Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function
We consider the Euler transform of the power series of an analytic function playing the role of its expansion in a series in a system of polynomials and study the domain of convergence of the transform depending on the parameter of transformation and the character of singular points of the function....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3232 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509283811065856 |
|---|---|
| author | Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. |
| author_facet | Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. |
| author_sort | Sukhorolskyi, M. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:39Z |
| description | We consider the Euler transform of the power series of an analytic function playing the role of its expansion in a series in a system of polynomials and study the domain of convergence of the transform depending on the parameter of transformation and the character of singular points of the function. It is shown that the transform extends the function beyond the boundaries of the disk of convergence of its series on the interval of the boundary located between two singular points of the function. In particular, it is established that the power series of the function whose singular points are located on a single ray is summed by the transformation in the half plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.53.57
M. A. Suxorol\s\kyj (Nac. un-t „L\viv. politexnika”)
OBLAST| ZBIÛNOSTI PERETVORENNQ EJLERA
STEPENEVOHO RQDU ANALITYÇNO} FUNKCI}
We consider Euler’s transformation of power series of an analytic function, which is its expansion into a
series in system of polynomials. We investigate the domain of convergence of the transformation
depending on the parameter of transformation and the character of singular points of the function. We
show that the transformation extends the function beyond the boundary of the circle of convergence of
its series on the boundary interval between two singular points of the function. In particular, we
establish that the power series of the function whose singular points are located on the same beam is
summarized by the transformation in a half-plane.
Rassmotreno preobrazovanye ∏jlera stepennoho rqda analytyçeskoj funkcyy, qvlqgwehosq ee
razloΩenyem v rqd po systeme polynomov. Yssledovana oblast\ sxodymosty preobrazovanyq v
zavysymosty ot parametra preobrazovanyq y xaraktera osob¥x toçek funkcyy. Pokazano, çto
preobrazovanye prodolΩaet funkcyg za predel¥ kruha sxodymosty ee rqda na otrezke hranyc¥
meΩdu dvumq osob¥my toçkamy funkcyy. V çastnosty, ustanovleno, çto stepennoj rqd
funkcyy, osob¥e toçky kotoroj naxodqtsq na odnom luçe, summyruetsq preobrazovanyem v po-
luploskosty.
Vstup. 5V robotax [1, 2] doslidΩeno rozvynennq analityçnyx funkcij u rqdy za
systemamy polinomiv, wo [ çastynnymy sumamy stepenevoho rqdu zadano] funk-
ci] abo konstruggt\sq z vykorystannqm koefici[ntiv stepenevoho rqdu zadano]
funkci]. Zokrema, doslidΩeno rozvynennq analityçnyx funkcij za systemamy
polinomiv vyhlqdu
P z C a z zn
k
n
n
k
k
n k k
n
( ) –=
= =
∞
∑
0
0
0
, (1)
de Cn
k = 0 pry n < k i Cn
k , n ≥ k, — binomial\ni koefici[nty, z
0
— kompleksne
çyslo (parametr), ak — koefici[nty stepenevoho rqdu analityçno] funkci]
f z( ),
S z( ) =
k
k
ka z
=
∞
∑
0
, (2)
de S z( ) = f z( ), qkwo z < R, 0 < R ≤ ∞.
Rozvynennq funkci] f z( ) u rqd za systemog polinomiv (1) [ peretvorennqm
Ejlera [3, 4] rqdu (2) ci[] funkci],
E f z z( ); 0{ } =
n
n
k
n
n
k
k
n k k
z
C a z z
=
∞
+
=
∑ ∑+0 0
1
0
0
1
1( )
–
. (3)
U danij roboti doslidΩu[t\sq oblast\ zbiΩnosti peretvorennq Ejlera (3)
stepenevoho rqdu (2) v zaleΩnosti vid parametra peretvorennq ta vlastyvostej
funkci].
1. Oblast\ zbiΩnosti peretvorennq Ejlera zi stalym parametrom.
Teorema 1. Nexaj: a) f z( ) — funkciq, odnoznaçna j analityçna v oblasti
D, i (2) — stepenevyj rqd ci[] funkci] z odynyçnym kruhom zbiΩnosti K : z <
< 1, K D⊂ ; b) L — kuskovo-hladka zamknena liniq, wo oxoplg[ osoblyvi toç-
ky funkci] f
t
1
.
