Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains
We prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlinear parabolic variational inequality in an unbounded domain without conditions at infinity. In particular, the initial data may infinitely increase at infinity, and a solution of the inequality is unique without any restrictions on its b...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3211 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509261768949760 |
|---|---|
| author | Medvid’, I. M. Медвідь, І. М. |
| author_facet | Medvid’, I. M. Медвідь, І. М. |
| author_sort | Medvid’, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:23Z |
| description | We prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlinear parabolic variational inequality in an unbounded domain without conditions at infinity. In particular, the initial data may infinitely increase at infinity, and a solution of the inequality is unique without any restrictions on its behavior at infinity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
I. М. Медвiдь (Львiв нац. ун-т)
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ
ВИЩОГО ПОРЯДКУ
В НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ
We prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlinear parabolic variational inequality in an
unbounded domain without conditions at infinity. In particular, the growth of the initial data at infinity
may not necessarily be limited and a solution of the inequality is unique without any restriction on its
behavior at infinity.
Доказано существование и единственность решения нелинейного параболического вариационно-
го неравенства в неограниченной области без условий на бесконечности. В частности, исходные
данные могут неограниченно возрастать на бесконечности, а решение неравенства является един-
ственным без требований к его поведению на бесконечности.
Одним iз альтернативних способiв дослiдження фiзичних задач є варiацiйнi не-
рiвностi. Крiм того, вони є одним iз методiв дослiдження крайових задач i задач
Кошi. Результати, одержанi для варiацiйних нерiвностей (iснування та єдинiсть
розв’язку), можна iнтерпретувати як коректнiсть рiзноманiтних задач для диферен-
цiальних рiвнянь.
Починаючи з 1984 р., пiсля опублiкування працi Брезiса [1], актуальним стало
дослiдження однозначної розв’язностi задач Кошi i крайових задач в необмеже-
них областях без умов на нескiнченностi [2 – 12]. У працях, опублiкованих ранiше
(у тому числi [13 – 19]), дослiджено задачi, для яких така розв’язнiсть забезпе-
чувалась лише у класах функцiй, якi задовольняють певну умову зростання на
нескiнченностi.
Сьогоднi актуальним є дослiдження варiацiйних нерiвностей, про що свiдчать
працi [20 – 25], якi узагальнюють багато результатiв, отриманих ранiше. Тому
природно дослiдити параболiчну варiацiйну нерiвнiсть, що описує загальний клас
фiзичних задач, якi моделюються рiвняннями того ж типу, що i у вказаних вище
працях. У цiй роботi за таке модельне рiвняння беремо
ut +42u−4u+4(2)
p (u)−4q(u) + |u|r−2u = 0, (1)
де
4(2)
p (u) =
n∑
i=1
(
|uxixi
|p−2uxixi
)
, p > 1, 4q(u) =
n∑
i=1
(
|uxi
|q−2uxi
)
, q > 1.
Параболiчнi диференцiальнi рiвняння четвертого порядку представляють знач-
ний iнтерес в науцi про матерiали, iнженерiї, бiологiчнiй математицi, комплексному
аналiзi та iн.
У працi [26] дослiджено питання iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi
для розширеного рiвняння Фiшера – Колмогорова
c© I. М. МЕДВIДЬ, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7 949
950 I. М. МЕДВIДЬ
ut = −γD4u+D2u+ u− u3, γ > 0, (2)
яке з’явилось при вивченнi фазових переходiв критичних точок i дослiджувалось
як модельне рiвняння високого порядку для бiстабiльних систем (див. [26]). Тут
доведено iснування та єдинiсть узагальненого розв’язку задачi Кошi для рiвнян-
ня (2) в R × (0, T ) для будь-якого T < 32/[44γβ3] з початковою функцiєю, яка
задовольняє умову росту∫
R
u2
0(x)exp(−β|x|4/3)dx <∞, β > 0.
Аналогiчнi результати в бiльш загальному випадку отримано для варiацiйної не-
рiвностi [22].
У [27] встановлено iснування та єдинiсть слабкого розв’язку для узагальненої
моделi тонкої плiвки
ut + div(|∇4u|p−2∇4u) = f − divg, (x, t) ∈ Ω× (0, T ],
u|∂Ω = 4u|∂Ω = 0, u|t=0 = u0.
Властивостi розв’язкiв задачi Кошi для рiвняння тонкої плiвки
ut + div(un∇4u− um∇4u) + f(x, t, u) = 0
вивчено в [28, 29].
У працi [30] вивчено неперервну модель для епiтаксiального росту тонкої плiвки
ut +42 −∇ · (f(∇u)) = g, (x, t) ∈ Ω× (0, T ], (3)
∂u
∂ν
∣∣∣
∂Ω
=
∂4u
∂ν
∣∣∣
∂Ω
= 0, u|t=0 = u0,
i показано iснування, єдинiсть та регулярнiсть розв’язкiв у вiдповiдних функцiо-
нальних просторах.
Як з математичної, так i з фiзичної точки зору доцiльно вивчати рiвняння, що
аналогiчне до (3) i мiстить нелiнiйнi доданки, що включають як дифузiю четвертого
порядку, так i абсорбцiю (рiвняння (1)). Крiм того, його можна розглядати як
рiвняння, що бiльш загально описує тi ж самi процеси, що i рiвняння Фiшера –
Колмогорова.
У працi [24] вивчено варiацiйну нерiвнiсть для модельного рiвняння, аналогiч-
ного до (1), тiльки без члена4(2)
p (u). У випадку сильної абсорбцiї (r > 2) доведено
iснування та єдинiсть розв’язку без умов на нескiнченностi.
У цiй роботi доведено iснування та єдинiсть розв’язку для одного класу пара-
болiчних варiацiйних нерiвностей для модельного рiвняння типу (1) без умов на
нескiнченностi.
Нехай Qτ = Ω× (0, τ), де Ω — необмежена область в Rn, τ ∈ (0, T ], T < +∞;
∂Ω ∈ C1; BR =
{
x ∈ Rn : |x| < R
}
; Ωτ = Qτ ∩ {t = τ}. Припустимо, що
множина BR ∩ Ω = ΩR є областю i поверхня ∂ΩR є регулярною [31, c. 45] для
кожногоR > 1. НехайQR
τ = ΩR×(0, τ), ΩR
τ = Ωτ∩BR, τ ∈ (0, T ]; ∂ΩR = ΓR
1 ∪ΓR
2 ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 951
ΓR
1 = ∂Ω∩∂ΩR; ΓR
2 = ∂ΩR\ΓR
1 ; ∂Ω = S1∪S2, S1∩S2 = ∅; ν — зовнiшня нормаль
до ∂Ω.
Введемо простори (для кожного R > 1) :
◦
H1
2(ΩR) =
{
u : u ∈ H2(ΩR), u|ΓR
1
= 0,
∂u
∂ν
∣∣∣∣
ΓR
1
= 0
}
,
H2
0, 1(Ω
R) =
{
u : u ∈ H2(ΩR), u|ΓR
1
= 0
}
,
H2
1, 0(Ω
R) =
{
u : u ∈ H2(ΩR),
∂u
∂ν
∣∣∣∣
ΓR
1
= 0
}
,
H2
1,1(Ω
R) =
{
u : u ∈ H2(ΩR), u|ΓR
1 ∩S1
= 0,
∂u
∂ν
∣∣∣∣
ΓR
1 ∩S2
= 0
}
.
