Characterizations of the Shunkov groups
The structure of the family of finite subgroups of the form Lg = ‹a, ag › in periodic Shunkov's group is studied. As a colorraries of the result obtained, two characterizations of periodic Shunkov's groups follow.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3228 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509279744688128 |
|---|---|
| author | Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. |
| author_facet | Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. |
| author_sort | Senashov, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:39Z |
| description | The structure of the family of finite subgroups of the form Lg = ‹a, ag › in periodic Shunkov's group is studied.
As a colorraries of the result obtained, two characterizations of periodic Shunkov's groups follow. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.54
В. И. Сенашов (Ин-т вычисл. моделирования СО РАН, Красноярск, Россия)
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП ШУНКОВА*
The structure of the family of finite subgroups of the form Lg = 〈a, ag〉 in periodic Shunkov’s group is
studied. As a colorraries of the result obtained, two characterizations of periodic Shunkov’s groups follow.
Вивчається будова сiм’ї скiнченних груп вигляду Lg = 〈a, ag〉 в перiодичнiй групi Шункова. Як
наслiдок iз отриманого результату випливають двi характеризацiї перiодичних груп Шункова.
С. Н. Черников в статье [1] ввел и начал изучать класс слойно конечных групп.
Группа называется слойно конечной, если множество ее элементов любого данного
порядка конечно. Почти слойно конечные группы — это конечные расширения
слойно конечных групп.
В настоящей работе мы изучаем бесконечные периодические группы с услови-
ем почти слойной конечности нормализаторов конечных нетривиальных подгрупп.
Среди таких групп можно назвать группы Новикова – Адяна [2] и группы Ольшан-
ского [3]. Рассматривается классический вопрос: как свойства системы подгрупп
влияют на свойства всей группы? Найдены условия, при которых почти слой-
ная конечность распространяется на периодическую группу G с нормализаторов
нетривиальных конечных подгрупп группы G.
В статье исследуется также класс сопряженно бипримитивно конечных групп,
введенных В. П. Шунковым. В 1997 г. за такими группами закрепилось новое
название: группы Шункова. Это название используется в работах А. В. Рожкова,
В. И. Сенашова, А. И. Созутова, А. К. Шлепкина, L. Hammoudi и др. Ранее
автором рассматривались группы Шункова при условии почти слойной конечнос-
ти всех собственных подгрупп [4, 5] и при некоторых других дополнительных
ограничениях [6 – 8]. В основной теореме этой статьи изучается строение конеч-
ных подгрупп вида Lg = 〈a, ag〉 в периодических группах Шункова, и в качестве
следствий получены две характеризации периодических групп Шункова.
Нам будут необходимы следующие определения и обозначения.
Группой Шункова (сопряженно бипримитивно конечной группой) называется
группа G, если для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе NG(H)/H
любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную под-
группу.
Группа называется черниковской, если она либо конечна, либо является ко-
нечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических
групп.
Будем обозначать через F (L) нормальную подгруппу наибольшего порядка
группы L, являющуюся прямым произведением простых неабелевых групп.
Разрешимый радикал — максимальная нормальная разрешимая подгруппа.
Нильпотентный радикал — максимальная нормальная нильпотентная подгруппа.
Инволюция — элемент второго порядка.
Почти регулярный элемент — элемент с конечным централизатором.
*Выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-
00576).
c© В. И. СЕНАШОВ, 2008
1110 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП ШУНКОВА 1111
Почти нильпотентная группа — конечное расширение нильпотентной группы.
Локально диэдральная 2-группа — полупрямое произведение квазициклической
2-группы и группы порядка 2, образующий которой инвертирует все элементы
квазициклической 2-группы.
Op′(G) — максимальная периодическая нормальная подгруппа группы G, не
содержащая p-элементов; R(H) — максимальная нормальная слойно конечная
подгруппа группы H; π(G) — множество простых делителей порядков элементов
группы G; π(c) — множество простых делителей числа c.
