Common periodic trajectories of two mappings
For a map f ∈ Cr (I, I), r > 0, we consider the problem of the existence of a map close to it and having the common periodic trajectories of given periods with f.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3210 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509260716179456 |
|---|---|
| author | Matviichuk, M. Yu. Матвійчук, М. Ю. |
| author_facet | Matviichuk, M. Yu. Матвійчук, М. Ю. |
| author_sort | Matviichuk, M. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:23Z |
| description | For a map f ∈ Cr (I, I), r > 0, we consider the problem of the existence of a map close to it and having the common periodic trajectories of given periods with f. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
M. G. Matvijçuk (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
SPIL|NI PERIODYÇNI TRA{KTORI} DVOX VIDOBRAÛEN|
For a map f ∈ C I Ir ( , ) , r ≥ 0, we consider the problem of the existence of a map close to it and having
the common periodic trajectories of given periods with f.
Dlq otobraΩenyq f ∈ C I Ir ( , ) , r ≥ 0, rassmatryvaetsq problema suwestvovanyq blyzkoho k
nemu otobraΩenyq, ymegweho s f obwye peryodyçeskye traektoryy zadann¥x peryodov.
DoslidΩennq periodyçnyx tra[ktorij [ odni[g z central\nyx problem teori]
dynamiçnyx system. U danij statti rozhlqda[t\sq problema isnuvannq spil\nyx
periodyçnyx tra[ktorij kil\kox vidobraΩen\. Deqki aspekty ci[] problemy roz-
hlqnuto v [1].
Motyvaciq do rozhlqdu vkazano] zadaçi poxodyt\ z teori] zaxystu informaci].
Dva neperervnyx vidobraΩennq vidrizka v sebe moΩna rozhlqdaty qk dva klgçi,
koΩen z qkyx mistyt\sq v odnij iz storin. Qkwo obydva klgçi ob’[dnaty, to ot-
ryma[mo zaßyfrovanu informacig — mnoΩynu spil\nyx periodiv. V roboti my
faktyçno pokazu[mo, wo nabir potribnyx dlq ci[] mety klgçiv [ dostatn\o ba-
hatym.
Nexaj f, f̃ ∈ C I Ir( , ) , r ≥ 0, i J f f, ˜( ) = x I f xi{ ∈ ( ) = ˜ ( )f xi , i = 1, 2, …} [
mnoΩynog spil\nyx tra[ktorij. MnoΩyna J f f, ˜( ) [ invariantnog vidnosno
vidobraΩen\ f, f̃ ta zamknenog.
Nexaj, qk zavΩdy, Per ( )f poznaça[ mnoΩynu periodyçnyx toçok vidobra-
Ωennq f, a p f( ) [ pidmnoΩynog mnoΩyny natural\nyx çysel, wo sklada[t\sq
z periodiv periodyçnyx tra[ktorij f. Poklademo Per ( , ˜)f f = J f f, ˜( ) ∩ Per ( )f i
poznaçymo çerez p f f, ˜( ) pidmnoΩynu mnoΩyny p f( ), qku skladagt\ periody
tra[ktorij z Per ( , ˜)f f .
Nexaj Pern f( ) — mnoΩyna toçok periodu n vidobraΩennq f.
Nahada[mo vidomu teoremu O. M. Íarkovs\koho: Qkwo Pern f( ) ≠ ∅ dlq
deqkoho natural\noho n, to Per ′n f( ) ≠ ∅ dlq bud\-qkoho ′n n≺ , de ≺ vy-
znaça[t\sq takym uporqdkuvannqm natural\nyx çysel:
1 2 2 52≺ ≺ ≺ ≺… ⋅ 2 3 2 2 52 2 2≺ ≺ ≺ ≺⋅ … ⋅ 2 3≺ ⋅ 2 9 7 5 3≺ ≺ ≺ ≺ ≺… . (1)
Budemo hovoryty, wo vidobraΩennq f [ typu n, qkwo n — maksymal\ne vid-
nosno porqdku (1) çyslo z p f( ). MoΩe trapytys\, wo p f( ) = {1, 2, 22 , 23, … },
i, otΩe, maksymal\noho vidnosno porqdku (1) çysla v p f( ) ne isnu[. Todi
kaΩut\, wo f [ typu 2∞
.
Osnovnym rezul\tatom statti [ taka teorema.
Teorema. Nexaj vidobraΩennq f ne [ typu 2∞
. Todi dlq dovil\nyx pidmno-
Ωyny M � p f( ) i dodatnoho çysla ε isnu[ fε ∈ C I Ir( , ) take, wo f x( ) –
– f x Crε( ) < ε i p f f( , )ε = M.
Dovedennq polqha[ u vidßukanni zamkneno] mnoΩyny K � I, qka mistyt\ pe-
riodyçni tra[ktori] vidobraΩennq f periodiv lyße z M. Tobto K ma[ zadovol\-
nqty umovy
© M. G. MATVIJÇUK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 937
938 M. G. MATVIJÇUK
K f∩ Per ( ) �
p M
p f
∈
∪ Per ( ), (2)
∀ ∈p M K fp: ( )∩ Per ≠ ∅. (3)
Qkwo vidpovidna mnoΩyna isnu[, to dosyt\ poklasty
f xε( ) = f x( ) + δe x K x x K x
–
, – ,
–
, ,
1 1
dist dist∩ ∩∞( ]( ) +∞[ )( )
,
de dist ( , )x ∅ = + ∞.
Todi fε ∈ C I Ir( , ) , f x( ) – f x Crε( ) < ε dlq dostatn\o maloho δ = δ ε( ) ,
J f f( , )ε = K i, otΩe, p f f( , )ε = M.
ZauvaΩymo, wo u vypadku skinçenno] mnoΩyny M teorema dovodyt\sq pros-
to: dosyt\ vzqty K =
Tpp M∈∪ , de Tp — deqkyj cykl periodu p. Oskil\ky M
[ skinçennog, to K takoΩ [ skinçennog, a otΩe, zamknenog. Umovy (2), (3) vy-
konugt\sq.