Нехай H̃2(ΩR) — один iз просторiвH2
0, 1(Ω
R), H2
1, 0(Ω
R), H2
1, 1(Ω
R), а V2(ΩR) —
такий замкнутий простiр, що
◦
H1
2(ΩR) ⊂ V2(ΩR) ⊂ H̃2(ΩR), V2(ΩR1) ⊂ V2(ΩR),
R1 > R. Крiм того, нехай
V2, 0(ΩR) =
{
u : u ∈ V2(ΩR), u|ΓR
2
= 0,
∂u
∂ν
∣∣∣∣
ΓR
2
= 0
}
.
Через V2, loc(Ω) позначимо простiр таких функцiй v,що v ∈ V2(ΩR) для кожного
R > 1, а через Lr
loc(Ω) — простiр таких функцiй v, що v ∈ Lr(ΩR) для кожного
R > 1, де r ∈ (1,+∞]. Нехай W (ΩR) — такий банахiв простiр, що V2(ΩR) щiльно
i неперервно вкладений в W (ΩR) (для кожного R > 1), а
Wloc(Ω ) =
{
w : w ∈W (ΩR) ∀R > 1
}
.
Розглянемо в областi QT параболiчну варiацiйну нерiвнiсть∫
Qτ
[
vt(v − u)ψ(x) +
∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuDβ((v − u)ψ(x))+
+
n∑
i=1
bi(x, t)|uxixi
|p−2uxixi
((v − u)ψ(x))xixi
+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uxi |q−2uxi((v − u)ψ(x))xi + g(x, t, u)(v − u)ψ(x)−
−γ
2
(v − u)2ψ(x)−
∑
|α|62
fα(x, t)Dα((v − u)ψ(x))
]
e−γt dxdt >
>
1
2
∫
Ωτ
|v − u|2ψ(x)e−γτ dx− 1
2
∫
Ω0
|v − u0|2ψ(x) dx, (4)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
952 I. М. МЕДВIДЬ
Dα =
∂|α|
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
, α = (α1, . . . , αn), |α| = α1 + . . .+ αn,
αi ∈ N ∪ {0}, i = 1, n, p > 1, q > 1, γ ∈ R.
Будемо говорити, що коефiцiєнти (4) задовольняють вiдповiдно умови (A), (B),
(C) i (G), якщо:
(A) aαβ ∈ C(QT ), 1 < |α| = |β| 6 2;∑
|α|=|β|=2
aαβ(x, t)ξαξβ > a0
∑
|α|=2
|ξα|2 ∀(x, t) ∈ QT ∀ξ ∈ R(n2+n)/2,
a0 > 0,∑
|α|=|β|=1
aαβ(x, t)ηαηβ > a0
∑
|α|=1
|ηα|2 ∀ (x, t) ∈ QT ∀ η ∈ Rn;
a00 ∈ L∞loc(QT ), a00(x, t) > a1 ∀ (x, t) ∈ QT , a1 ∈ R;
|aαβ(x, t)| 6 a0Rκ ∀ (x, t) ∈ QR
T ∀R > 1, |α| = |β| = 2, κ > 0;
|aαβ(x, t)| 6 a0Rκ1 ∀ (x, t) ∈ QR
T ∀R > 1, |α| = |β| = 1, κ1 > 0;
(B) bi ∈ C(QT ), 0 < b0 6 bi(x, t) 6 b0Rκ2 ∀ (x, t) ∈ QR
T ∀R > 1, i =
= 1, . . . , n, κ2 > 0;
(C) ci ∈ C(QT ), 0 < c0 6 ci(x, t) 6 c0Rκ3 ∀ (x, t) ∈ QR
T ∀R > 1, i =
= 1, . . . , n, κ3 > 0;
(D) функцiя g(·, ·, ξ) є вимiрною в QT для всiх ξ ∈ R;
функцiя g(x, t, ·) є неперервною на R майже для всiх (x, t) ∈ QT ;(
g(x, t, ξ)− g(x, t, η)
)
(ξ − η) > g0|ξ − η|r,∣∣g(x, t, ξ)∣∣ 6 g1|ξ|r−1, r ∈ (1,+∞), для всiх ξ, η ∈ R i майже для всiх
(x, t) ∈ QT , де g0, g1 — невiд’ємнi сталi.
Нехай K — опуклий замкнений конус в V2, loc(Ω) i Wloc(Ω).
Означення 1. Функцiю u, яка задовольняє включення
u ∈ C
(
[0, T ];L2
loc(Ω)
)
∩ Lr
(
(0, T );Lr
loc(Ω)
)
∩ L2
(
(0, T );V2, loc(Ω)
)
,
u ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ), i нерiвнiсть (4) для всiх τ ∈ (0, T ], для всiх
ψ ∈ C2
0 (Rn), ψ(x) > 0, x ∈ Rn, для деякого γ ∈ [γ0,+∞) i для всiх функцiй
v ∈ Lr
(
(0, T );Lr
loc(Ω)
)
∩ L2
(
(0, T );V2, loc(Ω)
)
таких, що vt ∈ L2
(
(0, T );L2
loc(Ω)
)
i v ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ), будемо називати розв’язком нерiвностi (4) з
початковою умовою
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω. (5)
Як i в [32, с. 284], можна довести таку лему.
Лема 1. Нехай
w ∈ C
(
[0, T ];L2
loc(Ω)
)
∩ Lr
(
(0, T );Lr
loc(Ω)
)
∩ L2
(
(0, T );V2, loc(Ω)
)
,
w ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ), u0 ∈ K. Тодi розв’язок задачi
ρwρt + wρ = w, wρ(x, 0) = u0(x), t ∈ [0, T ], x ∈ Ω, (6)
слабко збiгається до w у просторi L2
(
(0, T );V2, loc(Ω)
)
∩ Lr
(
(0, T );Lr
loc(Ω)
)
при
ρ→ +0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 953
Розглянемо функцiю ϑR,s(x) =
[
hR(x)
]s
, s > 4, де hR(x) = (R2 − |x|2)/R,
якщо |x| 6 R, i hR(x) = 0, якщо |x| > R. Зауважимо, що для функцiї ϑR,s
справджуються такi оцiнки:∣∣∣∣∂ϑR,s(x)
∂xi
∣∣∣∣ 6 2s[hR(x)]s−1,
∣∣∣∣∂2ϑR,s(x)
∂xi∂xj
∣∣∣∣ 6 4s2[hR(x)]s−2
для всiх i, j = 1, . . . , n. Нехай s0
df= max
{
4p/(2− p); 2q/(2− q); 4
}
.
Як наслiдок результату, отриманого в [4, с. 221], правильною є наступна лема.
Лема 2. Для кожної функцiї u ∈ V2, loc(Ω) виконується оцiнка∫
ΩR
∑
|α|=1
|Dαu|2
[
hR(x)
]s−2
dx 6 δ
∫
ΩR
∑
|α|=2
|Dαu|2
[
hR(x)
]s
dx+
+
(2s− 3)2
4δ
∫
ΩR
|u|2
[
hR(x)
]s−4
dx, (7)
де δ — будь-яке число з промiжку (0, 1), R > 1.
