On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs
We investigate *-representations of a class of algebras that are quotient algebras of the Hecke algebras associated with Coxeter graphs. A description of all unitarily nonequivalent irreducible *-representations of finite-dimensional algebras is given. We prove that only trees that have at most one...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3174 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509220205494272 |
|---|---|
| author | Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. |
| author_facet | Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. |
| author_sort | Popova, N. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:47:27Z |
| description | We investigate *-representations of a class of algebras that are quotient algebras of the Hecke algebras associated with Coxeter graphs. A description of all unitarily nonequivalent irreducible *-representations of finite-dimensional algebras is given. We prove that only trees that have at most one edge of type s > 3 define algebras of finite Hilbert type for all values of parameters. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.552.4
N. D. Popova, G. S. Samojlenko, O. V. Strilec\
(In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
PRO ∗∗∗∗-ZOBRAÛENNQ ODNOHO KLASU ALHEBR,
POV’QZANYX IZ HRAFAMY KOKSTERA*
We study *-representations of a class of algebras that are factor-algebras of the Hecke algebras related
to the Coxeter graphs. We give a description of all unitarily nonequivalent irreducible *-representations
of finite-dimensional algebras. We prove that only trees that have at most one edge of type s > 3 define
algebras of the finite Hilbert type for all the values of parameters.
Yssledugtsq *-predstavlenyq klassa alhebr, qvlqgwyxsq faktor-alhebramy alhebr Hekke,
kotor¥e svqzan¥ s hrafamy Kokstera. Pryvedeno opysanye vsex unytarno neπkvyvalentn¥x ne-
pryvodym¥x *-predstavlenyj koneçnomern¥x alhebr. Dokazano, çto tol\ko derev\q s ne bol\-
ße çem odnym rebrom typa s > 3 zadagt alhebr¥ koneçnoho hyl\bertova typa pry vsex znaçe-
nyqx parametrov.
Vstup. U roboti [1] doslidΩuvalysq porodΩeni proektoramy alhebry typu Tem-
perli – Liba, pov’qzani z hrafamy Kokstera.
V roboti [2] my vyvçaly ]x faktor-alhebry TL gG, ,⊥ (a same, ]x rozmirnosti ta
rist), vvaΩagçy proektory ortohonal\nymy, qkwo vony ne z’[dnani rebrom u
hrafi G. U punkti 1 my navedemo oznaçennq alhebr TL gG, ,⊥ ta rezul\taty z [2].
U cij roboti budemo vyvçaty ]x *-zobraΩennq v hil\bertovomu prostori. U
punkti 2 dlq skinçennovymirnyx alhebr TL gG, ,⊥ opysano (z toçnistg do unitar-
no] ekvivalentnosti) vsi nezvidni *-zobraΩennq (v c\omu vypadku ]x kil\kist\
skinçenna i vsi vony skinçennovymirni). V punkti 3 dovedeno, wo til\ky hrafy-
dereva z ne bil\ß niΩ odnym rebrom typu s > 3 zadagt\ alhebry skinçennoho
hil\bertovoho typu (tobto alhebry, u qkyx çyslo nezvidnyx *-zobraΩen\ u hil\-
bertovomu prostori [ skinçennym) pry vsix znaçennqx parametriv.
1. Poperedni oznaçennq ta pryklady. Hrafom Kokstera G nazyvagt\
skinçennyj neori[ntovanyj poznaçenyj hraf bez kratnyx reber ta petel\. Bu-
demo pysaty G = ( , )V R , de V = 1, ,…{ }n — mnoΩyna verßyn, R — mnoΩyna
reber. Rebro miΩ verßynamy i i j budemo poznaçaty γ i j (vvaΩagçy pry c\o-
mu, wo γ i j = γ ji). Vsi rebra hrafa Kokstera G podilqgt\sq na typy
R = Rs
s =
∞
3
� .
Vidpovidni rebra budemo nazyvaty R3-, R4-rebramy i t.@d., abo budemo hovoryty,
wo rebro ma[ typ 3, 4 i t.@d. Poznaçymo çerez s
G
takyj nomer, wo RsG
≠ ∅ i
Rs = ∅, qkwo s > s
G
.
Ílqx dovΩyny m u hrafi G
l = l i( )0 = ( , , , )i i im0 1 … , γ i ik k
R
– ,1
∈
budemo nazyvaty ßlqxom bez povtoriv, qkwo ik ≠ ij , dlq dovil\nyx k ≠ j, tob-
to qkwo vin [ in’[ktyvnym. Ílqx l = ( )i0 budemo rozhlqdaty qk ßlqx bez pov-
toriv dovΩyny 0, a ßlqx l = ( ) — qk „poroΩnij” ßlqx. Dlq ßlqxu l =
= ( , , , )i i im0 1 … oznaçymo l∗ = ( , , , )–i i im m 1 0… . Pid ob’[dnannqm ßlqxiv l1 =
*
Vykonano v ramkax proektu # 0107U002333 cil\ovo] prohramy NAN Ukra]ny „Suçasni metody
doslidΩennq matematyçnyx modelej v zadaçax pryrodoznavstva ta suspil\nyx nauk”.
© N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4 545
546 N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|
= ( , , , )–i i ik k0 1… i l2 = ( , , , )i i ik k t+ …1 budemo rozumity ßlqx l1 ∪ l2 = (i0 , …
… , i i i ik k k t– , , , , )1 1+ … . Dovil\nomu ßlqxovi l = ( , , , )i i im0 1 … moΩna spivstavyty
dobutok Πl = pi0
… pim
v alhebri, dlq „poroΩn\oho” ßlqxu Πl = e.
Alhebra TL gG, ,⊥ zada[t\sq tvirnymy ta vyznaçal\nymy spivvidnoßennqmy.
Tvirnyx stil\ky, skil\ky verßyn u hrafi G, vsi vony [ idempotentamy. A spiv-
vidnoßennq miΩ tvirnymy pi ta p j vyznaçagt\sq rebrom miΩ vidpovidnymy
verßynamy i i j. Qkwo rebra miΩ verßynamy i i j nema[, to pi i p j ortoho-
nal\ni ( p pi j = p pj i = 0).
Perß niΩ navesty oznaçennq alhebr TL gG, ,⊥ , rozhlqnemo deqki pryklady
hrafiv Kokstera ta spivvidnoßen\, wo vynykagt\.
1. Hraf G [ takym: 1 2
3
� �— .
Vidpovidna alhebra TL gG, ,⊥ porodΩena dvoma idempotentamy p1 i p2 zi
spivvidnoßennqmy p p p1 2 1 = τp1, p p p2 1 2 = τp2 dlq deqkoho τ ∈R .
2. Hraf G [ takym: 1 2
4
� �— .
Vidpovidna alhebra TL gG, ,⊥ porodΩena dvoma idempotentamy p1 i p2 zi
spivvidnoßennqmy ( )p p1 2
2 = τp p1 2 , ( )p p2 1
2 = τp p2 1 dlq deqkoho τ ∈R .
3. Hraf G [ takym: 1 2
5
� �— .
Vidpovidna alhebra TL gG, ,⊥ porodΩena dvoma idempotentamy p1 i p2 zi
spivvidnoßennqmy ( )p p p1 2
2
1 = τ1 1 2 1p p p + τ2 1p , ( )p p p2 1
2
2 = τ1 2 1 2p p p + τ2 2p
dlq deqkyx τ1, τ2 ∈R .
