Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion
For a system of classical particles interacting via stable pairwise integrable and positive many-body (nonpairwise) finite-range potentials, we prove the existence of a solution of the symmetrized Kirkwood-Salsburg equation.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3231 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509283639099392 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_facet | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_sort | Skrypnik, W. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:39Z |
| description | For a system of classical particles interacting via stable pairwise integrable and positive many-body (nonpairwise) finite-range potentials, we prove the existence of a solution of the symmetrized Kirkwood-Salsburg equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА
ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ВIДШТОВХУВАННЯМ
ФIНIТНОЇ ДIЇ
For a system of classical particles interacting via stable pair integrable and positive many-body (non-pair)
finite-range potentials, the existence of a solution of the symmetrized Kirkwood – Salsburg equation is
proved.
Для системы классических частиц, взаимодействующих благодаря четному устойчивому интегри-
руемому и многочастичным (нечетным) положительным финитным (конечного действия) потенциа-
лам, доказано существование решения симметризованного уравнения Кирквуда – Зальцбурга.
Рiвняння резольвентного типу Кiрквуда – Зальцбурга (КЗ) визначають рiвноважний
(гiббсiвський) стан системи нескiнченного числа класичних d-вимiрних частинок,
який задається за допомогою послiдовностi кореляцiйних функцiй великого кано-
нiчного ансамблю ρ = {ρ(x(m)),m ≥ 1}, x(m) = (x1, . . . , xm) ∈ Rdm таким чином
[1, 2]:
ρ = zKρ + zα,
де z — активнiсть частинок, повязана з густиною та оберненою температурою
β-термодинамiчними параметрами канонiчного ансамблю, α — послiдовнiсть, всi
компоненти якої, крiм одиничної першої, дорiвнюють нулю, а лiнiйний оператор
задається формулою
(KF )(x(m)) =
∑
n≥0
(n!)−1
∫
K(xj |x(m\j); y(n))F (x(m\j), y(n))dy(n),
m > 1, j ∈ (1, . . . , n),
де iнтегрування здiйснюється по Rdn, (m\j) = (x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm). При
m = 1 доданком з n = 0 нехтують.
Iнтегральнi ядра K(x1|x(m\1); y(n)), що залежать вiд потенцiальної енергiї
U(x(m)) (симетричної вимiрної функцiї) m чаcтинок, мають вигляд
K(xj |x(m\j); y(n)) =
∑
S′⊆(n)
(−1)n−|S′|e−βW (xj |x(m\j),yS′ ).
Тут S′ — пiдмножина множини цiлих додатних чисел (n) = (1, . . . , n), |S′| —
кiлькiсть елементiв у цiй пiдмножинi, yS = (yj , j ∈ S′) — послiдовнiсть змiнних,
iндексованих елементами цiєї пiдможини,
W (xj |x(m\j), yS′) = U(x(m), yS′)− U(x(m\j), yS′).
На просторi симетричних функцiй цi ядра задано таким чином:
c© В. I. СКРИПНИК, 2008
1138 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ... 1139
K(xj |x(m\j); y(n)) =
n∑
l=0
(−1)n−lCl
ne−βW (xj |x(m\j),y(l)), Cl
n =
n !
l!(n− l) !
.
Важливою умовою для iснування розв’язку рiвняння КЗ є умова стiйкостi [3]
U(x(n)) =
∑
l<∞
1
l !
∑
jk 6=jl∈(n)
φl(xj(l)) ≥ −Bn,
де B — константа та φl — l-частинковий трансляцiйно-iнварiантний потенцiал вза-
ємодiї (одночастинковий потенцiал φ1 є потенцiалом зовнiшнього поля).
Рiвняння КЗ для парної взаємодiї при деяких умовах на кореляцiйнi функцiї є
наслiдком стацiонарної iєрархiї ББГКI [4].
Вiдомо [3, 5, 6], що у випадку тiльки парної додатної (B = 0) взаємодiї, тобто
при φl = 0, l 6= 2, та регулярного парного потенцiалу φ2 (|e−βφ2 − 1|, β > 0, є
iнтегровною функцiєю) оператор КЗ K є обмеженим у просторi послiдовностей
обмежених функцiй Eξ та розв’язок рiвняння КЗ зображується збiжним рядом за
степенями комплексного z у крузi скiнченного радiуса. Такий же результат має
мiсце у випадку, коли всi потенцiали φl мають скiнченну вiдштовхувальну дiю,
тобто є додатними функцiями з компактним носiєм [1, 2] (вони залежать тiльки
вiд рiзницi змiнних). Норма у просторi Eξ послiдовностей вимiрних обмежених
функцiй визначається таким чином:
‖F‖ξ = max
n≥1
ess sup
x(n)
ξ−n
∣∣F (x(n))
∣∣.
