ε
δ δ
v( ( ), ( )) –
– v( ( ), ( )) ( , )ε τ ε− − ]T s p x t n ,
to na pidstavi umov, wo zadovol\nqgt\ funkci] v( , )t t1 2 i q ( t ) ,
lim sup
, , , ,
, , , , , ,
ε τ
τ ε τδ
ω
→ ∈ ∈ ∈ ∈ ≤0 1R Z R Zs T p x
k s T p s
m
mQ x
�
�
= 0. (4)
Z (3), (4) i dovil\nosti vyboru çysla δ > 0 vyplyva[ tverdΩennq lemyK1.
Lema82. Qkwo linijnyj neperervnyj i rivnomirno c -neperervnyj operator
B : �
m → �
0
ma[ obernenyj neperervnyj operator B−1, to operator B−1
[ rivnomirno c - neperervnym.
Dovedennq. Prypustymo, wo operator B−1 ne [ rivnomirno c - neperervnym.
Isnugt\ poslidovnosti ( , )τk k kp( ) ≥1, τk ∈R , pk ∈Z , i ( )yk k ≥1, yk ∈�0 ,
yk m� = 1, dlq qkyx
lim , ,
k
k p kQ y
k k→∞
τ �0 = 0
i
lim , ,
k
k p kQ B y
k k m
→∞
−
τ
1
�
> 0.
Tut i dali Qk p, ,τ — operator, wo j v dovedenni lemyK1. Oskil\ky na pidstavi ci[]
lemy
lim , , , ,
k
k p k k p kBQ B y Q y
k k k k→∞
− −τ τ
1
0�
= 0,
to
inf :Bx x m� �0 1={ } = 0,
wo supereçyt\ oborotnosti operatora B . OtΩe, prypuwennq pro te, wo opera-
tor B−1
ne [ rivnomirno c - neperervnym, [ xybnym.
LemuK2 dovedeno.
Zaznaçymo, wo u vypadku linijnyx neperervnyx operatoriv, wo digt\ iz pros-
toru C Em( , )R u prostir C E0( , )R , tverdΩennq, analohiçni lemamK1 i 2, otry-
mano avtorom vidpovidno v [5, 7].
4. Osnovni rezul\taty. Nexaj ω i p — dovil\ni vidpovidno dodatne i natu-
ral\ne çysla. Poznaçymo çerez
�ω,p
m
banaxiv prostir usix funkcij x
m∈� ,
dlq koΩno] z qkyx
S xω,0 = x
i
S xp0, = x,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 403
z normog
x
p
m� ω,
= x m� .
Zaznaçymo, wo koΩnyj element x = x t n( , ) prostoru �ω, p
m
[ ω -periodyç-
nym za zminnog t i p - periodyçnym za zminnog n .
Analohiçnym çynom vyznaça[mo banaxiv prostir �ω, p
0
.
Poznaçymo çerez Φ mnoΩynu vsix funkcij ϕ ∈ C0( , )R R , nosi] qkyx — ob-
meΩeni mnoΩyny.
Dlq koΩnyx ϕ ∈Φ i k ∈Z rozhlqnemo neperervnyj operator P kϕ, : �
0 →
→ �
0
, wo vyznaça[t\sq rivnistg
( )( , ),P x t nkϕ =
ϕ( ) ( , ), ,
, .
t x t k t n k
t n k
qkwo i
qkwo i
∈ =
∈ ≠
R
R0
Teorema81. Nexaj:
1) A : �
m → �
0
— linijnyj neperervnyj majΩe periodyçnyj i c -nepererv-
nyj operator;
2) P Akϕ, : �
m → �
0
— cilkom neperervnyj operator dlq vsix ( , )ϕ k K∈
∈ Φ × Z .
Operator
d
dt
A
m
m + : �
m → �
0
ma[ obernenyj neperervnyj operator to-
di i til\ky todi, koly
inf
x
m
m
m
d
dt
A x
� �=
+
1 0
> 0. (5)
Dovedennq. Neobxidnist\. Qkwo operator
d
dt
A
m
m + ma[ obernenyj nepe-
rervnyj operator, to zavdqky rivnosti
d
dt
A
m
m
L m
+
−1
0( , )� �
=
inf
x
m
m
m
d
dt
A x
� �=
−
+
1
1
0
spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq (5).
