On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale
We investigate the problem of stability of a nonlinear system on a time scale and propose a unified approach to the analysis of stability of motion based on a generalized direct Lyapunov method.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3195 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509243264729088 |
|---|---|
| author | Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартинюк-Чернієнко, Ю. А. |
| author_facet | Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартинюк-Чернієнко, Ю. А. |
| author_sort | Martynyuk-Chernienko, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:06Z |
| description | We investigate the problem of stability of a nonlinear system on a time scale and propose a unified approach to the analysis of stability of motion based on a generalized direct Lyapunov method. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 531.36
G. A. Mart¥ngk-Çernyenko (Yn-t mexanyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
K TEORYY USTOJÇYVOSTY DVYÛENYQ NELYNEJNOJ
SYSTEMÁ NA VREMENNOJ ÍKALE
We investigate the problem of stability of nonlinear dynamical system on a time scale. The generalized
Lyapunov direct method is used to present a unified approach in analyzing the stability of motion.
DoslidΩu[t\sq problema stijkosti nelinijno] systemy na çasovij ßkali. Navedeno unifikova-
nyj pidxid dlq analizu stijkosti ruxu na osnovi uzahal\nenoho prqmoho metodu Lqpunova.
1. Vvedenye. Sposob unyfycyrovannoho rassmotrenyq uravnenyj dvyΩenyq v
neprer¥vnom y dyskretnom sluçae v ramkax teoryy „vremennoj ßkal¥” b¥l
predloΩen v rabotax [1 – 3]. Dynamyçeskye system¥ na vremennoj ßkale qvlq-
gtsq udovletvorytel\noj matematyçeskoj model\g povedenyq kontynual\no-
dyskretn¥x system v mexanyke y hybrydn¥x system, sostoqwyx yz neprer¥vnoj
y dyskretnoj komponent, v obwej teoryy system. Na osnove nekotoroho obob-
wenyq ob¥çn¥x ponqtyj proyzvodnoj y yntehrala neprer¥vn¥x funkcyj (sm.
[2] ) dynamyçeskye system¥ na vremennoj ßkale yssledugtsq s pomow\g obwyx
podxodov, razvyt¥x v kaçestvennoj teoryy uravnenyj pry nadleΩawej yx mody-
fykacyy.
Cel\g dannoj stat\y qvlqetsq dokazatel\stvo teorem¥ o ravnomernoj asym-
ptotyçeskoj ustojçyvosty dynamyçeskyx uravnenyj na vremennoj ßkale na
osnove obobwennoho prqmoho metoda Lqpunova [4].
2. Predvarytel\n¥e rezul\tat¥. Dlq toho çtob¥ oxvatyt\ sluçaj nepre-
r¥vnoj y dyskretnoj dynamyky, v rabote [3] predloΩeno nekotoroe obobwenye
osnovn¥x ponqtyj matematyçeskoho analyza na vremennoj ßkale. Pryvedem ne-
obxodym¥e dlq dal\nejßeho yzloΩenyq svedenyq v πtom napravlenyy, sleduq
rabote [2].
Budem oboznaçat\ çerez T vremennug ßkalu, na kotoroj yssleduetsq dyna-
myka nelynejnoj system¥ (T — nekotoroe nepustoe zamknutoe podmnoΩestvo
R s zadann¥m porqdkom y topolohyçeskoj strukturoj).
Na vremennoj ßkale T yspol\zugtsq „operator¥ skaçka” yly funkcyy pe-
rexoda.
Opredelenye 1. OtobraΩenyq σ , ρ : T → T, opredelqem¥e sootnoße-
nyqmy
σ( )t = inf :s s t∈ >{ } ∈T T , ρ( )t = sup :s s t∈ <{ }T ,
naz¥vagtsq operatoramy skaçka. Pry πtom predpolahaetsq, çto inf ∅ =
= supT (t.;e. σ( )t = t, esly T ymeet maksymum t) y sup∅ = inf T (t.;e.
ρ( )t = t, esly T ymeet mynymum t).
S pomow\g operatorov σ( )t y ρ( )t tekuwye znaçenyq vremeny t{ } na vre-
mennoj ßkale T klassyfycyrugtsq tak:
a) t plotn¥e sprava na T (rd na T), esly t < supT y σ( )t = t;
b) t plotn¥e sleva na T (ld na T), esly t < inf T y ρ( )t = t;
v) t rasseqnn¥e sprava na T (rs na T), esly σ( )t > t;
h) t rasseqnn¥e sleva na T (ls na T), esly ρ( )t < t.