Todi peretvorennq Ejlera (3) rqdu (2) [ analityçnog funkci[g v oblasti
© M. A. SUXOROL|S|KYJ, 2008
1144 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
OBLAST| ZBIÛNOSTI PERETVORENNQ EJLERA STEPENEVOHO RQDU … 1145
D1 � D i E f z( ){ ; z0} = f z( ), qkwo z D∈ 1, de
D tz z
t L
1 0: max
∈
+ < 1 0+ z , (4)
z
0
— kompleksne çyslo,
2 0Re z > – 1. (5)
Dovedennq. Zapyßemo formulu Koßi dlq funkci] f z( ), z D∈ , i peretvo-
rymo ]] takym çynom:
f z( ) = 1
2πi
f t dt
t z
Γ
∫ ( )
–
= 1
2 0 0πi
f t dt
t z t z t z
Γ
∫ + +
( )
– ( )
= 1
2
1 1
10
0
0
πi
f t dt
t z
z t z
z t
Γ
∫
+ +
+
( )
( ) –
( )
,
(6)
de Γ — zamknenyj kuskovo-hladkyj kontur, dodatno ori[ntovanyj vidnosno ob-
lasti, wo mistyt\ poçatok koordynat, Γ ⊂ D .
Za umovy
z
t
z+ 0 < 1 0+ z spravedlyvym [ rozvynennq
1
1
0
0
1
–
( )
–
z t z
z t
+
+
=
n
n
n n
z t z
z t=
∞
∑ +
+0
0
01
( )
( )
=
n
n
k
n
n
k n k k
kz
C z z
t=
∞
=
∑ ∑+0 0 0
01
1( )
–
. (7)
Poznaçymo çerez D1 � D oblast\, toçky qko] zadovol\nqgt\ nerivnist\
max
t
z
t
z
∈
+
Γ
0 < 1 0+ z . (8)
Pry c\omu budemo vymahaty vykonannq umovy z0 < z0 1+ abo 2 0Re z + 1 > 0,
wo vidpovida[ naleΩnosti poçatku koordynat cij oblasti. Pidstavyvßy rozvy-
nennq (7) u formulu (6), z uraxuvannqm rozvynennq (2) oderΩymo
f z( ) = 1
2
1
10 0
1
0
0
1πi z
C z z
t
f t dt
n
n
k
n
n
k n k k
k
Γ
∫ ∑ ∑
=
∞
+
=
++( )
( )
–
=
=
1
2
1
10 0
1
0
0πi z
C z z
f t
t
dt
n
n
k
n
n
k n k k
k
=
∞
+
=
∑ ∑ ∫+( )
( )–
Γ
=
=
1
2
1
10 0
1
0
0
0
πi z
C z z
f t
t
dt
n
n
k
n
n
k n k k
k
=
∞
+
=
∑ ∑ ∫+( )
( )–
Γ
=
=
n
n
k
n
n
k
k
n k k
z
C a z z
=
∞
+
=
∑ ∑+0 0
1
0
0
1
1( )
– ,
de Γ0 — kolo z centrom u poçatku koordynat i radiusom, menßym za odynycg.
OderΩanyj rqd [ peretvorennqm (3). Cej rqd zbiha[t\sq v oblasti D1, wo
vyznaça[t\sq nerivnistg (8).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1146 M. A. SUXOROL|S|KYJ
Zastosu[mo do kompleksno] plowyny z inversig z = 1
τ
vidnosno odynyçnoho
kola i poznaçymo çerez L obraz kontura Γ na kompleksnij plowyni τ. Pry
c\omu osoblyvi toçky funkci] f 1
τ
ta poçatok koordynat naleΩat\ oblasti z
hranyceg L i, bil\ß toho, koΩna osoblyva toçka zm = r em
i mϕ
, rm ≥ 1, funkci]
f z( ) vidobrazyt\sq u toçku τm = ρ ψ
m
ie m
, ρm ≤ 1, wo leΩyt\ vseredyni ody-
nyçnoho kruha na tomu Ω promeni ϕ = ϕm . Todi nerivnist\ (8) moΩna zapysaty u
vyhlqdi max
τ
τ
∈
+
L
z z0 < 1 0+ z , wo vidpovida[ formi (4).
Analityçnist\ funkci] E f z z( ); 0( ) vyplyva[ z toho, wo poxidna vid peretvo-
rennq Ejlera rqdu funkci] f z( ) [ peretvorennqm rqdu poxidno] vid ci[] fun-
kci]. Dlq peretvorennq poxidno] vid ci[] funkci] ma[mo vyraz
E
df z
dz
z
( )
; 0{ } =
n
n
n
Q z
z=
∞
+∑ +0 0
11
( )
( )
,
de Q zn( ) =
k
n
n
k
k
n k kC k a z z= +∑ +
0 1 01( ) –
.
Znajdemo poxidnu vid peretvorennq (3):
d
dz
E f z z( ); 0{ } =
n
n
k
n
n
k
k
n k k
z
C ka z z
=
∞
+
=
∑ ∑+1 0
1
1
0
11
1( )
– – =
=
n
n
k
n
n
k
k
n k k
z
C k a z z
=
∞
+
=
+
+
+∑ ∑+
+
0 0
2
0
1
1
1 0
1
1
1
( )
( ) – .
