Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval
We consider a model of the market such that a jump of share price is uniformly distributed on some symmetric interval and establish the rate of convergence of fair prices of European options by using the theorem on asymptotic decompositions of distribution function for the sum of independent identic...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3225 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509275956183040 |
|---|---|
| author | Mishura, Yu. S. Soloveiko, O. M. Мішура, Ю. С. Соловейко, О. М. |
| author_facet | Mishura, Yu. S. Soloveiko, O. M. Мішура, Ю. С. Соловейко, О. М. |
| author_sort | Mishura, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:39Z |
| description | We consider a model of the market such that a jump of share price is uniformly distributed on some symmetric interval and establish the rate of convergence of fair prices of European options by using the theorem on asymptotic decompositions of distribution function for the sum of independent identically distributed random variables. We show that, in the prelimit model, there exists a martingale measure on the market such that the rate of convergence of prices of European options to the Black - Scholes price is of order 1/n 1/2. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
G. S. Mißura, O. M. Solovejko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
ÍVYDKIST| ZBIÛNOSTI CINY {VROPEJS|KOHO
OPCIONU NA RYNKU, NA QKOMU STRYBOK CINY AKCI}
RIVNOMIRNO ROZPODILENYJ NA DEQKOMU INTERVALI
We consider a model of the market such that a jump of share price is uniformly distributed on some
symmetric interval and establish the rate of convergence of fair prices of European options by using the
theorem on asymptotic decompositions of distribution function for the sum of independent identically
distributed random variables. We show that, in the prelimit model, there exists a martingale measure on
the market such that the rate of convergence of prices of European options to the Black – Scholes price is
of order 1 1 2/ /n .
Rassmotrena model\ r¥nka, na kotorom skaçok cen¥ akcyy ravnomerno raspredelen na neko-
torom symmetryçnom yntervale, y najdena skorost\ sxodymosty spravedlyv¥x cen evropejskyx
opcyonov s prymenenyem teorem¥ ob asymptotyçeskyx razloΩenyqx funkcyy raspredelenyq
summ¥ nezavysym¥x odynakovo raspredelenn¥x sluçajn¥x velyçyn. Pokazano, çto suwestvuet
martynhal\naq mera na r¥nke v dopredel\noj modely takaq, çto skorost\ sxodymosty cen
evropejskyx opcyonov k cene Blπka – Íoulsa ymeet porqdok 1 1 2/ /n .
1. Vstup. Real\na model\ finansovoho rynku [ dyskretnog, ale nabahato pros-
tiße robyty obçyslennq dlq hranyçno] — neperervno] modeli. Tomu zadaça
zbiΩnosti dyskretno] modeli rynku do neperervno] [ duΩe vaΩlyvog. ZbiΩnist\
cin opcioniv iz dyskretnym çasom do cin opcioniv iz neperervnym çasom doslid-
Ωuvalas\ avtoramy u bahat\ox robotax (dyv., napryklad, [1 – 5]).
Cikavym i vaΩlyvym [ pytannq ßvydkosti zbiΩnosti cin cinnyx paperiv. U
roboti [6] doslidΩeno zbiΩnist\ cin [vropejs\kyx i amerykans\kyx opcioniv u
binomial\nij modeli z vypadkovymy momentamy strybkiv cin akcij i zastosovano
metod ekstrapolqci] dlq znaxodΩennq ßvydkosti zbiΩnosti, qku pry c\omu
moΩna pokrawyty, napryklad dlq amerykans\kyx opcioniv z 1 1 2/ /n do 1 2 3/ /n .
U roboti [7] znajdeno ßvydkist\ zbiΩnosti cin opcioniv iz dyskretnym çasom,
zaleΩnyx vid ßlqxu, do cin vidpovidnyx opcioniv iz neperervnym çasom. Zokre-
ma, dlq bar’[rnyx opcioniv, „retrospektyvnyx” opcioniv ta opcioniv „z povernen-
nqm” vstanovleno ßvydkist\ zbiΩnosti porqdku 1 1 2/ /n . U roboti [8] znajdeno
ßvydkist\ zbiΩnosti dlq cin deryvatyviv iz deqkoho klasu. V zaleΩnosti vid
vlastyvostej neperervnosti ciny opcionu qk funkci] ciny akci] ßvydkist\ moΩe
buty 1/ n abo 1 1 2/ /n . U roboti [9] rozhlqnuto zahal\nyj klas binomial\nyx mo-
delej iz dodatkovym parametrom λ . Pokazano, wo v c\omu vypadku binomial\na
cina [vropejs\koho opcionu kupivli zbiha[t\sq do ciny Bleka – Íoulsa z ßvyd-
kistg 1/ n .
