Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables
Order estimates of the best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B &Omega;p,&theta; of multivariable functions in the metric of the space Lq are obtained for the case 1 < q < p < &infin;.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3183 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509230776188928 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:47:45Z |
| description | Order estimates of the best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B &Omega;p,&theta;
of multivariable functions in the metric of the space Lq are obtained for the case 1 < q < p < &infin;.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
S. A. Stasgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NAJKRAWI M -ÇLENNI ORTOHONAL|NI
TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θθ
ΩΩ
PERIODYÇNYX FUNKCIJ BAHAT|OX ZMINNYX
Order estimates of the best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes Bp,θ
Ω of
multivariable functions in the metric of the space Lq are obtained for the case 1 < q ≤ p < ∞.
Poluçen¥ porqdkov¥e ocenky nayluçßyx M -çlenn¥x ortohonal\n¥x tryhonometryçeskyx
pryblyΩenyj klassov Bp, θ
Ω
peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x v metryke prostran-
stva Lq v sluçae 1 < q ≤ p < ∞ .
1. Vstup. U roboti rozhlqdagt\sq najkrawi M -çlenni ortohonal\ni tryhono-
metryçni nablyΩennq klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx u
metryci prostoru Lq . Rezul\taty dano] roboty [ prodovΩennqm doslidΩen\,
rozpoçatyx avtorom u [1].
Navedemo neobxidni poznaçennq, qki potribni dlq oznaçennq klasiv Bp,θ
Ω
ta
aparatu ]x nablyΩennq.
Nexaj R
d , d ≥ 1, — evklidiv prostir z elementamy x = ( x1 , … , xd ) i ( x, y ) =
= x y x yd d1 1 + … + ; Lp d( )π , πd = [ ; ]−=∏ π π
j
d
1
, — prostir 2π-periodyçnyx za
koΩnog zminnog funkcij f ( x ) = f ( x1 , … , xd ) iz skinçennog normog
f Lp d( )π = f p = ( ) ( )2
1
π
π
− ∫
d p
p
f x dx
d
, 1 ≤ p < ∞ .
Skriz\ nyΩçe budemo vvaΩaty, wo dlq funkcij f Lp d∈ ( )π vykonu[t\sq do-
datkova umova
f x dx j( )
−
∫
π
π
= 0, j = 1, d .
Nexaj funkciq Ω ( t ) = Ω ( t1 , … , td ) zadovol\nq[ nastupni umovy:
1) Ω ( t ) > 0, tj > 0, j = 1, d ; Ω ( t ) = 0, t jj
d
=∏ 1
= 0;
2) Ω ( t ) zrosta[ po koΩnij zminnij;
3) Ω( , , )m t m td d1 1 … ≤ m tjj
d l
=∏( )1
Ω( ) , l mj, ∈N , j = 1, d ;
4) Ω ( t ) neperervna pry tj ≥ 0, j = 1, d .
Budemo vvaΩaty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umovy ( )S , ( )Sl [2], qki nazyvagt\
umovamy Bari – St[çkina. Ce oznaça[ nastupne.
Naslidugçy S.<N.<Bernßtejna [3], budemo nazyvaty funkcig odni[] zminno]
ϕ ( τ ) majΩe zrostagçog (majΩe spadnog) na [ a, b ] , qkwo isnu[ C1 > 0 ( C2 >
> 0 ) , qke ne zaleΩyt\ vid τ1 i τ2 , take, wo ϕ τ( )1 ≤ C1 2ϕ τ( ) dlq a ≤ τ1 ≤
≤ τ2 ≤ b u vypadku majΩe zrostannq i, vidpovidno, ϕ τ( )1 ≥ C2 2ϕ τ( ) dlq a ≤
≤ τ1 ≤ τ2 ≤ b u vypadku majΩe spadannq.
Funkciq odni[] zminno] ϕ ( τ ) ≥ 0, τ ∈ [ 0, 1 ] , zadovol\nq[ umovu ( )S , qkwo
© S. A. STASGK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5 647
648 S. A. STASGK
pry deqkomu α > 0 ϕ τ τα( ) / majΩe zrosta[ na ( 0, 1 ] .
Funkciq ϕ ( τ ) ≥ 0, τ ∈ [ 0, 1 ] , zadovol\nq[ umovu ( )Sl , qkwo pry deqkomu γ
( 0 < γ < l ) ϕ τ τγ( ) / majΩe spada[ na ( 0, 1 ] .
