On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order
We prove a Hadamard-type theorem which connects the generalized order of growth $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ of entire transcendental function $f$ with coefficients of its expansion into the Faber series. The theorem is an original extension of a certain result by S. K. Balashov to the case of finite...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3219 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509271134830592 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Zhir, S. I. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Zhir, S. I. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:39Z |
| description | We prove a Hadamard-type theorem which connects the generalized order of growth $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ of entire transcendental function $f$ with coefficients of its expansion into the Faber series. The theorem is an original extension of a certain result by S. K. Balashov to the case of finite simply connected domain $G$ with the boundary $\gamma$ belonging to the S. Ya. Al'per class $\Lambda^*.$
This enables us to obtain boundary equalities that connect $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ with the sequence of the best polynomial approximations of $f$ in some Banach spaces of functions analytic in $G$.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук, С. И. Жир (Акад. тамож. службы Украины, Днепропетровск)
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ЦЕЛЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ОБОБЩЕННОГО ПОРЯДКА
We prove a Hadamard-type theorem which connects the generalized order of growth ρ∗f (α, β) of entire
transcendental function f with coefficients of its expansion into the Faber series. The theorem is an
original extension of a certain result by S. K. Balashov to the case of finite simply connected domain G
with the boundary γ belonging to the S. Ya. Al’per class Λ∗. This enables us to obtain boundary equalities
that connect ρ∗f (α, β) with the sequence of the best polynomial approximations of f in some Banach
spaces of functions analytic in G.
Доведено теорему типу Адамара, яка пов’язує узагальнений порядок зростання ρ∗f (α, β) цiлої
трансцендентної функцiї f з коефiцiєнтами її розвинення в ряд Фабера. Теорема є своєрiдним
поширенням одного результату С. К. Балашова на випадок скiнченної однозв’язної областi G з
межею γ, що належить до класу С. Я. Альпера Λ∗. На основi цього отримано граничнi рiвностi, якi
пов’язують ρ∗f (α, β) з послiдовнiстю найкращих полiномiальних наближень f у деяких банахових
просторах функцiй, аналiтичних в G.
1. Первые результаты, связанные с полиномиальной аппроксимацией целых транс-
цендентных функций, были получены С. Н. Бернштейном в случае равномерного
приближения на отрезке [−1, 1] алгебраическими многочленами вещественной
функции f, которая являлась сужением на [−1, 1] целой трансцендентной функции
(см., например, [1]). В дальнейшем это дало толчок к исследованию связей между
различными характеристиками роста максимума модуля целой трансцендентной
функции и скоростью стремления к нулю последовательности ее наилучших по-
линомиальных приближений в C[−1, 1] (см., например, [2, 3]). Предложенные
М. Н. Шереметой [4, 5] и дополненные С. К. Балашовым [6] обобщения классичес-
ких характеристик роста целых функций существенно обогатили шкалу роста и
позволили получить ряд новых результатов теории аппроксимации в C[−1, 1] (см.,
например, [7]).
Предельные равенства, связывающие характеристики роста целых трансцен-
дентных функций с последовательностями их наилучших полиномиальных при-
ближений в некоторых банаховых пространствах аналитических в единичном круге
функций, были получены, в частности, в работах [8 – 13].
Для конечной односвязной области, ограниченной спрямляемой жордановой
кривой, первые результаты указанного вида получил А. В. Батырев [14]. В после-
дующем эта тематика получила свое развитие в ряде других работ (см., например,
[15 – 18]). Данная статья продолжает указанные исследования в конечной односвяз-
ной области, и для этого в ней использованы некоторые обобщения классических
характеристик роста целых функций.
2. Пусть G — конечная односвязная область комплексной плоскости C, огра-
ниченная гладкой спрямляемой замкнутой жордановой кривой γ, причем дополне-
нием к G = G∪ γ является односвязная область Ω, содержащая точку z = ∞. При
этом γ =
{
z ∈ C : z(s) = x(s) + iy(s), 0 ≤ s ≤ l, z(0) = z(l)
}
, где s — длина дуги,
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки на γ, l — длина γ. Обозначим
c© С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8 1011
1012 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
через θ(s) угол между касательной к кривой γ в точке z(s) и положительным на-
правлением оси Ox, а через ω(θ, t) модуль непрерывности функции θ. Полагают
[19], что кривая γ принадлежит классу Λ∗, если для нее выполнено условие
c∫
0
ω(θ, t)
t
ln |t|dt < ∞,
где c — произвольное положительное число.
Пусть функция w = Φ(z) отображает внешность замкнутой кривой γ плоскости
z на внешность единичной окружности |w| = 1 плоскости w так, что Φ(∞) = ∞
и Φ′(∞) = δ > 0. При этом условие Φ(∞) = ∞ означает, что функция w = Φ(z)
точку z = ∞ переводит в точку w = ∞, а условие Φ′(∞) = δ > 0 иногда
записывается в виде lim
{
Φ(z)/z : z → ∞
}
= δ > 0. В окрестности точки z = ∞
разложение Φ в ряд Лорана имеет вид
Φ(z) = δz + δ0 +
δ1
z
+ . . . +
δk
zk
+ . . . . (1)
Через γr, r > 1, обозначим на плоскости z линию уровня функции Грина
области G, которая при отображении w = Φ(z) переходит в окружность |w| = r
плоскости w. Поскольку отображение w = Φ(z) конформно и однолистно, при
r > 1 линия уровня γr является замкнутой правильной аналитической кривой. В
случае r = 1 линия уровня γ1 есть граница γ области G. Произвольная линия уров-
ня γr, r > 1, определяет две канонические области: внутренность Gr и внешность
Ωr. При этом Gr = Gr ∪ γr, G = G1, Ω = Ω1.