Теорема 1. Якщо виконуються умови (A), (B), (C), (G) i, крiм того, r > 2,
p, q ∈ (2n/(n + 2), 2), g0 > 0, κ, κ1 ∈ [0, 1), κ2 ∈ [0, (p(n + 2) − 2n)/(2p)),
κ3 ∈ [0, (q(n+2)−2n)/(2q)), γ0 > max{0; 1−2a1}, то нерiвнiсть (4) може мати
лише один розв’язок.
Доведення. Припустимо, що нерiвнiсть (4) має два розв’язки: u(1) i u(2).
Запишемо нерiвнiсть (5) для кожного з них i покладемо v = wρ, де wρ — розв’язок
задачi (6) при w = (u(1) + u(2))/2. Додамо отриманi нерiвностi i, враховуючи те,
що ∫
QT
wρt(wρ − w)ψ(x)e−γt dxdt = −ρ
∫
QT
w2
ρtψ(x)e−γt 6 0,
а також лему 1, перейдемо до границi при ρ→ +0. В результатi отримаємо нерiв-
нiсть ∫
QT
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuDβ(uψ(x))+
+
n∑
i=1
bi(x, t)
(
|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
)
(uψ(x))xixi
+
+
n∑
i=1
ci(x, t)
(
|u(1)
xi
|q−2u(1)
xi
− |u(2)
xi
|q−2u(2)
xi
)
(uψ(x))xi+
+
γ
2
u2ψ(x) +
(
g(x, t, u1)− g(x, t, u2)
)
uψ(x)
]
e−γt dxdt 6 0, (8)
де u = u(1) − u(2), ψ = ϑR,s(x). Згiдно з умовою (A) i лемою 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
954 I. М. МЕДВIДЬ
I1 :=
∫
QT
∑
|α|=|β|=2
aαβ(x, t)DαuDβ(uψ(x))e−γt dxdt >
> (a0 − δ0)
∫
QT
∑
|α|=2
|Dαu|2[hR(x)]se−γt dxdt−
−µ1(δ0)R4κ
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−4e−γt dxdt,
I2 :=
∫
QT
∑
|α|=|β|=1
aαβ(x, t)DαuDβ(uψ(x))e−γt dxdt >
> (a0 − δ1)
∫
QT
∑
|α|=1
|Dαu|2[hR(x)]se−γt dxdt−
−µ2(δ1)R2κ1
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−2e−γt dxdt,
δ0 > 0, δ1 > 0, µ1(δ0), µ2(δ1) — деякi додатнi сталi. З умови (B) випливає
I3 :=
∫
QT
n∑
i=1
bi(x, t)
(
|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
)
uxixiψ(x)e−γt dxdt >
> b0
∫
QT
n∑
i=1
(
|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
)
uxixi
[
hR(x)
]s
e−γt dxdt.
Для оцiнки iнтеграла
I4 :=
∫
QT
n∑
i=1
bi(x, t)
(
|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
)
uxi
ψxi
(x)e−γt dxdt
використаємо нерiвнiсть(
|ξ|p−2ξ − |η|p−2η
)
(ξ − η) 6 22−p|ξ − η|p, (9)
яка є правильною для всiх ξ, η ∈ R i p ∈ (1, 2]. Тодi
I4 > −δ2
∫
QT
n∑
i=1
∣∣|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
∣∣p′
ψ(x)e−γt dxdt−
−δ2
∫
QT
∑
|α|=1
∣∣Dαu
∣∣2ψ(x)e−γt dxdt−
−µ3(δ2)
∫
QT
n∑
i=1
∣∣∣bi(x, t)ψxi
(x)[ψ(x)]−1/p′−1/2
∣∣∣2p/(2−p)
dxdt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 955
де δ2 > 0, µ3(δ2) > 0, p′ = p/(p− 1).
Аналогiчно
I5 :=
∫
QT
n∑
i=1
bi(x, t)
(
|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
)
uψxixi
(x)e−γt dxdt >
> −δ3
∫
QT
n∑
i=1
∣∣|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
∣∣p′
ψ(x)e−γt dxdt−
−δ3
∫
QT
|u|2ψ(x)e−γt dxdt−
−µ4(δ3)
∫
QT
n∑
i=1
∣∣∣bi(x, t)ψxixi
(x)[ψ(x)]−1/p′−1/2
∣∣∣2p/(2−p)
dxdt,
де δ3 > 0, µ4(δ3) > 0, i
I6 :=
∫
QT
n∑
i=1
ci(x, t)
(
|u(1)
xi
|q−2u(1)
xi
− |u(2)
xi
|q−2u(2)
xi
)
uψxi(x)e
−γt dxdt >
> −δ4
∫
QT
n∑
i=1
∣∣|u(1)
xi
|q−2u(1)
xi
− |u(2)
xi
|q−2u(2)
xixi
∣∣q′
ψ(x)e−γt dxdt−
−δ4
∫
QT
|u|2ψ(x)e−γt dxdt−
−µ5(δ4)
∫
QT
n∑
i=1
∣∣∣ci(x, t)ψxi
(x)[ψ(x)]−1/q′−1/2
∣∣∣2q/(2−q)
dxdt,
де δ4 > 0, µ5(δ4) > 0.
Якщо s > s0, то з умов (B), (C) i оцiнок функцiй ψxi , ψxixi отримаємо∫
QT
n∑
i=1
∣∣∣bi(x, t)ψxi(x)
[
ψ(x)
]−1/p′−1/2
∣∣∣2p/(2−p)
dxdt 6 µ6R
(2p(κ2−1))/(2−p)+s+n,
∫
QT
n∑
i=1
∣∣∣bi(x, t)ψxixi(x)
[
ψ(x)
]−1/p′−1/2
∣∣∣2p/(2−p)
dxdt 6 µ6R
(2p(κ2−2))/(2−p)+s+n,
∫
QT
n∑
i=1
∣∣∣ci(x, t)ψxi
(x)
[
ψ(x)
]−1/q′−1/2
∣∣∣2q/(2−q)
dxdt 6
6 µ6R
(2q(κ3−1))/(2−q)+s+n, µ6 > 0.
З умови (C) випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
956 I. М. МЕДВIДЬ
I7 :=
∫
QT
n∑
i=1
ci(x, t)
(
|u(1)
xi
|q−2u(1)
xi
− |u(2)
xi
|q−2u(2)
xi
)
uxiψ(x)e−γt dxdt >
> c0
∫
QT
n∑
i=1
(
|u(1)
xi
|q−2u(1)
xi
− |u(2)
xi
|q−2u(2)
xi
)
uxi
[hR(x)]se−γt dxdt.