Budemo hovoryty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umovy ( )S i ( )Sl , qkwo Ω ( t ) za-
dovol\nq[ ci umovy za koΩnog zminnog tj pry fiksovanyx ti
, i ≠ j.
Poklademo
ρ ( s ) = k k k k k s j dd
s
j
s
j j
j j= … ≤ < ∈ ∈ ={ }−
( , , ): , \ { }, , ,1
1
2 2 0 1Z N
i
δs f x( , ) = ˆ( ) ( , )
( )
f k ei k x
k s∈
∑
ρ
,
de
ˆ( )f k = ( ) ( ) ( , )2π
π
− −∫d i k tf t e dt
d
— koefici[nty Fur’[ funkci] f x( ) .
Nexaj funkciq Ω ( t ) = Ω ( t1 , … , td ) zadovol\nq[ sformul\ovani vywe umo-
vy<1 – 4, a takoΩ umovy ( )S ta ( )Sl . Todi klasy Bp,θ
Ω , 1 < p < ∞ , 1 ≤ θ ≤ ∞ ,
rozhlqnuti v roboti [4], vyznaçagt\sq takym çynom:
Bp,θ
Ω = f f L fp d Bp
: ( ),
,
∈ ≤{ }π
θ
Ω 1 ,
de
f Bp,θ
Ω = δ θ θ θ
s p
s
sf( , ) ( )⋅
∑ − −Ω 2
1
, 1 ≤ θ < ∞ , (1)
f Bp,∞
Ω = f H p
Ω = sup
( , )
( )s
s p
s
fδ ⋅
−Ω 2
, (2)
a Ω( )2−s = Ω( ), ,2 21− −…s sd .
ZauvaΩymo, wo (2) raniße vstanovleno v roboti [5].
Qkwo Ω ( t ) = t j
r
j
d j
=∏ 1
, rj > 0, to klasy Bp,θ
Ω
zbihagt\sq z vidomymy kla-
samy B[sova Bp
r
,θ (dyv., napryklad, [6], [7], hl.<4, §<4.3) i vidpovidni do (1) i (2)
zobraΩennq vstanovleno u [8].
Zaznaçymo, wo v roboti budut\ rozhlqdatysq klasy Bp,θ
Ω
, qki vyznaçagt\sq
funkci[g Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de ω ( τ ) — zadana funkciq (odni[] zminno]) typu
modulq neperervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ umovy ( )S i ( )Sl .
Nexaj F Lq d⊂ ( )π — deqkyj funkcional\nyj klas. Todi velyçyna
e FM q
⊥ ( ) = sup inf ( ) ˆ
{ }
( , )( )
f F k
j i k
j
M
q
j
j
M
j
f f k e
∈
⋅
==
⋅ − ∑
1 1
(3)
nazyva[t\sq najkrawym M -çlennym ortohonal\nym tryhonometryçnym nably-
Ωennqm funkcional\noho klasu F u prostori Lq .
DoslidΩennq povedinky velyçyn (3) dlq deqkyx klasiv funkcij bahat\ox
zminnyx provodylys\, zokrema, v robotax E.<S.<Belins\koho [9] ta A.<S.<Romang-
ka [10 – 12].
Dlq zruçnosti navedemo vidomi tverdΩennq, qki budemo vykorystovuvaty pry
vstanovlenni ocinok velyçyn e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
NAJKRAWI M -ÇLENNI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ … 649
Teorema+A (Littlvuda – Peli [7], hl.<1, § 1.5). Nexaj zadano 1 < p < ∞ .
Isnugt\ dodatni çysla C3 , C4 taki, wo dlq koΩno] funkci] f Lp d∈ ( )π vyko-
nugt\sq spivvidnoßennq
C f p3 ≤ δs
s
p
f( , )⋅
∑ 2
1
2
≤ C f p4 . (4)
Nexaj
Qn =
ρ( )s
s n1 <
∪ , s s sd1 1= + … + .
Todi velyçyny
E BQ p qn
( ),θ
Ω = sup inf ( )
,
( , )
f B c
k
i k
k Q qp
k
n
f c e
∈
⋅
∈
⋅ − ∑
θ
Ω
,
EQ p qn
B( ),θ
Ω = sup ( ) ˆ( )
,
( , )
f B
i k
k Q qp n
f f k e
∈
⋅
∈
⋅ − ∑
θ
Ω
nazyvagt\ vidpovidno najkrawym nablyΩennqm ta nablyΩennqm sxidçasto-
hiperboliçnymy sumamy Fur’[ klasiv Bp,θ
Ω
.