Zernystost\ vremennoj ßkal¥ pry perexode vpered opys¥vaetsq funkcyej
© G. A. MARTÁNGK-ÇERNYENKO, 2008
776 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
K TEORYY USTOJÇYVOSTY DVYÛENYQ NELYNEJNOJ SYSTEMÁ … 777
µ( )t = σ( )t – t.
Oçevydno, esly T = R, to µ( )t = 0, y esly T = Z , to µ( )t = 1, hde Z —
mnoΩestvo cel¥x çysel.
Opredelenye 2. Funkcyq u: T → R qvlqetsq ∆-dyfferencyruemoj v
toçke t ∈T , esly suwestvuet nekotoroe znaçenye γ ∈R takoe, çto dlq
lgboho ε > 0 v okrestnosty W toçky t v¥polnqetsq uslovye
u t u s t sσ γ σ( ) – ( ) – ( ) –( ) ( ) < ε σ( ) –t s
pry vsex s W∈ .
V πtom sluçae γ = u t∆( ) qvlqetsq obobwennoj proyzvodnoj funkcyy u na
vremennoj ßkale T.
Zametym, çto esly T = R, to u t∆( ) = γ = du
dt
; esly Ωe T = Z, to u t∆( ) = γ =
= u t( )+ 1 – u t( ) qvlqetsq pervoj raznost\g.
Sledugwye formul¥ qvlqgtsq polezn¥my pry v¥çyslenyy ∆-proyzvodnoj
funkcyy Lqpunova na vremennoj ßkale
u tσ( )( ) = u t( ) + µ( ) ( )t u t∆
,
( )u w⋅ ∆ = u t w t∆( ) ( ) + u t w tσ( ) ( )( ) ∆
.
Opredelenye 3. Funkcyq w naz¥vaetsq ∆ -antyproyzvodnoj funkcyy u,
esly v¥polnqetsq sootnoßenye w t∆( ) = u t( ) dlq lgboho t ∈T , y tohda
u t t
a
b
( )∆∫ = w b( ) – w a( ),
hde a , b ∈T. Zametym, çto rd-neprer¥vnaq funkcyq dopuskaet suwestvova-
nye ∆-antyproyzvodnoj na T.
Pry dokazatel\stve utverΩdenyj, rassmatryvaem¥x na vremennoj ßkale T,
yspol\zuetsq ynduktyvn¥j pryncyp. Napomnym πtot pryncyp, sleduq [2].
Teorema 1. PredpoloΩym, çto t0 ∈T y A t( ){ : t t∈ ∞[ )}0, — semejstvo
utverΩdenyj, udovletvorqgwyx uslovyqm:
I. A t( )0 verno dlq znaçenyq t0 ∈T.
II. Esly t t∈ ∞[ )0, rasseqno sprava y A t( ) verno, to A tσ( )( ) takΩe
verno.
III. Esly t plotno sprava y A t( ) verno, to suwestvuet okrestnost\ W
znaçenyq t takaq, çto A s( ) takΩe verno dlq vsex s W∈ ∩ ( , )t ∞ .
IV. Esly t ∈ ( , )t0 ∞ plotno sleva y A s( ) verno pry vsex s ∈ t t0,[ ) , to
A t( ) verno.
Tohda utverΩdenye A t( ) verno dlq vsex t ∈ t0, ∞[ ) .
Zametym, çto esly T = Z, to teorema;1 reducyruet k yzvestnomu pryncypu
matematyçeskoj yndukcyy.
3. Uravnenye vozmuwennoho dvyΩenye na T. Pust\ T — neohranyçennaq
sverxu vremennaq ßkala s zernystost\g µ( )t , na kotoroj yssleduetsq dynamy-
ka nekotoroj nelynejnoj system¥.