Vraxuvavßy tut formulu Cn
k
+
+
1
1 =
i k
n
i
kC=∑ , a takoΩ formulu 1 + z0 = 1
–
–
z
z
0
0
1
1 +
–
=
i
i
i
z
z=
∞∑ +0
0
01( )
, qka spravedlyva za umovy (5), oderΩymo
d
dz
E f z z( ); 0{ } =
n
n
k
n
i k
n
i
k
k
n k k
z
C k a z z
=
∞
+
= =
+∑ ∑ ∑+
+
0 0
2
0
1 0
1
1
1
( )
( ) – =
=
n
n
i
n
n i
i
z
z Q
=
∞
+
=
∑ ∑+0 0
2
0
0
1
1( )
– =
i
i
n i
n i
nQ
z
z=
∞
=
∞
+∑ ∑ +0
0
0
21
–
( )
=
=
i
i
n
n
n iQ
z
z=
∞
=
∞
+ +∑ ∑ +0 0
0
0
21( )
=
n
n
n
Q
z=
∞
+∑ +0 0
11( )
.
OtΩe, peretvorennq Ejlera [ analityçnog funkci[g v oblasti (4).
Teoremu dovedeno.
Pryklad 1. Rozhlqnemo stepenevyj rqd
n
nz=
∞∑ 0
funkci] f z( ) = 1
1 – z
,
analityçno] v oblasti D (kompleksno] plowyny z vyrizanym promenem, wo vy-
xodyt\ z toçky z = 1 u naprqmi osi Ox). Klasyçna suma c\oho rqdu S z( ) = f z( ),
qkwo z < 1. Peretvorennq Ejlera (3) rqdu (1),
E f z z( ); 0{ } =
n
nz=
∞
+∑ +0 0
1
1
1( ) k
n
n
k n k kC z z
=
∑
0
0
– =
n
n
n
z z
z=
∞
+∑ +
+0
0
0
11
( )
( )
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
OBLAST| ZBIÛNOSTI PERETVORENNQ EJLERA STEPENEVOHO RQDU … 1147
[ rqdom funkci] f z( ) za stepenqmy ( )z z n+ 0 . Cej rqd zbiha[t\sq v oblasti
z z+ 0 < 1 0+ z (9)
vseredyni kruha z centrom u toçci (– )z0 i radiusom R = 1 0+ z .
Znajdemo oblast\ zbiΩnosti peretvorennq Ejlera rqdu ci[] funkci] za for-
mulog (4). Hranyceg oblasti D v c\omu vypadku [ nyΩnij i verxnij „berehy”
rozrizu plowyn vzdovΩ promenq 1 ≤ Re z < ∞, Im z = 0, qkyj pry inversi] pe-
rejde u vidrizok 0 ≤ Re t ≤ 1, Im t = 0. Zamknenu linig L vyberemo tak, wo pry
obxodi toçky t spoçatku po nyΩn\omu, a potim po verxn\omu „berehax” vidrizka
Im t = 0, a Re t zming[t\sq spoçatku vid nulq do 1 – ε, a potim vid 1 – ε do nu-
lq, de ε > 0 — dostatn\o mala velyçyna. Maksymal\ne znaçennq livo] çastyny
nerivnosti (4) za umovy Im t = 0 dosqha[t\sq pry Re t = 1 – ε i tomu dlq oblasti
zbiΩnosti peretvorennq oderΩymo rivnqnnq ( – )1 ε z + z0 < 1 0+ z , qke vna-
slidok dovil\nosti ε moΩna zapysaty u vyhlqdi (9).
Teorema 2. Nexaj odnoznaçnu j analityçnu v oblasti D funkcig f z( )
zadano stepenevym rqdom (2) z odynyçnym kruhom zbiΩnosti K : z < 1, K � D ,
a ]] osoblyvi toçky dyskretno rozmiweni na hranyci Γ0 kruha zbiΩnosti. Todi
na vidrizku hranyci Γ0 miΩ dvoma susidnimy osoblyvymy toçkamy z 1 = eiϕ1
i
z2 = eiϕ2
, ϕ1 < ϕ2, funkci] f z( ) peretvorennq Ejlera (3) rqdu (2) pry z0 =
= r ei
0
0ϕ
, de r0 > 0 i ϕ0 = 0, analityçno prodovΩu[ funkcig f z( ) za hranycg
oblasti zbiΩnosti rqdu (1).