Teorema+B. Nexaj 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de ω ( τ ) zadovol\nq[
umovu ( )S z deqkym α > max ;0 1 1
p q
−
, a takoΩ umovu ( )Sl . Todi magt\
misce porqdkovi rivnosti
E BQ p qn
( ),θ
Ω �
EQ p qn
B( ),θ
Ω � ω θ( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
0−
−
− −
+n
n
p q
d
q
n , (5)
qkwo 1 < p ≤ q < ∞ , ta
E BQ p qn
( ),θ
Ω � EQ p qn
B( ),θ
Ω � ω θ( )
( )
2
1 1
2
1
−
− −
+n
d
n , (6)
qkwo 1 < q < p < ∞ , p ≥ 2 ( q0 = min{ , }q 2 , a+ = max{ , }a 0 ) .
Porqdkovi rivnosti (5) vstanovleno v roboti [4], a (6) — v [13].
2. Ocinky velyçyn e BM p q
⊥⊥ ( ),θθ
ΩΩ
pry 1 < q ≤≤≤≤ p < ∞∞∞∞ . Rezul\taty, qki sto-
sugt\sq ocinok velyçyn e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω
pry 1 < q ≤ p < ∞ , sformulg[mo u vy-
hlqdi nastupnyx teorem.
Teorema+1. Nexaj 1 < q ≤ p < ∞ , p ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) ,
de ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( )S z deqkym α > max ;0 1 1
2θ
−{ } , a takoΩ umo-
vu< ( )Sl . Todi ma[ misce porqdkova rivnist\
e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω � ω θ( )
( )
2
1 1
2
1
− − −
n
d
n ,
de M � 2 1n dn −
.
Teorema+2. Nexaj 1 < q ≤ p ≤ 2 , 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de
ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( )S z deqkym α > max ;0 1 1
θ
−
p
, a takoΩ umovu
( )Sl . Todi magt\ misce porqdkovi spivvidnoßennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
650 S. A. STASGK
ω θ( )
( )
2
1 1
2
1
− − −
n
d
n << e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω << ω θ( )
( )
2
1 1 1
−
− −
n
d
pn ,
de M � 2 1n dn −
.
Dovedennq teorem 1 i 2. Oskil\ky pry p ≥ 2 ma[ misce vkladennq Bp,θ
Ω ⊂
⊂ B2,θ
Ω , to ocinka zverxu v teoremi<1 vyplyva[ z ocinky zverxu v teoremi<2 pry
p = 2. Ocinku zverxu v teoremi<2 oderΩymo z teoremy<1, skorystavßys\ vkla-
dennqm B2,θ
Ω ⊂ Bp,θ
Ω , 1 < p ≤ 2 .
Vstanovymo spoçatku ocinku zverxu v teoremi<2 dlq vypadku 1 ≤ θ < p .
Nexaj f ( x ) — dovil\na funkciq iz klasu Bp,θ
Ω
i zadano dostatn\o velyke
çyslo M . Dlq nablyΩennq f ( x ) budemo vykorystovuvaty polinom
S f xM( , ) = δs
s n
f x Q x( , ) ( )
1 <
∑ + , M � 2 1n dn −
.
Opyßemo proceduru pobudovy polinoma Q x( ).
Nexaj l ∈ N i l n n∈[ , )0 , de n0 = n d n+ −( ) log1 . Dlq f Bp∈ ,θ
Ω
poklademo
S̃l = δ ωθ θ
θ
s p
s l
sf( , ) ( )⋅
=
− −∑
1
12
1
(7)
i poznaçymo çerez αi f l( , ) çysla δs pf( , )⋅ , vporqdkovani za spadannqm. Za-
znaçymo, wo indeks i zming[t\sq v meΩax vid 1 do Kl
, de Kl — kil\kist\ vek-
toriv s, wo zadovol\nqgt\ umovu s 1 = l . Vyxodqçy z rivnosti (7), ma[mo
δ θ
s p
s l
f( , )⋅
=
∑
1
= ωθ θ( ) ˜2−l
lS ,
abo
αθ
i
i
K
f l
l
( , )
=
∑
1
= ωθ θ( ) ˜2−l
lS .
