Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle
We prove a necessary and sufficient condition of topological equivalence of smooth functions which are given on a circle and have a finite number of local extrema.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3199 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509247519850496 |
|---|---|
| author | Yurchuk, I. A. Юрчук, І. А. |
| author_facet | Yurchuk, I. A. Юрчук, І. А. |
| author_sort | Yurchuk, I. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:06Z |
| description | We prove a necessary and sufficient condition of topological equivalence of smooth functions which are given on a circle and have a finite number of local extrema. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 515.164.174
I. A. Grçuk (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
KOMBINATORNI ASPEKTY TOPOLOHIÇNO}
KLASYFIKACI} FUNKCIJ NA KOLI
We prove a necessary and sufficient condition of topological equivalence of smooth functions which are
given on a circle and have a finite number of local extrema.
Dokazano neobxodymoe y dostatoçnoe uslovye topolohyçeskoj πkvyvalentnosty hladkyx funk-
cyj, zadann¥x na okruΩnosty, s koneçn¥m çyslom lokal\n¥x πkstremumov.
V robotax [1, 2] vyvçagt\sq pytannq klasyfikaci] morsyfikacij osoblyvostej
hladkyx funkcij, topolohi] bifurkacijnyx diahram, a takoΩ opysano ]x zv’qzky
z kombinatorykog. Zokrema, bulo vstanovleno, wo u vypadku, koly çyslo
krytyçnyx toçok dorivng[ çyslu krytyçnyx znaçen\ funkci], wo zadana na
koli, ]] kombinatornym invariantom [ tak zvana zmiq (poslidovnist\ dodatnyx
cilyx çysel, qki zadovol\nqgt\ umovy x0 < x1 > x2 < … xn ). U danij roboti
rozhlqnuto zahal\nyj vypadok hladkyx funkcij na koli, qki magt\ skinçenne
çyslo lokal\nyx ekstremumiv. Osnovna meta polqha[ v pobudovi kombinatorno-
ho invarianta ta vstanovlenni kryterig topolohiçno] ekvivalentnosti dlq funk-
cij z danoho klasu.
1. Deqki kombinatorni vidomosti. Nahada[mo kil\ka oznaçen\, qki moΩna
znajty v [1, s.34].
Oznaçennq 1. Zmi[g typu An nazyva[t\sq poslidovnist\ dodatnyx cilyx
çysel xi, wo zadovol\nqgt\ umovy x0 < x1 > x2 < … xn , xi ≠ x j , de 0 ≤
≤ xi ≤ n.
Poslidovnist\ çysel, qki zadovol\nqgt\ systemu nerivnostej x0 < x1 > x2 <
< … xn ( x0 > x1 < x2 > … xn ), nazyva[t\sq up down (down up)-poslidovnistg.
Poznaçymo çerez an çyslo An -zmij i zapyßemo eksponencial\nu heneratry-
su çysla danyx zmij:
A t a t n
n
n
n( ) / !=
=
∞
∑
0
. (1)
U formuli (1) çysla an z neparnymy n utvorggt\ koefici[nty rozkladu
sekansa ta nazyvagt\sq çyslamy Ejlera (poznaçagt\ çerez Ei ), a z parnymy n
— koefici[nty rozkladu tanhensa v rqd Tejlora v nuli i nazyvagt\sq çyslamy
tanhensa ( )Ti . Ci çysla utvorggt\ trykutnyk typu Paskalq, z qkoho znaxodqt\
]x znaçennq. Navedemo perßi znaçennq çysel Ti :
i 1 2 3 4 5 6
Ti 1 2 16 272 7936 353792
Oznaçennq 2. Elementarnog zmi[g typu Lm
n
nazvemo poslidovnist\ do-
datnyx cilyx çysel xi, wo zadovol\nqgt\ umovy x0 < x1 > x2 < … xn , xi ≠
≠ x j , de 0 ≤ xi ≤ m, m > n.
Poznaçymo çyslo elementarnyx zmij typu Lm
n
çerez lm
n
.
Lema 1. Çyslo lm
n
elementarnyx zmij Lm
n
dorivng[ çyslu C am
n
n+
+
1
1
, de
an — çyslo An -zmij.