3. Пусть L0 — класс функций h, принимающих положительные значения,
определенных на полусегменте [1,∞) и удовлетворяющих условиям:
1) функции h дифференцируемы на [1,∞), строго монотонно возрастают и при
x →∞ стремятся к ∞;
2) для любого c ∈ (0,∞) имеет место равенство
lim
x→∞
h(cx)
h(x)
= 1. (2)
Функции h, для которых выполняется условие 2, называют функциями медленного
роста.
Развивая идеи Н. М. Шереметы [4], С. К. Балашов рассмотрел в [6], в частности,
понятие обобщенного порядка целой трансцендентной функции f :
ρ∗f (α, β) = lim
r→∞
α
(
lnM(f, r)
)
β(r)
, (3)
где α, β ∈ L0, M(f, r) = max
{∣∣f(z)
∣∣ : |z| = r
}
. Он установил формулу типа Ада-
мара, связывающую характеристику (3) и коэффициенты ряда Тейлора функции f.
Для целой транцендентной функции f обозначим M̃(f, r) = max
{∣∣f(z)
∣∣ : z ∈
∈ Gr
}
, r > 1. Пусть z = Ψ(w) — функция, обратная к w = Φ(z). Эта функция
отображает конформно и однолистно область |w| > 1 на область Ω. Ее разложение
в ряд Лорана в окрестности точки w = ∞ имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1013
z = Ψ(w) = νw + ν0 +
ν1
w
+ . . . +
νk
wk
+ . . . , |w| > 1, (4)
где ν = 1/δ.
Использовав (2) – (4), покажем, что
ρ∗f (α, β) = lim
r→∞
α
(
ln M̃(f, r)
)
β(r)
. (5)
Действительно, полагая z = wν и R = r|ν|, имеем
lim
r→∞
α
(
ln M̃(f, r)
)
β(r)
= lim
r→∞
α
(
ln max
|w|=r
∣∣∣f(Ψ(w)
)∣∣∣)
β(r)
=
= lim
r→∞
α
(
ln max
|w|=r
∣∣∣f(w(ν + ν0
w + . . . + νk
wk+1 + . . .)
)∣∣∣)
β(r)
=
= lim
R→∞
α
(
ln max
|z|=R
∣∣f(z)
∣∣)
β(R)
= ρ∗f (α, β).
Напомним, что n-й полином Фабера Fn для области G есть правильная часть
разложения n-й степени функции Φ из (1) в ряд Лорана в окрестности z = ∞.
Нам потребуется следующая теорема.
Теорема A [20, с. 135, 136]. Пусть Fn, n ∈ Z+, — последовательность поли-
номов Фабера для односвязной области G. Если функция f регулярна в области
Gr, 1 < r < ∞, и на линии уровня γr имеет особую точку, то:
1) функция f разлагается в ряд по полиномам Фабера:
f(z) =
∞∑
n=0
an(f)Fn(z), (6)
где
an(f) =
1
2πi
∫
|w|=R
f
(
Ψ(w)
)
wn+1
dw, 1 < R < r;
2) при этом
lim
n→∞
|an(f)|1/n =
1
r
(7)
и ряд (6) равномерно сходится внутри Gr и расходится вне Gr;
3) обратно, если выполняется (7), то ряд (6) равномерно сходится внутри Gr
и расходится вне Gr, а функция f, определенная равенством (6), регулярна в Gr и
на линии уровня γr имеет особую точку.
Поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1014 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
Fn(z) =
1
2πi
∫
γr
Φn(ξ)
ξ − z
dξ, z ∈ Gr, n ∈ Z+,
то ∣∣Fn(z)
∣∣ ≤ c1(r)rn, c1(r)
df=
l(γr)
2πd(γ, γr)
, z ∈ γr, (8)
где l(γr) — длина линии уровня γr, d(γ, γr) — расстояние между границей γ области
G и кривой γr; r > 1.
Следующее утверждение является теоремой типа Адамара, связывающей вели-
чину (5) с коэффициентами разложения целой трансцендентной функции f в ряд
Фабера (6). Его также можно рассматривать как своеобразное распространение
одного результата С. К. Балашова [6] на случай конечной односвязной области G
с границей γ ∈ Λ∗.
Теорема 1. Пусть функции β, α принадлежат классу L0 и Q(x, c) df=
df= β−1
(
cα(x)
)
. Если для любого c ∈ (0,∞) при x → ∞ имеет место соотно-
шение
d lnQ(x, c)
d lnx
= O(1), (9)
то справедливо равенство
ρ∗f (α, β) = lim
n→∞
α(n)
β
(
1/ n
√
|an(f)|
) . (10)
4. Доказательство теоремы 1. Пусть
lim
r→∞
α
(
ln M̃(f, r)
)
β(r)
df= λ. (11)
Тогда для произвольного ε > 0 существует число r0 = r0(ε) > 1 такое, что для
всех r > r0 выполняется соотношение
α
(
ln M̃(f, r)
)
β(r)
≤ λ∗
df= λ + ε.