Dovedennq. Spoçatku znajdemo oblast\ zbiΩnosti peretvorennq Ejlera
stepenevoho rqdu funkci], wo ma[ odnu osoblyvu toçku z1 = eiϕ1
. Oblastg ana-
lityçnosti ci[] funkci] [ kompleksna plowyna z z vyrizanym promenem r ≥ 1,
ϕ5= ϕ1. Pry inversi] cej promin\ vidobrazyt\sq u vidrizok 0 ≤ ρ ≤ 1, ψ = ϕ1 u
kompleksnij plowyni t. Zamknenu linig L u formuli (4) vyberemo tak, wo
toçka t = ρ ψei
, probihagçy po nyΩn\omu ta verxn\omu „berehax” vidrizka, zmi-
ng[ polqrnyj radius vidpovidno vid nulq do 1 + ε i navpaky, a kut ψ = ϕ1. Todi
znaçennq livo] çastyny nerivnosti (4) dorivng[ max
t L
tz r
∈
+ 0 = ( ) –1 1+ ε ϕe zi +
+ r0 i vidpovidno nerivnist\ (4) nabere vyhlqdu ( )1 + ε z + r ei
0
1ϕ < 1 + r0.
Vnaslidok dovil\nosti ε cg nerivnist\ moΩna zapysaty u vyhlqdi
z r ei+ 0
1ϕ < 1 + r0. (10)
Ce rivnqnnq kruha z centrom u toçci –r ei
0
1ϕ
i radiusom 1 + r0. Poznaçymo cej
kruh çerez K1, a joho hranycg çerez Γ1. Xarakternym dlq oblasti zbiΩnosti
peretvorennq [ te, wo kolo Γ1 proxodyt\ çerez osoblyvu toçku z1 = eiϕ1
ci[]
funkci], a takoΩ toçka z1 = eiϕ1
, poçatok koordynat ta centr kruha K1 le-
Ωat\ na odnij prqmij i vidpovidno kruh K naleΩyt\ oblasti K1.
Teper rozhlqnemo vypadok, koly funkciq f z( ) ma[ na odynyçnomu koli Γ0
k osoblyvyx toçok zm = ei mϕ
, m = 1, k . Todi oblastg zbiΩnosti peretvorennq [
dobutok kruhiv Km , rivnqnnq qkyx magt\ vyhlqd (10), z r ei m+ 0
ϕ < 1 + r0, m =
= 1, k . Cej dobutok ne [ poroΩn\og mnoΩynog, oskil\ky koΩnyj iz kruhiv mis-
tyt\ odynyçnyj kruh zbiΩnosti rqdu (1). Oskil\ky ϕm < ϕm +1 i r0 > 0, to vid-
povidni dva kola Γm i Γm +1 (hranyci kruhiv Km i Km +1), dotykagçys\ do ko-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1148 M. A. SUXOROL|S|KYJ
la Γ 0 u riznyx toçkax, utvorggt\ razom z nym kryvolinijnyj trykutnyk
Km m, +1, qkyj leΩyt\ poza kruhom K. OtΩe, v c\omu vypadku oblast\ zbiΩnos-
ti peretvorennq mistyt\ neskinçennu mnoΩynu toçok poza kruhom zbiΩnosti rq-
du (2).
Rozhlqnemo we odyn moΩlyvyj vypadok, koly funkciq f z( ) ma[ osoblyvi
toçky qk na koli Γ0, tak i poza nym. Nexaj osoblyva toçka z0 = r ei0 0ϕ ( r0 >
> 1) leΩyt\ poza kolom Γ0 i ϕm < ϕ0 < ϕm +1. Todi rivnqnnq (4) nabere vyhlq-
du
e
r
z r
i– ϕ0
0 0+ < 1 + r0 abo z r r ei+ 0
0
0ϕ < r0 (1 + r0). Ce rivnqnnq kruha K0
z centrom u toçci –r r ei0
0
0ϕ( ) i radiusom r0 1( + r0) . Oskil\ky r0 > 1, to K �
� K0
i peretyn kryvolinijnoho trykutnyka Km m, +1 z kolom K0
zavΩdy [ ne-
poroΩn\og mnoΩynog.
Teoremu dovedeno.
Pryklad 2. Rozhlqnemo stepenevyj rqd
n
nz=
∞∑ 0
2
funkci] f z( ) = 1
1 2– z
,
analityçno] v kompleksnij plowyni z dvoma rozrizamy vzdovΩ dijsno] osi, vid
– ∞ do – 1 i vid + 1 do ∞. Klasyçna suma c\oho rqdu S z( ) = f z( ) pry z < 1.
Za formulog (3) pry ϕ0 = 0 znajdemo peretvorennq Ejlera c\oho rqdu
E f z( ){ ; r0} = =
n nr=
∞
+∑ +0
0
1
1
1( ) k
n
n
k n k kC r z= …∑ 0 2 0, ,
–
, oblast\ zbiΩnosti qkoho
zhidno z formulog (10) [ peretynom dvox kruhiv K1 : z r+ 0 < 1 + r0 i K–1 :
z r– 0 < 1 + r0.
