On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations
For the quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) from the Muckenhaupt Ap -class, we prove the Harnack inequality, an estimate of the Holder norm, and a sufficient test for the regularity of boundary points of the Wiener type.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3209 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509258534092800 |
|---|---|
| author | Amanov, R. A. Mamedov, F. I. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. |
| author_facet | Amanov, R. A. Mamedov, F. I. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. |
| author_sort | Amanov, R. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:23Z |
| description | For the quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) from the Muckenhaupt Ap -class, we prove the Harnack inequality, an estimate of the Holder norm, and a sufficient test for the regularity of boundary points of the Wiener type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.946
F. Y. Mamedov, R. A. Amanov (Yn-t matematyky y mexanyky NAN AzerbajdΩana, Baku)
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ
KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ URAVNENYJ
For the quasilinear equations div ( , , )A x u u∇ = 0 with degeneracy ω( )x from the Muckenhaupt Ap-
class, we prove the Harnack inequality, an estimate of the Hölder norm, and a sufficient test for the
regularity of boundary points of the Wiener type.
Dlq kvazilinijnyx rivnqn\ div ( , , )A x u u∇ = 0 z vyrodΩennqm ω( )x iz Ap-klasu Makkenxaupta
dovedeno nerivnist\ Harnaka, ocinku normy Hel\dera i dostatng oznaku rehulqrnosti meΩovyx
toçok typu Vinera.
1. Vvedenye. V dannoj stat\e dokazan¥ neravenstvo Harnaka, ocenka norm¥
Hel\dera y dostatoçn¥j pryznak rehulqrnosty hranyçn¥x toçek dlq v¥roΩda-
gwyxsq kvazylynejn¥x uravnenyj vyda
div ( , , ) =A x u u∇ 0 . (1)
V sluçae lynejn¥x yly kvazylynejn¥x uravnenyj bez v¥roΩdenyq πty vopros¥
dostatoçno xoroßo yzuçen¥ v rabotax [1 – 5] (sm. takΩe obzorn¥e stat\y [6 –
8]). Pry dokazatel\stve neravenstva Harnaka m¥ budem sledovat\ ydeqm mono-
hrafyy [9] (a takΩe [6]), v kotoroj prymenqetsq lemma vozrastanyq poloΩy-
tel\n¥x reßenyj uravnenyj (1) v uzkyx oblastqx. V nastoqwej stat\e takaq
lemma dokaz¥vaetsq dlq uravnenyj (1), v¥roΩdagwyxsq s Ap -uslovyem Mak-
kenxaupta ω ∈ Ap , 1 ≤ p < ∞ :
sup
Q Q
p
Q
p
p
n Q
d x
Q
dx A
⊂
− ′
−
∫ ∫
= < ∞
R
1 1 1
1
ω ω . (2)
Zdes\ Q — proyzvol\n¥j ßar v R
n
, Q — eho mera Lebeha, p′ — so-
prqΩennoe çyslo k 1 < p < ∞,
1
p
+
1
′p
= 1, p′ = 1 pry p = ∞, p′ = ∞ pry p = 1,
v¥raΩenye ω1
1
− ′
−
∫( )p
Q
p
d x ymeet sm¥sl ess sup
Q
ω−1
pry p = 1.
Pust\ D — ohranyçennaq oblast\ v R
n
, n ≥ 1, Lip( )D — prostranstvo
lypßycevo neprer¥vn¥x v D funkcyj, Lip0 ( )D — lynejnoe podmnoΩestvo
Lip( )D funkcyj s kompaktn¥m nosytelem v D, ω : Rn → 0, ∞[ ] — lokal\no
yntehryruemaq funkcyq, ω1
1
− ′ ∈p L , loc pry 1 < p < ∞, ω−
∞∈1 L , loc pry p = 1.
Oboznaçym çerez
˜ ( )W Dpω
1
prostranstvo funkcyj u L Dp∈ ω( ) , ymegwyx v D
proyzvodn¥e ux j{ }, j = 1, 2, … , n, v sm¥sle teoryy raspredelenyj yz L Dpω( ),
nadelennoe normoj
u u uW D L D L Dp p p
˜ ( ) ( ) ( )ω ω ω
1 = + ∇ , (3)
hde u L Dpω ( ) = u dxp
D
p
ω∫( )1/
, ∇u L Dpω ( ) = ∇( )∫ u dxp
D
p
ω
1/
, ∇u =
∂
∂
u
x1
,
∂
∂
∂
∂
u
x
u
xn2
, ,…
.
© F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV, 2008
918 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 919
Çerez sup
D
u inf
D
u
budem oboznaçat\ ess sup
D
u ess inf
D
u
funkcyy u v D;
χE oboznaçaet xarakterystyçeskug funkcyg mnoΩestva E.
Zam¥kanye Lip( )D Lip0 ( )D( ) otnosytel\no norm¥ (3) oboznaçym çerez
W Dpω
1 ( )
°( )W Dpω
1 ( ) . Esly u Dj ∈Lip( ), u uj W Dp
−
ω
1 ( )
→ 0, to { }uj naz¥vaetsq
approksymyrugwej posledovatel\nost\g dlq u W Dp∈ ω
1 ( ) . Prostranstva
˜ ( )W Dpω
1
, W Dpω
1 ( ),
°W Dpω
1 ( ) qvlqgtsq poln¥my refleksyvn¥my pry ω ,
ω1− ′p ∈ L1, loc , 1 < p < ∞ (sm. [10]). Zametym, çto v sluçae ω ∈ Ap , 1 < p < ∞,
˜ ( )W Dpω
1 = W Dpω
1 ( ) (sm. [11, 12]).
V dal\nejßem budem yspol\zovat\ neravenstvo Soboleva
u x dx CR
Q
u x dxpn
Q
pn
R
x n p
p
Q
p
R
x
R
x
( )
( )
( )
/
/
/
′
′
∫ ∫
≤
( )
∇
ω
ω
ω
0 0
1
1
1
0
, p ≥ 1, (4)
u QR
x∈ ( )Lip0
0
s vesom ω, udovletvorqgwym uslovyg (2), hde C = C n p Ap
p n( , )
1 1 1+
,
C n p( , ) > 0 zavysyt ot n, p; QR
x0
— ßar radyusa R > 0 s centrom v toçke
x n
0 ∈R , ω QR
x0( ) = ω dx
QR
x0∫ . Neravenstvo (4) lehko v¥vodytsq yz obwyx veso-
v¥x rezul\tatov otnosytel\no neravenstva typa Soboleva [13] (teorema 5) (sm.
takΩe [14]) v sluçae Ap -vesov. Yz neravenstva (4) dlq funkcyj u QR
x∈ ( )Lip0
0
sleduet eho v¥polnenye takΩe dlq u ∈
�
W Qp R
x
ω
1 0( ). Dejstvytel\no, pust\ { }uj
approksymyruet u, tohda dlq nekotoroj podposledovatel\nosty ujk{ } ujk
→
→ u poçty vsgdu na QR
x0
y lim
j
j L Q
k
k p R
xu
→∞ ( )∇
ω
0
= ∇ ( )u L Qp R
x
ω
0 < ∞ . Prymenqq
teoremu Fatu y perexodq k predelu v neravenstve (4), dlq ujk{ } poluçaem ne-
ravenstvo (4) v sluçae u ∈
�
W Dpω
1 ( ).
Pust\ a ∈R
1
, E ⊂ D — podmnoΩestvo D, u ∈ L Dpω( ). Budem hovoryt\,
çto u x( ) ≥ a u x a( ) ≤( ) poçty vsgdu na mnoΩestve E, esly mes E u x a∩ ( ) <{ }
= 0 mes E u x a∩ ( ) >{ } =( )0 . Pust\ a ∈R
1
, E ⊂ D . Budem hovoryt\, çto u x( )
≥ a u x a( ) ≤( ) na E v sm¥sle W Dpω
1 ( ), esly u xj ( ) ≥ a u x aj ( ) ≤( ) na E dlq
nekotoroj approksymyrugwej posledovatel\nosty { }uj . Dlq u ∈ W Dpω
1 ( ),
z ∈ W Dpω
1 ( ) budem hovoryt\, çto z ≥ u (z ≤ u ) na E ⊂ D v sm¥sle W Dpω
1 ( ),
esly z j ≥ uj z uj j≤( ) na E dlq sootvetstvugwyx approksymyrugwyx posle-
dovatel\nostej.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
920 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
Dlq p ≥ 1, k ∈R
1, u ∈ W Dpω
1 ( ) poloΩym u k{ } = max ( ),u x k{ } . Tohda ymeet
mesto u k{ } ∈ W Dpω
1 ( ). Dejstvytel\no, pust\ uj ∈ Lip D( ) approksymyruet u,
u uj W Dp
−
ω
1 ( )
→ 0. PokaΩem, çto uj k
{ } → u k{ } v W Dpω
1 ( ) syl\no. V¥berem
yz { }uj podposledovatel\nost\ (dlq kotoroj ostavlqem to Ωe samoe obozna-
çenye) takug, çto uj → u , ∇uj → ∇u poçty vsgdu v D. Oçevydno, uj k
{ } ∈
∈ Lip D( ) , u k{ } = k + χu k u k> −( ) , uj k
{ } = k + χu k jj
u k> −( ), otkuda uj k
{ } –
– u k{ } = ( )u uj u kj
− >χ + ( )u k− χ χu k u kj > >−( ). Tohda, prymenqq neravenstvo
Mynkovskoho
{ } { }
( )
u uj k k L Dp
−
ω
≤
≤ ( )
( )
u uj u k L Dj
p
− >χ
ω
+ ( )
( )
u k u k u k L Dj
p
− −( )> >χ χ
ω
→ 0
pry j → ∞ , tak kak u uj L Dp
−
ω ( )
→ 0, ubeΩdaemsq, çto vtoroe slahaemoe
stremytsq k nulg v sylu maΩorantnoj teorem¥ Lebeha ( χ χu k u kj > >→ poçty
vsgdu v D ). Yz pryvodym¥x v¥ße predstavlenyj dlq uj k
{ } y u k{ } v¥vodym
toΩdestvo
∇ − ∇ = ∇ − ∇ + ∇ −( )> > >{ } { } ( )u u u u uj k k j u k u k u kj j
χ χ χ .
