Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ
We consider the problem of the saturation, in the spaces S pφ , of linear summation methods for Fourier series, which are determined by the sequences of functions defined on a subset of the space C. We obtain sufficient conditions for the saturation of such methods in these spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3198 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509247031214080 |
|---|---|
| author | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_sort | Shydlich, A. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:06Z |
| description |
We consider the problem of the saturation, in the spaces S pφ ,
of linear summation methods for Fourier series, which are determined by the sequences of functions defined on a subset of the space C.
We obtain sufficient conditions for the saturation of such methods in these spaces.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. L. Íydliç (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ
RQDIV FUR’{ U PROSTORAX S p
ϕϕ
We consider the problem of the saturation, in the spaces S
p
ϕ , of linear summation methods for Fourier
series, which are determined by the sequences of functions defined on a subset of the space C. We
obtain sufficient conditions for the saturation of such methods in these spaces.
Rassmatryvaetsq vopros nas¥wenyq v prostranstvax S
p
ϕ lynejn¥x metodov summyrovanyq rq-
dov Fur\e, kotor¥e zadagtsq proyzvol\n¥my posledovatel\nostqmy funkcyj, opredelenn¥x
na nekotorom podmnoΩestve prostranstva C. Ustanovlen¥ dostatoçn¥e uslovyq nas¥wenyq
takyx metodov v πtyx prostranstvax.
1. Vstup./ U roboti prodovΩu[t\sq vyvçennq zahal\nyx pytan\ teori] linijnyx
metodiv pidsumovuvannq rqdiv Fur’[ u prostorax S p
ϕ , qke bulo rozpoçate v ro-
botax [1 – 4].
Prostory S p
ϕ bulo vvedeno O. I. Stepancem u roboti [5] (dyv. takoΩ [6]), i
vony oznaçagt\sq takym çynom. Nexaj � — dovil\nyj linijnyj kompleksnyj
prostir, ϕ = ϕk k{ } =
∞
1 — fiksovana zçyslenna systema v n\omu i dlq bud\-qko]
pary x, y ∈� , v qkij xoça b odyn iz elementiv naleΩyt\ do ϕ, vyznaçeno opera-
cig ( , )⋅ ⋅ , wo zadovol\nq[ umovy:
1) ( , )x y = ( , )x y ,
2) ( , )λ µx x y1 2+ = λ( , )x y1 + µ( , )x y2 , λ, µ — dovil\ni çysla,
3) ( , )ϕ ϕk l =
0
1
, ,
, ,
k l
k l
≠
=
tobto vyznaçeno skalqrnyj dobutok elementiv prostoru � na elementy syste-
my//ϕ.
KoΩnomu elementu f ∈� stavlqt\ u vidpovidnist\ systemu çysel
ˆ ( )f kϕ =
= ( , )f kϕ , k ∈N , i pry danomu fiksovanomu p ∈ ( , )0 ∞ rozhlqdagt\ mnoΩyny
S p
ϕ = S
p
ϕ ( )� =
f f k
p
k
∈ < ∞
=
∞
∑�: ˆ ( )ϕ
1
.
Pry c\omu elementy x, y S p∈ ϕ vvaΩagt\sq totoΩnymy, qkwo dlq bud\-qkoho
k ∈N vykonu[t\sq rivnist\ ˆ ( )x kϕ = ˆ ( )y kϕ .
Takym çynom, prostory S p
ϕ porodΩugt\sq prostorom �, systemog ϕ, ska-
lqrnym dobutkom ( , )⋅ ⋅ i çyslom p ∈ ( , )0 ∞ .
Dlq dovil\nyx elementiv x, y S p∈ ϕ pokladagt\
ρ( , )x y p = ˆ ( ) – ˆ ( )x k y k
p
k
p
ϕ ϕ
=
∞
∑
1
1
.
Nul\ovym elementom prostoru S p
ϕ nazyva[t\sq element θ, dlq qkoho
ˆ ( )θϕ k =
= 0 pry vsix k ∈N . Velyçyna ρ θ( , )f , f S p∈ ϕ , nazyva[t\sq ϕ-normog elemen-
© A. L. ÍYDLIÇ, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 815
816 A. L. ÍYDLIÇ
ta f i poznaça[t\sq f p, tobto
f p = f pϕ, = ρ θ ϕ( , ) ˆ ( )f f kp
p
k
p
=
∞
∑
1
1
. (1)
Vidomo (dyv., napryklad, [5]), wo mnoΩyna S p
ϕ utvorg[ linijnyj prostir.
Krim toho, pry p ≥ 1 funkcional ⋅ p , oznaçenyj rivnistg (1), zadovol\nq[ vsi
aksiomy normy, a pry p ∈ (0, 1) — aksiomy kvazinormy. Tomu pry p ≥ 1 S p
ϕ — li-
nijnyj normovanyj prostir, a pry p ∈ (0, 1) — prostir iz kvazinormog.
Naqvnist\ u prostori � systemy ϕ zi vkazanymy vlastyvostqmy dozvolq[
koΩnomu elementu f ∈� stavyty u vidpovidnist\ joho formal\nyj rqd Fur’[
za ci[g systemog vyhlqdu
S f[ ] = S f[ ]ϕ = ˆ ( )f k k
k
ϕ ϕ
=
∞
∑
1
, (2)
qkyj u tryhonometryçnomu vypadku [ zvyçajnym rqdom Fur’[ funkci] f L∈ .
Tomu zadaçi, wo doslidΩugt\sq v roboti, moΩna traktuvaty qk zadaçi pro pidsu-
movuvannq uzahal\nenyx rqdiv Fur’[, wo oznaçagt\sq rivnistg (2).
U robotax [1 – 4] vyvçalysq linijni metody pidsumovuvannq rqdiv Fur’[ vy-
hlqdu (2), qki zadagt\sq neskinçennymy trykutnymy çyslovymy matrycqmy Λ.
Zokrema, v [1] bulo oznaçeno ponqttq nasyçennq linijnyx metodiv pidsumovuvan-
nq rqdiv Fur’[ u prostorax S p
ϕ , vstanovleno dostatni umovy nasyçenosti, a ta-
koΩ neobxidni ta dostatni umovy zbiΩnosti takyx metodiv v S p
ϕ . V [4] pokazano,
wo nasyçenist\ linijnoho metodu, a takoΩ porqdok nasyçennq ne zaleΩat\ vid
vyboru parametriv �, ϕ ta p, wo vyznaçagt\ prostir S p
ϕ ϕ( )� . U robotax [2, 3]
znajdeno toçni znaçennq najkrawyx n-çlennyx nablyΩen\ linijnymy metodamy
q-elipso]div u prostorax S p
ϕ pry vsix 0 < p, q < ∞ . Ci velyçyny pov’qzani z ve-
lyçynamy najkrawyx n-çlennyx nablyΩen\, qki v prostorax S p
ϕ vyvçalysq v
robotax [5 – 9] i qki moΩna rozhlqdaty v cyx prostorax qk najkrawi n-çlenni
nablyΩennq metodom çastynnyx sum Fur’[.