Analohiçni mirkuvannq pokazugt\, wo pry dovedenni moΩna vidkynuty vid M
dovil\nu skinçennu kil\kist\ elementiv. Tobto qkwo my dovedemo teoremu dlq
menßo] mnoΩyny, to dlq poçatkovo] vona takoΩ bude dovedena.
Vvedemo neobxidni dlq podal\ßoho vykladu oznaçennq ta dovedemo dopo-
miΩni tverdΩennq.
Oznaçennq 1. Nexaj x y1 1,[ ], x y2 2,[ ] � I . Budemo hovoryty, wo vidrizok
x y1 1,[ ] nakryva[ (Ef-nakryva[) vidrizok x y2 2,[ ], qkwo vidrizok z kincqmy
f x( )1 , f y( )1 mistyt\ x y2 2,[ ], i poznaçatymemo ce x y1 1,[ ] → x y2 2,[ ] abo
x y2 2,[ ] ← x y1 1,[ ].
ZauvaΩennq. Qkwo x y1 1,[ ] → x y2 2,[ ], to f x y1 1,[ ]( ) � x y2 2,[ ].
Dlq dvox vidrizkiv I, J zapys ∂I → ∂J abo ∂J ← ∂I (tut ∂I — meΩa vid-
rizka I) oznaçatyme, wo obrazom mnoΩyny ∂I [ mnoΩyna ∂J .
Budemo hovoryty, wo vidrizok x y1 1,[ ] toçno nakryva[ vidrizok x y2 2,[ ], qk-
wo f x y( , )1 1( ) = ( , )x y2 2 , i poznaçatymemo x y1 1,[ ] Æ x y2 2,[ ] abo x y2 2,[ ] ¨
¨ x y1 1,[ ].
Lema 1. Qkwo x y1 1,[ ] Æ x y2 2,[ ], to f x y1 1,[ ]( ) = x y2 2,[ ], f x y1 1,{ }( ) =
= x y2 2,{ } . Zokrema, x y1 1,[ ] → x y2 2,[ ].
Dovedennq. Dosyt\ dovesty perßu rivnist\. MnoΩyna f x y1 1,[ ]( ) [ kom-
paktom, oskil\ky [ obrazom kompaktu pry neperervnomu vidobraΩenni. Zokrema,
f x y1 1,[ ]( ) — zamknena mnoΩyna. Tomu f x y1 1,[ ]( ) � cl ( , )x y2 2( ) = x y2 2,[ ]. Ta-
koΩ f x y1 1,[ ]( ) = f x ycl ( , )1 1( )( ) � cl f x y( , )1 1( )( ) = cl ( , )x y2 2( ) = x y2 2,[ ]. Ma[mo
f x y1 1,[ ]( ) = x y2 2,[ ].
Lemu dovedeno.
Lema 2. Qkwo x y1 1,[ ] → x y2 2,[ ] i ∆ f x y1 1,[ ] ≡ f y( )1 – f x( )1 ≠ 0, to isnu[
vidrizok x y3 3,[ ] � x y1 1,[ ] takyj, wo x y3 3,[ ] Æ x y2 2,[ ] i ∆ f x y3 3,[ ] ×
× ∆ f x y1 1,[ ] > 0.
Dovedennq. Nexaj, napryklad, ∆ f x y1 1,[ ] > 0, tobto f x( )1 ≤ x2, f y( )1 ≥
≥ y2. Poklademo
x3 : = max , ( )x x y f x x∈[ ] ={ }1 1 2 ,
y3 : = min , ( )x x y f x y∈[ ] ={ }3 1 2 .
Za vyznaçennqm x y3 3,[ ] � x y1 1,[ ] i ∆ f x y3 3,[ ] = y2 – x2 > 0.
Teorema Koßi pro promiΩne znaçennq harantu[ vklgçennq f x y( , )3 3( ) �
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
SPIL|NI PERIODYÇNI TRA{KTORI} DVOX VIDOBRAÛEN| 939
� ( , )x y2 2 . Vodnoças dlq bud\-qkoho x ∈ ( , )x y3 3 vykonu[t\sq nastupne:
f x( ) > x2, bo inakße, oskil\ky f y( )1 ≥ y2 > x2, na intervali ( , )x y1 1 znaj-
det\sq toçka z f x– ( )1
2 , wo nemoΩlyvo za vyznaçennqm toçky x3;
f x( ) < y2 analohiçno z uraxuvannqm f x( )3 = x2 < y2 i vyznaçennq toçky y3.
OtΩe, f x y( , )3 3( ) � ( , )x y2 2 i f x y( , )3 3( ) � ( , )x y2 2 . Zvidsy x y3 3,[ ] Æ x2[ ,
y2].
U vypadku ∆ f x y1 1,[ ] < 0 dosyt\ poklasty x3 : = max x x∈[{ 1 , y f x1] ( ) =
= y2}, y3 : = min x x∈[{ 3 , y f x1] ( ) = x2}.
Lemu dovedeno.
Oznaçennq 2. Budemo hovoryty, wo skinçenna poslidovnist\ natural\nyx
çysel i1, i2, … , in [ prostog, qkwo n — najmenßyj period neskinçenno] po-
slidovnosti i1, i2, … , in , i1, i2, … , in , … .
Zafiksu[mo deqkyj cykl B = β1{ < β2 < … < βm}, de m ≥ 3.
Lema 3. Nexaj In Æ In –1 Æ … Æ I2 Æ I1 → In , I j � β βi ij j[ ]+, 1 , j = 1, n .
Todi isnu[ x In∈ take, wo f xn( ) = x i f xj ( ) ∈ In j– , j = 0 1, –n . Qkwo pry
c\omu x B∉ i poslidovnist\ in , in –1, … , i1 [ prostog, to x — toçka pe-
riodu n.
Dovedennq. Za lemogE1 ta zauvaΩennqm 1 ma[mo
f In( ) = In –1, f In( )–1 = In – 2 , … , f I( )2 = I1, f I( )1 � In . (4)
Zvidsy f In
n( ) � In . Za teoremog Koßi isnu[ x In∈ take, wo f xn( ) = x.
Krim toho, z (4) ma[mo f xj ( ) ∈ In j– , j = 0 1, –n .