Tohda, prymenqq teoremu Lebeha y uçyt¥vaq, çto ∇ − ∇u uj L Dpω ( )
→ 0, polu-
çaem
∇ − ∇{ } { }
( )
u uj k k L Dpω
≤
≤ ∇ − ∇u uj L Dpω ( )
+ χ χ ωu k u k
p p
D
p
j
u dx> >− ∇
∫
1/
→ 0.
Takym obrazom, uj k
{ } → u k{ } syl\no v W Dpω
1 ( ). Pust\ { }uj approksymyruet
u y dlq nekotoroj eho podposledovatel\nosty (dlq kotoroj ostavlqem to Ωe
samoe oboznaçenye) ymeet mesto lim { } { }
( )
j
j k k W D
u u
p→∞
−
ω
1 = δ > 0. Tohda, povto-
rqq pred¥duwye rassuΩdenyq, ubeΩdaemsq, çto yz πtoj podposledovatel\nos-
ty moΩno v¥brat\ podposledovatel\nost\, dlq kotoroj (soxranqq oboznaçenye)
spravedlyvo sootnoßenye
lim { } { }
( )j
j k k W D
u u
p→∞
− =
ω
1 0 .
Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet syl\nug v W Dpω
1 ( ) sxodymost\ uj k
{ } →
→ u k{ } dlq lgboj approksymyrugwej posledovatel\nosty { }uj → u, çto y
trebovalos\ dokazat\.
Zameçanye 1. PrynadleΩnost\ u k{ } prostranstvu W Dpω
1 ( ) v [2], a takΩe
v [1], pokazana yz druhyx soobraΩenyj, hde suwestvenno yspol\zuetsq slabaq
kompaktnost\ ohranyçennoho v W Dpω
1 ( ) mnoΩestva, çto naklad¥vaet dopolny-
tel\noe trebovanye p > 1. V [1, s.S75] otmeçeno, çto uj k
{ } sxodytsq k u k{ } v
W Dpω
1 ( ) syl\no. Pryvedennoe v¥ße prqmoe dokazatel\stvo πtoho utverΩdenyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 921
verno y v sluçae p = 1 (druhoe dokazatel\stvo sm. v [15, s.S82]).
Blyzkye rassuΩdenyq pokaz¥vagt, çto esly u ∈ W Dpω
1 ( ), u x( ) ≤ k, k ∈R
1
,
na ∂D v sm¥sle W Dpω
1 ( ), to uk = u x k( ){ } – k prynadleΩyt
�
W Dpω
1 ( ). Esly
u ∈ W Dpω
1 ( ), z ∈ W Dpω
1 ( ) y z ≥ u na ∂ D v sm¥sle W Dpω
1 ( ), to ( )u z− + =
= max ( ) ( ),u x z x−{ }0 prynadleΩyt
�
W Dpω
1 ( ). Pust\ A = A xj ( , , )ξ η{ }, j = 1,
2, … , n, — yzmerymaq funkcyq na R
n × R
1 × R
n → R
n
, udovletvorqgwaq
uslovyqm Karateodory po x ∈ D y ( , )ξ η ∈ R
1 × Rn
, t.Se. A( , , )⋅ ξ η — yzmery-
maq funkcyq v D dlq kaΩdoho ξ ∈ R
1
, η ∈ R
n
y A x( , , )⋅ ⋅ neprer¥vna v R
1 ×
× Rn dlq poçty vsex x ∈ D. V¥polnqgtsq takΩe sledugwye uslovyq rosta:
A x x p( , , ) ( )ξ η η ω η≥ , (5)
A x x p( , , ) ( )ξ η λω η≤ −1
, λ ∈ ∞[ , )1 , (6)
A x A x( , , ) ( , , )ξ η ξ η− = − . (7)
Budem hovoryt\, çto u ∈ W Dpω
1 ( ) qvlqetsq subreßenyem (superreßenyem)
uravnenyq (1) v D, esly
A x u u dx
D
( , , )∇ ∇ ≤∫ ϕ 0 ( ≥ 0) ∀ϕ ∈
�
W Dpω
1 ( ), ϕ ≥ 0. (8)
Funkcyg u ∈ W Dpω
1 ( ) budem naz¥vat\ reßenyem uravnenyq (1) v D, esly
A x u u dx
D
( , , )∇ ∇ =∫ ϕ 0 ∀ϕ ∈
�
W Dpω
1 ( ). (9)
2. Neravenstvo Harnaka y ocenka norm¥ Hel\dera.
Lemma 1. Pust\ 1 ≤ p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\ v QR
x0
, ymegwaq pre-
del\n¥e toçky na sfere SR
x0 y peresekagwaq ßar QR
x
/2
0
. PredpoloΩym, çto
u ∈ W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1), obra-
wagweesq v nul\ v sm¥sle W Dpω
1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D, leΩa-
wej stroho vnutry ßara QR
x0
, y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda dlq lg-
boho A > 0 najdetsq postoqnnaq δ > 0, zavysqwaq ot n , p , λ , Ap y A ,
takaq, çto pry
D Rn< δ (10)
v¥polnqetsq neravenstvo
sup sup
/
D D Q
u A u
R
x
≥
∩ 2
0
. (11)
Dokazatel\stvo. Pust\ u x( ) ≤ M (M > 0) na SR
x0 ∩ D v sm¥sle W Dpω
1 ( ).
Oboznaçym z x( ) = u x M( ) −( )+ξ , ξ = 4
3
1
4
0
2
2
x x
R
− −
+
. Pust\ k ∈ 0, sup
D
z( ],
poloΩym zk = z x k( ){ } – k, Dk = x D z x k∈ >{ }: ( ) . Oçevydno, Dk ⊂ D ∩ QR
x0
y,
kak otmeçeno v¥ße, zk ∈
�
W Qp R
x
ω
1 0( ), zk ≥ 0. Polahaq v (8) ϕ = zk , poluçaem
A x u u z dx
Dk
( , , )∇ ∇ ≤∫ 0 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
922 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
yly, çto to Ωe samoe, A u M dx
Dk
( )∇ − ∇∫ ξ ≤ 0. Otsgda s uçetom (5), (6) ymeem
ω λ ω∇ ≤ ∇∫ ∫ −u dx
M
R
u dxp
D
p
Dk k
3 1
.
Prymenqq neravenstvo Hel\dera, naxodym
ω λ ω∇ ≤
∫ ∫u dx M
R
dxp
D
p
p
Dk k
( )3 . (12)
Zametym, çto ∇z ≤ ∇u + 3M
R
v Dk . Tohda v sylu neravenstva ( )a b p+ ≤
≤ 2 1p p pa b− +( ), a ≥ 0, b ≥ 0, 1 ≤ p < ∞, ymeem ∇z p ≤ 2 31p p p
p
u M
R
− ∇ +
.
Poπtomu yz (12) poluçaem
∇ ≤
∫ ∫z dx C M
R
dxk
p
Q
p
D
R
x
k
ω ω
0
1 , C p p p
1
13 2 1= +− ( )λ .
