Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space
We establish an external criterion for the convexity of a domain of a Euclidean space.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3189 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509235893239808 |
|---|---|
| author | Vyhovs'ka, I. Yu. Zelinskii, Yu. B. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. |
| author_facet | Vyhovs'ka, I. Yu. Zelinskii, Yu. B. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. |
| author_sort | Vyhovs'ka, I. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:47:45Z |
| description | We establish an external criterion for the convexity of a domain of a Euclidean space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
G. B. Zelynskyj, Y. G. V¥hovskaq (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
KRYTERYJ VÁPUKLOSTY OBLASTY
EVKLYDOVA PROSTRANSTVA
An exterior criterion is established for the convexity of a domain of the Euclidean space.
Vstanovleno zovnißnij kryterij opuklosti oblasti evklidovoho prostoru.
Cel\ rabot¥ — ustanovlenye kryteryq, kotor¥j po nekotor¥m vneßnym xarak-
terystykam oblasty daet zaklgçenye o ee v¥puklosty. Pry πtom budem yspol\-
zovat\ ponqtyq, vvedenn¥e v rabote [1], y topolohyçeskye termyn¥ [2]. Obozna-
çym çerez ′ −G n n( , )2 hrassmanovo mnohoobrazye vsex ( )n − 2 -mern¥x plos-
kostej evklydova prostranstva Rn.
Rassmotrym nekotoroe podmnoΩestvo E Rn⊂ . Pust\ toçka x R En∈ \ .
Oboznaçym çerez Γ ( x ) mnoΩestvo ( )n − 2 -mern¥x ploskostej mnohoobrazyq
′ −G n n( , )2 , kotor¥e proxodqt çerez toçku x, no ne peresekagt E. Yspol\zuem
πtu xarakterystyku dlq opysanyq v¥pukl¥x oblastej.
Opredelenye'1. Budem hovoryt\, çto mnoΩestvo E Rn⊂ ( )n − 2 -v¥puk-
lo, esly dlq proyzvol\noj toçky x R En∈ \ suwestvuet ploskost\ L ∈
∈3 ′ −G n n( , )2 takaq, çto x ∈ L y L E∩ = ∅.
Lehko ubedyt\sq, çto vse v¥pukl¥e oblasty y kompakt¥ budut ( )n − 2 -v¥-
pukl¥my.
Opredelenye'2. Budem hovoryt\, çto mnoΩestvo E Rn⊂ slabo ( )n − 2 -
v¥puklo, esly dlq proyzvol\noj toçky hranyc¥ πtoho mnoΩestva x E∈∂ su-
westvuet ploskost\ L G n n∈ ′ −( , )2 takaq, çto x ∈ L y L E∩ int = ∅.
Opredelenye'3. SoprqΩenn¥m podmnoΩestvom E∗
mnoΩestva E R n⊂
nazovem podmnoΩestvo ( )n − 2 -ploskostej mnohoobrazyq ′ −G n n( , )2 , koto-
r¥e ne peresekagt mnoΩestvo E.
Opredelenye'4. Oboloçkoj E∗∗
mnoΩestva E (yly soprqΩenn¥m E1
∗
k
podmnoΩestvu E E1 = ∗
hrassmanova mnohoobrazyq) nazovem obæedynenye mno-
Ωestva E so vsemy toçkamy prostranstva Rn, kaΩdaq ( )n − 2 -ploskost\
çerez kotor¥e peresekaet mnoΩestvo E.
Opredelenye'5. Budem hovoryt\, çto zamknutoe (otkr¥toe) podmno-
Ωestvo E hrassmanova mnohoobrazyq ′ −G n n( , )2 v¥pukloe, esly ono
qvlqetsq soprqΩenn¥m mnoΩestvom k nekotoromu otkr¥tomu (zamknutomu)
v¥puklomu mnoΩestvu v evklydovom prostranstve Rn
.
V [1] dokazan¥ sledugwye utverΩdenyq.