Z ostann\oho spivvidnoßennq, vraxovugçy, wo iz zrostannqm indeksu i çysla
αi f l( , ) ne zrostagt\, znaxodymo
αi f l( , ) ≤ i Sl
l
− −1 2/ ( ) ˜θ θω . (8)
Dali, koΩnomu çyslu l n n∈[ , )0 , l ∈ N, postavymo u vidpovidnist\ çyslo ml :
ml = [ ]˜2 2 11n d l
ln S− − +θ
, (9)
de [ ]a — cila çastyna çysla a. Zaznaçymo, wo oskil\ky dlq f Bp∈ ,θ
Ω
velyçyna
S̃l ne perevywu[ odynycg, to dlq bud\-qkoho l ∈ N, l n n∈[ , )0 , ma[mo
ml ≤ 2 2 11n d ln − − + << nd−1.
Inßymy slovamy, çysla ml ne perevywugt\ kil\kosti vektoriv s, qki zadovol\-
nqgt\ spivvidnoßennq l = s 1, l ∈ N, l n n∈[ , )0 .
Rozhlqnemo polinom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
NAJKRAWI M -ÇLENNI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ … 651
R ( x ) =
l n
n
s
s l
f x
= =
∑ ∑
[ ]
( , )
0
1
δ (10)
i dlq koΩnoho l viz\memo z vnutrißn\o] sumy (10) ml „blokiv” δs f x( , ) za tymy
s, qkym vidpovidagt\ najbil\ßi znaçennq normy δs pf( , )⋅ . OderΩanyj v re-
zul\tati tak vybranyx „blokiv” δs f x( , ) polinom poznaçymo çerez Q ( x ) .
U roboti [1] pokazano, wo pry vykonanni spivvidnoßennq M � 2 1n dn −
kil\-
kist\ harmonik, qki mistqt\sq v S f xM( , ), ne perevywu[ za porqdkom M .
Dali, nexaj Df poznaça[ mnoΩynu tyx vektoriv s, n ≤ s 1 < n0 , za qkymy
„bloky” δs f x( , ) ne mistqt\sq v Q ( x ) . Todi dlq f Bp∈ ,θ
Ω
ma[mo
f S fM q( ) ( , )⋅ − ⋅ = f f fs
s n
s
s D
qf
( ) ( , ) ( , )⋅ − ⋅ + ⋅
< ∈
∑ ∑δ δ
1 0
≤
≤ f f fs
s n q
s
s D qf
( ) ( , ) ( , )⋅ − ⋅ + ⋅
< ∈
∑ ∑δ δ
1 0
= I I1 2+ . (11)
Ocinymo obydva z oderΩanyx dodankiv (11).
Vykorystovugçy dlq ocinky I1 teoremu<B pry 1 ≤ θ < p i vraxovugçy
znaçennq n0 ta tu obstavynu, wo ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( )S z deqkym α >
> max ;0 1 1
θ
−
p
= 1 1
θ
−
p
, oderΩu[mo
I1 << ω( )2 0−n = ω
α
α( )2
2
2
0
0
0
−
−
−
n
n
n << ω α( ) ( )2 2 0− − −n n n �
� ω α( ) ( )2 1− − −n dn << ω θ( )
( )
2
1 1 1
−
− −
n
d
pn . (12)
Ocinymo dodanok I2 , vykorystavßy teoremu<A ta nerivnist\ [14, c. 43]
ak
k
ν
ν
2
21
∑
/
≤ ak
k
ν
ν
1
11
∑
/
, ν2 ≥ ν1 > 0.