Prymenqq neravenstvo (4) k levoj çasty, s pomow\g neravenstva Hel\dera na-
xodym
z d xk
QR
x
ω
0
∫ = z dxk
Dk
ω∫ ≤ z dx dxk
pn
D
pn
D
pn
k k
′
′ − ′
∫ ∫
ω ω
1 1 1/ /
≤
≤
CC M
Q
dx
p
R
x pn
D
n p
k
1
1
1
1 1
0
/
/
/
( )ω
ω
( )
∫
+
,
otkuda poluçaem
z dx
C M
Q
dxk
D R
x pn
D
n p
k k
ω
ω
ω∫ ∫≤
( )
+
( )
/
/
0
1
1 1
,
hde C > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap . Polahaq β( )k = ωz dxkDk
∫ , ymeem ′β ( )k =
= – ω dx
Dk
∫ . Tohda
β
ω
β( )
( )
( )/
/k CM
Q
k
R
x pn
np≤
( )
− ′( ) +
0
1
1 1
. (13)
Reßaq dyfferencyal\noe neravenstvo s uçetom β(sup )
′D
z = 0, naxodym
sup ( )
( )
( )/
/( )
/( )
′
+
+≤ +
( )
D R
x pn
np np
npz C np M
Q
2 1
1
1 11 0
0ω
β ,
hde ′D = x D z x∈ >{ }: ( ) 0 , C2 = C np np/( )+1
, otkuda s pomow\g (13) poluçaem
sup
( )
( )
/
′
≤ ′
D R
x
np
z CM
D
Q
ω
ω 0
1
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 923
tak kak C C Cnp
2
1 1/( )+ = . Uçyt¥vaq, çto
sup
/D QR
x
u
∩ 2
0
=
sup
/D QR
x
z
∩ 2
0
≤ sup
′D
z , ymeem
sup ( )
/D QR
x
u x
∩ 2
0
≤ C M
D
QR
x
n p
3 0
′
ε /
, tak kak yz ω ∈ Ap sleduet, çto ω ∈ ∞A y su-
westvugt C y ε > 0 takye, çto
ω
ω
( )
( )
E
Q
≤ C
E
Q
ε
dlq lgb¥x Q n⊂ R , E Q⊂ .
V sylu toho, çto ′ ⊂D D, poluçaem
sup
/D QR
x
u
∩ 2
0
≤ C M
D
Rn
n p
3
ε
, hde C3 > 0, ε >
> 0 zavysqt ot n, p, λ, Ap . S uçetom uslovyq (10), v¥byraq δ > 0 yz so-
otnoßenyq C n p
3δε / = 1
A
, ymeem
M A u x
D QR
x
≥ sup ( )
/∩ 2
0
,
otkuda vsledstvye v¥bora M takoho, çto sup
D
u ≥ M, sleduet
sup
D
u ≥
A u
D QR
x
sup
/∩ 2
0
.
Lemma 1 dokazana.
Zameçanye 2. Lemma 1 ostaetsq takΩe v syle dlq reßenyj u ∈ W Dpω
1 ( ) ∩
∩ C D( ) uravnenyq (1), ravn¥x nulg na Γ.
Lemma 2. Pust\ 1 ≤ p < ∞ , ω ∈ Ap , D QR
x⊂ 0
— oblast\, ymegwaq pre-
del\n¥e toçky na sfere SR
x0
y soderΩawaq toçku x0 . PredpoloΩym, çto
u ∈ W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1) v D ,
obrawagweesq v nul\ v sm¥sle W Dpω
1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D,
leΩawej stroho vnutry ßara QR
x0
, y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda
najdetsq postoqnnaq δ > 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , takaq, çto pry
D Rn< δ
ymeet mesto neravenstvo
sup lim sup ( ) exp
/( )
D Q
n n
u u x R
Dx
≥
→
−
ε
ε
γ
0
1 1
0
, (14)
hde γ > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap .
Lemma 2 v¥vodytsq yz lemm¥ 1 po standartnoj sxeme [16] (§S4) s prymeneny-
em pryncypa maksymuma (sm. nyΩe).
Zameçanye 3. V uslovyqx lemm¥ 2 s uçetom zameçanyq 2 dlq reßenyj urav-
nenyq (1) u ∈ W Dpω
1 ( ) ∩ C D( ) , ravn¥x nulg na Γ, v¥polnqetsq ocenka
sup ( ) exp
/( )
D
n n
u u x R
D
≥
−
0
1 1
γ .
Lemma 3 (pryncyp maksymuma). Pust\ D — ohranyçennaq oblast\, u ∈
∈ W Dpω
1 ( ) — subreßenye (superreßenye) uravnenyq (1) v D y v¥polnen¥
uslovyq (5) – (7). Tohda esly u x M( ) ≤ u x M( ) ≥( ) na ∂D v sm¥sle W Dpω
1 ( ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
924 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
to u x M( ) ≤ u x M( ) ≥( ) poçty vsgdu v D.
Dokazatel\stvo. PoloΩym ′D = x D u x M∈ ≥{ }: ( ) , ϕ = max ( ) ,u x M−{ }0
— probnaq funkcyq dlq (8). Tohda ϕ ∈
�
W Dpω
1 ( ), ϕ ≥ 0 y A d x
D
∇
′
∫ ϕ ≤ 0, t.Se.
A ud x
D
∇
′
∫ ≤ 0 y ∇u ≡ 0 poçty vsgdu v ′D , otkuda v sylu neravenstvaS(4) sle-
duet, çto u ≡ M poçty vsgdu v ′D . Vtoraq çast\ lemm¥ 3 dokaz¥vaetsq ana-
lohyçno.
Lemma 4. Pust\ 1 < p < ∞ , ω ∈ Ap y oblast\ D , raspoloΩennaq v ßare
QR
x0
, peresekaet ßar QR
x
/ 4
0 y ymeet predel\n¥e toçky na SR
x0
. PredpoloΩym,
çto Γ — çast\ hranyc¥ D, leΩawaq stroho vnutry ßara QR
x0
, u ∈ W Dpω
1 ( )
— poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1), obrawagweesq v
nul\ na Γ v sm¥sle W Dpω
1 ( ), y v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7), sup
/D QR
x
u
∩ 4
0
= m,
D2 — mnoΩestvo Q DR
x
/ \2
0
, a D1 — mnoΩestvo
x D QR
x∈{ ∩ /2
0
: 0 < u x( ) <
< m
2} , D0 =
x D Q u x m
R
x∈ ≥{ }∩ / : ( )2
0
2
.
Tohda dlq lgb¥x A > 0, 0 < σ < 2−n
n nσ / najdetsq takaq postoqnnaq ε >
> 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , A y σ, çto yz neravenstv D1 < εRn
,
D0 > σRn, D2 > σRn sleduet, çto
sup
D
u Am≥ .
Dokazatel\stvo. Pust\ uj approksymyruet u, uj = 0 na D2 . Dlq neko-
toroj podposledovatel\nosty, dlq kotoroj soxranqetsq preΩnee oboznaçenye,
sxodymost\ uj → u, ∇uj → ∇u budet ravnomernoj vne nekotoroho otkr¥toho
mnoΩestva Dδ nelynejnoj emkosty capp Dω δ( ) < δ, δ > 0 — proyzvol\noe
çyslo (sm. [17, s.S300], opredelenye nelynejnoj emkosty v (29)). Tohda (n – 1)-
mernug meru Xausdorfa hranyc¥ ∂Dδ , sovpadagwug s nelynejnoj emkost\g
mnoΩestva Dδ pry p = 1, ω ≡ 1 (sm. [17, s.S97]), takΩe moΩno sçytat\ proyz-
vol\no maloj. Pust\ δ < σRn
2
takoe, çto u uj − < m
4
v D D\ δ pry j ≥ j0 .
Tohda
∇∫ u dx
D1
≥ ∇∫ u dx
D D1 \ δ
≥ 1
2
1
∇∫ u dxj
D D\ δ
≥
≥ 1
2 1 2
0
4
0mesn R
x
j
m
x D D Q u x t dt− ∈ ={ }∫ ( \ ) : ( )/
/
δ ∩ ≥
≥ m Rn n n
n8
1( )( )/σ β− ≥ m Rn
n n n
8
1 1β σ( )/− −
. (15)
Zdes\ yspol\zovano to, çto v ßare QR
x
/2
0
poverxnost\ {x ∈ ( \ )D Dδ ∩ QR
x
/2
0
:
u xj ( ) = t, t ∈ ( , / )0 4m } otdelqet mnoΩestvo D2 ot mnoΩestva D D0 \ δ, mera
Lebeha kaΩdoho yz kotor¥x bol\ße yly ravna σRn
. Poπtomu dlq πtoj poverx-
nosty ymeet mesto yzoperymetryçeskoe neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 925
mesn R
x
jx D D Q u x t t m− ∈ = ∈( ){ }1 2
0 0 4( \ ) : ( ) , , //δ ∩ ≥
≥ β σn
n n nR( )( )/−1 = β σn
n n nR( )/− −1 1
(sm. [9, s.S258]). Krome toho, b¥la uçtena proyzvol\nost\ δ y prymenena for-
mula Federera (sm. [17, s.S40]), yz kotoroj sleduet, çto
∇ ≥ ∈ ={ }∫ ∫ −u dx x D D Q u x t dtj
D D
n R
x
j
m
1
0
1 2
0
4
\
/
/
( \ ) : ( )
δ
δmes ∩ .