© I. A. GRÇUK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 829
830 I. A. GRÇUK
Dovedennq. Ne obmeΩugçy zahal\nosti, rozhlqnemo zmig Lm
n
: x0 < x1 >
> x2 < … xn , xi ≠ x j , de 0 ≤ xi ≤ m , m > n. Todi znajdemo min
i
ix{ } = x j1
ta
poklademo x j1
= 0, { ′}xi = { }x xi j\
1
. Dali, znajdemo min
i
ix{ ′} = x j2
ta poklade-
mo x j2
= 1, { ′′}xi = { ′}x xi j\
2
i t.3d. V rezul\tati my mnoΩyni { }xi postavymo u
vidpovidnist\ mnoΩynu {0, 1, … , n}. Skorystavßys\ umovog xi ≠ x j , otryma[-
mo zmig typu An . Zrozumilo, wo binomial\nyj koefici[nt vynyka[ qk çyslo
moΩlyvyx variantiv vyboru n + 1 çysla z m + 1, oskil\ky m > n.
Lemu dovedeno.
Oznaçennq 3. Zmi[g typu Rm
n
nazyva[t\sq poslidovnist\ dodatnyx cilyx
çysel xi, qki zadovol\nqgt\ umovy x0 < x1 > x2 < … xn , de 0 ≤ xi ≤ m , m <
< n, i dlq bud\-qkoho k, k ∈ [ 0, … , m], isnu[ prynajmni odne znaçennq i, i ∈
∈ [ 0, … … , n] , take, wo xi = k.
U vypadku, koly m = n, çyslo Rm
n
-zmij dorivng[ çyslu An -zmij. Poznaçy-
mo çerez αm k
n
, çyslo Rm
n
-zmij, v qkyx x0 = 0 i k = x1 – x0 – 1 = x1 – 1.
TverdΩennq 1. Dlq bud\-qkyx n, m ∈ N spravdΩu[t\sq rivnist\
α α αm k
n
j m k
m
m j
n
j m k
m
m j
n
, , ,
+
= − −
−
= − −
−
−= +∑ ∑1
1
1
1
2
1 , (2)
de 0 ≤ k ≤ m – 1.
Dovedennq. Ne obmeΩugçy zahal\nosti, znajdemo znaçennq αm k
n
,
+1
, de n,
m ∈ N , 0 ≤ k ≤ m – 1. Zhidno z poznaçennqmy, ce çyslo poslidovnostej, wo
zadovol\nqgt\ systemu nerivnostej
0 < k + 1 > x2 < x3 > … , (3)
de 0 ≤ x2 ≤ k. ZauvaΩymo, wo çyslo takyx poslidovnostej dorivng[ çyslu
poslidovnostej vyhlqdu
x2 < x3 > x4 < … , (4)
de 0 ≤ x2 ≤ k. Rozhlqnemo dyfeomorfizm f : R1 → R
1
, qkyj zming[ naprqm
osi, i zapyßemo (4) u vyhlqdi ′x2 > ′x3 < … , de m – k ≤ ′x2 ≤ m . V otrymanij
systemi nerivnostej, zapysavßy zliva nul\, oderΩymo 0 < ′x2 > ′x3 < … . Rozhlq-
nemo dvi moΩlyvosti: qkwo isnu[ ′x j = m, to ]x çyslo dorivng[
i m k
m
m i
n
= − −
−∑ 1
1 α , ,
v protyleΩnomu vypadku ce çyslo
i m k
m
m i
n
= − −
−
−∑ 1
2
1α , . Dali, dodavßy ci dva
çysla, otryma[mo (2). Zaznaçymo, wo ostannq suma vynyka[ z umovy, qkwo u
poslidovnosti (3) lyße x0 = 0, a inßi xi ≠ 0, a pry dyfeomorfizmi f nulevi
vidpovida[ m.
Naslidok 1. Dlq bud\-qkyx n , m ∈ N spravdΩu[t\sq rivnist\ αm
n
,0
1+ =
= αm m
n
, −1 .
Zrozumilo, wo rivnist\ (2) — ce rekurentne spivvidnoßennq, qke pov’qzu[
çyslo Rm
n
-zmij z çyslom Rm
n +1
-zmij. U tabl.31 navedeno znaçennq αm k
n
, dlq vy-
padkiv, koly n = 2 6, .