Систему частинок з парною стiйкою взаємодiєю з регулярним парним потенцiалом
уперше розглянув Рюелл. Вiн запропонував розглядати симетризоване рiвняння
КЗ для кореляцiйних функцiй
ρ = zK̃ρ + zα
та довiв обмеженiсть симетризованого оператора КЗ в Eξ, тобто довiв, що розв’язок
симетризованого рiвняння КЗ зображується збiжним рядом за степенями комплекс-
ного z у крузi скiнченного радiуса.
Проблема побудови розв’язкiв рiвняння КЗ у випадку, коли є притягання, не
була розв’язана в [1, 2]. У цьому випадку необхiдно розглядати симетризоване
рiвняння КЗ, а це в [1, 2] не було зроблено. У цiй статтi ми вперше розглядаємо
симетризоване рiвняння КЗ та показуємо, що воно має розв’язок у випадку, коли
всi вищi непарнi потенцiали є додатними та мають компактний носiй (скiнченний
радiус дiї), а парний (недодатний) потенцiал є регулярним та стiйким. При цьому
основним прийомом є оцiнка ядер КЗ з допомогою нових рекурентних спiввiд-
ношень (4), якi не було використано в попереднiй статтi автора [7]. В нiй було
показано, що у випадку взаємодiї з недодатними парним та спецiальним тернар-
ним нефiнiтними потенцiалами гiббсiвськi кореляцiйнi функцiї можна визначити з
допомогою рiвняння КЗ з додатковими змiнними та парним комплексним потенцi-
алом взаємодiї (див. також [8]).
Результат, отриманий у данiй статтi, узагальнюється на випадок взаємодiї з
додатковим припущенням, що тернарний потенцiал є таким, як i в [7]. Побудову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1140 В. I. СКРИПНИК
гiббсiвських кореляцiйних функцiй (взаємодiя є фiнiтною багаточастинковою) без
застосування рiвняння КЗ викладено в статтi [9].
Перш нiж сформулювати результат визначимо процедуру зазначеної вище симет-
ризацiї Руелла. Отже, нехай потенцiал φ2 є стiйким, тобто породжувана ним потен-
цiальна енергiя U2 задовольняє спiввiдношення U2(x(n)) ≥ −nB. Симетризацiя
Руелла проводиться таким чином. Нехай χ(j,m) — характеристична функцiя мно-
жини
W2(xj |x(m\j)) = U2(x(m))− U2(x(m\j)) =
∑
s∈(m\j)
φ2(xj − xs) ≥ −2B.
Покладемо
χ∗(j,m) =
m∑
j=1
χ(j,m)
−1
χ(j,m).
Стiйкiсть потенцiалу φ2 означає, що
m∑
j=1
χ∗(j,m) = 1,
оскiльки справджується рiвнiсть
∑m
j=1
W2(xj |x(m\j)) = 2U2(x(m)).
Тодi симетризований оператор КЗ задається формулою
(K̃F )(x(m)) =
m∑
j=1
χ∗(j,m)(x(m))
∑
n≥0
1
n!
∫
K(xj |x(m\j); y(n))F (x(m\j), y(n))dy(n).
При m = 1 доданком з n = 0 нехтуємо. Перемножаючи m-тi компоненти рiвняння
КЗ на χ∗(j,m), пiдсумовуючи по j та беручи до уваги наведену рiвнiсть для χ∗(j,m) в
лiвiй частинi рiвняння, отримуємо симетризоване рiвняння КЗ.
Для норми оператора КЗ маємо нерiвнiсть
‖K̃F‖ξ ≤
≤ ‖F‖ξξ
−1 max
m
ess sup
x(m)
∑
n≥0
ξn
n!
m∑
j=1
χ∗j,m(x(m))
∫
|K(xj |x(m\j); y(n))|dy(n).
Щоб довести обмеженiсть оператора КЗ в Eξ, достатньо довести нерiвнiсть
χ∗(j,m)(x(m))
∫
|K(xj |x(m\j); y(n))|dy(n) ≤ abnχ∗(j,m)(x(m)). (1)
Тодi норма симетризованого оператора КЗ в Eξ буде визначена нерiвнiстю
‖K̃‖ξ ≤ ξ−1aeξb.
Найпростiша нерiвнiсть вiдповiдає випадку ξ = b−1: ‖K̃‖b−1 ≤ abe.