Dostatnist\. Nexaj vykonu[t\sq spivvidnoßennq (5). Rozhlqnemo taku po-
slidovnist\ ( , )ωk k kp( ) ≥1 elementiv mnoΩyny ( , )0 + ∞ × N , dlq qko]
lim
k
k
→∞
ω = lim
k
kp
→∞
= + ∞
i
lim , , ( , )l
p p L
S AS A
k k k k m
→∞
− − −ω ω � �0 = 0. (6)
Isnuvannq tako] poslidovnosti vyplyva[ z vlastyvosti v) ta perßo] umovy teore-
my. Vyznaçymo operator Ak : �
m →
�ωk kp
m
, , dlq qkoho
( )( , )A x t nk = ( )( , )Ax t n ,
qkwo
( , ) , [ , ]t n
k
pk∈
× ( )1
1ω ∩ Z , i
( )( , )A x t nk = ( )( )( , ) ( )( , )1− + +kt Ax t n kt Ax t nkω ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
404 V. G. SLGSARÇUK
qkwo
( , ) , [ , ]t n
k
p∈
× ( )0
1
1 ∩ Z .
Zavdqky (6) isnugt\ elementy ( , ) ( , ) [ , ]α ωk k k kq p∈ × ( )0 1 ∩ N , k ≥ 1, dlq
qkyx
lim
k
k
→∞
α = lim
k
kq
→∞
= + ∞ (7)
i
lim sup max ( )( , ) ( )( , )
,
,
[ , ]
k x t
n q p
k E
k pk
m k k
k k
A x t n Ax t n
→∞ = ∈ −[ ]
∈ −( )
−
�ω
α ω1
∩Z
= 0. (8)
Prypustymo, wo
lim inf
, ,
k x
m
m k
k pk
m
k pk
d
dt
A x
→∞ =
+
� �ω ω
1 0
= 0. (9)
Na pidstavi (8) isnugt\ poslidovnosti ( )kl l ≥1 i ( )yl l ≥1 cilyx çysel kl , k ll ≥ ,
l ∈N , i funkcij
yl p
m
k kl l
∈�ω , , yl
k pk
m
l l
� ω ,
= 1, l ∈N , dlq qkyx
lim max ( , )
[ , ]
([ , ] )
l t
n q p
m
m l
Ek k
k k
l l
l l
d
dt
A y t n
→∞ ∈ −
∈ −
+
α ω
∩Z
= 0. (10)
Zavdqky vklgçenng yl p
m
k kl l
∈�ω , isnu[ toçka
( ), , ,τ ν
α
ω
α
l l
k
k
k k
k
kl
l
l l
l
l
q
p
q
∈ − −
× − −
2 2 2 2
∩ Z ,
dlq qko]
max , ,
,
, ,
,( ) ( ) ( )
y
dy
dt
d y
dt
l l l E
l l l
E
m
l l l
m
E
τ ν τ ν τ ν…
= 1. (11)
Rozhlqnemo funkcig
Ql = q
t
q
n
q
l
k
l
kl l
2 2( ) ( )−
−
τ
α
ν
,
de q ( t ) — funkciq z dovedennq lemyK1. Z (10) vyplyva[
lim
,
l
l
m
m lQ
d
dt
A y
kl pkl
→∞
+
� ω
0
= 0,
a z lemyK1, rivnomirno] c -neperervnosti operatora
d
dt
A
m
m + , wo spravdΩu[t\sq
zavdqky perßij umovi teoremy, i spivvidnoßennq (7) — rivnist\
lim
,
l
l
m
m l
m
m l lQ
d
dt
A y
d
dt
A Q y
kl pkl
→∞
+
− +
� ω
0
= 0.
Todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 405
lim
,
l
m
m l l
d
dt
A Q y
kl pkl
→∞
+
� ω
0
= 0,
wo supereçyt\ (5), oskil\ky na pidstavi (11)
lim
,l
l lQ y
kl pkl→∞ � ω
0 = 1.
OtΩe, prypuwennq pro vykonannq spivvidnoßennq (9) [ xybnym. Tomu dlq
deqkoho dodatnoho çysla γ
lim inf
, ,
k x
m
m k
k pk
m
k pk
d
dt
A x
→∞ =
+
� �ω ω
1 0
> γ – 1.