Opredelenye 4. Vektor-funkcyq f : T R× n → Rn
qvlqetsq r d-nepre-
r¥vnoj, esly:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
778 G. A. MARTÁNGK-ÇERNYENKO
1) ona neprer¥vna v kaΩdoj toçke ( , )t x ∈ T R× n
s plotn¥m sprava zna-
çenyem t ;
2) suwestvugt predel¥ f t x( , )– = lim ( , )
( , ) ( , )s y t x
f s y
→ −
y lim ( , )
y x
f t y
→
pry
kaΩdom ( , )t x s plotn¥m sleva znaçenyem t.
Narqdu s mnoΩestvom T budem rassmatryvat\ mnoΩestva Tκ = T, esly b =
= inf T qvlqetsq plotn¥m sleva, y T
κ = T \ b{ } , esly b qvlqetsq rasseqnn¥m
sleva.
Rassmotrym uravnenyq vozmuwennoho dvyΩenyq
x t∆( ) = f t x( , ), ( , )t x ∈ T R× n , (1)
hde x t∆( ) — proyzvodnaq vektor-funkcyy x t( ), opredelennaq na vremennoj
ßkale T. O systeme (1) budem predpolahat\ sledugwee:
H1. Vektor-funkcyq f t x( , ) qvlqetsq rd-neprer¥vnoj na t0, ∞[ ) × N, N �
� Rn
— otkr¥taq svqzannaq okrestnost\ sostoqnyq x = 0.
H2. Vektor-funkcyq f t x( , ) qvlqetsq pokomponentno rehressyvnoj na T ,
t.;e.
eT + µ( ) ( , )t f t x ≠ 0 pry vsex t t∈ ∞[ )0, ,
hde eT = (1, 1, … , 1) ∈ Rn
.
H3. Vektor-funkcyq f t x( , ) ohranyçena y udovletvorqet uslovyg Lypßy-
ca na lgbom podmnoΩestve mnoΩestva T N× .
H4. Vektor-funkcyq f t x( , ) = 0 pry vsex t t∈ ∞[ )0, , esly y tol\ko esly x =
= 0.
Dlq zadann¥x ( , )t x0 0 ∈ T R× n
neprer¥vnaq funkcyq x : T → R
n
naz¥vaetsq lokal\n¥m reßenyem zadaçy
x t∆( ) = f t x( , ), x t( )0 = x0, t ≥ t0, t ∈T , (2)
esly dlq nekotoroho τ ∈T ∩ σ( ),t0 ∞( ) vektor-funkcyq x qvlqetsq ∆-dyf-
ferencyruemoj na T ∩ t0, τ[ ) y ee ∆-proyzvodnaq udovletvorqet uravnenyg (2)
pry kaΩdom t ∈T ∩ t0, τ[ ) y x t( )0 = x0.
Zametym, çto naçal\nug zadaçu (2) moΩno zapysat\ v vyde yntehral\noho
uravnenyq na vremennoj ßkale T v vyde
x t( ) = x0 + f s x s s
t
t
, ( )( )∫
0
∆ , t ≥ t0, t0, t ∈T .
Esly T R= , to zadaça (1) obrawaetsq v ob¥knovennoe dyfferencyal\noe
uravnenye na R.
Oboznaçym çerez Crd T( × Rn , R
n) mnoΩestvo vsex rd-neprer¥vn¥x vektor-
funkcyj, otobraΩagwyx T R× n
v Rn
.
4. Analyz ustojçyvosty. Opredelenyq razlyçn¥x typov ustojçyvosty
sostoqnyq ravnovesyq x = 0 system¥ (1) poluçagtsq yz opredelenyj ustojçy-
vosty x = 0 nulevoho reßenyq system¥ ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj putem neznaçytel\noj yx modyfykacyy.
Pryvedem odno yz takyx opredelenyj.
Opredelenye 5. Sostoqnye ravnovesyq x = 0 system¥ (1) qvlqetsq us-
tojçyv¥m, esly dlq lgb¥x ε > 0 y t0 ∈T suwestvuet poloΩytel\naq funk-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
K TEORYY USTOJÇYVOSTY DVYÛENYQ NELYNEJNOJ SYSTEMÁ … 779
cyq δ = δ ε( , )t0 , rd-neprer¥vnaq po t0 dlq kaΩdoho ε, takaq, çto yz uslo-
vyq x 0 < δ sleduet x t t x( ; , )0 0 < ε pry vsex t ≥ t0.