U danij statti my rozhlqda[mo inßu model\ rynku, qka, na naßu dumku, ma[
praktyçnu pryrodu. Znaxodymo ßvydkist\ zbiΩnosti spravedlyvyx cin [vro-
pejs\kyx opcioniv dlq modeli finansovoho rynku, na qkomu strybok ciny akci]
rivnomirno rozpodilenyj na deqkomu intervali, zastosovugçy teoremu pro
asymptotyçni rozklady funkci] rozpodilu sumy nezaleΩnyx odnakovo rozpodi-
lenyx vypadkovyx velyçyn. Sprava v tomu, wo v bahat\ox vypadkax my moΩemo
lyße peredbaçyty interval, v qkyj popade strybok ciny akci], a ne konkretni
znaçennq c\oho strybka. Tomu z metog sprowennq my i vvaΩa[mo, wo vidnosno
ob’[ktyvno] miry strybok rozpodilenyj rivnomirno na deqkomu vidomomu inter-
vali. Dohranyçnyj rynok [ nepovnym, xoça hranyçnyj rynok [ povnym. V statti
my obyra[mo odnu martynhal\nu miru na nepovnomu rynku i znaxodymo, wo
ßvydkist\ zbiΩnosti vidpovidno] spravedlyvo] ciny [vropejs\koho opcionu ku-
pivli ta prodaΩu vidnosno ci[] miry do ciny Bleka – Íoulsa dorivng[ 1 1 2/ /n .
© G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8 1075
1076 G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO
2. Ocinky parametriv rozpodilu v dohranyçnij modeli. Rozhlqnemo mo-
del\ finansovoho rynku v sxemi serij, v qkij ves\ çasovyj interval [ 0, T ] v N -j
seri] rozbyto na kroky T N/ , 2T N/ , … , NT N/ , N ≥ 1.
Nexaj na c\omu rynku funkcionugt\ odyn bezryzykovyj aktyv B N( )
z cinog
B rk
N
N
k( ) : ( )= +1 , k = 0, … , N, N ≥ 1, rN > – 1, pryçomu
lim ( )
N
N
Nr
→∞
+1 = erT , (1)
de r — skinçenna stala, i odyn dodatnyj ryzykovyj aktyv S N( ) , dlq qkoho vy-
padkova velyçyna Rk
N( ) : =
S S
S
k
N
k
N
k
N
( ) ( )
( )
− −
−
1
1
, k = 1, … , N, v k - j period rivnomirno
rozpodilena na intervali [ ],α βN N pry
− < ≤ ≤ =
= =
=
→∞ →∞
1 1
0
1
α β
α β
N N N
N
N
N
N
k
N
r k N
R k N
, , ,
lim lim ,
, , , — .( )
nezaleΩni vypadkovi velyçyny
(2)
Rozhlqnemo vypadok, koly parametry magt\ special\nyj vyhlqd. Nazvemo
model\ rynku symetryçnog, qkwo rN = rT N/ i αN , βN taki, wo 1 + αN =
= e T N−σ 3 / , 1 + βN = e T Nσ 3 /
dlq deqkoho σ > 0. Pry c\omu vykonugt\sq
umovy (1), (2), tomu wo
lim ( )
N
N
Nr
→∞
+1 = lim
N
NrT
N→∞
+
1 = erT ,
ta oskil\ky N rN → 0, N Nα → – σ 3T , N Nβ → σ 3T , N → ∞ , to
dlq velykyx N otrymu[mo – 1 < αN < rN < βN , i, krim toho, lim αN =
= lim βN = 0.
Cinovyj proces dlq ryzykovoho aktyvu ma[ vyhlqd
Sk
N( ) = S Rk
N
k
N
− +1 1( ) ( )( ) = S RN
i
k
i
N
0
1
1( ) ( )( )
=
∏ + , k = 1, N ,
de poçatkove znaçennq S N
0
( ) = S0 > 0 — zadana stala.
Ryzykovyj aktyv Sk
N( )
rozhlqda[t\sq na jmovirnisnomu prostori ( , ,( )ΩN
NF
PN
∗) , de ΩN = ΩN , Ω — vymirnyj prostir. Za fil\tracig beremo Fk
N( ) : =
: = σ( )( ) ( ), ,S SN
k
N
0 … , k = 1, … , N . Jmovirnisna mira PN
∗
— ce martynhal\na mira
dlq koΩnoho N, tobto dyskontovana cina Xk
N( ) : =
S
r
k
N
N
k
( )
( )1 +
, k = 0, … , N , [
PN
∗-martynhalom vidnosno fil\traci] Fk
N( )
.
Znajdemo martynhal\nu miru z nastupnyx umov (dali pid EN
∗
i DN
∗
bude-
moIrozumity vidpovidno matematyçne spodivannq i dyspersig, vzqti vidnosno mi-
ryII PN
∗
):
1) E X FN k
N
k
N∗ −( )( )1 = Xk
N −1,
2) PN N
∗ ( )Ω = 1,
3) P xN
∗ ( ) ≥ 0 dlq vsix x ≥ 0.
Perßi dvi umovy rivnosyl\ni takym:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
ÍVYDKIST| ZBIÛNOSTI CINY {VROPEJS|KOHO OPCIONU … 1077
E R
dP
dPk
N N
N
∗
= rN , E
dP
dP
N
N
∗
= 1. (3)
(Oçevydno, isnu[ ne [dyna funkciq φN x∗ ( ), dlq qko] vykonugt\sq rivnosti (3).
OtΩe, takyj finansovyj rynok bude bezarbitraΩnym, ale nepovnym.)
Budemo ßukaty wil\nist\ rozpodilu poxidno] Radona – Nikodyma u vyhlqdi
φN x∗ ( ) =
c x dN N
N N
+
−β α
, x ∈ ( αN , βN ) . (4)
Vodnoças ce oznaça[, wo wil\nist\ rozpodilu poxidno] Radona – Nikodyma vid-
nosno rivnomirnoho rozpodilu dorivng[ c x dN N+ , x ∈ ( αN , βN ) .