V danij roboti rozhlqdagt\sq zahal\ni pytannq teori] linijnyx metodiv pid-
sumovuvannq, wo zadagt\sq dovil\nymy poslidovnostqmy funkcij, vyznaçenyx
na deqkij pidmnoΩyni mnoΩyny kompleksnyx çysel C.
2. Zahal\ni pytannq teori] linijnyx metodiv pidsumovuvannq rqdiv
Fur’[. Nexaj Λ = λk kr( ){ } =
∞
1 — dovil\na poslidovnist\ funkcij, wo zaleΩat\
vid parametra r, qkyj vyznaçenyj na deqkij pidmnoΩyni M ⊂ C , wo ma[ [dynu
toçku skupçennq r0.
Dali obmeΩymosq vypadkom, koly poslidovnist\ funkcij Λ = λk r( ){ } zado-
vol\nq[ umovu
λk r( ) ≤ K, k ∈N , (3)
de K — deqka velyçyna, qka moΩe zaleΩaty vid r, ale ne zaleΩyt\ vid k, a
prostir S p
ϕ [ povnym. Todi koΩnomu elementu f S p∈ ϕ na osnovi joho rozkladu
(2) v rqd Fur’[ za systemog ϕ pry bud\-qkomu r M∈ moΩna postavyty u vid-
povidnist\ element U fr( ; )Λ ∈ S p
ϕ , rqd Fur’[ qkoho ma[ vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ RQDIV FUR’{ … 817
S U fr( ; )Λ[ ] = λ ϕϕk k
k
r f k( ) ˆ ( )
=
∞
∑
1
, (4)
tobto takyj, wo
^
U f kr ( ; ) ( )Λ ϕ = U fr k( ; ),Λ ϕ( ) = λ ϕk r f k( ) ˆ ( ), k ∈N .
U takomu vypadku dovil\na poslidovnist\ funkcij Λ, qki zadovol\nqgt\ umovu
(3), zada[ metod pobudovy elementiv U fr( ; )Λ abo, inßymy slovamy, konkretnu
sukupnist\ operatoriv U fr( ; )Λ , qki vidobraΩagt\ povnyj metryçnyj prostir
S p
ϕ v sebe. V takomu razi takoΩ kaΩut\, wo poslidovnist\ funkcij Λ vyznaça[
konkretnyj linijnyj metod (Λ-metod) pidsumovuvannq rqdiv Fur’[.
U vypadku, koly parametr r = n zming[t\sq na mnoΩyni N natural\nyx çy-
sel, a toçka skupçennq r0 = ∞, poslidovnosti Λ utvorggt\ neskinçenni prq-
mokutni matryci çysel Λ = λk
n( ){ }, qki vidpovidagt\ tak zvanym prqmokutnym
Λ-metodam pidsumovuvannq rqdiv Fur’[. Qkwo Ω pry c\omu λk r( ) = λk
n( ) = 0
dlq dovil\noho k > n, to metody pidsumovuvannq, porodΩeni takog poslidov-
nistg (matryceg) Λ, nazyvagt\ trykutnymy Λ-metodamy (dyv., napryklad,
[10, 11]).
U vypadku, koly λk r( ) — funkci], qki zaleΩat\ vid neperervnoho parametra
r, Λ-metod nazyvagt\ kontynual\nym.
Navedemo kil\ka prykladiv Λ-metodiv.
1. Qkwo poslidovnist\ Λ taka, wo
λk r( ) =
sin( – )
( – )
k r
k r
h
1
1
, k = 2, 3, … , h > 0, r0 = 0, λ1( )r ≡ 1,
to rqdy S U fr( ; )Λ[ ] magt\ vyhlqd
S U fr( ; )Λ[ ] =
sin( – )
( – )
ˆ ( )
k r
k r
f k
h
k
k
1
11
=
∞
∑ ϕ ϕ .
Takyj metod nazyvagt\ metodom Rimana.
2. Metodu Abelq – Puassona vidpovida[ poslidovnist\ funkcij λk r( ) =
= r k −1
, 0 < r < 1, r0 = 1. Rqdy S U fr( ; )Λ[ ] v c\omu vypadku magt\ vyhlqd
S U fr( ; )Λ[ ] = r f k S P fk
k
k
r
−
=
∞
∑ = [ ]1
1
ˆ ( ) ( )ϕ ϕ df
. (5)
3. Qkwo poslidovnist\ (matrycq) Λ taka, wo
λk r( ) = λk
n( ) =
1 1 2
0
, , , , ,
, ,
k n
k n
= …
>
to elementy U fr( ; )Λ = U fn( ; )Λ zbihagt\sq z çastynnymy sumamy S fn( ) po-
rqdku n rqdu (2). Zhidno z pryjnqtog terminolohi[g takyj metod nazyvagt\
metodom çastynnyx sum Fur’[.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
818 A. L. ÍYDLIÇ
4. Metod serednix aryfmetyçnyx (metod Fej[ra) vyznaça[t\sq matryceg
Λ, v qkij λk r( ) = λk
n( ) = 1 –
k
n
– 1
, k = 1, 2, … , n, i λk
n( ) = 0, k > n. Elementy
U fn( ; )Λ v c\omu metodi nazyvagt\sq sumamy Fej[ra i magt\ vyhlqd
U fr( ; )Λ = U fn( ; )Λ = σn f( ) = 1
1n
S fk
k
n
( )
=
∑ .
5. U vypadku, koly λk r( ) = λk
n( ) = cos
( – )k
n
1
2
π
, k = 1, 2, … , n, i λk
n( ) = 0, k >
> n, U fr( ; )Λ zbihagt\sq z polinomamy, wo vidpovidagt\ metodu Rohozyns\koho.
Pry c\omu
U fr( ; )Λ = U fn( ; )Λ = ˆ ( ) cos
( – )
f k
k
nk
n
kϕ
π ϕ
=
∑
1
1
2
= R fn( ) .
6. Qkwo λk r( ) = λk
n( ) = 1 –
k
n
s– 1
, k = 1, 2, … , n, s > 0, i λk r( ) = λk
n( ) = 0,
k > n, to
U fr( ; )Λ = U fn( ; )Λ = 1
1
1
–
( – ) ˆ ( )
k
n
f k
s
k
n
k
=
∑ ϕ ϕ = Z fn
s( )( ).
Polinomy Z fn
s( )( ) nazyvagt\ sumamy Zyhmunda. Pry s = 1 sumy Zyhmunda zbi-
hagt\sq z sumamy Fej[ra σn f( ).
7. Qkwo
λk r( ) = λk
n( ) =
1 1 2
1
1
1
0
, , , , – ,
–
–
, – , , ,
, ,
k n q
k n q
q
k n q n
k n
= …
+
+
= + …
>
to
U fr( ; )Λ = U fn( ; )Λ = 1
1q
S fk
k n q
n
+ =
∑ ( )
–
= V fn q
n
– ( ).
Takyj metod nazyva[t\sq metodom Valle Pussena, a polinomy V fn q
n
– ( ) — suma-
my Valle Pussena. Qkwo q = 0, to V fn q
n
– ( ) = V fn
n( ) = S fn( ), qkwo q = n – 1,
to V fn q
n
– ( ) = V fn
1 ( ) = σn f( ).