Analyz ustojçyvosty reßenyj system¥ (1) budem provodyt\ s pomow\g
obobwennoho prqmoho metoda Lqpunova (sm. [4]). S πtoj cel\g budem pryme-
nqt\ dvuxyndeksnug systemu funkcyj
U t x( , ) = vi j t x( , )[ ], i, j = 1, 2, … , m, (3)
hde
vi i : T R× n → R+ y vi j : T R× n → R pry vsex i ≠ j.
Znakoopredelennost\ matryçnoznaçnoj funkcyy (3) moΩno ustanovyt\ s
pomow\g metryky v0( , )t x = a U t x aT ( , ) , a
m∈R .
S pomow\g funkcyy (3) postroym skalqrnug funkcyg
v( , , )t x η = η ηT U t x( , ) , η ∈ +Rm , η > 0, (4)
y v¥çyslym ee ∆-proyzvodnug.
Pust\ U: T R× n → Rm m×
y µ( )t = σ( )t – t. Formuloj
v+
∆ ( , , )t x η = η ηT U t x+
∆( , ) , (5)
hde
U t x t+ ( )∆ , ( ) =
=
lim sup ( , ) – ( , ) : , , ( ),
( ( ), ) – ( , ) ( ), ( ),
–
–
U t x U t x t t t
U t x U t x t t t
+[ ] → + ∈( ) =
[ ] <
+ϑ ϑ ϑ ϑ σ
σ µ σ
1
1
0 T esly
esly
opredelqetsq ∆-proyzvodnaq funkcyy v( , , )t x η vdol\ reßenyj yssleduemoj
system¥ v dannoj toçke.
Teper\ m¥ moΩem ustanovyt\ nekotor¥e teorem¥ obobwennoho prqmoho me-
toda Lqpunova dlq dynamyçeskyx uravnenyj na vremennoj ßkale.
Teorema 2. PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq f v systeme (1) udovlet-
vorqet uslovyqm H1 – H4 y suwestvugt:
1) matryçnoznaçnaq funkcyq U: T N× → R
m m×
y vektor y
m∈R ta-
kye, çto funkcyq v( , , )t x y = y U t x yT ( , ) lokal\no lypßyceva po x pry vsex
t ∈ T;
2) funkcyy ψ i1, ψ i2 , ψ i3 ∈ K-klassu y funkcyy ˜ ( , )ψ i t u2 qvlqgtsq rd-
neprer¥vn¥my po t y vozrastagwymy po u, ˜ ( , )ψ i t2 0 = 0 pry vsex i = 1, 2, … ,
m;
3) symmetryçn¥e ( )m m× -matryc¥ A y1( ) y
˜ ( )A y2 , pry kotor¥x v¥pol-
nqgtsq neravenstva:
a) ψ ψ1 1 1
T x A y x( ) ( )( ) ≤ v( , , )t x y ≤ ˜ , ˜ ( ) ,ψ ψ2 2 2
T t x A y t x( ) ( ) pry vsex (t ,
x y, ) ∈ T N× × Rm
;
b) ψ ψ1 1 1
T x A y x( ) ( )( ) ≤ v( , , )t x y ≤ ψ ψ2 2 2
T x A y x( ) ( )˜ ( ) pry vsex (t ,
x y, ) ∈ T N× × Rm
;
v) symmetryçnaq ( )m m× -matryca A 3 = A t3( ) takaq , çto v+
∆ ( , , )t x y ≤
≤ ψ ψ3 3 3
T x A x( ) ( ) pry vsex (t , x y, ) ∈ T N× × Rm
.
Tohda esly matryc¥ A y1( ) y
˜ ( )A y2 , y ≠ 0 ∈ Rm
, poloΩytel\no oprede-
lenn¥e y matryca A 3 poluopredelenno otrycatel\naq, to:
a) sostoqnye x = 0 system¥ (1) ustojçyvo pry uslovyy 3a);
b) sostoqnye x = 0 system¥ (1) ravnomerno ustojçyvo pry uslovyy 3b).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
780 G. A. MARTÁNGK-ÇERNYENKO
Dokazatel\stvo πtoj teorem¥ pryvedeno v stat\e [5].
Sledstvye 1. Esly vse uslovyq teorem¥;2 v¥polnqgtsq pry T = R, to
teorema;2 obrawaetsq v teoremu;2.5.1 yz monohrafyy [4], kotoraq dokazana
dlq neprer¥vnoj na R system¥, sootvetstvugwej systeme (1).