PredloΩenye 1. Dlq proekcyy π γM E: → proyzvol\noho mnoΩestva na
2-mernug ploskost\ γ mnoΩestvo γ π\ ( )M E — dopolnenye k obrazu proekcyy
— homeomorfno nekotoromu seçenyg l E∩ ∗ soprqΩennoho mnoΩestva soot-
vetstvennoj 2-mernoj ploskost\g l .
PredloΩenye 2. Esly G — ohranyçennoe kompaktnoe mnoΩestvo, to toç-
ka y prynadleΩyt ohranyçennoj çasty hranyc¥ ∂ ∗G tohda y tol\ko tohda,
kohda ( )n − 2 -ploskost\ l ( y ) proxodyt çerez kakug-nybud\ toçku hranyc¥
∂G , no ne peresekaet mnoΩestvo int G.
PredloΩenye 3. Dlq proekcyy π γµ : E → proyzvol\noho mnoΩestva na
© G. B. ZELYNSKYJ, Y. G. VÁHOVSKAQ, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5 709
710 G. B. ZELYNSKYJ, Y. G. VÁHOVSKAQ
2-mernug ploskost\ mnoΩestvo πµ( )E homeomorfno mnoΩestvu l l E\ ∩ ∗
—
dopolnenyg k seçenyg soprqΩennoho mnoΩestva nekotoroj 2-mernoj plos-
kost\g l .
Pust\ nekotoroe seçenye D 2-ploskost\g nesvqzno.
Teorema. Ohranyçennaq oblast\ D Rn⊂ v¥pukla tohda y tol\ko tohda,
kohda mnoΩestva Γ ( x ) nepust¥e y svqzn¥ dlq vsex toçek ∂D.
Dokazatel\stvo. Yz nepustot¥ mnoΩestva Γ ( x ) dlq vsex x D∈∂ nepo-
sredstvenno sleduet slabaq ( )n − 2 -v¥puklost\ oblasty D.
PokaΩem, çto vse seçenyq oblasty D dvumern¥my ploskostqmy odnosvqz-
n¥. Esly suwestvuet neodnosvqznoe seçenye oblasty D nekotoroj dvumernoj
ploskost\g ℘, to toçkam x1, x2, kotor¥e prynadleΩat razlyçn¥m komponen-
tam mnoΩestva ∂( )D ∩℘ , sootvetstvugt ( )n − 2 -ploskosty l x( )1 , l x( )2 , l xi( ) ∩
∩ D = ∅ , i = 1, 2, kotor¥e obqzatel\no leΩat v razn¥x komponentax so-
prqΩennoho mnoΩestva D
∗. Oçevydno, çto l x( )1 nel\zq perevesty v l x( )2
yzotopyej, kotoraq b¥ ne peresekala D. Poπtomu mnoΩestvo D
∗
nesvqzno.
Sohlasno predloΩenyg332 (kotoroe zdes\ spravedlyvo, poskol\ku zam¥ka-
nye D qvlqetsq kompaktom) mnoΩestva Γ ( x ) — πto mnoΩestva pereseçenyq
soprqΩennoho mnoΩestva D
∗
s ploskostqmy, kasatel\n¥my k nemu. No yz ne-
svqznosty D
∗
sleduet, çto suwestvuet ( )n − 2 -ploskost\ L, kotoraq kasaetsq
xotq b¥ dvux komponent D
∗
(pod ( )n − 2 -ploskost\g v hrassmanovom mnohoob-
razyy ′ −G n n( , )2 ponymaem eho podmnohoobrazye G n n( , )− 2 ( )n − 2 -ploskos-
tej, proxodqwyx çerez odnu fyksyrovannug toçku). A πto, v svog oçered\, oz-
naçaet, çto seçenye D L∗ ∩ = Γ ( x ) dlq nekotoroho x D∈∂ nesvqzno. Poluçy-
ly protyvoreçye.