U zv’qzku iz zaminog rqdu Fur’[ (2) funkci] f rqdom (4) pryrodno posta[ py-
tannq pro rehulqrnist\ linijnyx metodiv u prostorax S p
ϕ , tobto pytannq pro
te, qki umovy povynna zadovol\nqty poslidovnist\ funkcij Λ = λk r( ){ }, wob
vykonuvalasq rivnist\
lim – ( ; )
r r
r pf U f
→ 0
Λ = 0 (6)
dlq vsix funkcij f ∈ S p
ϕ ( )� nezaleΩno vid vyboru parametriv � , ϕ ta p ∈
∈ 1, ∞[ ) , qki vyznaçagt\ prostir S
p
ϕ ( )� . Vyçerpna vidpovid\ na postavlene py-
tannq vyplyva[ z osnovnyx teorem funkcional\noho analizu:
dlq toho wob vykonuvalos\ spivvidnoßennq (6) dlq vsix elementiv f ∈
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ RQDIV FUR’{ … 819
∈ S
p
ϕ ( )� , neobxidno i dostatn\o, wob pry koΩnomu fiksovanomu k, k = 1, 2, … ,
lim ( )
r r
k r
→ 0
λ = 1
i, krim toho, poslidovnist\ çysel
Lr( )Λ = sup ( ; )
f
r p
p
U f
≤1
Λ =
sup ( )
k
k r
∈N
λ (7)
bula obmeΩenog:
Lr( )Λ = O( )1 , r → r0.
Velyçyny vyhlqdu (7) inkoly nazyvagt\ (dyv., napryklad, [11, c. 18]) kon-
stantamy Lebeha danoho metodu Ur( )Λ .
3. Postanovka zadaçi pro nasyçennq, oznaçennq nasyçennq ta otrymani
rezul\taty. Nexaj Ur( )Λ — dovil\nyj Λ-metod, qkyj porodΩu[ elementy
U fr( ; )Λ , rqdy Fur’[ qkyx magt\ vyhlqd (4). Qkwo pry deqkomu k0 ∈N vyko-
nu[t\sq spivvidnoßennq
lim
– ( ; )
– ( )r r
r p
k
f U f
r→ 0 0
1
Λ
λ
= 0, (8)
to
ˆ ( )f kϕ 0 = 0. Dijsno, oskil\ky zhidno z (1)
f U fr p
p– ( ; )Λ =
k
p
k
pf k r
=
∞
∑
1
1ˆ ( ) – ( )ϕ λ ≥ 1
0 0– ( ) ˆ ( )λ ϕk
p p
r f k , (9)
to spivvidnoßennq (8) vykonu[t\sq lyße todi, koly
ˆ ( )f kϕ 0 = 0.
Zvidsy vyplyva[, wo koly dlq danoho metodu Ur( )Λ ma[ misce (8) dlq vsix k
poçynagçy z deqkoho nomera k1, to element f = ˆ ( )
–
f k
k
k
kϕ ϕ=∑ 1
11
[ polinomom po-
rqdku ne vywe k1. Zokrema, qkwo pry c\omu k2 = 2, to f = ˆ ( )fϕ ϕ1 1. Ce oznaça[,
wo porqdok prqmuvannq do nulq velyçyny f U fr p– ( ; )Λ pry r → r0 ne mo-
Ωe perevywuvaty maksymal\noho porqdku prqmuvannq do nulq bud\-qko] z riz-
nyc\ 1 – λk r( ), k = 1, 2, … . Napryklad, dlq sum Fej[ra 1 – λk r( ) = 1 – λk
n( ) =
=
k
n
– 1
, k = 2, 3, … , n, todi min –
, , ,
( )
k n
k
n
= …
( )
2 3
1 λ = n–1
. Tomu spivvidnoßennq
f fn p– ( )σ = o n–1( ), n → ∞,
vykonu[t\sq lyße u vypadku, koly f = ˆ ( )fϕ ϕ1 1. Tobto dovil\nyj element f ≠
≠ ˆ ( )fϕ ϕ1 1 za dopomohog sum Fej[ra moΩna nablyzyty z toçnistg ne vywe
O n–1( ):
f fn p– ( )σ > Kn–1
,
de K — deqka stala, wo ne zaleΩyt\ vid n.
U vypadku nablyΩennq metodom Abelq – Puassona
f P fr p– ( ) > K r( – )1 , 0 < r < 1, f ≠ ˆ ( )fϕ ϕ1 1;
u vypadku nablyΩennq sumamy Zyhmunda
f Z fn
s
p
– ( )( ) > Kn s– , f ≠ ˆ ( )fϕ ϕ1 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
820 A. L. ÍYDLIÇ
U zv’qzku z cym v teori] linijnyx metodiv vynykla zadaça pro nasyçennq, qka
polqha[ v tomu, wob dlq konkretnoho linijnoho metodu za vlastyvostqmy ele-
mentiv poslidovnosti Λ vyznaçyty najkrawyj porqdok νΛ( )r prqmuvannq do
nulq pry r → r0 velyçyny f U fr X– ( ; )Λ , qkyj moΩe buty dosqhnutyj dlq
danoho metodu v linijnomu normovanomu prostori X, i opysaty najßyrßyj klas
elementiv, na qkomu porqdky nablyΩen\ danym metodom zbihagt\sq z νΛ( )r .
Ponqttq nasyçennq linijnyx metodiv bulo vvedeno Û. Favarom u 1947 r. v
roboti [12] (dyv. takoΩ [13]). Prote we v 1941 r. D. Aleksiç [14] pokazav, wo
dlq sum Fej[ra spivvidnoßennq f fn C( ) – ( ; )⋅ ⋅σ
π2
= O n–1( ) vykonu[t\sq todi
i lyße todi, koly f̃ ∈ Lip( ; )C2 1π . Dovedennq toho vaΩlyvoho faktu, wo dlq
cyx sum iz spivvidnoßennq f fn C( ) – ( ; )⋅ ⋅σ
π2
= o n–1( ) vyplyva[, wo f x( ) =
= const (qkyj qkraz vstanovlg[ nasyçenist\ metodu Fej[ra), bulo navedeno
A./Zyhmundom u [15].
U podal\ßomu cg tematyku rozvyvaly M. Zamans\kyj, H. Sunouçi, K. Vatari,
F. I. Xarßyladze, A. X. Turec\kyj, P. Butcer, R. Nessel\ ta in.
V roboti O. I. Stepancq ta V. T. Havrylgk [16] bulo sformul\ovano osnovni
tverdΩennq, qki xarakteryzugt\ vlastyvist\ nasyçennq u prostorax C ta L p
linijnyx metodiv, wo porodΩugt\sq dovil\nymy neskinçennymy trykutnymy
çyslovymy matrycqmy. U prostorax S p
ϕ pytannq nasyçennq takyx linijnyx me-
todiv vyvçalosq u robotax [1, 4], de, zokrema, bulo oznaçeno ponqttq nasyçennq
linijnyx metodiv, a takoΩ pokazano, wo nasyçenist\ linijnoho metodu i porqdok
nasyçennq ne zaleΩat\ vid vyboru parametriv �, ϕ ta p, wo vyznaçagt\ pros-
tir S p
ϕ ( )� .