В следующей теореме изучается строение семейства конечных подгрупп вида
Lg = 〈a, ag〉 в периодической группе Шункова при условии почти слойной ко-
нечности нормализаторов конечных нетривиальных подгрупп. Отметим, что при
условиях теоремы силовская 2-подгруппа является черниковской.
Теорема. Пусть G — периодическая группа Шункова, причем 2 ∈ π(G), в
которой нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы почти слойно
конечен, S — ее силовская 2-подгруппа, i — центральная инволюция из S (в случае,
когда S бесконечна, i берется из полной части группы S), H — максимальная
почти слойно конечная подгруппа, содержащая CG(i). Тогда либо группа G почти
слойно конечна, либо справедливы следующие утверждения:
если H — нечерниковская группа, то найдется элемент a простого порядка из
H такой, что среди групп Lg = 〈a, ag〉, g ∈ G \H, бесконечно много полупростых
с подгруппой F (Lg), изоморфной PSL2(q), q — нечетное больше 3;
если H — черниковская группа, то в G найдутся нечерниковская подгруппа B и
элемент b простого порядка из B такие, что среди групп Lg = 〈b, bg〉, g ∈ G \B,
бесконечно много полупростых с подгруппой F (Lg), изоморфной PSL2(q), q —
нечетное больше 3.
В качестве следствий из полученного результата приведем две характеризации
периодических групп Шункова.
Следствие 1. Пусть G — периодическая группа Шункова без элементов тре-
тьего порядка. Если в G нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы
почти слойно конечен, то группа G также почти слойно конечна.
Доказательство. Следствие 1 при наличии в группе инволюций вытекает из
теоремы данной статьи и известного факта, что группа PSL2(q) содержит элемент
третьего порядка. Если в группе нет инволюций, то утверждение вытекает из
теоремы 2 [6].
Следствие 2. Пусть G — периодическая группа Шункова без подгрупп вида
PSL2(q). Если в G нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы почти
слойно конечен, то группа G также почти слойно конечна.
Доказательство. Следствие 2 также вытекает из теоремы данной статьи и из
теоремы 2 [6].
Если в формулировках следствий не требовать, чтобы группа была группой
Шункова, то они теряют силу вследствие известного примера p-группы А. Ю. Оль-
шанского.
Предположим, что G — периодическая не почти слойно конечная группа Шун-
кова и нормализатор любой ее нетривиальной конечной подгруппы почти слойно
конечен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1112 В. И. СЕНАШОВ
Через S обозначим некоторую силовскую 2-подгруппу из G, через i — цент-
ральную инволюцию из S (в [7] показано, что группа S является черниковской),
причем если S бесконечна, то выбираем центральную инволюцию i из полной
части группы S (по свойствам черниковских примарных групп в них пересечение
центра и полной части нетривиально), H – максимальная почти слойно конечная
подгруппа группы G, содержащая CG(i) (такая максимальная подгруппа найдется
согласно лемме Цорна и теореме 1 [6]).
В силу теоремы 1 [7] будем считать, не нарушая общности рассуждений, что
H не является сильно вложенной подгруппой в группу G. Отсюда по лемме 6 [7]
следует, что H имеет почти регулярную инволюцию. Зафиксируем за этой инво-
люцией обозначение j. В силу леммы 12 [7], не нарушая общности рассуждений,
можем считать, что инволюция j выбрана из подгруппы S.
Пусть K — подгруппа из H, порожденная всеми инволюциями с бесконечными
централизаторами в H. Слойно конечный радикал группы H будем обозначать
R(H). По лемме 8 [8] K является абелевой подгруппой порядка не большего
четырех.
Доказательству теоремы предпошлем ряд лемм.
Лемма 1. В группе G централизаторы инволюций почти разрешимы.
Доказательство. Пусть t — произвольная инволюция из G. Включим ее цент-
рализатор T = CG(t), являющийся почти слойно конечным по условию теоремы,
в максимальную почти слойно конечную подгруппу M из G. Если все инволюции
из M имеют бесконечные централизаторы в M, то согласно леммам 4, 5 [7] M
сильно вложена в G. Но эта ситуация невозможна в силу теоремы 1 [7].