Znajdemo oblast\ zbiΩnosti peretvorennq, vyxodqçy z vlastyvostej stepene-
vyx rqdiv. Zapyßemo peretvorennq takym çynom:
E f z r( ); 0{ } =
n
n
k
n k
n
k n k k
r
C r z
=
∞
+
=
∑ ∑+
+
0 0
1
0
0
1
1
1 1
2( )
(– ) – =
=
1
2 1
1
2
1
10
0
0
1
0
0
0
1
n
n
n
n
n n
n
z r
r
z r
r=
∞
+
=
∞
+∑ ∑+
+
+
+
( )
( )
(– ) ( – )
( )
.
OderΩani tut dva rqdy [ rozvynennqm dvox skladovyx funkci]
1
1 2– z
=
= 1
2
1
1 – z
+ 1
1 +
z
. Perßyj z nyx — rozvynennq funkci]
1
2 1( – )z
v rqd za ste-
penqmy z – r 0, qkyj zbiha[t\sq v kuzi K1, druhyj — rozvynennq funkci]
1
2 1( )+ z
v rqd za stepenqmy z r+ 0 , qkyj zbiha[t\sq v kruzi K–1. Oçevydno,
oblast\ zbiΩnosti sumy cyx rqdiv [ oblastg zbiΩnosti peretvorennq Ejlera vy-
xidnoho rqdu funkci].
2. Peretvorennq Ejlera zi zminnymy parametramy. Peretvorennq Ejle-
ra (3) rqdu (2) takoΩ ma[ sens, qkwo z0 = ϕ( )z — funkciq zminno] z. Rozhlqne-
mo vypadok linijno] funkci]
z0 = qz, (11)
de q = q1 + q2i.
Pidstavyvßy vyraz (11) u formulu (3), zapyßemo peretvorennq Ejlera rqdu
(1) z uraxuvannqm formuly (2) u vyhlqdi rqdu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
OBLAST| ZBIÛNOSTI PERETVORENNQ EJLERA STEPENEVOHO RQDU … 1149
E f z qz( );{ } =
n k
n
n
k
k
n k n
nC a q
z
qz=
∞
=
+∑ ∑
+0 0
11
–
( )
, (12)
wo [ rozvynennqm funkci] f z( ) za systemog N zn( )
=
z
qz
n
n
n( )1 1
0+
+
=
∞
.
Oblast\ zbiΩnosti rqdu (12) oderΩymo z nerivnosti (4) z uraxuvannqm for-
muly (11):
D t q z
t L
2 : max
∈
+ < 1 + qz . (13)
Qkwo vvesty poznaçennq
k = max
t L
t q
∈
+ , (14)
to nerivnist\ (13) moΩna zapysaty u vyhlqdi
k q x y2 2 2 2–( ) +( ) – 2 1q x + 2 2q y – 1 < 0
abo
z
q
k q
–
–2 2 < k
k q2 2–
(15)
za umovy k > q , de q 2 = q1
2 + q2
2
. Qkwo k = q , to nerivnist\ (13) nabere
vyhlqdu
–2 1q x + 2 2q y – 1 < 0. (16)
Zaznaçymo takoΩ, wo nerivnist\ k ≥ q zavΩdy vykonu[t\sq, oskil\ky poça-
tok koordynat leΩyt\ u zamknenij oblasti z hranyceg L.
OtΩe, oblast\ zbiΩnosti peretvorennq (12) [ kruhom (15), qkwo k > q , i
pivplowynog (16), qkwo k = q .
Teorema 3. Peretvorennq Ejlera (12) zbiΩnoho v kruzi K : z < 1, K � D ,
stepenevoho rqdu (2) analityçno] v oblasti D funkci] f z( ) [ analityçnog
funkci[g v oblasti D2 � D.
Dovedennq. Analityçnist\ peretvorennq (12) vyplyva[ z umovy rivnosti pe-
retvorennq Ejlera rqdu poxidno] vid funkci] f z( ) i poxidno] vid peretvorennq
ci[] funkci]. Dlq poxidno] vid funkci] f z( ) ma[mo stepenevyj rqd
dS z
dz
( ) =
=
k
k=
∞∑ +
0
1( ) a zk
k
+1 i joho peretvorennq Ejlera
E
df z
dz
qz
( )
;{ } =
n k
n
n
k
k
n k
nC k a q N z
=
∞
=
+∑ ∑ +
0 0
11( ) ( )–
.