Bez obmeΩennq zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo
inf
, ,
x
m
m k
k pk
m
k pk
d
dt
A x
� �ω ω
=
+
1 0
> γ – 1, k ∈N . (12)
PokaΩemo, wo
d
dt
A x x
m
m
m+
∈
: � = �
0. (13)
Zafiksu[mo dovil\nu funkcig f ∈�0 . Nexaj ( )fk k ≥1 — poslidovnist\ funk-
cij
fk p
m
k k
∈�ω , , k ≥ 1, dlq qko]
fk
k pk
� ω ,
0 ≤ f �0 , k ≥ 1, (14)
i
f fk
lok., �0
→ pry k → ∞ . (15)
Rozhlqnemo rivnqnnq
d x t n
dt
A x t n
m
m k
( , )
( )( , )+ = f t nk ( , ). (16)
Ce rivnqnnq na pidstavi (12) ta povno] neperervnosti operatora
Ak p
m
k k
: ,�ω →
→
�ωk kp,
0
ma[ [dynyj rozv’qzok
xk p
m
k k
∈�ω , , do toho Ω
xk
k pk
m� ω ,
≤ γ f �0 , k ≥ 1. (17)
Spravdi, zadaça pro isnuvannq rozv’qzkiv rivnqnnq (16) u prostori �ωk kp
m
, zvo-
dyt\sq do doslidΩennq rivnqnnq
x t n( , ) = G t s Bx s n A x s n dsk( ) ( , ) ( )( , )− −[ ]∫
R
+
+ G t s f s n dsk( ) ( , )−∫
R
, ( , )t n ∈ ×R Z, (18)
iz cilkom neperervnym operatorom
Dk p
m
p
m
k k k k
: , ,� �ω ω→ , wo vyznaça[t\sq
spivvidnoßennqm
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
406 V. G. SLGSARÇUK
( )( , )Dk x t n =
G t s Bx s n A x s n dsk( ) ( , ) ( )( , )− −[ ]∫
R
, ( , )t n ∈ ×R Z.
Tut B — takyj element prostoru L E E( , ), wo avtonomnyj operator
d
dt
B
m
m + : C Em( , )R → C E0( , )R
ma[ neperervnyj obernenyj, i G ( t ) — funkciq Hrina operatora
d
dt
B
m
m + [13].
Povna neperervnist\ operatora Dk p
m
p
m
k k k k
: , ,� �ω ω→ vyplyva[ z toho, wo
operator ( )( , )Tk x t n = Bx t n A x t nk( , ) ( )( , )− [ cilkom neperervnym elementom
prostoru
L
k k k kp
m
p( ), ,,� �ω ω
0
na pidstavi druho] umovy teoremy. Zavdqky povnij
neperervnosti operatora Dk rivnqnnq (18) [ fredhol\movym [14], tomu na pid-
stavi (12) rivnqnnq (18), a otΩe, i rivnqnnq (16) dlq koΩno] funkci]
fk pk k
∈�ω ,
0
magt\ [dynyj rozv’qzok xk p
m
k k
∈�ω , .
Spivvidnoßennq (17) vyplyva[ iz spivvidnoßen\ (12), (14).
Z (15) – (17), (8) i druho] umovy teoremy vyplyva[, wo elementy mnoΩyny
x t n
dx t n
dt
d x t n
dt
k
k
m
k
m
k
( , ),
( , )
, ,
( , )…
≥1
∪
rivnostepenevo neperervni po t na koΩnomu vidrizku [ , ]−T T , T > 0, dlq vsix
n ∈Z i rivnomirno obmeΩeni na R Z× . Tomu na pidstavi teoremy Arcela [15]
isnugt\ taki funkci] u
m∈� i poslidovnist\ ( )kl l ≥1 natural\nyx çysel
k ll ≥ , l ≤ 1, wo
x ukl
m
lok., � → pry l → ∞ .
Todi zavdqky (15), (16), (8) i c - neperervnosti operatora A spravdΩu[t\sq riv-
nist\
d u
dt
Au
m
m + = f ,
wo na pidstavi dovil\nosti vyboru f ∈�0
dovodyt\ (13).