Тогда в M есть почти регулярная инволюция, и отсюда по теореме Шункова
[9] группа M почти разрешима.
Лемма доказана.
Пусть L — полупростая конечная группа, т. е. конечная группа, не имеющая
разрешимой нормальной подгруппы. Следуя [10], обозначаем через F (L) нормаль-
ную подгруппу наибольшего порядка из L, являющуюся прямым произведением
простых неабелевых групп.
Лемма 2. Подгруппа F (L) любой нетривиальной полупростой конечной под-
группы L группы G является простой неабелевой группой.
Доказательство. Как следует из определения подгруппы F (L), для полу-
простой группы L справедливо разложение F (L) = V1 × V2 × . . . × Vn, где Vk,
k = 1, . . . , n, — неабелева простая группа. По теореме Файта – Томпсона подгруп-
пы Vk имеют инволюции. Используя теорему Брауэра – Судзуки [11, 12], заключа-
ем, что каждая такая инволюция содержится в элементарной абелевой подгруппе
из соответствующей простой группы. Тогда по лемме 9 из [7] F (L) = V1.
Лемма доказана.
Лемма 3. Группа G содержит конечное число классов сопряженных инво-
люций.
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно и в группе
G существует бесконечное множество классов сопряженных инволюций с пред-
ставителями
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП ШУНКОВА 1113
i1, i2, . . . , in, . . . ,
взятыми по одному из каждого класса. Из сопряженно бипримитивной конечности
группы G и попарной несопряженности указанных инволюций по свойствам групп
диэдра следует наличие в группах вида 〈ij , i1〉 центральных инволюций ij1.
Рассмотрим максимальную почти слойно конечную подгруппу из G, содержа-
щую CG(i1). В ней, очевидно, будут содержаться инволюции
i12, i13, . . . , i1n, . . . ,
среди которых согласно лемме 10 [7] лишь конечное число несопряженных. Будем
считать, что мы сразу выбрали представителей классов сопряженных инволюций
так, что все инволюции ik, k = 1, 2, . . . , сопряжены между собой, т. е.
i12 = ig3
13 = ig4
14 = . . . = ign
1n = . . . .
Рассмотрим максимальную почти слойно конечную подгруппу из G, содержа-
щую CG(i12). В ней будут содержаться инволюции ig3
3 , ig4
4 , . . . , ign
n , . . . как пере-
становочные с инволюцией i12. Но опять среди этих инволюций лишь конечное
число несопряженных. Пришли к противоречию с предположением.
Лемма доказана.
Обозначим через M множество всех конечных подгрупп группы G вида Lg =
= 〈a, ag〉, где элемент a простого порядка p выбираем из H, если H — нечерников-
ская группа, и a ∈ B — нечерниковской почти слойно конечной подгруппе, которая
найдется в G по теореме 3.1 [10] и условиям теоремы, если группа H — черников-
ская (g ∈ G \H в первом случае и g ∈ G \B во втором). Группу B можем считать
максимальной почти слойно конечной подгруппой в группе G в силу леммы 3 [7].
Вследствие бесконечности множества вариантов выбора порядка элемента a и
строения почти слойно конечной группы выберем его порядок таким достаточно
большим, что он не делит индекс
∣∣H : R(H)
∣∣, где R(H) — слойно конечный радикал
группы H в первом случае, и не делит индекс
∣∣B : R(B)
∣∣, где R(B) — слойно
конечный радикал группы B во втором случае. Это можно сделать вследствие
строения нечерниковской почти слойно конечной группы. Во втором случае будем
также предполагать, что p 6∈ π(H) (это можно сделать с учетом черниковости
группы H) и не делит индекс
∣∣B : L(B)
∣∣, где L(B) — нильпотентный радикал
группы B (B — почти нильпотентная группа по лемме 17 [7]).