На пiдставi нерiвностi (9) для всiх ξ, η ∈ R i p ∈ (1, 2] виконується нерiвнiсть
∣∣|ξ|p−2ξ − |η|p−2η
∣∣p′
6 22−p(ξ − η)
(
|ξ|p−2ξ − |η|p−2η
)
. (10)
Враховуючи умови (A), (G), нерiвнiсть (10) i оцiнки iнтегралiв I1, . . . , I7, iз (8)
отримуємо нерiвнiсть
∫
QT
[
(a0 − δ0)
∑
|α|=2
|Dαu|2+
+(a0 − δ1 − δ2)
∑
|α|=1
|Dαu|2 +
(
a1 +
γ
2
− δ3 − δ4
)
u2+
+(b0 − δ222−p − δ322−p)
n∑
i=1
(
|u(1)
xixi
|p−2u(1)
xixi
− |u(2)
xixi
|p−2u(2)
xixi
)
uxixi
+
+(c0 − δ422−q)
n∑
i=1
(
|u(1)
xi
|q−2u(1)
xi
− |u(2)
xi
|q−2u(2)
xi
)
uxi
+ g0|u|r
]
ψ(x)e−γt dxdt 6
6 µ1(δ0)R4κ
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−4e−γt dxdt+
+µ2(δ1)R2κ1
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−2e−γt dxdt+
+µ6(δ2, δ3, δ4)
(
2R(2p(κ2−1))/(2−p)+s+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+s+n
)
, µ6 > 0. (11)
Покладемо в (11) γ = max
{
2(1− a1 + δ3 + δ4); 1
}
i, врахувавши оцiнку
|u|2 + |u|r > |u|r1 , r1 ∈ (2, r),
з (11) отримаємо нерiвнiсть∫
QT
|u|r1
[
hR(x)
]s
e−γt dxdt 6 µ7R
4κ
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−4e−γt dxdt+
+µ8R
2κ1
∫
QT
|u|2
[
hR(x)
]s−2
e−γt dxdt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 957
+µ9
(
R(2p(κ2−1))/(2−p)+s+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+s+n
)
, (12)
µ7, µ8, µ9 — деякi додатнi сталi. Оскiльки
µ7R
4κ
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−4e−γt dxdt+ µ8R
2κ1
∫
QT
|u|2[hR(x)]s−2e−γt dxdt 6
6 δ5
∫
QT
|u|r1 [hR(x)]se−γt dxdt+
+µ10
(
R(4κr1)/(r1−2)
∫
QT
[
hR(x)
]s−4r1/(r1−2)
dxdt+
+R(2κ1r1)/(r1−2)
[
hR(x)
]s−2r1/(r1−2)
dxdt
)
, δ5 > 0, µ10 > 0,
то з (12) випливає оцiнка ∫
QT
|u|r1 [hR(x)]s dxdt 6
6 µ11
(
R(4r1(κ−1))/(r1−2)+s+n +R(2r1(κ1−1))/(r1−2)+s+n
)
+
+µ12
(
R(2p(κ2−1))/(2−p)+s+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+s+n
)
, µ11, µ12 > 0. (13)
Нехай R0 > 1 — довiльне фiксоване число i R > R0. Оскiльки∫
QT
|u|r1 [hR(x)]s dxdt > (R−R0)s
∫
Q
R0
T
|u|r1 dxdt,
то з (13) випливає нерiвнiсть∫
Q
R0
T
|u|r1 dxdt 6 µ11
(
R(4r1(κ−1))/(r1−2)+n +R(2r1(κ1−1))/(r1−2)+n
)( R
R−R0
)s
+
+µ12
(
R(2p(κ2−1))/(2−p)+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+n
)( R
R−R0
)s
. (14)
Зауважимо, що
lim
R→∞
(
R
R−R0
)s
= 1, lim
r1→+2
4r1(1− κ)
r1 − 2
= lim
r1→+2
2r1(1− κ1)
r1 − 2
= ∞.
Отже, на пiдставi умов теореми лiву частину нерiвностi (14) можна зробити як
завгодно малою. Враховуючи довiльнiсть R0, отримуємо твердження теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
958 I. М. МЕДВIДЬ
Перейдемо до доведення iснування розв’язку нерiвностi (1). Нехай, крiм того,
intK 6= ∅, ψK ⊂ K ∀ψ ∈ C2(Rn), ψ(x) > 0, x ∈ Rn.
Позначимо через KR звуження множини K на область ΩR. Припустимо, що для
кожного R > 1 виконується умова
(B1) iснує оператор BR, який задовольняє умови: BR : W (ΩR) → (V2, 0(ΩR))?
семiнеперервний i обмежений;〈
BR(u)− BR(v), (u− v)ψ
〉
> 0 ∀u, v ∈ V2,0(ΩR) ∀ψ ∈ C2(Rn), ψ(x) > 0;
KR =
{
u : u ∈W (ΩR), BR(u) = 0
}
.
Тут i далi 〈·, ·〉 означає скалярний добуток мiж просторами
(
V2, 0(ΩR)
)?
i V2, 0(ΩR).
Зауваження 1. Такi оператори iснують (приклади 6.1 i 6.3 [32, c. 400]).
Доведемо допомiжну теорему.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (B1), (G) i, крiм того,
p, q ∈ (1, 2), g(x, t, u) = e(x, t)|u|r−2u, r > 1, e ∈ L∞(QR
T ); e(x, t) > e0 > 0
майже для всiх (x, t) ∈ QR
T ; γ0 > max{0; 1 − 2a1}; fα ∈ L2(QR
T ) при |α| 6 2,
u0 ∈ V2,0(ΩR), u0 ∈ intKR. Тодi iснує функцiя
u ∈ C
(
[0, T ];L2(ΩR)
)
∩ Lr(QR
T ) ∩ L2
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
,
u ∈ KR майже для всiх t ∈ (0, T ), яка задовольняє нерiвнiсть
∫
QR
τ
[
wt(w − u)ψ(x) +
∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuDβ((w − u)ψ(x))+
+
n∑
i=1
bi(x, t)|uxixi
|p−2uxixi
((w − u)ψ(x))xixi
+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uxi |q−2uxi((w − u)ψ(x))xi + e(x, t)|u|r−2u(w − u)ψ(x)−
−γ
2
(w − u)2ψ(x)−
∑
|α|62
fα(x, t)Dα((w − u)ψ(x))
]
e−γt dxdt >
>
1
2
∫
ΩR
τ
|w − u|2ψ(x)e−γτ dx− 1
2
∫
ΩR
0
|w − u0|2ψ(x) dx (15)
для всiх τ ∈ (0, T ], для всiх ψ ∈ C2(Rn), ψ(x) > 0, для деякого γ > γ0 i всiх функцiй
w ∈ Lr(QR
T ) ∩ L2((0, T );V2,0(ΩR)) таких, що wt ∈ L2(QR
T ), w ∈ KR майже для
всiх t ∈ (0, T ).
Доведення. Використаємо метод Фаедо – Гальоркiна. Нехай {ϕk} — лiнiйно
незалежна i повна система функцiй в V2,0(ΩR)∩Lr(ΩR), ортонормована в L2(ΩR).
Розглянемо послiдовнiсть функцiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 959
uN (x, t) =
n∑
k=1
cNk (t)ϕk(x), N ∈ N,
де cN1 , . . . , c
N
N — розв’язок задачi Кошi
〈uN
t , ϕ
k〉+
∫
ΩR
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuNDβϕk +
n∑
i=1
bi(x, t)|uN
xixi
|p−2uN
xixi
ϕk
xixi
+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uN
xi
|q−2uN
xi
ϕk
xi
+ e(x, t)|uN |r−2uNϕk −
∑
|α|62
fα(x, t)Dαϕk
]
dx+
+
1
ε
〈BR(uN ), ϕk〉 = 0, ε > 0, (16)
CN
k (0) = uN
0,k, k = 1, . . . , N, (17)
причому
uN
0 (x) =
N∑
k=1
uN
0,kϕ
k(x), lim
N→∞
‖uN
0 − u0‖V2,0(ΩR)∩Lr(ΩR) = 0.