Iz spivvidnoßennq (5), rivnosti (13) i teoremy Banaxa pro obernenyj operator
[15] vyplyva[, wo operator
d
dt
A
m
m + ma[ neperervnyj obernenyj
d
dt
A
m
m +
−1
.
Dostatnist\ dovedeno.
TeoremuKK1 dovedeno.
Okremym vypadkom teoremyKK1 [ taka teorema.
Teorema82. Nexaj A m: � �− →1 0
— linijnyj majΩe periodyçnyj i c - ne-
perervnyj operator.
Operator
d
dt
A
m
m
m+ →: � �0
ma[ obernenyj neperervnyj operator todi
i til\ky todi, koly spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq (5).
5. Rivnomirna c - neperervnist\ i majΩe periodyçnist\ operatora
d
dt
A
m
m +
−1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 407
Teorema83. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremyK1 i operator
d
dt
A
m
m + :
�
m → �
0
ma[ obernenyj neperervnyj operator
d
dt
A
m
m +
−1
.
Todi operator
d
dt
A
m
m +
−1
[ rivnomirno c -neperervnym, majΩe periodyç-
nym i
d
dt
A
m
m +
−1
0� = �
m . (19)
Dovedennq. Operator
d
dt
A
m
m +
−1
rivnomirno c -neperervnyj na pidstavi
teoremyK1 i lemyK2.
PokaΩemo majΩe periodyçnist\ c\oho operatora.
Nexaj ( , )τk k kp( ) ≥1 — dovil\na poslidovnist\ elementiv mnoΩyny R Z× .
Zavdqky majΩe periodyçnosti operatora A dlq deqkyx operatora
˜ ( )A A∈H i
pidposlidovnosti ( , )τk k kl l
p( ) ≥1
poslidovnosti ( , )τk k kp( ) ≥1 spravdΩu[t\sq riv-
nist\
lim ˜
, ,
( , )l
p p
L
S AS A
k k k k ml l l l→∞
− − −τ τ
� �0
= 0. (20)
Oskil\ky operator
d
dt
A
m
m + ma[ neperervnyj obernenyj, to zavdqky rivnostqm
d
dt
S AS
m
m p pk k k kl l l l
+ − −τ τ, , = S
d
dt
A S
k k k kl l l l
p
m
m pτ τ, ,+
− −
i (1) operatory
d
dt
S AS
m
m p pk k k kl l l l
+ − −τ τ, , , l ≥ 1, takoΩ magt\ neperervni oberne-
ni i
d
dt
A
m
m
L m
+
−1
0( , )� �
=
d
dt
S AS
m
m p p
L
k k k k
m
l l l l
+
− −
−
τ τ, ,
( , )
1
0� �
.
Tomu na pidstavi (20) operator
d
dt
A
m
m + ˜
takoΩ ma[ neperervnyj obernenyj i
lim ˜
, ,
( , )
l
p
m
m p
m
m
L
S
d
dt
A S
d
dt
A
k k k k
m
l l l l→∞
−
− −
−
+
− +
τ τ
1 1
0� �
= 0.
OtΩe, koΩna poslidovnist\ S
d
dt
A S
k k k kl l l l
p
m
m p
k
τ τ, ,+
−
− −
≥
1
1
mistyt\ zbiΩnu
pidposlidovnist\ S
d
dt
A S
k k k kl l l l
p
m
m p
k
τ τ, ,
˜+
−
− −
≥
1
1
, tobto operator
d
dt
A
m
m +
−1
[ majΩe periodyçnyym.
Rivnist\ (19) spravdΩu[t\sq zavdqky vlastyvosti b) ta majΩe periodyçnosti
operatoriv
d
dt
A
m
m + i
d
dt
A
m
m +
−1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
408 V. G. SLGSARÇUK
TeoremuKK3 dovedeno.
6. Umova Favara. U teoremaxK1, 2 vykorystano spivvidnoßennq (5). E.KMu-
xamadi[vym v [1, 2] pry doslidΩenni majΩe periodyçnyx operatoriv vyko-
rystovuvalas\ umova Favara. Cq umova u vypadku operatora
d
dt
A
m
m + ma[ vy-
hlqd
ker ˜d
dt
A
m
m +
= { }0 dlq koΩnoho
˜ ( )A A∈H . (21)
Tut ker ˜d
dt
A
m
m +
— qdro operatora
d
dt
A
m
m + ˜
.