Согласно лемме 11 [7] множество несопряженных элементарных абелевых под-
групп из почти слойно конечной группы с конечными централизаторами в ней
конечно. Поэтому в дополнение к выбору числа p можем считать, что оно не
принадлежит множеству ∪π(CB(K)), где K пробегает все элементарные абелевы
подгруппы из B, имеющие в B конечные централизаторы в случае черниковской
группы H; в случае нечерниковской H число p 6∈ π(CH(K)) для элементарных
абелевых подгрупп K из H с конечными централизаторами в H.
Лемма 4. В множестве M бесконечно много подгрупп имеют тривиальный
разрешимый радикал.
Доказательство. Пусть сначала H — нечерниковская группа. Рассмотрим
подгруппы вида Lg = 〈a, ag〉, g 6∈ H. Предположим, что лемма неверна и разреши-
мый радикал в группах Lg нетривиален для всех подгрупп Lg, за исключением не
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1114 В. И. СЕНАШОВ
более чем конечного числа подгрупп. Дальнейшие рассуждения в доказательстве
леммы касаются только подгрупп Lg с нетривиальным разрешимым радикалом.
Вследствие сопряженно бипримитивной конечности группы G подгруппы Lg ко-
нечны. Обозначим через P силовскую p-подгруппу из Lg, содержащую элемент a.
Поскольку P, будучи конечной p-группой, имеет нетривиальный центр, выбираем
элемент b простого порядка из Z(P ). Вследствие выбора элемента a централи-
затор CH(b) бесконечен. Тогда по лемме 5 [7] CG(b) ≤ H. Следовательно, P
содержится в H.
Предположим, что P не является циклической подгруппой. Обозначим эле-
ментарную абелеву подгруппу порядка p2 из P, содержащую элемент a, через R.
Рассмотрим подгруппу Op′(Lg)λR (Op′(Lg) 6= 1 по предположению). Согласно
теореме Брауэра [13]
Op′(Lg) ≤
〈
CG(r)|r ∈ R#
〉
.
Как отмечалось выше, элементы r из R# имеют бесконечные централизаторы
в H и в силу леммы 5 [7] содержатся в H вместе с Op′(Lg).
Проводя аналогичные рассуждения относительно подгруппы Hg вместо H и
элемента ag вместо a, видим, что Op′(Lg) < Hg. При этом p выбран настоль-
ко большим, что в централизаторах элементов порядка p из H нет элементов с
конечными централизаторами в H; для сопряженной подгруппы Hg это также
справедливо.
Таким образом, Op′(Lg) < H∩Hg. Если π(Op′(Lg)) не содержится в множестве
π
(
|H : R(H)|
)
, то слойно конечные радикалы R(H) и R(Hg) подгрупп H и Hg
пересекаются нетривиально и по лемме 4 [7] H = Hg. Вследствие максимальности
подгруппы H получили противоречие с выбором элемента g.
Значит, множество π(Op′(Lg)) включено в π
(
|H : R(H)|
)
, а поскольку послед-
нее множество конечно, то и для π(Op′(Lg)) имеется только конечное множество
вариантов при различных способах выбора элемента a. Тогда, учитывая строение
почти слойно конечной группы H и бесконечность множества вариантов выбора
порядков элемента a, получаем бесконечность нормализатора NH(Op′(Lg)) для
данного элемента g. Значит, NG(Op′(Lg)) содержится в H по лемме 4 [7] вместе с
Lg. Противоречие с выбором подгруппы Lg означает, что силовские p-подгруппы
в Lg циклические.
Пусть теперь H — черниковская группа. Поскольку B — почти нильпотентная
группа по лемме 17 [7], она имеет вид B = L(B) · K, где L(B) — нильпотентный
радикал группы B, K — ее конечная подгруппа.
Рассмотрим подгруппы вида Lg = 〈a, ag〉, g ∈ G \ B, и предположим, что раз-
решимый радикал в Lg нетривиален для бесконечного множества таких подгрупп.