U c\omu punkti vstanovymo analohiçni tverdΩennq dlq linijnyx metodiv, qki
zadagt\sq dovil\nymy poslidovnostqmy funkcij, vyznaçenyx na deqkij pidmno-
Ωyni z C.
Isnugt\ rizni, xoça i blyz\ki za zmistom, oznaçennq ponqttq nasyçennq (dyv.,
napryklad, [10] (hl. VIII), [16], [17], ç. V). Zokrema, v roboti [16] bulo sfor-
mul\ovano nastupne oznaçennq nasyçennq linijnoho metodu dlq prostoriv C ta
L p , p ∈ 1, ∞[ ) .
Oznaçennq A. Nexaj X — odyn iz prostoriv C abo L p , p ∈ 1, ∞[ ) , i
Un( )Λ — linijnyj metod pidsumovuvannq rqdiv Fur’[, qkyj porodΩu[ polinomy
U f xn( ; ; )Λ vyhlqdu
U f xn( ; ; )Λ = λk
n
k
n
k ka kx b kx( )
–
( cos sin )
=
∑ +
0
1
.
Qkwo isnu[ dodatna monotonno spadna do nulq funkciq ϕΛ( )n , n ∈N , taka,
wo iz spivvidnoßennq
f x U f xn X( ) – ( ; ; )Λ = o nϕΛ( )( ), n → ∞, (10)
vyplyva[, wo f x( ) ≡ const pry X = C , f x( ) = const majΩe skriz\ pry X = L p
i znajdet\sq prynajmni odna funkciq f ( )⋅ , vidminna vid stalo], dlq qko]
f x U f xn X( ) – ( ; ; )Λ = O nϕΛ( )( ) , n → ∞, (11)
to kaΩut\, wo metod Un( )Λ [ nasyçenym u prostori X. MnoΩyna Φ Λ( )X
vsix funkcij, dlq qkyx vykonu[t\sq spivvidnoßennq (11), nazyva[t\sq klasom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ RQDIV FUR’{ … 821
nasyçennq, a funkciq ϕΛ( )n — porqdkom nasyçennq.
Inkoly vymaha[t\sq (dyv., napryklad, [10]), wob iz spivvidnoßennq (10) vy-
plyvalo, wo funkciq f x( ) naleΩyt\ deqkij skinçennovymirnij mnoΩyni, abo
Ω, qk u monohrafi] [17], wo funkciq f x( ) [ tak zvanym invariantnym elemen-
tom dlq sim’] operatoriv U f xn( ; ; )Λ .
Zdebil\ßoho oznaçennq vlastyvosti nasyçennq vidriznqgt\sq odne vid odno-
ho lyße tym, qk u nyx vvodyt\sq ponqttq invariantnoho elementa. Napryklad, v
oznaçenni A invariantnymy elementamy danoho linijnoho metodu [ funkci]
f x( ) ≡ const pry X = C i f x( ) = const majΩe skriz\ pry X = L p . Odnak zhidno z
takym oznaçennqm metod Valle Pussena (nahada[mo, wo v c\omu vypadku
λk
n( ) =
1 1 2
1
1
1
0
, , , , – ,
–
–
, – , , ,
, ,
k n q
k n q
q
k n q n
k n
= …
+
+
= + …
>
de q = q n( ) — deqkyj cilyj parametr, 0 ≤ q n( ) ≤ n – 1, qkyj moΩe zaleΩaty
vid n) ne [ nasyçenym pry bud\-qkomu vybori parametra q. Z inßoho boku, u vy-
padku, koly lim
( )
n
q n
n→∞
= 1 i n – q n( ) = cn < c ≠ 0, bud\-qku funkcig f, wo ne [
tryhonometryçnym polinomom porqdku menßoho za cn, moΩna nablyzyty suma-
my Valle Pussena z toçnistg ne vywe O n–1( ). Tobto v c\omu vypadku metod
Valle Pussena da[ nablyΩennq take Ω same, qk i metod Fej[ra, qkyj, qk
vidomo, [ nasyçenym. U zv’qzku z cym v roboti [1] (dyv. takoΩ [4]) bulo oznaçeno
nasyçenist\ linijnoho metodu (u vypadku, koly poslidovnosti Λ utvorggt\ ne-
skinçenni trykutni matryci çysel Λ = λk r( ){ } = λk
n( )
) tak, wob vono oxoplg-
valo qkomoha bil\ße linijnyx metodiv, qki v pevnomu rozuminni magt\ cg vlas-
tyvist\, i zokrema, metod Valle Pussena u rozhlqnutomu vywe vypadku.
V c\omu punkti rozpovsgdymo ce ponqttq na vypadok dovil\no] poslidovnos-
ti funkcij Λ = λk r( ){ }.
Dlq dovil\noho δ > 0 çerez O rδ( )0 poznaçymo δ-okil toçky r0 v mnoΩy-
ni//M:
O rδ( )0 = r M r r∈ <{ }: – 0 δ pry r0 < ∞
i
O rδ( )0 = r M r∈ ≥{ }: δ pry r0 = ∞.
Dlq dano] poslidovnosti funkcij Λ rozhlqnemo mnoΩynu BΛ vsix natu-
ral\nyx çysel k, dlq qkyx isnu[ funkciq δΛ = δΛ( )k taka, wo λk r( ) = 1 dlq
vsix r ∈ O rδΛ
( ), tobto
BΛ = k k r r O rk∈ ∃ = ∈{ }N : ( ) : ( ) , ( )δ λ δΛ Λ
1 .
Element f prostoru S p
ϕ nazyva[t\sq invariantnym elementom metodu Ur( )Λ ,
qkwo joho koefici[nty Fur’[
ˆ ( )f kϕ = ( , )f kϕ dorivnggt\ nulg prynajmni dlq
vsix k ∈N \ BΛ .
MnoΩynu vsix invariantnyx elementiv metodu Ur( )Λ u prostori S p
ϕ pozna-
çymo çerez F S p
Λ ϕ( ). Lehko baçyty, wo bud\-qkyj linijnyj metod Ur( )Λ ma[ u
prostori S p
ϕ xoça b odyn invariantnyj element. Takym [, zokrema, nul\ovyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
822 A. L. ÍYDLIÇ
element prostoru S p
ϕ .
ZauvaΩennq 1. U vypadku, //koly pry deqkyx parametrax � , p ta ϕ mno-
Ωyna
F S p
Λ ϕ( )�( ) zbiha[t\sq z usim prostorom S
p
ϕ( )� , vykonu[t\sq rivnist\
BΛ = N, i navpaky, qkwo BΛ = N, to
F S p
Λ ϕ( )�( ) = S
p
ϕ( )� dlq bud\-qkyx � , p
ta ϕ.
Oskil\ky dlq metodiv Fej[ra, Rimana, Abelq – Puassona, Rohozyns\koho ta
Zyhmunda λk
n( ) ≠ 1 dlq vsix k = 2, 3, … , to BΛ = 1{ }, i invariantnymy elemen-
tamy cyx metodiv u S p
ϕ budut\ elementy f S p∈ ϕ , qki moΩna podaty u vyhlqdi
f = ˆ ( )fϕ ϕ1 1.