Prypustymo, wo x B∉ i x — toçka periodu k, k < n. Todi dlq bud\-qkoho
n1 ma[mo f xn k1 + ( ) = f xn1 ( ) , otΩe, vidrizky β βi ip p[ ]+, 1 ta β βi is s
,[ ]+1 pry
p s– = k magt\ spil\nu toçku, qka pry c\omu [ vnutrißn\og, bo x B∉ . Tomu
β βi ip p[ ]+, 1 = β βi is s[ ]+, 1 i ip = is pry p s– = k. Takym çynom, k — period po-
slidovnosti in , in –1, … , i1, in , in –1, … , i1,E… . Otrymaly supereçnist\ z tym,
wo poslidovnist\ in , in –1, … , i1 [ prostog.
Lemu dovedeno.
Lema 4. Nexaj dlq vidrizkiv I j � β βi ij j[ ]+, 1 magt\ misce nakryttq
In Æ In –1 Æ … Æ I2 Æ I1 Æ β βi in n
, +[ ]1 , (5)
β βi in n
, +[ ]1 → β βi in n
, +[ ]1 . (6)
Prypustymo, wo vykonugt\sq umovy:
a) In � β βi in n
, +( )1 ;
b) ∆ f jj
n
I=∏ 1
> 0;
v) poslidovnist\ in , in –1, … , i1, a takoΩ poslidovnosti vyhlqdu
i i i i i i i i i i i in n n n n n
k
n n n
r
, , , , , , , , , , , , , , ,– – –1 1 1 1 1 1… … … … …
� ��� ��� � ��� ��� � ��� ���� ��������� ��������� � �� �� ,
de k ≥ 1, r = 1, n , [ prostymy. Todi isnu[ takyj nabir Tp{ — cykl dovΩyny
p p ≥ n} , wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
940 M. G. MATVIJÇUK
Tp
p n=
∞
′
∪ ∩ Per ( )f � Pern f( ). (7)
Dovedennq. Za nakryttqmy (5) pobudu[mo induktyvno poslidovnist\ vidriz-
kiv I kk j,{ ≥ 1, j = 1, n}.
I1 1, : Oskil\ky I1 Æ β βi in n
, +[ ]1 i In � βin[ , βin + ]1 , to I1 → In . Za lemogE2
isnu[ vidrizok I1 1, � I1 takyj, wo I1 1, Æ In i ∆ f I1 1, ⋅ ∆ f I1 > 0.
I1 2, : Ma[mo I2 → I1 1, . Za lemogE2 isnu[ vidrizok I1 2, � I2 takyj, wo I1 2, Æ
Æ I1 1, i ∆ f I1 2, ⋅ ∆ f I2 > 0.
I n1, : Vykorystavßy nakryttq In → I n1 1, – , otryma[mo vidrizok I n1, � In z
vlastyvostqmy I n1, Æ I n1 1, – , ∆ f nI1, ⋅ ∆ f nI > 0.
I2 1, : Znovu rozhlqnemo nakryttq I1 1, Æ In � I n1, . Zvidsy I1 1, → I n1, . Za le-
mogE2 isnu[ vidrizok I2 1, � I1 1, takyj, wo I2 1, Æ I n1, , ∆ f I2 1, ⋅ ∆ f I1 1, > 0.
TakoΩ za pobudovog ∆ f I1 1, ⋅ ∆ f I1 > 0. PeremnoΩyvßy dvi ostanni nerivnosti,
otryma[mo ∆ f I2 1, ⋅ ∆ f I1 1
2
,( ) ⋅ ∆ f I1 > 0, zvidky ∆ f I2 1, ⋅ ∆ f I1 > 0.
ProdovΩuvatymemo cej proces neskinçenno. V rezul\tati otryma[mo posli-
dovnist\ vidrizkiv I kk j,{ ≥ 1, j = 1, n}, wo zadovol\nq[ vlastyvosti
β βi in n
, +[ ]1 ¨ I1 ¨ I2 ¨ … ¨ In –1 ¨ In ¨ I1 1, ¨ I1 2, ¨ …
… ¨ I n1 1, – ¨ I n1, ¨ I2 1, ¨ I2 2, ¨ … ¨ I n2 1, – ¨ I n2, ¨ … , (8)
∀ = ⊇ ⊇ ⊇j n I I I Ij j j j1 1 2 3, : , , , � … � Ik j
k
,
=
∞
1
∩ = : I j , (9)
∀ ≥k 1, j = 1, n: ∆ ∆f k j f jI I, ⋅ > 0. (10)
Dovedemo, wo
∀ ≥k 1: ∂I fj
n⊆ Per ( ). (11)
Z (8) za lemogE1 ma[mo
∂Ik n, → ∂Ik n, –1 → … → ∂Ik,2 → ∂Ik,1 → ∂Ik n– ,1 , k ≥ 1. (12)
Sprqmu[mo v (12) k do ∞:
∂In → ∂In –1 → … → ∂I2 → ∂I1 → ∂In. (13)
Z vlastyvosti (9) ta umovy a) lemy 4 baçymo, wo ∂I j
j
n
=1∪ ne mistyt\ toçok
cyklu B. Qk i v dovedenni lemy 3, vykorystovugçy prostotu poslidovnosti in ,
in –1, … , i1, moΩna pokazaty, wo vsi periody toçok z ∂I j
j
n
=1∪ [ kratnymy n.
Nam potribno dovesty, wo vony dorivnggt\ n.
ZauvaΩymo, wo ∆ f ⋅ ⋅[ ], — neperervna funkciq vid kinciv vidrizka. Tomu,
sprqmuvavßy v (10) k do ∞, otryma[mo
∀ =j n1, E: ∆ ∆f
j
f jI I⋅ ≥ 0 . (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
SPIL|NI PERIODYÇNI TRA{KTORI} DVOX VIDOBRAÛEN| 941
Rozhlqnemo dva vypadky:
1. Odna z nerivnostej (14) peretvorg[t\sq na rivnist\. Todi isnu[ j take, wo
∆ f
jI = 0, i, otΩe, f I j∂( ) — odnotoçkova mnoΩyna. Z (13) vydno, wo vsi ∂I j
skladagt\sq z odni[] toçky i ∂I j
j
n
=1∪ utvorg[ cykl dovΩyny n.