Teorema84. Dlq majΩe periodyçnoho i c -neperervnoho operatora AK∈
∈ L
m( , )� �0
vykonannq spivvidnoßennq (5) rivnosyl\ne vykonanng umovy Fa-
vara (21).
Dovedennq. Oskil\ky dlq dovil\nyx toçky ( , )τ p ∈ ×R Z i funkcij x
m∈� ,
y ∈�0
spravdΩugt\sq rivnosti
S xp m− −τ, �
= x m�
i
S ypτ, �0 = y �0 ,
to
d
dt
S AS x
m
m p p+
− −τ τ, ,
�0
=
=
S
d
dt
A S xp
m
m pτ τ, ,+
− −
�0
=
d
dt
A S x
m
m p+
− −τ,
�0
i
inf , ,
x
m
m p p
m
d
dt
S AS x
� �=
− −+
1 0
τ τ = inf
x
m
m
m
d
dt
A x
� �=
+
1 0
.
Tomu zavdqky dovil\nosti vyboru toçky ( , )τ p ∈ ×R Z ta vyznaçenng mnoΩy-
nyKK H ( )A
inf ˜
x
m
m
m
d
dt
A x
� �=
+
1 0
= inf
x
m
m
m
d
dt
A x
� �=
+
1 0
, ˜ ( )A A∈H .
Zvidsy vyplyva[, wo qkwo vykonu[t\sq spivvidnoßennq (5), to vykonu[t\sq i
spivvidnoßennq (21).
Prypustymo, wo spivvidnoßennq (5) ne vykonu[t\sq, tobto
inf
x
m
m
m
d
dt
A x
� �=
+
1 0
= 0.
Isnu[ taka poslidovnist\ ( )xk k ≥1, xk m� = 1, k ≥ 1, wo
lim
k
m
m k
d
dt
A x
→∞
+
�0
= 0. (22)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 409
Rozhlqnemo poslidovnist\ ( , )τk k kp( ) ≥1, ( , )τk kp ∈ ×R Z, k ≥ 1, dlq qko]
max ( , ),
( , )
, ,
( , )
x p
dx p
dt
d x p
dt
k k
k k
m
k k
mτ τ τ…
≥
1
2
. (23)
Bez porußennq zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo
lim ˜
, , ( , )k
p p L
S AS A
k k k k m
→∞
− − −τ τ � �0 = 0 (24)
dlq deqkoho
˜ ( )A A∈H . Todi na pidstavi (22) i (24) dlq funkcij
y t nk ( , ) =
df
x t n pk k( , )+ +τ , k ≥ 1,
vykonu[t\sq spivvidnoßennq
lim ˜
k
m
m k
d
dt
A y
→∞
+
�0
= 0.
Za dopomohog mirkuvan\, vykorystanyx u dovedenni teoremyK1, robymo vysnovok,
wo isnugt\ funkciq u
m∈� i poslidovnist\ ( )kl k ≥1 natural\nyx çysel, dlq
qkyx
kl ≥ l, l ≥ 1,
i
y ukl
m
lok., � → pry l → ∞ .
Tomu
d
dt
A u
m
m +
˜ = 0
i, otΩe,
ker ˜d
dt
A
m
m +
≠ { }0 ,
oskil\ky zavdqky (23)
u m� ≥
1
2
.
Takym çynom, qkwo ne vykonu[t\sq spivvidnoßennq (5), to ne vykonu[t\sq i
spivvidnoßennq (21).
TeoremuK4 dovedeno.
7. Zastosuvannq teorem81, 3 i 4. Navedemo pryklady zastosuvannq otryma-
nyx rezul\tativ do doslidΩennq zliçennyx system zvyçajnyx dyferencial\nyx
rivnqn\ ta dyferencial\no-riznycevyx rivnqn\.