Poznaçymo çerez µm
n
çyslo Rm
n
-zmij, dlq qkyx til\ky x0 = 0, a vsi inßi
xi ≠ 0, i ∈ [ 1, … , n] . Oçevydno, wo vykonu[t\sq nerivnist\ µm
n <
i
m
m i
n
=
−∑ 1
1α , .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
KOMBINATORNI ASPEKTY TOPOLOHIÇNO} KLASYFIKACI} FUNKCIJ NA KOLI 831
Tablycq 1
m
n
2 3 4 5 6
k
0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 0 1 1 2 2 4 4 7 7 12
3 0 1 1 1 4 5 5 13 16 16 36 45
4 0 1 2 2 2 9 14 15 15 45 67 74
5 0 2 4 5 5 5 25 43 54 56
6 0 5 10 14 16 16
Σ 2 6 22 102 562
Naslidok 2. Dlq bud\-qkyx n, m ∈ N spravdΩu[t\sq rivnist\
µ α µm
n
i
m
m i
n
m
n
+
=
−
= −∑1
0
1
, . (5)
Dovedennq. Pobudu[mo poslidovnist\ x0 < x1 > x2 < … xn , de xi ≠ 0, 0 <
< xi ≤ m + 1, i ∈ [ 1, … , n] , vraxovugçy, wo 0 < x1 > x2 < … xn , de 0 ≤ xi ≤ m ,
i ∈ [ 1, … , n] , za dopomohog dodavannq çysla 1 do vsix çleniv, krim x0 = = 0.
Pry c\omu z çysla pobudovanyx poslidovnostej vyklgça[mo çyslo tyx, de ne
isnugt\ i ∈ [ 1, … , n] , dlq qkyx xi = 0, v protyleΩnomu vypadku v utvorenij
poslidovnosti ne isnuvatyme xi = 1 i 0 ≤ xi ≤ m. A ce rivnosyl\ne tomu, wob vid
çysla vsix poslidovnostej vidnqty çyslo µm
n
.
Naslidok dovedeno.
U tabl.32 navedeno znaçennq çysel µm
n
pry n = 3, … , 9. Zhidno z spivvidno-
ßennqm (5) çyslo µ4
5 = α3 0
5
, + α3 1
5
, + α3 2
5
, – µ3
5 = 5 + 13 + 16 – 10 = 24. Zro-
zumilo, wo µn
n
= an−1.
Tablycq 2
m
n
3 4 5 6 7 8 9
2 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 10 18 31 52 86
4 5 24 79 223 579 1432
5 16 122 602 2439 8856
6 61 680 4682 25740
7 272 4155 38072
8 1385 27776
9 7936
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
832 I. A. GRÇUK
Zaznaçymo, wo vsi znaçennq çysel αm k
n
, ta µm
n
u tabl.31 i 2 otrymano
analohiçno za dopomohog rekurentnyx spivvidnoßen\.
2. Okremi vypadky funkcij na S
1
. Poznaçymo çerez S1
kolo, tobto
mnoΩynu kompleksnyx çysel z takyx, wo z = 1. Dali budemo rozhlqdaty S1
qk dyferencijovnyj mnohovyd rozmirnosti 1. Zadamo na S1
ori[ntacig i roz-
hlqnemo dovil\nu hladku funkcig f na S1
zi skinçennym çyslom lokal\nyx
ekstremumiv. Slid zaznaçyty, wo çyslo lokal\nyx ekstremumiv zavΩdy [ par-
nym. Poznaçymo çerez mi ta Mj , i , j = 1, n , vidpovidno toçky minimumu ta
maksymumu dano] funkci]. Ruxagçys\ po kolu v zadanomu naprqmi ta numerugçy
okremo lokal\ni minimumy ta maksymumy, otryma[mo odnu z dvox moΩlyvyx po-
slidovnostej, qki utvorggt\ lokal\ni ekstremumy: M1, m1 , M2 , … , Mn , mn
abo m1 , M1, m2 , … , mn , Mn . Oçevydno, wo perßa poslidovnist\ ma[ misce todi,
koly my rozpoçyna[mo rux z lokal\noho maksymumu funkci], a druha — z lo-
kal\noho minimumu.
Nahada[mo, wo funkci] f ta g, qki zadani na koli, nazyvagt\sq topolohiçno
ekvivalentnymy, qkwo isnugt\ homeomorfizmy h : S1
→ S1
i r : R1
→ R1
, qki
zberihagt\ ori[ntacig i taki, wo f = r−1 � g � h.