На пiдставi теореми Каратеодорi [33, c. 54] iснує абсолютно неперервний
розв’язок задачi (16), (17), визначений на деякому промiжку [0, t0], t0 6 T. З
оцiнок, отриманих нижче, буде випливати, що t0 = T. Домножимо кожну рiвнiсть
системи (16) вiдповiдно на функцiю cNk (t)e−γt, пiдсумуємо всi рiвняння по k вiд
1 до N i зiнтегруємо по промiжку [0, τ ], τ ∈ (0, T ]. Пiсля виконання цих операцiй
отримаємо рiвнiсть
τ∫
0
〈uN
t , u
N 〉 dt+
∫
QR
τ
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuNDβuN +
n∑
i=1
bi(x, t)|uN
xixi
|p+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uN
xi
|q + e(x, t)|uN |r −
∑
|α|62
fα(x, t)DαuN
]
e−γt dxdt+
+
1
ε
τ∫
0
〈
BR(uN ), uN
〉
e−γt dt = 0. (18)
На пiдставi умов (A), (B), (C) з (18) легко вивести нерiвнiсть
1
2
∫
ΩR
τ
|uN |2e−γτ dx+
∫
QR
τ
[(
a0 − δ6
) ∑
16|α|62
|DαuN |2 + b0
n∑
i=1
|uN
xixi
|p+
+c0
n∑
i=1
|uN
xi
|q + e0|uN |r +
(
a1 +
γ
2
− δ6
)
|uN |2
]
e−γt dxdt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
960 I. М. МЕДВIДЬ
+
1
ε
τ∫
0
〈
BR(uN ), uN
〉
e−γt dt 6
6
1
2
∫
ΩR
0
|uN |2 dx+
1
δ6
∫
QR
T
∑
|α|62
|fα(x, t)|2e−γt dxdt, δ6 > 0. (19)
Вибираючи δ6 = min
{
1/4; |a1|/2
}
, γ = γ0, з (19) одержуємо
∫
ΩR
τ
|uN |2e−γ0t dx+
+
∫
QR
τ
( ∑
|α|62
|DαuN |2 +
n∑
i=1
|uN
xixi|p + +
n∑
i=1
|uN
xi|q + |uN |r
)
e−γ0t dxdt+
+
1
ε
τ∫
0
〈BR(uN ), uN 〉e−γ0t dt 6 µ13, τ ∈ [0, T ], (20)
де стала µ13 не залежить вiд N i ε, µ13 > 0.
З оцiнки (20) випливає, що iснують пiдпослiдовнiсть {uNl} послiдовностi {uN},
i функцiї uε, χε
i , ξ
ε
i , ζ
ε i zε, i = 1, . . . , n, такi, що при l→∞
uNl → uε ?-слабко в L∞
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
,
uNl
xixi
→ uε
xixi
слабко в Lp(QR
T ), i = 1, . . . , n,
uNl
xi
→ uε
xi
слабко в Lq(QR
T ), i = 1, . . . , n,
uNl → uε слабко в Lr(QR
T ),
bi(·, ·)|uNl
xixi
|p−2uNl
xixi
→ χε
i слабко в Lp′
(QR
T ), i = 1, . . . , n,
ci(·, ·)|uNl
xi
|q−2uNl
xi
→ ξε
i слабко в Lq′
(QR
T ), i = 1, . . . , n,
e(·, ·)|uNl |r−2uNl → ζε слабко в Lr′
(QR
T ),
BR(uNl) → zε слабко в L2((0, T );V ?
2,0(Ω
R)).
Нехай k — довiльне натуральне число iN > k. Вiзьмемо довiльнi кусково-гладкi
функцiї µ1, µ2, . . . , µk. Домножимо перше рiвняння системи (16) на функцiю µ1(t),
друге рiвняння — на µ2(t) i т. д. до k-го рiвняння. Пiдсумуємо одержанi рiвностi
та зiнтегруємо по t вiд 0 до τ, τ ∈ (0, T ]. В результатi отримаємо
τ∫
0
〈uN
t , v〉 dt+
∫
QR
τ
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuNDβv+
+
n∑
i=1
bi(x, t)|uN
xixi
|p−2uN
xixi
vxixi
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uN
xi
|q−2uN
xi
vxi
+
+e(x, t)|uN |r−2uNv −
∑
|α|62
fα(x, t)Dαv
]
dx+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 961
+
1
ε
τ∫
0
〈BR(uN ), v〉 dt = 0, (21)
де v(x, t) =
∑k
i=1
µi(t)ϕi(x), x ∈ ΩR, t ∈ (0, τ). Перейдемо в (21) при N =
= Nl до границi при l →∞. З урахуванням попереднiх зауважень щодо збiжностi
послiдовностi {uNl} правильною є рiвнiсть
τ∫
0
〈uε
t , v〉 dt+
∫
QR
τ
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuεDβv +
n∑
i=1
χε
ivxixi +
n∑
i=1
ξε
i vxi+
+ζεv −
∑
|α|62
fα(x, t)Dαv
]
dx+
1
ε
τ∫
0
〈zε, v〉 dt = 0 (22)
для будь-яких v ∈ L2
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
∩ Lr(QR
T ).
Використовуючи, наприклад, доведення теореми 1 [34] (метод монотонностi),
легко показати, що
∫
QR
τ
[
n∑
i=1
χε
ivxixi
+
n∑
i=1
ξε
i vxi
+ ζεv
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈zε, v〉 dt =
=
∫
QR
τ
[
n∑
i=1
bi(x, t)|uε
xixi
|p−2uε
xixi
vxixi
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uε
xi
|q−2uε
xi
vxi
+
+e(x, t)|uε|r−2uεv
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈BR(uε), v〉 dt (23)
для будь-яких v ∈ L2((0, T );V2,0(ΩR)) ∩ Lr(QR
T ).
Отже, з нерiвностей (23) i (22) випливає, що для всiх τ ∈ (0, T ] i v ∈ L2((0, T ),
V2,0(ΩR)) ∩ Lr(QR
T ), правильною є рiвнiсть
τ∫
0
〈uε
t , v〉 dt+
∫
QR
τ
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuεDβv +
n∑
i=1
bi(x, t)|uε
xixi
|p−2uε
xixi
vxixi+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uε
xi
|q−2uε
xi
vxi
+ e(x, t)|uε|r−2uεv−
−
∑
|α|62
fα(x, t)Dαv
]
dxdt+
1
ε
τ∫
0
〈BR(uε), v〉 dt = 0. (24)
Звiдси на пiдставi теореми 1.17 [35] uε ∈ C
(
[0, T ];L2(ΩR)
)
i, використавши
доведення теореми 1.1 [35], можна показати, що uε(·, 0) = u0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
962 I. М. МЕДВIДЬ
Очевидно, що для функцiй uε правильною є оцiнка (20). Таким чином, iснують
послiдовнiсть εk, lim
k→∞
εk = 0, i функцiї u, χi, ξi, ζ, i = 1, . . . , n, такi, що
uεk → u ?-слабко в L∞
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
∩ L∞
(
(0, T );Lr(ΩR)
)
,
bi(·, ·)|uεk
xixi
|p−2uεk
xixi
→ χi слабко в Lp′
(QR
T ), i = 1, . . . , n,
ci(·, ·)|uεk
xi
|q−2uεk
xi
→ ξi слабко в Lq′
(QR
T ), i = 1, . . . , n,
e(·, ·)|uεk |r−2uεk → ζ слабко в Lr′
(QR
T ),∫ T
0
〈
BR(uεk), uεk
〉
dt→ 0 при k →∞.