2. Vsi nerivnosti (14) [ strohymy. PeremnoΩymo ]x: ∆ f
j
j
n
I=∏ 1
⋅ ∆ f jj
n
I=∏ 1
>
> 0. Zvidsy za umovog b) ma[mo
∆ f
j
j
n
I
=
∏
1
> 0. (15)
Nexaj I1 = a b,[ ]. Todi z (13) ta (15) otrymu[mo
sign f b f an n( ) – ( )( ) = sign f f b f f an n– –( ) – ( )1 1( ) ( )( ) =
= sign signf b f a In n
f
– –( ) – ( )1 1 1( ) ∆ =
= sign sign signf b f a I In n
f f
– –( ) – ( )2 2 2 1( ) ∆ ∆ = …
… =
j
n
f
jI
=
∏
1
sign ∆ = sign
j
n
f
jI
=
∏
1
∆ = 1.
OtΩe, f bn( ) > f an( ).
TakoΩ f a bn ,{ }( ) = a b,{ }, tomu f an( ) = a, f bn( ) = b i
∂I j
j
n
=1∪ rozpada-
[t\sq na dva cykly periodu n.
OtΩe, v obox vypadkax vklgçennq (11) vykonugt\sq.
Poznaçymo çerez Tn deqkyj cykl dovΩyny n z
∂I j
j
n
=1∪ .
Analohiçno, vykorystovugçy nakryttq (6), pobudu[mo poslidovnist\ vidriz-
kiv J kk r,{ ≥ 1, r = 0, n}.
Poklademo J1 0, : = I n1, . Dali za nakryttqm (6), vykorystavßy lemuE2, pobu-
du[mo vidrizky J1 1, , J1 2, , … , J n1, � β βi in n[ ]+, 1 taki, wo
J1 0, ¨ J1 1, ¨ J1 2, ¨ … ¨ J n1, . (16)
Poklademo J2 0, : = I n2, . Za vlastyvistg (9) ma[mo J2 0, � J1 0, . Za nakryttq-
my (16) pobudu[mo analohiçnyj lancgh vidrizkiv J2 0, ¨ J2 1, ¨ J2 2, ¨ …
… ¨ J n2, (tut my navit\ ne vidslidkovu[mo velyçyny ∆ f k rJ , , oskil\ky vony
nam ne znadoblqt\sq). ProdovΩymo cej proces neskinçenno. V rezul\tati ot-
ryma[mo poslidovnist\ vidrizkiv J kk r,{ ≥ 1, r = 0, n} z vlastyvostqmy
∀ ≥k 1 : Ik n, = Jk,0 ¨ Jk,1 ¨ Jk,2 ¨ … ¨ Jk n, , (17)
∀ =r n0, : In ⊇ J r1, ⊇ J r2, ⊇
J Jr k r
k
3
1
, ,⊇ … ⊇
=
∞
∩ = : Jr . (18)
Z vlastyvosti (17) za lemogE1 ma[mo
∀ ≥k 1: ∂Ik n, = ∂ ∂ ∂ ∂J J J Jk k k k n, , , ,0 1 2← ← ← … ← .
Sprqmu[mo tut k do ∞ :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
942 M. G. MATVIJÇUK
∂In = ∂ ∂ ∂ ∂J J J Jn0 1 2← ← ← … ← . (19)
Pobudu[mo we odyn nabir vidrizkiv L qq r k j, , ,{ ≥ 1, r = 1, n , k = 1, q , j = 1, n}.
Zafiksu[mo dovil\ne çyslo r ∈ 1{ , 2, … , n} .
Z vlastyvostej (8) i (18) ma[mo J r1, ← I1 1, ¨ I1 2, ¨ … ¨ I n1, .
Zastosuvavßy do cyx nakryttiv n raziv lemuE2, znajdemo vidrizky L r1 1 1, , , �
� I1 1, , L r1 1 2, , , � I1 2, , … , L r n1 1, , , � I n1, taki, wo
J r1, ¨ L r1 1 1, , , ¨ L r1 1 2, , , ¨E… ¨ L r n1 1, , , . (20)
Oskil\ky J r2, � J r1, i L r n1 1, , , � I n1, , to z (8) i (20) ma[mo
J Lr r2 1 1 1, , , ,← ¨ L r1 1 2, , , ¨E… ¨ L r n1 1, , , ← I2 1, ¨ I2 2, ¨ … ¨ I n2, .
Do cyx nakryttiv znovu zastosovu[mo lemuE2. Znaxodymo vidrizky
L Lr r2 1 1 1 1 1, , , , , ,⊆ , L Lr r2 1 2 1 1 2, , , , , ,⊆ , … , L Lr n r n2 1 1 1, , , , , ,⊆ ,
L Ir2 2 1 2 1, , , ,⊆ , L Ir2 2 2 2 2, , , ,⊆ , … , L Ir n n2 2 2, , , ,⊆
taki, wo
J r2, ¨ L r2 1 1, , , ¨ L r2 1 2, , , ¨E… ¨ L r n2 1, , , ¨ L r2 2 1, , , ¨
¨ L r2 2 2, , , ¨ … ¨ L r n2 2, , , .
Na q-mu kroci ma[mo nakryttq
J Lq r q r, – , , ,← 1 1 1 ¨ Lq r– , , ,1 1 2 ¨E… ¨ Lq r n– , , ,1 1 ¨ Lq r– , , ,1 2 1 ¨
¨ Lq r– , , ,1 2 2 ¨ … ¨ Lq r n– , , ,1 2 ¨ … ¨ Lq r q n– , , – ,1 1 ←
← Iq,1 ¨ Iq,2 ¨E… ¨ Iq n, .
Za lemogE2 znajdemo vidrizky Lq r k j, , , , k = 1, q , j = 1, n , qki zadovol\nqgt\ umo-
vy
∀ =k q1 1, – , j = 1, n : L Lq r k j q r k j, , , – , , ,⊆ 1 ,
∀ =j n1, : L Iq r k j q j, , , ,⊆ ,
J Lq r q r, , , ,← 1 1,
∀ =k q1, , j = 1 1, –n : L Lq r k j q r k j, , , , , ,← +1,
∀ =k n1 1, – E: L Lq r k n q r k, , , , , ,← +1 1.
