Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle
We investigate a Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle in a class of compact sets whose boundary divides the plane into several components.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3204 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509253337350144 |
|---|---|
| author | Tkachuk, M. V. Ткачук, М. В. |
| author_facet | Tkachuk, M. V. Ткачук, М. В. |
| author_sort | Tkachuk, M. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:06Z |
| description | We investigate a Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle in a class of compact sets whose boundary divides the plane into several components. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 514.17+513.83
M. V. Tkaçuk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
XARAKTERYZACIQ KOLA
TYPU BEZYKOVYÇA – DANCERA
The Besicovich – Danzer-type characterization of a circle is investigated in the class of compacts, whose
boundary divides a plane on some components.
Yssledovana xarakteryzacyq okruΩnosty typa Bezykovyça – Dancera v klasse kompaktov,
hranyca kotor¥x delyt ploskost\ na neskol\ko komponent.
V. Mizel\ postavyv pytannq: çy [ virnym tverdΩennq pro te, wo dovil\na opuk-
la zamknena kryva na plowyni [ kolom, qkwo ne isnu[ prqmokutnyka, wo ma[
rivno try svo] verßyny na kryvij, a çetvertu poza neg?
V 1961 r. A. Bezykovyç [1] dav stverdnu vidpovid\ na ce pytannq, prote joho
dovedennq bulo dosyt\ skladnym. Pizniße L. Dancer [2] opublikuvav heomet-
ryçne dovedennq c\oho tverdΩennq i zaproponuvav pereviryty, çy ma[ misce
tverdΩennq pry poslablenni umovy opuklosti. Pislq c\oho T.@Zamfiresku [3]
doviv tverdΩennq dlq zamkneno] Ωordanovo] kryvo], a takoΩ poslabyv umovu
prqmokutnyka (zamist\ dovil\nyx prqmokutnykiv rozhlqdagt\sq til\ky taki, u
qkyx vidnoßennq dovΩyny menßo] storony do dovΩyny bil\ßo] ne perevywu[
zadanoho çysla).
U cij statti dane tverdΩennq dovedeno dlq dovil\no] kompaktno] mnoΩyny,
meΩa qko] rozbyva[ plowynu na dekil\ka komponent. Vymoha kompaktnosti
mnoΩyny vyklykana metodom dovedennq teoremy, a bez vymohy rozbyttq plowy-
ny klas takyx mnoΩyn istotno rozßyrg[t\sq. Napryklad, umovu ( ∗ ) zadovol\-
nqgt\ nastupni mnoΩyny: mnoΩyna iz tr\ox toçok na plowyni taka, wo trykut-
nyk iz verßynamy v cyx toçkax [ hostrokutnym; duha kola, radianna velyçyna
qko] menßa π ; mnoΩyna Λ = { / }( , ) ,x y x y y2 2 1 1 2+ = ≤ ; mnoΩyna racio-
nal\nyx toçok na plowyni.
U podal\ßomu dlq dovedennq teoremy znadoblqt\sq nastupni oznaçennq.
Oznaçennq!1. Prqma l nazyva[t\sq opornog do mnoΩyny F v toçci x
na ]] meΩi, qkwo vona proxodyt\ çerez x i mnoΩyna F leΩyt\ v zamknenij piv-
plowyni, wo obmeΩena prqmog l.
Oznaçennq!2. Kut p nazyva[t\sq opornym do mnoΩyny F v toçci x na
]] meΩi, qkwo toçka x [ joho verßynog, a mnoΩyna F leΩyt\ u zamykanni
odni[] z komponent, na qki kut p rozbyva[ plowynu, i ne leΩyt\ v Ωodnij inßij
mnoΩyni, obmeΩenij kutom iz verßynog v toçci x .
Teorema. KoΩna kompaktna mnoΩyna σ na plowyni, wo zadovol\nq[ umovu
( ∗ ) (qkwo try verßyny prqmokutnyka naleΩat\ σ , to j çetverta verßyna
naleΩyt\ σ ) i meΩa qko] dilyt\ plowynu na dekil\ka komponent, [ opuklog
kryvog.
Dovedennq. Viz\memo dovil\ni toçky x ∈ σ i y ∈ σ taki, wo ρ ( x, y ) =
= max ( , )
t
x t
∈σ
ρ . Çerez y provedemo prqmu, perpendykulqrnu prqmij xy ; cq prq-
ma ne peretyna[ σ za raxunok vyboru toçky y . Todi za umovog ( ∗ ) i prqma lx ,
wo proxodyt\ çerez toçku x perpendykulqrno prqmij xy , peretyna[ σ til\ky
v toçci x . OtΩe, dlq koΩno] toçky x ∈ σ isnu[ prqma lx , qka peretyna[ σ
til\ky v cij toçci. Zvidsy bezposeredn\o vyplyva[, wo vnutrißnist\ σ poroΩ-
nq, a koΩna obmeΩena komponenta dopovnennq do σ [ opuklog. Perße tverd-
Ωennq [ oçevydnym. Wob dovesty druhe tverdΩennq, prypustymo protyleΩne.