Oznaçennq 1. Linijnyj metod Ur( )Λ nazyva[t\sq nasyçenym u prostori
S
p
ϕ( )� , p ∈ 1, ∞[ ) , qkwo isnu[ dodatna monotonno spadna do nulq pry r → r0
funkciq νΛ( )r , dlq qko] vykonugt\sq taki umovy:
1) iz spivvidnoßennq
f U fr p– ( ; )Λ = o rνΛ( )( ), r → r0, (12)
vyplyva[, wo f ∈
F S p
Λ ϕ( )�( );
2) isnu[ prynajmni odyn element f ∈ S
p
ϕ( )� \
F S p
Λ ϕ( )�( ), dlq qkoho pry vsix
r M∈ vykonugt\sq spivvidnoßennq
f U fr p– ( ; )Λ = O rνΛ( )( ), r → r0. (13)
Funkciq νΛ( )r nazyva[t\sq porqdkom nasyçennq, a mnoΩyna Φ Λ( )p vsix ele-
mentiv prostoru S
p
ϕ( )� , dlq qkyx vykonu[t\sq (13), — klasom nasyçennq me-
todu Ur( )Λ .
Oznaçennq 2. Qkwo dlq danoho metodu ne isnu[ dodatno] monotonno spad-
no] do nulq pry r → r0 funkci] νΛ( )r , wo zadovol\nq[ umovy oznaçennq 1, to
kaΩut\, wo cej metod ne [ nasyçenym u prostori S p
ϕ .
U vypadku, koly poslidovnosti Λ utvorggt\ neskinçenni prqmokutni mat-
ryci çysel Λ = λk r( ){ } = λk
n( ) (r0 = ∞), z danyx oznaçen\ moΩna lehko otry-
maty oznaçennq ponqttq nasyçennq, sformul\ovani v robotax [1, 4].
Nastupna teorema vkazu[ na invariantnist\ ponqttq nasyçennq linijnoho me-
todu vidnosno prostoriv S p
ϕ( )X .
Teorema 1. Qkwo linijnyj metod Ur( )Λ [ nasyçenym u prostori S
p
ϕ( )�
pry danyx fiksovanyx parametrax �, p, ϕ z porqdkom nasyçennq νΛ( )r , to
danyj metod [ nasyçenym i u prostorax S Xp
′
′ ′ϕ ( ) dlq bud\-qkyx inßyx paramet-
riv ′X , ′p , ′ϕ z tym samym porqdkom nasyçennq νΛ( )r .
Dovedennq. Nexaj linijnyj metod Ur( )Λ [ nasyçenym u prostori S
p
ϕ( )� z
porqdkom nasyçennq νΛ( )n i dlq deqkoho elementa f ∈ S Xp
′
′ ′ϕ ( ) vykonu[t\sq
spivvidnoßennq
f U fr p– ( ; )Λ ′ = o rνΛ( )( ) , r → r0. (12′)
PokaΩemo, wo todi f ∈ F S Xp
Λ ′
′ ′( )ϕ ( ) , tobto
ˆ ( )f k′ϕ 0 = 0 dlq bud\-qkoho k0 ∈
∈ N \ BΛ .
Za oznaçennqm spivvidnoßennq (12′) vykonu[t\sq todi i lyße todi, koly dlq
dovil\noho ε > 0 isnu[ çyslo δ > 0, take, wo dlq vsix r ∈ O rδ( )0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ RQDIV FUR’{ … 823
1
1
– ( )
( )
ˆ ( )
λ
ν ϕ
k
p
p
k
pr
r
f k
′
′
=
∞
′
′∑
Λ
< ε. (14)
Zafiksu[mo dovil\ne k0 ∈N \ BΛ i rozhlqnemo element ϕk0
. Zrozumilo, wo
ϕk0
ne [ invariantnym elementom metodu Ur( )Λ u prostori S Xp
ϕ( ) , tobto
ϕk0
∈ S p
ϕ \ FΛ , i oskil\ky metod [ nasyçenym v S Xp
ϕ( ) , to
ϕ ϕk r k p
U
0 0 0– ( ; )Λ ≠ o rνΛ( )( ) , r → r0.
Ce oznaça[, wo isnu[ stala Ck0
> 0 taka, wo dlq bud\-qkoho δ1, 0 < δ1 < δ,
znajdet\sq çyslo r = r( )δ1 ∈ O rδ1 0( ) , dlq qkoho vykonu[t\sq spivvidnoßennq
ϕ ϕ
ν
k r k p
U
r
0 0 0– ( ; )
( )
Λ
Λ
=
1
0
– ( )
( )
λ
ν
k r
rΛ
≥ Ck0
> 0.
Zvidsy vnaslidok dovil\nosti ε vyplyva[, wo nerivnist\ (14) vykonu[t\sq lyße
u vypadku, koly
ˆ ( )f k′ϕ 0 = 0. Takym çynom, pokazano, wo dlq bud\-qkoho k0 ∈
∈/ N \ BΛ koefici[nt
ˆ ( )f kϕ 0 = 0, tobto f ∈ F S Xp
Λ ′
′ ′( )ϕ ( ) , i umova 1 oznaçennq 1
dlq prostoru S Xp
′
′ ′ϕ ( ) vykonu[t\sq.
PokaΩemo teper, wo umova 2 oznaçennq 1 u prostori S Xp
′
′ ′ϕ ( ) takoΩ vykonu-
[t\sq. Oskil\ky metod Ur( )Λ [ nasyçenym u prostori S p
ϕ( )� , to isnu[ f ∈
∈ S p
ϕ( )� \
F S p
Λ ϕ( )�( ), dlq qkoho pravyl\nym [ spivvidnoßennq (13), pryçomu
ˆ ( )f kϕ 1 ≠ 0 xoça b dlq odnoho k1 ∈N \ BΛ . Poklademo f = ˆ ( )f k kϕ ϕ1 1
′ . Todi f ∈
∈ S Xp
′
′ ′ϕ ( ) \ F S Xp
Λ ′
′ ′( )ϕ ( ) i vykonu[t\sq spivvidnoßennq
f U fr p1 1– ( ; )Λ ′ ≤ f U fr p– ( ; )Λ = O rνΛ( )( ), r → r0,
tobto umova 2 dlq prostoru S Xp
′
′ ′ϕ ( ) takoΩ vykonu[t\sq, i linijnyj metod
Ur( )Λ [ nasyçenym u prostori S Xp
′
′ ′ϕ ( ) z porqdkom nasyçennq νΛ( )r .
Teoremu dovedeno.
Dlq formulgvannq dostatnix umov nasyçennq vvedemo we deqki poznaçennq.