Vraxuvavßy oznaçennq mnoΩyny Df i çysel αi f l( , ), oderΩymo
I2 ≤ δs
s D p
f
f
( , )⋅
∈
∑ << δs
s D
p
f
f
( , )⋅
∈
∑ 2
1
2
≤
≤ δs p
p
s D
p
f
f
( , )⋅
∈
∑
1
=
l n
n
i m
i i
p
p
l
f l f l
=
+
>
−∑ ∑
[ ]
( , ) ( , )
0 1
1
α αθ θ . (13)
Dali, vykorystavßy dlq ocinky α θ
i
p f l− ( , ) spivvidnoßennq (8) i pidstavyvßy za-
mist\ ml joho znaçennq (9), z (13) otryma[mo
I2 <<
l n
n
i m
i
l
l
p p
l
f l i S
=
+
>
− −
−
∑ ∑
[ ]
( , ) ˜( )
0 1 1
1
2α ωθ θ
θ
<<
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
652 S. A. STASGK
<<
l n
n
l
p
p l
l
p
s p
s l
p
m S f
=
+ − −
− − −
=
∑ ∑ ⋅
[ ]
( ) ˜ ( , )
0
1
1
1
2
θ
θ θ θ θω δ =
l n
n
l
p
p l
l
p
p
m S
=
+ − −
−∑
[ ]
( ) ˜
0 1
1
2
θ
θ ω ≤
≤ ( ) ( )[ ]
˜2 2
2
2 21
1 1 1 1 1
1
0
n d p
l n
n l
l
l
p lq
p
l
p
n S−
−
=
+ −
−
−
−
∑
θ
α
α θ θω . (14)
Vzqvßy do uvahy, wo ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( )S z deqkym α > max 0
;
1 1
θ
−
p
= 1 1
θ
−
p
, a takoΩ formulu (7), prodovΩymo ocinku (14):
I2 << ( ) ( ) [ ]
˜2 2
2
21
1 1 1 1 1
1
0
n d p
n
n
l n
n l p
p
l
p
n S−
− −
−
=
+ − − −
∑
θ
α
α
θ θω <<
<< ( ) ( ) [ ]
˜2 2
2
21
1 1 1 1 1
1
0
n d p
n
n
n
p
l n
n
l
p
n S−
− −
−
− − −
=
+
∑
θ
α
α
θ θω ≤
≤ ω θ
θ
θ
( )
( )
,
2
1 1 1
−
− −
n
d
p
B
pn f
p
Ω ≤ ω θ( )
( )
2
1 1 1
−
− −
n
d
pn . (15)
Nareßti, povertagçys\ do spivvidnoßennq (11) i vraxovugçy oderΩani ocin-
ky (12), (15), pryxodymo do potribno] ocinky zverxu dlq vypadku 1 ≤ θ < p :
e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω << ω θ( )
( )
2
1 1 1
−
− −
n
d
pn .
Perejdemo do vstanovlennq ocinky zverxu dlq vypadku p ≤ θ ≤ ∞ . Zazna-
çymo, wo pry p ≤ θ ≤ ∞ umova α > max ;0 1 1
θ
−
p
rivnosyl\na umovi α > 0.
Ocinka zverxu oderΩu[t\sq z teoremy<V i realizu[t\sq pry rozhlqdi nablyΩen-
nq funkcij z klasiv Bp,θ
Ω
]x sumamy Fur’[ z „nomeramy” harmonik iz „sxidçasto-
hiperboliçnoho xresta” Qn =
ρ( )s
s n1 <∪ .
Ocinky zverxu vstanovleno.
Perejdemo do vstanovlennq ocinok znyzu. Pry c\omu budemo vykorystovuva-
ty spivvidnoßennq
f S fM q( ) ( , )⋅ − ⋅ = sup ( ) ( , ) ( )( )
g
M
q d
f x S f x g x dx
′ ≤
−∫
1π
, (16)
de
1 1
q q
+
′
= 1.
Dali, za zadanym M pidberemo m ∈ N takym çynom, wob 2 1m dm − � M ,
2 1m dm − ≥ 2 M, i poklademo
F ( x ) =
s m
s j
j
d
R x
j
1 1= =
∑ ∏ ( ) ,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
NAJKRAWI M -ÇLENNI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ … 653
R tk( ) = ε j
ijt
j
e
k
k
=
−
−
∑
2
2 1
1
, εj = ± 1,
— polinomy Rudina – Íapiro (dyv., napryklad, [15, c. 155]), qki magt\ vlasty-
vist\
Rk ∞ << 2 2k / . (17)
Nexaj 1 ≤ θ < ∞ . Todi, vykorystovugçy poslidovno (1), nerivnist\ Minkov-
s\koho ta spivvidnoßennq (17), otrymu[mo
F Bp,θ
Ω = ω
θ θ
− −
==
∏∑
1
1
1
2
1
( ) ( )m
s j
j
d
ps m
R x
j
≤
≤ ω
θ θ
− −
= ∞=
∏∑
1
1
1
2
1
( ) ( )m
j
d
s j
s m
R x
j
<<
<< ω
θ
− −
=
∑
1 2
1
2 2 1
1
( ) /m m
s m
� ω θ− − −1 2 12 2( ) / ( )/m m dm .
Qkwo Ω θ = ∞ , to
F Bp,∞
Ω = sup
( , )
( )s m
s p
s
F
1
12=
−
⋅δ
ω
= ω− −
= =
∏1
1
2
1
( ) sup ( )m
s m
s j
j
d
p
R x
j
<<
<< ω− −
=
1 22 2
1
1( ) sup /m
s m
s = ω− −1 22 2( ) /m m .