4. Hraf G [ takym: 1 2
6
� �— .
Vidpovidna alhebra TL gG, ,⊥ porodΩena dvoma idempotentamy p1 i p2 zi
spivvidnoßennqmy ( )p p1 2
3 = τ1 1 2
2( )p p + τ2 1 2p p , ( )p p2 1
3 = τ1 2 1
2( )p p + τ2 2 1p p
dlq deqkyx τ1, τ2 ∈R .
5. Hraf G [ takym: 1 2
7
� �— .
Vidpovidna alhebra TL gG, ,⊥ porodΩena dvoma idempotentamy p1 i p2 zi
spivvidnoßennqmy ( )p p p1 2
3
1 = τ1 1 2
2
1( )p p p + τ2 1 2 1p p p + τ3 1p , ( )p p p2 1
3
2=
= τ1 2 1
2
2( )p p p + τ2 2 1 2p p p + τ3 2p dlq deqkyx τ1, τ2, τ3 ∈R .
Damo oznaçennq alhebr TL gG, ,⊥ . Nexaj g — deqke vidobraΩennq, qke koΩ-
nomu rebru γ i j sR∈ , s = 2k + σ ≥ 3, k ∈N , σ ∈{ }0 1, , stavyt\ u vidpovidnist\
polinom gi j takyj, wo deg gi j ≤ k – 1 i gi j ( )0 = 0, qkwo σ = 0,
g R x: → [ ]R @: γ i j i jg x� ( ) = τ
σ
i j
m
m
k
mx x( )
–
–
=
∑ ∈ [ ]
1
1
R .
Oznaçennq 1. TL gG, ,⊥ — asociatyvna alhebra nad C z odynyceg e, zada-
na tvirnymy ta spivvidnoßennqmy, qki vyznaçagt\sq hrafom G ta vidobra-
Ωennqm g:
TL gG, ,⊥ = C p p p pn i i1
2, , –… = 0; p pi j = 0, qkwo γ i j R∉ ;
( )p p pi j
k
i
σ – g p p pi j i j i( ) σ = 0, qkwo γ i j sR∈ , s = 2k + σ ≥ 3, σ ∈{ }0 1, . (1)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
PRO *-ZOBRAÛENNQ ODNOHO KLASU ALHEBR, POV’QZANYX … 547
Dlq rebra γ i j sR∈ , s = 2k + σ, razom z polinomom gi j budemo rozhlqdaty
polinom f xi j ( ) = xk – g xi j ( ) . Todi spivvidnoßennq (1) moΩna perepysaty u vyh-
lqdi f p p pi j i j i( ) σ = 0.
Vidmitymo, wo oskil\ky my poklada[mo γ i j = γ ji , to za oznaçennqm@1
dlq@@ pi i p j my zavΩdy ma[mo na uvazi vykonannq obox spivvidnoßen\ :
f p p pi j i j i( ) σ = 0 i f p p pi j j i j( ) σ = 0.
Dali budemo rozhlqdaty TL gG, ,⊥ qk *-alhebru, magçy na uvazi involgcig,
pry qkij tvirni stagt\ proektoramy, tobto pi
∗ = pi = pi
2
dlq vsix i V∈ . Dlq
c\oho z neobxidnistg vvaΩa[mo, wo vsi polinomy gi j magt\ dijsni koefici[nty.
Navedemo odne proste tverdΩennq.
TverdΩennq 1. Nexaj dlq dvox hrafiv Kokstera G, G̃ i dvox vidobraΩen\
g : R x→ [ ]R , g̃ : R̃ x→ [ ]R vykonano umovy:
1) mnoΩyny verßyn hrafiv zbihagt\sq: V V= ˜
;
2) qkwo bud\-qki dvi verßyny i, j V∈ ne z’[dnani rebrom u hrafi G , to
vony ne z’[dnani rebrom i u hrafi G̃ ;
3) qkwo i, j V∈ z’[dnani rebrom u hrafi G i ne z’[dnani rebrom u G̃ ,
to pravyl\nog [ rivnist\ gi j ( )0 = 0;
4) dlq dovil\noho rebra γ i j sR∈ , s = 2k + σ, i vidpovidnoho rebra ˜ ˜
˜γ i j sR∈ ,
s̃ = 2k̃ + σ̃ , vykonu[t\sq nerivnist\ s̃ s≤ i polinom
˜ ( )f xi j dilyt\ polinom
f xi j ( ).
Todi *-alhebra TL
g˜ , ˜,G ⊥
[ faktor-alhebrog * -alhebry TL gG, ,⊥ i dovil\-
ne *-zobraΩennq π̃ alhebry TL
g˜ , ˜,G ⊥
pidnima[t\sq do *-zobraΩennq π =
= π̃ϕ alhebry TL gG, ,⊥ , de ϕ: TL gG, ,⊥ → TL
g˜ , ˜,G ⊥
— faktor-vidobraΩennq.
V teoremi@1 stverdΩu[t\sq, wo alhebra, asocijovana z hrafom-derevom z umo-
vog R R\ 3 = 1, ne ma[ inßyx nezvidnyx *-zobraΩen\, krim tyx, do qkyx pidni-
magt\sq *-zobraΩennq ]] faktor-alhebr TL
g˜ , ˜,G ⊥
, de hraf Kokstera G̃ [ zvy-
çajnym hrafom. Zvyçajnym hrafom budemo nazyvaty hraf Kokstera, vsi rebra
qkoho magt\ typ 3. Qkwo G — derevo z umovog R R\ 3 > 1, to podibna teorema,
vzahali kaΩuçy, ne ma[ miscq, oskil\ky zavΩdy isnu[ rozstanovka polinomiv gi j
na rebrax taka, wo alhebra TL gG, ,⊥ ma[ neskinçenne çyslo unitarno neekviva-
lentnyx nezvidnyx *-zobraΩen\ (dyv. lemu@1).
2. Pro *-zobraΩennq skinçennovymirnyx alhebr TL gG, ,⊥⊥. V roboti [2]
my pokazaly, wo skinçennovymirnymy sered alhebr TL gG, ,⊥ [ lyße ti alhebry,
wo vyznaçagt\sq hrafom Kokstera G, qkyj ne mistyt\ cykliv i mistyt\ ne
bil\ße odnoho rebra typu s > 3 u koΩnij komponenti zv’qznosti. Dali my bude-
mo rozhlqdaty til\ky zv’qzni hrafy Kokstera. *-ZobraΩennq alhebr TL gG, ,⊥ ,
asocijovanyx z deqkymy zvyçajnymy hrafamy, vyvçalysq v robotax [3 – 5]. V ro-
boti [4] znajdeno umovy, pry qkyx isnugt\ nenul\ovi *-zobraΩennq, i dano opys
usix nezvidnyx *-zobraΩen\.
Navedemo neobxidni dlq podal\ßoho rezul\taty z cyx robit.
Nexaj hraf G — derevo z n verßynamy i vsi rebra magt\ typ 3. Za oznaçen-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
548 N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|
nqm 1 spivvidnoßennq miΩ bud\-qkymy tvirnymy-proektoramy pi i p j alhebry
TL gG, ,⊥ budut\ nastupnymy: qkwo miΩ verßynamy i, j u hrafi G [ rebro, to
vykonugt\sq spivvidnoßennq
p p pi j i = τ i j ip , p p pj i j = τ i j jp , τ i j ∈R ;
qkwo rebra nema[, to
p pi j = p pj i = 0.