Rozv’qzavßy rivnqnnq (3), dlq funkci] vyhlqdu (4) otryma[mo
cN =
12 6
2
rN N N
N N
− +
−
( )
( )
α β
β α
, dN = 4
6 12
2− + −
−
rN N N N N
N N
( )
( )
α β α β
β α
.
Pry c\omu cN ≤ 4 2r / σ , dN ≤ 25 pry N ≥ 3 22 2σ T / ln i cN → ( ) /r − 3 2 2σ σ ,
dN → 1 pry N → ∞ . Dlq vykonannq umovy φN x∗ ( ) ≥ 0 dlq vsix dostatn\o ve-
lykyx N potribno, wob vykonuvalas\ nerivnist\
3 2σ ≤ r. (5)
Dali vvaΩa[mo ]] vykonanog.
Dovedemo deqki dopomiΩni tverdΩennq.
Lema81. Dlq symetryçno] modeli ma[ misce rivnist\
σN
2 : = D RN k
N∗ ( )( ) = σ2 1T
N
o
N
+
. (6)
Dovedennq. Oskil\ky vypadkova velyçyna Rk
N( )
vidnosno miry PN
∗
rozpo-
dilena na [ , ]α βN N z wil\nistg rozpodilu poxidno] Radona – Nikodyma φN x∗ ( ) =
=
c x dN N
N N
+
−β α
, to
σN
2 = D RN k
N∗ ( )( ) =
α
β
φ
N
N
x r x dxN N∫ − ∗( ) ( )2 =
= σ σ2 3 3 2
3 2 3 2
3 1T
N
T
N
o
N
+ +
/
/ / .
ZauvaΩymo, wo
lim
n
N N
→∞
σ2 = σ2T .
Lemu dovedeno.
Lema82. Dlq symetryçno] modeli magt\ misce rivnosti
E SN N
N∗ [ln ]( ) = rT T N− +σ δ2
12/ , D SN N
N∗ [ln ]( ) = σ δ2
2T N+ ,
de δi
N ≤ c
N
, i = 1, 2, c — stala.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1078 G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO
Dovedennq. Znajdemo parametry rozpodilu SN
N( )
. Dlq c\oho zastosu[mo
formulu Tejlora do SN
N( ) = ( )( )1
1
+=∏ Rk
N
k
N
. Za formulog Tejlora ln( )1 + x =
= x x x x− +2 22/ ( )ρ , de ρ( )x take, wo ρ( )x ≤ δ α β( , ) dlq – 1 < α ≤ x ≤ β i
δ α β( , ) → 0, α , β → 0. Toçniße, qkwo – 1 / 2 < α < x < β < 1 / 2, to
δ α β( , ) = x
x3 1 3( )+ θ
≤ 8
3
α β∨ . Tomu
ln ( )SN
N = R Rk
N
k
N
k
N
N
( ) ( )( )−
+
=
∑ 1
2
2
1
∆ ,
de ∆N zadovol\nq[ nerivnist\
∆N ≤ δ α β( ) ( ), ( )
N N k
N
k
N
R 2
1=
∑ , (7)
a
δ α β( ),N N ≤ 8
3
α βN N∨ ≤ 8
3
e T
N
T
N
T
N
σ
σ σ
∨
≤ 16
3
σ T
N
,
qkwo
N >
Tσ2
22(ln )
. (8)
Oskil\ky PN
∗
— martynhal\na mira, to
E RN k
N∗ [ ]( ) = rN = rT
N
.
Dlq znaxodΩennq parametriv rozpodilu SN
N( )
zastosu[mo lemuI1 ta ocinky (7):
E SN N
N∗ [ ]ln ( ) = Nr N NrN N N
N− + +1
2
2 2
1( )σ δ = rT T N− +1
2
2
1σ δ ,
de z uraxuvannqm (6)
δ1
N : = EN N
∗ ∆ ≤ δ α β( ) ( ( ) ), ( )
N N N k
N
k
N
ND R r∗
=
+∑
1
2 ≤
c
N
1
z c1 = 16
3
13 3 2σ T / + dlq velykyx N.
Dali, poznaçymo uk
N( ) = R Rk
N
k
N( ) ( )( ) /− 2 2 . Todi
D uN k
N∗ ( ) = D R E R E R E R E RN k
N
N k
N
N k
N
N k
N
N k
N∗ ∗ ∗ ∗ ∗− − +( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 21
4
–
– 1
4
2 2( ( ) )( )E RN k
N∗ ≤ σ σ2 3 3 2
3 2 3 2
3 1T
N
T
N
o
N
+ +
/
/ /
i
lim ( )
n
N k
ND u N
→∞
∗ = σ2T .
Krim toho,
D SN N
N∗ [ln ]( ) =
k
N
N k
N
N
k
N
k
N
k
N
k
ND u T
N
R u
=
∗ ∗
= =
∑ ∑ ∑+
1 1
2
1
32
3
3( ) ( ) ( )( ) ,σ Cov +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
ÍVYDKIST| ZBIÛNOSTI CINY {VROPEJS|KOHO OPCIONU … 1079
+ 16
3
3 2
1
2
σ T
N
D RN
k
N
k
N
∗
=
∑ ( ) ≤ σ δ2
2T N+ .
Tut δ2
N ≤
c
N
2 , c2 = 3 13 3 2σ T / + , i vykonu[t\sq (8).