Повторяя проведенные выше рассуждения для подгруппы B вместо H, получаем
включение Op′(Lg) ≤ B. Подгруппа R содержится в B, так как R ≤ CG(a). Таким
образом, имеем Op′(Lg)λR ≤ B.
Вследствие выбора p подгруппа R содержится в нильпотентном радикале L(B)
подгруппы B. Пусть Q — силовская q-подгруппа из Op′(Lg). По лемме Фратти-
ни Q выберем таким образом, чтобы она нормализовалась подгруппой R. Если
Q < L(B), то, очевидно, Q × R. Если же q — делитель индекса |B : L(B)|, то,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП ШУНКОВА 1115
по определению нильпотентного радикала, R также нормализуется подгруппой Q.
Таким образом, опять получаем Q×R. Поскольку это рассуждение правильно для
любого q ∈ π(Op′(Lg)), заключаем, что Op′(Lg) < CG(a). Отсюда с учетом выбора
элемента a следует, что все элементы из Op′(Lg) имеют в B бесконечные центра-
лизаторы, по лемме 5 [7] целиком содержащиеся в B. Фиксируем произвольный
элемент c 6= 1 из Op′(Lg). Как показано выше, a ∈ CG(c) ≤ B. Проводя аналогич-
ные рассуждения относительно подгруппы Bg вместо B и элемента ag вместо a,
видим, что ag ∈ CG(c), c ∈ Op′(Lg). Таким образом, ag ∈ B. Вследствие выбора
числа p элемент ag принадлежит пересечению слойно конечных радикалов под-
групп B и Bg, а это означает в силу леммы 4 [7], что B = Bg для элемента g из
G\B. Противоречие с выбором подгруппы B означает, что силовские p-подгруппы
в Lg являются циклическими.
Завершим доказательство леммы. Пусть сначала H — нечерниковская подгруп-
па группы G. В силу доказанного выше считаем, не нарушая общности рассужде-
ний, что найдется элемент a ∈ H порядка p такой, что силовская p-подгруппа в Lg
будет циклической.
Предположим, что в CLg
(a) нашелся элемент b простого порядка, который
перестановочен с нетривиальным элементом w из нильпотентного радикала Ng
группы Lg = 〈a, ag〉.
По выбору порядка p элемента a элемент b имеет бесконечный централизатор в
H, значит, по лемме 5 [7] он целиком содержится в H вместе с элементом w. Отсюда
следует, что пересечение Dg = Ng ∩H нетривиально, так как содержит элемент w.
Рассмотрим максимальную нормальную элементарную абелеву q-подгруппу Ag из
Dg. Если a действует регулярно на Ag, то вследствие строения группы регулярных
автоморфизмов q-группы, отсутствия в G бесконечных элементарных абелевых
подгрупп, сопряженности примарных силовских погрупп в группе G и конечности
индекса слойно конечного радикала в почти слойно конечной группе добиваемся
за счет выбора p, чтобы число q было настолько большим, что оно не делит индекс
|H : R(H)|. Тогда Ag < R(H). По свойствам слойно конечных групп и лемме 5 [7]
CG(Ag) ≤ H.
Пусть теперь элемент a перестановочен с нетривиальным элементом из Ag.
Тогда либо он централизует всю Ag и вследствие выбора числа p снова имеем
CG(Ag) ≤ H, либо Ag расщепляется: Ag = Bg × Cg, где Cg < CG(a), а на
Bg элемент a действует регулярно. Тогда, как и выше, получаем ограничение на
порядок q: q не делит индекс |H : R(H)|.
Окончательно имеем независимо от действия a на Ag включение CG(Ag) ≤ H,
что влечет по лемме 4 [7] NG(Ag) ≤ H. Тогда NG(Dg) ≤ H.
Если Ng 6= Dg, то вследствие нормализаторного условия в нильпотентных
группах нормализатор подгруппы Dg в Ng отличен от Dg и согласно доказанному
содержится в H. Пришли к противоречию с построением Dg.