Отсюда имеем
M̃(f, r) ≤ exp
(
α−1
(
λ∗β(r)
))
. (12)
Согласно [20] для коэффициентов an(f), n ∈ N, выполняется неравенство
|an(f)| ≤
(τ
r
)n
M̃(f, r), (13)
где τ — емкость множества G. Из (12), (13) получаем соотношение
|an(f)| ≤
(τ
r
)n
exp
(
α−1
(
λ∗β(r)
))
, (14)
которое справедливо для любых r > r0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1015
Пусть
r(n) df= Q(n, 1/λ∗). (15)
Зафиксируем число n∗ ∈ N, для которого r(n∗) > r0. Поскольку функции α, β
являются строго монотонно возрастающими, для всех натуральных чисел n ≥ n∗
имеем r(n) > r0. Подставив (15) в (14), получим
|an(f)| ≤ τn exp
(
n
(
1− lnQ(n, 1/λ∗)
))
. (16)
Прологарифмировав обе части неравенства (16), после несложных вычислений
запишем
|an(f)|−1/n ≥ Q(n, 1/λ∗)
eτ
. (17)
Учитывая вид функции Q, приведенной в формулировке теоремы 1, из (17) имеем
α(n)
β
(
eτ/ n
√
|an(f)|
) ≤ λ + ε. (18)
Поскольку ε > 0 — произвольное число, переходя в (18) к верхнему пределу при
n →∞ и используя тот факт, что β — функция медленного роста и 1/ n
√
|an(f)| →
→ ∞ при n →∞, получаем
lim
r→∞
α(n)
β
(
1/ n
√
|an(f)|
) df= λ1 ≤ λ. (19)
Установим обратное неравенство λ1 ≥ λ. Для произвольного ε > 0 существует
число n1 = n1(ε) ∈ N такое, что для любых натуральных чисел n ≥ n1
α(n)
β
(
1/ n
√
|an(f)|
) ≤ λ∗1
df= λ1 + ε.
Отсюда имеем ∣∣an(f)
∣∣ ≤ 1(
β−1
(
α(n)/λ∗1
))n . (20)
Умножим обе части соотношения (20) на rn и возведем в степень 1/n. Неравенство
n
√
rn
∣∣an(f)
∣∣ ≤ r
β−1
(
α(n)/λ∗1
) ≤ 1
2
(21)
выполняется для любого n > n(r), n ∈ N, где
n(r) df=
[
α−1(λ∗1β(2r))
]
+ 1, (22)
[a] — целая часть числа a ∈ R. Тогда с учетом (21) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1016 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
∞∑
n=n(r)+1
rn|an(f)| ≤
∞∑
n=n(r)+1
1
2n
≤ 1. (23)
Рассмотрим функцию
g(x) df=
rx
Q(x, 1/λ∗1)x
. (24)
Прологарифмировав обе части соотношения (24), вычислим логарифмическую
производную полученного выражения
g′(x)
g(x)
= ln r − lnQ(x, 1/λ∗1)−
d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
. (25)
Из условия (9) следует существование константы B > 0 и числа x∗ > 0 таких, что
для любого x ≥ x∗ выполняется неравенство∣∣∣∣d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
∣∣∣∣ ≤ B. (26)
Исходя из (26), вместо формулы (22) можем принять
n∗1(r)
df=
[
α−1
(
λ∗1β
(
exp(ln(2r) + B)
))]
+ 1. (27)
Очевидно, что для любых натуральных чисел n ≥ n∗1(r) имеют место неравен-
ства (21) и (23).
Полагаем
n0
df= max
(
n1(ε), [x∗] + 1
)
,
r(x) df= Q(x, 1/λ∗1) exp(B).
(28)
При этом для любого r > r(n0) с учетом (25), (26) и (28) получим
g′(n0)
g(n0)
≥ ln r − lnQ(n0, 1/λ∗1)−B = ln
r
r(n0)
> 0.
Учитывая вид функции Q, приведенный в формулировке теоремы 1, принадлеж-
ность функций α, β классу L0, из (25) – (27) имеем
g′
(
n∗1(r)
)
g
(
n∗1(r)
) ≤ − ln 2−B −
d lnQ
(
x, 1/λ∗1
)
d lnx
∣∣∣∣∣
x=n∗1(r)
≤ − ln 2 < 0.
Пусть r > r(n0). Через x∗(r) обозначим точку, для которой
g
(
x∗(r)
)
= max
n0≤x≤n∗1(r)
g(x). (29)
Очевидно, что на основании (29) и (25) для точки x∗(r) выполняется равенство
ln r − lnQ
(
x∗(r), 1/λ∗1
)
− b(r) = 0, (30)
где в силу (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1017
−B ≤ b(r) df=
d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
∣∣∣∣
x=x∗(r)
≤ B. (31)
Учитывая вид функции Q, из (30) имеем
x∗(r) = α−1
(
λ∗1β
(
exp
(
ln r − b(r)
)))
. (32)
Сравнивая (27) и (32), убеждаемся в том, что x∗(r) < n∗1(r). С другой стороны, для
любого r > r(n0) на основании (26), (28) и (31) получим
x∗(r) > x∗
(
r(n0)
)
= α−1
(
λ∗1β
(
exp
(
lnβ−1
(
α(n0)/λ∗1
)
+ B − b
(
r(n0)
))))
≥ n0.
Покажем, что в точке x∗(r), определенной формулой (32), функция g дей-
ствительно достигает своего максимального значения на отрезке [n0, n
∗
1(r)]. Оче-
видно, что существуют числа ε1 > 0 и ε2 > 0 такие, для которых
xε1(r)
df= α−1
(
λ∗1β
(
exp
(
ln r − b(r)− ε1
)))
= n0,
xε2(r)
df= α−1
(
λ∗1β
(
exp
(
ln r − b(r) + ε2
)))
= n∗1(r).