Oznaçennq 4. Funkciq f nazyva[t\sq special\nog, qkwo v dovil\nyx dvox
lokal\nyx ekstremumax vona nabuva[ riznyx znaçen\.
ZauvaΩymo, wo topolohiçni klasyfikaci] funkcij Morsa zahal\noho polo-
Ωennq ta special\nyx funkcij na koli zbihagt\sq.
Teorema 1. Çyslo topolohiçno neekvivalentnyx special\nyx funkcij f, za-
danyx na S1
, z 2n lokal\nymy ekstremumamy dorivng[ Tn .
Dovedennq. Rozhlqnemo S1
ta special\nu funkcig f, qka ma[ 2n lokal\-
nyx ekstremumiv. ZauvaΩymo, wo sered lokal\nyx ekstremumiv zavΩdy isnugt\
dvi toçky hlobal\noho minimumu ta maksymumu. Ne obmeΩugçy zahal\nosti,
poçynagçy z hlobal\noho minimumu ta v zadanomu naprqmi na S1
, poznaçymo
lokal\ni ekstremumy çerez x0 , x1, x2 , … , x n2 1− i otryma[mo poslidovnist\
znaçen\ funkci] y0 = f x( )0 , y1 = f x( )1 , y2 = f x( )2 , … , y n2 1− = f x n( )2 1− , qki
zadovol\nqgt\ systemu nerivnostej y0 < y1> … < y n2 3− > y n2 2− < y n2 1− . Zada-
mo vidobraΩennq yi → zi , de i, zi ∈ [ 0, 1, … , 2n – 1] i zi dorivng[ çyslu
znaçen\ yl takyx, wo yl < yi . Çysla zi utvorggt\ up down-poslidovnist\,
qka vyznaça[ A n2 1− -zmig. ZauvaΩymo, wo ce vidobraΩennq [ vza[mno odnoznaç-
nym: topolohiçno neekvivalentnym funkciqm vidpovidagt\ rizni zmi] i, navpaky,
koΩna zmiq realizu[ deqku funkcig. Otrymanu zmig moΩemo zapysaty takym
çynom:
0 < z1 > z2 < … z n2 1− . (6)
Poznaçymo çyslo takyx zmij çerez ′ −a n2 1. Oçevydno, wo vykonu[t\sq neriv-
nist\ ′ −a n2 1 < a n2 1− . Dovedemo, wo ′ −a n2 1 = a n2 2− , abo, wo te Ω same, çyslu
Tn . Zapyßemo danu systemu nerivnostej u vyhlqdi
z1 > z2 < … < z n2 1− , (7)
de 2 ≤ z1 ≤ 2n – 1, ta otryma[mo down up-poslidovnist\. ZauvaΩymo, wo çysla
poslidovnostej (6) ta (7) rivni miΩ sobog. Za dopomohog homeomorfizmu osi z,
qkyj zming[ naprqm osi i zberiha[ porqdok, peretvorymo (7) u up down-poslidov-
nist\ ta otryma[mo ′z0 < ′z1 > … ′ −z n2 2 , de 0 ≤ ′z0 ≤ 2n – 3. Zvidsy vyplyva[, wo
çyslo poslidovnostej dorivng[ çyslu a n2 2− .
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
KOMBINATORNI ASPEKTY TOPOLOHIÇNO} KLASYFIKACI} FUNKCIJ NA KOLI 833
ZauvaΩennq 1. U roboti [2, s.3550] vkazano, wo çyslo topolohiçno neekviva-
lentnyx special\nyx funkcij na koli dorivng[ çyslu En , a ne Tn .
ZauvaΩennq 2. L. I. Nicolaescu v [3] doviv hipotezu Arnol\da pro te, wo dlq
çysla topolohiçno neekvivalentnyx funkcij Morsa zahal\noho poloΩennq f :
S2 → R z 2n + 2 krytyçnymy toçkamy spravdΩu[t\sq rivnist\
lim
log ( )
logn
g n
n n→∞
= 2 .
Qkwo poznaçyty çerez G n( ) çyslo topolohiçno neekvivalentnyx special\-
nyx funkcij f : S1 → R z 2n + 2 krytyçnymy toçkamy, to
lim
log ( )
logn
G n
n n→∞
= 2 .