Takym çynom, zastosuvavßy bahato raziv lemuE2, pobudu[mo nabir vidrizkiv
L qq r k j, , ,{ ≥ 1, r = 1, n , k = 1, q , j = 1, n}, wo zadovol\nqgt\ umovy
Jq,1 ¨ Jq,2 ¨E… ¨ Jq r, ¨ Lq r, , ,1 1 ¨ Lq r, , ,1 2 ¨… ¨ Lq r n, , ,1 ¨
¨ Lq r, , ,2 1 ¨ Lq r, , ,2 2 ¨E… ¨ Lq r n, , ,2 ¨E… ¨ Lq r q, , ,1 ¨ Lq r q, , ,2 ¨E…
…E¨ Lq r q n, , , ← Jq,1, (21)
∀ ≥k 1, j = 1, n : I L L Lk j k r k j k r k j k r k j, , , , , , , , , ,⊇ ⊇ ⊇ ⊇ …+ +1 2
…E
⊇
=
∞
Lq r k j
q k
, , ,∩ = : Lr k j, , . (22)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
SPIL|NI PERIODYÇNI TRA{KTORI} DVOX VIDOBRAÛEN| 943
Z vlastyvosti (21) za lemogE1 ma[mo
∀ ≥k 1, q ≥ k : ∂ ∂ ∂J L Lq r q r q r, , , , , , ,← ←1 1 1 2 ← … ← ∂Lq r n, , ,1 ←
← ∂ ∂ ∂L L Lq r q r q r n, , , , , , , , ,2 1 2 2 2← ← … ← ← … ← ∂Lq r q, , ,1 ←
← ← … ←∂ ∂L Lq r q q r q n, , , , , ,2 .
Sprqmu[mo q do ∞. Vraxuvavßy dovil\nist\ k, otryma[mo
∂ ∂ ∂J L Lr r r← ←, , , ,1 1 1 2 ← … ← ∂Lr n, ,1 ← ∂Lr, ,2 1 ← ∂Lr, ,2 2 ← …
… ← ∂Lr n, ,2 ← … ← ∂Lr q, ,1 ← ∂Lr q, ,2 ← … ← ∂Lr q n, , ← … . (23)
Poklademo
S =
∂I j
j
n
=
1
∪ ∪
∂Jr
r
n
=
1
∪ ∪
∂Lr k j
j
n
kr
n
, ,
==
∞
=
111
∪∪∪ .
VaΩlyvist\ mnoΩyny S vyqvyt\sq pizniße: bude pokazano, wo S �
�
Tpp n=
∞( )′∪ , de dlq koΩnoho p ≥ n Tp — cykl periodu p.
Doslidymo budovu S. Z vlastyvostej (13), (19) i (23) ma[mo taku sxemu:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
J L L L L L
J L L L L L
J L L
n n n n n n n
n
← ← ← … ← ← ← ← …
↓
↓
← ← ← … ← ← ← ← …
↓
← ←
, , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , ,
, , , ,
1 1 1 2 1 2 1 2 2
2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2
←← … ← ← ← ← …
↓
← ←
…
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂
L L L
I I I
I
n
n
n
1 1 1 2 1 1 2 2
1 2
1
, , , , , ,
– .↖ ↙
OtΩe, mnoΩyna S sklada[t\sq wonajbil\ße z 2n homokliniçnyx tra[kto-
rij, koΩna z qkyx „prykleg[t\sq” do cyklu periodu n.
Z budovy S vydno, wo
S ∩ Per ( )f � Pern f( ). (24)
Perejdemo do pobudovy cykliv Tp pry p > n (mnoΩyna Tn v nas vΩe [).
Nexaj p — deqke fiksovane natural\ne çyslo, bil\ße za n. Todi vono odno-
znaçno poda[t\sq u vyhlqdi p = qn + s, q ≥ 1, s ∈ 1{ , 2, … , n} .
Z vlastyvosti (21) za lemogE3 isnugt\ toçky γ q s k j
p
, , ,
( ) ∈ Lq s k j, , , , k = 1, q , j =
= 1, n , εq r
p
,
( ) ∈ Jq r, , r = 1, s , taki, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
944 M. G. MATVIJÇUK
ε ε ε γ γ γq
p
q
p
q s
p
q s
p
q s
p
q s n
p
,
( )
,
( )
,
( )
, , ,
( )
, , ,
( )
, , ,
( )
1 2 1 1 1 2 1← ← … ← ← ← ← … ← ←
← γ γ γ γ γq s
p
q s
p
q s n
p
q s
p
q s
p
, , ,
( )
, , ,
( )
, , ,
( )
, , ,
( )
, , ,
( )
1 1 1 2 1 1 1 1 2← ← … ← ← … ← ← ← …
… ← γ εq s n
p
q
p
, , ,
( )
,
( )
1 1← . (25)
Poklademo Tp = γ q s k j
p
, , ,
( ){ , k = 1, q , j = 1, n; εq r
p
,
( ) , r = 1, s} . MnoΩyna Tp ne mis-
tyt\ toçok cyklu B
xo aç( b tomu, wo εq s
p
,
( ) ∈ Jq s, � In , i za umovog a) lemyE4
In � βin( , βin + ))1 . Z umovy v) lemyE4, zastosovugçy mirkuvannq z dovedennq le-
myE3, otrymu[mo, wo Tp — cykl periodu p.
Utoçnymo misce roztaßuvannq toçok cyklu Tp .
Za pobudovog ma[mo γ q s
p
, , ,
( )
1 1 ∈ Lq s, , ,1 1 � I1 1, , tomu γ q s
p
, , ,
( )
1 1 ∈ I1 1, . Dovedemo,
wo γ q s
p
, , ,
( )
1 1 ∉ I2 1, .