Рассмотрим два точечных множества
M−
ε1
df=
{
xε1(r) < x−ε (r) < x∗(r) :
x−ε (r) df= α−1
(
λ∗1β
(
exp
(
ln r − b(r)− ε
)))
, 0 < ε < ε1
}
, (33)
M+
ε2
df=
{
x∗(r) < x+
ε (r) < xε2(r) :
x+
ε (r) df= α−1
(
λ∗1β
(
exp
(
ln r − b(r) + ε
)))
, 0 < ε < ε2
}
, (34)
расположенные соответственно слева и справа от точки x∗(r). Пусть ε ∈ (0, ε1)
— произвольное число. Учитывая (31) – (33) и тот факт, что β является функцией
медленного роста, т. е.
lim
r→∞
β
(
exp
(
ln r − b(r)
)
exp(−ε)
)
β
(
exp
(
ln r − b(r)
)) = 1,
имеем
lim
r→∞
(
x−ε (r)− x∗(r)
)
= 0. (35)
В силу (31) и (35) получаем
lim
r→∞
(
b(r)− d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
∣∣∣∣
x=x−ε (r)
)
= 0. (36)
Из (36) следует существование для ε > 0 такого числа r0 = r(ε) ∈ R, что для
любого r > r0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1018 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
∆−
ε (r) df=
∣∣∣∣b(r)− d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
∣∣∣
x=x−ε (r)
∣∣∣∣ < ε
2
. (37)
Подставляя значение x−ε (r) в (25) и учитывая (33) и (37), записываем
g′
(
x−ε (r)
)
g
(
x−ε (r)
) = ln r − lnβ−1
(
α
(
x−ε (r)
)
/λ∗1
)
− d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
∣∣∣
x=x−ε (r)
=
= b(r) + ε− d lnQ(x, 1/λ∗1)
d lnx
∣∣∣
x=x−ε (r)
≥ ε−∆−
ε (r) > ε/2 > 0. (38)
Поскольку g
(
x−ε (r)
)
> 0, из (38) и произвольноcти выбора числа ε ∈ (0, ε1)
следует, что на интервале
(
n0, x
∗(r)
)
функция g является монотонно возраста-
ющей. Проводя аналогичные рассуждения для точек множества (34), получаем
g′
(
x+
ε (r)
)
< −ε/2 < 0, где ε ∈ (0, ε2) — любое число. Следовательно, на интерва-
ле
(
x∗(r), n∗1(r)
)
функция g монотонно убывает и в итоге справедливо соотноше-
ние (29).
Используя (31), (32) и вид функции Q, получаем
g
(
x∗(r)
)
= rx∗(r)
(
Q
(
x∗(r), 1/λ∗1
))−x∗(r)
=
= exp
(
x∗(r) ln r
)(
exp
(
ln r − b(r)
))−x∗(r)
=
= exp
(
x∗(r)b(r)
)
≤ exp
(
x∗(r)B
)
.
Тогда на основании (21), (24) и (29) имеем
max
n0≤n≤n∗1(r)
|an(f)|rn ≤ g
(
x∗(r)
)
≤ exp
(
x∗(r)B
)
. (39)
Для оценки сверху величины M̃(f, r) применим метод Виммана – Валирона.
Используя (6) и (8), при r > r(n0) записываем
M̃(f, r) = max
z∈Gr
|f(z)| ≤
∞∑
n=0
|an(f)|max
z∈Gr
|Fn(z)| ≤ c1(r)
∞∑
n=0
|an(f)|rn ≤
≤ c1(r)
n0∑
n=0
|an(f)|rn +
n∗1(r)∑
n=n0+1
|an(f)|rn +
∞∑
n=n∗1(r)+1
|an(f)|rn
. (40)
В силу (23) и (39) из (40) получаем
M̃(f, r) ≤ c1(r)
(
O(rn0) + n∗1(r) exp
(
x∗(r)B
)
+ 1
)
. (41)
Покажем, что величина c1(r) ограничена сверху некоторой константой, не за-
висящей от r. Для этого нам понадобится теорема, полученная В. К. Дзядыком.
Теорема B [21]. Если граница γ замкнутой ограниченной области G с одно-
связным дополнением состоит из конечного числа кривых Ляпунова (или даже
кривых из класса Λ∗) или же из конечного числа кривых с непрерывной кривизной,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1019
образующих в точках стыка zj углы αjπ, 0 ≤ αj < 2, то при всех z ∈ γ и r > 1
справедливо соотношение
dr(z) � (r − 1)
(
|z − zj |+ (r − 1)2−αj
) 1−αj
2−αj , (42)
где � — отношение слабой эквивалентности, dr(z) — расстояние от точки z ∈ γ
до линии уровня γr, zj — ближайшая к z ∈ γ точка стыка на кривой γ.
В рассматриваемом случае граница γ есть гладкая кривая из класса Λ∗. По-
скольку на γ точки стыка zj отсутствуют (αj = 1), из (42) имеем
dr(z) � (r − 1). (43)
Вследствие (43) расстояние d(γ, γr) между кривыми γ и γr удовлетворяет соотно-
шению
d(γ, γr) � (r − 1). (44)
Длину линии уровня γr можно вычислить по формуле
l(γr) =
∫
γr
|dz| =
∫
|w|=r
∣∣Ψ′(w)
∣∣ |dw|. (45)
Известно (см., например, [22]), что если кривая γ принадлежит Λ∗, то производная
Ψ′(w) непрерывна и отлична от нуля в замкнутой области |w| ≥ 1 и существуют
две положительные постоянные c∗ и c∗ такие, что имеет место неравенство
0 < c∗ ≤
∣∣Ψ′(w)
∣∣ ≤ c∗ < ∞, |w| ≥ 1. (46)
Используя (46), из (45) имеем
l(γr) ≤ sup
|w|≥1
∣∣Ψ′(w)
∣∣ ∫
|w|=r
|dw| ≤ c̃r, (47)
где c̃ — абсолютная константа.
На основании (44) и (47) для (8) при всех r > r(n0) получим
c1(r) < k∗, (48)
где k∗ — абсолютная константа (k∗ > 1).
С учетом (27), (32) и (48) неравенство (41) перепишем в следующем виде:
M̃(f, r) ≤ k∗
(
O(rn0) +
(
α−1
(
λ∗1β
(
exp(ln r + 2 + B)
))
+ 1
)
×
× exp
(
Bα−1
(
λ∗1β
(
exp
(
ln r − b(r)
)))))
. (49)
Используя (49), записываем
M̃(f, r)
(
1 + o(1)
)
≤
(
α−1
(
λ∗1β
(
exp(ln r + 2 + B)
))
+ 1
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1020 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
× exp
(
(B + ln k∗)α−1
(
λ∗1β
(
exp(ln r + B)
)))
≤
≤ exp
(
(B + k∗ + o(1))α−1
(
λ∗1β
(
exp(ln r + B)
)))
. (50)
Логарифмируя левую и правую части неравенства (50), имеем
α
((
B + k∗ + o(1)
)−1 ln M̃(f, r)
)
β(r + exp B)
≤ λ∗1
df= λ1 + ε. (51)
Учитывая, что α и β — функции медленного роста, ε > 0 — произвольное число, а
λ1 имеет вид (19), из (51) при r →∞ получаем
lim
r→∞
α
(
ln M̃(f, r)
)
β(r)
≤ lim
n→∞
α(n)
β
(
1/ n
√
|an(f)|
) . (52)
Требуемое равенство (10) следует из сопоставления соотношений (11), (19) с (52).
Теорема 1 доказана.
5. Будем говорить, что аналитическая в области G функция f принадлежит
пространству E ′p(G), p > 0, если для нее выполнено условие
‖f‖E′p =
∫∫
G
|f(z)|pdσz
1/p
< ∞,
где z = x + iy, dσz = dxdy. Очевидно, что при p ≥ 1 E ′p(G) есть банахово
пространство. Пусть Pn — подпространство алгебраических полиномов комп-
лексной переменной степени, не превышающей n, а En
(
f, E ′p(G)
) df= inf
{∥∥f −
− pn
∥∥
E′p(G)
: pn ∈ Pn
}
— величина наилучшего приближения функции f ∈ E ′p(G)
элементами подпространства Pn.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и f ∈ E ′p(G), где p ≥ 1,
G — конечная односвязная область с границей γ ∈ Λ∗. Тогда для того чтобы
функция f была целой конечного обобщенного порядка ρ∗f (α, β) = η, необходимо и
достаточно, чтобы
lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, E ′p(G)
)) = η. (53)
В ходе последующих рассуждений нам понадобится своеобразный аналог одно-
го результата А. А. Конюшкова [23] в комплексной плоскости.
Лемма A [17]. Пусть G — конечная односвязная область комплексной пло-
скости с границей γ ∈ Λ∗, функция f ∈ E ′p(G), 1 ≤ p < p1 ≤ ∞, и
∞∑
ν=1
Eν
(
f, E ′p(G)
)
ν1/p−1/p1−1 < ∞.
Тогда f ∈ E ′p1
(G) и для любого натурального числа n выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1021
En
(
f, E ′p1
(G)
)
≤
≤ µp,p1
{
En
(
f, E ′p(G)
)
n1/p−1/p1 +
∞∑
ν=n+1
Eν
(
f, E ′p(G)
)
ν1/p−1/p1−1
}
, (54)
где µp,p1 — константа, не зависящая от n.
6. Доказательство теоремы 2. Установим вначале достаточность усло-
вия (53), полагая, что для функции f ∈ E ′p(G) оно имеет место. Поскольку из
(53) следует соотношение
lim
n→∞
n
√
En
(
f, E ′p(G)
)
= 0,
на основании [17] заключаем, что f является целой функцией. Полагая ее обоб-
щенный порядок ρ∗f (α, β), определенный формулой (10), равным ξ, покажем спра-
ведливость равенства ξ = η.
Пусть функция f имеет в области G разложение (6) в ряд по полиномам Фабера
и p∗n(f, z) df=
∑n
k=0
ak(f)Fk(z). Тогда в силу (8) получим
En
(
f, E ′p(G)
)
≤
∥∥f − p∗n(f)
∥∥
E′p(G)
=
∥∥∥ ∞∑
k=n+1
ak(f)Fk
∥∥∥
E′p(G)
≤
≤ c1(r) p
√
mes(G)
∞∑
k=n+1
|ak(f)|rk. (55)
Из (10) следует, что для любого ε > 0 существует число n2 = n2(ε) ∈ N такое, что
для произвольного натурального n > n2 выполнено неравенство
α(n)
β
(
1/ n
√
|an(f)|
) ≤ ξ∗
df= ξ + ε. (56)
Из (56) для любого n > n2, n ∈ N, имеем
|an(f)| ≤
(
β−1
(
α(n)
ξ∗
))−n
. (57)
Из (8) следует, что при r → 1+0 поведение c1(r) зависит от величины d(γ, γr).
Пусть, например, r = 1 + 1/n, n ∈ N. Используя оценку d(γ, γ1+1/n) ≥ cγ/n2 (cγ
— постоянная, зависящая только от γ), справедливую для произвольной кусочно-
гладкой кривой γ [21], записываем
c1(1 + 1/n) ≤
n2l(γ1+1/n)
2πcγ
, n ∈ N. (58)
Учитывая (57), (58) и полагая в (55) r = 1 + 1/n, при n > n2, n ∈ N, имеем
En
(
f, E ′p(G)
)
≤ p
√
mes(G)
n2l(γ1+1/n)
2πcγ
∞∑
k=n+1
(
1 + 1/n
β−1
(
α(k)/ξ∗
))k
. (59)
Пусть n3 ∈ N — такое наименьшее число, для которого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1022 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
2
β−1
(
α(n3)/ξ∗
) < 1. (60)
Тогда в силу (59), (60) для произвольного натурального числа n > ñ
df= max(n2, n3)
выполняется
En
(
f, E ′p(G)
)
≤
≤ k∗1,pn
2l(γ1+1/n)
(
1 + 1/n
β−1
(
α(n + 1)/ξ∗
))n+1(
1− 2
β−1
(
α(n + 1)/ξ∗
))−1
, (61)
где
k∗1,p
df=
p
√
mes(G)
2πcγ
.
Из (53) и (61) следует неравенство
η = lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, E ′p(G)
) ) ≤
≤ lim
n→∞
α(n)
β
((
k∗1,pl(γ1+1/n)n2
)−1/n
β−1
(
α(n + 1)/ξ∗
)(
1− 2
β−1
(
α(n + 1)/ξ∗
))1/n
) =
= lim
n→∞
α(n)
β
(
β−1
(
α(n + 1)/ξ∗
)) = ξ + ε. (62)
Поскольку ε > 0 — произвольное число, из (62) имеем
η ≤ ξ. (63)
Установим противоположное неравенство ξ ≤ η. Очевидно, что целая функция
f ∈ E ′∞(G). Пусть p̃n−1(f, z) df=
∑n−1
k=0
ckFk(z) — многочлен наилучшего при-
ближения функции f в метрике пространства E ′∞(G). Используя формулу (4) и
теорему А, получаем
|an(f)| = 1
2π
∣∣∣∣∣∣∣
∫
|w|=1
f
(
Ψ(w)
)
− p̃n−1
(
f,Ψ(w)
)
wn+1
dw
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
2π
2π∫
0
∣∣∣f(Ψ(eit)
)
− p̃n−1
(
f,Ψ(eit)
)∣∣∣dt ≤
≤ max
0≤t<2π
∣∣∣f(Ψ(eit)
)
− p̃n−1
(
f,Ψ(eit)
)∣∣∣ = En−1
(
f, E ′∞(G)
)
. (64)
Из (10) и (64) следует неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1023
ξ = lim
n→∞
α(n)
β
(
1/ n
√
|an(f)|
) ≤ lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, E ′∞(G)
)) . (65)
Используя соотношение (54), где p1 = ∞, и учитывая, что β — функция медленного
роста, из (65) имеем
ξ ≤ lim
n→∞
α(n)
/
β
(
1
/((
En
(
f, E ′p(G)
))1/n(
µp,∞n1/p
)1/n+
+
(
µp,∞
∞∑
ν=n+1
ν1/p−1Eν
(
f, E ′p(G)
))1/n))
≤
≤ lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, E ′p(G)
) ) = η. (66)
Сравнивая неравенства (63) и (66), получаем требуемое равенство (53).
При доказательстве необходимости условия (53) полагаем, что f является це-
лой трансцендентной функцией, имеющей обобщенный порядок ρ∗f (α, β) = ξ.
Справедливость равенства ξ = η показываем так же, как и в случае рассмотрения
достаточности условия (53).
Теорема 2 доказана.
7. Пусть функция z = Ψ0(w) конформно и однолистно отображает круг |w| < 1
на ограниченную односвязную область G при условиях Ψ0(0) = z0, Ψ′
0(0) > 0,
где z0 — некоторая фиксированная точка из G; γ̃r — линия уровня в области G,
в которую переходит окружность |w| = r, 0 < r < 1, при отображении z =
= Ψ0(w). Если для функции f, аналитической в G, при любых r ∈ (0, 1) выполнено
неравенство ∫
γr
∣∣f(z)
∣∣p|dz|
1/p
< M, p > 0,
где M > 0 — произвольная постоянная, то говорят, что f принадлежит пространс-
тву Ep(G) [22]. При p ≥ 1 пространство Ep(G) банахово с нормой
‖f‖Ep(G) =
∫
γ
∣∣f(z)
∣∣p|dz|
1/p
,
где γ — спрямляемая кривая, являющаяся границей области G.
Через En
(
f, Ep(G)
) df= inf
{
‖f − pn‖Ep(G) : pn ∈ Pn
}
обозначим величину наи-
лучшего полиномиального приближения функции f ∈ Ep(G) элементами подпро-
странства Pn.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и функция f ∈ Ep(G), где
p ≥ 1, G — область, удовлетворяющая условиям теоремы 2. Для того чтобы f
была целой функцией конечного обобщенного порядка ρ∗f (α, β) = η, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1024 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, Ep(G)
) ) = η. (67)
Доказательство. Установим вначале достаточность условия (67), полагая, что
для функции f ∈ Ep(G) оно выполнено. Из (67) следует, что имеет место равенство
lim
n→∞
n
√
En
(
f, Ep(G)
)
= 0,
а это означает, что функция f — целая [17]. Полагая ее обобщенный порядок
ρ∗f (α, β), определенный формулой (10), равным ξ, покажем справедливость ра-
венства ξ = η. Нам потребуется один результат И. И. Ибрагимова и Н. И. Ши-
халиева, который приведем в удобном для нас виде.
Лемма B [15]. Пусть G — конечная односвязная область комплексной плос-
кости с границей γ ∈ Λ∗, функция f ∈ Ep(G), 1 ≤ p < p1 ≤ ∞, и
∞∑
ν=1
Eν
(
f, Ep(G)
)
ν1/p−1/p1−1 < ∞.
Тогда f принадлежит Ep1(G) и неравенство
En
(
f, Ep1(G)
)
≤
≤ θp,p1
{
En
(
f, Ep(G)
)
n1/p−1/p1 +
∞∑
ν=n+1
Eν
(
f, Ep(G)
)
ν1/p−1/p1−1
}
, (68)
где θp,p1 — константа, не зависящая от n, выполняется для любого n ∈ N.
Очевидно, что целая функция f принадлежит E ′p(G) при любом p ≥ 1. Поэтому
En
(
f, E ′p(G)
)
≤ p
√
mes(G)En
(
f, E ′∞(G)
)
. (69)
Поскольку E ′∞(G) ≡ E∞(G) и все условия леммы B для целой функции f
выполнены, из (68) имеем
En
(
f, E∞(G)
)
≤ θp,∞
{
En
(
f, Ep(G)
)
n1/p +
∞∑
ν=n+1
Eν
(
f, Ep(G)
)
ν1−1/p
}
. (70)
Неравенство
En
(
f, Ep(G)
)
≥ n−1/p
{
En
(
f, E ′p(G)
)
θp,∞
p
√
mes(G)
−
∞∑
ν=n+1
Eν
(
f, Ep(G)
)
ν1−1/p
}
(71)
следует из (69), (70). Используя теорему 2 и соотношения (67) и (71), получаем
η = lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, Ep(G)
) ) ≥ lim
n→∞
α(n)
β
(
1
/
n
√
En
(
f, E ′p(G)
) ) = ξ. (72)
Противоположное неравенство η ≤ ξ доказывается на основании соображе-
ний, аналогичных использованным при получении такого же соотношения в ходе
доказательства теоремы 2. Следовательно, η = ξ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ЦЕЛЫХ ... 1025
Покажем необходимость условия (67). Пусть f является целой функцией обоб-
щенного порядка ρ∗f (α, β) = ξ. Неравенство η ≤ ξ устанавливается на основе
рассуждений, аналогичных использованным при установлении подобного факта в
ходе доказательства теоремы 2. Отличие состоит лишь в том, что в соотношениях
вида (55), (61) вместо E ′p(G) и mes(G) записываем соответственно Ep(G) и l(γ).
Неравенство η ≥ ξ устанавливается подобно тому, как это сделано при получении
соотношения (72). Следовательно, η = ξ, и теорема 3 доказана.
Использовав неравенства (21) и (64), рассмотрим вопрос о возможности сопо-
ставления скорости стремления к нулю величины наилучшего полиномиального
приближения En
(
f, E∞(G)
)
и величины
∣∣an+1(f)
∣∣ для целой трансцендентной
функции f конечного обобщенного порядка ρ∗f (α, β).
Замечание . Пусть для любого натурального числа n > n∗1(r) и некоторого
вещественного числа r > max
(
r(n0), 1
)
имеют место равенства
|an(f)| = λn
(2r)n
, (73)
где числа {λn} образуют невозрастающую последовательность, а n∗1(r) и r(n0)
определены формулами (27) и (28) соответственно. Тогда справедливо соотноше-
ние
En
(
f, E∞(G)
)
�
∣∣an+1(f)
∣∣. (74)
Действительно, известно [19], что в области G, ограниченной кривой γ ∈
∈ Λ∗, многочлены Фабера ограничены в совокупности, т. е. существует абсолютная
константа K > 0 такая, что для произвольного n ∈ Z+ ‖Fn‖E∞(G) ≤ K. Используя
(73), для n > n∗1(r) получаем
En
(
f, E∞(G)
)
≤
∥∥f − p∗n(f)
∥∥
E∞(G)
≤
∞∑
k=n+1
∣∣ak(f)
∣∣‖Fk‖E∞(G) ≤
≤ K
∞∑
k=n+1
∣∣ak(f)
∣∣ = K
∣∣an+1(f)
∣∣ ∞∑
k=0
λn+1+k
λn+1
(
1
2r
)k
. (75)
Поскольку по условию теоремы λn+1+k/λn+1 ≤ 1 для любого k ∈ Z+, из (75)
имеем
En
(
f, E∞(G)
)
≤ 2Kr
2r − 1
∣∣an+1(f)
∣∣. (76)
Из (64) следует оценка снизу
∣∣an+1(f)
∣∣ ≤ En
(
f, E∞(G)
)
. Сравнивая последнее
неравенство с (76), получаем соотношение (74).
1. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.
– 184 с.
2. Varga R. S. On an extension of a result of S. N. Bernstein // J. Approxim. Theory. – 1968. – 1, № 2.
– P. 176 – 179.
3. Reddy A. R. Approximation of an entire functions // Ibid. – 1970. – 3, № 1. – P. 128 – 137.
4. Шеремета М. Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями
коэффициентов ее степенного разложения // Изв. вузов. Математика. – 1967. – № 2. – С. 100 –
108.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1026 С. Б. ВАКАРЧУК, С. И. ЖИР
5. Шеремета М. Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого
порядка и коэффициентами их степенных разложений // Там же. – 1968. – № 6. – С. 115 – 121.
6. Балашов С. К. O связи роста целой функции обобщенного порядка с коэффициентами ее
степенного разложения и распределением корней // Там же. – 1972. – № 8. – С. 10 – 18.
7. Shah S. M. Polynomial approximation of an entire function and generalized orders // J. Approxim.
Theory. – 1977. – 19, № 4. – P. 315 – 324.
8. Reddy A. R. A contribution to best approximation in the L2 norm // Ibid. – 1974. – 11, № 1. –
P. 110 – 117.
9. Ибрагимов И. И., Шихалиев Н. И. О наилучшем полиномиальном приближении в одном
пространстве аналитических функций // Докл. АН СССР. – 1976. – 227, № 2. – С. 280 – 283.
10. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении в некоторых банаховых про-
странствах аналитических в единичном круге функций // Мат. заметки. – 1994. – 55, № 4. –
С. 6 – 14.
11. Вакарчук С. Б., Жир С. И. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функ-
ций // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2002. – 9, № 4. – С. 595 – 603.
12. Вакарчук С. Б., Жир С. И. Некоторые вопросы полиномиальной аппроксимации целых транс-
цендентных функций // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1155 – 1162.
13. Вакарчук С. Б., Жир С. И. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функ-
ций в комплексной плоскости // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2. – С. 27 – 42.
14. Батырев А. В. К вопросу о наилучшем приближении аналитических функций полиномами //
Докл. АН СССР. – 1951. – 76, № 2. – С. 173 – 175.
15. Ибрагимов И. И., Шихалиев Н. И. О конструктивной характеристике одного класса функций
комплексного переменного // Докл. АН СССР. – 1977. – 236, № 4. – С. 789 – 791.
16. Giroux A. Approximation of entire functions over bounded domains // J. Approxim. Theory. – 1980.
– 28, № 1. – P. 45 – 53.
17. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций
в некоторых банаховых пространствах. I // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 9. – С. 1123 – 1133.
18. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций
в некоторых банаховых пространствах. II // Там же. – № 10. – С. 1318 – 1322.
19. Альпер С. Я. О равномерных приближениях функций комплексного переменного в замкнутой
области // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1955. – 19, № 3. – С. 423 – 444.
20. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. –
М.; Л.: Наука, 1964. – 438 с.
21. Дзядык В. К. О приближении аналитических функций в областях с гладкой и кусочно-гладкой
границей // Третья летн. мат. школа (Конструктивная теория функций). Кацивели, июнь-июль
1965 г. – Киев: Наук. думка, 1966. – С. 29 – 83.
22. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. – М.: Наука, 1984. – 336 с.
23. Конюшков А. А. Наилучшие приближения и коэффициенты Фурье // Мат. сб. – 1958. – 44, № 1.
– С. 53 – 84.
24. Мергелян С. Н. Некоторые вопросы конструктивной теории функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1951. – 37. – С. 3 – 90.
Получено 18.02.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3219 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:27Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/32/f41723c2925d9f1ff2cef2f4d3423432.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32192020-03-18T19:48:39Z On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций обобщенного порядка Vakarchuk, S. B. Zhir, S. I. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. We prove a Hadamard-type theorem which connects the generalized order of growth $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ of entire transcendental function $f$ with coefficients of its expansion into the Faber series. The theorem is an original extension of a certain result by S. K. Balashov to the case of finite simply connected domain $G$ with the boundary $\gamma$ belonging to the S. Ya. Al'per class $\Lambda^*.$ This enables us to obtain boundary equalities that connect $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ with the sequence of the best polynomial approximations of $f$ in some Banach spaces of functions analytic in $G$. Доведено теорему типу Адамара, яка пов'язує узагальнений порядок зростання $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ цілої трансцендентної функції $f$ з коефіцієнтами її розвинення в ряд Фабера. Теорема є своєрідним поширенням одного результату С. К. Балашова на випадок скінченної однозв'язної області G з межею y, що належить до класу С. Я. Альпера $\Lambda^*.$ На основі цього отримано граничні рівності, які пов'язують $\rho^*_f(\alpha, \beta)$ з послідовністю найкращих поліноміальних наближень $f$ у деяких банахових просторах функцій, аналітичних в $G$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3219 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 8 (2008); 1011–1026 Український математичний журнал; Том 60 № 8 (2008); 1011–1026 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3219/3184 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3219/3185 Copyright (c) 2008 Vakarchuk S. B.; Zhir S. I. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Zhir, S. I. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. Вакарчук, С. Б. Жир, С. И. On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| title | On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| title_alt | О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций обобщенного порядка |
| title_full | On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| title_fullStr | On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| title_full_unstemmed | On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| title_short | On the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| title_sort | on the best polynomial approximation of entire transcendental functions of generalized order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3219 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb onthebestpolynomialapproximationofentiretranscendentalfunctionsofgeneralizedorder AT zhirsi onthebestpolynomialapproximationofentiretranscendentalfunctionsofgeneralizedorder AT vakarčuksb onthebestpolynomialapproximationofentiretranscendentalfunctionsofgeneralizedorder AT žirsi onthebestpolynomialapproximationofentiretranscendentalfunctionsofgeneralizedorder AT vakarčuksb onthebestpolynomialapproximationofentiretranscendentalfunctionsofgeneralizedorder AT žirsi onthebestpolynomialapproximationofentiretranscendentalfunctionsofgeneralizedorder AT vakarchuksb onailučšempolinomialʹnompribliženiicelyhtranscendentnyhfunkcijobobŝennogoporâdka AT zhirsi onailučšempolinomialʹnompribliženiicelyhtranscendentnyhfunkcijobobŝennogoporâdka AT vakarčuksb onailučšempolinomialʹnompribliženiicelyhtranscendentnyhfunkcijobobŝennogoporâdka AT žirsi onailučšempolinomialʹnompribliženiicelyhtranscendentnyhfunkcijobobŝennogoporâdka AT vakarčuksb onailučšempolinomialʹnompribliženiicelyhtranscendentnyhfunkcijobobŝennogoporâdka AT žirsi onailučšempolinomialʹnompribliženiicelyhtranscendentnyhfunkcijobobŝennogoporâdka |