Если же Ng = Dg, то вследствие нормальности Ng в Lg и включения NG(Dg) ≤
≤ H получаем Lg < H вопреки выбору группы Lg.
Таким образом, любой элемент простого порядка из CLg
(a) действует регу-
лярно на Ng. Тогда согласно доказанному выше и лемме 4.27 [14] Lg — группа
Фробениуса с неинвариантным множителем (a). По теореме Созутова – Шункова
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1116 В. И. СЕНАШОВ
[15] G имеет нетривиальную нормальную локально конечную подгруппу вопреки
предположению.
Случай черниковской подгруппы H рассматривается так же с заменой в рассуж-
дениях подгруппы H на подгруппу B.
Лемма доказана.
В силу леммы 4 будем считать, не нарушая общности рассуждений, что в беско-
нечном подмножестве N подгрупп множества M разрешимый радикал единичен.
В леммах 5, 6 будем предполагать, что некоторая силовская 2-подгруппа в
группе G конечна.
Лемма 5. Порядки фактор-групп CG(t)/O2′(CG(t)), где t — произвольная
инволюция из G, ограничены в совокупности.
Доказательство. В силу леммы 3 группа G содержит конечное число клас-
сов сопряженных инволюций. Тогда, зафиксировав в каждом классе некоторую
инволюцию t, достаточно для нее доказать конечность фактор-группы
CG(t)/O2′(CG(t)). Последнее утверждение следует из конечности силовской 2-
подгруппы в G, леммы 9 [8] и почти слойной конечности группы CG(t).
Лемма доказана.
Лемма 6. Можно считать, не нарушая общности рассуждений, что поря-
док p элемента a выбран таким достаточно большим, что для подгрупп мно-
жества N выполняется первая альтернатива теоремы Брауэра [16]: в конечной
группе U с силовской 2-подгруппой V для любой пары инволюций w, t из V и любого
элемента d из V существуют такие элементы x, y, z, что x−1wx, y−1ty, z−1dz ∈
∈ V и z−1dz = x−1wxy−1ty.
Доказательство. Поскольку мы можем увеличивать как угодно порядок p
элемента a, подберем его таким достаточно большим, что для подгрупп множества
N не будет выполняться вторая альтернатива теоремы Брауэра [16]: в конечной
группе U с силовской 2-подгруппой V 6= 1 существует функция
f
(
|V |,
∣∣CU (w)/O2′(CU (w))
∣∣, ∣∣CU (t)/O2′(CU (t))
∣∣)
такая, что |U | ≤ max(f) (для любых инволюций w, t из V ). Из леммы 5 следует,
что такой функции не существует, а это означает справедливость леммы.
Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Если силовская 2-подгруппа S беско-
нечна, то она является локально диэдральной 2-группой [7]. Тогда силовские 2-
подгруппы в подгруппах F (Lg) групп Lg множества N являются группами диэдра
и сами подгруппы F (Lg) групп множества N изоморфны либо PSL2(q), q > 3
— нечетное, либо A7 [17]. Случай группы A7 исключаем за счет выбора доста-
точно большого порядка элемента a и получаем утверждение теоремы в случае
бесконечной подгруппы S.