Використовуючи семiнеперервнiсть i монотоннiсть оператора BR, легко дове-
сти, що BR(u) = 0. Отже, u ∈ KR.
Запишемо (24) для ε = εk, v = −wψ(x)e−γt, де ψ ∈ C2(Rn), ψ(x) > 0,
w ∈ L2((0, T ); V2(ΩR))∩Lr(QR
T ), wt ∈ L2(QR
T ), w ∈ KR майже для всiх t ∈ (0, T ),
wψ|ΓR
2
= 0, γ > γ0. Запишемо (24) також для v = uεkψ(x)e−γt. Додавши отриманi
рiвностi i взявши до уваги умову (B1), прийдемо до нерiвностi∫
QR
T
[
wt(w − uεk)ψ(x) +
∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuεkDβ((w − uεk)ψ(x))+
+
n∑
i=1
bi(x, t)|uεk
xixi
|p−2uεk
xixi
((w − uεk)ψ(x))xixi+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uεk
xi
|q−2uεk
xi
((w − uεk)ψ(x))xi
+
+e(x, t)|uεk |r−2uεk(w − uεk)ψ(x)− γ
2
(w − uεk)2ψ(x)−
−
∑
|α|62
fα(x, t)Dα((w − uεk)ψ(x))
]
e−γt dxdt >
>
1
2
∫
ΩR
τ
|uεk − w|2ψ(x)e−γt dx− 1
2
∫
ΩR
0
|u0 − w|2ψ(x) dx, τ ∈ (0, T ]. (25)
Використавши доведення теореми 6.1 [32], покажемо, що uεk → u сильно в
L2
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
∩ Lr(QR
T ) при k →∞.
Покладемо в (25) ψ ≡ 1. З (25) випливає
lim
k→∞
∫
QR
T
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuεkDβuεk +
γ
2
(uεk)2 +
n∑
i=1
bi(x, t)|uεk
xixi
|p+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uεk
xi
|q + e(x, t)|uεk |r
]
e−γt dxdt 6
6
∫
QR
T
[
wt(w − u) +
∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuDβw+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 963
+
γ
2
uw +
n∑
i=1
χiwxixi +
n∑
i=1
ξiwxi + ζw +
γ
2
w(u− w)−
−
∑
|α|62
fα(x, t)Dα(w − u)
]
e−γt dxdt+
1
2
∫
ΩR
0
|u0 − w|2 dx. (26)
Нехай wρ — розв’язок задачi (6) при w = u. Покладемо в (26) w = wρ i перейдемо
до границi при ρ→ 0. Врахувавши лему 1, в результатi отримаємо
lim
k→∞
∫
QR
T
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuεkDβuεk +
γ
2
(uεk)2 +
n∑
i=1
bi(x, t)|uεk
xixi
|p+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uεk
xi
|q + e(x, t)|uεk |r
]
e−γt dxdt 6
6
∫
QR
T
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuDβu+
+
γ
2
u2 +
n∑
i=1
χiuxixi
+
n∑
i=1
ξiuxi
+ ζu
]
e−γt dxdt. (27)
Вiднiмемо вiд лiвої частини нерiвностi (27) вираз
lim
k→∞
∫
QR
T
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαuDβ(uεk − u) +
γ
2
u(uεk − u)+
+
n∑
i=1
bi(x, t)|uxixi
|p−2uxixi
(uεk − u)xixi
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uxi
|q−2uxi
(uεk − u)xi
+
+e(x, t)|u|r−2u(uεk − u)
]
e−γt dxdt = 0.
Тодi на пiдставi умов (B), (C) i нерiвностi (9) виконується нерiвнiсть
lim
k→∞
∫
QR
T
[ ∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)Dα(uεk − u)Dβ(uεk − u) +
γ
2
(uεk − u)2+
+e(x, t)(|uεk |r−2uεk − |u|r−2u)(uεk − u)
]
e−γt dxdt 6 0.
Звiдси з урахуванням умов (A) i (G) випливає, що
uεk → u сильно в L2
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
∩ Lr(QR
T ) при k →∞.
Оскiльки вкладення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
964 I. М. МЕДВIДЬ
L2
(
(0, T );V2,0(ΩR)
)
⊂ Lp
(
(0, T );W 2,p
0 (ΩR)
)
∩ Lq
(
(0, T );W 1,q
0 (ΩR)
)
є неперервним, то uεk
xixi
→ uxixi
сильно в Lp(QR
T ), uεk
xi
→ uxi
сильно в Lq(QR
T ),
i = 1, . . . , n. Отже, на пiдставi леми 1.3 [32]
e(·, ·)|uεk |r−2uεk → e(·, ·)|u|r−2u слабко в Lr′
(QR
T ),
ci(·, ·)|uεk
xi
|q−2uεk
xi
→ ci(·, ·)|uxi
|q−2uxi
слабко в Lq′
(QR
T ),
bi(·, ·)|uεk
xixi
|p−2uεk
xixi
→ bi(·, ·)|uxixi |p−2uxixi слабко в Lp′
(QR
T ), i = 1, . . . , n,
при k → ∞. Враховуючи наведенi вище мiркування, з нерiвностi (25) неважко
вивести, що
uεk → u сильно в C
(
[0, T ];L2(ΩR)
)
при k →∞.
Перейшовши в (25) до границi при k →∞, отримаємо твердження теореми 2.
Теорема 3. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (B1), (G) i, крiм то-
го, p, q ∈
(
2n/(n + 2), 2
)
, κ, κ1 ∈ [0, 1), κ2 ∈ [0, (p(n + 2) − 2n)/(2p)), κ3 ∈
∈
[
0, (q(n+2)−2n)/(2q)
)
, γ0 > max{0; 1−2a1}, g(x, t, u) = e(x, t)|u|r−2u, r > 2,
e ∈ L∞
(
(0, T );L∞loc(Ω)
)
; e(x, t) > e0 > 0 майже для всiх (x, t) ∈ QT ; fα ∈
∈ L2
(
(0, T );L2
loc(Ω)
)
при |α| 6 2, u0 ∈ intK. Тодi iснує розв’язок нерiвностi (4).
Доведення. Введемо функцiї
fk
α(x, t) =
fα(x, t), (x, t) ∈ Qk+1
T ,
0, (x, t) ∈ QT \Qk+1
T ,
|α| 6 2, k ∈ N,
uk
0(x) = u0(x)ζk(x), де ζk ∈ C2(Rn), 0 6 ζk(x) 6 1 в Rn, ζk(x) ≡ 1 при |x| 6 k,
ζk(x) ≡ 0 при |x| > k + 1.