OtΩe, funkci]
f x1( ) = C m F xm m d
5
2 12 2ω θ( ) / ( )/ ( )− − − − , C5 > 0,
ta
f x2( ) = C F xm m
6
22 2ω( ) / ( )− − , C6 > 0,
naleΩat\ do klasiv Bp,θ
Ω
, 1 ≤ θ < ∞ , ta Bp,∞
Ω
vidpovidno.
PokaΩemo, wo funkciq
g ( x ) = C m F xm d
7
2 1 22− − −/ ( )/ ( )
z vidpovidnog stalog C7 > 0 zadovol\nq[ umovu g q′ ≤ 1.
Dijsno, vnaslidok teoremy<A, nerivnosti Minkovs\koho i spivvidnoßennq (17)
F q′ �
s m
s
q
F
1
2
1
2
=
′
∑ ⋅
δ ( , ) ≤
s m
s qF
1
2
1
2
=
′∑ ⋅
δ ( , ) ≤
≤
j
d
s j
s m
R x
j
= ∞=
∏∑
1
2
1
2
1
( ) << 2 1
1
1
2
s
s m=
∑
� 2 2 1 2m dm/ ( )/− .
Takym çynom, zhidno z spivvidnoßennqmy (16) dlq navedenyx vywe funkcij
f x1( ) ta g x( ) budemo maty
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
654 S. A. STASGK
e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω ≥ e fM q
⊥ ( )1 = inf sup ( ) ( , ) ( )( )
S g
M
M q d
f x S f x g x dx
′ ≤
−∫
1
1 1
π
≥
≥ inf ( ) ( , ) ( )( )
S
M
M
d
f x S f x g x dx1 1−∫
π
=
= C C m F x S F x F x dxm m
d
S
M
M
d
5 7
1 1
2
1
2 2ω θ
π
( ) ( )
( )
inf ( ) ( , ) ( )− − − − +
−∫ >>
>> ω θ( )
( )
inf ( , )2 2
1 1
2
1
2
2
2
2− − − − +
− ⋅( )m m
d
S
Mm F S F
M
>>
>> ω θ( )
( )
2 2 2
1 1
2
1
1− − − − +
− −( )m m
d
m dm m M >> ω θ( )
( )
2
1 1
2
1
− − −
m
d
m . (18)
Analohiçno, pidstavyvßy f x2( ) ta g x( ) v (16) i provivßy taki Ω ocinky, qk
u (18), oderΩymo
e BM p q
⊥
∞( ),
Ω >> ω( )2
1
2−
−
m
d
m .
Ocinku znyzu v teoremi<1 dovedeno i, takym çynom, teoremy<1 i 2 dovedeno.
Zaznaçymo, wo v teoremi<2 u vypadku q = p vdalosq vstanovyty toçnyj
porqdok velyçyn e BM p p
⊥ ( ),θ
Ω
.
Teorema+2 ′′′′. Nexaj 1 < q = p < 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de
ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( )S z deqkym α > max ;0 1 1
θ
−
p
, a takoΩ umovu
( )Sl . Todi ma[ misce porqdkova rivnist\
e BM p q
⊥ ( ),θ
Ω � ω θ( )
( )
2
1 1 1
−
− −
n
d
pn , M � 2 1n dn − . (19)
Dovedennq. Oskil\ky ocinku zverxu v (19) bulo vstanovleno pry dovedenni
teoremy<2, perejdemo do vstanovlennq vidpovidno] ocinky znyzu.
Za zadanym çyslom M pidberemo n ∈ N tak, wob M � 2 1n dn −
i kil\kist\
toçok u mnoΩyni
Fn =
ρ( )s
s n1 =
∪
bula b bil\ßog niΩ 4 M . Rozhlqnemo funkci]
f x3( ) = C n en
n
p
d
i k x
k Fn
8
1 1 1
2 2ω θ( ) ( , )−
−
− −
∈
∑ , C8 > 0,
ta
f x4( ) = C en
n
p i k x
k Fn
9
1 1
2 2ω( ) ( , )−
−
∈
∑ , C9 > 0.