Pryklad81. Nexaj A tn k, ( ), n, k ∈ Z , — vyznaçeni na R funkci] zi znaçen-
nqmy v L ( E, E ) , dlq qkyx:
1)
sup ( )
( , )
, ( , )
t n
n k L E E
k
A t
∈ × ∈
∑
R Z Z
< + ∞ ;
2)
lim sup ( ) ( )
,
, , ( , )δ
δ
→ ∈ ∈ ∈
+ −∑
0 n t
n k n k L E E
k
A t A t
Z R Z
= 0;
3) dlq koΩnoho ε > 0 isnu[ take çyslo l ( ε ) > 0, wo koΩna mnoΩyna
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
410 V. G. SLGSARÇUK
t t l m m l0 0 0 0, ( ) [ , ( )]+[ ] × +( )ε ε ∩Z mistyt\ toçku ( τ, m ) , dlq qko]
sup ( ) ( )
,
, , ( , )n t
n m k n k L E E
k
A t A t
∈ ∈
+
∈
+ −∑
Z R Z
τ < ε .
Vyznaçymo linijnyj operator A : �
0 → �
0
rivnistg
( )( , )Ax t n = A t x t n kn k
k
, ( ) ( , )+
∈
∑
Z
, ( , )t n ∈ ×R Z . (25)
Zavdqky vykonanng dlq A tn k, ( ) ∈ L ( E, E ) , n, k ∈ Z , t ∈ R , umov 1 – 3 Ax ∈�0
dlq koΩnoho x ∈�0 , i operator A [ neperervnym, majΩe periodyçnym i c -
neperervnym. Tomu teoremyK1 i 3 moΩna zastosuvaty do doslidΩennq zliçenno]
systemy dyferencial\nyx rivnqn\
dx t
dt
n( )
= A t x t f tn k n k
k
n, ( ) ( ) ( )+
∈
∑ +
Z
,
(26)
n ∈Z, t ∈R ,
de fn , n ∈Z, — elementy prostoru C E0( , )R , wo zadovol\nqgt\ umovu
sup ( , )
n
n C Ef
∈Z
R0 < + ∞ . (27)
Teorema85. Qkwo dlq operatora A, wo vyznaça[t\sq rivnistg (25), vyko-
nu[t\sq spivvidnoßennq
inf
x
d
dt
A x
� �1 1 0=
+
> 0,
to dlq funkcij f C En ∈ 0( , )R , n ∈Z, dlq qkyx spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
(27), systema rivnqn\ (26) ma[ [dynyj rozv’qzok x C En ∈ 1( , )R , n ∈Z, dlq qko-
ho
sup ( , )
n
n C Ex
∈Z
R1 < + ∞ ,
do toho Ω funkciq x t n( , ) =
df
x tn( ) [ elementom prostoru �
1, qkwo funkciq
f t n( , ) =
df
f tn( ) [ elementom prostoru �0 .
Cq teorema [ naslidkom teoremKK1 i 3.
Zaznaçymo, wo teoremaK5 [ uzahal\nennqm teoremy Favara pro majΩe perio-
dyçni rozv’qzky skinçennyx system linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ iz majΩe
periodyçnymy koefici[ntamy [16].
Pryklad82. Nexaj B tn k p, , ( ), n , k , p ∈ Z , — vyznaçeni na R funkci] zi
znaçennqmy v L ( E, E ) , dlq qkyx:
1)
sup ( )
( , )
, , ( , )
t n k
n k p L E E
p
B t
∈ × ∈ ∈
∑ ∑
R Z Z Z
< + ∞ ;
2)
lim sup ( ) ( )
,
, , , , ( , )δ
δ
→ ∈ ∈ ∈ ∈
∑ ∑ + −
0 n t k
n k p n k p L E E
p
B t B t
Z R Z Z
= 0;
3) dlq koΩnoho ε > 0 isnu[ take çyslo l ( ε ) > 0, wo koΩna mnoΩyna
t t l l0 0 0 0, ( ) [ , ( )]+[ ] × +( )ε ν ν ε ∩ Z mistyt\ toçku ( τ, ν ) , dlq qko]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
UZAHAL|NENNQ TEOREMY MUXAMADI{VA PRO OBOROTNIST| … 411
sup ( ) ( )
,
, , , , ( , )
n t k
n k p n k p L E E
p
B t B t
∈ ∈ ∈
+
∈
∑ ∑ + −
Z R Z Z
ν τ < ε .