Dijsno, nexaj γ q s
p
, , ,
( )
1 1 ∈ I2 1, . Oskil\ky na pidstavi (8) magt\ misce nakryttq
I2 1, → I n1, → I n1 1, – , to f q s
p2
1 1γ , , ,
( )( ) ∈ I n1 1, – � β βi in n– ,
–1 11[ ]+ . Ale zhidno z (25)
f q s
p2
1 1γ , , ,
( )( ) = εq s
p
, –
( )
1
tut( qkwo s = 1, to moΩna vvaΩaty f q s
p2
1 1γ , , ,
( )( ) = εq
p
,
( )
0 =
= γ q s q n
p
, , ,
( ) ) . Tomu f q s
p2
1 1γ , , ,
( )( ) ∈ In � βin[ , βin + ]1 . OtΩe, vidrizky βin –1[ , βin –1 1+ ]
ta βin[ , βin + ]1 magt\ spil\nu toçku f q s
p2
1 1γ , , ,
( )( ), qka [ vnutrißn\og dlq nyx
obox, tomu wo Tp ∩ B = ∅. OtΩe, in = in –1.
Rozhlqdagçy nastupni iteraci] toçky γ q s
p
, , ,
( )
1 1, baçymo, wo in –1 = in – 2 , in – 2 =
= in – 3, … , i2 = i1. Ale poslidovnist\ in , in –1, … , i1 [ prostog (umova v) le-
myE4), tomu ]] çysla ne moΩut\ buty vsi odnakovymy. Otrymaly supereçnist\.
OtΩe, γ q s
p
, , ,
( )
1 1 ∉ I2 1, .
Ma[mo γ q s
p
, , ,
( )
1 1 ∈ I1 1, \ I2 1, . Analohiçno dovodyt\sq, wo
∀ =k q1, , j n= 1, : γ q s k j
p
k j k jI I, , ,
( )
, ,\∈ +1 , (26)
∀ =r s1, : εq r
p
q r q rJ J,
( )
, ,\∈ +1 , (27)
∀ =k q1, , j n= 1, : γ q s k j
p
q s k j q s k jL L, , ,
( )
, , , , , ,\∈ +1 . (28)
Za takog sxemog moΩna vydilyty nabir cykliv T pp{ ≥ n} .
Dovedemo vklgçennq (7). Oskil\ky vykonu[t\sq (24), to dostatn\o dovesty,
wo
Tp
p n=
∞
′
∪ � S. (29)
Poklademo A =
p n pT=
∞∪ . Ma[mo
′A = Tp
p n=
∞
′
∪ = γ εq s k j
p
q r
p
p n
k q j n r s, , ,
( )
,
( ), , , , ; , ,= = ={ }
′
=
∞
1 1 1∪ =
=
γ q s k j
p
p n
k q j n, , ,
( ) , , , ,= ={ }
′
=
∞
1 1∪ ∪
εq r
p
p n
r s,
( ), ,={ }
′
=
∞
1∪ = ′ ′C D∪ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
SPIL|NI PERIODYÇNI TRA{KTORI} DVOX VIDOBRAÛEN| 945
de C =
p n q s k j
p
=
∞ {∪ γ , , ,
( ) , k q= 1, , j n= }1, , D =
p n q r
p
=
∞ {∪ ε ,
( ) , r s= }1, .
Nexaj x D∈ ′. Todi isnu[ poslidovnist\ poparno riznyx toçok xi{ = εq r
p
i i
i
,
( ) , i ≥
≥ 1} taka, wo x xi → , i → ∞ . VvaΩa[mo, wo xi = εq r
p
i
i
,
( )
′ , i ≥ 1, de ′r ∈ 1{ ,
2, … , n} [ fiksovanym (pry potrebi dosyt\ perejty do vidpovidno] pidposlidov-
nosti). OtΩe, dlq bud\-qkoho i ≥ 1 xi ∈ Jq ri , ′ .
Dlq koΩnoho fiksovanoho ′q isnu[ lyße skinçenna kil\kist\ çysel vyhlq-
du ′q n + r, r ∈ 1{ , 2, … , n} , tomu mnoΩyna q ii{ ≥ 1} [ neobmeΩenog. Zvidsy
ta z (18) otrymu[mo, wo dlq bud\-qkoho i ≥ 1 xi ∈
Jq ri i , ′=
∞
1∩ = Jr ′
. Krim toho, z
(27) vydno, wo dlq bud\-qkoho i ≥ 1 xi ∉ int Jr ′( ) , tomu x ∉ int Jr ′( ) . OtΩe,
x ∈ ∂Jr ′
. Vraxovugçy dovil\nist\ toçky x D∈ ′, vyvodymo
′ ⊆D S . (30)
Nexaj x C∈ ′ , x = lim , , ,
( )
i q s k j
p
i i i
i
→∞ ′γ , de ′j ∈ 1{ , 2, … , n} [ fiksovanym, a
toçky γ q s k j
p
i i i
i
, , ,
( )
′ — poparno riznymy.
MoΩlyvi dva vypadky:
1. Poslidovnist\ ki{ E: i ≥ 1} [ obmeΩenog. Todi moΩna vvaΩaty, wo ki =
= ′k , si = ′s , i ≥ 1, de ′k ≥ 1, ′s ≥ 1 — fiksovani. Z (28) ma[mo
∀ ≥i 1 : γ q s k j
p
q s k j q s k ji
i
i i
L L, , ,
( )
, , , , , ,\′ ′ ′ ′ + ′ ′ ′∈ 1 . (31)
Sprqmuvavßy v (31) i do ∞, otryma[mo x = lim , , ,
( )
i q s k j
p
i
i
→∞ ′ ′ ′γ ∈ Ls k j′ ′ ′, , � S. Ot-
Ωe, x S∈ .
2. Poslidovnist\ ki{ E: i ≥ 1} ne [ obmeΩenog. Todi moΩna vvaΩaty, wo
ki → ∞ , i → ∞ . Z (26) dlq bud\-qkoho i ≥ 1 ma[mo γ q s k j
p
i i i
i
, , ,
( )
′ ∈ Ik ji , ′ \ Ik ji + ′1, .
Sprqmuvavßy i do ∞, otryma[mo x I j∈ ′∂ � S.
My dovely, wo dlq bud\-qkoho x C∈ ′ x S∈ , zvidky z uraxuvannqm (30) ot-
rymu[mo (29), a otΩe, i (7).
Lemu dovedeno.