Rozhlqnemo samosprqΩenu ( )n n× -matrycg M g( , )G = ( ), ,mi j i j
n
=1, de
mi i, = 1 ∀ i; mi j, = τ i j , qkwo γ i j R∈ ,
i mi j, = 0 v protyleΩnomu vypadku.
V nastupnomu tverdΩenni, dovedenomu v [4], navedeno neobxidnu i dostatng umo-
vu, pry qkij alhebra TL gG, ,⊥ ma[ nenul\ovi *-zobraΩennq, a takoΩ opys usix
nezvidnyx *-zobraΩen\.
TverdΩennq 2. Nexaj hraf G — derevo , vsi rebra qkoho magt\ typ 3.
Alhebra TL gG, ,⊥ ma[ nenul\ovi * -zobraΩennq todi i til\ky todi, koly mat-
rycq M g( , )G [ nevid’[mno vyznaçenog. Nezvidne nenul\ove *-zobraΩennq
[dyne z toçnistg do unitarno] ekvivalentnosti, i joho rozmirnist\ dorivng[
ranhu matryci M g( , )G .
Dali, rozhlqnemo hraf Kokstera Gu , qkyj [ derevom, i vsi rebra, krim odno-
ho, magt\ typ 3. VvaΩa[mo, wo verßyny hrafa Gu zanumerovano tak, wo
γ12 ∈Rs , s > 3. Zrozumilo, wo qkwo vyterty rebro γ12 , to hraf Kokstera Gu
rozpadet\sq na dva zvyçajnyx dereva: Γ( )d = V Rd d( ) ( ),( ) , d V d∈ ( ) , d = 1, 2.
Meta c\oho punktu — oderΩaty opys nezvidnyx nenul\ovyx *-zobraΩen\ al-
hebry TL
u gG , ,⊥ u terminax *-zobraΩen\ ]] faktor-alhebr TL
u g
� �
G , ,⊥
. Cg zadaçu
dlq çastynnoho vypadku, a same, koly f x12( ) = ( – ) –x xkτ12
1
, bulo rozv’qzano v
roboti [6]. U c\omu punkti my doslidΩu[mo vypadok dovil\noho polinoma
f x12( ), vykorystovugçy rezul\taty roboty [2].
Poznaçymo çerez π deqke *-zobraΩennq alhebry TL
u gG , ,⊥ v hil\bertovomu
prostori H , a çerez Pi = π( )pi vidpovidni tvirnym ortoproektory u prostori
H . ZauvaΩymo, wo, qk i u vypadku zvyçajnyx hrafiv, budemo vvaΩaty, wo
g xi j ( ) = τ i j ≠ 0 dlq γ i j R∈ 3 , tomu wo inakße z rivnosti PP Pi j i = 0 bude vyply-
vaty PPi j = 0. Poznaçymo çerez
Hi = x Px xi∈ ={ }H
pidprostir, qkyj [ obrazom Pi .
Qk i v roboti [2], tvirni vporqdkovu[mo za zrostannqm indeksu: p1 < … < pn
,
na slovax rozhlqda[mo odnoridno-leksykohrafiçnyj porqdok, a çerez N po-
znaça[mo mnoΩynu vsix normal\nyx sliv v alhebri TL
u gG , ,⊥ . Alhebra TL
u gG , ,⊥
[ skinçennovymirnog, otΩe, mnoΩyna N skinçenna. Nexaj N Ni ⊂ — mno-
Ωyna vsix takyx normal\nyx sliv, wo dovil\nyj w i∈N abo [ odynyceg, abo za-
kinçu[t\sq na deqkyj pj , z’[dnanyj rebrom γ i j iz verßynog i.
TverdΩennq 3. Nexaj Hi x∋ 0 ≠ 0. Todi linijna obolonka L xi( )0 skinçen-
no] mnoΩyny vektoriv π( )N i x0 = π( )w x w i0{ } ∈N [ invariantnym vidnosno *-
zobraΩennq π nenul\ovym pidprostorom H .
Dovedennq. Dovil\ne normal\ne slovo v, qke ne naleΩyt\ mnoΩyni N i , [
takym, wo vono zakinçu[t\sq abo na pi (v ∈N i0 = N i ip ), abo na p j takyj, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
PRO *-ZOBRAÛENNQ ODNOHO KLASU ALHEBR, POV’QZANYX … 549
p pj i = p pi j = 0 v ∈( )N i .
Takym çynom, dlq bud\-qkoho elementa a alhebry TL
u gG , ,⊥ ta bud\-qkoho
w i0 ∈N ma[mo
π π( ) ( )a w x0 0 = π( )aw x0 0 =
µ πv
v
v( ) x0
∈
∑
N
=
=
µ πw
w
w x
i
( ) 0
∈
∑
N
+
µ πw p i
w
i
i
w p x( ) 0
∈
∑
N
+
µ πv
v
v( ) x
i
0
∈
∑
N
=
=
( ) ( ) ( )µ µ πw w p
w
ii
i
w x L x+ ∈
∈
∑ 0 0
N
.
OtΩe, L xi( )0 [ invariantnym vidnosno *-zobraΩennq π pidprostorom H.
Vraxovugçy te, wo x0 [ nenul\ovym i x L xi0 0∈ ( ), oderΩu[mo, wo L xi( )0 —
nenul\ovyj pidprostir.
TverdΩennq dovedeno.
Lehko baçyty (dyv. [2] ), wo
N 1 = Π
Λl
m
l m k
p p
1
1
1 1 1
1 2 0
( )
,
{ } ∈ ≤ < + σ
∪ Π
Λl
m
l m k
p p p
2
2
2 2 2
2 1 2 0
( )
,
{ } ∈ ≤ <
,
N 2 = Π
Λl
m
l m k
p p
2
2
2 2 2
2 1 0
( )
,
{ } ∈ ≤ < + σ
∪ Π
Λl
m
l m k
p p p
1
1
1 1 1
1 2 1 0
( )
,
{ } ∈ ≤ <
,
de Λd — mnoΩyna takyx ßlqxiv bez povtoriv, wo abo ßlqx [ „poroΩnim” (tob-
to Πl d
= e), abo vsi joho verßyny naleΩat\ V d( ) , a kinec\ spoluçeno z verßy-
nog d (d = 1, 2).
Dlq dovedennq dvox nastupnyx tverdΩen\ nam potribna taka rivnist\:
( – )( )P P P P P P m
1 2 1 1 2 1λ = P P P P P Pm m
1 2 1
1
1 2 1( ) ( )+ – λ =
= P P P P P Pm m
1 2
1
1 1 2 1( ) ( )+ – λ = ( ) ( – )P P P P P Pm
1 2 1 2 1 1λ .
TverdΩennq 4. Nexaj π [ nezvidnym *-zobraΩennqm alhebry TL
u gG , ,⊥ ,
P P1 2 ≠ 0 i spravdΩu[t\sq rivnist\
( – )P P P P1 2 1 1 1λ @… ( – )P P P Pm1 2 1 1λ = 0. (2)
Todi isnu[ l m∈ …{ }1, , take, wo λl ∈( ]0 1, i vykonugt\sq rivnosti
P P P Pl1 2 1 1– λ = 0 i P P P Pl2 1 2 2– λ = 0.
Dovedennq. Oskil\ky P1 ≠ 0, to isnugt\ nenul\ovi elementy H1 . Pry-
pustymo, wo dlq dovil\noho l m∈ …{ }1, , i dovil\noho nenul\ovoho x ∈H1
( – )P P P P xl1 2 1 1λ ≠ 0.