Sohlasno neravenstvu Hel\dera ymeem
∇ ≤ ∇
∫ ∫ ∫ − ′
′
u dx u dx dx
D
p
D
p
p
D
p
1 1 1
1
1
1
ω ω
/ /
v sylu ω1− ′p ∈ Ap′ ⊂ A∞ y D1 ⊂ D ∩ QR
x
/2
0
, otkuda sleduet, çto
∇ ≤
∇
∫ ∫ ∫
′
− ′
′
u dx C
D
Q
dx u dx
D R
x
p
p
Q
p
p
D Q
p
R
x
R
x
1
0
2
1 1
1 1
0 0
δ
ω ω
/ / /
/∩
, (16)
hde C, δ > 0 zavysqt ot uslovyq (2).
Pust\ 0 ≤ η( )t ≤ 1 — dyfferencyruemaq funkcyq, η( )t ≡ 1 pry t ∈ 0 1
2
,
,
η( )t ≡ 0 pry t ≥ 1, ′η ≤ C0 . PoloΩym ϕ = u x
x x
R
p
( ) η −
0
v (8) v kaçestve
probnoj funkcyy. Tohda A u pA u dxp p
D
∇ + ∇( )−∫ η η η 1 ≤ 0, otkuda sleduet, çto
D
p pu dx∫ ∇ω η ≤ p u dx
D
pλ ω η η η∫ ∇ ∇( ) −1
. V sylu neravenstva Hel\dera
v¥vodym
ω η λ ω∇ ≤ ∇∫ ∫u dx p u u dxp p
D
p p p
D
( ) ,
poπtomu
ω λ ω∇ ≤
( )∫ u dx
p C
R
u Qp
D Q
p
D
p
R
x
R
x∩ 0
0 0sup . (17)
S uçetom uslovyq D1 < εRn
yz (15) – (17) poluçaem
sup /
/
D
n
n n
n
p R
x p
Q
p p
u
mR
p C C
Q dx
R
x
≥ ( )
−
′
− ′
− −
∫σ β
λ ε
ω ωδ
1
0
1
1 1
8
0
0
. (18)
Yz (18) s uçetom uslovyq ω ∈ Ap sleduet, çto
sup
/
/
D
n
n
p
p
n
p
n
u
A n
CC p
m≥
−
−
′
σ β
λ ε σδ
1
1
0 8
, σn
nS R= ( ) . (19)
Ostalos\ v¥brat\ v (19) postoqnnug ε > 0 tak, çtob¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
926 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
σ β σ
λ εδ
n
n
p
p
n n
p
A n
CC p
A
−
− −
′ =
1
1 1
0 8
/
/ ,
tohda sup
D
u Am≥ .
Lemma 4 dokazana.
Lemma 5. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\, leΩawaq v ßare QR
x0
,
peresekagwaq ßar QR
x
/ 4
0
y ymegwaq predel\n¥e toçky na sfere SR
x0
. Pred-
poloΩym, çto Γ — ta çast\ hranyc¥ D, kotoraq raspoloΩena stroho vnut-
ry ßara QR
x0
, u ∈ W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe reßenye uravnenyq
(1) v D , obrawagweesq v nul\ na Γ v sm¥sle W Dpω
1 ( ), y v¥polnqgtsq uslo-
vyq (5) – (7). PoloΩym H = Q DR
x
/ \4
0
.
Tohda dlq lgboho τ ∈ ( , / )0 2 2− n
n nσ suwestvuet γ > 0 takoe, çto yz
uslovyq H > τ Rn
sleduet, çto
sup ( ) sup
/
D D Q
u u
R
x
≥ +1
4
0
γ
∩
,
hde γ > 0 — konstanta, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , τ.
Lemma 5 v¥vodytsq yz lemm 1, 4 po standartnoj sxeme [9, s.S143] (s prymene-
nyem lemm¥ 3).
Teorema 1. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap y v ßare QR
x0 opredeleno poloΩy-
tel\noe ohranyçennoe reßenye u W Qp R
x∈ ( )ω
1 0 uravnenyq (1), dlq kotoroho v¥-
polnqgtsq uslovyq (5) – (7). Tohda suwestvuet konstanta C > 0, zavysqwaq
ot n, p, λ, Ap , takaq, çto
sup inf
/ /
/
Q Q
R
x
R
x
u u C
4
0 2
0
≤ . (20)
Teorema 1 v¥vodytsq yz lemm 1, 5 po standartnoj sxeme [6, s.S115].
Teorema 2. Pust\ 1 < p < ∞ , ω ∈ Ap , u ∈ W Dpω
1 ( ), — ohranyçennoe reßenye
uravnenyq (1), dlq kotoroho v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7). Tohda dlq poçty
vsex x, ′x yz Dρ = { x D∈ : dist x R Dn, \( ) ≥ ρ} ymeet mesto ocenka
u x u x C x x( ) ( )− ′ ≤ − ′ α
,
hde 0 < α ≤ 1 zavysyt ot n, p, λ, Ap , a C > 0 — ewe y ot ρ > 0.
Dokazatel\stvo. Oboznaçym mR
x0 = inf
QR
x
u
0
, MR
x0 = sup
QR
x
u
0
, osc
QR
x
u
0
= MR
x0 –
– mR
x0 , R > 0. Prymenqq neravenstvo Harnaka dlq lgboho ßara Q DR
x
2
0 ⊂ y
funkcyj v = u – m R
x
2
0
, w = M R
x
2
0 – u, ymeem
M m C m mR
x
R
x
R
x
R
x0 0 0 0
2 2− ≤ −( ) , M m C M MR
x
R
x
R
x
R
x
2 2
0 0 0 0− ≤ −( ).
M¥ vprave prymenyt\ neravenstvo Harnaka k funkcyqm v, w, tak kak dlq
nyx poluçagtsq uravnenyq vyda (1) s temy Ωe postoqnn¥my, çto y dlq reßenyq
u x( ) v uslovyqx (5) – (7).
Uçyt¥vaq poslednye neravenstva, poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 927
osc osc
Q QR
x
R
x
u
C
C
u
2
0 0
1
1
≥ +
−
, (21)
hde C > 0 — konstanta neravenstva Harnaka (ne zavysyt ot u).
Mnohokratnoe prymenenye ocenky (21) dokaz¥vaet teoremu 2 (sm., naprymer,
[9, s.S59]).
3. Dostatoçn¥j pryznak rehulqrnosty hranyçn¥x toçek. Dlq prostot¥
yzloΩenyq v πtom punkte ohranyçymsq uravnenyqmy vyda (1) s funkcyqmy A =
= A xj ( , )η{ }, j = 1, 2, … , n, ne zavysqwymy ot ξ (reßenyq), otnosytel\no koto-
r¥x budem predpolahat\ yzmerymost\ po x D∈ dlq lgboho η ∈R
n
dlq poçty
vsex x — neprer¥vnost\ po η ∈R
n
, sçytat\, çto v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7)
y
A x p A x q p q( , ) ( , ) ( )−( ) − > 0 (22)
pry p ≠ q, p n∈R , q n∈R dlq poçty vsex x D∈ .
Suwestvovanye y edynstvennost\.
Lemma 6. Pust\ D — ohranyçennaq oblast\ v R
n
, V =
�
W Dpω
1 ( ), V ′ — so-
prqΩennoe prostranstvo k V, φ ∈ W Dpω
1 ( ), f V∈ ′ — zadann¥e funkcyy y v¥-
polnqgtsq uslovyq p > 1, (5) – (7) y (22). Tohda suwestvuet edynstvennoe
reßenye u ∈ W Dpω
1 ( ) uravnenyq
− ∇ =div A x u f( , ) , (23)
udovletvorqgwee uslovyg u – φ ∈ V.
Dokazatel\stvo. PoloΩym z = u – φ. Tohda z V∈ , u = z + φ, ∇u = ∇z +
+ ∇φ,
A x z dx f dx
D D
( , )∇ + ∇ ∇ =∫ ∫φ ϕ ϕ ∀ ∈ϕ V . (24)
Operator A1: V → V ′, dejstvugwyj po pravylu
A z A x z dx
D
1( ), ( , )ϕ φ ϕ= ∇ + ∇ ∇∫ ∀ ∈ϕ V ,
ymeet sledugwye svojstva.
Ohranyçennost\. Po svojstvu (6) ymeem
A z z dx zp
D
L D
p
L Dp p1
1 1( ), ( ) ( )ϕ λ φ ω ϕ λ φ ϕ
ω ω
≤ ∇ + ∇ ∇ ≤ ∇ + ∇ ∇− −∫ ,
otkuda
A z zV W D W D
p
p p1
1
1 1( ) ( ) ( )′
−
≤ +( )λ φ
ω ω
.
