Denjoy problems
We solve Denjoy problems concerning the elimination of singularities of analytic functions of measure zero.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3191 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509237942157312 |
|---|---|
| author | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_facet | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_sort | Trohimchuk, Yu. Yu |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:47:45Z |
| description | We solve Denjoy problems concerning the elimination of singularities of analytic functions of measure zero. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:37:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
G. G. Troxymçuk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
ZADAÇI DANÛUA
We solve the Denjoy problems on the elimination of singularities of analytic functions of measure zero.
Reßen¥ zadaçy DanΩua ob ustranymosty osobennostej analytyçeskyx funkcyj mer¥ nul\.
Na poçatku XX stolittq Pompejg i DanΩua [1] znajßly analityçni funkci],
qki neperervno prodovΩugt\sq na mnoΩynu svo]x osoblyvyx toçok. V ]xnix
prykladax cq mnoΩyna ma[ topolohiçnu rozmirnist\ nul\, ale dodatnu lebehovu
miru. Prote duΩe ßvydko [2] vynykly i funkci] z osoblyvistg nul\ovo] miry.
I same v cej ças DanΩua postavyv pytannq : çy moΩe buty obmeΩenog poxidna
skriz\ neperervno] na plowyni funkci], analityçno] zzovni nul\vymirnoho kom-
paktu miry nul\ ? Ce pytannq, mabut\, vynyklo u zv’qzku z prykladom vidomo]
„kantorovo] drabyny” θ( )x , qkwo ]] rozhlqdaty qk kompleksnu funkcig vid z
= x + i y (pry c\omu θ = 1 dlq x ≥ 1 i θ = 0 dlq x ≤ 0) : ]] poxidna ′θ = 0 skriz\
zzovni „kantorovoho hrebincq” P × R
1
(miry nul\!), de P — kantorova dos-
konala mnoΩyna ; vodnoças cq funkciq ne [ skriz\ analityçnog.
DanΩua vviv ponqttq zvyvystosti mnoΩyny, qke dozvolylo jomu dovesty, wo
mnoΩyna zi skinçennog zvyvystistg (napryklad, koly vona [ prqmym dobutkom)
ne moΩe buty osoblyvog dlq podibno] funkci].
I vse Ω nabahato vaΩçym (i vaΩlyvym) navit\ v toj ças vvaΩalos\ druhe py-
tannq DanΩua, qke V. S. Fedorov [3] v 30-ti roky mynuloho stolittq nazvav
„problemog DanΩua”.
Nexaj D ⊂ C — oblast\ i P � D — nul\vymirnyj doskonalyj kompakt.
Çy isnu[ taka odnoznaçna neperervna v D analityçna funkciq, qka holo-
morfna v D \ P i poxidna qko] neperervno prodovΩu[t\sq na P , xoça koΩna
toçka mnoΩyny P [ osoblyvog toçkog ci[] analityçno] funkci]?
Cij problemi ekvivalentna nastupna.
Çy isnu[ taka neperervna v D funkciq f z( ), analityçna v D \ P, wo ma[
koΩnu toçku mnoΩyny P svo[g osoblyvog toçkog, dlq qko] bude odnoznaçnog
v D funkciq
F z( ) =
z
z
f z dz
0
∫ ( ) ,
de intehruvannq provodyt\sq vzdovΩ dovil\no] sprqmlgvano] kryvo] v D \ P, qka
z’[dnu[ toçky z0 i z .
Vidpovid\ na ci dva pytannq vyqvyt\sq prostym naslidkom odni[] teoremy,
qku nazvaly teoremog pro neqvnu funkcig z osoblyvistg [4].
Zamknenu nide ne wil\nu mnoΩynu P � D nazvemo prostog, qkwo lokal\no
vona [ abo nul\vymirnog, abo prostog duhog.
Todi spravedlyvym [ take tverdΩennq.