Viz\memo deqkyj nenul\ovyj element z H1 i poznaçymo joho xm +1. Vyznaçymo
xl , l = m, … , 1, za dopomohog rekurentno] formuly xl = (P P P1 2 1 – λl lP x1 1) + .
Oçevydno, wo tak vyznaçeni xl naleΩat\ H1 , otΩe, vsi vony ne dorivnggt\
nulevi. Ale, ce oznaça[, wo
x1 = ( – )P P P P1 2 1 1 1λ … ( – )P P P P xm m1 2 1 1 1λ + ≠ 0.
Pryjßly do supereçnosti z (2).
Znaçyt\, isnugt\ nenul\ovyj x0 1∈H ta deqkyj l m∈ …{ }1, , taki, wo
( – )P P P P xl1 2 1 1 0λ = 0.
*-ZobraΩennq π [ nezvidnym, a prostir L x1 0( ) za tverdΩennqm 3 — invariant-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
550 N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|
nym vidnosno π nenul\ovym pidprostorom H. Takym çynom, H = L x1 0( ). Ot-
Ωe, dlq zaverßennq dovedennq slid pokazaty, wo dlq dovil\noho w ∈N 1 vy-
konugt\sq rivnosti
( – ) ( )P P P P w xl1 2 1 1 0λ π = 0 i ( – ) ( )P P P P w xl2 1 2 2 0λ π = 0.
Dovedemo perßu rivnist\. Oçevydno, wo P p p pl
m
1 2 1 22
2π Π ( )( ) ≠ 0, til\ky
qkwo l2 [ „poroΩnim”. V c\omu vypadku
( – ) ( )P P P P p p p xl
m
1 2 1 1 2 1 2 0
2λ π( ) = ( – )( )P P P P P P xl
m
1 2 1 1 2 1
1
0
2λ + =
= ( ) ( – )P P P P P P xm
l1 2
1
1 2 1 1 0
2 + λ = 0.
Dali, P p pl
m
1 1 21
1π Π ( )( ) ≠ 0, qkwo l1 „poroΩnij” abo poçyna[t\sq z verßyny j,
qka spoluçena rebrom z verßynog 1. Z inßoho boku, kinec\ l1 takoΩ spoluçeno
z verßynog 1, a ce moΩlyvo v derevi, til\ky qkwo l1 = ( )j . U perßomu vypadku
ma[mo
( – ) ( )P P P P p p xl
m
1 2 1 1 1 2 0
1λ π( ) = ( – )( )P P P P P P xl
m
1 2 1 1 1 2 0
1λ =
= ( – )( )P P P P P P xl
m
1 2 1 1 2 1 0
1λ = ( ) ( – )P P P P P P xm
l1 2 1 2 1 1 0
1 λ = 0,
u druhomu
( – ) ( )P P P P p p p xl j
m
1 2 1 1 1 2 0
1λ π( ) = ( – ) ( )P P P P P P P xl j
m
1 2 1 1 1 2 0
1λ =
= τ λ1 1 2 1 1 1 2 0
1
j l
mP P P P P P x( – )( ) = 0.
Teper dovedemo druhu rivnist\. Oçevydno, wo P p pl
m
2 1 21
1π Π ( )( ) ≠ 0, til\ky
qkwo l1 [ „poroΩnim”. U c\omu vypadku
( – ) ( )P P P P p p xl
m
2 1 2 2 1 2 0
1λ π( ) = ( – )( )P P P P P P xl
m
2 1 2 2 1 2 0
1λ =
= P P P P P P P P xm
l
m
2 1 2
1
1 2 1 2 1 0
1 1( ) – ( )+( )λ = P P P P P P P xm
l2 1 2 1 2 1 1 0
1( ) ( – )λ = 0.
Dali, P p p pl
m
2 2 1 22
2π Π ( )( ) ≠ 0, qkwo l2 „poroΩnij” abo poçyna[t\sq z verßyny
j, qka spoluçena rebrom z verßynog 2. Z inßoho boku, kinec\ l2 takoΩ spolu-
çeno z verßynog 2, a ce moΩlyvo v derevi, til\ky qkwo l2 = ( )j . U perßomu vy-
padku ma[mo
( – ) ( ) )P P P P p p p xl
m
2 1 2 2 2 1 2 0
2λ π( ) = ( – )( )P P P P P P P xl
m
2 1 2 2 2 1 2 0
2λ =
= ( – )( )P P P P P P xl
m
2 1 2 2 1 2 0
2λ = 0,
u druhomu
( – ) ( ) )P P P P p p p p xl j
m
2 1 2 2 2 1 2 0
2λ π( ) = ( – ) ( )P P P P P P P P xl j
m
2 1 2 2 2 1 2 0
2λ =
= τ λ2 2 1 2 2 1 2 0
2
j l
mP P P P P P x( – )( ) = 0.
PokaΩemo, wo λl ∈R . Dijsno, qkwo λl ∈C R\ , to takoΩ P P P1 2 1 – λl P1 =
= 0, otΩe, ( – )λ λl l P1 = 0. Pryjßly do supereçnosti z P1 ≠ 0.
Lehko pokazaty, wo qkwo λl < 0 abo λl > 1, to P1 = 0. Znovu pryjßly do
supereçnosti. Qkwo λl = 0, to P P P2 1 2 = 0, zvidky P P1 2 = 0. Takym çynom, my
dovely, wo λl ∈( ]0 1, .
TverdΩennq dovedeno.
TverdΩennq 5. Nexaj π [ nezvidnym *-zobraΩennqm alhebry TL
u gG , ,⊥ ,
P P1 2 ≠ 0 i spravdΩu[t\sq rivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
PRO *-ZOBRAÛENNQ ODNOHO KLASU ALHEBR, POV’QZANYX … 551
( – )P P P P1 2 1 1 1λ … ( – )P P P P Pm1 2 1 1 2λ = 0. (3)
Todi vykonu[t\sq rivnist\ (2).
Dovedennq. Poznaçymo çerez Λ livu çastynu (2). Todi (3) moΩna zapysaty
u vyhlqdi ΛP2 = 0.
Vnaslidok toho, wo P2 [ nenul\ovym, oskil\ky P P1 2 ≠ 0, isnu[ nenul\ovyj
x0 2∈H . *-ZobraΩennq π [ nezvidnym, a prostir L x2 0( ) za tverdΩennqm 3 —
invariantnym vidnosno π nenul\ovym pidprostorom H . Takym çynom, H =
= L x2 0( ) . OtΩe, dlq zaverßennq dovedennq slid pokazaty, wo dlq dovil\noho
w ∈N 2 vykonu[t\sq rivnist\
Λπ( )w x0 = 0.
Oçevydno, wo P p pl
m
1 2 12
2π Π ( )( ) ≠ 0, til\ky qkwo l2 [ „poroΩnim”. V c\omu
vypadku
Λπ ( )p p xm
2 1 0
2( ) = Λ( )P P P xm
2 1 2 0
2 = ( )P P P xm
1 2 2 0
2 Λ = 0.