OtΩe, ln ( )SN
N
ma[ rozpodil z parametramy rT T N− +σ δ2
12/ ta σ δ2
2T N+ ,
de δi
N ≤ c
N
, c = max { c1 , c2 } .
Lemu dovedeno.
Teorema81. Pry vykonanni umov (1), (2), (5) ta (8), koly martynhal\na mi-
ra zada[t\sq çerez wil\nist\ rozpodilu poxidno] Radona – Nikodyma, wo ma[ vy-
hlqd (3), (4), rozpodil SN
N( )
vidnosno PN
∗
slabko zbiha[t\sq do lohnormal\no-
ho rozpodilu z parametramy ln /S rT T0
2 2+ − σ i σ T , tobto do rozpodilu
ST : = S W r TT0
2 2exp ( )( / )σ σ+ − .
Dovedennq. Zastosu[mo central\nu hranyçnu teoremu u nastupnomu vyhlq-
di [10, c. 324]. Nexaj dlq koΩnoho fiksovanoho natural\noho N nezaleΩni vy-
padkovi velyçyny Y N k Nk
N , ,≥ ≤ ≤{ }1 1 na ( , , )ΩN N NF P zadovol\nqgt\
umovy:
1) isnu[ stala γ N taka, wo γ N → 0 i Yk
N ≤ γ N , PN -m.n.,
2) E[ ]Yk
N
k
N
=
∑
1
→ m,
3) D Yk
N
k
N
[ ]
=
∑
1
→ σ2 .
Todi rozpodil ZN : = Yk
N
k
N
=∑ 1
, N ≥ 1, slabko zbiha[t\sq do normal\noho roz-
podilu z serednim m ta dyspersi[g σ2
.
U vypadku, wo rozhlqda[t\sq, hranyçnyj rozpodil dlq ln ( )SN
N =
= ln ( )( )1
1
+=∑ Rk
N
k
N
bude normal\nym zhidno zi sformul\ovanog vywe cent-
ral\nog hranyçnog teoremog ta lemogI2, a rozpodil SN
N( )
bude lohnormal\-
nym z vidpovidnymy parametramy.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩymo, wo dlq parametriv rozpodilu SN
N( )
isnugt\ stali c3 , c4 > 0 ta-
ki, wo vykonugt\sq nerivnosti
E S E SN N
N
N
∗ ∗−[ln ] [ln ]( ) ≤
c
N
3 i D S D SN N
N
N
∗ ∗−[ln ] [ln ]( ) ≤
c
N
4 .
3. Ocinka ßvydkosti zbiΩnosti. Perejdemo teper do vidßukannq ßvydko-
sti zbiΩnosti spravedlyvyx cin [vropejs\kyx opcioniv na naßomu rynku. Zasto-
su[mo teoremu pro asymptotyçni rozklady funkci] rozpodilu sumy nezaleΩnyx
odnakovo rozpodilenyx vypadkovyx velyçyn [11, c. 195].
Rozhlqnemo poslidovnist\ nezaleΩnyx vypadkovyx velyçyn { Xn ; n = 1,
2, … } , wo magt\ odnakovu funkcig rozpodilu V ( x ) . Nexaj
EX1 = 0,
EX1
2 = σ2 > 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1080 G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO
v ( t ) = Eeit X1 ,
F xn( ) = P 1
1σ n
X xj
i
n
=
∑ <
.
Teorema82 [11, c. 196 – 207]. Qkwo E X k
1 < ∞ dlq deqkoho ciloho k ≥ 3,
to dlq vsix x i n
F x x
Q x
nn
k
( ) ( )
( )
/− +
=
−
∑Φ ν
ν
ν
2
1
2
≤
≤ c k n x y dV yk k k k
y n x
( ) ( )( )/
( )
( )σ
σ
− − − −
≥ +
+
∫2 2
1
1 +
+ σ
σ
− − − − − − +
≤ +
+ ∫k k k k
y n x
n x y dV y1 1 2 1 1
1
1( )/
( )
( ) ( ) +
+ sup ( ) ( )/ ( )
t
n
k k kt
n
n x
≥
+ − −+
+
δ
v
1
2
11 2 1 ,
de δ = σ2
1
312 E X
i c k( ) — dodatna stala, wo zaleΩyt\ til\ky vid k . Funk-
ci] Q xν( ) vyznaçeno takym çynom:
Q xν( ) = –
1
2
1
2
2 2
2 1
2
2
1π
γ
σν
ν
e H x
k m
x
s
m
m
m
k
m
m
−
+ −
+
+
= +
∏∑/ ( )
! ( )!
,
suma obçyslg[t\sq za vsima cilymy nevid’[mnymy rozv’qzkamy k k k1 2, , ,… ν riv-
nqnnq k k k1 22+ + … + ν ν = ν , a s = k k k1 2+ + … + ν , H xsν+ −1( ) — polinomy
Çebyßova – Ermita, γ m+2 — kumulqnt porqdku m + 2 vypadkovo] velyçy-
nyII Xm .
My zastosu[mo naslidok z navedeno] teoremy.
Teorema83 [11, c. 208]. Qkwo
lim sup ( )
t
t
→∞
v < 1 (9)
i E X k
1 < ∞ dlq deqkoho ciloho k ≥ 3, to
( ) ( ) ( )
( )
/1 2
1
2
+ − +
=
−
∑x F x x
Q x
n
k
n
k
Φ ν
ν
ν
= o
n k
1
2 2( )/−
rivnomirno vidnosno x , – ∞ < x < ∞ .