Sledstvye 2. Esly vse uslovyq teorem¥;2 v¥polnqgtsq pry T = Z , to
teorema;2 obrawaetsq v teoremu;3.3.3 yz monohrafyy [6], kotoraq dokazana
dlq dyskretnoj po vremeny system¥, sootvetstvugwej systeme (1).
Teorema 3. Pust\ vektor-funkcyq f v systeme (1) udovletvorqet uslo-
vyqm H1 – H4 y suwestvugt:
1) matryçnoznaçnaq funkcyq U: T N× → Rm m×
y vektor y
m∈R ta-
kye, çto funkcyq v( , , )t x y = y U t x yT ( , ) lokal\no lypßyceva po x pry vsex
t ∈T;
2) funkcyy η1i , η2i , η3i ∈ K-klassu, i = 1, 2, … , m, y symmetryçn¥e
( )m m× -matryc¥ C yj ( ), j = 1, 2, takye, çto:
a) η η1 1 1
T x C y x( ) ( )( ) ≤ v( , , )t x y ≤ η η2 2 2
T x C y x( ) ( )( ) pry vsex (t , x,
y ) ∈ T N× × Rm
;
b) symmetryçnaq ( )m m× -matryca C 3 = C t3( ) takaq, çto
v+
∆ ( , , )t x y ≤ η η3 3 3
T x C x( ) ( ) + m t x, η3( )( )
pry vsex (t , x y, ) ∈ T N× × Rm ,
hde funkcyq m t( , )⋅ udovletvorqet uslovyg
lim
,m t xη
η
3
3
( )( )
= 0 pry η3 → 0
ravnomerno po t ∈T;
v) postoqnnaq ( )m m× -matryca C3
∗
takaq , çto C t3( ) ≤ C3
∗
pry vsex
t ∈T;
3) postoqnnaq α > 0 takaq, çto B( )α � N y dlq kaΩdoho t ∈T nepus-
t¥m qvlqetsq mnoΩestvo
G t( , )α = x t x Cm∈ ≤{ }N: ( , , ) ( ) ( )v η λ η α1 1 ,
hde λm C( )1 — mynymal\noe sobstvennoe znaçenye C1, η1 x( ) ≤ η1
T x( ) ×
× η1 x( ) pry vsex x ∈N , η̃1 ∈ K-klassu.
Tohda pry uslovyy, çto matryc¥ C y1( ), C y2( ) poloΩytel\no opredelen-
n¥e u matryca C3
∗
otrycatel\no opredelennaq, vern¥ utverΩdenyq:
a) pry lgb¥x t0 ∈T y x ∈ G t( , )0 α reßenye x t t x( , , )0 0 → 0 ravnomerno
po t 0 y x 0 pry t → ∞,
b) sostoqnye x = 0 system¥ ravnomerno asymptotyçesky ustojçyvo.
Dokazatel\stvo. Yz uslovyj 3a) teorem¥ y ohranyçenyj na matryc¥ C y1( )
y C y2( ) sleduet, çto funkcyq v( , , )t x y qvlqetsq poloΩytel\no opredelennoj
na N y ub¥vagwej. Yz uslovyj (2) naxodym
v v+
∆ ( , , )t x y ≤ ( – ) ( ) ˜1 3 1β λ ωM C x( ) , (6)
hde 0 < β < 1, λM C( )3
∗ < 0, λM C( )3
∗
— maksymal\noe sobstvennoe znaçenye mat-
ryc¥ C3
∗
, funkcyq ω̃ ∈K -klassu takaq, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
K TEORYY USTOJÇYVOSTY DVYÛENYQ NELYNEJNOJ SYSTEMÁ … 781
ω̃ x( ) ≥ η η3 3
T x x( ) ( )
pry vsex x ∈N .
Sohlasno uslovyg 3 teorem¥ suwestvuet α > 0 takoe, çto B( )α ⊂ N , y
tohda
G t( , )α � B( )α � N (7)
dlq lgb¥x t ∈T .
Yz uslovyq (6) sleduet, çto dlq lgb¥x t0 ∈T y x ∈ G t( , )0 α ymeet mesto
vklgçenye x t t x( , , )0 0 ∈ G t( , )0 α dlq lgboho t ∈T y potomu yz (7) sleduet,
çto x t t x( , , )0 0 ne moΩet dostyhnut\ hranyc¥ N za koneçnoe vremq.