© M. V. TKAÇUK, 2008
862 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
XARAKTERYZACIQ KOLA TYPU BEZYKOVYÇA – DANCERA 863
Nexaj A — obmeΩena, neopukla komponenta dopovnennq do σ , toçka a ∈ ∂ A ⊂
⊂ σ taka, wo dovil\na prqma, qka ]] mistyt\, ne [ opornog do A . OtΩe, dovil\-
na prqma, wo proxodyt\ çerez a , peretyna[ A , a otΩe, peretyna[ ∂ A ⊂ σ we
v odnij toçci. Otrymaly supereçnist\.
Nexaj A — obmeΩena komponenta dopovnennq do σ , meΩa ∂ A — opukla
kryva.
Dovedemo, wo ∂ A ne mistyt\ toçok, çerez qki proxodyt\ dekil\ka riznyx
opornyx do A prqmyx. Taki toçky dali budemo nazyvaty kutovymy, inßi nazvemo
rehulqrnymy. Toçku y ∈ ∂ A nazvemo protyleΩnog do toçky x ∈ ∂ A , qkwo
prqma xy perpendykulqrna prqmij Tx , qka oporna do A i proxodyt\ çerez
toçku x . Prqmu xy budemo nazyvaty normallg do opuklo] kryvo] v toçci x .
Vidpovidno, binormallg nazvemo prqmu, wo [ normallg do opuklo] kryvo] u
dvox toçkax ]xn\oho peretynu. Dovedennq toho, wo koΩna normal\ opuklo]
kryvo], qka zadovol\nq[ umovu ( ∗ ) , [ binormallg, navedene v statti [1], zasto-
sovne j u c\omu vypadku do ∂ A .
Prypustymo, wo x — kutova toçka ∂ A . Rozhlqnemo mnoΩynu λ toçok z ∈
∈ ∂ A , protyleΩnyx toçci x . Rozhlqnemo vidobraΩennq, qke koΩnij toçci z ∈
∈ λ stavyt\ u vidpovidnist\ prqmu p xz⊥ , z ∈ p , qka [ opornog do ∂ A v toçci
z . Otrymaly neperervne vidobraΩennq duhy λ na mnoΩynu opornyx elementiv
do duhy λ opuklo] kryvo] ∂ A [4]. OtΩe, duha λ ne moΩe mistyty kutovyx to-
çok, oskil\ky v cyx toçkax vidobraΩennq p ( z ) bude maty rozryvy. Dovedemo,
wo oporna prqma p ( z ) u toçci z bude dotyçnog do λ v klasyçnomu rozuminni
c\oho slova (qk hranyçne poloΩennq siçno]). Vidomo, wo opuklu kryvu v okoli
dovil\no] svo[] toçky moΩna podaty qk hrafik opuklo] funkci], vybravßy vid-
povidni osi koordynat. Opukla funkciq skriz\ ma[ poxidni sprava i zliva, prote v
deqkyx toçkax vony moΩut\ buty riznymy [4]. Dovedemo, wo dotyçni do λ spra-
va i zliva v usix toçkax budut\ zbihatysq z opornymy prqmymy. Dlq dovil\no]
toçky z0 ∈ λ viz\memo poslidovnist\ toçok zn ∈ λ , zn → z0 sprava vidnosno
vybrano] ori[ntaci] osej. Prqma zn z0 prqmu[ do pravo] dotyçno] v toçci z0 .
Vnaslidok neperervnosti vidobraΩennq p ( z ) isnu[ toçka t z zn n∈∪ 0 taka, wo
p t z zn n( ) 0 . Oskil\ky zn → z0
, t z zn n∈∪ 0 , to tn → z0
, a otΩe, p tn( ) prqmu[
do pravo] dotyçno] v toçci z 0 , qka zbiha[t\sq z p z( )0 . Analohiçno z livog do-
tyçnog. OtΩe, duha λ [ hladkog duhog, tobto dyfeomorfizmom vidkrytoho
vidrizka na plowynu. Z dopomoho dyferencial\noho çyslennq, vraxuvavßy umo-
vu p z xz( ) ⊥ , moΩna dovesty, wo λ [ duhog kola. Dlq dovil\no] toçky duhy
kola isnu[ ]] okil na duzi, symetryçnyj vidnosno normali do duhy v cij toçci, a
okil kutovo] toçky x moΩe buty symetryçnym til\ky vidnosno bisektrysy
opornoho kuta (oporni prqmi takoΩ povynni buty symetryçnymy). Provedemo
vidminnu vid bisektrysy opornoho kuta binormal\ çerez toçku x i vnutrißng
toçku duhy kola, pobudu[mo prqmokutnyk iz dvoma symetryçnymy vidnosno
binormali toçkamy duhy kola i z tret\og verßynog v okoli toçky x . Çetverta
verßyna, symetryçna tretij, naleΩyt\ σ . OtΩe, povynen isnuvaty okil kutovo]
toçky x , symetryçnyj vidnosno dano] binormali, wo nemoΩlyvo. OtΩe, i ∂ A
ne mistyt\ kutovyx toçok i [ hladkog kryvog.