Teorema84. V modeli rynku, na qkomu strybok ciny akci] [ vypadkovog vely-
çynog, wo vidnosno ob’[ktyvno] miry P rivnomirno rozpodilena na symetryç-
nomu intervali, isnu[ martynhal\na mira taka, wo ßvydkist\ zbiΩnosti spra-
vedlyvyx cin opcioniv kupivli j prodaΩu vidnosno ci[] miry do spravedlyvo] ciny v
hranyçnij modeli dorivng[
1
N
.
Dovedennq. Z formuly Bleka – Íoulsa vyplyva[, wo spravedlyva cina
dyskontovanoho [vropejs\koho opcionu prodaΩu CPut
ma[ vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
ÍVYDKIST| ZBIÛNOSTI CINY {VROPEJS|KOHO OPCIONU … 1081
Π( )CPut =
E E S
e
P T
rT
∗ − +( )
,
de P∗
— martynhal\na mira, E — strajkova cina opcionu, ST — cina akci] v
moment çasu T.
Zapyßemo spravedlyvu cinu takoho opcionu v dohranyçnij i hranyçnij mode-
lqx i ocinymo riznycg.
V hranyçnij modeli
Π( )CPut =
E E S
e
P T
rT
∗ − +( )
= 1
0
e
E x dF xrT
∞
+ ∗∫ −( ) ( ) =
= 1
0
e
E x dF xrT
E
∫ − ∗( ) ( ) = 1
0
e
F x dxrT
E
∫ ∗( ) , (10)
de F x∗( ) — funkciq rozpodilu vypadkovo] velyçyny ST ,
F x∗( ) = P S xT
∗ <{ } = P S xT
∗ <{ }ln ln =
= P
S E S
D S
x E S
D S
T N T
N T
N T
N T
∗
∗
∗
∗
∗
− < −
ln (ln )
(ln )
ln (ln )
(ln )
=
= P
S rT T
T
x rT T
T
T∗ − + < − +
ln ln/ /σ
σ
σ
σ
2 22 2 = Φ ln /x rT T
T
− +
σ
σ
2 2 ,
Φ( )x — funkciq rozpodilu N ( 0, 1 ) .
Analohiçno, v dohranyçnij modeli
Π( )CN
Put = 1
1
0
( )
( )
+ ∫ ∗
r
F x dx
N
N
E
N = 1
1 0+( ) ∫ ∗
rT N
F x dxN
E
N
/
( ) , (11)
de FN
∗
— funkciq rozpodilu vypadkovo] velyçyny SN
N( )
.
Vykona[mo v intehrali (10) zaminu
y = y x( ) = ln /x rT T
T
− + σ
σ
2 2 .
Todi
1
0
e
F x dxrT
E
∫ ∗( ) = 1
0
e
y x dxrT
E
∫ Φ( )( ) =
= 1 2 2
e
y e T dyrT
y E
y T rT T
−∞
+ −∫
( )
/( )Φ σ σ σ = k y f y dy
y E
−∞
∫
( )
( ) ( )Φ .
Dlq sprowennq zapysu my vvely nastupni poznaçennq: k : = σ
σ
T
e T2 2/
> 0, a : =
: = y ( E ) , f y( ) : = ey Tσ .
Analohiçno, v intehrali (11) vykona[mo zaminu
y = y xN ( ) =
ln /x rT T
T
N
N
− + −
+
σ δ
σ δ
2
1
2
2
2
.
Todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1082 G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO
1
1
0
( )
( )
+ ∫ ∗
r
F x dx
N
N
E
N = 1
1
0
+( ) ∫ ∗
rT N
F y x dxN
E
N N
/
( )˜ ( ) =
= k F y f y dyN
y E
N N
−∞
∗∫
( )
˜ ( ) ( ) ,
de
˜ ( )F yN
∗
— funkciq rozpodilu sumy centrovanyx i normovanyx nezaleΩnyx
odnakovo rozpodilenyx vypadkovyx velyçyn ln( )( )1 + Rk
N , Rk
N( )
opysano vywe,
kN : =
e T
e rT N
rT N
T N
N+ +
+( )
δ
σ
σ δ1
2
2
2
2 1/ /
> 0, aN : = y EN( ) , f yN ( ) : = ey T Nσ δ2
2+ .
OtΩe, potribno ocinyty
k y f y dy k F y f y dy
a
N
a
N N
N
−∞ −∞
∗∫ ∫−Φ( ) ( ) ˜ ( ) ( ) ≤
≤ k k f y dy k f y f y dyN
a
N
a
N− + −
−∞ −∞
∫ ∫( ) ( ) ( ) +
+ k f y dy k f y y F y dyN
a
a
N N
a
N
N
∫ ∫+ −
−∞
∗( ) ( ) ( ) ˜ ( )Φ = :
= : I I I I1 2 3 4+ + + .