Pust\ nekotoroe seçenye D 2-ploskost\g nesvqzno. Yz predloΩenyq33 sle-
duet, çto najdetsq proekcyq π mnoΩestva D
∗
na nekotorug 2-mernug plos-
kost\ l takaq, çto mnoΩestvo l D\ ( )π ∗ nesvqzno. No, kak ohovoreno v¥ße, l
— vewestvennaq dvumernaq ploskost\. Poπtomu π( )D∗
— ne odnosvqznoe mno-
Ωestvo y, sledovatel\no, hruppa kohomolohyj H D1( )( )π ∗
ne tryvyal\na. No
tohda ne tryvyal\noj budet y hruppa H D1( )( )∂ ∗π , poskol\ku yzvestno [2], çto
otobraΩenye
τ π π∗ ∗ ∗→ ∂: ( ) ( )( ) ( )H D H D1 1
qvlqetsq monomorfyzmom.
Yz uslovyq teorem¥ ohranyçenye proekcyy π na mnoΩestvo π π− ∗∂1( )( )D
qvlqetsq monotonn¥m otobraΩenyem (otobraΩenye f E E: → 1 naz¥vaetsq
monotonn¥m, esly proobraz f y−1
kaΩdoj toçky y E∈ 1 — svqznoe mno-
Ωestvo).
Yz teorem¥ V\etorysa – Behla [2] sleduet, çto π ynducyruet monomorfyzm
hrupp kohomolohyj
π π π π∗ ∗ − ∗∂ → ∂: ( ) ( )( ) ( ( ))H D H D1 1 1 .
Takym obrazom, esly m¥ rassmotrym paru toçek x1, x2 v razn¥x komponen-
tax seçenyq oblasty D 2-mernoj ploskost\g, to ym v sylu homeomorfyzma
budut sootvetstvovat\ toçky y1, y2 v razn¥x komponentax mnoΩestva l D\ ( )π ∗
.
∏to oznaçaet, vo-perv¥x, çto toçky y1, y2 nel\zq soedynyt\ meΩdu soboj putem,
kotor¥j b¥ ne peresekal π( )D∗
. Vo-vtor¥x, v sylu monomorfyzma π∗
( )n − 2 -
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
KRYTERYJ VÁPUKLOSTY OBLASTY EVKLYDOVOHO PROSTRANSTVA 711
ploskosty v prostranstve M
∗, kotor¥e proektyrugtsq pry proekcyy π v toç-
ky y1, y2, nel\zq svqzat\ meΩdu soboj yzotopyej, kotoraq ne peresekaet D
∗.
A πto, v svog oçered\, oznaçaet, çto toçky x1 y x 2 dolΩn¥ prynadleΩat\
razn¥m komponentam mnoΩestva D D∗∗ ⊃ , no sohlasno v¥boru mnoΩestvo D
svqzno, a poπtomu v sylu proyzvol\nosty v¥bora seçenyq vse seçenyq D 2-plos-
kostqmy svqzn¥.
Teper\ moΩno yspol\zovat\ yzvestn¥j rezul\tat E.3V. Wepyna: esly vse
seçenyq oblasty D Rn⊂ dvumern¥my ploskostqmy svqzn¥ y odnosvqzn¥, to
D — v¥puklaq oblast\ [3].
Otsgda poluçaem utverΩdenye teorem¥. Uçyt¥vaq opredelenye335, vydym,
çto D
∗
budet v¥pukl¥m podmnoΩestvom mnohoobrazyq ′ −G n n( , )2 .
Prymer. Pust\ D R⊂ 3
— oblast\, poluçennaq yz ßara K = { x = ( x1, x2,
x3 ) | x < 1 } yzæqtyem dvux 2-poluploskostej A = { }( ) ( )x x x1 30 0≥ ∧ = y
B = { }( ) ( )x x x1 20 0≤ ∧ = , D = K A B\ ( )∪ .
Lehko ubedyt\sq, çto vse proekcyy D na 2-mern¥e ploskosty acyklyçn¥.