Monotonnost\. Dlq lgb¥x z z≠ ˜ yz V v sylu uslovyq (22) v¥polnqetsq
neravenstvo
A z A z z z1 1( ) (˜), ˜− − =
= A x z A x z z z dx
D
( , ) ( , ˜ ) ( ˜ )∇ + ∇ − ∇ + ∇[ ] ∇ + ∇ − ∇ + ∇[ ]∫ φ φ φ φ > 0.
Koπrcytyvnost\. Na osnovanyy svojstv (5), (6) y ε-neravenstva Koßy ab ≤
≤ ε a p′ + C b p( )ε , a ≥ 0, b ≥ 0, ε > 0, ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
928 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
A z z A x z z dx C z dx C
D
p
D
W D
p
p
1 1 2 1( ), ( , )
( )
= ∇ + ∇ ∇ ≥ ∇ −∫ ∫φ ω φ
ω
,
hde C1 > 0, C2 > 0 ne zavysqt ot z, φ. Dalee, sohlasno neravenstvu (4)
A z z C z C
W D
p
W D
p
p p
1 3 21 1( ),
( ) ( )
≥ −
ω ω
φ ,
otkuda
A z z
z V
1( ), → ∞ pry z V → ∞ .
Semyneprer¥vnost\. Ustanovym neprer¥vnost\ v¥raΩenyq
A z tz A x z t z dx
D
1( ˜), ( , ˜ )+ = ∇ + ∇ + ∇ ∇∫ϕ φ ϕ
po parametru t ∈R
1
, hde ϕ, z, z̃ prynadleΩat V.
Pust\ tn → t0 . Po predpoloΩenyg funkcyy A x z t zj ( , ˜ )∇ + ∇ + ∇{ }φ , j = 1,
2, … , n, neprer¥vno zavysqt ot parametra t. Pod¥ntehral\noe v¥raΩenye ma-
Ωoryruetsq yntehryruemoj funkcyej
A x z t zn( , ˜ )∇ + ∇ + ∇ ∇φ ϕ ≤ λ φ ω ϕ∇ + ∇ + ∇ ∇−z t zn
p˜ 1 ≤
≤ 4 21
0
p p p p pz t z− ∇ + ∇ + ∇( )λ φ ω˜
pry n n≥ 0 . Poπtomu na osnovanyy maΩorantnoj teorem¥ Lebeha poluçaem
A z t z A z t zn1 1 0( ˜), ( ˜),+ → +ϕ ϕ pry t tn → 0 .
Teper\ posle toho, kak ustanovlen¥ yzloΩenn¥e v¥ße svojstva operatora A1:
V → V ′, na osnove [18, s.S182] (teorema 2.1) (yly [19], hl.S2) poluçaem suwestvo-
vanye reßenyq z V∈ zadaçy A z1( ) = f ∀ ∈ ′f V . Tohda u = z + φ budet reße-
nyem zadaçy − ∇div A x u( , ) = f, u – φ ∈ V, u ∈ W Dpω
1 ( ).
DokaΩem edynstvennost\. Pust\ u ∈ W Dpω
1 ( ), ũ ∈ W Dpω
1 ( ), — dva reßenyq
pred¥duwej zadaçy. Tohda u – ũ ∈ V, poπtomu yz uravnenyq (23) sleduet
A x u A x u u u dx
D
( , ) ( , ˜) ( ˜)∇ − ∇[ ] ∇ − ∇ =∫ 0 .
V sylu (22) otsgda v¥vodym, çto ∇ −( ˜)u u ≡ 0 poçty vsgdu v D, t.Se. u ≡ ũ
poçty vsgdu v D v sylu neravenstva (4).
Lemma dokazana.
Lemma 7. Pust\ z ∈ W Dpω
1 ( ) — superreßenye, a u ∈ W Dpω
1 ( ) — subreße-
nye uravnenyq (1) v D , pryçem z x( ) ≥ u x( ) na ∂D v sm¥sle W Dpω
1 ( ). Tohda
z x( ) ≥ u x( ) poçty vsgdu v D.
Dokazatel\stvo. PoloΩym D′ = { x D∈ : u x( ) ≥ z x( )}. Kak otmeçeno v¥-
ße, ( )u z u z− ≥χ ∈
�
W Dpω
1 ( ). Tohda
A x u A x z u z dxu z
D
( , ) ( , ) ( )∇ − ∇[ ] ∇ − ∇ ≤≥∫ χ 0 ,
otkuda ∇ −( )u z ≡ 0 poçty vsgdu v D ′ y, sledovatel\no, v sylu (4) u ≡ z poçty
vsgdu v D ′.
Lemma 7 dokazana.
Lemma 8. Pust\ E ⊂ D — kompaktnoe podmnoΩestvo, u ∈
�
W Dpω
1 ( ) — re-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 929
ßenye uravnenyq (1) v D E\ , u x( ) ≥ M na E ( )M > 0 . Tohda dlq approksy-
myrugwej posledovatel\nosty u j{ } pry poçty vsex t ∈ 0, M j[ ] spravedlyvo
ravenstvo
t A x u n d A x u u dxj j j
D
j
t
j
t
j
( , ) ( , )
\
∇ = ∇ ∇ +∫ ∫σ δ
∂Σ Σ
,
hde Σt
j = { x D∈ : u xj ( ) > t }, n — normal\ k ∂ Σt
j
, napravlennaq v storonu E,
M j = min ( )
x E
ju x
∈
, δ j → 0 pry j → ∞.
Dokazatel\stvo. V¥berem probnug funkcyg ϕ = g uh
j
, hde pry gh =
=
t u
h
j−
pry t – h < u j < t, gh = 1 pry u j ≤ t – h, gh = 0 pry u j ≥ t. Tohda
ϕ ∈
�
W D Epω
1 ( \ ) y yz (9) poluçym
δ j – 1
h
A u u u dxj j j
t h u tj
( , )⋅ ∇ ∇ ⋅
− < <
∫ +
+ A u u g dxj j
h
u tj
( , )⋅ ∇ ∇
<
∫ = 0, h > 0 . (25)
∏to sleduet yz toho, çto u — reßenye uravnenyq (1), u j{ } — approksymyrug-
waq posledovatel\nost\ dlq neho, t.Se.
− ∇ ∇ =∫ A x u dxj
D E
j( , )
\
ϕ δ ,
hde δ j → 0 pry j → ∞ dlq lgboho ϕ ∈
�
W D Epω
1 ( \ ) . ∏to sleduet yz teorem¥
Vytaly v sylu toho, çto u j → u, ∇u j → ∇u poçty vsgdu v D E\ y yntehral¥
A x u dxj
D E
( , )
\
∇ ∇∫ ϕ ravnostepenno absolgtno neprer¥vn¥, t.Se. dlq lgboho ε
> 0 suwestvuet η > 0 takoe, çto dlq lgboho mnoΩestva V ⊂ D E\ , V < < η,
v¥polneno neravenstvo
A x u dxj
V
( , )∇ ∇ <∫ ϕ ε
dlq vsex j = 1, 2, … .
Dlq vtoroho slahaemoho v (25) sohlasno formule Federera y teoreme Lebeha
[20, s.S16] dlq poçty vsex t ∈ 0, M j[ ] pry h → + 0 ymeem
1
h
s ds
A u u
u
d t A u nd
t h
t j j
j
j
s
j
t
j−
∫ ∫ ∫⋅ ∇ ∇
∇
→ ⋅ ∇( , )
( , )σ σ
∂ ∂Σ Σ
,
a takΩe A u g d xj
hu x tj ∇ ⋅
<∫{ ( ) }
→ A u dxj
u x tj ∇
<∫{ ( ) }
pry h → 0 na osnove maΩo-
rantnoj teorem¥ Lebeha. Yz (25), perexodq k predelu pry h → 0 s uçetom πtyx
sootnoßenyj, poluçaem trebuemoe ravenstvo.
Lemma 8 dokazana.
Lemma 9. Pust\ u ∈ W Gpω
1 ( ) — reßenye uravnenyq (1) v oblasty G,
u j
j{ } =
∞
1
— approksymyrugwaq posledovatel\nost\ dlq neho. Tohda dlq poçty
vsex t1, t2 yz oblasty znaçenyj funkcyy u xj ( ) spravedlyvo ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
930 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
A x u nd A x u ndj j
j
t
j
t
j
( , ) ( , )∇ = ∇ +∫ ∫σ σ δ
∂ ∂Σ Σ
1 2
, (26)
hde Σt
j = { x G∈ : u xj ( ) > t }, δ j → 0 pry j → 0, n — normal\ k ∂Σt
j
.