Nexaj ψk = ψ( )k , k = 1, 2, … , — poslidovnist\ kompleksnyx vidminnyx vid nu-
lq çysel, ψ( )k ≠ 0 ∀ ∈k N . Poznaçymo çerez ψ ϕS p
mnoΩynu vsix elementiv
f S p∈ ϕ , dlq qkyx vykonu[t\sq umova
1
1 ψ ϕ( )
ˆ ( )
k
f kp
k
p
=
∞
∑ < ∞. (15)
Teorema 2. Qkwo dlq dano] poslidovnosti funkcij Λ mnoΩyna BΛ ne zbi-
ha[t\sq z usi[g mnoΩynog N i isnu[ dodatna monotonno spadna do nulq pry
r → r0 funkciq νΛ( )r taka, wo pry vsix k ∈ N \ BΛ
lim
– ( )
( )r r
k r
r→ 0
1 λ
νΛ
= c
kψ0( )
, de ψ0( )k > 0, c > 0, (16)
to:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
824 A. L. ÍYDLIÇ
1) metod Ur( )Λ [ nasyçenym v usix prostorax S
p
ϕ( )� , nezaleΩno vid vy-
boru parametriv X, p, ϕ, z porqdkom nasyçennq νΛ( )r ;
2) spravedlyve vkladennq
Φ Λ( )p � ψ ϕS p, (17)
de poslidovnist\ ψ = ψ( )k k{ } =
∞
1 taka , wo pry k ∈N \ BΛ ψ( )k = ψ0( )k , a
pry k B∈ Λ ψ( )k ≥ K0 > 0, de K0 — deqka stala;
3) qkwo Ω pry c\omu isnu[ okil O rδ( )0 , qkyj mistyt\sq v usix okolax
O rkδΛ ( )( )0 : O rδ( )0 � O rkδΛ ( )( )0 , k B∈ Λ , i vykonu[t\sq umova
µ ψ λ
νk
kr
k r
r
( )
( ) – ( )
( )
=df 0 1
Λ
≤ K1, k ∈N \ BΛ , r ∈ O rδ1 0( ) , (18)
de O rδ1 0( ) — deqkyj okil z O rδ( )0 , to [ pravyl\nog rivnist\
Φ Λ( )p = ψ ϕS p . (19)
ZauvaΩennq 2. Okil O rδ( )0 , qkyj mistytymet\sq v usix okolax O rkδΛ ( )( )0 ,
k ∈N , bude isnuvaty, zokrema, u vypadku skinçenno] mnoΩyny BΛ .
U vypadku, koly poslidovnosti Λ utvorggt\ neskinçenni trykutni matryci
çysel Λ = λk r( ){ } = λk
n( ) (r0 = ∞), dane tverdΩennq dovedeno v [1]; qkwo Ω
mnoΩyna BΛ mistyt\ lyße odyn element, to joho moΩna otrymaty iz rezul\-
tativ monohrafi] [17] (ç. V).
Dovedennq. Za teoremog/1 dlq dovedennq danoho tverdΩennq dostatn\o
perekonatysq, wo metod Ur( )Λ [ nasyçenym v S
p
ϕ( )� xoça b pry odnomu vybori
parametriv X, ϕ ta p. Zafiksu[mo dovil\nym çynom parametry X, ϕ ta p i po-
kaΩemo, wo za vykonannq umov teoremy danyj metod [ nasyçenym u prostori
S p
ϕ = S p
ϕ( )� .
Zhidno z (9), qkwo λk r( ) ≠ 1, to dlq bud\-qkoho elementa f ∈ S p
ϕ
0 ≤ ˆ ( )f kϕ ≤
f U f
r
r p
k
– ( ; )
– ( )
Λ
1 λ
=
ν
λ ν
Λ
Λ
Λ( )
– ( )
– ( ; )
( )
r
r
f U f
rk
r p
1
. (20)
Qkwo vykonugt\sq spivvidnoßennq (12) i (16), to prava çastyna (20) prqmu[ do
nulq pry r → r0. Ce oznaça[, wo
ˆ ( )f kϕ = 0 ∀ ∈k N \ BΛ . Zvidsy vyplyva[, wo f
— invariantnyj element metodu Ur( )Λ .
Nexaj k0 — dovil\ne çyslo iz mnoΩyny N \ BΛ i f0 = ϕk0
. Zrozumilo, wo f0
— neinvariantnyj element metodu Ur( )Λ . Vraxovugçy (16), otrymu[mo
f U fr p0 0– ( ; )Λ = ν
λ
ν
ϕΛ
Λ
( )
( )
( )
r
r
r
k
k
p
1
0
0
−
=
= ν
λ
νΛ
Λ
( )
( )
( )
r
r
r
k1
0
−
≤ C rk0
νΛ( ) ,
de Ck0
— deqka stala.
Ce oznaça[, wo metod Ur( )Λ [ nasyçenym u prostori S p
ϕ , p ∈ ( , )0 ∞ , i porq-
dok nasyçennq c\oho metodu νΛ( )r .
Perekona[mos\ teper u pravyl\nosti vkladennq (17). Dlq c\oho rozhlqnemo
dovil\nyj element f S p∈ ϕ , qkyj zadovol\nq[ spivvidnoßennq (13), i pokaΩemo,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ RQDIV FUR’{ … 825
wo cej element naleΩyt\ mnoΩyni ψ ϕS p
, tobto spravdΩu[t\sq spivvidnoßen-
nq/(15).
Z oznaçennq poslidovnosti ψk = ψ( )k vyplyva[, wo dlq koΩnoho f S p∈ ϕ
1
ψ ϕ( )
ˆ ( )
k
f kp
k B
p
∈
∑
Λ
≤ 1
0K
f k
k B
p
∈
∑
Λ
ˆ ( )ϕ ≤
f
K
p
p
0
< ∞,
i dlq dovedennq (15) dosyt\ pokazaty, wo spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
1
ψ ϕ( )
ˆ ( )
\ k
f kp
k B
p
∈
∑
N Λ
< ∞. (21)
Zrozumilo, wo u vypadku, koly mnoΩyna N \ BΛ [ skinçennog, ostann[ spivvid-
noßennq vykonu[t\sq, a tomu vykonu[t\sq i spivvidnoßennq (15).
Nexaj teper mnoΩyna N \ BΛ mistyt\ neskinçennu kil\kist\ elementiv. Dlq
dovil\noho natural\noho çysla m poklademo Am = 1; m[ ] ∩ ( \ )N BΛ i rozhlq-
nemo çastynnu sumu porqdku ne vywe m rqdu v (21):
ˆ ( )
( )
f k
kk A
p
m
ϕ
ψ∈
∑ . (22)
Nexaj k Am∈ — dovil\ne çyslo. Vnaslidok (16) dlq bud\-qkoho ε > 0 isnu[
çyslo δk = δ ε( , )k > 0 take, wo dlq vsix r ∈ O r
kδ ( )0 λk r( ) ≠ 1 i spravdΩu[t\sq
nerivnist\
ν
ψ λ
Λ( )
( ) – ( )
r
k rk0 1
< 1
c
+ ε. (23)
Poklademo δ∗ = min
k A
k
m∈
δ . Todi nerivnist\ (23) bude spravdΩuvatys\ dlq dovil\-
noho r ∈ O rδ∗
( )0 pry vsix k Am∈ .