Ocinymo koΩen iz cyx dodankiv okremo. Ma[mo
I1 = k k f y dyN
a
−
−∞
∫ ( ) ≤ k k IN− 5 ≤
I
e T
5
22σ /
×
× σ σ δ σ δ σ δ δT T T rT
N
e T e eN N
N
rT N rT N
− + + + +
− + + −
2
2
2
2
2
21 1 1 ≤
≤
c
N
3
pry c3 = I c e TrT c T
5 1
21
2+ −σ σ/ , I5 = e dyy Ta σ
−∞∫ — zbiΩnyj intehral. Tut my
skorystalys\ nerivnostqmy (8) ta
ex − 1 ≤ xex . (12)
Dali
I2 = k f y f y dyN
a
N
−∞
∫ −( ) ( ) = k
T
f a
T
f aN N N− +
+
1 1
2
2σ σ δ
( ) ( ) ≤
c
N
4 ,
de
c4 =
E c
T
T
c
T
E rT T2
3 3 2
2 2
2
2
2
2
3 2
2 1
σ
σ
σ
σ/
ln
ln /+ − + + .
Analohiçno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
ÍVYDKIST| ZBIÛNOSTI CINY {VROPEJS|KOHO OPCIONU … 1083
I3 = k f y dyN
a
a
N
N
∫ ( ) ≤
c
N
5 ,
de
c5 =
E c
T
E rT T E rT T
c
T
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 3σ
σ σ
σ
ln exp ln
ln
/ /− + − +( )
(my takoΩ vykorystaly (8) i (12)).
Nareßti
I4 = k f y y F y dyN
a
N
−∞
∗∫ −( ) ( ) ˜ ( )Φ ≤
≤ c y F y dy
a
N6
−∞
∗∫ −Φ( ) ˜ ( ) ,
de c6 = Ee T
c
T
c1 2 23 2σ
σ
+
ln
.
Rozhlqnemo Φ( ) ˜ ( )y F yN− ∗
. Nahada[mo, wo
ln ( )SN
N =
k
N
k
NR
=
∑ +
1
1ln( )( ) = :
k
N
k
N
=
∑
1
ln ξ( ) ,
todi
˜ ( )F xN
∗ = F
x rT T
NN
N
N
∗ − + −
ln /σ δ
σ
2
12
=
= P 1 2
1
2
1
N
X
x rT T
NN j
N
j
N
N
Nσ
σ δ
σ=
∑ < − + −
ln / ,
de Xj
N = ln lnξ ξj
N
j
N− E .
Rozpodil Xj
N
zada[t\sq tak:
P X xN j
N∗ <( ) = P e eN
X xj j
N
j
N∗ − −− < −( )ln lnE Eξ ξ
1 1 .
Todi
E ln( )1 + Rk
N = 1 1
β α
α
β
N N
N N
N
N
x c x d dx
−
+ +∫ ln( )( ) =
=
cN
N N
N N N N N N2
1 1 1 1 1
2
1
4
2 2
( )
( )( ) ( )( ) ( )
β α
β β α α β α
−
+ + + + +[ ] − − +ln ln +
+ ( ) ( )( ) ( )( )c d
c d
N N
N N
N N
N N N N− − −
−
+ + + + +[ ]
β α
β β α αln ln1 1 1 1 = : AN ,
a
lim ( )
N
k
NR
→∞
+E ln 1 = r
2
22σ
− ,
tomu, prynajmni, E ln( )1 + Rk
N ≤ r
2 2σ
.
Rozpodil Xj
N
zada[t\sq takym çynom:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1084 G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO
P X xN j
N∗ <( ) = 1
1
β α
αN N
e
N N
N
x AN
c t d dt
−
+
+ −
∫ ( ) =
= 1
2
1 1
2 2
β α
α α
N N
N x A
N N
x A
N
c
e d eN N
−
−( ) −( ) + − −( )
+ + .
Oskil\ky
E X N
1
3
= 1
2
1 13 2
β α
α α
α
β
N N
N x A
N N
x A
N
N
N
N Nx
c
e d e dx
−
−( ) −( ) + − −( )
∫ + + < ∞ ,
to moΩna poklasty k = 3. Krim toho, (9) dlq neperervnoho rivnomirnoho rozpo-
dilu vykonu[t\sq.
Todi za teoremogI3 dlq bud\-qkyx y i N ma[ misce nerivnist\
F y yN
∗ −( ) ( )Φ ≤
Q y
N
o N
y
N
1
3
1
1
( )
+ ( )
+( )
.
Z vyhlqdu Q yN
ν ( ) ma[mo
Q yN
1 ( ) = –
1
2
1
1 3
2 2
2
3
3π
γ
σ
e H yy
N
N
−
/ ( )
! !
= –
1
2
1
6
2 2 2 3
3π
γ
σ
e yy
N
N
− −/ ( ) ,
de γ3 — kumulqnt porqdkuI3 velyçyny Xj
N
, H y2( ) = y2 1− .