Nexaj u prqmokutnyku R = a b,[ ] × c d,[ ] zadano neperervnu funkcig
F x y( , ) i prostu mnoΩynu P � R taki, wo na koΩnij „vertykali” x = const
funkciq F y( , )⋅ zrosta[ na intervalax sumiΩnosti do P ∩ x ={ }const . Todi
dlq koΩnoho x cq funkciq F y( , )⋅ zrosta[ na vs\omu vidrizku c d,[ ].
Umova prostoty dlq P v cij teoremi [ sutt[vog : pryklad — funkciq
F x y( , ) = θ( )y v I
2 = 0 1,[ ] × 0 1,[ ].
Z c\oho tverdΩennq lehko vyplyva[, wo qkwo F y( , )⋅ na koΩnomu intervali
© G. G. TROXYMÇUK, 2008
718 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
ZADAÇI DANÛUA 719
sumiΩnosti do P ∩ x ={ }const bude lokal\no lipßycevog z odni[g i ti[g
samog konstantog L, to i u c\omu prqmokutnyku R funkciq F x y( , ) bude lip-
ßycevog po y z konstantog L [4].
Dlq vypadku rozhlqduvanyx analityçnyx funkcij moΩemo utoçnyty navede-
ni tverdΩennq.
Teorema. Nexaj funkciq f : D → C [ neperervnog j analityçnog v P � D ,
de P — prosta mnoΩyna. Qkwo skriz\ v D \ P poxidna ′f z( ) obmeΩena çys-
lom L , to v koΩnij toçci z P funkciq f takoΩ [ lokal\no lipßycevog z
konstantog L.
Dovedennq. Viz\memo kruh U z( )0 � D dlq dovil\no] toçky z P0 ∈ .
Nexaj z1, z U2 ∈ . Vykorystovugçy, qkwo potribno, obertannq osej koordy-
nat u z- i w-plowynax (w = f z( ) = u + iv , z = x + iy), moΩemo vvaΩaty, wo
vidrizky z z1 2 i f z f z( ) ( )1 2 paralel\ni osqm abscys Ox, Ou, do toho Ω z2 –
– z1 > 0 i f z( )2 – f z( )1 > 0.
Za navedenog teoremog obydvi funkci] u x y( , ) , v( , )x y na povnyx horyzon-
talqx y = const v U zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq z konstantog L, oskil\ky
zzovni P çastynni poxidni
∂
∂
u
x
,
∂
∂
v
x
≤ ′f z( ) ≤ L.
Ale todi, zokrema,
f z( )2 – f z( )1 = u z( )2 – u z( )1 ≤ L z z( – )2 1 ,
wo j dovodyt\ teoremu.
Teper oçevydno, wo qkwo pry tyx Ωe umovax mira mnoΩyny P dorivng[ nu-
lg, to vona ne moΩe buty mnoΩynog osoblyvostej. MnoΩyna usuva[t\sq
funkci[g f — ce rozv’qzok perßo] zadaçi DanΩua, i navit\ z perevywennqm, ad-
Ωe DanΩua prypuskav, wo mnoΩyna P [ lyße nul\vymirnog ; v rozhlqduvanomu
Ω vypadku vona moΩe mistyty i duhy.
My navedemo i rozv’qzok druho] zadaçi DanΩua, ale prydyvymos\ uvaΩniße do
]] umov, pryçomu v perßij navedenij namy postanovci.
Peredusim neperervna prodovΩuvanist\ poxidno] ′f z( ) oznaça[ i ]] obmeΩe-
nist\ v D \ P, a ce oznaça[ lokal\nu lipßycevist\ samo] funkci] f skriz\ v ob-
lasti D.
Dali, neperervne prodovΩennq
˜( )f z poxidno] ′f z( ) na mnoΩynu P ne obo-
v’qzkovo povynno buty poxidnog pervisno] funkci] f z( ) : ce bulo b tak, qkby P
skladalas\ iz izol\ovanyx toçok. Pro te, wo v inßomu vypadku ce vΩe ne tak,
svidçat\ pryklady skriz\ dyferencijovnyx synhulqrnyx funkcij (taki [ v [5] ).