Dali, P p p pl
m
1 1 2 11
1π Π ( )( ) ≠ 0, qkwo l1 „poroΩnij” abo poçyna[t\sq z verßyny
j, qka spoluçena rebrom z verßynog 1. Z inßoho boku, kinec\ l1 takoΩ spolu-
çeno z verßynog 1, a ce moΩlyvo v derevi, til\ky qkwo l1 = ( )j . U perßomu vy-
padku ma[mo
Λπ ( )p p p xm
1 2 1 0
1( ) = Λ P P P P xm
1 2 1 2 0
1( ) = ( )P P P xm
1 2 2 0
1 Λ = 0,
u druhomu
Λπ p p p p xj
m( )1 2 1 0
1( ) = Λ P P P P P P xj
m
1 1 2 1 2 0
1( ) = τ1 1 2 1 2 0
1
j
mP P P P xΛ ( ) = 0.
TverdΩennq dovedeno.
TverdΩennq 6. Qkwo π [ nenul\ovym nezvidnym *-zobraΩennqm i P P1 2 =
= 0, to Pi = 0 dlq vsix i V d∈ ( ) , Pj ≠ 0 dlq vsix j V d∈ ( – )3 , de abo d = 1, abo
d = 2, pryçomu f12 0( ) = 0.
Dovedennq. Lehko baçyty, wo z rivnosti P P1 2 = 0 vyplyva[ takoΩ rivnist\
P P2 1 = 0.
PokaΩemo, wo qkwo dvi verßyny i ta j pov’qzani ßlqxom l = (i i0 = , i1, …
… , i jm = ), rebra qkoho γ i ik k, +1
naleΩat\ R3, to Pi = 0 todi i til\ky todi, ko-
ly Pj = 0. Ce vyplyva[ z rivnostej
Pik +1
= 1
1
1 1τi i
i i i
k k
k k k
P P P
+
+ +
, Pik
= 1
1
1τi i
i i i
k k
k k k
P P P
+
+
.
Znaçyt\, qkwo π [ nenul\ovym nezvidnym *-zobraΩennqm, to xoça b odyn z P1
i P2 povynen buty nenul\ovym.
Prypustymo, wo P1 ≠ 0. Todi isnu[ nenul\ovyj x0 1∈H . Linijnyj prostir
L x1 0( ) (za tverdΩennqm 3) [ invariantnym vidnosno nezvidnoho *-zobraΩennq π
nenul\ovym pidprostorom H, otΩe, H = L x1 0( ). PokaΩemo, wo P2 π( )N 1 x0 =
= 0. Dijsno, π Πl
mp p p x
2
1
2 1 2 0( )( ) = π Πl
mp p P P x
2
1
2 1 2 1 0( )( ) = 0, a π Πl
mp p
1
1
1 2( )( )
ne dorivng[ nulevi, til\ky qkwo m1 = 0. V c\omu vypadku P l2 1
π( )Π ≠ 0, til\ky
qkwo l1 [ „poroΩnim”, ale P x2 0 = P P x2 1 0 = 0. Takym çynom, my dovely, wo
P2@= 0. Qkwo prypustyty, wo P2 ≠ 0, to analohiçno moΩna pokazaty, wo
P1@=@0.
Qkwo σ = 0, to f12 0( ) = 0. PokaΩemo, wo f12 0( ) = 0 u vypadku, koly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
552 N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|
P P1 2 @= 0 i σ = 1. Nexaj λ
1
, … , λk — vsi koreni f12, otΩe, ma[mo rivnosti
( – )P P1 2 1λ @… ( – )P P Pk1 2 1λ = 0,
( – )P P2 1 1λ @… ( – )P P Pk2 1 2λ = 0.
Qkwo P1 ≠ 0, to P2 = 0, ale z perßo] rivnosti ma[mo λ
1
… λk P1 = 0, otΩe,
odyn iz koreniv dorivng[ nulg. Qkwo P2 ≠ 0, to P1 = 0, i teper vΩe z druho]
rivnosti ma[mo λ
1
… λk P2 = 0, otΩe, odyn iz koreniv dorivng[ nulg i v c\omu
vypadku.
TverdΩennq dovedeno.
Teorema 1. Nexaj µ
1
, … , µm — vsi rizni dijsni koreni polinoma f x12( ) z
intervalu 0 1,[ ]. Todi dlq dovil\noho nenul\ovoho nezvidnoho *-zobraΩennq π
znajdet\sq [dynyj l m∈ …{ }1, , takyj, wo π =
�π ϕl l , de ϕl [ * -epimor-
fizmom alhebry TL
u gG , ,⊥ na ]] faktor-alhebru
TL
u g
� �
G , ,⊥
po idealu Il , qkyj
porodΩenyj
a) parog elementiv p p p1 2 1 – µl p1 i p p p2 1 2 – µl p2 , qkwo µl ≠ 0;
b) odnym z elementiv p1 abo p2, qkwo µl = 0,
a
�πl [ [dynym nenul\ovym nezvidnym *-zobraΩennqm alhebry TL
u g
� �
G , ,⊥
.
Dovedennq. Prypustymo, wo P P1 2 = 0. Todi za tverdΩennqm 6 spravdΩu-
[t\sq rivnist\ f12 0( ) = 0 i Pi = 0 dlq vsix i V d∈ ( ) , de abo d = 1, abo d = 2.
Todi *-zobraΩennq π [ prodovΩennqm [dynoho nenul\ovoho nezvidnoho *-zob-
raΩennq alhebry TL
dΓ( – ) , ,3 τ ⊥ , de τ i j = g xi j ( ) dlq γ i j dR∈ ( – )3 .
Nexaj teper P P1 2 ≠ 0.
Rozhlqnemo spoçatku vypadok s = 2k + 1. Nexaj λ
1
, … , λk –1, λk — vsi ko-
reni f12, otΩe, ma[mo rivnist\
( – )P P1 2 1λ @… ( – )P P Pk1 2 1λ = 0.
}] moΩna perepysaty u vyhlqdi
( – )P P P P1 2 1 1 1λ @… ( – )P P P Pk1 2 1 1λ = 0.
Todi za tverdΩennqm 4 znajdet\sq l takyj, wo λl ∈( ]0 1, i spravdΩugt\sq riv-
nosti
P P P1 2 1 – λlP1 = 0 i P P P2 1 2 – λlP2 = 0.
Teper rozhlqnemo vypadok s = 2k. Todi f12 0( ) = 0. Nexaj λ
1
, … , λk –1, λk =
= 0 — vsi koreni f12, otΩe, ma[mo rivnist\
( – )P P1 2 1λ @… ( – )–P P P Pk1 2 1 1 2λ = 0.
}] moΩna perepysaty u vyhlqdi
( – )P P P P1 2 1 1 1λ @… ( – )–P P P P Pk1 2 1 1 1 2λ = 0.
Todi za tverdΩennqm 5 vykonu[t\sq takoΩ
( – )P P P P1 2 1 1 1λ @… ( – )–P P P Pk1 2 1 1 1λ = 0,
a otΩe, za tverdΩennqm 4 znajdet\sq l takyj, wo λl ∈( ]0 1, i vykonugt\sq riv-
nosti
P P P1 2 1 – λlP1 = 0 i P P P2 1 2 – λlP2 = 0.
Takym çynom, *-zobraΩennq π [ pidnqttqm [dynoho nezvidnoho nenul\ovoho
*-zobraΩennq alhebry TLΓ, ,τ ⊥ , de hraf Γ oderΩu[mo, qkwo zaminyty rebro
γ12 typu s hrafa G na rebro typu 3, τ12 = λl i τ i j = g xi j ( ) dlq inßyx reber
γ i j R∈ 3.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
PRO *-ZOBRAÛENNQ ODNOHO KLASU ALHEBR, POV’QZANYX … 553
Teoremu dovedeno.