Oskil\ky G n( ) = Tn i dlq Tn ma[ misce spivvidnoßennq Tn =
=
2 2 1
2
2 2n n
nn
B
( )−
, Bn ∼
2 2
22 2
( )!n
n nπ
, to zapyßemo Tn ∼
2 2 1 2 12
2
( )( )!n
n
n− −
π
i, zhidno z
formulog Stirlinha n! = 2π n
n + 1
2 e en n
n
−
θ
12
, otryma[mo
lim
log ( )
logn
G n
n n→∞
= lim
log
( )( )!
logn
n
n
n
n n→∞
− −
2 2 1 2 12
2π
=
= lim
log log
logn
n n n
n n→∞
+2 2 2
π + θ( )n = 2,
de θ( )n → 0 pry n → ∞.
TverdΩennq 2. Çyslo topolohiçno neekvivalentnyx funkcij f z 2n lo-
kal\nymy ekstremumamy, sered qkyx lyße odyn hlobal\nyj minimum (maksymum)
ta k riznyx znaçen\, qkyx nabuva[ funkciq v danyx ekstremumax (k < 2n), do-
rivng[ µk
n
−
−
1
2 1
.
Dovedennq. Ne obmeΩugçy zahal\nosti, rozhlqnemo vypadok [dynoho hlo-
bal\noho minimumu. Todi, poçynagçy z n\oho, v zadanomu naprqmi na S1
pozna-
çymo lokal\ni ekstremumy çerez x0 , x1, x2 , … , x n2 1− i otryma[mo nastupnu
poslidovnist\ krytyçnyx znaçen\ funkci] y0 , y1, y2, … , y n2 1− , sered qkyx [ k
riznyx. Zadamo vidobraΩennq yi → zi , de zi ∈ [0, … , k] i dorivng[ çyslu
krytyçnyx znaçen\ yl takyx, wo yl < yi . Zhidno z umovog, isnu[ [dynyj lo-
kal\nyj ekstremum — minimum x0 , dlq qkoho z0 = 0. Ruxagçys\ po kolu v
zadanomu naprqmi, utvorg[mo deqku poslidovnist\ cilyx çysel 0 < z1 > z2 < …
… < z n2 1− , de zi ≠ 0, zi ≤ k – 1. Todi, zhidno z oznaçennqm, ce zmiq typu Rk
n
−
−
1
2 1
,
do toho Ω lyße z0 = 0, a vsi inßi zi ≠ 0. Çyslo takyx zmij dorivng[ µk
n
−
−
1
2 1
.
Zaznaçymo, wo dlq dovedennq tverdΩennq u vypadku odnoho hlobal\noho
maksymumu dostatn\o rozhlqnuty funkcig ( )− f .
ZauvaΩennq 3. Pry znaxodΩenni çysla topolohiçno neekvivalentnyx
funkcij u dovedenni tverdΩennq 2 sutt[vym bulo te, wo my odnoznaçno poçy-
naly buduvaty zmig z hlobal\noho minimumu. U vypadku dovil\no] funkci] f,
zadano] na S1
, odnoznaçno] vidpovidnosti miΩ funkci[g ta zmi[g ne isnu[. Roz-
hlqnemo odnu j tu Ω funkcig vysoty na koli (rysunok), ale, poçynagçy budu-
vaty zmig z „riznyx” hlobal\nyx minimumiv, my utvorymo rizni zmi].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
834 I. A. GRÇUK
Funkciq z dvoma hlobal\nymy minimumamy ta maksymumamy
i vidpovidni ]j rizni zmi].
3. Zahal\nyj vypadok funkcij na S
1
. Nexaj f : S1 → R — deqka hladka
funkciq zi skinçennym (2n) çyslom lokal\nyx ekstremumiv, sered qkyx m hlo-
bal\nyx maksymumiv ta k riznyx znaçen\, qkyx nabuva[ funkciq v 2n ekstre-
mumax (k < 2n). Zrozumilo, wo todi sered lokal\nyx ekstremumiv isnu[ pry-
najmni dva, znaçennq funkci] v qkyx zbihagt\sq. Dali pid funkci[g f budemo
rozumity lyße taku, wo zadovol\nq[ vkazani vywe umovy.