Насамперед доведемо нерiвнiсть (1), припустивши, що всi трансляцiйно-iнварi-
антнi потенцiали мають радiус дiї R, тобто для будь-якого s ∈ (l) та всiх k ∈ (l\s)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ... 1141
при |xs − xk| ≥ R справджується рiвнiсть φl(x1, . . . , xl) = 0. Важливим наслiдком
цього припущення є рiвнiсть
K(xj |x(m\j); y(n)) = 0, |xj − yl| ≥ R, (2)
для довiльного l ∈ (n). Це випливає з рiвностей W (x|y(n)) = W (x|y(n\s)), |x −
− ys| ≥ R.
На носiї χ(j,m) виконується нерiвнiсть
W2(xj |x(m\j), yS) = W2(xj |x(m\j)) + W2(xj |yS) ≥ −2B − |S| |φ0,2|+,
де |φ2|+ = inf
x
φ2(x). Це приводить до нерiвностi
χ∗(j,m)(x(m))|K(xj |x(m\j); y(n))| ≤ abn
0χ∗(j,m)(x(m)), (3)
в якiй a = e2βB , b0 = 2eβ|φ2|+ . При цьому ми скористались тим, що
∑
S⊆(n)
1 =
=
∑n
l=0
Cl
n = 2n.
З рiвностi (2) випливає, що iнтегрування в лiвiй частинi (1) виконується за n-
кратним декартовим добутком гiперкулi радiуса R з центром у точцi xj . Отже, має
мiсце (1) з a = e2βB , b = 2vReβ|φ2|+ , де vR — об’єм гiперкулi радiуса R.
Отже, для випадку фiнiтного парного потенцiалу ми довели наступну теорему.
Для потенцiальної енергiї зi стiйким парним регулярним потенцiалом та додат-
ними непарними фiнiтними потенцiалами симетризований оператор КЗ K̃ є обме-
женим у банаховому просторi Eξ, а симетризоване рiвняння КЗ має єдиний розв’я-
зок у Eξ, що зображується рядом
ρ = z
∑
n≥0
znK̃nα,
збiжним у крузi |z| < ‖K̃‖−1
ξ .
Доведемо тепер цю теорему для випадку нефiнiтної парної взаємодiї. Важливу
роль при доведеннi (1) вiдiграє рекурентне спiввiдношення, яке ми встановимо
нижче:
K(x|x(m); y(n)) =
=
∑
S′⊆(n)
K(x|x(m); yS′)χBx(R)(yS′)G(x|y(n)\S′)χBc
x(R)(y(n)\S′), (4)
де
G(x|yS) =
∑
S′⊆S
(−1)|S\S
′|e−βW2(x|yS′ ) =
∏
l∈S
(e−βφ2(x−yl) − 1),
Bc
x(R) = Rd\Bx(R), W2(x|yS) =
∑
j∈S
φ2(x− yj), Bx(R) — гiперкуля радiуса R
з центром у точцi x, χA(yS) — добуток характеристичних функцiй множини A, що
залежать вiд змiнних, iндексованих множиною S. З цього спiввiдношення та з (3)
випливає нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
1142 В. I. СКРИПНИК
χ∗j,m(x(m))|K(xj |x(m\j); y(n))| ≤
≤ e2βB
∑
S′⊆(n)
(2eβ|φ2|+)|S
′|χBx(R)(yS′)G(xj |y(n\S′))χ∗j,m(x(m)) =
= e2βB
n∏
l=1
[
G(xj |yl) + 2eβ|φ2|+χBx(R)(yl)
]
χ∗j,m(x(m)).
В результатi має мiсце (1) з константами
a = e2βB , b = 2vR
(
eβ|φ2|+ +
∫
|e−βφ2(x) − 1|dx
)
.
Встановимо спiввiдношення (4). Нехай S = S1 ∪ S2, тодi
W (x|x(m), yS) = W (x|x(m), yS1) + W2(x|yS2), yl 6∈ Bx(R), l ∈ S2. (5)
Ця рiвнiсть є наслiдком рiвностi
W2(x|yS) = W2(x|yS1) + W2(x|yS2).