За теоремою 2 iснує розв’язок uk нерiвностi (15) в областi Qk+1
T з функцiями
fk
α i uk
0 . Продовжимо uk нулем в область QT \ Qk+1
T i збережемо за нею те саме
позначення. Кожна з функцiй uk задовольняє нерiвнiсть
∫
Qτ
[
vt(v − uk)ψ(x) +
∑
|α|=|β|62
aαβ(x, t)DαukDβ((v − uk)ψ(x))+
+
n∑
i=1
bi(x, t)|uk
xixi
|p−2uk
xixi
((v − uk)ψ(x))xixi
+
+
n∑
i=1
ci(x, t)|uk
xi
|q−2uk
xi
((v − uk)ψ(x))xi−
−γ
2
(v − uk)2ψ(x) + e(x, t)|uk|r−2uk(v − uk)ψ(x)−
−
∑
|α|62
fk
α(x, t)Dα((v − uk)ψ(x))
]
e−γt dxdt >
>
1
2
∫
Ωτ
|v − uk|2ψ(x)e−γτ dx− 1
2
∫
Ω0
|v − uk
0 |2ψ(x) (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 965
для всiх τ ∈ (0, T ], для всiх ψ ∈ C2
0 (Rn), ψ(x) > 0, suppψ ⊂ Bk, для деякого
γ > γ0 i всiх функцiй v ∈ Lr
(
(0, T );Lr
loc(Ω)
)
∩ L2
(
(0, T );V2,loc(Ω)
)
таких, що
vt ∈ L2
(
(0, T );L2
loc(Ω)
)
, v ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Нехай R > 1 — довiльне фiксоване число, k > R. Запишемо нерiвнiсть (28)
для функцiї um, m > R, додамо цю нерiвнiсть до (28) i виберемо ψ(x) = ϑR,s(x),
v = wρ, де wρ — розв’язок задачi (6) при w = (uk + um)/2. Як при доведеннi
теореми 1, отримаємо нерiвнiсть∫
Qτ
[ ∑
16|α|=|β|62
aαβ(x, t)Dαuk,mDβ(uk,mϑR,s(x))+
+
n∑
i=1
bi(x, t)
(
|uk
xixi
|p−2uk
xixi
− |um
xixi
|p−2um
xixi
)
(uk,mϑR,s(x))xixi
+
+
n∑
i=1
ci(x, t)
(
|uk
xi
|q−2uk
xi
− |um
xi
|q−2um
xi
)
(uk,mϑR,s(x))xi
+
+
(
a00(x, t) +
γ
2
)
(uk,m)2ϑR,s(x)+
+e(x, t)(|uk|r−2uk − |um|r−2um)uk,mϑR,s(x)
]
e−γt dxdt+
+
1
2
∫
Ωτ
|uk,m|2ϑR,s(x)e−γτ dx 6 0 (29)
для всiх τ ∈ (0, T ], де uk,m = uk − um.
З (29) неважко вивести нерiвнiсть∫
Qτ
[
(a0 − δ7)
∑
|α|=2
|Dαuk,m|2+
+(a0 − δ8 − δ9)
∑
|α|=1
|Dαuk,m|2 +
(
a1 +
γ
2
− δ10 − δ11
)
|uk,m|2+
+(b0 − δ922−p − δ1022−p)
n∑
i=1
(
|uk
xixi
|p−2uk
xixi
− |um
xixi
|p−2um
xixi
)
uxixi+
+(c0 − δ1122−q)
n∑
i=1
(
|uk
xi
|q−2uk
xi
− |um
xi
|q−2um
xi
)
uxi
+
+e0|uk,m|r
]
ϑR,s(x)e−γt dxdt+
1
2
∫
Ωτ
|uk,m|2ϑR,s(x)e−γτ dx 6
6 µ14(δ7)R4κ
∫
QT
|uk,m|2[hR(x)]s−4e−γt dxdt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
966 I. М. МЕДВIДЬ
+µ15(δ8)R2κ1
∫
QT
|uk,m|2[hR(x)]s−2e−γt dxdt+
+µ16(δ9, δ10, δ11)
(
2R(2p(κ2−1))/(2−p)+s+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+s+n
)
, (30)
де δ7, . . . , δ11 > 0, µ14, µ15, µ16 — деякi додатнi сталi.
Iз (30), як i в доведеннi теореми 1, отримаємо оцiнку
∫
QT
[ ∑
|α|62
|Dαuk,m|2 + |uk,m|r + |uk,m|r1
]
ϑR,s(x)e−γ0t dxdt+
+
∫
Ωτ
|uk,m|2ϑR,s(x)e−γ0τ dx 6
6 µ17
(
R(4r1(κ−1))/(r1−2)+s+n +R(2r1(κ1−1))/(r1−2)+s+n
)
+
+µ18
(
R(2p(κ2−1))/(2−p)+s+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+s+n
)
, (31)
τ ∈ [0, T ], µ17, µ18 > 0.
Нехай R > R0 > 1. Тодi з (31) випливає оцiнка
∫
Q
R0
T
[∑
|α|62
|Dαuk,m|2 + |uk,m|r + |uk,m|r1
]
dxdt+
∫
Ω
R0
τ
|uk,m|2 dx 6
6 µ19e
γ0T
(
R
R−R0
)s(
R(4r1(κ−1))/(r1−2)+n +R(2r1(κ1−1))/(r1−2)+n+
+R(2p(κ2−1))/(2−p)+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+n
)
, τ ∈ [0, T ], µ19 > 0. (32)
Оскiльки lim
r1→+2
r1/(r1 − 2) = +∞, то iснує таке r2 ∈ (2, r), що
(4r2(κ− 1))/(r2 − 2) + n < 0, (2r2(κ1 − 1))/(r2 − 2) + n < 0.
Крiм того, з умови теореми
(
2p(κ2−1)
)
/(2−p)+n < 0,
(
2q(κ3−1)
)
/(2−q)+n < 0.
Нехай ε > 0 — довiльне фiксоване число. Iснує таке R1, R1 > R0, що
µ19e
γ0T
(
R
R−R0
)s(
R(4r1(κ−1))/(r1−2)+n +R(2r1(κ1−1))/(r1−2)+n+
+R(2p(κ2−1))/(2−p)+n +R(2q(κ3−1))/(2−q)+n
)
< ε.
Отже, з (32) випливає, що послiдовнiсть {uk} є фундаментальною у просторi
C
(
[0, T ];L2(ΩR0)
)
∩ L2
(
(0, T );V2(ΩR0)
)
∩ Lr(QR0
T ). Оскiльки R0 довiльне, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
ПАРАБОЛIЧНА ВАРIАЦIЙНА НЕРIВНIСТЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНИХ ... 967
uk → u сильно в C
(
[0, T ];L2
loc(Ω)
)
∩ L2((0, T );V2,loc(Ω)
)
∩
∩Lr
(
(0, T );Lr
loc(Ω)
)
при k →∞.
Для кожної невiд’ємної функцiї ψ ∈ C2
0 (Rn) в (28) можна перейти до границi
при k →∞.
Теорему доведено.
1. Brezis H. Semilinear equations in Rn without conditions at infinity // Appl. Math. and Optim. –
1984. – 12, № 3. – P. 271 – 282.
2. Herrero M. A., Pierre M. The Cauchy problem for ut − 4um = 0, when 0 < m < 1 // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1985. – 291, № 1. – P. 145 – 158.
3. Pierre M. Nonlinear fast diffusion with measures as data. In “Nonlinear parabolic equations: quali-
tative properties of solutions”, ed. by L. Boccardo and A. Tesei // Pitman Res. Notes Math. – 1987.
– 149. – P. 179 – 188.
4. Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infinity // Arch. Ration.