Dalee, dlq lgboho ε > 0 v¥berem ε∗ > 0 tak, çtob¥
λ η εM C( ) ˜ ( )2 2
∗ < λ η εM C( ) ˜ ( )1 1 .
V¥çyslym velyçynu λ η εM C( ) ˜ ( )2 2
∗ ( – ) ( )
–
1 3
1
β λ ω ηM C∗( )( ) y v¥berem γ bol\-
ße πtoj velyçyn¥. PokaΩem, çto x t t x( , , )0 0 ne moΩet prev¥syt\ znaçenye ε∗
dlq vsex t ∈ t0[ , t0 + ]γ . V samom dele, yz (6) ymeem
v t x t y, ( ),( ) ≤ v t x y0 0 0, ,( ) + ( – ) ( )1 3
0
β λ ωM
t
t
sC x s∗( ) ( )∫ ∆ ≤
≤ λ η εM C( ) ˜ ( )2 2
∗ – ω η γ( ) , ( , )t t0 ∈ T,
çto protyvoreçyt uslovyg 2a). Sledovatel\no, suwestvuet t1 ∈ t0[ , t0 + ]γ ,
dlq kotoroho
λ ηM C x t( ) ˜ ( )2 2 1( ) ≤ λ η εM C( ) ˜ ( )2 2
∗ < λ η εm C( ) ˜ ( )1 1 ,
0 ≤
v t x t yi i
∗ ∗( ), ( ), ≤ v t x y0 0, ,( ) + ( – )1 1
2
1
23β λ ω ε εM C i
M
∗( )
< 0,
dlq bol\ßyx znaçenyj i. ∏to neravenstvo protyvoreçyt uslovyg 2a) teorem¥;3
y, sledovatel\no, lim ( , , )
t
x t t x
→∞
0 0 = 0.
Teorema;3 dokazana.
Sledstvye 3. Esly vse uslovyq teorem¥ 3 v¥polnqgtsq pry T = R, to
teorema;3 obrawaetsq v teoremu;2.5.3 yz monohrafyy [4], kotoraq dokazana
dlq neprer¥vnoj system¥, sootvetstvugwej systeme (1).
Sledstvye 4. Esly vse uslovyq teorem¥;3 v¥polnqgtsq pry T = Z , to
teorema;3 obrawaetsq v teoremu;3.3.4 yz monohrafyy [6], kotoraq dokazana
dlq dyskretnoj vo vremeny system¥, sootvetstvugwej systeme (1).
5. ObsuΩdenye rezul\tatov. Zametym, çto teorem¥;2, 3 ostagtsq v syle y
v sluçae, kohda sredy πlementov matryçnoznaçnoj funkcyy U t x( , ) ymeetsq xo-
tq b¥ odyn, dlq kotoroho skalqrnaq funkcyq v( , , )t x y udovletvorqet vsem us-
lovyqm sootvetstvugwej teorem¥. Qsno, çto v rqde sluçaev vpolne opravdano
prymenenye prostejßyx funkcyj Lqpunova.
Prymer. Rassmotrym na vremennoj ßkale T s funkcyej zernystosty µ( )t
systemu dynamyçeskyx uravnenyj
x t∆( ) = yx2 – xy2,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
782 G. A. MARTÁNGK-ÇERNYENKO
(8)
y t∆( ) = –x3.
Systema (8) pry T = R ymeet vyd
dx
dt
= yx2 – xy2,
(9)
dy
dt
= –x3.
Poskol\ku dlq funkcyy v( , )x y = x2 + y2
ymeem
˙( , ) ( )v x y 9 = –2 2 2x y ,
to sostoqnye x = y = 0 system¥ (9) asymptotyçesky ustojçyvo, v to vremq kak ee
lynejnoe pryblyΩenye lyß\ ustojçyvo.