Ony budut kruhamy yly kruhamy s yzæqt¥m otrezkom, kotor¥j sostoyt yz svqz-
noj çasty dyametra y kasaetsq hranyçnoj okruΩnosty. Edynstvennaq proekcyq,
obraz kotoroj soderΩyt netryvyal\n¥j cykl, — πto proekcyq yz naçala koor-
dynat na edynyçnug sferu. Oblast\ D ymeet homotopyçeskyj typ okruΩ-
nosty S
1
. No ny odna yz prqm¥x ne budet zaceplena s πtym cyklom. Proyz-
vol\nug prqmug, kotoraq ne peresekaet D, moΩno yzotopyej perevesty v prq-
mug, kotoraq budet leΩat\ v kasatel\noj332-mernoj ploskosty k ßaru K . Sle-
dovatel\no, K
∗
budet svqzn¥m mnoΩestvom.
Analyzyruq dokazatel\stvo teorem¥, moΩno zametyt\, çto dokazano daΩe
bol\ße, çem sformulyrovano v teoreme. A ymenno: esly kasatel\n¥my ( )n − 2 -
ploskostqmy k kompaktu K v ′ −G n n( , )2 budem sçytat\ ( )n − 2 -ploskosty, ko-
tor¥e peresekagt K , no ne peresekagt eho vnutrennost\ int K , to spravedlyvo
sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye. Esly K G n n⊂ ′ −( , )2 — takoj kompakt, çto vse seçenyq eho
kasatel\n¥my ( )n − 2 -ploskostqmy svqzn¥, to kaΩdaq svqznaq komponenta
mnoΩestva K
∗
budet v¥pukl¥m mnoΩestvom.
1. Zelynskyj G. B., Momot Y. V. O ( , )n m -v¥pukl¥x mnoΩestvax // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. –
53, # 3. – S.3422 – 427.
2. Spen\er ∏. Alhebrayçeskaq topolohyq. – M.: Myr, 1971. – 6803s.
3. Wepyn E. V. Kryteryj v¥puklosty otkr¥toho mnoΩestva // III Tyraspol. sympoz. po obwej
topolohyy y ee pryl. – Kyßynev: Ítyynca, 1973. – S.3146.
Poluçeno 05.02.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3189 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:53Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e6/0b1aa52d04b439328a60e227f94feae6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31892020-03-18T19:47:45Z Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space Критерий выпуклости области евклидова пространства Vyhovs'ka, I. Yu. Zelinskii, Yu. B. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. We establish an external criterion for the convexity of a domain of a Euclidean space. Встановлено зовнішній критерій опуклості області евклідового простору. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3189 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 5 (2008); 709–711 Український математичний журнал; Том 60 № 5 (2008); 709–711 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3189/3124 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3189/3125 Copyright (c) 2008 Vyhovs'ka I. Yu.; Zelinskii Yu. B. |
| spellingShingle | Vyhovs'ka, I. Yu. Zelinskii, Yu. B. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Зелинский, Ю. Б. Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space |
| title | Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space |
| title_alt | Критерий выпуклости области евклидова пространства |
| title_full | Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space |
| title_fullStr | Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space |
| title_full_unstemmed | Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space |
| title_short | Criterion for convexity of a domain of a Euclidean space |
| title_sort | criterion for convexity of a domain of a euclidean space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3189 |
| work_keys_str_mv | AT vyhovs039kaiyu criterionforconvexityofadomainofaeuclideanspace AT zelinskiiyub criterionforconvexityofadomainofaeuclideanspace AT vygovskaâiû criterionforconvexityofadomainofaeuclideanspace AT zelinskijûb criterionforconvexityofadomainofaeuclideanspace AT vygovskaâiû criterionforconvexityofadomainofaeuclideanspace AT zelinskijûb criterionforconvexityofadomainofaeuclideanspace AT vyhovs039kaiyu kriterijvypuklostioblastievklidovaprostranstva AT zelinskiiyub kriterijvypuklostioblastievklidovaprostranstva AT vygovskaâiû kriterijvypuklostioblastievklidovaprostranstva AT zelinskijûb kriterijvypuklostioblastievklidovaprostranstva AT vygovskaâiû kriterijvypuklostioblastievklidovaprostranstva AT zelinskijûb kriterijvypuklostioblastievklidovaprostranstva |