Dyferenciggçy poçlenno rqd (12), oderΩu[mo
d
dz
E f z( ){ ; qz} =
=
n k
n
n
k
k
n kC a q=
∞
=∑ ∑( )0 0
– d
dz
N zn( ), abo, vraxovugçy formuly
d
dz
N0 = –qN0 +
+ q N2
1,
d
dz
Nn = nNn –1 – ( )2 1n + qNn + ( )n + 1 q Nn
2
1+ , n ≥ 1 , i hrupugçy koefi-
ci[nty pry funkciqx N zn( ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1150 M. A. SUXOROL|S|KYJ
d
dz
E f z qz( );{ } =
n k
n
n
k
n
k
n
k
k
n k
nnC n C n C a q N z
=
∞
=
+
+∑ ∑ + + +[ ]
0 0
1 1
12 1 1–
–– ( ) ( ) ( ) =
=
n k
n
n
k
k
n k
nk C a q N z
=
∞
=
+
+∑ ∑
0 0
1
1 1– – ( ) =
n k
n
n
k
k
n k
nC k a q N z
=
∞
=
+∑ ∑ +
0 0
11( ) ( )– .
OtΩe, ma[ misce rivnist\
d
dz
E f z( ){ ; qz} = E
df z
dz
qz
( )
;{ } . Oskil\ky peretvorennq
Ejlera funkci] E
df z
dz
qz
( )
;{ } zbiha[t\sq v oblasti D2, peretvorennq (12) [ ana-
lityçnog funkci[g v cij oblasti.
Teoremu dovedeno.
Teorema 4. Nexaj odnoznaçna j analityçna funkciq f z( ) zada[t\sq zbiΩ-
nym v odynyçnomu kruzi K rqdom (2), ma[ na hranyci Γ
0
c\oho kruha osoblyvu
toçku z0 = eiϕ0
, a vsi inßi ]] osoblyvi toçky leΩat\ na koli abo poza nym, Γ :
z + r ei
0
0ϕ = 1 + r0, 0 ≤ r0 < ∞.
Todi peretvorennq Ejlera (12) zbiha[t\sq: a) u kruzi
z
m r
m
ei+ +
+
( )2 1
2 1
0 0ϕ <
( )( )m r
m
+ +
+
1 2 1
2 1
0 , (17)
qkwo parametr q = – m
r1 2 0+
e i– ϕ0
, r0 ≤ m < ∞; b) u pivplowyni
x cosϕ0 + y sinϕ0 < 1, (18)
qkwo kolo Γ vyrodΩu[t\sq (pry r0 → ∞) v prqmu x cosϕ0 + y sinϕ0 = 1 i
q = – –1
2
0e iϕ
; v) u kruzi
z
q
q
+
+2 1
<
q
q
+
+
1
2 1
, (19)
qkwo Γ — odynyçne kolo z centrom u poçatku koordynat ( r0 = 0) i q — do-
vil\ne kompleksne çyslo.
Dovedennq. Obraz oblasti, wo leΩyt\ zovni kola Γ, pry inversi] z = 1
t
vidobrazyt\sq u kruh z hranyceg
L t
r
r
ei
0
0
01 2
0: –
+
ϕ =
1
1 2
0
0
+
+
r
r
. (20)
Nexaj L : t –
r
r
ei0
01 2
0
+
ϕ =
1
1 2
0
0
+
+
r
r
+ ε, de ε > 0 — dostatn\o male çyslo.
Maksymal\ne znaçennq velyçyny t q− u rivnqnni (13), qkwo q = – –q e i
0
0ϕ
,
0 ≤ q0 < ∞, dosqha[t\sq v toçci t = – 1
2 10r +
+ ε
eiϕ0
i tomu za formulog (14)
ma[mo k = 1
2 10r +
+ q0 + ε. Todi za formulog (15) oderΩu[mo nerivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
OBLAST| ZBIÛNOSTI PERETVORENNQ EJLERA STEPENEVOHO RQDU … 1151
z
q r e
q r
i
+ +( )
+ +( )
ε
ϕ
ε
2 1
1 2 2 1
0
2
0
0
<
1 2 1 2 1
1 2 2 1
0 0
0
+ +( )[ ] +( )
+ +( )
r q r
q r
ε
ε
, qε = q0 + ε. (21)
Zvidsy, za umovy, wo ε — dostatn\o male çyslo, poznaçagçy q0 = m
r2 10 +
, otry-
mu[mo nerivnist\ (17).
Rozhlqnemo vypadok b), koly kolo Γ vyrodΩu[t\sq u prqmu x cosϕ0 +
+ y sinϕ0 = 1. Todi obrazom ci[] prqmo] pry inversi] vidnosno odynyçnoho kola
bude kolo L 0 : t – 1
2
0eiϕ = 1
2
abo u polqrnij systemi koordynat ρ = cos(ψ –
– ϕ0) , ϕ0 – π
2
< ψ ≤ ϕ0 + π
2
. Qkwo vybraty kolo L : t – 1
2
0eiϕ = 1
2
+ ε i pa-
rametr q = – –1
2
0e iϕ
u formuli (13), to oderΩymo k = max
t L
t q
∈
+ = max
t L
t q
∈
+ =
= max
t L
t
∈
– 1
2
0eiϕ = 1
2
+ ε i, vidpovidno, q 2 – k2 = ε ε( )1 + . Pry zmenßenni çys-
la ε radius kruha (15) zbil\ßu[t\sq proporcijno ε–1
i tomu oblast\ zbiΩnosti
peretvorennq moΩna zapysaty u vyhlqdi x cosϕ0 + y sinϕ0 < 1.