Znajdemo tvirnu funkcig momentiv:
u tN( ) = Eet X N
1 =
= 1
2
2 1 12 2 2
β α
α α
α
β
N N
tx N x A x A
N N
x A
N
N
N
N N Ne
c
e e d e dx
−
− +( ) −( ) + − −( )
∫ + + + =
= 1
2 2
2
1
2
2 2
β α
β α
N N
N
A
t t N
Ac e
t
e e
d e
t
N
N N
N
− +
−( ) + −
+
+ +
( )
( )( ) ( ) ×
× e e
c d d
t
e et t N N N N N t tN N N N( ) ( )+ +−( ) + − + + −( )
1 1
21β α β αα α
,
todi kumulqnt moΩna znajty qk γ3
N = (ln ( ))u tN t t′′′ = 0 . Pry dyferencigvanni
vynyka[ problema z dodankom, wo mistyt\ mnoΩnyk 1/ t , oskil\ky pry t = 0
otryma[mo nevyznaçenist\. Skorysta[mos\ rozkladom u rqd Tejlora funkci]
ex
do p’qtoho stepenq. Vzqvßy poxidni v 0, otryma[mo
γ3
N =
c e
e e e eN
A
N N N N
N
N N N N
2
3 2 3 2 2 2 2 2
2
1
2
3
4
β α β αβ α β α−( ) − −( )
+
+
6
8
6
16
2 2 2 2β αβ α β α
N Ne e e eN N N N−( ) − −( ) + e dA
N
N ( )− 2 ×
× β α β α β αβ α β α β α β α
N N N N N Ne e e e e e e eN N N N N N N N3 3 2 23 3 6 6 6 6− − + + − − +( ) +
+
1
4
1 2 4 4+ + −( ) −( )
d d cN N N N N N Nα α β α I
c e
e eN
AN
N N
2
2 2
4
β α−( )
+
+ e d e e c d dA
N N N N N N N N
N N N( ) ( )− −( ) + − + +( ) −
−
2 1 2
1
β α α α β α –
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
ÍVYDKIST| ZBIÛNOSTI CINY {VROPEJS|KOHO OPCIONU … 1085
– 3
2
1
2
1
2
1
4
2
2 2 2 2 2 2 2 2c e
e e e e e eN
A
N N N N
N
N N N N N Nβ α β αβ α β α β α−( ) − −( ) + −( )
+
+ e d e e e e e eA
N N N N N
N N N N N N N( )− − − + + −( )2 2 2 2 22 2β α β αβ α β α β α
+
+
1
3
1 2 3 3+ + −( ) −( )
d d cN N N N N N Nα α β α I
c e
e eN
A
N N
N
N N
2
2 2
2
1
2
−( )
β αβ α
–
–
1
4
22 2e e e d e e e eN N N N N N NA
N N N
β α β α β αβ α−( ) + − − − +( )( ) + 1 2−( cN Nα +
+ d d
c e
e e e d e eN N N N N
N
A
A
N
N
N N N N Nα β α β α β α+ ) − −( )
−( ) + − −( )
1
2 4
22 2
2
2 2 ( ) +
+ 1 2
2
− + +( ) −
−
c d dN N N N N N Nα α β α( ) +
+ 2
2
1
2
1
4
2
2 2 2 2c e
e e e eN
A
N N
N
N N N Nβ αβ α β α−( ) + −( )
+ e dA
N
N ( )− 2 ×
× β α α α β αβ α β α
N N N N N N N N Ne e e e d d cN N N N− − +( ) + + + −( ) −
1 2
3
( ) ×
×
c e
e e e d e eN
A
A
N
N
N N N N N
2
2 2
4
2β α β α−( ) + − −( )
( ) +
+ 1 2
3
− + +( ) −
−
c d dN N N N N N Nα α β α( ) .
Pry N → ∞
γ3
N =
γ3 1
N
o
N
+
≤
c
N
7 , c7 = γ3 1+ ,
de
γ3 = 3
2
2 2
2
2 3
2
2
3
4
2
2
3
2
2 2
σ σ
σ
σ
σ
σ σ
T e
r e
r e e
r
r
r r
−
−
− −
−
− +
,
a
Q yN
1 ( ) ≤ 1
2
1
6
2 2 2 7
3 3 2π σ
e y
c
T
y− −/
/ .
OtΩe,
I4 = c F y y dyN
a
6
˜ ( ) ( )∗
−∞
−∫ Φ ≤ c
Q y
N
dy c
o N
y
dy
Na a
6
1
6 3
1
1
( )
−∞ −∞
∫ ∫+ ( )
+( )
≤
c
N
8 ,
de
c8 = c
c
T
I o I6
7
3 3 2 6 76 2
1
π σ / ( )+
,
a intehraly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1086 G. S. MIÍURA, O. M. SOLOVEJKO
I6 = e y dyy
a
−
−∞
−∫
2 2 2 1/ ta I7 = 1
1 3+( )−∞
∫ y
dy
a
[ zbiΩnymy. Tomu
Π Π( ) ( )C CN
Put Put− ≤
c
N
9 ,
de c9 = max , , ,c c c c3 4 5 8{ } .
Zapyßemo vidnoßennq parytetu:
Π( )CN
Call = Π( )
( )
C S E
rN
N
N
Put + −
+0 1
,
Π( )CCall = Π( )C S E
erT
Put + −0 .
Ma[mo
Π Π( ) ( )C CN
Call Call− ≤ Π Π( ) ( )
( )
( )
C C
E e r
e rN
rT
N
N
rT
N
N
Put Put− +
− +
+
1
1
≤
≤
c
N
E
e
e rT
NrT
rT
N
9 1+ − +
≤
c
N
10 ,
de c10 = c rTE9 + .
4. Vysnovky. My rozhlqnuly symetryçnu model\ rynku, na qkomu strybok
ciny akci] rivnomirno rozpodilenyj na symetryçnomu intervali, i vstanovyly, wo
na nepovnomu rynku v dohranyçnij modeli isnu[ martynhal\na mira taka, wo
ßvydkist\ zbiΩnosti vidpovidno] spravedlyvo] ciny [vropejs\koho opcionu do
ciny Bleka – Íoulsa ma[ porqdok
1
1 2n / .