Pobudu[mo kombinatornyj invariant dlq funkci] f. Zafiksu[mo deqkyj
naprqm obxodu na koli i poznaçymo m hlobal\nyx maksymumiv çerez x0 , x1, …
… , xm −1. Dlq koΩnoho xi znajdemo duhu Si
0
taku, wo znaçennq funkci] yi v
lokal\nyx ekstremumax duhy Si
0
[ riznymy. Pry c\omu kincqmy danyx duh bu-
dut\ lokal\ni minimumy. Nexaj x i1, — perßyj lokal\nyj ekstremum (minimum),
wo leΩyt\ na koli za maksymumom xi v naprqmi, protyleΩnomu do naprqmku
obxodu, a xi,1
— perßyj ekstremum (minimum) v naprqmi, wo zbiha[t\sq z na-
prqmkom obxodu, x i2, i xi,2
— vidpovidno druhi i t.3d. Utvorymo poslidovnist\
lokal\nyx ekstremumiv x
l ii ,
, … , x i1, , xi, xi,1, … , xi ri, +1
, wo vidpovida[ hlobal\-
nomu maksymumu xi i naleΩyt\ duzi Si
0
, kincqmy qko] [ x
l ii ,
i xi ri, +1
(lo-
kal\ni minimumy). KoΩnij takij poslidovnosti ekstremumiv vidpovida[ poslidov-
nist\ znaçen\ funkci]. Oskil\ky vony [ riznymy i lokal\nyj minimum çerhu[t\sq
z lokal\nym maksymumom, to ma[ misce systema nerivnostej y
l ii ,
< … > y i1, <
< yi > yi,1 < … < yi ri,
(vidkynemo znaçennq yi ri, +1
, wo vidpovida[ xi ri, +1
), a
zhidno z oznaçennqm ce [ elementarna zmiq Lk
l ri i
−
+
1 . Pry c\omu moΩlyvi taki
vypadky:
S1) S Sj j
0
1
0∩ + = ∅;
S2) S S x xj j
j t
t j
j
j
0
1
0 1
1
2
1
1∩ +
+
+
= = +
,
,
;
S3) S S Sj j j j
0
1
0
1
0∩ + += , , de Sj j, +1
0 ⊂ Sj
0 ∪ Sj +1
0
.
Najprostißymy [ vypadky S1 ta S2, v qkyx duhy, wo vidpovidagt\ hlobal\-
nym maksymumam xi, abo ne magt\ spil\nyx toçok, abo magt\ lyße odnu — lo-
kal\nyj minimum. U vypadku S3 poslidovnist\ ekstremumiv duhy Sj j, +1
0
moΩemo
zapysaty u vyhlqdi x j r, ′ , … , x j ri, +1
abo x
l jj + +1 1,
, … , xl j′ +, 1, de xk j, +1 ∈ Sj +1
0 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
KOMBINATORNI ASPEKTY TOPOLOHIÇNO} KLASYFIKACI} FUNKCIJ NA KOLI 835
x j k, ∈ Sj
0
. Zrozumilo, wo znaçennq funkci] v cyx lokal\nyx ekstremumax
utvorggt\ elementarnu zmig.
Todi z dvox danyx duh utvorymo try, odna z qkyx Sj j, +1
0
, a inßi dvi taki, wo
S Sj j j
0
1
0\ , + i S Sj j j+ +1
0
1
0\ , . Perepoznaçymo otrymani duhy i zapyßemo nastupne
rozbyttq: Γ0 =
i
n
iS
= 0
0∪ ˜
(zrozumilo, wo v zahal\nomu vypadku n ≥ m – 1).
Dali, rozhlqnemo S1
0\ Γ = ∪ γ i
0
, de ∩ γ i
0 = ∅. Dlq koΩno] z duh γ i
0
znaj-
demo lokal\ni maksymumy, znaçennq funkci] v qkyx [ najbil\ßym, ta utvorymo
rozbyttq duh γ i
0
na Γ1
i =
s
i sS∪ ,
1
, de koΩnij duzi Si s,
1
vidpovida[ elementarna
zmiq, utvorena znaçennqmy funkci] v lokal\nyx ekstremumax, qki ]j naleΩat\.