Dlq system¥ (8) y funkcyy v( , )x y na vremennoj ßkale T ∆-proyzvodnaq
funkcyy v( , )x y ymeet vyd
v∆ ( , )( )
( )
x y t
8
= –2 2 2x y + µ( ) –t yx xy x2 2 2 6( ) +{ }. (10)
Yz (10) sleduet, çto suwestvuet znaçenye µ∗( )t > 0 takoe, çto pry 0 <
< µ( )t < µ∗( )t sostoqnye x = y = 0 system¥ (8) asymptotyçesky ustojçyvo, pry
µ( )t = µ∗( )t , dlq kotoroho –2 2 2x y + µ∗ ( ) +{ }( ) –t y x xy x2 2 2 6 = 0, ustojçyvo y
pry µ( )t > µ∗( )t neustojçyvo.
Prymenenye prqmoho metoda Lqpunova, osnovannoho na matryçnoznaçnoj
funkcyy dlq yssledovanyq dynamyky system na vremennoj ßkale, pozvolqet
oblehçyt\ postroenye podxodqwej funkcyy Lqpunova v sluçae system¥ (1)
bol\ßoj razmernosty.
PredloΩenn¥j podxod moΩet b¥t\ prymenen pry yssledovanyy ustojçyvos-
ty system Takahy – Suheno [7], a takΩe system v poluuporqdoçenn¥x prostran-
stvax (sm. [8, 9] ).
1. Aulbach B., Hilger S. A unified approach to continuous and discrete dynamics // Qual. Theory
Different. Equat. – 1988. – 53. – P. 37 – 56.
2. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scale: introduction with applications. –
Boston; Berlin: Birkhäuser, 2001. – 358 p.
3. Hilger S. Analysis on measure chains: a unified approach to continuous and discrete calculus //
Res. Math. – 1990. – 18 – P. 18 – 56.
4. Martynyuk A. A. Stability by Liapunov’s matrix function method with applications. – New York:
Marcel Dekker, Inc., 1998. – 276 p.
5. Mart¥ngk-Çernyenko G. A. Ob ustojçyvosty dynamyçeskyx system na vremennoj ßkale //
Dokl. AN. – 2007. – 413, # 1. – S. 11 – 15.
6. Martynyuk A. A. Qualitative methods in nonlinear dynamics. Novel approaches to Liapunov’s mat-
rix functions. – New York: Marcel Dekker, Inc., 2002. – 300 p.
7. Benreieb M., Gasmi M., Borne P. New stability conditions for Takagi – Sugeno fuzzy continuous
nonlinear models // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. – 2005. – 5, # 4. – P. 369 – 379.
8. Alylujko A. M., Mazko A. H. Ynvaryantn¥e konus¥ y ustojçyvost\ lynejn¥x dynamyçeskyx
system // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 11. – S. 1446 – 1461.
9. Mazko A. H. Ustojçyvost\ y sravnenye sostoqnyj dynamyçeskyx system otnosytel\no pere-
mennoho konusa // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 2. – S. 198 – 213.
Poluçeno 26.09.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3195 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/06/7dc077999b7c066cc442e351e2918506.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31952020-03-18T19:48:06Z On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale К теории устойчивости движения нелинейной системы на временной шкале Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартинюк-Чернієнко, Ю. А. We investigate the problem of stability of a nonlinear system on a time scale and propose a unified approach to the analysis of stability of motion based on a generalized direct Lyapunov method. Досліджується проблема стійкості нелінійної системи на часовій шкалі. Введено уніфікований підхід для аналізу стійкості руху на основі узагальненого прямого методу Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3195 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 6 (2008); 776–782 Український математичний журнал; Том 60 № 6 (2008); 776–782 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3195/3136 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3195/3137 Copyright (c) 2008 Martynyuk-Chernienko Yu. A. |
| spellingShingle | Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартинюк-Чернієнко, Ю. А. On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| title | On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| title_alt | К теории устойчивости движения нелинейной системы на временной шкале |
| title_full | On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| title_fullStr | On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| title_full_unstemmed | On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| title_short | On the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| title_sort | on the theory of stability of motion of a nonlinear system on a time scale |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3195 |
| work_keys_str_mv | AT martynyukchernienkoyua onthetheoryofstabilityofmotionofanonlinearsystemonatimescale AT martinûkčerníênkoûa onthetheoryofstabilityofmotionofanonlinearsystemonatimescale AT martynyukchernienkoyua kteoriiustojčivostidviženiânelinejnojsistemynavremennojškale AT martinûkčerníênkoûa kteoriiustojčivostidviženiânelinejnojsistemynavremennojškale |