3. Pro *-alhebry TL gG, ,⊥⊥ skinçennoho hil\bertovoho typu.
Oznaçennq 2. Budemo nazyvaty *-alhebru *-alhebrog skinçennoho hil\ber-
tovoho typu, qkwo vona ma[ til\ky skinçennu kil\kist\ unitarno neekvivalent-
nyx nezvidnyx *-zobraΩen\ u hil\bertovomu prostori.
Teorema 2. Alhebra TL gG, ,⊥ [ *-alhebrog skinçennoho hil\bertovoho typu
dlq dovil\nyx znaçen\ parametriv gi j todi i til\ky todi, koly zv’qznyj hraf
G [ derevom i vsi rebra, za vynqtkom ne bil\ß niΩ odnoho rebra, magt\ typ 3.
Dovedennq. Qkwo v derevi nema[ reber typu s > 3 abo [ rivno odne rebro
typu s > 3, to mnoΩyna nezvidnyx *-zobraΩen\ vidpovidno] alhebry [ skinçen-
nog (dyv. [4] ta poperednij punkt).
Qkwo hraf mistyt\ cykl, to isnu[ nabir parametriv gi j = τ i j , pry qkomu is-
nu[ neskinçenna sim’q nezvidnyx *-zobraΩen\ TL gG, ,⊥ (dyv. [3, 4]).
Dlq zaverßennq dovedennq slid pokazaty, wo dlq dereva, vsi rebra qkoho, za
vynqtkom dvox, [ rebramy typu 3, a vynqtkovi rebra magt\ typ 4, znajdet\sq na-
bir parametriv gi j , pry qkomu vidpovidna *-alhebra ne [ *-alhebrog skinçen-
noho hil\bertovoho typu. Todi dlq dovil\noho dereva ̃G , v qkomu kil\kist\ re-
ber typu s > 3 bil\ßa abo dorivng[ 2, moΩna pidibraty parametry gi j tak, wo
pevna *-alhebra, zadana deqkym derevom, qke ma[ v toçnosti dva vynqtkovyx reb-
ra, typ qkyx [ 4, bude faktor-alhebrog *-alhebry TL
g˜ , ,G ⊥
(dyv. tverdΩennq@1).
Lema@1 dovodyt\, wo dlq dovil\noho dereva, vsi rebra qkoho, za vynqtkom
dvox, [ rebramy typu 3, a vynqtkovi rebra magt\ typ 4, znajdet\sq nabir para-
metriv gi j , pry qkomu vidpovidna *-alhebra ne [ *-alhebrog skinçennoho hil\-
bertovoho typu.
Teoremu dovedeno.
V podal\ßomu budemo rozhlqdaty hraf Kokstera G4 4, , qkyj [ derevom,
rebra γ 0 1, , γ m m– ,1 [ rebramy typu 4, a inßi — rebramy typu 3, krim toho, ver-
ßyny 1, m – 1 po[dnano ßlqxom (1, 2, … , m – 1). MnoΩyna verßyn hrafa pry-
rodnym çynom rozpada[t\sq na try çastyny: V = V0 ∪ Vin ∪ Vm (a same, dovil\ni
dvi rizni verßyny koΩno] z çastyn po[dnano ßlqxom, wo sklada[t\sq z reber
typu 3). Poznaçymo çerez l̂ ßlqx (m, m – 1, … , 1, 0), a çerez P mnoΩynu
vsix ßlqxiv l = (i0, i1, … , 0) takyx, wo Πl [ normal\nym slovom, qke ne mis-
tyt\ v qkosti pidslova Π ˆ ˆl l∗ ∪
. U c\omu punkti budemo rozhlqdaty vypadok, ko-
ly g xi j, ( ) = τ, dlq vsix reber typu 3, i g x0 1, ( ) = g xm m– , ( )1 = τx , de τ ∈( , )0 1 .
Oçevydno, wo mnoΩyna P sklada[t\sq z dvox çastyn u vidpovidnosti z tym,
çy l ∈P [ ßlqxom bez povtoriv (poznaçymo S ), çy ßlqxom z povtoramy (poz-
naçymo ′L ). MnoΩynu ′L , u svog çerhu, moΩna rozdilyty we na dvi çastyny
u vidpovidnosti z tym, çy mistyt\ slovo Πl v qkosti pidslova Π
l̂
(poznaçymo
L ), çy ni (poznaçymo L 0 ).
TverdΩennq 7. 1. Dlq koΩnoho l ∈L isnugt\ [dynyj j ∈ {1, 2, … , m – 1}
ta [dynyj nabir ßlqxiv bez povtoriv
ls = (i0, i1, … , j), le = (j, j – 1, … , 0), l̃ = (j, j + 1, … , m)
takyx, wo l = ls ∪ l̃ ∪ l̂ i l̃ ∗ ∪ le = l̂ . Rivnist\
ω( )l = ls ∪ le
vyznaça[ in’[ktyvne vidobraΩennq ω : L S→ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
554 N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|
2. Isnugt\ pryrodni bi[ktyvni vidobraΩennq ψ : V → S i ϕ : Vin → L .
Krim toho, pravyl\nog [ rivnist\ ω ϕ( )j( ) = ψ( )j dlq vsix j Vin∈ .
Dovedennq oçevydne.
Nexaj H — linijnyj prostir, qkyj otrymano qk mnoΩynu vsix formal\nyx
linijnyx kombinacij ßlqxiv iz mnoΩyny P̂ = S L∪ . Dlq dovil\noho l = (i0,
i1, … , 0) ∈
ˆ \ ( )P ψ 0{ } vyznaçymo operacig skoroçennq ßlqxu η formulog
η( )l = (i1, … , 0).
Viz\memo deqke ν ∈( , )0 1 i vyznaçymo pivtoralinijnu formu Bτ ν, na for-
mal\nomu linijnomu bazysi P̂ formulamy
B l lτ ν, ( , ) = 1, l ∈P̂ ,
B l lτ ν η, , ( )( ) = B l lτ ν η, ( ),( ) = τ , l m m∈ { }ˆ ( ), ( ), ( – )P\ ψ ψ ϕ0 1 ,
B l lτ ν η, , ( )( ) = B l lτ ν η, ( ),( ) = ντ , l m= ψ ( ) ,
B l lτ ν η, , ( )( ) = B l lτ ν η, ( ),( ) = ( – )1 ν τ , l m= ϕ ( – )1 .
Dlq reßty par l1, l2 poklademo B l lτ ν, ,1 2( ) = 0.
TverdΩennq 8. Isnu[ τ0 0 1∈( ], takyj , wo dlq dovil\nyx τ τ∈( , )0 0 ,
ν ∈( , )0 1 forma Bτ ν, vyznaça[ skalqrnyj dobutok u linijnomu prostori H.
Dovedennq. Vvedemo na P̂ dovil\nyj linijnyj porqdok i rozhlqnemo
P̂( @× P̂ )-matrycg
Gτ ν, = B l l
l lτ ν, ,
, ˆ1 2
1 2
( )( ) ∈P .
Znajdemo taki τ, wo dlq dovil\noho ν ∈( , )0 1 matrycq Gτ ν, [ dodatno vyzna-
çenog.