Çerez dovil\nu toçku p dopovnennq do zamykannq Cl A proxodyt\ prqma,
oporna do ∂ A v toçci q. Prypustyvßy, wo toçka p naleΩyt\ σ , oderΩymo
supereçnist\ z isnuvannqm prqmo], wo peretyna[ σ til\ky v toçci q. OtΩe, σ [
opuklog kryvog.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
864 M. V. TKAÇUK
U statti [2] dovedeno, wo opukla kryva, qka zadovol\nq[ umovu ( ∗ ) , [ ko-
lom, zvidky vyplyva[ takyj naslidok.
Naslidok!1. Kompaktna mnoΩyna σ na plowyni, wo zadovol\nq[ umovu ( ∗ )
(qkwo try verßyny prqmokutnyka naleΩat\ σ , to j çetverta verßyna nale-
Ωyt\ σ ) i meΩa qko] dilyt\ plowynu na dekil\ka komponent, [ kolom.
Naslidok!2. Kompaktna mnoΩyna τ v R3, wo zadovol\nq[ umovu ( ∗ ) i
meΩa qko] dilyt\ prostir R3
na dekil\ka komponent, [ sferog.
Dovedennq. Oskil\ky meΩa τ dilyt\ prostir R3
na dekil\ka komponent,
to isnu[ plowyna taka, wo peretyn τ z ci[g plowynog dilyt\ plowynu na
dekil\ka komponent (cq plowyna povynna mistyty vnutrißng toçku obmeΩeno]
komponenty dopovnennq do τ ) . Vidpovidno do naslidku@@2 cq mnoΩyna [ kolom.
Dali, bud\-qkyj peretyn τ plowynog, wo proxodyt\ çerez xordu danoho kola,
takoΩ [ kolom, oskil\ky dovil\na toçka vidkrytoho kruha [ vnutrißn\og dlq
obmeΩeno] komponenty dopovnennq do τ . OtΩe, τ [ meΩeg zv’qzno] oblasti Σ
v R3, i koΩnyj peretyn τ plowynog, wo proxodyt\ çerez vnutrißnist\ ci[]
oblasti, [ kolom. Oskil\ky Σ razom z dvoma svo]my toçkamy mistyt\ vidkrytyj
kruh, wo mistyt\ ci toçky, to vona mistyt\ i vidrizok, wo z’[dnu[ ci toçky, i [
opuklog. OtΩe, opuklym [ ]] zamykannq. Vyberemo na τ dvi toçky na maksy-
mal\nij vidstani odna vid odno]. Vidrizok, wo ]x z’[dnu[, ne moΩe naleΩaty τ
(peretyn τ plowynog [ kolom), otΩe, vin, za vynqtkom kinciv, naleΩyt\ Σ .
Vsi plowyny, wo proxodqt\ çerez cej vidrizok, peretynagt\ τ po kolax odnoho
i toho Ω diametra. OtΩe, τ [ sferog.
1. Besicovich A. S. A problem on a circle // J. London Math. Soc. – 1961. – 36. – P. 241 – 244.
2. Danzer L. W. A characterization of the circle // Convexity: Proc. Symp. Pure Math. – Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc., 1963. – 7. – P. 99 – 100.
3. Zamfirescu Tudor. An infinitesymal version of the Besicovich – Danzer characterization of the
circle // Geom. dedic. – 1988. – 27. – P. 209 – 212.
4. Lejxtvejs K. V¥pukl¥e mnoΩestva: Per. s nem. – M.: Nauka, 1985. – 336 s.
OderΩano 15.03.05,
pislq doopracgvannq — 18.12.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3204 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:10Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/aa/b6b331647268f0384e6882ab60a409aa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32042020-03-18T19:48:06Z Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle Характеризація кола типу Безиковича - Данцера Tkachuk, M. V. Ткачук, М. В. We investigate a Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle in a class of compact sets whose boundary divides the plane into several components. Исследована характеризация окружности типа Безиковича - Данцера в классе компактов, граница которых делит плоскость на несколько компонент. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3204 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 6 (2008); 862–864 Український математичний журнал; Том 60 № 6 (2008); 862–864 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3204/3154 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3204/3155 Copyright (c) 2008 Tkachuk M. V. |
| spellingShingle | Tkachuk, M. V. Ткачук, М. В. Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle |
| title | Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle |
| title_alt | Характеризація кола типу Безиковича - Данцера |
| title_full | Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle |
| title_fullStr | Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle |
| title_full_unstemmed | Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle |
| title_short | Besicovitch-Danzer-type characterization of a circle |
| title_sort | besicovitch-danzer-type characterization of a circle |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3204 |
| work_keys_str_mv | AT tkachukmv besicovitchdanzertypecharacterizationofacircle AT tkačukmv besicovitchdanzertypecharacterizationofacircle AT tkachukmv harakterizacíâkolatipubezikovičadancera AT tkačukmv harakterizacíâkolatipubezikovičadancera |