1. Runggaldier W. J., Schweizer M. Convergence of option values under incompleteness // Semin.
Stochast. Anal., Random Fields and Appl.: Proc. Semin. held at the Centro Stefano Franscini,
Ascona, Switzerland, June 7–12, 1993. – Basel: Birkhäuser, 1995. – P. 365 – 384.
2. Hubalek F., Schachermayer W. When does convergence of asset price processes imply
convergence of option prices // Math. Finance. – 1998. – 4. – P. 385 – 403.
3. Prigent J.-L. Incomplete markets: convergence of option values under the minimal martingale
measure // Adv. Appl. Probab. – 1999. – 4. – P. 1058 – 1077.
4. Lesne J.-P., Prigent J.-L., Scaillet O. Convergence of discrete time option pricing models under
stochastic interest rates // Finance and Stochastics. – 2000. – 1. – P. 81 – 93.
5. Cutland N. J., Kopp E., Willinger W. From discrete to continuous financial models: new
convergence results for option pricing // Math. Finance. – 1993. – 2. – P. 101 – 123.
6. Leisen D. The random time binomial model // J. Econ. Dynam. Control. – 1999. – 9 – 10. –
P. 1355 – 1386.
7. Broadie M., Glafferman P., Kou S. J. Connecting discrete continuous pass-dependent options //
Finance and Stochastics. – 1999. – 3. – P. 55 – 82.
8. Walsh John B. The rate of convergence of the binomial tree scheme // Ibid. – 2003. – 7 . –
P. 337 – 361.
9. Lo-Bin Chang, Ken Palmer. Smooth convergence in the binomial model // Ibid. – 2007. – 11. –
P. 91 – 105.
10. F llmerö H., Schied A. Stochastic finance: an introduction in discrete time. – 2nd rev. and extended
ed. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2005. – 459 p.
11. Petrov V. V. Summ¥ nezavysym¥x sluçajn¥x velyçyn. – M.: Nauka, 1972. – 414 s.
OderΩano 12.10.06,
pislq doopracgvannq — 06.07.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3225 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:31Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/e5e90bf1731cae3fd65bde25959ca04d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32252020-03-18T19:48:39Z Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval Швидкість збіжності ціни європейського опціону на ринку, на якому стрибок ціни акції рівномірно розподілений на деякому інтервалі Mishura, Yu. S. Soloveiko, O. M. Мішура, Ю. С. Соловейко, О. М. We consider a model of the market such that a jump of share price is uniformly distributed on some symmetric interval and establish the rate of convergence of fair prices of European options by using the theorem on asymptotic decompositions of distribution function for the sum of independent identically distributed random variables. We show that, in the prelimit model, there exists a martingale measure on the market such that the rate of convergence of prices of European options to the Black - Scholes price is of order 1/n 1/2. Рассмотрена модель рынка, на котором скачок цены акции равномерно распределен на некотором симметричном интервале, и найдена скорость сходимости справедливых цен европейских опционов с применением теоремы об асимптотических разложениях функции распределения суммы независимых одинаково распределенных случайных величин. Показано, что существует мартингальная мера на рынке в допредельной модели такая, что скорость сходимости цен европейских опционов к цене Блэка - Шоулса имеет порядок 1/n 1/2. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3225 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 8 (2008); 1075–1086 Український математичний журнал; Том 60 № 8 (2008); 1075–1086 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3225/3196 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3225/3197 Copyright (c) 2008 Mishura Yu. S.; Soloveiko O. M. |
| spellingShingle | Mishura, Yu. S. Soloveiko, O. M. Мішура, Ю. С. Соловейко, О. М. Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| title | Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| title_alt | Швидкість збіжності ціни європейського опціону на ринку, на якому стрибок ціни акції рівномірно розподілений на деякому інтервалі |
| title_full | Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| title_fullStr | Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| title_full_unstemmed | Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| title_short | Rate of convergence of the price of European option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| title_sort | rate of convergence of the price of european option on a market for which the jump of stock price is uniformly distributed over an interval |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3225 |
| work_keys_str_mv | AT mishurayus rateofconvergenceofthepriceofeuropeanoptiononamarketforwhichthejumpofstockpriceisuniformlydistributedoveraninterval AT soloveikoom rateofconvergenceofthepriceofeuropeanoptiononamarketforwhichthejumpofstockpriceisuniformlydistributedoveraninterval AT míšuraûs rateofconvergenceofthepriceofeuropeanoptiononamarketforwhichthejumpofstockpriceisuniformlydistributedoveraninterval AT solovejkoom rateofconvergenceofthepriceofeuropeanoptiononamarketforwhichthejumpofstockpriceisuniformlydistributedoveraninterval AT mishurayus švidkístʹzbížnostícíniêvropejsʹkogoopcíonunarinkunaâkomustribokcíniakcíírívnomírnorozpodílenijnadeâkomuíntervalí AT soloveikoom švidkístʹzbížnostícíniêvropejsʹkogoopcíonunarinkunaâkomustribokcíniakcíírívnomírnorozpodílenijnadeâkomuíntervalí AT míšuraûs švidkístʹzbížnostícíniêvropejsʹkogoopcíonunarinkunaâkomustribokcíniakcíírívnomírnorozpodílenijnadeâkomuíntervalí AT solovejkoom švidkístʹzbížnostícíniêvropejsʹkogoopcíonunarinkunaâkomustribokcíniakcíírívnomírnorozpodílenijnadeâkomuíntervalí |