Dlq dovil\noho l ∈P̂ vvedemo l-j diahonal\nyj minor formulog
G lτ ν, , =
B l l
l l l
τ ν, ,
, ˆ1 2
1 2
( )( ) ∈P , P̂l = ′ ∈ ′ ≤{ }l l lP̂ .
Lehko zrozumity, wo dlq dovil\noho l ∈P̂ i dlq dovil\noho ν ∈( , )0 1
lim , ,τ τ ν→ +0
G l → Il .
OtΩe, det , ,G lτ ν = 1 + τ τ νFl( , ) , de Fl( , )τ ν = fl( , , – )τ ν ν1 , a fl — de-
qkyj polinom tr\ox zminnyx. Oçevydno, wo Fl( , )τ ν [ neperervnog funkci[g
na kvadrati 0 1,[ ] × 0 1,[ ]. Takym çynom, isnugt\ ml , Ml ∈R taki, wo ml ≤
≤ Fl( , )τ ν ≤ Ml dlq dovil\noho τ ∈( , )0 1 , ν ∈( , )0 1 . Poklademo
m =
min ˆm ll ∈{ }P ,
τ
0
=
m m
m
– , ,
, .
2 0
1 0
<
≥
Todi dlq dovil\nyx τ τ∈( , )0 0 , ν ∈( , )0 1 i dovil\noho l ∈P̂ vykonugt\sq neriv-
nosti det , ,G lτ ν > 0, a otΩe, Gτ ν, [ dodatno vyznaçenog.
TverdΩennq dovedeno.
Zafiksu[mo deqkyj τ τ∈( , )0 0 . Dlq dovil\noho ν ∈( , )0 1 poznaçymo çerez
Hν hil\bertiv prostir zi skalqrnym dobutkom ⋅ ⋅, ν = Bτ ν, ( , )⋅ ⋅ . Dlq dovil\noho
i Vin∈ operator P iν, oznaçymo qk ortohonal\nyj proektor na linijnu obolon-
ku pary vektoriv ψ ( )i , ϕ ( )i , a dlq dovil\noho i V Vin∈ \ operator P iν, — qk
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
PRO *-ZOBRAÛENNQ ODNOHO KLASU ALHEBR, POV’QZANYX … 555
ortohonal\nyj proektor na linijnu obolonku vektora ψ ( )i .
TverdΩennq 9. Dlq dovil\noho x ∈H ν [ pravyl\nog formula
P xiν, =
x i i x i i i V
x i i i V V
in
in
, ( ) ( ) , ( ) ( ), ,
, ( ) ( ), \ .
ψ ψ ϕ ϕ
ψ ψ
ν ν
ν
+ ∈
∈
Dlq dovedennq dostatn\o zaznaçyty, wo P x iiν ν
ψ, , ( ) = x i, ( )ψ ν dlq dovil\-
noho i V∈ ta P x iiν ν
ϕ, , ( ) = x i, ( )ϕ ν dlq dovil\noho i Vin∈ .
Lema 1. Dlq koΩnoho ν ∈( , )0 1 vidobraΩennq
πν :
, , ,TL gG4 4 ⊥ → B H( ): ,ν νp Pi i�
[ nezvidnym *-zobraΩennqm, pryçomu dlq riznyx ν tak oznaçeni * -zobraΩen-
nq ne [ unitarno ekvivalentnymy.
Dovedennq. Dlq skoroçennq zapysu dooznaçymo ϕ na V Vin\ formulog
ϕ ( )i = 0. Todi dlq dovil\noho i V∈ , x ∈H ν [ pravyl\nog rivnist\
P xiν, = x i i, ( ) ( )ψ ψν + x i i, ( ) ( )ϕ ϕν .
PokaΩemo, wo πν [ *-zobraΩennqm.
Oçevydno, wo dlq dovil\noho x ∈H ν pravyl\nog [ rivnist\ P xiν,
2 = P xiν, .
Dali, qkwo i ta j ne pov’qzani rebrom, to dlq dovil\noho x ∈H ν
P P xi jν ν, , = P x j j x j jiν ν νψ ψ ϕ ϕ, , ( ) ( ) , ( ) ( )+( ) =
= x j j i i j i i, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )ψ ψ ψ ψ ψ ϕ ϕν ν ν+( ) +
+ x j j i i j i i, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ϕν ν ν+( ) = 0.
Dali, nexaj i ta j po[dnano rebrom typu 3, todi moΩna vvaΩaty, wo ψ ( )i =
= η ψ ( )j( ) . Bil\ß toho, abo i, j V Vin∈ \ , v c\omu vypadku ϕ ( )i = ϕ ( )j = 0, abo i,
j Vin∈ , v c\omu vypadku vykonu[t\sq odna z dvox rivnostej: qkwo j ∈ {2, …
… , m – 1}, to ϕ ( )j = η ϕ ( )i( ), inakße ϕ ( )i = η ϕ ( )j( ). OtΩe, dlq dovil\noho
x ∈H ν ma[mo rivnosti
P P P xj i jν ν ν, , , = P P x j j x j jj iν ν ν νψ ψ ϕ ϕ, , , ( ) ( ) , ( ) ( )+( ) =
= τ ψ ψ ϕ ϕν ν νP x j i x j ij, , ( ) ( ) , ( ) ( )+( ) =
= τ ψ ψ ϕ ϕν νx j j x j j, ( ) ( ) , ( ) ( )+( ) = τ νP xj, .
Zalyßylos\ pereviryty spivvidnoßennq dlq ortoproektoriv, wo vidpovida-
gt\ verßynam, qki po[dnano rebramy typu 4. Dlq dovil\noho x ∈H ν ma[mo
P P P xν ν ν, , ,0 1 0 = P P xν ν νψ ψ, , , ( ) ( )0 1 0 0 = τ ψ ψν νP x, , ( ) ( )0 0 1 =
= τ ψ ψνx, ( ) ( )0 0 = τ νP x,0 ,
P P P xm m mν ν ν, , – ,1 = P P x m mm mν ν νψ ψ, , – , ( ) ( )1 =
= x m P m mm, ( ) ( – ) ( – ) ( – ),ψ ντ ψ ν τ ϕν ν 1 1 1+( ) =
= x m m, ( ) ( – ) ( )ψ ντ ν τ ψν +( )1 = τ ψ ψνx m m, ( ) ( ) = τ νP xm, .
Qk naslidok otryma[mo, wo vykonugt\sq spivvidnoßennq
P P P Pν ν ν ν, , , ,0 1 0 1 = τ ν νP P, ,0 1, P P P Pν ν ν ν, , , ,1 0 1 0 = τ ν νP P, ,1 0 ,
P P P Pm m m mν ν ν ν, , – , , –1 1 = τ ν νP Pm m, , –1, P P P Pm m m mν ν ν ν, – , , – ,1 1 = τ ν νP Pm m, – ,1 .
Dovedemo nezvidnist\ *-zobraΩennq. Prypustymo, wo deqkyj operator A
komutu[ z usima P iν, , i V∈ , todi A P i(Im ),ν � Im ,P iν . OtΩe, isnu[ deqkyj
λ ∈C takyj, wo Aψ ( )0 = λ ψ ( )0 . Todi λ τ ψ ( )1 = λ ψνP , ( )1 0 = P Aν ψ, ( )1 0 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
556 N. D. POPOVA, G. S. SAMOJLENKO, O. V. STRILEC|
= A τ ψ ( )1 . Analohiçnym çynom pokazu[t\sq, wo qkwo A iψ ( ) = λ ψ ( )i i j po-
[dnano z i rebrom, to A jψ ( ) = λ ψ ( )j .