Dali rozhlqnemo S1
0\ Γ ∪ Γ1
i
= γ i
1
ta za analohi[g dlq koΩno] z duh γ i
1
znaj-
demo lokal\ni maksymumy, znaçennq funkci] v qkyx [ najbil\ßym, i t.3d. Os-
kil\ky çyslo lokal\nyx ekstremumiv [ skinçennym, to za deqke çyslo krokiv my
rozib’[mo kolo S1
na duhy S̃i , qkym vidpovidagt\ elementarni zmi] Lk
ai
−1 . Slid
zaznaçyty, wo dlq dovil\no] pary susidnix duh S̃i −1 ta S̃i ma[ misce umova3S2.
Oznaçennq 5. Ω( )f -rozbyttqm kola, wo vidpovida[ deqkij funkci] f, naz-
vemo joho rozbyttq na duhy Si z kincqmy v lokal\nyx minimumax i taki, wo
znaçennq funkci] v lokal\nyx ekstremumax danyx duh utvorggt\ elementarni
zmi] Lk
ai
−1 .
Lema 2. Dlq dovil\no] funkci] f isnu[ i do toho Ω [dyne, z toçnistg do
cykliçnoho porqdku duh Si , Ω( )f -rozbyttq.
Dovedennq vyplyva[ z navedenyx vywe mirkuvan\ ta odnoznaçnosti pobudovy
Ω( )f -rozbyttq.
Oznaçennq 6. Dva rozbyttq Ω( )f ta Ω( )g kola nazvemo izomorfnymy
( Ω( )f ∼ Ω( )g ), qkwo:
1)33dlq dovil\no] duhy Si ⊂ Ω( )f isnu[ [dyna duha ′Sj ⊂ Ω( )g taka, wo vid-
povidni ]m elementarni zmi] Lk
ai
−1 ta Lk
bj
−1 zbihagt\sq;
2)33cykliçnyj porqdok vidpovidnyx duh rozbyttiv Ω( )f ta Ω( )g zbiha-
[t\sq.
Teorema 2. Dvi funkci] f ta g na koli topolohiçno ekvivalentni todi i
til\ky todi, koly Ω( )f ∼ Ω( )g .
Dovedennq. Neobxidnist\ vyplyva[ z lemy 2 ta oznaçennq topolohiçno] ek-
vivalentnosti.
Dostatnist\. Nexaj f ta g — deqki funkci] na koli taki, wo Ω( )f ∼
∼ Ω( )g , de Ω( )f i Ω( )g — rozbyttq kola, wo ]m vidpovidagt\. Dovedemo, wo
funkci] f ta g topolohiçno ekvivalentni. Zrozumilo, wo çyslo duh dlq Ω( )f
ta Ω( )g odne j te Ω, poklademo joho rivnym q. Oskil\ky nabory çysel { }ai i
{ }bj zbihagt\sq, to çysla lokal\nyx ekstremumiv funkcij f ta g, qki vyznaça-
gt\sq za dopomohog rivnostej
i ia∑ + q ta
j jb∑ + q vidpovidno, rivni miΩ
sobog.
Ne obmeΩugçy zahal\nosti, rozhlqnemo S0 ⊂ Ω( )f . Todi zhidno z oznaçen-
nqm isnu[ ′Si ⊂ Ω( )g taka, wo Lk
a
−1
0 = ′ −Lk
bi
1 i a0 = bi .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
836 I. A. GRÇUK
Zapyßemo nastupni dvi poslidovnosti, wo utvoreni elementarnymy zmiqmy:
( Lk
a
−1
0 , Lk
a
−1
1 , … , ′ −Lk
aq
1) ta ( ′ −Lk
bi
1, ′ −
+Lk
bi
1
1 , … , ′ −
−Lk
bi
1
1 ). Zrozumilo, wo vony zbiha-
gt\sq i f ∼ g.
Teoremu dovedeno.