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu lemm¥ 8; dostatoçno zametyt\
tol\ko, çto
A x u dxj
G
j( , )∇ ∇ =∫ ϕ δ , ϕ ∈
�
W Gpω
1 ( ) , (27)
hde δ j → 0 v sylu toho, çto u — reßenye uravnenyq.
Lemma 10. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\ v ßare Q R
x
4
0
, perese-
kagwaq QR
x0
y ymegwaq predel\n¥e toçky na S R
x
4
0
. PredpoloΩym, çto u ∈ ∈
W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe reßenye uravnenyq (1), obrawagwe-
esq v nul\ v sm¥sle W Dpω
1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D , leΩawej
stroho vnutry ßara Q R
x
4
0
, y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7) y (22). Tohda
sup sup
D
p
R
x
p
p
D Q
u
H
Q
R u
R
x
≥ + ( )
′ −
1
0 0
1
η
ω
ωcap
∩
, (28)
hde η > 0 zavysyt tol\ko ot n, p, Ap ; H = Q DR
x0 \ , capp Hω — eho nely-
nejnaq vesovaq emkost\:
capp
p
R
nH z dx z R z H
n
ω ω= ∇ ∈ ≥
∫inf : Lip ( ),0 1 na . (29)
Dokazatel\stvo. PoloΩym M = sup
D
u, y pust\ G = Q HR
x
4
0 \ . Suwestvuet
φ ∈ Lip G( ), ravnaq M na ∂H y nulg na S R
x
4
0
, takaq, çto φ ∈ ˜ ( )W Gpω
1
, a yz
ω ∈ Ap sleduet, çto φ ∈ W Gpω
1 ( ) (m¥ vospol\zovalys\ tem, çto lgbug lypßy-
cevug funkcyg v zamknutom podmnoΩestve E ⊂ Rn moΩno prodolΩyt\ na vse
R
n
s soxranenyem ee lypßycevosty, sm. [20, s.S206]).
Pust\ Uh — reßenye zadaçy
div A x UH( , )∇ = 0 v G, UH – φ ∈
�
W Gpω
1 ( ) , U W GH p∈ ( )ω
1
. (30)
Suwestvovanye y edynstvennost\ reßenyq rassmatryvaemoj zadaçy v¥tekaet yz
lemm¥ 6. PoloΩym z = M – UH v G . Tohda z qvlqetsq reßenyem uravne-
nyqS(1) y z – M + φ ∈
�
W Gpω
1 ( ) . Poπtomu suwestvugt ψ j ∈ Lip0( )G , approksy-
myrugwye z – M + φ, takye, çto funkcyy α j = M – φ + ψ j budut approksy-
myrovat\ funkcyg z v G , pryçem α j ∈ Lip G( ) v sylu φ ∈ Lip G( ). Tohda
z x( ) > 0 na S R
x
4
0
v sm¥sle W Dpω
1 ( ) y z x( ) = 0 na ∂H. Prymenym lemmu 7 k re-
ßenyqm z, u v oblasty D. Ymeem z x( ) ≥ u x( ) na ΓUS R
x
4
0
v sm¥sle W Dpω
1 ( );
z S R
x
4
0 = M ≥ u x( ) , z Γ ≥ 0 ≡ u x( ) . Tohda na osnovanyy lemm¥ 7 z x( ) ≥ u x( )
poçty vsgdu v D. Poπtomu
sup sup
D Q D QR
x
R
x
u z
∩ ∩0 0
≤ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 931
yly
sup inf ( )
D Q D Q
H
R
x
R
x
u M U x
∩ ∩0 0
≤ − ,
otkuda
M U u
D Q
H
D QR
x
R
x
≥ +inf sup
∩ ∩
0 0
. (31)
Doopredelyv UH = M na H, ocenym v¥raΩenye inf
Q
H
R
x
U
0
snyzu. Pust\
UH
j
j{ } =
∞
1
— approksymyrugwaq posledovatel\nost\ dlq UH , UH
j
H
= M, 0 ≤
≤ UH
j ≤ M. Oboznaçym a j = sup ( )
\x Q Q
H
j
R
x
R
x
U x
∈ 4
0
2
0
, M = sup ( )
x Q
H
j
R
x
U x
∈ 4
0
, Σt
j = { x Q R
x∈ 4
0 :
U xH
j ( ) > t}, hde t ∈ ( , )0 M .
Vo yzbeΩanye dal\nejßej hromozdkosty v oboznaçenyqx UH
j , a j , Σ j
t , δ j
yndeks j budem opuskat\. Tohda Σa soderΩytsq v ßare Q R
x
2
0
. V sylu lemm¥ 9
najdutsq dostatoçno maloe ε > 0 y a1 ∈ a a M, min( , )2( ) takye, çto
A x U nd A x U ndH H
M a
( , ) ( , )∇ = ∇ +
−
∫ ∫σ σ δ
∂ ∂εΣ Σ
1
, (32)
hde, sohlasno lemme 8,
A x U nd
M
A x U U dx
MH H H
QM R
x
M
( , )
( )
( , )
\
∇ ≥
−
∇ ∇ −
− −
∫ ∫σ
ε
δ
∂ ε εΣ Σ
1
2 2
4
0
.
Sohlasno uslovyg (5), pervoe slahaemoe pravoj çasty prev¥ßaet
1
2
4
0
( )
\
M
U dxH
p
Q R
x
M
−
∇
−
∫ε
ω
εΣ
≥
≥
( )M p
p M
− −
−
ε
ω ε
1
2
cap Σ ≥
( )M
H
p
p
− −ε
ω
1
2
cap .
Sledovatel\no, v¥byraq ε > 0 tak, çtob¥
( )M p− −ε 1
2
> M p−1
4
, poluçaem
A x U nd M H
MH
p
p
M
( , )∇ ≥ −
−
∫
−
σ δ
∂
ω
εΣ
1
4 2
cap (33)
çerta
nad cappω oznaçaet, çto emkost\ beretsq otnosytel\no ßara Q R
x
4
0
:
capp Hω = inf
Q
p
R
x
z dx
4
0
∫
∇ ω ): z Q R
x∈ ( )0Lip 4
0
, z ≥ 1 n a H
. Yz lemm¥ 8
sleduet takΩe, çto
A x U nd
a
A x U U d x
aH H H
Qa R
x
a
( , ) ( , )
\
∇ ≤ ∇ ∇ +∫ ∫σ δ
∂Σ Σ
1 4
0
1
1
. (34)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
932 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
Pust\ ϕa1
— potencyal dlq Σa1
: div ω ϕ ϕ∇ ∇( )−
a
p
a1 1
2
= 0 v Q R
x
a4
0
1
\ Σ y
ϕa1
– UH ∈
�
W Qp R
x
aω
1
4
0
1
\ Σ( ). Tohda sohlasno varyacyonnomu sm¥slu funkcyy
ϕa1
ymeem
ω ϕ ω∇ =∫ a
p
Q
p
p adx a
R
x
a
1
4
0
1
11
\ Σ
Σcap
(sm. [3]). S pomow\g uravnenyq (1), v¥byraq probnug funkcyg ϕ = UH – ϕa1
,
naxodym
A x U U dxH H
Q R
x
a
( , )
\
∇ ∇∫
4
0
1
Σ
=
≤ A x U dxH a
Q R
x
a
( , )
\
∇ ∇∫ ϕ
1
4
0
1
Σ
≤ λ ω ϕ∇ ∇−∫ U dxH
p
a
Q R
x
a
1
1
4
0
1
\ Σ
≤
≤ λ ω ∇
∫
′
U dxH
p
Q
p
R
x
a4
0
1
1
\
/
Σ
ω ϕ∇
∫ a
p
Q
p
d x
R
x
a
1
4
0
1
1
\
/
Σ
≤
≤ λ A x U U dxH H
Q
p
R
x
a
( , )
\
/
∇ ∇
∫
′
4
0
1
1
Σ
capp a
p
aωΣ
1
1
1( ) /
,
otkuda v sylu (5), (6)
A x U U d xH H
Q R
x
a
( , )
\
∇ ∇∫
4
0
1
Σ
≤ λ ω
p p
p aa1 1
cap Σ ≤
≤ ( )2λ ω
p p
p aa cap Σ ≤ ( )2 2
0λ ω
p p
p R
xa Qcap , (35)
tak kak Σa1
⊂ Σa ⊂ Q R
x
2
0
. Yz (32) – (35) sleduet, çto
M H
M
a Q
a
p
p
p p
p R
x
−
−− ≤ + +
1
1
24 2
2 1 10cap capω ω
δ λ δ( ) ,
yly
a C
H
Q
Mp
p R
x
p
≥
−
′ −
cap
cap
ω
ω
δ
2
1
0
,
hde C > 0 ne zavysyt ot x0 , R, a, H, M. Ustremyv j k ∞ , analohyçnug ocenku
poluçym dlq reßenyq U xH ( ) (opuskaem δ j ). V sylu neravenstva Harnaka y
lemm¥ 3
inf inf
Q
H
Q
H
p
p R
x
p
R
x
R
x
U U Ca C
H
Q
M
0
2
0 0
2
1
≥ ≥ ≥
′ −
cap
cap
ω
ω
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 933
hde C > 0 ne zavysyt ot R, x0 , H, M. Dejstvytel\no, v sylu lemm¥ 3 inf
Q
H
R
x
U
2
0
, a
takΩe sup
\Q Q
H
R
x
R
x
U
4
0
2
0
budut dostyhat\sq na poverxnosty sfer¥ S R
x
2
0
. Poskol\ku
lgb¥e dve toçky na S R
x
2
0
moΩno soedynyt\ cepoçkoj samoe bol\ßee µn ßarov
QR
x
/2
ν{ }, hde xν ∈ S R
x
2
0
, to, prymenqq v kaΩdoj QR
x
/2
ν
neravenstvo Harnaka, yme-
em
sup sup inf inf
\Q Q
H
S
H
S
H
Q
H
R
x
R
x
R
x
n
R
x
n
R
x
U U C U C U
4
0
2
0
2
0 2
0
2
0
5 5= ≤ =µ µ
,
hde C5 — konstanta yz teorem¥ 1, t.Se. C = C n
5
−µ
vo vtoroj ocenke, pryvody-
moj v¥ße.