NevaΩko perekonatys\, wo ci funkci] naleΩat\ do klasiv Bp,θ
Ω
, 1 ≤ θ < ∞ , ta
Bp,∞
Ω
vidpovidno. Dijsno, oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
NAJKRAWI M -ÇLENNI ORTOHONAL|NI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ … 655
ei k
k s p
( , )
( )
⋅
∈
∑
ρ
� 2
1 1 1s
p
−
, 1 < p < ∞ ,
to
f Bp
3
,θ
Ω = C n en
n
p
d
s n
s i k
k s p
8
1 1 1
1
2 2 2
1
1ω ωθ θ
ρ
θ θ
( ) ( ) ( , )
( )
−
−
− −
=
− − ⋅
∈
∑ ∑
�
� ω ωθ
θ θ
( ) ( )2 2 2 2
1 1 1
1
1 1
1
1
1
−
−
− −
− −
−
=
∑
n
n
p
d
n
s
p
s n
n <<
<< 2 2 1
1 1 1 1 1
1
1
n
p
d n
p
s n
n
−
− − −
=
∑
θ
θ
� n n
d d− − − −1 1
θ θ = 1.
Vidpovidno dlq funkci] f x4( ) budemo maty
f Bp4 ,∞
Ω = sup
( , )
( )s
s p
s
fδ 4
2
⋅
−Ω
<< ω
ω
ρ
( )
( )
sup
( , )
( )
2 2
2
1 1
1
1
−
−
=
⋅
∈
−
∑
n
n
p
s n
i k
k s p
s
e
�
� ω ω( ) ( ) sup2 2 2 2
1 1
1
1 1
1
1−
−
− −
=
−
n
n
p n
s n
s
p = 2 2
1 1 1 1n
p
n
p
−
−
= 1.
Dali, nexaj ΘM — dovil\nyj nabir iz M vektoriv k kM1, ,… , k j = ( ), ,k kj
d
j
1 … ,
z ciloçyslovymy koordynatamy. Dlq koΩnoho vektora s = ( , , )s sd1 … , s j ∈N ,
j = 1, d , wo zadovol\nq[ umovu s 1 = n, rozhlqnemo mnoΩynu ΘM s∩ ρ( ) .
Vnaslidok toho, wo Fn > 4 M , mnoΩyna
S = s s n s sd
M∈ = ≤{ }N : , ( ) ( )1
1
2
Θ ∩ ρ ρ
bude mistyty, prynajmni, polovynu vsix s takyx, wo s 1 = n, a tomu S �
� nd−1.
Dali nam znadobyt\sq dopomiΩne tverdΩennq, qke sformulg[mo u vyhlqdi
lemy.
Lema+A [16, c. 28]. Nexaj 1 < p < q ≤ ∞ i f Lp d∈ ( )π . Todi
f p >> δs q
p
s
q p
p
s
p
f( , )⋅
−
∑ 2
1
1 1
1
. (20)
Nexaj t xM( ) — dovil\nyj polinom iz „nomeramy” harmonik z ΘM . Todi dlq
f x3( ) zhidno z (20) znaxodymo
f tM p3( ) ( )⋅ − ⋅ >> δs M
p
s
p
p
s n
p
f t( , )3 2
1
2
1
1
2
1
1
− ⋅
−
=
∑ =
= δs M
p
s S
p n
pf t( , )3 2
1
1
2
1
2− ⋅
∈
−
∑ >> ω θ( )2 2 2 1 2
1 1 1
2
1
1
2
1
−
−
− −
∈
−
∑
n
n
p
d n
s S
p n
pn =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
656 S. A. STASGK
= ω θ( )2
1 1
− − −
n
d
pn S � ω θ( )2
1 1
− − − −
n
d d
pn n = ω θ( )
( )
2
1 1 1
−
− −
n
d
pn .
Analohiçno, dlq funkci] f x4( ) oderΩymo
f tM p4( ) ( )⋅ − ⋅ >> ω( )2
1
−
−
n
d
pn .
Ocinku znyzu vstanovleno.
Teoremu<<2 ′ dovedeno.
Sformulg[mo dva zauvaΩennq do oderΩanyx rezul\tativ.
ZauvaΩennq. 1. Poklavßy v teoremax<<1,<<2 i 2 ′ θ = ∞ i vzqvßy do uvahy,
wo
1 0
θ
= , budemo maty vidpovidni rezul\taty dlq klasiv Hp
Ω
.
2. U vypadku, koly Ω ( t ) = t j
r
j
d 1
1=∏ , vidpovidni ocinky dlq velyçyn
e BM p
r
q
⊥ ( ),θ vstanovyv A.<S.<Romangk [12].