Если силовская 2-подгруппа S конечна, то по теореме из [8] либо пересече-
ние S со слойно конечным радикалом централизатора центральной инволюции
из S является циклическим или обобщенной группой кватернионов, либо груп-
па S может быть одного из следующих типов: группой диэдра; полудиэдральной
группой; 2-группой Судзуки порядка 64; абелевой группой типа (2m, 2m), m > 1;
S = 〈b〉 o 〈t〉, где b2m
= t2 = 1, m ≥ 2. Предположим, что пересечение S со слой-
но конечным радикалом центральной инволюции из S — циклическая группа или
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП ШУНКОВА 1117
обобщенная группа кватернионов. Поскольку по лемме 6 для групп множества N
выполняется первая альтернатива теоремы Брауэра, по свойствам групп диэдра си-
ловские 2-подгруппы в подгруппах F (Lg) групп Lg множества N либо четверные
группы Клейна, либо содержат инволюции, сопряженные с i. В первом случае,
как и при рассмотрении бесконечной силовской 2-подгруппы, получаем утвержде-
ние теоремы, а во втором случае, как показано при доказательстве теоремы из
[8], S может быть одного из следующих типов: группой диэдра; полудиэдральной
группой; 2-группой Судзуки порядка 64; абелевой группой типа (2m, 2m), m > 1;
S = 〈b〉 o 〈t〉, где b2m
= t2 = 1, m ≥ 2. Таким образом, теорему достаточно доказать
для следующих случаев:
1) S — полудиэдральная группа;
2) S — 2-группа Судзуки порядка 64;
3) S — абелева группа типа (2m, 2m), m > 1;
4) S = (b) o (t), где b2m
= t2 = 1, m ≥ 2, H = CG(i).
Предположим, что S — абелева группа типа (2m, 2m), m > 1. В силу лемм 2, 4
и теоремы Уолтера [17, с. 485] подгруппы F (Lg) групп Lg из N изоморфны L2(q),
q > 3, q = 3, 5(mod 8) или q = 2m; группе J(11) или являются группами типа
Ри. Случаи группы J(11) и групп типа Ри исключаются вследствие того, что в
них силовская 2-подгруппа является элементарной абелевой восьмого порядка, а
это невозможно в силу леммы 9 [7]. Теперь, поскольку выбор порядка элемента
a произволен и неограничен, увеличивая его, мы увеличиваем порядок полупро-
стой группы Lg. С ростом порядка группы Lg увеличивается порядок ее простой
компоненты, изоморфной L2(q). Рассмотрим вариант q = 2m: с ростом числа p в
такой группе увеличивается порядок силовской 2-подгруппы, а так как S конечна,
получаем противоречие и невозможность такой ситуации. Значит, в третьем случае
получаем справедливость утверждения теоремы.
Пусть имеет место первый случай. Подгруппы полудиэдральной группы, кото-
рые могут быть силовскими подгруппами в простых неабелевых группах, либо по-
лудиэдральные, либо элементарные абелевы подгруппы четвертого порядка. Если
хотя бы одна такая подгруппа является полудиэдральной, то по лемме 6 и лемме 9
[8] получаем, что она содержит в качестве подгруппы группу диэдра порядка, не
меньшего восьми. Но это невозможно, значит, во всех подгруппах F (Lg) групп Lg
множества N силовские подгруппы являются элементарными абелевыми подгруп-
пами, и в этом случае, как мы показали выше, утверждение теоремы доказано.
Рассмотрим теперь второй случай. Интересующие нас силовские подгруппы в
подгруппах F (Lg) групп Lg из множества N либо являются 2-группами Судзуки
порядка 64, либо элементарными абелевыми подгруппами четвертого и восьмого
порядков, либо содержат элемент четвертого порядка, который не является произ-
ведением никаких инволюций из этой подгруппы. Последний случай строения
силовской 2-подгруппы в подгруппах F (Lg) групп Lg множества N невозможен
по лемме 6. Элементарную абелеву 2-подгруппу 8-го порядка подгруппы F (Lg)
групп Lg из N не содержат в силу леммы 9 [7] и леммы 8 [8]. Тем самым остался
случай элементарной абелевой подгруппы 4-го порядка и, как и выше, мы показали
справедливость утверждения теоремы в этом случае.
Четвертый случай допускает возможность для силовских 2-подгрупп из под-
групп F (Lg) групп Lg множества N либо содержать центральный элемент чет-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1118 В. И. СЕНАШОВ
вертого порядка, либо быть группой диэдра. Первый случай невозможен в силу
леммы 6. Во втором случае подгруппы F (Lg) групп Lg множества N изоморфны
либо PSL2(q), q > 3 — нечетное, либо A7 [17]. Снова, как и выше, исключаем
подгруппу A7 за счет выбора достаточно большого порядка элемента a и получаем
утверждение теоремы для четвертого случая.