Rozhlqnemo dovil\ni dijsni çysla ∆p , p ∈ Z , i vyznaçymo linijnyj operator
B : �
0 → �
0
rivnistg
( )( , )B x t n =
k
n k p p
p
B t x t n k
∈ ∈
∑ ∑ + +
Z Z
, , ( ) ( , )∆ , ( , )t n ∈ ×R Z. (28)
Zavdqky vykonanng dlq B t L E En k p, , ( ) ( , )∈ , n, k, p ∈ Z , t ∈ R , umov 1 – 3 bana-
xiv prostir �
0
ivariantnyj po vidnoßenng do operatora B, i cej operator [ ne-
perervnym, majΩe periodyçnym i c - neperervnym. Oçevydno, wo teoremyKK1 i 3
moΩna zastosuvaty do doslidΩennq zliçenno] systemy dyferencial\no-riznyce-
vyx rivnqn\
d x t
dt
m
n
m
( )
=
k
n k p n k p
p
nB t x t f t
∈
+
∈
∑ ∑ + +
Z Z
, , ( ) ( ) ( )∆ ,
(29)
n ∈Z, t ∈R ,
de fn , n ∈ Z , — elementy prostoru C E0( , )R , wo zadovol\nqgt\ umovu (27), i
m ∈ N .
Teorema86. Qkwo dlq operatora B, wo vyznaça[t\sq rivnistg (28), vyko-
nu[t\sq spivvidnoßennq
inf
x
m
m
m
d
dt
B x
� �=
+
1 0
> 0,
to dlq funkcij f C En ∈ 0( , )R , n ∈Z, dlq qkyx spravdΩu[tsq spivvidnoßennq
(27), systema rivnqn\ (29) ma[ [dynyj rozv’qzok x C En
m∈ ( , )R , n ∈Z, dlq
qkoho
sup ( , )
n
n C Ex m
∈Z
R < + ∞ .
Qkwo funkciq f t n( , ) =
df
f tn( ) [ elementom prostoru �
0 , to funkciq
x t n( , ) =
df
x tn( ) [ elementom prostoru �
m .
Cq teorema, qk i teoremaK5, takoΩ [ naslidkom teoremK1 i 3.
Pryklad83. Rozhlqnemo operatory C L E Ek p, ( , )∈ , k, p ∈ Z , dlq qkyx
k
k p L E E
p
C
∈ ∈
∑ ∑
Z Z
, ( , )
< + ∞ ,
i dovil\ni dijsni çysla ∆p , p ∈ Z . Vyznaçymo linijnyj operator C : � 0 → �
0
rivnistg
( )( , )Cx t n =
k
k p p
p
C x t n k
∈ ∈
∑ ∑ + +
Z Z
, ( , )∆ , ( , )t n ∈ ×R Z.
Cej operator, oçevydno, avtonomnyj, neperervnyj i c -neperervnyj. Oskil\ky
H ( ) { }C C= , to zavdqky teoremamK1, 3 i 4 dlq systemy rivnqn\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
412 V. G. SLGSARÇUK
d x t
dt
m
n
m
( )
=
k
k p n k p
p
nC x t f t
∈
+
∈
∑ ∑ + +
Z Z
, ( ) ( )∆ ,
(30)
n ∈Z, t ∈R ,
de fn , n ∈Z, — elementy prostoru C E0( , )R , wo zadovol\nqgt\ umovu (27), i
m ∈N , spravdΩu[t\sq taka teorema.
Teorema87. Qkwo linijna odnoridna systema rivnqn\
d x t
dt
m
n
m
( )
=
k
k p n k p
p
C x t
∈
+
∈
∑ ∑ +
Z Z
, ( )∆ ,
n ∈Z, t ∈R ,
ma[ lyße nul\ovyj rozv’qzok, to dlq funkcij f C En ∈ 0( , )R , n ∈Z, wo zado-
vol\nqgt\ (27), systema rivnqn\ (30) ma[ [dynyj rozv’qzok x C En
m∈ ( , )R ,
n ∈Z, dlq qkoho
sup ( , )
n
n C Ex m
∈Z
R < + ∞ ,
do toho Ω funkciq x t n( , ) =
df
x tn( ) [ elementom prostoru �
1, qkwo funkciq
f t n( , ) =
df
f tn( ) [ elementom prostoru �
0 .
1. Muxamadyev ∏. Ob obratymosty funkcyonal\n¥x operatorov v prostranstve ohranyçenn¥x
na osy funkcyj // Mat. zametky. – 1972. – 11, # 3. – S.K269 – 274.