1. Stasgk S. A. Najkrawi ortohonal\ni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv periodyçnyx
funkcij bahat\ox zminnyx Bp, θ
Ω
// Teoriq nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytannq. Mate-
matyka ta ]] zastosuvannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2002. – 35. – S.<195 – 208.
2. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1956. – 5. – S.<483 – 522.
3. Bernßtejn S. N. Sobranye soçynenyj. T. II. Konstruktyvnaq teoryq funkcyj (1931 –
1953). – M.: Yzd-vo AN SSSR, 1954. – 628 s.
4. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic
functions with bounded mixed moduli of smoothness // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1997. – 219. –
S.<356 – 377.
5. Pustovojtov N. N. Predstavlenye y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pere-
menn¥x s zadann¥m smeßann¥m modulem neprer¥vnosty // Anal. math. – 1994. – 20, # 1. –
P. 35 – 48.
6. Besov O. V. O nekotorom semejstve funkcyonal\n¥x prostranstv. Teorem¥ vloΩenyq y
prodolΩenyq // Dokl. AN SSSR. – 1959. – 126, # 6. – S.<1163 – 1165.
7. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.:
Nauka, 1977. – 456 s.
8. Lyzorkyn P. Y., Nykol\skyj S. M. Prostranstva funkcyj smeßannoj hladkosty s dekompo-
zycyonnoj toçky zrenyq // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1989. – 187. – S.<143 – 161.
9. Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax peryodyçeskyx
funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Yssledovanye po teoryy funkcyj mno-
hyx vewestvenn¥x peremenn¥x. – Qroslavl\: Qroslav. un-t, 1988. – S.<16 – 33.
10. Romangk A. S. O pryblyΩenyy klassov Besova funkcyj mnohyx peremenn¥x çastn¥my
summamy s zadann¥m çyslom harmonyk // Optymyzacyq metodov pryblyΩenyq. – Kyev: Yn-t
matematyky NAN Ukrayn¥, 1992. – S.<112 – 118.
11. Romangk A. S. PryblyΩenye klassov funkcyj mnohyx peremenn¥x yx ortohonal\n¥my
proekcyqmy na podprostranstva tryhonometryçeskyx polynomov // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. –
48, # 1. – S.<80 – 89.
12. Romangk A. S. PryblyΩenye klassov peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Mat.
zametky. – 2002. – 71, # 1. – S.<109 – 121.
13. Stasgk S. A. Najkrawi nablyΩennq, kolmohorovs\ki ta tryhonometryçni popereçnyky
klasiv Bp, θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 11. –
S.<1557 – 1568.
14. Xardy H., Lyttlvud D., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948. – 456 s.
15. Kaßyn B. S., Saakqn A. A. Ortohonal\n¥e rqd¥. – M.: Nauka, 1984. – 495 s.
16. Temlqkov V. N. PryblyΩenye funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1986. – 178. – 112<s.
OderΩano 28.04.05,
pislq doopracgvannq — 10.05.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3183 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:48Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/16e3aa441dc087e1709d433d76ddc339.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31832020-03-18T19:47:45Z Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables Найкращі M-членні ортогональні тригонометричні наближення класів B Ωp,θ періодичних функцій багатьох змінних Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Order estimates of the best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B &Omega;p,&theta; of multivariable functions in the metric of the space Lq are obtained for the case 1 < q < p < &infin;. Получены порядковые оценки наилучших M-членных ортогональных тригонометрических приближений классов B &Omega;p,&theta; периодических функций многих переменных в метрике пространства Lq в случае 1 < q < p < &infin;. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3183 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 5 (2008); 647 – 656 Український математичний журнал; Том 60 № 5 (2008); 647 – 656 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3183/3113 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3183/3114 Copyright (c) 2008 Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables |
| title | Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables |
| title_alt | Найкращі M-членні ортогональні тригонометричні наближення класів B Ωp,θ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables |
| title_short | Best M-term orthogonal trigonometric approximations of the classes B Ωp,θ of periodic functions of many variables |
| title_sort | best m-term orthogonal trigonometric approximations of the classes b ωp,θ of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3183 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa bestmtermorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesbōpthofperiodicfunctionsofmanyvariables AT stasûksa bestmtermorthogonaltrigonometricapproximationsoftheclassesbōpthofperiodicfunctionsofmanyvariables AT stasyuksa najkraŝímčlenníortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT stasûksa najkraŝímčlenníortogonalʹnítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |