Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients
In terms of Fourier coefficients, we establish lower bounds for the sum of norms and the sum of the best approximations by trigonometric polynomials for functions from the space L(Q²) and functions conjugate to them with respect to each variable and with respect to both variables, provi...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3222 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509271605641216 |
|---|---|
| author | Kononovych, T. O. Кононович, Т. О. |
| author_facet | Kononovych, T. O. Кононович, Т. О. |
| author_sort | Kononovych, T. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:39Z |
| description | In terms of Fourier coefficients, we establish lower bounds for the sum of norms and the sum of the best approximations by trigonometric polynomials for functions from the space L(Q²) and functions conjugate to them with respect to each variable and with respect to both variables, provided that these functions are summable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.45
Т. О. Кононович (Полтав. пед. ун-т)
ОЦIНКА ЗНИЗУ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ
ПЕРIОДИЧНОЇ СУМОВНОЇ ФУНКЦIЇ ДВОХ ЗМIННИХ
ТА СПРЯЖЕНИХ ДО НЕЇ ФУНКЦIЙ
ЧЕРЕЗ КОЕФIЦIЄНТИ ФУР’Є
In terms of the Fourier coefficients, we establish lower bounds for the sum of norms and the sum of
the best approximations by trigonometric polynomials of functions from the space L(Q2) and functions
conjugate in each variable and both variables provided that the functions are summable.
Установлены выраженные через коэффициенты Фурье оценки снизу суммы норм и суммы наи-
лучших приближений тригонометрическими полиномами функций пространства L(Q2) и сопря-
женных по каждой и обеим переменным функций при условии их суммируемости.
Нехай L(Qm), m = 1, 2, . . . , — простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною сумов-
них на Qm = [−π;π]m функцiй m змiнних iз нормою
‖f(x)‖L(Qm) =
∫
Qm
|f(x)| dx,
де x = (x1, . . . , xm), dx = dx1 . . . dxm.
Для функцiй простору L(Q) вiдомо ряд виражених через коефiцiєнти Фур’є
оцiнок знизу величини найкращого наближення
En(f) = inf
tn∈Tn
∥∥f(x)− tn(x)
∥∥
L(Q)
,
де Tn — множина тригонометричних полiномiв степеня не вище n.
Так, А. А. Конюшков [1] (теорема 3) довiв, що для функцiї g ∈ L(Q) з рядом
Фур’є
∑∞
k=1
bk sin kx, коефiцiєнти якого є невiд’ємними, справджується оцiнка
En(g) ≥ Cn
∞∑
k=2n
bk
k2
, n = 1, 2, . . . .
Твердження має мiсце i для функцiй простору L(Q), ряд Фур’є яких мiстить ли-
ше косинуси (див. там же). Тут i далi символом C позначено додатнi, можливо
неоднаковi в рiзних формулах, сталi, якi залежать лише вiд розмiрностi простору.
Результат А. А. Конюшкова покращив В. Е. Гейт [2] (лема 2), який для довiльної
2π-перiодичної сумовної функцiї f(x), що має ряд Фур’є
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx + bk sin kx),
одержав нерiвнiсть
c© Т. О. КОНОНОВИЧ, 2008
1042 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ОЦIНКА ЗНИЗУ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ПЕРIОДИЧНОЇ СУМОВНОЇ ФУНКЦIЇ ... 1043
En(f) ≥ 1
C
∣∣∣∣∣
∞∑
k=n+1
bk
k
∣∣∣∣∣ , n = 0, 1, . . . ,
де
C = sup
n
sup
x
∣∣∣∣∣
∞∑
k=n+1
sin kx
k
∣∣∣∣∣ < ∞.
При розглядi функцiй f ∈ L(Q), для яких спряжена
f(x) = − 1
2π
π∫
0
(
f(x + t)− f(x− t)
)
ctg
t
2
dt =
= − 1
2π
lim
ε→0+
π∫
ε
(
f(x + t)− f(x− t)
)
ctg
t
2
dt
також є сумовною, в [3] встановлено оцiнку знизу комбiнацiї найкращих наближень
функцiї f та спряженої до неї f.
Якщо f ∈ L(Q), f ∈ L(Q), то
En(f) + En(f) ≥
≥ C
(
max (|an+1|, |bn+1|) +
1
[n/2]
n+[ n
2 ]∑
k=n+1
|ak|+ |bk|
k + 1
+
∞∑
k=n+[ n
2 ]+1
|ak|+ |bk|
k + 1
)
,
де n = 0, 1, . . . , ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(x).
На пiдмножинi тих функцiй простору L(Q), для яких спряжена також є су-
мовною, одержана в [3] оцiнка точнiша за результат В. Е. Гейта, оскiльки мiстить
модулi коефiцiєнтiв Фур’є пiд знаками суми.
Метою даної роботи є отримання аналогiчного результату для функцiй просто-
ру L(Q2).
Позначимо через Tn1n2 , n1, n2 = 0, 1, . . . , множину тригонометричних полiно-
мiв вигляду
tn1n2(x1, x2) =
=
n1∑
l1=0
n2∑
l2=0
2−γ(l1,l2)
(
Al1l2 cos l1x1 cos l2x2 + Bl1l2 cos l1x1 sin l2x2+
+Cl1l2 sin l1x1 cos l2x2 + Dl1l2 sin l1x1 sin l2x2
)
.
Тут i далi γ(l1, l2) — кiлькiсть рiвних нулю координат вектора (l1, l2), Al1l2 , Bl1l2 ,
Cl1l2 , Dl1l2 — довiльнi дiйснi числа.
Через En1n2(f), n1, n2 = 0, 1, . . . , позначимо величину найкращого набли-
ження функцiї f ∈ L(Q2) тригонометричними полiномами tn1n2 ∈ Tn1n2 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1044 Т. О. КОНОНОВИЧ
En1n2(f) = inf
tn1n2∈Tn1n2
∥∥f(x1, x2)− tn1n2(x1, x2)
∥∥
L(Q2)
.
Cпряженими до f ∈ L(Q2) за першою змiнною, другою та сукупнiстю змiнних
називатимемо функцiї, якi визначаються вiдповiдно рiвностями [4, с. 123]
f1(x1, x2) = − 1
2π
π∫
−π
f(x1 + t1, x2) ctg
t1
2
dt1 =
= − 1
2π
lim
ε→0+
π∫
ε
(
f(x1 + t1, x2)− f(x1 − t1, x2)
)
ctg
t1
2
dt1,
f2(x1, x2) = − 1
2π
π∫
−π
f(x1, x2 + t2) ctg
t2
2
dt2 =
= − 1
2π
lim
ε→0+
π∫
ε
(
f(x1, x2 + t2)− f(x1, x2 − t2)
)
ctg
t2
2
dt2,
f3(x1, x2) =
1
4π2
π∫
−π
π∫
−π
f(x1 + t1, x2 + t2) ctg
t1
2
ctg
t2
2
dt1 dt2 =
=
1
4π2
lim
ε,η→0+
π∫
ε
π∫
η
((
f(x1 + t1, x2 + t2)− f(x1 − t1, x2 + t2)
)
ctg
t1
2
ctg
t2
2
−
−
(
f(x1 + t1, x2 − t2)− f(x1 − t1, x2 − t2)
)
ctg
t1
2
ctg
t2
2
)
dt1 dt2.
Через zj , j = 1, 2, позначимо комплекснi числа, а через H2
1 клас регулярних у
∆2 =
{
(z1, z2) : |zj | < 1, j = 1, 2
}
функцiй F (z1, z2) таких, що
sup
0≤rj<1,j=1,2
π∫
−π
π∫
−π
∣∣F (r1e
it1 , r2e
it2)
∣∣ dt1 dt2 < ∞.
Покладемо N0 = N ∪ {0}, Z2
+ = N0 ×N0. Нехай також
Qm1m2 =
{
(l1, l2) ∈ Z2
+ : (l1 ≤ m1) ∧ (l2 ≤ m2)
}
, m1, m2 ∈ N0.
Позначимо через Am1m2
k1k2
, k1, k2, m1, m2 ∈ N0, середнє арифметичне
Am1m2
k1k2
=
1
(m1 − k1 + 1)(m2 − k2 + 1)
×
×
m1∑
l1=k1
m2∑
l2=k2
2−γ(l1,l2)
|al1l2 |+ |bl1l2 |+ |cl1l2 |+ |dl1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ОЦIНКА ЗНИЗУ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ПЕРIОДИЧНОЇ СУМОВНОЇ ФУНКЦIЇ ... 1045
де al1l2 , bl1l2 , cl1l2 , dl1l2 — коефiцiєнти Фур’є функцiї f ∈ L(Q2). Зокрема, при
k1 = m1, k2 6= m2
Ak1m2
k1k2
= Am2
k1k2
=
1
(m2 − k2 + 1)
×
×
m2∑
l2=k2
2−γ(k1,l2)
|ak1l2 |+ |bk1l2 |+ |ck1l2 |+ |dk1l2 |
(k1 + 1)(l2 + 1)
.
Аналогiчно при k1 6= m1, k2 = m2. При k1 = m1, k2 = m2
Ak1k2
k1k2
= Ak1k2 = 2−γ(k1,k2)
|ak1k2 |+ |bk1k2 |+ |ck1k2 |+ |dk1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
.
Вважатимемо рiвними нулю суми, у яких нижня межа бiльша за верхню.
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема. Якщо f ∈ L(Q2), f j ∈ L(Q2), j = 1, 3, то
En1n2(f) +
3∑
j=1
En1n2( f j) ≥
≥ C
(
max
(k1,k2)∈Qn1+1n2+1\Qn1n2
(
|ak1k2 |+ |bk1k2 |+ |ck1k2 |+ |dk1k2 |
)
+
+
n1∑
k1=0
A2n2
k1n2+1 +
n2∑
k2=0
A2n1
n1+1k2
+ A2n12n2
n1+1n2+1 +
∑
(k1,k2)∈Z2
+\Q2n12n2
Ak1k2
)
, (1)
де n1, n2 = 0, 1, . . . , ak1k2 , bk1k2 , ck1k2 , dk1k2 — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(x1, x2).
Доведення теореми ґрунтується на такому результатi.
Лема. Якщо f ∈ L(Q2), f j ∈ L(Q2), j = 1, 3, то
‖f‖L(Q2) +
3∑
j=1
‖f j‖L(Q2) ≥
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
Ak1k2 . (2)
Доведення леми. Якщо f ∈ L(Q2), f j ∈ L(Q2), j = 1, 3, то, як встановлено у
роботi [5] (лема 1), функцiя
F (z1, z2) =
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)
(
ak1k2 − dk1k2 − i(bk1k2 + ck1k2)
)
zk1
1 zk2
2 ,
де ak1k2 , bk1k2 , ck1k2 , dk1k2 — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(x1, x2), належить класу
H2
1 . Тому майже скрiзь на Γ2 =
{
(z1, z2) : |zj | = 1, j = 1, 2
}
iснує F (eit1 , eit2)
як границя F (r1e
it1 , r2e
it2) за недотичними напрямками [6, с. 476]. За теоремою
Фату [7, с. 204], застосованою до iнтеграла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1046 Т. О. КОНОНОВИЧ
π∫
−π
π∫
−π
∣∣F (r1e
it1 , r2e
it2)
∣∣ dt1 dt2
при rj → 1, j = 1, 2, для якого, як показано у [5] при доведеннi леми 1, має мiсце
нерiвнiсть
π∫
−π
π∫
−π
∣∣F (r1e
it1 , r2e
it2)
∣∣ dt1 dt2 ≤
π∫
−π
π∫
−π
∣∣G(x1, x2)
∣∣ dx1 dx2,
де
G(x1, x2) := f(x1, x2)− f3(x1, x2) + i
(
f1(x1, x2) + f2(x1, x2)
)
,
одержуємо, що F (eit1 , eit2) є сумовною на Q2 i
π∫
−π
π∫
−π
∣∣F (eit1 , eit2)
∣∣ dt1 dt2 ≤
π∫
−π
π∫
−π
∣∣G(x1, x2)
∣∣ dx1 dx2. (3)
Будь-яку функцiю f ∈ L(Q2) можна подати у виглядi суми
f(x1, x2) = f00(x1, x2) + f01(x1, x2) + f10(x1, x2) + f11(x1, x2),
де f00(x1, x2) — парна по кожнiй змiннiй функцiя i
f00(x1, x2) =
1
4
(
f(x1, x2) + f(−x1, x2) + f(x1,−x2) + f(−x1,−x2)
)
,
f01(x1, x2) — парна по x1 та непарна по x2 функцiя i
f01(x1, x2) =
1
4
(
f(x1, x2) + f(−x1, x2)− f(x1,−x2)− f(−x1,−x2)
)
,
f10(x1, x2) — непарна по x1 та парна по x2 функцiя i
f10(x1, x2) =
1
4
(
f(x1, x2)− f(−x1, x2) + f(x1,−x2)− f(−x1,−x2)
)
,
f11(x1, x2) — непарна по кожнiй змiннiй функцiя i
f11(x1, x2) =
1
4
(
f(x1, x2)− f(−x1, x2)− f(x1,−x2) + f(−x1,−x2)
)
.
При будь-яких i, j ∈ {0, 1} справджується нерiвнiсть
‖f‖L(Q2) ≥ ‖f ij‖L(Q2). (4)
Наприклад,
‖f(x1, x2)‖L(Q2) =
=
1
4
(
‖f(x1, x2)‖L(Q2) + ‖ − f(−x1, x2)‖L(Q2)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ОЦIНКА ЗНИЗУ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ПЕРIОДИЧНОЇ СУМОВНОЇ ФУНКЦIЇ ... 1047
+‖−f(x1,−x2)‖L(Q2) + ‖f(−x1,−x2)‖L(Q2)
)
≥
≥ 1
4
∥∥∥f(x1, x2)− f(−x1, x2)− f(x1,−x2) + f(−x1,−x2)
∥∥∥
L(Q2)
=
=
∥∥f11(x1, x2)
∥∥
L(Q2)
.
Отже, ‖f‖L(Q2) ≥ ‖f11‖L(Q2). Для iнших значень i, j ∈ {0, 1} нерiвнiсть (4)
доводиться аналогiчно.
Враховуючи визначення f11(x1, x2) i сумовнiсть на Q2 функцiї f(x1, x2), маємо
f11 ∈ L(Q2). Оскiльки
f11
1 (x1, x2) =
1
4
(
f(x1, x2)1 − f(−x1, x2)1 − f(x1,−x2)1 + f(−x1,−x2)1
)
=
=
1
4
(
f1(x1, x2) + f1(−x1, x2)− f1(x1,−x2)− f1(−x1,−x2)
)
i f1 ∈ L(Q2), то f11
1 ∈ L(Q2). Аналогiчно доводиться, що f11
j ∈ L(Q2), j = 2, 3.
Тому функцiя
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)(−dk1k2)z
k1
1 zk2
2
належить класу H2
1 [5] (лема 1) (iншi коефiцiєнти Фур’є функцiї f11(x1, x2) дорiв-
нюють нулю).
Якщо функцiя Φ(z1, z2) =
∑∞
k1=0
∑∞
k2=0
βk1k2z
k1
1 zk2
2 належить класу H2
1 , то
[8, с. 64], [9] (лема 2)
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
|βk1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
≤ 1
4
π∫
−π
π∫
−π
∣∣Φ(eit1 , eit2)
∣∣ dt1 dt2 < ∞. (5)
Тому, враховуючи, що
‖f11‖L(Q2) +
3∑
j=1
∥∥f11
j
∥∥
L(Q2)
≥
≥
π∫
−π
π∫
−π
∣∣∣f11(x1, x2)− f11
3 (x1, x2) + i
(
f11
1 (x1, x2) + f11
2 (x1, x2)
)∣∣∣ dx1 dx2,
а також визначення G(x1, x2), нерiвностi (3) та (5), одержуємо
‖f11‖L(Q2) +
3∑
j=1
‖f11
j ‖L(Q2) ≥ 4
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)
|dk1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
.
Аналогiчно
‖f00‖L(Q2) +
3∑
j=1
‖f00
j ‖L(Q2) ≥ 4
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)
|ak1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1048 Т. О. КОНОНОВИЧ
‖f01‖L(Q2) +
3∑
j=1
‖f01
j ‖L(Q2) ≥ 4
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)
|bk1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
,
‖f10‖L(Q2) +
3∑
j=1
‖f10
j ‖L(Q2) ≥ 4
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)
|ck1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
.
Враховуючи, що f00
1 = (f1)10 (тут i далi аналогiчно символом (f1)10 позначено
непарну по x1 i парну по x2 частину функцiї f1), f01
1 = (f1)11, f10
1 = (f1)00,
f11
1 = (f1)01 та аналогiчнi спiввiдношення для функцiй, спряжених по другiй i
обох змiнних, пiдсумовуючи чотири останнi нерiвностi, одержуємо
1∑
i=0
1∑
j=0
(
‖f ij‖L(Q2) + ‖(f1)
ij‖L(Q2) + ‖(f2)
ij‖L(Q2) + ‖(f3)
ij‖L(Q2)
)
≥
≥ 4
∞∑
k1=0
∞∑
k2=0
2−γ(k1,k2)
|ak1k2 |+ |bk1k2 |+ |ck1k2 |+ |dk1k2 |
(k1 + 1)(k2 + 1)
,
звiдки з урахуванням (4) отримуємо (2), що i доводить лему.
Доведення теореми. Нехай V 2n12n2
n1n2
(f ;x1, x2) — сума Валле Пуссена вигляду
V 2n12n2
n1n2
(f ;x1, x2) =
2n1∑
l1=0
2n2∑
l2=0
2−γ(l1,l2)λ
(2n12n2)
l1l2
(
al1l2 cos l1x1 cos l2x2+
+bl1l2 cos l1x1 sin l2x2 + cl1l2 sin l1x1 cos l2x2 + dl1l2 sin l1x1 sin l2x2
)
,
де
λ
(2n12n2)
l1l2
=
1, якщо 0 ≤ l1 ≤ n1, 0 ≤ l2 ≤ n2,
1− L2, якщо 0 ≤ l1 ≤ n1, n2 + 1 ≤ l2 ≤ 2n2,
1− L1, якщо n1 + 1 ≤ l1 ≤ 2n1, 0 ≤ l2 ≤ n2,
(1− L1)(1− L2), якщо n1 + 1 ≤ l1 ≤ 2n1, n2 + 1 ≤ l2 ≤ 2n2,
Lj :=
lj − nj
nj + 1
, j = 1, 2. Тодi
En1n2(f) ≥ C‖f(x1, x2)− V 2n12n2
n1n2
(f ;x1, x2)‖L(Q2),
En1n2(f j) ≥ C‖f j(x1, x2)− V 2n12n2
n1n2
(f j ;x1, x2)‖L(Q2) =
= C
∥∥∥(f(x1, x2)− V 2n12n2
n1n2 (f ;x1, x2)
)
j
∥∥∥
L(Q2)
, j = 1, 3.
Додаючи нерiвностi почленно та враховуючи оцiнку (2), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ОЦIНКА ЗНИЗУ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ПЕРIОДИЧНОЇ СУМОВНОЇ ФУНКЦIЇ ... 1049
En1n2(f) +
3∑
j=1
En1n2(f j) ≥ C
∞∑
l1=0
∞∑
l2=0
2−γ(l1,l2)
|αl1l2 |+ |βl1l2 |+ |γl1l2 |+ |δl1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
,
(6)
де αl1l2 , βl1l2 , γl1l2 , δl1l2 — коефiцiєнти Фур’є функцiї
f(x1, x2)− V 2n12n2
n1n2
(f ;x1, x2).
Враховуючи, що
αl1l2 =
0, якщо 0 ≤ l1 ≤ n1, 0 ≤ l2 ≤ n2,
L2al1l2 , якщо 0 ≤ l1 ≤ n1, n2 + 1 ≤ l2 ≤ 2n2,
L1al1l2 , якщо n1 + 1 ≤ l1 ≤ 2n1, 0 ≤ l2 ≤ n2.
(L1 + L2 − L1L2)al1l2 , якщо n1 + 1 ≤ l1 ≤ 2n1, n2 + 1 ≤ l2 ≤ 2n2,
al1l2 , якщо l1 ≥ 2n1 + 1, l2 ≥ 2n2 + 1
(βl1l2 , γl1l2 , δl1l2 визначаються аналогiчно), та нерiвностi
1
nj + 1
≤ Lj ,
1
nj + 1
≤ 1− Lj ,
якi мають мiсце при nj + 1 ≤ lj ≤ 2nj , j = 1, 2, оцiнюємо знизу суму
∞∑
l1=0
∞∑
l2=0
|αl1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
=
=
n1∑
l1=0
2n2∑
l2=n2+1
L2
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
n2∑
l2=0
2n1∑
l1=n1+1
L1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
+
2n1∑
l1=n1+1
2n2∑
l2=n2+1
(L1(1− L2) + L2(1− L1) + L1L2)
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
+
∑
(l1,l2)∈Z2
+\Q2n12n2
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
≥
≥ 1
n2 + 1
n1∑
l1=0
2n2∑
l2=n2+1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
1
n1 + 1
n2∑
l2=0
2n1∑
l1=n1+1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
+
3
(n1 + 1)(n2 + 1)
2n1∑
l1=n1+1
2n2∑
l2=n2+1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
+
∑
(l1,l2)∈Z2
+\Q2n12n2
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1050 Т. О. КОНОНОВИЧ
≥ C
(
n1∑
l1=0
(
1
n2
2n2∑
l2=n2+1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
)
+
+
n2∑
l2=0
(
1
n1
2n1∑
l1=n1+1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
)
+
+
1
n1n2
2n1∑
l1=n1+1
2n2∑
l2=n2+1
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
+
∑
(l1,l2)∈Z2
+\Q2n12n2
|al1l2 |
(l1 + 1)(l2 + 1)
)
.
Оцiнивши таким способом всю суму в правiй частинi (6), одержимо нерiвнiсть
En1n2(f) +
3∑
j=1
En1n2(f j) ≥
≥ C
(
n1∑
k1=0
A2n2
k1n2+1 +
n2∑
k2=0
A2n1
n1+1k2
+ A2n12n2
n1+1n2+1 +
∑
(k1,k2)∈Z2
+\Q2n12n2
Ak1k2
)
.
Оскiльки для будь-якої функцiї f ∈ L(Q2) має мiсце
En1n2(f) ≥ C max
(k1,k2)∈Qn1+1n2+1\Qn1n2
(
|ak1k2 |+ |bk1k2 |+ |ck1k2 |+ |dk1k2 |
)
,
де n1, n2 = 0, 1, . . . , ak1k2 , bk1k2 , ck1k2 , dk1k2 — коефiцiєнти Фур’є функцiї f(x1, x2)
[5] (лема 3), з останнiх двох нерiвностей випливає оцiнка (1), що i доводить теорему.
1. Конюшков А. А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты
Фурье // Мат. сб. – 1958. – 44, № 1. – С. 53 – 84.
2. Гейт В. Э. О структурных и конструктивных свойствах синус- и косинус-рядов с монотонной
последовательностью коэффициентов Фурье // Изв. вузов. Сер. мат. – 1969. – 86, № 7. – С. 39 –
47.
3. Кононович Т. О. Оцiнка найкращих наближень перiодичних функцiй багатьох змiнних через
коефiцiєнти Фур’є: Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Полтава, 2005. – 16 с.
4. Жижиашвили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. – Тбилиси: Изд-во
Тбил. ун-та, 1969. – 272 с.
5. Кононович Т. О. Оцiнка знизу найкращого наближення тригонометричними полiномами су-
мовних функцiй двох змiнних // Мат. физика, анализ, геометрия. – 2002. – 9, № 3. – С. 478 – 486.
6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. (Пер. с англ.) – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 537 с.
7. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1973. –
350 с.
8. Рудин У. Теория функций в поликруге: Пер. с англ. – М.: Мир, 1974. – 160 с.
9. Задерей П. В. О многомерном аналоге одного результата Р. Боаса // Укр. мат. журн. – 1987. –
39, № 3. – С. 380 – 383.
Одержано 04.09.06,
пiсля доопрацювання — 23.05.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3222 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:27Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a7/9d1b01bc2a69aa491ff60ef633905ca7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32222020-03-18T19:48:39Z Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients Оцінка знизу найкращих наближень періодичної сумовної функції двох змінних та спряжених до неї функцій через коефіцієнти Фур'є Kononovych, T. O. Кононович, Т. О. In terms of Fourier coefficients, we establish lower bounds for the sum of norms and the sum of the best approximations by trigonometric polynomials for functions from the space L(Q&sup2;) and functions conjugate to them with respect to each variable and with respect to both variables, provided that these functions are summable. Установлены выраженные через коэффициенты Фурье оценки снизу суммы норм и суммы наилучших приближений тригонометрическими полиномами функций пространства L(Q&sup2;) и сопряженных по каждой и обеим переменным функций при условии их суммируемости. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3222 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 8 (2008); 1042–1050 Український математичний журнал; Том 60 № 8 (2008); 1042–1050 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3222/3190 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3222/3191 Copyright (c) 2008 Kononovych T. O. |
| spellingShingle | Kononovych, T. O. Кононович, Т. О. Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients |
| title | Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients |
| title_alt | Оцінка знизу найкращих наближень періодичної сумовної функції двох змінних та спряжених до неї функцій через коефіцієнти Фур'є |
| title_full | Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients |
| title_fullStr | Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients |
| title_full_unstemmed | Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients |
| title_short | Lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of Fourier coefficients |
| title_sort | lower bound for the best approximations of periodic summable functions of two variables and their conjugates in terms of fourier coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3222 |
| work_keys_str_mv | AT kononovychto lowerboundforthebestapproximationsofperiodicsummablefunctionsoftwovariablesandtheirconjugatesintermsoffouriercoefficients AT kononovičto lowerboundforthebestapproximationsofperiodicsummablefunctionsoftwovariablesandtheirconjugatesintermsoffouriercoefficients AT kononovychto ocínkaznizunajkraŝihnabliženʹperíodičnoísumovnoífunkcíídvohzmínnihtasprâženihdoneífunkcíjčerezkoefícíêntifur039ê AT kononovičto ocínkaznizunajkraŝihnabliženʹperíodičnoísumovnoífunkcíídvohzmínnihtasprâženihdoneífunkcíjčerezkoefícíêntifur039ê |