PokaΩemo, wo A mϕ( – )1 = λ ϕ( – )m 1 . My vΩe pokazaly, wo A mψ ( ) =
= λ ψ ( )m , todi
P A mmν ψ, – ( )1 = A m mντ ψ ν τ ϕ( – ) ( – ) ( – )1 1 1+( ) =
= λ ντ ψ ν τ ϕ( – ) ( – ) ( – )m A m1 1 1+ =
= λ ψνP mm, – ( )1 = λ ντ ψ ν τ ϕ( – ) ( – ) ( – )m m1 1 1+( ).
Dali, dlq bud\-qkyx verßyn i, j Vin∈ , po[dnanyx rebrom, zi spravedlyvosti
rivnosti A iϕ ( ) = λ ϕ ( )i vyplyva[ rivnist\ A jϕ ( ) = λ ϕ ( )j . Dijsno, P A ijν ϕ, ( ) =
= λ ϕνP ij, ( ) = λ τ ϕ ( )j = A P ijν ϕ, ( ) = τ ϕA j( ) .
Takym çynom, my pokazaly, wo A = λ I , otΩe, *-zobraΩennq [ nezvidnym.
Dlq toho wob dovesty, wo dlq riznyx ν *-zobraΩennq ne [ unitarno ekviva-
lentnymy, rozhlqnemo operator
Wν = U U U U U Um m m m0 1 1 2 1 1 2 1 1 0, , – , , – , ,
ν ν ν ν ν ν… … , de Ui j,
ν =
P Pi jν ν
τ
, , .
Lehko baçyty, wo qkwo i, j Vin∈ pov’qzani rebrom, to
U j ji j, ( ) ( )ν µ ψ µ ϕ1 2+( ) = µ ψ µ ϕ1 2( ) ( )i i+ ,
otΩe,
Wνψ ( )0 = U U U U Um m m m0 1 1 2 1 1 2 1 1, , – , , – , ( )ν ν ν ν ν ψ… … =
= U U U U mm m m m0 1 1 2 1 1 1, , – , , – ( – )ν ν ν ν ψ… = ν ψν ν νU U U mm m0 1 1 2 1, , – , ( )… =
= ν ν ψ ν ϕν ν νU U U m mm m0 1 1 2 2 1 1 1 1, , – , – ( – ) – ( – )… +( ) =
= ν ν ψ ν ϕνU0 1 1 1 1, ( ) – ( )+( ) = νψ ( )0 .
Nexaj πν i πν′ unitarno ekvivalentni, tobto isnu[ unitarnyj operator V :
H ν @→ H ′ν takyj, wo V aπν( ) = πν′( )a V dlq bud\-qkoho a TL g∈ ⊥G4 4, , , . Todi
ν ψV ( )0 = VWν ψ ( )0 = W V′ν ψ ( )0 , tobto Vψ ( )0 [ vlasnym vektorom W ′ν z
vlasnym znaçennqm ν, ale cej vektor naleΩyt\ Im ,P ′ν 0 , otΩe, Vψ ( )0 = βψ ( )0
dlq deqkoho β ≠ 0. Todi W V′ν ψ ( )0 = β ψνW ′ ( )0 = βν ψ′ ( )0 = βνψ ( )0 , zvidky
otrymu[mo ν = ′ν . Takym çynom, my pokazaly, wo dlq riznyx ν i ′ν *-zobra-
Ωennq πν ta πν′ ne [ unitarno ekvivalentnymy.
Lemu dovedeno.
Avtory vyslovlggt\ wyru podqku S. A. Kruhlqku i V. I. Rabanovyçu za ko-
rysni porady i obhovorennq pytan\, wo doslidΩuvalysq v roboti.
1. Graham J. J. Modular representations of Hecke algebras and related algebras: Ph. D. thesis. – Syd-
ney, 1995. – 117 p.
2. Popova N. D., Samojlenko G. S., Strilec\ O. V. Pro rist deformacij alhebr, pov’qzanyx z
hrafamy Kokstera // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 6. – S. 826 – 837.
3. Popova N. On one algebra of Temperley – Lieb type // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. – 2002. –
43, Pt 2. – P. 486 – 489.
4. Vlasenko M. A., Popova N. D. O konfyhuracyqx podprostranstv hyl\bertova prostranstva
s fyksyrovann¥my uhlamy meΩdu nymy // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 5. – S. 606 – 615.
5. Popova N. D., Samoilenko Yu. S. On the existence of configurations of subspaces in a Hilbert
space with fixed angles // J. Symmetry, Integrab. and Geom.: Meth. and Appl. – 2006. – 2, # 55. –
P. 1 – 5.
6. Yvanov S. V., Popova N. D. O predstavlenyqx nekotor¥x alhebr, svqzann¥x s hrafamy Kok-
stera // Uçen. zap. TNU ym. V. Y. Vernadskoho. Ser. Matematyka. Mexanyka. Ynformatyka y
kybernetyka. – 2005. – 19 (58), # 1. – S. 1 – 11.
OderΩano 19.03.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3174 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:38Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/97/0aa0cdf59545880655b289a8a3becd97.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31742020-03-18T19:47:27Z On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs Про *-зображення одного класу алгебр, пов'язаних із графами Кокстера Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. We investigate *-representations of a class of algebras that are quotient algebras of the Hecke algebras associated with Coxeter graphs. A description of all unitarily nonequivalent irreducible *-representations of finite-dimensional algebras is given. We prove that only trees that have at most one edge of type s > 3 define algebras of finite Hilbert type for all values of parameters. Исследуются *-представления класса алгебр, являющихся фактор-алгебрами алгебр Гекке, которые связаны с графами Кокстера. Приведено описание всех унитарно неэквивалентных неприводимых *-представлений конечномерных алгебр. Доказано, что только деревья с не больше чем одним ребром типа s > 3 задают алгебры конечного гильбертова типа при всех значениях параметров. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3174 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 4 (2008); 545–556 Український математичний журнал; Том 60 № 4 (2008); 545–556 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3174/3095 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3174/3096 Copyright (c) 2008 Popova N. D.; Samoilenko Yu. S.; Strilets O. V. |
| spellingShingle | Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs |
| title | On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_alt | Про *-зображення одного класу алгебр, пов'язаних із графами Кокстера |
| title_full | On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_fullStr | On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_full_unstemmed | On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_short | On the *-representation of one class of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_sort | on the *-representation of one class of algebras associated with coxeter graphs |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3174 |
| work_keys_str_mv | AT popovand ontherepresentationofoneclassofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT samoilenkoyus ontherepresentationofoneclassofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT striletsov ontherepresentationofoneclassofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT popovand ontherepresentationofoneclassofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT samojlenkoûs ontherepresentationofoneclassofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT strílecʹov ontherepresentationofoneclassofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT popovand prozobražennâodnogoklasualgebrpov039âzanihízgrafamikokstera AT samoilenkoyus prozobražennâodnogoklasualgebrpov039âzanihízgrafamikokstera AT striletsov prozobražennâodnogoklasualgebrpov039âzanihízgrafamikokstera AT popovand prozobražennâodnogoklasualgebrpov039âzanihízgrafamikokstera AT samojlenkoûs prozobražennâodnogoklasualgebrpov039âzanihízgrafamikokstera AT strílecʹov prozobražennâodnogoklasualgebrpov039âzanihízgrafamikokstera |