2. Muxamadyev ∏. Yssledovanyq po teoryy peryodyçeskyx y ohranyçenn¥x reßenyj dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Dußanbe, 1978. – 289 s.
3. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ poçty peryodyçeskyx c -neprer¥vn¥x funkcyonal\n¥x ope-
ratorov // Mat. sb. – 1981. – 116, # 4. – S.K483 – 501.
4. Slgsarçuk V. E. Yntehral\noe predstavlenye c -neprer¥vn¥x lynejn¥x operatorov //
Dokl. AN USSR. Ser.KA. – 1981. – # 8. – S.K34 – 37.
5. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ neavtonomn¥x dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x operato-
rov // Mat. sb. – 1986. – 130, # 1. – S.K86 – 104.
6. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty neavtonomn¥x funk-
cyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Mat. zametky. – 1987. – 42, # 2. – S.K262 – 267.
7. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty ravnomerno c -nepre-
r¥vn¥x funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Ukr. mat. Ωurn. – 1989. – 41,
# 2. – S.K201 – 205.
8. Kurbatov V. H. Lynejn¥e dyfferencyal\no-raznostn¥e uravnenyq. – VoroneΩ: Yzd-vo
VoroneΩ. un-t, 1990. – 168Ks.
9. Çan X¥u Bonh. Poçty peryodyçeskye y ohranyçenn¥e reßenyq lynejn¥x funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x uravnenyj: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Kyev, 1993. – 255 s.
10. Slgsarçuk V. E. Metod c -neprer¥vn¥x operatorov v teoryy ympul\sn¥x system // Tez.
dokl. Vsesogz. konf. po teoryy y pryloΩenyqm funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj. – Dußanbe, 1987. – S.K102 – 103.
11. Slgsarçuk V. E. Slabo nelynejn¥e vozmuwenyq ympul\sn¥x system // Mat. fyzyka y ne-
lynejn. mexanyka. – 1991. – V¥p.K15. – S. 32 – 35.
12. Slgsarçuk V. G. Oborotnist\ nelinijnyx riznycevyx operatoriv. – Rivne: Vyd-vo Nac. un-
tu vodn. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, 2006. – 233Ks.
13. Krasnosel\skyj M. A., Burd V. Í., Kolesov G. S. Nelynejn¥e poçty peryodyçeskye kole-
banyq. – M.: Nauka, 1970. – 352 s.
14. Krejn S. H. Lynejn¥e uravnenyq v banaxovom prostranstve. – M.: Nauka, 1971. – 104 s.
15. Kolmohorov A. N., Fomyn S. V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. –
M.: Nauka, 1968. – 496 s.
16. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1967. –
472Ks.
OderΩano 09.07.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3163 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:25Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f4/04812d57680f37ac2f8a1ca0a4fb71f4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31632020-03-18T19:47:10Z Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions Узагальнення теореми Мухамадієва про оборотність функціональних операторів у просторі обмежених функцій Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We obtain necessary and sufficient conditions of reversibility of the linear bounded operator d m / d t m + A in the space of functions bounded on R. Получены необходимые и достаточные условия обратимости линейного ограниченного оператора d m / d t m + A в пространстве ограниченных на R функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3163 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 3 (2008); 398–412 Український математичний журнал; Том 60 № 3 (2008); 398–412 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3163/3074 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3163/3075 Copyright (c) 2008 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| title | Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| title_alt | Узагальнення теореми Мухамадієва про оборотність функціональних операторів у просторі обмежених функцій |
| title_full | Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| title_fullStr | Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| title_full_unstemmed | Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| title_short | Generalization of the Mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| title_sort | generalization of the mukhamadiev theorem on the invertibility of functional operators in the space of bounded functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3163 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu generalizationofthemukhamadievtheoremontheinvertibilityoffunctionaloperatorsinthespaceofboundedfunctions AT slûsarčukvû generalizationofthemukhamadievtheoremontheinvertibilityoffunctionaloperatorsinthespaceofboundedfunctions AT slyusarchukvyu uzagalʹnennâteoremimuhamadíêvaprooborotnístʹfunkcíonalʹnihoperatorívuprostoríobmeženihfunkcíj AT slûsarčukvû uzagalʹnennâteoremimuhamadíêvaprooborotnístʹfunkcíonalʹnihoperatorívuprostoríobmeženihfunkcíj |