Vospol\zuemsq teper\ πlementarn¥my ocenkamy capp R
xQω 2
0 ≤ CR Qp
R
x− ( )ω 4
0
,
capp Hω ≥ capp Hω . Dalee, ω Q R
x
4
0( ) ≤ C QR
xω 0( ) v sylu svojstva udvoenyq
funkcyj ω ∈ Ap , v ytohe poluçaem ocenku
inf
S
H
p
p
R
x
p
R
x
U C
R H
Q
M
0 0
1
≥ ( )
′ −
cap ω
ω
,
hde C > 0 ne zavysyt ot x0 , R, H, M. S uçetom poslednej ocenky yz (31) sle-
duet utverΩdenye lemm¥ 10.
Lemma 10 dokazana.
Obobwennoe reßenye zadaçy Dyryxle. Pust\ f — proyzvol\naq neprer¥v-
naq na ∂D funkcyq. Postroym obobwennoe reßenye uf zadaçy Dyryxle dlq
uravnenyq (1) v oblasty D :
div A x u( , )∇ = 0 v D, u fD∂ = . (36)
V sluçae f ∈ Lip( )∂D suwestvuet ee prodolΩenye φ s ∂D na vse D takoe,
çto φ ∈ Lip D( ) . Tohda φ ∈ W Dpω
1 ( ) y obobwenn¥m reßenyem uf zadaçy (36)
nazovem reßenye zadaçy
div A x u( , )∇ = 0 v D, u – φ ∈
�
W Dpω
1 ( ). (37)
Zadaça (37) razreßyma v sylu lemm¥ 6.
Proyzvol\nug neprer¥vnug funkcyg f na ∂D approksymyruem hladkymy
funkcyqmy fk → f ravnomerno na ∂D, hde fk ∈ Lip( )∂D . Pust\ φk — pro-
dolΩenye fk na D, φk ∈ Lip D( ) . Oboznaçym çerez uk reßenye zadaçy (37)
dlq φ = φk . Ymeem f fk m− ≤ δkm → 0 na ∂D pry k, m → ∞ . Tohda v sylu
lemm¥ 7 u uk m− ≤ δkm poçty vsgdu v D. Poπtomu posledovatel\nost\
funkcyj uk{ } sxodytsq v L D∞( ) k nekotoroj suwestvenno ohranyçennoj v D
funkcyy u f , kotorug budem naz¥vat\ obobwenn¥m reßenyem zadaçy (36).
Funkcyq u f qvlqetsq reßenyem uravnenyq (36) v lgboj stroho vnutrennej
podoblasty G : G ⊂ D . Dejstvytel\no, lim sup
k D
ku
→∞
≤ 2 max
∂D
f y
lim ( )k
k W Du
p→∞ ω
1 < ∞, tak kak yz uravnenyq (37) sleduet (v¥byraem probnug
funkcyg ϕ = uk
pξ , hde ξ ∈ Lip D( ) ravna 1 na G , G ⊂ Ω, y nulg vne Ω,
Ω ⊂ D)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
934 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
A x u u dxk k
p
D
( , )∇ ∇∫ ξ ≤ λ ξ ξ ωp u u dxk
p
k
p
D
− −∇ ∇∫ 1 1 ≤
≤ λ ω ξ ω ξp u dx u dxk
p p
D
p
k
p p
D
p
∇
∇
∫ ∫
′1 1/ /
,
yly s uçetom (5)
ω ξ∇∫ u dxk
p p
D
≤ C G D f
D
, , max ,
∂
ω
, (38)
otkuda
ω ∇∫ u dxk
p
D
≤ C G D f
D
, , max ,
∂
ω
.
Tohda ∇uk → v v L D
p p( )
( )ξ ω slabo dlq nekotoroj podposledovatel\nosty,
dlq kotoroj ostavlqem preΩnee oboznaçenye. Yz sxodymosty uk → u f v
L D∞( ) sleduet, çto v = ∇u f . Tohda ∇uk → ∇u f v L D
p p( )
( )ξ ω y L Gpω( ) sla-
bo, ∇u f ∈ L Gpω( ).
PokaΩem, çto ∇uk → ∇u f poçty vsgdu v G dlq nekotoroj podposledova-
tel\nosty. Podbyraq probnug funkcyg ( )u uk f
p− ξ , yz uravnenyq (37) naxo-
dym
A x u A x u u u dxk f k f
p
D
( , ) ( , )∇ − ∇[ ] ∇ − ∇( )∫ ξ ≤
≤ p A x u u u dx Ik k f
p
D
k( , )∇ − ∇ −−∫ ξ ξ1 ≤
≤ p u u u dx dx Ik f
p
k
p
D
p
p
p
kλ ξ ω ω ξsup
/ /
Ω Ω
− ∇
∇
−∫ ∫
′1 1
, (39)
I A x u u u d xk f k f
p
D
= ∇ ∇ − ∇ →∫ 1 0
ω
ξ ω( , )( ) , k → ∞.
Tohda s uçetom (38), slaboj sxodymosty ∇uk → ∇u f v L D
p p( )
( )ξ ω y sup
Ω
uk –
– u f → 0 poluçaem F dxk
G
∫ = δk → 0, hde
F A x u A x u u uk k f k f= ∇ − ∇[ ] ∇ − ∇( )( , ) ( , ) .
Yz πtoho v¥tekaet, çto Fk → 0 po mere v G. Tohda dlq nekotoroj podposledo-
vatel\nosty, dlq kotoroj ostavlqem preΩnee oboznaçenye, Fk → 0 poçty vsg-
du v G . Otsgda sleduet, çto ∇uk → ∇uf poçty vsgdu v G v sylu uslovyq
(22): pust\ ∇uk → g v toçke x G∈ , hde F xk ( ) → 0, tohda yz (5) v¥tekaet, çto
g koneçen, a yz (22) sleduet, çto g = ∇u xf ( ) . Tohda ω− ∇1/ ( , )p
kA x u →
→ ω− ∇1/ ( , )p
fA x u poçty vsgdu v G vsledstvye neprer¥vnosty funkcyj
{A xj ( , )η : j = 1, 2, … , n} po η. No lim ( , ) /
( )k
k
p
L G
A x u
p→∞
−∇
′
ω 1 ≤ λ
ω
∇ −uk L G
p
p ( )
1 <
< ∞. Po teoreme Lyonsa [18, s.S25], A x uk
p( , ) /∇ −ω 1 → ω− ∇1/ ( , )p
fA x u v L Gp′( )
slabo, tak çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 935
0 = ∇ ∇ → ∇ ∇∫ ∫A x u dx A x u dxk
G
f
G
( , ) ( , )ϕ ϕ ∀ϕ ∈
�
W Gpω
1 ( ) ,
t.Se. u f qvlqetsq reßenyem uravnenyq (36) v G.
Opredelenye. Toçka x D0 ∈∂ naz¥vaetsq rehulqrnoj dlq uravnenyq (36),
esly dlq lgboj neprer¥vnoj na ∂D funkcyy f
lim ( ) ( )
x x
fu x f x
→
=
0
0 . (40)
Teorema 3. Pust\ pry 1 < p < ∞, ω ∈ Ap v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7) y
(22) dlq uravnenyq (36). Tohda dlq rehulqrnosty hranyçnoj toçky x0 dosta-
toçno, çtob¥
4
4
1
1
0
− ′ −
=
∞
−( )
= ∞∑
m p
p m
x
p
m
H
Q m
cap ω
ω
, (41)
hde Hm = Q Dm
x
4
0
− \ , capp mHω — eho nelynejnaq vesovaq emkost\ (29).
Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno [6, s.S151]. Pust\ ε > 0, tohda
najdetsq δ1 > 0 takoe, çto f x f x( ) ( )− 0 < ε
4
pry x x− 0 < δ1, x D∈∂ .
Krome toho, najdetsq fk ∈ Lip( )∂D , dlq kotoroj f fk − < ε
4
dlq vsex x ∈
∈ ∂D. Pust\ uk — reßenye zadaçy div A x uk( , )∇ = 0 v D , uk – φk ∈
�
W Dpω
1 ( ),
hde φk ∈ Lip D( ) — prodolΩenye fk s ∂D na vsg D . Funkcyq z = uk –
– f x( )0 – ε
2
est\ reßenye zadaçy div A x z( , )∇ = 0 v D , z – φk + f x( )0 +
+ ε
2
∈
�
W Dpω
1 ( ). Tohda dlq lgboho x ∈ Qx
δ1
0 ∩ ∂D ymeem z < 0. Funkcyq z ne-
prer¥vna v D. Oboznaçym ′D = { x D∈ : z x( ) > 0}. Pust\ m0 — takoe natu-
ral\noe çyslo, çto 4 0−m < δ1. Prymenqq k ßaram Q m
x
4
0
− , Q m
x
4 1
0
− +( ) y podoblas-
ty ′D dlq m = m0, m0 + 1, … , l, mnohokratno lemmu 10, poluçaem
sup max exp
( )Q D D
p m
x
m p
p
m m
l
l
x
m
z f
H
Q
4
0 0
0
3 4
4
1
− −
≤ −
−
′ −
=
∑
∩ ∂
ωγ
ω
cap
.
Yz πtoj ocenky y analohyçnoj dlq funkcyj z1 = f x( )0 – ε
2
– uk ymeem
sup ( ) ( ) exp
Q D
f
mp
p m
x
p
m m
l
l
x
m
u x f x L
H
Q
4
0 0
0
0
4
1
2
4
− −
− < + − ( )
− ′ −
=
∑
∩
ε γ
ω
ωcap
, (42)
hde L > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap , max
∂D
f (podrobnee sm. [6, s.S151]). Otsgda,
v¥byraq l( )ε ∈ N tak, çtob¥ vtoroe slahaemoe (42) b¥lo men\ße ε/2 pry l ≥
≥ l( )ε , poluçaem u x f xf ( ) ( )− 0 < ε pry x x− 0 < δ, x D∈ , hde δ = 4−l( )ε
.
Yz dokazatel\stva teorem¥ 3 vydno, çto v rehulqrnoj hranyçnoj toçke
moΩno ocenyt\ modul\ neprer¥vnosty funkcyj u xf ( ) v zavysymosty ot modu-
lq neprer¥vnosty hranyçnoj funkcyy f y skorosty rasxodymosty rqda (41).
Pust\ f x f x( ) ( )− 0 ≤ θ x x−( )0 , hde θ (θ( )0 = 0, θ ′ > 0, θ ′′ ≤ 0) — modul\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
936 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
neprer¥vnosty hranyçnoj funkcyy. Tohda
u x f x f
H
Q
d
f
D
p
p
x
p
x x
( ) ( ) ( ) max exp− ≤ + − ( )
′ −
−
∫0
1
2 3
0
0
θ δ γ
τ
ω
τ
τ∂
ω τ
τ
δ cap
pry x x− 0 < δ, x D∈ ,
hde δ > 0, γ > 0 zavysqt ot n, p, λ, Ap ; Hτ = Q Dx
τ
0 \ ; capp Hω τ — nelynejnaq
vesovaq emkost\ Hτ (29).
1. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for equations with discontinuous
coefficients // Ann. sci. norm. super. Pisa. Cl. Sci. – 1963. – 17. – P. 43 – 77 (Sb. per. „Mate-
matyka”. – 1965. – 9, # 2. – S. 72 – 97).
2. Fabes E. B., Kenig C. E., Serapioni R. P. The local regularity of solutions of degenerate elliptic
equations // Communs Part. Different. Equat. – 1982. – 7. – P. 77 – 116.
3. Fabes E. B., Jerison D., Kenig C. The Wiener test for degenerate elliptic equations // Ann. Inst.
Forier (Grenoble). – 1982. – 32. – P. 151 – 182.
4. Chanillo S., Wheeden R. L. Harnack’s inequality and mean-value inequalities for solutions of
degenerated elliptic equations // Communs Part. Different. Equat. – 1986. – 11(10). – P. 1111 –
1134.
5. Garieppy R., Ziemer W. P. A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear
elliptic equations // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1977. – 67. – P. 25 – 39.
6. Kondrat\ev V. A., Landys E. M. Kaçestvennaq teoryq lynejn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x vtoroho porqdka // Ytohy nauky y texnyky. Sovr. probl.
matematyky. Fundam. napravlenyq. – M.: VYNYTY, 1988. – 32. – S. 99 – 217.
7. Maz’ya V. G. On Wiener’s type regularity of a boundary points for higher order elliptic equations //
Nonlinear Anal. Function Spaces and Appl. / Eds M. Krbec, A. Kufner (Proc. Spring School Held in
Prague, May 31 – June 6, 1988). – 1988. – 6. – P. 119 – 155.
8. Maly J., Ziemer W. P. Regularity of solutions of elliptic partial differential equations // Math. Surv.
and Monogr. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997. – 51.
9. Landys E. M. Uravnenyq vtoroho porqdka πllyptyçeskoho y parabolyçeskoho typov. – M.:
Nauka, 1971. – 287 s.
10. Kufner A. Weighted Sobolev spaces. – Leipzig: Feubner, 1980.
11. Kilpelainen T. Smooth approximation in weighted Sobolev spaces // Comment math. Univ. carol. –
1997. – 38. – P. 29 – 35.
12. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Approximation and embedding theorems for weighted
Sobolev spaces associated with Lipschitz continuous vector fields // Boll. Unione mat. ital. – 1997. –
7, # 11-B. – P. 83 – 117.
13. Sawyer E. T., Wheeden R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and
homogeneous spaces // Amer. J. Math. – 1992. – 114. – P. 813 – 874.
14. Mamedov F. I. On two weighted Sobolev inequalities in unbounded domains // Proc. A. Razmadze
Math. Inst. Georgian Acad. Sci / Ed. V. M. Kokilashvili. – 1999. – 21. – P. 117 – 123.
15. Lad¥Ωenskaq O. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravnenyq πllyptyçesko-
ho typa. – M.: Nauka, 1967. – 574 s.
16. Landys E. M. Nekotor¥e vopros¥ kaçestvennoj teoryy πllyptyçeskyx uravnenyj // Uspexy
mat. nauk. – 1963. – 18, # 1. – S. 3 – 62.
17. Maz\q V. H. Prostranstva Soboleva. – L.: Yzd-vo Lenynhr. un-ta, 1985.
18. Lyons Û.-L. Nekotor¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x kraev¥x zadaç. – M.: Myr, 1972. –
585 s.
19. Drabek P., Kufner A., Nicolosi F. Nonlinear elliptic equations (singular and degenerated case). –
Univg West Bohemia in Pilshen, 1996. – 211 p.
20. Stejn Y. Synhulqrn¥e yntehral¥ y dyfferencyal\n¥e svojstva funkcyj. – M.: Myr,
1973. – 342 s.
Poluçeno 26.04.06,
posle dorabotky — 28.08.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3209 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:15Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/70/27d116426560325c0fd089f832c19770.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32092020-03-18T19:48:23Z On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений Amanov, R. A. Mamedov, F. I. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. For the quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) from the Muckenhaupt Ap -class, we prove the Harnack inequality, an estimate of the Holder norm, and a sufficient test for the regularity of boundary points of the Wiener type. Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3209 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 7 (2008); 918–936 Український математичний журнал; Том 60 № 7 (2008); 918–936 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3209/3164 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3209/3165 Copyright (c) 2008 Amanov R. A.; Mamedov F. I. |
| spellingShingle | Amanov, R. A. Mamedov, F. I. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. Аманов, Р. А. Мамедов, Ф. И. On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title | On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title_alt | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| title_full | On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title_fullStr | On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title_full_unstemmed | On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title_short | On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title_sort | on some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3209 |
| work_keys_str_mv | AT amanovra onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT mamedovfi onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT amanovra onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT mamedovfi onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT amanovra onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT mamedovfi onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT amanovra onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij AT mamedovfi onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij AT amanovra onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij AT mamedovfi onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij AT amanovra onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij AT mamedovfi onekotoryhsvojstvahrešenijkvazilinejnyhvyroždaûŝihsâuravnenij |