PomnoΩyvßy çysel\nyk ta znamennyk koΩnoho dodanka sumy (22) na vely-
çynu
1 – ( )
( )
λ
ν
k
p
p
r
rΛ
, de k Am∈ , r ∈ O rδ∗
( )0 , na pidstavi (23), (13) ta oznaçennq
poslidovnosti ψk otryma[mo
ˆ ( )
( )
f k
kk A
p
m
ϕ
ψ∈
∑ =
ˆ ( )
( )
f k
k
p
p
k Am
ϕ
ψ0∈
∑ =
1
10
– ( ) ˆ ( )
( )
( )
( ) – ( )
λ
ν
ν
ψ λ
ϕk
p p
p
k A
p
p
k
p
r f k
r
r
k r
m Λ
Λ
∈
∑ ≤
≤ ( / )
– ( ) ˆ ( )
( )
1
1
c
r f k
r
p k
p p
p
k Am
+
∈
∑ε
λ
ν
ϕ
Λ
≤ K2,
tobto spivvidnoßennq (21) vykonu[t\sq, a tomu vykonugt\sq spivvidnoßen-
nq/(15) i vkladennq (17).
Perekona[mos\ nareßti, wo u vypadku, koly vsi okoly O rkδΛ ( )( )0 mistqt\ de-
qkyj okil O rδ( )0 i vykonugt\sq umovy teoremy, pravyl\nym [ i protyleΩne
vklgçennq:
Φ Λ( )p � ψ ϕS p, (24)
tobto dlq dovil\noho elementa f, qkyj zadovol\nq[ spivvidnoßennq (15), vyko-
nu[t\sq nerivnist\ (13).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
826 A. L. ÍYDLIÇ
Dijsno, v c\omu vypadku dlq vsix r ∈ O rδ( )0 i k B∈ Λ λk r( ) = 1. Zvidsy vy-
plyva[, wo
1 – ( ) ˆ ( )
( )
λ
ν
ϕk
p p
p
k B
r f k
rΛΛ∈
∑ ≤ max max
– ( )
( )\ ( )r M O r k B
k
p
p p
pr
r
f
∈ ∈δ
λ
ν0
1
Λ Λ
= K3. (25)
Krim toho, na pidstavi spivvidnoßen\ (15) ta (18) pry bud\-qkomu r ∈ O rδ1 0( )
1 – ( ) ˆ ( )
( )\
λ
ν
ϕk
p p
p
k B
r f k
rΛΛ∈
∑
N
=
ˆ ( )
( )
– ( ) ( )
( )\
f k
k
r k
r
p
p
k B
k
p p
p
ϕ
ψ
λ ψ
ν0
1
∈
∑
N Λ Λ
≤
≤
K
f k
k
p
k B
1
ˆ ( )
( )\
ϕ
ψ∈
∑
N Λ
= K4. (26)
Z (25) ta (26) vyplyva[, wo pry K = K3 + K4 dlq vsix r ∈ O rδ1 0( ) vykonu[t\sq
nerivnist\
f U fr p– ( ; )Λ ≤ K rνΛ( ) ,
tobto f p∈Φ Λ( ) i spravdΩu[t\sq vkladennq (24).
Ob’[dnugçy spivvidnoßennq (24) ta (17), otrymu[mo (19).
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 3. Pry formulgvanni dano] teoremy u robotax [1, 4] bulo pro-
puweno umovu (18).
4. Pryklady. Qk vΩe zaznaçalos\, pytannq nasyçennq v S p
ϕ linijnyx me-
todiv pidsumovuvannq rqdiv Fur’[, wo zadagt\sq trykutnymy neskinçennymy
çyslovymy matrycqmy, rozhlqdalysq u robotax [1, 4] . Zokrema, bulo pokazano,
wo, qk i v periodyçnomu vypadku, metody Zyhmunda, Rohozyns\koho, Favara, a ta-
koΩ metod Valle Pussena, qkwo lim
( )
n
q n
n→∞
= 1 i n – q n( ) → cn < c, [ nasyçeny-
my v usix prostorax S
p
ϕ( )� nezaleΩno vid vyboru parametriv � , ϕ ta p. Dlq
cyx metodiv vkazano porqdky ta klasy nasyçennq. TakoΩ pokazano, wo metod
Valle Pussena v usix inßyx vypadkax ne [ nasyçenym v S
p
ϕ( )� .
U c\omu punkti vstanovymo, çy magt\ vlastyvist\ nasyçennq deqki vidomi
linijni metody, wo zadagt\sq poslidovnostqmy funkcij, vyznaçenyx na deqkij
pidmnoΩyni z C.
4.1. Uzahal\nenyj metod Abelq – Puassona vyznaça[t\sq poslidovnistg
funkcij Λ = λk r( ){ } takyx, wo
λk r( ) = r k s( – )1 , k = 1, 2, … , s > 0, 0 < r < 1, r → 1.
Cej metod [ nasyçenym v usix prostorax S
p
ϕ( )� , 1 ≤ p < ∞, z porqdkom nasyçen-
nq νΛ( )r = 1 – r, Φ Λ( )p = ψ ϕS p
, de
ψ( )k =
( – ) , , , ,
, .
–k k
k
s1 2 3
1 1
= …
=
Dijsno, oskil\ky v danomu vypadku
lim
– ( )
( )r
k r
r→1
1 λ
νΛ
= ( – )–k s1 , k = 2, 3, … ,
BΛ = 1{ }, velyçyny µk r( ) obmeΩeni (wo lehko pereviryty), to zhidno z teore-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
NASYÇENNQ LINIJNYX METODIV PIDSUMOVUVANNQ RQDIV FUR’{ … 827
mog/2 metod [ nasyçenym z porqdkom nasyçennq νΛ( )r = 1 – r i Φ Λ( )p = ψ ϕS p
.
U vypadku, koly s = 1, elementy U fr( ; )Λ c\oho metodu zbihagt\sq z opera-
toramy P fr( ), qki oznaçagt\sq rivnistg (5) i vidpovidagt\ zvyçajnomu metodu
Abelq – Puassona. Zvidsy vyplyva[, wo danyj metod takoΩ [ nasyçenym v usix
prostorax S
p
ϕ( )� , 1 ≤ p < ∞, z porqdkom nasyçennq νΛ( )r = 1 – r , pryçomu
klas nasyçennq Φ Λ( )p zbiha[t\sq z mnoΩynog ψ ϕS p
, de
ψ( )k =
( – ) , , , ,
, .
–k k
k
1 2 3
1 1
1 = …
=
4.2. Metod Rimana zada[t\sq poslidovnistg funkcij Λ = λk r( ){ }, qki vy-
znaçagt\sq rivnostqmy
λk r( ) =
sin( – )
( – )
k r
k r
h
1
1
, k = 2, 3, … , λ1( )r ≡ 1, h > 0, r ∈ { }R \ 0 , r → 0.
Danyj metod [ nasyçenym v usix prostorax S
p
ϕ( )� , 1 ≤ p < ∞, z porqdkom nasy-
çennq νΛ( )r = 1 –
sin r
r
h
, i Φ Λ( )p = ψ ϕS p
, de
ψ( )k =
( – ) , , , ,
, .
–k k
k
1 2 3
1 1
2 = …
=
Dijsno, v c\omu vypadku
lim
– ( )
( )r
k r
r→1
1 λ
νΛ
= ( – )k 1 2 , k = 2, 3, … ,
BΛ = 1{ }, a velyçyny µk r( ) [ obmeΩenymy. Tomu na pidstavi teoremy/2 metod [
nasyçenym z porqdkom nasyçennq νΛ( )r = 1 –
sin r
r
h
, i Φ Λ( )p = ψ ϕS p
.
