On conditions for Dirichlet series absolutely convergent in a half-plane to belong to the class of convergence
For a Dirichlet series $F(s) = \sum^{\infty}_{n=0}a_n \exp \{s\lambda_n\}$ with the abscissa of absolute convergence $\sigma_a = 0$, let $M(\sigma) = \sup\{|F(\sigma+it)|:\;t \in {\mathbb R}\}$ and $\mu(\sigma) = \max\{|a_n| \exp(\sigma \lambda_n):\;n \geq 0\},\quad \sigma < 0.$ It is prov...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3202 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| Резюме: | For a Dirichlet series $F(s) = \sum^{\infty}_{n=0}a_n \exp \{s\lambda_n\}$ with the abscissa of absolute convergence
$\sigma_a = 0$, let $M(\sigma) = \sup\{|F(\sigma+it)|:\;t \in {\mathbb R}\}$ and $\mu(\sigma) = \max\{|a_n| \exp(\sigma \lambda_n):\;n \geq 0\},\quad \sigma < 0.$
It is proved that the condition $\ln \ln n = o(\ln \lambda_n),\;n\rightarrow\infty$,
is necessary and sufficient for equivalence of relations $\int^0_{-1}|\sigma|^{\rho-1}\ln M(\sigma)d\sigma < +\infty$
and $\int^0_{-1}|\sigma|^{\rho-1}\ln \mu(\sigma)d\sigma < +\infty,\quad \rho > 0,$ for each such series. |
|---|