Mech. and Anal. – 1989. – 106, № 3. – P. 217 – 241.
5. Di Benedetto A., Herrero M. A. Non-negative solutions of the evolution p-Laplacian equation. Initial
traces and Cauchy problem when 1 < p < 2 // Ibid. – 1990. – 111, № 3. – P. 225 – 290.
6. McLeod B., Pelitier L. A., Vazquez J. L. Solutions of nonlinear Ode appearing in the theory of
diffusion with absorption // Different. Integr. Equat. – 1991. – 4, № 1. – P. 1 – 14.
7. Бокало Н. М. Об однозначной разрешимости краевых задач для полулинейных параболических
уравнений в неограниченных областях без условий на бесконечности // Сиб. мат. журн. – 1993.
– 34, № 4. – С. 620 – 627.
8. Vazquez J. L., Walias M. Existence and uniqueness of solutions of diffusion-absorption equations
with general data // Different. Integr. Equat. – 1994. – 7, № 1. – P. 15 – 36.
9. Бокало Н. М. Краевые задачи для полулинейных параболических уравнений в неограниченных
областях без условий на бесконечности // Сиб. мат. журн. – 1996. – 37, № 5. – С. 977 – 985.
10. Гладков А. Л. Об уравнении фильтрации-абсорбции с переменным коэффициентом // Диффе-
ренц. уравнения. – 2001. – 37, № 1. – С. 42 – 47.
11. Gladkov A., Guedda M. Diffusion-absorption equation without growth restrictions on the data at
infinity // J. Math. Anal. and Appl. – 2002. – 274, № 1. – P. 16 – 37.
12. Marchi C., Tesei A. Higher-order parabolic equations without conditions at infinity // Ibid. – 2002.
– 269, № 1. – P. 352 – 368.
13. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сб. – 1935. –
42, № 2. – С. 199 – 216.
14. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Метод введения параметра для исследования эволюционных
уравнений // Успехи мат. наук. – 1978. – 33, вып. 5. – С. 7 – 72.
15. Herrero M. A., Velázquez J. L. On the dynamics of a semilinear heat equation with strong absorption
// Communs Part. Different. Equat. – 1989. – 14, № 12. – P. 1653 – 1715.
16. Шишков А. Е. Поведение обобщенных решений смешанных задач для квазилинейных пара-
болических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Укр. мат. журн. – 1987.
– 39, № 5. – С. 624 – 631.
17. Акулов В. Ф., Шишков А. Е. Об асимптотических свойствах решений смешанных задач для
квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях // Мат. сб. – 1991. –
182, № 8. – С. 1200 – 1210.
18. Акулов В. Ф., Шишков А. Е. Об единственности решений смешанных задач и задачи Коши
для параболических уравнений высокого порядка с неограниченными коэффициентами // Укр.
мат. журн. – 1992. – 44, № 2. – С. 149 – 155.
19. Шишков А. Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболи-
ческих уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности
// Там же. – 1995. – 47, № 2. – С. 277 – 289.
20. Fridman A. Regularity theorems for variational inequalities in unbounded domains and applications
to stopping time problems // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1973. – 52. – P. 134 – 160.
21. Urbańska K. Parabolic variational inequality in unbounded domains // Мат. студ. – 2003. – 19, № 2.
– С. 165 – 180.
22. Доманська Г. П., Колiнько М. О., Лавренюк С. П. Параболiчнi варiацiйнi нерiвностi в необме-
жених областях зi зростаючими даними // Доп. НАН України. – 2005. – № 6. – С. 28 – 32.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
968 I. М. МЕДВIДЬ
23. Domanskaya G. P., Kolin’ko M. E., Lavrenyuk S. P. A parabolic variational inequality in unbounded
domains // Different. Equat. – 2006. – 42, № 1. – P. 68 – 87.
24. Лавренюк С. П., Медвiдь I. М. Параболiчна варiацiйна нерiвнiсть високого порядку в необме-
жених областях // Доп. НАН України. – 2006. – № 7. – P. 12 – 18.
25. Медвiдь I. М. Елiптична варiацiйна нерiвнiсть в необмежених областях // Мат. методи i фiз.-
мех. поля. – 2006. – 49, № 2. – С. 108 – 116.
26. Пелетье Л. А., Похожаев С. И. Задача Коши для расширенного уравнения Фишера – Колмо-
горова // Дифференц. уравнения. – 1999. – 35, № 3. – С. 351 – 366.
27. Xu M., Zhou S. Existence and uniqueness of weak solutions for a generalized thin film equation //
Nonlinear Anal. – 2005. – 60, № 4. – P. 755 – 774.
28. Таранец Р. М., Шишков А. Е. Эффект временной задержки распространения носителя в
уравнениях тонких пленок // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 7. – С. 935 – 952.
29. Dal Passo R., Giacomelli L., Shishkov A. The thin film equation with nonlinear diffusion // Communs
Part. Different. Equat. – 2001. – 26, № 9&10. – P. 1509 – 1557.
30. King B. B., Stein O., Winkler M. A fourth-order parabolic equation modeling epitaxial thin film
growth // J. Math. Anal. and Appl. – 2003. – 286, № 2. – P. 459 – 490.
31. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 с.
32. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 608 с.
33. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:
Изд-во иностр. лит., 1958. – 475 с.
34. Медвiдь I. Задачi для нелiнiйних елiптичних i параболiчних рiвнянь в анiзотропних просторах
// Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 149 – 166.
35. Бокало M. M., Дмитрiв В. Крайовi задачi для iнтегро-диференцiальних рiвнянь в анiзотропних
просторах // Там же. – 2001. – Вип. 59. – С. 84 – 101.
Одержано 03.05.06,
пiсля доопрацювання — 13.02.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3211 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:18Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0c/ec19e5ab1dc4897e3213c6903a40730c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32112020-03-18T19:48:23Z Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains Параболічна варіаційна нерівність вищого порядку в необмежених областях Medvid’, I. M. Медвідь, І. М. We prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlinear parabolic variational inequality in an unbounded domain without conditions at infinity. In particular, the initial data may infinitely increase at infinity, and a solution of the inequality is unique without any restrictions on its behavior at infinity. Доказано существование и единственность решения нелинейного параболического вариационного неравенства в неограниченной области без условий на бесконечности. В частности, исходные данные могут неограниченно возрастать на бесконечности, а решение неравенства является единственным без требований к его поведению на бесконечности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3211 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 7 (2008); 949–968 Український математичний журнал; Том 60 № 7 (2008); 949–968 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3211/3168 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3211/3169 Copyright (c) 2008 Medvid’ I. M. |
| spellingShingle | Medvid’, I. M. Медвідь, І. М. Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| title | Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| title_alt | Параболічна варіаційна нерівність вищого порядку в необмежених областях |
| title_full | Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| title_fullStr | Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| title_full_unstemmed | Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| title_short | Higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| title_sort | higher-order parabolic variational inequality in unbounded domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3211 |
| work_keys_str_mv | AT medvidim higherorderparabolicvariationalinequalityinunboundeddomains AT medvídʹím higherorderparabolicvariationalinequalityinunboundeddomains AT medvidim parabolíčnavaríacíjnanerívnístʹviŝogoporâdkuvneobmeženihoblastâh AT medvídʹím parabolíčnavaríacíjnanerívnístʹviŝogoporâdkuvneobmeženihoblastâh |