Lema 5. Nexaj vidobraΩennq f ma[ periodyçnu tra[ktorig, dovΩyna qko]
ne [ stepenem dvijky, i m ⋅ 2l
(de m > 1 [ neparnym) — najbil\ße v porqdku
(1) çyslo z p f( ) . Todi dlq koΩnoho n ≠ 1, 2, 22 , … , 2l
vykonu[t\sq ekviva-
lentnist\ x fn∈Per ( ) ⇔
n
x f
l
n l
l
2
2
2
,
.
/
∈ ( )
Per
Dovedennq. Neobxidnist\. Nexaj x fn∈Per ( ). Todi z porqdku (1) vydno,
wo n
l 2 . Krim toho, lehko baçyty, wo x ∈ Pern f
l
1
2( ) , de n1 = n
n l, 2( ) . Oskil\-
ky n
l 2 , to n l, 2( ) = 2l
. Zvidsy n1 = n
l2
.
Dostatnist\. Nexaj n
l 2 i x ∈ Per
n l
l
f
/2
2( ) . Todi x — periodyçna toçka
dlq vidobraΩennq f. Nexaj n2 — ]] period. Potribno dovesty, wo n2 = n. Ma[-
mo
n
l2
=
n
n l
2
2 2,( ) . Rozhlqnemo dva vypadky:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
946 M. G. MATVIJÇUK
(i) n
l2
parne. Todi n
l
2
12 +
, i, otΩe,
n
l2
=
n
n l
2
2 2,( ) =
n
l
2
2
. Zvidsy n = n2.
(ii) n
l2
neparne. Oskil\ky za umovog lemy n ≠ 2l
, to n = m1 ⋅ 2l
, de m1 > 1
[ neparnym. Ma[mo n2 = n nl
l
2
2,( ). Zvidsy n2 ∈
n
l2{ , n
l2 1– , … , n
2
, n
= m1{ ,
m1 2⋅ , … , m l
1
12⋅ – , m l
1 2⋅ }. Ale m1 , m 1 ⋅ 2, … , m1 ⋅ 2 1l –
m ⋅ 2l , tomu n2 =
= m1 ⋅ 2l = n.
Lemu dovedeno.
Dovedennq teoremy. Rozhlqnemo spoçatku vypadok, koly vidobraΩennq f
ma[ cykl neparnoho periodu, bil\ßoho za 1, i nexaj m = 2k + 1 — najmenßyj ta-
kyj period.
Zafiksu[mo periodyçnu tra[ktorig B = β1{ < β2 < … < βm} periodu m. Qk
vidomo [2], indukovana nym na mnoΩyni 1{ , 2, … , m} perestanovka π ma[ vyh-
lqd
π2 1k + =
1 2 3 1 2 2 2 1
1 2 1 2 2 2 1
… + + … +
+ + … + …
k k k k
k k k k k
,
abo
′ +π2 1k =
1 2 1 2 2 2 1
2 1 2 2 1 1 1
… + + … +
+ … + … +
k k k k k
k k k k k k–
.
Budemo vvaΩaty, wo π = π2 1k + . Vypadok π = ′ +π2 1k rozhlqda[t\sq analo-
hiçno.
ZauvaΩymo, wo
∆ f β β1 2 0,[ ] > , ∆ f j jβ β, +[ ] <1 0 ∀ =j k2 2, . (32)
Rozhlqnemo okremo dva vypadky:
1. M mistyt\ neskinçennu kil\kist\ neparnyx çysel.
Vyberemo najmenße neparne n M∈ , n ≥ 2k + 3. MoΩna vvaΩaty, wo s ≥
≥ 2k + 3 dlq bud\-qkoho s M∈ . Poklademo
i k1 = , i k2 2= + , i k3 1= – , i k4 3= + , … , i k2 3 2– = ,
i kk2 2 2– = , i k2 1 1– = , (33)
i i i kk k n2 2 1 1= = … = = ++ .
Todi, qk vydno zi struktury perestanovky π2 1k + ,
β β β β β βi i
f
i i
f f
i i
f
n n n n
, , ,
– –+ + +[ ] → [ ] → … → [ ] →1 1 11 1 2 1
→ [ ] → [ ]+ +
f
i i
f
i in n
β β β β
1 1 1 1, , , (34)
β β β βi i
f
i in n n n
, ,+ +[ ] → [ ]1 1 . (35)
Zastosovugçy lemuE2 do nakryttiv (34), otrymu[mo nabir vidrizkiv z vlasty-
vostqmy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
SPIL|NI PERIODYÇNI TRA{KTORI} DVOX VIDOBRAÛEN| 947
I I I In
f
n
f f f f
i in n
Æ Æ Æ Æ Æ– ,1 2 1 1… [ ]+β β , (36)
I j i ij j
⊆ [ ]+β β, 1 , j n= 1, , (37)
∆ ∆f j f i iI
j j
⋅ [ ]+β β, 1 > 0, j n= 1, . (38)
Vlastyvosti (35) – (37) dagt\ moΩlyvist\ zastosuvaty lemuE4. Perevirymo
vykonannq umov lemy 4:
a) Z umovy n ≥ 2k + 3 ma[mo in = in –1 = in – 2 = k + 1. Tomu zhidno z (36) i (37)
f x( ), f x2( ) ∈ βk +[ 1 , βk+ ]2 dlq x In∈ . OtΩe, βk +{ 1 , βk+ }2 ∩ In = ∅, bo
f in
2 β( ) ≡ f k
2
1β +( ) = βk ∉ βk +[ 1 , βk+ ]2 i f in
β +( )1 ≡ f kβ +( )2 = βk ∉ βk +[ 1 ,
βk+ ]2 .
Takym çynom, In � βin( , βin + )1 .
b) Z (38) ma[mo ∆ f jj
n
I=∏ 1
⋅ ∆ fj
n
=∏ 1
βi j[ , βi j + ]1 > 0. Ale zhidno z (32)
iE(33)
∆ f
j
n
i ij j
=
+∏ [ ]
1
1β β, = ∆ ∆f f
j
k
i ij j
β β β β1 2
2
2
1, ,[ ]⋅ [ ]
=
+∏ ×
× ∆ f k k
n kβ β+ +
+[ ]( )1 2
2 1
,
–
> 0.