4.3. Biharmoniçnyj metod Abelq – Puassona. V c\omu vypadku poslidov-
nist\ funkcij Λ = λk r( ){ } taka, wo
λk r( ) = 1
1
2
1 2 1+ ( )
k
r rk–
– – , k = 1, 2, … , 0 < r < 1, r → 1.
Cej metod takoΩ [ nasyçenym v usix prostorax S p
ϕ( )� , 1 ≤ p < ∞, z porqdkom
nasyçennq νΛ( )r = 1 – r r
2
3 2–( ), pryçomu klas nasyçennq Φ Λ( )p zbiha[t\sq z
mnoΩynog ψ ϕS p
, de ψ( )k ≡ 1, tobto Φ Λ( )p = S p
ϕ .
Dijsno, na pidstavi teoremy/2, oskil\ky
lim
– ( )
( )r
k r
r→1
1 λ
νΛ
= 1, k = 2, 3, … ,
BΛ = 1{ }, a velyçyny µk r( ) obmeΩeni, metod [ nasyçenym v usix prostorax
S p
ϕ( )� z porqdkom nasyçennq νΛ( )r = 1 – r r
2
3 2–( ), i Φ Λ( )p = S p
ϕ .
4.4. Metod modulq neperervnosti. Poslidovnist\ funkcij Λ = λk r( ){ }
c\oho metodu vyznaça[t\sq rivnostqmy
λk r( ) = ei k r( – )( – )1 1 , k ∈N , 0 < r < 1, r → 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
828 A. L. ÍYDLIÇ
Cej metod nasyçenyj v usix prostorax S
p
ϕ( )� , 1 ≤ p < ∞, z porqdkom nasyçennq
νΛ( )r = 1 – ei r( – )1 , i Φ Λ( )p = ψ ϕS p
, de
ψ( )k =
( – ) , , , ,
, .
–k k
k
1 2 3
1 1
1 = …
=
Spravdi, oskil\ky v c\omu vypadku
lim
– ( )
( )r
k r
r→1
1 λ
νΛ
= k – 1, k = 2, 3, … ,
BΛ = 1{ } i velyçyny µk r( ) obmeΩeni, to za teoremog/2 metod [ nasyçenym z
porqdkom nasyçennq νΛ( )r = 1 – ei r( – )1
, i Φ Λ( )p = ψ ϕS p
.
1. Íydliç A. L. Nasyçennq linijnyx metodiv pidsumovuvannq rqdiv Fur’[ u prostorax S p
ϕ //
Teoriq nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. –
2002. – 35. – S. 215 – 232.
2. Stepanec\ O. I., Íydliç A. L. Najkrawi n-çlenni nablyΩennq Λ -metodamy u prostorax
S p
ϕ // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 8. – S. 1107 – 1126.
3. Íydliç A. L. Najkrawi n-çlenni nablyΩennq Λ -metodamy u prostorax S p
ϕ // Ekstre-
mal\ni zadaçi teori] funkcij ta sumiΩni pytannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. –
2003. – 46. – S. 283 – 306.
4. Íydliç A. L. Pro nasyçennq linijnyx metodiv pidsumovuvannq rqdiv Fur’[ u prostorax S p
ϕ
// Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 1. – S. 33 – 138.
5. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
ϕ . – Kyev, 2000. – 52 s.
– (Preprynt/ NAN Ukrayn¥. Yn-t matematyky; 2000.2).
6. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj // Matematyka ta ]] zastosuvannq: Pr. In-tu
matematyky NAN Ukra]ny. – 2002. – 40, ç. 2. – S. 303 – 405.
7. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
ϕ // Ukr. mat. Ωurn. –
2001. – 53, # 3. – S. 392 – 416.
8. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e xarakterystyky prostranstv S p
ϕ v razn¥x metrykax
// Tam Ωe. – # 8. – S. 1121 – 1146.
9. Rukasov V. Y. Nayluçßye n-çlenn¥e pryblyΩenyq v prostranstvax s nesymmetryçnoj
metrykoj // Tam Ωe. – 2003. – 55, # 6. – S. 806 – 816.
10. Dzqd¥k V. K. Vvedenye v teoryg ravnomernoho pryblyΩenyq funkcyj polynomamy. – M.:
Nauka, 1977. – 511 s.
11. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj // Matematyka ta ]] zastosuvannq: Pr. In-tu
matematyky NAN Ukra]ny. – 2002. – 40, ç. 1. – S. 15 – 111.
12. Favard J. Sur l’approximation des fonctions d’une variable reele // Anal. Harmon. Colloq. Int.
Cent. Nat. Rech. Sci. – 1949. – 15. – P. 97 – 100.
13. Favard J. Sur la saturation des procedes de summation // J. math. pures et appl. – 1957. – 36, # 4.
– P. 359 – 372.
14. Alexets G. Sur l’otdre de grandeur de l’approximation d’une function par les moyennes de sa serie
de Fourier // Mat. es Fis. Lapok. – 1941. – 48. – P. 410 – 433.
15. Zygmund A. The approximation functions by typical of their Fourier series // Duke Math. J. – 1945.
– 12, # 4. – P. 695 – 704.
16. Havrylgk V. T., Stepanec A. Y. Vopros¥ nas¥wenyq lynejn¥x metodov // Ukr. mat. Ωurn. –
1991. – 43, # 3. – S. 291 – 308.
17. Butzer P., Nessel R. Fourier analysis and approximation. One-dimensional theory. – Basel; New
York, 1971. – 554 p.
OderΩano 11.06.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3198 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:04Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/c2c4129725124d9c14177dc823bf7a05.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31982020-03-18T19:48:06Z Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ Насичення лінійних методів підсумовування рядів Фур'є у просторах S pφ Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. We consider the problem of the saturation, in the spaces S p&phi; , of linear summation methods for Fourier series, which are determined by the sequences of functions defined on a subset of the space C. We obtain sufficient conditions for the saturation of such methods in these spaces. Рассматривается вопрос насыщения в пространствах S p&phi; линейных методов суммирования рядов Фурье, которые задаются произвольными последовательностями функций, определенных на некотором подмножестве пространства C. Установлены достаточные условия насыщения таких методов в этих пространствах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3198 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 6 (2008); 815 – 828 Український математичний журнал; Том 60 № 6 (2008); 815 – 828 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3198/3142 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3198/3143 Copyright (c) 2008 Shydlich A. L. |
| spellingShingle | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ |
| title | Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ |
| title_alt | Насичення лінійних методів підсумовування рядів Фур'є у просторах S pφ |
| title_full | Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ |
| title_fullStr | Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ |
| title_full_unstemmed | Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ |
| title_short | Saturation of the linear methods of summation of Fourier series in the spaces S pφ |
| title_sort | saturation of the linear methods of summation of fourier series in the spaces s pφ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3198 |
| work_keys_str_mv | AT shydlichal saturationofthelinearmethodsofsummationoffourierseriesinthespacesspph AT šidlíčal saturationofthelinearmethodsofsummationoffourierseriesinthespacesspph AT shydlichal nasičennâlíníjnihmetodívpídsumovuvannârâdívfur039êuprostorahspph AT šidlíčal nasičennâlíníjnihmetodívpídsumovuvannârâdívfur039êuprostorahspph |