Oblast\ zbiΩnosti peretvorennq Ejlera (12) dlq vypadku, koly r0 = 0, a q
— dovil\ne kompleksne çyslo, oderΩymo z formuly (21) pry r0 = 0 i q =
= q eiϕ0
. Tut ϕ0 — dovil\nyj kut, oskil\ky pry r0 kolo Γ zbiha[t\sq z ody-
nyçnym kolom i po suti osoblyvog moΩe buty bud\-qka toçka c\oho kola. Pid-
stavyvßy znaçennq cyx velyçyn u formulu (20), oderΩymo formulu (19).
Teorema 5. Nexaj funkciq f z( ), odnoznaçna j analityçna u kompleksnij
plowyni z vyrizanym promenem z ≥ 1, arg z = ϕ0 , zada[t\sq zbiΩnym v ody-
nyçnomu kruzi K rqdom (2). Todi peretvorennq Ejlera (12) [ analityçnog
funkci[g u koΩnij skinçennij toçci pivplowyny –2 1q x + 2 2q y – 1 < 0, qkwo
til\ky q1 0cosϕ – q2 0sinϕ = –1
2
.
Dovedennq. Obrazom pry inversi] z = 1
t
promenq z ≥ 1, arg z = ϕ0, u
kompleksnij plowyni [ vidrizok 0 ≤ t ≤ 1, arg t = ϕ0 . Zamknenu linig L u
formulax (13) i (14) vyberemo tak, wo toçka t = ρ ψei
, probihagçy po nyΩn\omu
ta verxn\omu „berehax” vidrizka, zming[ polqrnyj radius vidpovidno vid nulq do
1 + ε i navpaky, a kut ψ = ϕ0 . Todi qkwo toçka q = q1 + i q2 spravdΩu[ umovu
q1 0cosϕ – q2 0sinϕ = –1
2
(leΩyt\ na vidpovidnij prqmij), to k – q =
= max
t L
t q
∈
+ – q = ε i rivnqnnq (15) zapyßemo u vyhlqdi A x yε 2 2+( ) – 2 1q x +
+ 2 2q y – 1 < 0. Oskil\ky velyçynu ε moΩna vybraty qk zavhodno malog, moΩe-
mo stverdΩuvaty, wo peretvorennq Ejlera (12) rqdu funkci] f z( ) zbiha[t\sq v
bud\-qkij skinçennij toçci pivplowyny –2 1q x + 2 2q y – 1 < 0, qkwo q1 i q 2
spravdΩugt\ umovu q1 0cosϕ – q2 0sinϕ = –1
2
.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
1152 M. A. SUXOROL|S|KYJ
Pryklad 3. Znajdemo oblast\ zbiΩnosti peretvorennq Ejlera stepenevoho
rqdu
n
nn z=
∞∑ +
0
1( ) funkci] f z( ) = 1
1 2( – )z
, wo ma[ odnu osoblyvu toçku z =
= 1. Klasyçna suma c\oho rqdu S z( ) = f z( ), qkwo z < 1. Znajdemo peretvo-
rennq Ejlera stepenevoho rqdu ci[] funkci] za formulog (12): E f z( ){ ; qz} =
=
n k
n
n
k n kC k q=
∞
=∑ ∑ +( )0 0
1( ) – z
qz
n
n( )1 1+ + . Pidsumuvavßy vnutrißng sumu u cij
formuli, oderΩymo
E f z qz( );{ } =
n
n
n
nn q q z
qz=
∞
+∑ + + +
+0
1
11 1
1
( )( )
( )
–
, (22)
de q = q1 + i q2.
Dlq vidßukannq oblasti zbiΩnosti peretvorennq moΩna zastosuvaty teore-
mu55, oskil\ky funkciq f z( ) ma[ osoblyvu toçku z = 1 i analityçna u plowyni
z vyrizanym promenem 1 ≤ z < ∞, arg z = 0. Todi dlq q = –1
2
+ i q2, de q2 —
dovil\ne dijsne çyslo, peretvorennq (22) zbiha[t\sq u pivplowyni x + 2 2q y – 1 <
< 0, zokrema qkwo q2 = 0, to E f z( ){ ; – z
2} = 2
2 1
2 10 1n
n
n
n z
=
∞
+∑ +( )
( – )
i E f z( ){ ; – z
2} =
= f z( ) u pivplowyni Re z < 1.