Znajdemo verxng ocinku çysla N f g( , ) topolohiçno neekvivalentnyx funk-
cij iz zadanym invariantom: Ω( )f = Lk
t
−1
0 , Lk
t
−1
1 , … , Lk
tq
−1 . Zhidno z lemog 1
lk
ti
−1 = C ak
t
t
i
i
+1
. Prote slid zauvaΩyty, wo, po-perße, vybir znaçennq ti +1 z na-
boru {0, 1, … , k – 1} dlq zmi] Lk
ti
−
+
1
1
zaleΩyt\ vid vyboru çysel, wo utvorggt\
poperedng zmig Lk
ti
−1 , tomu çyslo takyx moΩlyvostej menße za koefici[nt
Ck
ti +1
. I po-druhe, ne vsi zmi] typu Ati
moΩlyvi, oskil\ky poloΩennq ostann\o-
ho maksymumu zmi] Lk
ti
−1 zaleΩyt\ vid poloΩennq perßoho minimumu nastupno]
zmi] Lk
ti
−
+
1
1
. Tomu, vraxuvavßy cykliçnyj porqdok q + 1 çysla duh na koli, otry-
ma[mo ocinku zverxu
Θ( ) !q q C a C a C ak
t
t k
t
t k
t
t
q
q
= …+ + +0
0
1
1
1 1 1
. (8)
Lema 3. Dlq çysla N f q( , ) topolohiçno neekvivalentnyx funkcij iz zada-
nym invariantom Ω( )f = Lk
t
−1
0 , Lk
t
−1
1 , … , Lk
tq
−1 vykonu[t\sq N f q( , ) < Θ( )q ,
de çyslo Θ( )q zadovol\nq[ rivnist\ (8).
ZauvaΩymo, wo N f q( , ) = Θ( )q u vypadku, koly q = 1, tobto f [ special\-
nog funkci[g.
4. Vysnovky. V danij statti pobudovano kombinatornyj invariant hladkyx
funkcij, zadanyx na koli, zi skinçennym çyslo lokal\nyx ekstremumiv. Rozhlq-
nuto vypadok, koly çyslo krytyçnyx znaçen\ funkci] ne dorivng[ çyslu lo-
kal\nyx ekstremumiv. Invariantom tako] funkci] [ Ω( )f -rozbyttq kola S1
na
duhy Si , znaçennq funkci] v ]x lokal\nyx ekstremumax utvorggt\ elementarni
zmi]. Dovedeno, wo neobxidnog ta dostatn\og umovog topolohiçno] ekvivalent-
nosti funkcij f ta q, zadanyx na koli, [ izomorfizm rozbyttiv Ω( )f ta Ω( )g ,
wo ]m vidpovidagt\.
1. Arnol\d V. Y. Ysçyslenye zmej y kombynatoryka çysel Bernully, ∏jlera y Sprynhera
hrupp Kokstera // Uspexy mat. nauk. – 1992. – 47, v¥p. 1 (283). – S. 3 – 45.
2. Arnold V. I. Bernoulli – Euler updown numbers, associated with function singularities, their
combinatorics and a mathematics // Duke Math. J. – 1991. – 63, # 2. – P. 537 – 555.
3. Nicolaescu L. I. Morse functions statistics // arXiv: math.GT/0604437 vI 20 Apr 2006.
OderΩano 23.08.06,
pislq doopracgvannq — 27.04.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3199 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:04Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cb/af20a1f159c21418b0f081a26c07d2cb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31992020-03-18T19:48:06Z Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle Комбінаторні аспекти топологічної класифікації функцій на колі Yurchuk, I. A. Юрчук, І. А. We prove a necessary and sufficient condition of topological equivalence of smooth functions which are given on a circle and have a finite number of local extrema. Доказано необходимое и достаточное условие топологической эквивалентности гладких функций, заданных на окружности, с конечным числом локальных экстремумов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3199 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 6 (2008); 829–836 Український математичний журнал; Том 60 № 6 (2008); 829–836 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3199/3144 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3199/3145 Copyright (c) 2008 Yurchuk I. A. |
| spellingShingle | Yurchuk, I. A. Юрчук, І. А. Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| title | Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| title_alt | Комбінаторні аспекти топологічної класифікації функцій на колі |
| title_full | Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| title_fullStr | Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| title_full_unstemmed | Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| title_short | Combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| title_sort | combinatorial aspects of the topological classification of functions on a circle |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3199 |
| work_keys_str_mv | AT yurchukia combinatorialaspectsofthetopologicalclassificationoffunctionsonacircle AT ûrčukía combinatorialaspectsofthetopologicalclassificationoffunctionsonacircle AT yurchukia kombínatorníaspektitopologíčnoíklasifíkacíífunkcíjnakolí AT ûrčukía kombínatorníaspektitopologíčnoíklasifíkacíífunkcíjnakolí |