Теорема доказана.
1. Черников С. Н. К теории бесконечных специальных p-групп // Докл. АН СССР. – 1945. –
С. 71 – 74.
2. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. – М.: Наука, 1975. – 336 с.
3. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. – М.: Наука, 1989. –
300 с.
4. Сенашов В. И. Группы с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп //
Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 7-8. – С. 1002 – 1008.
5. Сенашов В. И. Достаточные условия почти слойной конечности группы // Там же. – 1999. –
51, № 4. – С. 472 – 485.
6. Сенашов В. И., Шунков В. П. Почти слойная конечность периодической части группы без
инволюций // Дискрет. математика. – 2003. – 15, № 3 – С. 91 – 104.
7. Сенашов В. И. Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых периодических груп-
пах Шункова // Там же. – 2002. – 14, № 4. – С. 133 – 152.
8. Сенашов В. И. О силовских подгруппах периодических групп Шункова // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 11. – С. 1548 – 1556.
9. Шунков В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика.
– 1972. – 11, № 4. – С. 470 – 493.
10. Шунков В. П. О вложении примарных элементов в группе. – Новосибирск: Наука, 1992. –
133 с.
11. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam; London: North-Holland Publ.
Co., 1973. – 147 p.
12. Hartley B. Finite groups of automrphisms of locally soluble groups // J. Algebra. – 1979. – 57, № 1.
– P. 242 – 257.
13. Brauer R., Suzuki M. On finite groups with an abelian Sylow subgroups // Can. J. Math. – 1962. –
14. – P. 436 – 450.
14. Шунков В. П. Mp-группы. – М.: Наука, 1990. – 160 с.
15. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруп-
пами // Алгебра и логика. – 1977. – 16, № 6. – Ч. 1. – С. 711 – 735; 1979. – 18, № 2. – Ч. 2. –
С. 206 – 223.
16. Brauer R. Some applications of theory of block of characters of finite groups II // J. Algebra. –
1964. – 1. – P. 307 – 334.
17. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper and Row, 1968. – 527 p.
18. Brauer R., Feit W. An analogue of Jordan’s theorem in characteristic p // Ann. Math. – 1966. – 84,
№ 1. – P. 119 – 131.
Получено 12.07.06,
после доработки — 14.08.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3228 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:35Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3f/ab7c75ec21bc6136e06f037dbcf3663f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32282020-03-18T19:48:39Z Characterizations of the Shunkov groups Характеризации групп Шункова Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. The structure of the family of finite subgroups of the form Lg = &lsaquo;a, ag &rsaquo; in periodic Shunkov's group is studied. As a colorraries of the result obtained, two characterizations of periodic Shunkov's groups follow. Вивчається будова сім'ї скінченних груп вигляду Lg = &lsaquo;a, ag &rsaquo; в періодичній rpyni Шункова. Як наслідок із отриманого результату випливають дві характеризації періодичних груп Шункова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3228 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 8 (2008); 1110–1118 Український математичний журнал; Том 60 № 8 (2008); 1110–1118 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3228/3202 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3228/3203 Copyright (c) 2008 Senashov V. I. |
| spellingShingle | Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. Characterizations of the Shunkov groups |
| title | Characterizations of the Shunkov groups |
| title_alt | Характеризации групп Шункова |
| title_full | Characterizations of the Shunkov groups |
| title_fullStr | Characterizations of the Shunkov groups |
| title_full_unstemmed | Characterizations of the Shunkov groups |
| title_short | Characterizations of the Shunkov groups |
| title_sort | characterizations of the shunkov groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3228 |
| work_keys_str_mv | AT senashovvi characterizationsoftheshunkovgroups AT senašovvi characterizationsoftheshunkovgroups AT senašovvi characterizationsoftheshunkovgroups AT senashovvi harakterizaciigruppšunkova AT senašovvi harakterizaciigruppšunkova AT senašovvi harakterizaciigruppšunkova |