OtΩe, ∆ fj
n
jI=∏ 1
> 0.
v) KoΩna z rozhlqduvanyx poslidovnostej mistyt\ v kinci taku kil\kist\ çy-
sel k + 1, qka bil\ße v nij nide ne zustriça[t\sq. Tomu vsi potribni poslidov-
nosti [ prostymy.
OtoΩ, my moΩemo zastosuvaty lemuE4 i vydilyty nabir cykliv T pp{ ≥ n} z
vlastyvistg (7).
Poklademo K =
cl Tpp M∈( )∪ . Todi K zadovol\nq[ umovy (2), (3), adΩe zhid-
no z (7)
K =
p M
p
p M
p
p M
p
p n
p
p M
pT T T T f
∈ ∈ ∈ ≥ ∈
′
⊆
′
⊆ ( )∪ ∪ ∪ ∪ ∪∪ ∪ Per .
2. M mistyt\ neskinçennu kil\kist\ parnyx çysel.
Cej vypadok dovodyt\sq analohiçno perßomu vypadku. Dosyt\ vybraty naj-
menße parne n ≥ 4k + 2, n M∈ , i rozhlqnuty nakryttq (34), (35) z inßymy ij :
i1 = k, i2 = k + 2, i3 = k – 1, i4 = k + 3, …
… , i k2 3– = 2, i k2 2– = 2k, i k2 1– = 2k, i k2 1– = 1,
i k2 = k, i k2 1+ = k + 2, i k2 2+ = k – 1, i k2 3+ = k + 3, …
… , i k4 4– = 2, i k4 3– = 2k, i k4 2– = 1,
i k4 1– = i k4 = … = in = k + 1.
OtΩe, koly f ma[ cykl neparnoho periodu, teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
948 M. G. MATVIJÇUK
Nexaj teper dovil\ne vidobraΩennq f ma[ periodyçnu tra[ktorig, period
qko] ne [ stepenem dvijky, i m ⋅ 2l
— najbil\ße v porqdku (1) çyslo z p f( ) . To-
di budemo vvaΩaty, wo M ∩ 1{ , 2, 22
, … , 2l } = ∅.
Rozhlqnemo vidobraΩennq f
l2
. Vono ma[ tra[ktorig neparnoho periodu, a
same, periodu m. OtΩe, dlq n\oho moΩna zastosuvaty mirkuvannq z perßo] ças-
tyny dovedennq. Poklademo ′M = n nl/2{ ∈ M} . Todi isnu[ zamknena mnoΩyna
K, wo zadovol\nq[ umovy
K f f
l l
p M
p∩ ∪Per Per2 2( ) ⊆ ( )
∈ ′
,
∀ ∈ ′p M : K fp
l
∩ Per 2( ) ≠ ∅.
Za lemogE5 mnoΩyna K bude zadovol\nqty umovy (2), (3).
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩymo, wo nakladenym v teoremi obmeΩennqm pro te, wo vidobraΩennq
f ne [ typu 2∞
, ne moΩna znextuvaty. Isnu[ vidobraΩennq f typu 2∞
[3], v
qkoho hranyçna mnoΩyna dlq mnoΩyny vsix periodyçnyx toçok sklada[t\sq ly-
ße z odni[] neruxomo] toçky x0. Viz\memo dovil\nu neskinçennu mnoΩynu M �
� Per ( )f taku, wo 1 ∉M . Todi ne isnu[ takoho vidobraΩennq f̃ , wo p f f( , ˜)=
= M. Dijsno, z umovy p f f( , ˜) = M vyplyvalo b, wo znaçennq f i f̃ [ odnako-
vymy na deqkij neskinçennij pidmnoΩyni vidrizka 0 1,[ ]. Zvidsy f x( )0 = ˜( )f x0 ,
wo supereçyt\ umovi 1 ∉M , oskil\ky x0 — neruxoma toçka.
1. Polezzi M., Aniz C. A Sharkovskii-type theorem for pairs of maps // Far East J. Dynam. Syst. –
2005. – 7, # 1. – P. 65 – 75.
2. Íarkovskyj A. N., Kolqda S. F., Syvak A. H., Fedorenko V. V. Dynamyka odnomern¥x otob-
raΩenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1989. – 216 s.
3. Íarkovskyj A. N. O cyklax y strukture neprer¥vnoho otobraΩenyq // Ukr. mat. Ωurn. –
1965. – 17, # 3. – S. 40 – 41.
OderΩano 06.03.07,
pislq doopracgvannq — 24.12.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3210 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d9/65acccfe2fdd675086f8901b3edcf6d9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32102020-03-18T19:48:23Z Common periodic trajectories of two mappings Спільні періодичні траєкторії двох відображень Matviichuk, M. Yu. Матвійчук, М. Ю. For a map f ∈ Cr (I, I), r > 0, we consider the problem of the existence of a map close to it and having the common periodic trajectories of given periods with f. Для отображения f ∈ Cr (I, I), r > 0, рассматривается проблема существования близкого к нему отображения, имеющего с f общие периодические траектории заданных периодов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3210 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 7 (2008); 937–948 Український математичний журнал; Том 60 № 7 (2008); 937–948 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3210/3166 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3210/3167 Copyright (c) 2008 Matviichuk M. Yu. |
| spellingShingle | Matviichuk, M. Yu. Матвійчук, М. Ю. Common periodic trajectories of two mappings |
| title | Common periodic trajectories of two mappings |
| title_alt | Спільні періодичні траєкторії двох відображень |
| title_full | Common periodic trajectories of two mappings |
| title_fullStr | Common periodic trajectories of two mappings |
| title_full_unstemmed | Common periodic trajectories of two mappings |
| title_short | Common periodic trajectories of two mappings |
| title_sort | common periodic trajectories of two mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3210 |
| work_keys_str_mv | AT matviichukmyu commonperiodictrajectoriesoftwomappings AT matvíjčukmû commonperiodictrajectoriesoftwomappings AT matviichukmyu spílʹníperíodičnítraêktoríídvohvídobraženʹ AT matvíjčukmû spílʹníperíodičnítraêktoríídvohvídobraženʹ |