Пiдставимо рiвнiсть
1 =
n∏
j=1
(χBc
x(R)(yj) + χBx(R)(yj)) =
∑
S′⊆(n)
χBx(R)(yS′)χBc
x(R)(y(n)\S′)
у вираз для ядер КЗ. Пiсля пiдсумовування та застосування (5) отримаємо
K(x|x(m); y(n)) =
=
∑
S⊆(n)
(−1)n−|S|e−βW (x|x(m),yS)
∑
S′⊆(n)
χBx(R)(yS′)χBc
x(R)(y(n)\S′) =
=
∑
S′⊆(n)
χBx(R)(yS′)χBc
x(R)(y(n)\S′)×
×
∑
S2⊆(n)\S′
∑
S1⊆S′
(−1)n−|S1∪S2|e−βW (x|x(m),yS1∪S2 ) =
=
∑
S′⊆(n)
χBc
x(R)(y(n)\S′)χBx(R)(yS′)
∑
S2⊆(n)\S′
∑
S1⊆S′
(−1)n−|S1|−|S2|×
×e−β[W (x|x(m),yS1 )+W2(x|x(m),yS2 )] =
=
∑
S′⊆(n)
χBx(R)(yS′)χBc
x(R)(y(n)\S′)
∑
S1⊆S′
(−1)|S
′|−|S1|e−βW (x|x(m),yS1 )×
×
∑
S2⊆(n)\S′
(−1)n−|S′|−|S2|e−βW2(x|x(m),yS2 ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ЧАСТИНОК З НЕПАРНИМ ... 1143
Остання рiвнiсть i доводить (4).
1. Greenberg W. Thermodynamic states of classical systems // Communs Math Phys. – 1971. – 22. –
P. 259 – 268.
2. Moraal H. The Kirkwood – Saltsburg equation and the virial expansion for many-body potentials //
Phys. Lett. A. – 1976. – 59, № 1. – P. 9 – 10.
3. Ruelle D. Statistical mechanics. Rigorous results. – W. A. Benjamin Inc., 1969. – 219 p.
4. Gallavotti G., Verboven E. On the classical KMS boundary conditions // IL Nuovo Cimento B. –
1975. – 28, № 1. – P. 274 – 286.
5. Боголюбов Н. Н., Петрина Д. Я., Хацет Б. И. Математическое описание равновесного состо-
яния класических систем на основе канонического ансамбля // Теорет. и мат. физика. – 1969. –
1, № 2. – С. 251 – 274.
6. Petrina D. Ya., Gerasimenko V. I., Malyshev P. V. Mathematical foundations of classical statistical
mechanics. – Holland: Gordon and Breach, 1989. – 332 p.
7. Скрипник В. I. Про гiббсiвськi квантовi та класичнi системи частинок з трьохчастинковими
силами // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 976 – 996.
8. Скрипник В. I. Метод функцiонального iнтегралу для гiббсiвських систем з багаточас-
тинковими потенцiалами. I // Теорет. и мат. физика. – 1991. – 88, № 1. – С. 115 – 121.
9. Rebenko A. Polymer expansions for continuous classical systems with many-body interaction //
Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 1. – P. 73 – 87.
Одержано 15.12.06
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3231 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:39Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/93/5ce883d804dac5bbc7fcc1bb3683a193.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32312020-03-18T19:48:39Z Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. For a system of classical particles interacting via stable pairwise integrable and positive many-body (nonpairwise) finite-range potentials, we prove the existence of a solution of the symmetrized Kirkwood-Salsburg equation. Для системы классических частиц, взаимодействующих благодаря четному устойчивому интегрируемому и многочастичным (нечетным) положительным финитным (конечного действия) потенциалам, доказано существование решения симметризованного уравнения Кирквуда &#8211; Зальцбурга. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3231 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 8 (2008); 1138–1143 Український математичний журнал; Том 60 № 8 (2008); 1138–1143 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3231/3208 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3231/3209 Copyright (c) 2008 Skrypnik W. I. |
| spellingShingle | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| title | Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| title_alt | Розв'язки рівняння Кірквуда–Зальцбурга для частинок з непарним відштовхуванням фінітної дії |
| title_full | Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| title_fullStr | Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| title_full_unstemmed | Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| title_short | Solutions of the Kirkwood-Salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| title_sort | solutions of the kirkwood-salsburg equation for particles with finite-range nonpairwise repulsion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3231 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikwi solutionsofthekirkwoodsalsburgequationforparticleswithfiniterangenonpairwiserepulsion AT skripnikví solutionsofthekirkwoodsalsburgequationforparticleswithfiniterangenonpairwiserepulsion AT skrypnikwi rozv039âzkirívnânnâkírkvudazalʹcburgadlâčastinokzneparnimvídštovhuvannâmfínítnoídíí AT skripnikví rozv039âzkirívnânnâkírkvudazalʹcburgadlâčastinokzneparnimvídštovhuvannâmfínítnoídíí |