Vysnovky. Peretvorennq Ejlera stepenevoho rqdu analityçno] funkci] [ po
suti ]] rozvynennqm v rqdy za systemamy biortohonal\nyx funkcij. Zastosuvan-
nq peretvorennq do poslidovnostej rozvyneno v roboti [5]. Oblast\ zbiΩnosti
peretvorennq — ne kruhova oblast\, i ]] forma zaleΩyt\ vid znaçen\ parametriv
peretvorennq ta xarakteru osoblyvyx toçok funkci]. Peretvorennq iz stalym
parametrom vykorystano u robotax [2, 3] dlq nablyΩennq analityçnyx funkcij
poslidovnostqmy çastynnyx sum rqdiv za systemog polinomiv P zn n( ){ } =
∞
0 , zobra-
Ωennq rozv’qzkiv krajovyx zadaç dlq rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy zi zminny-
my koefici[ntamy ta uzahal\nenoho pidsumovuvannq stepenevyx rqdiv. Druhyj
variant peretvorennq (iz zminnym parametrom) [ rozvynennqm analityçno] fun-
kci] za systemog funkcij N zn n( ){ } =
∞
0, i joho vykorystano u roboti [4] dlq vid-
ßukannq uzahal\nenyx sum çyslovyx rqdiv. Lehko perekonatysq [1], vyxodqçy z
formuly (12), wo systema funkcij ωk z( )
=
( )1
1
0
+
+
∞
qz
z
k
k [ biortohonal\nog z
systemog funkcij N zn n( ){ } =
∞
0 na zamknenomu konturi, wo oxoplg[ poçatok
koordynat.
1. Markußevyç A. Y. Yzbrann¥e hlav¥ teoryj analytyçeskyx funkcyj. – M.: Nauka, 1976 –
192 s.
2. Suxorol\s\kyj M. A. Rozvynennq analityçnyx funkcij za systemamy polinomiv typu Melli-
na // Visn. un-tu „L\viv. politexnika”. Ser. fiz.-mat. nauky. – 2005. – # 346. – S. 111 – 115.
3. Suxorol\s\kyj M. A. Pidsumovuvannq rozbiΩnyx stepenevyx rqdiv // VIII miΩn. konf., prys-
vqçena pam’qti akad. M. P. Kravçuka (11 – 14 travnq 2000 r., Ky]v): Materialy konf. – Ky]v:
AT „VIPOL”, 2000. – S. 369.
4. Fyxtenhol\c H. M. Kurs dyfferencyal\noho y yntehral\noho ysçyslenyq: V 2 t. – M.:
Nauka, 1969. – T. 2. – 800 s.
5. Altay B., Basar F. Some Euler sequence space of nonabsolute type // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. –
57, # 1. – S. 3 – 17.
OderΩano 15.05.06,
pislq doopracgvannq — 02.03.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3232 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:39Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/bb3b96ebdbbbd499a7d1da74bce3db6b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32322020-03-18T19:48:39Z Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function Область збіжності перетворення Ейлера степеневого ряду аналітичної функції Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. We consider the Euler transform of the power series of an analytic function playing the role of its expansion in a series in a system of polynomials and study the domain of convergence of the transform depending on the parameter of transformation and the character of singular points of the function. It is shown that the transform extends the function beyond the boundaries of the disk of convergence of its series on the interval of the boundary located between two singular points of the function. In particular, it is established that the power series of the function whose singular points are located on a single ray is summed by the transformation in the half plane. Рассмотрено преобразование Эйлера степенного ряда аналитической функции, являющегося ее разложением в ряд по системе полиномов. Исследована область сходимости преобразования в зависимости от параметра преобразования и характера особых точек функции. Показано, что преобразование продолжает функцию за пределы круга сходимости ее ряда на отрезке границы между двумя особыми точками функции. В частности, установлено, что степенной ряд функции, особые точки которой находятся на одном луче, суммируется преобразованием в полуплоскости. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3232 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 8 (2008); 1144–1152 Український математичний журнал; Том 60 № 8 (2008); 1144–1152 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3232/3210 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3232/3211 Copyright (c) 2008 Sukhorolskyi M. A. |
| spellingShingle | Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function |
| title | Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function |
| title_alt | Область збіжності перетворення Ейлера степеневого ряду аналітичної функції |
| title_full | Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function |
| title_fullStr | Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function |
| title_full_unstemmed | Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function |
| title_short | Domain of convergence of the Euler transform for the power series of an analytic function |
| title_sort | domain of convergence of the euler transform for the power series of an analytic function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3232 |
| work_keys_str_mv | AT sukhorolskyima domainofconvergenceoftheeulertransformforthepowerseriesofananalyticfunction AT suhorolʹsʹkijma domainofconvergenceoftheeulertransformforthepowerseriesofananalyticfunction AT sukhorolskyima oblastʹzbížnostíperetvorennâejlerastepenevogorâduanalítičnoífunkcíí AT suhorolʹsʹkijma oblastʹzbížnostíperetvorennâejlerastepenevogorâduanalítičnoífunkcíí |