OtΩe, nexaj f z( ) [ neperervnog v oblasti D, P � D — prosta mnoΩyna,
f z( ) [ analityçnog v D \ P i ]] poxidna ′f z( ) neperervno prodovΩu[t\sq na P.
Vyberemo dovil\nu toçku z P0 ∈ , i nexaj lim ( )
,z z z P
f z
→ ∉
′
0
= A. Dlq dovil\noho
ε > 0 v deqkomu okoli U z( )0 dopomiΩna funkciq ϕ( )z = f z( ) – Az zadovol\-
nq[ umovu ′ϕ ( )z < ε, z ∈ U \ P. Z navedeno] teoremy vyplyva[, wo todi funkciq
ϕ( )z zadovol\nq[ umovu Lipßycq z konstantog ε > 0 i, zokrema, v toçci z0 ∈
∈NP ma[mo
ϕ ϕ( ) – ( )
–
z z
z z
0
0
=
f z f z
z z
A
( ) – ( )
–
–0
0
< ε. Ce ma[ misce dlq dovil\noho
ε > 0, tobto funkciq f [ monohennog v toçci z0 i ]] poxidna dorivng[ hranyçno-
mu znaçenng A poxidno] ′f z oblasti D \ P analityçnosti.
Iz dovil\nosti toçky z P0 ∈ vyvodymo, wo v umovax druho] zadaçi DanΩua
funkciq f povynna buty analityçnog skriz\ v oblasti D � P.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
720 G. G. TROXYMÇUK
Ce i rozv’qzu[ zadaçu DanΩua ; rozv’qzok vyqvyvsq takym, qkoho oçikuvav i
sam DanΩua. Znovu Ω taky, my ce zrobyly z pevnym perevywennqm: mnoΩyna P
moΩe buty ne til\ky nul\vymirnog, ale dovil\nog prostog (do toho Ω dovil\-
no] miry).
1. Denjoy A. Sur les fonctions analytiques uniformes qui restent continues sur un ensemble parfait
discontinue de singularités // C. R. – 1909. – 148. – P. 1154 – 1156.
2. Holubev V. V. Odnoznaçn¥e analytyçeskye funkcyy // Analytyçeskye funkcyy s
soverßenn¥m mnoΩestvom osob¥x toçek. – M.: Fyzmathyz, 1961. – S. 13 – 194.
3. Fedorov V. S. O posledovatel\nostqx kryvolynejn¥x yntehralov // Mat. sb. – 1939. – 6. –
S.N53N– 66.
4. Troxymçuk G. G. Teorema o neqvnoj funkcyy s osobennostqmy // Zb. prac\ In-tu
matematyky NAN Ukra]ny. – 2006. – 2, # 3. – S. 262 – 272.
5. Troxymçuk G. G. Ustranym¥e osobennosty analytyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka,
1992. – 222 s.
OderΩano 15.02.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3191 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:37:55Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/8925186cb35ab91e32631aec17bd5c02.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31912020-03-18T19:47:45Z Denjoy problems Задачі Данжуа Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. We solve Denjoy problems concerning the elimination of singularities of analytic functions of measure zero. Решены задачи Данжуа об устранимости особенностей аналитических функций меры нуль. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3191 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 5 (2008); 718–720 Український математичний журнал; Том 60 № 5 (2008); 718–720 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3191/3128 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3191/3129 Copyright (c) 2008 Trohimchuk Yu. Yu |
| spellingShingle | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Denjoy problems |
| title | Denjoy problems |
| title_alt | Задачі Данжуа |
| title_full | Denjoy problems |
| title_fullStr | Denjoy problems |
| title_full_unstemmed | Denjoy problems |
| title_short | Denjoy problems |
| title_sort | denjoy problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3191 |
| work_keys_str_mv | AT trohimchukyuyu denjoyproblems AT trohimčukûû denjoyproblems AT trohimchukyuyu zadačídanžua AT trohimčukûû zadačídanžua |