Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph
We study the inverse problem for the Strum-Liouville equation on a graph that consists of two quasione-dimensional loops of the same length having a common vertex. As spectral data, we consider the set of eigenvalues of the entire system together with the sets of eigenvalues of two Dirichlet problem...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3235 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509286907510784 |
|---|---|
| author | Gomilko, A. M. Pivovarchik, V. N. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. |
| author_facet | Gomilko, A. M. Pivovarchik, V. N. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. |
| author_sort | Gomilko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:57Z |
| description | We study the inverse problem for the Strum-Liouville equation on a graph that consists of two quasione-dimensional loops of the same length having a common vertex. As spectral data, we consider the set of eigenvalues of the entire system together with the sets of eigenvalues of two Dirichlet problems for the Sturm-Liouville equations with the condition of total reflection at the vertex of the graph. We obtain conditions for three sequences of real numbers that enable one to reconstruct a pair of real potentials from L 2 corresponding to each loop. We give an algorithm for the construction of the entire set of potentials corresponding to this triple of spectra. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.942
A. M. Homylko (Yn-t hydromexanyky NAN Ukrayn¥, Kyev),
V. N. Pyvovarçyk (GΩno-ukr. ped. un-t, Odessa)
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ
NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY
∗∗∗∗
The inverse problem for the Sturm – Liouville equation is studied on a graph consisting of two quasi-
one-dimensional loops of the same length connected at a vertex. As spectral data, we consider the set of
eigenvalues of the entire system together with the sets of eigenvalues of two Dirichlet problems for the
Sturm – Liouville equations obtained by imposing the condition of total reflection at the vertex of the
graph. We obtain conditions for three sequences of real numbers that enable one to reconstruct the pair
of real-valued potentials from L2 corresponding to each loop. An algorithm for the construction of the
entire set of potentials corresponding to this triple of spectra is presented.
Vyvça[t\sq obernena zadaça dlq rivnqnnq Íturma – Liuvillq na hrafi, wo sklada[t\sq z dvox
kvaziodnovymirnyx petel\ odnakovo] dovΩyny, qki magt\ spil\nu verßynu. V qkosti spektral\-
nyx danyx rozhlqda[t\sq mnoΩyna vlasnyx znaçen\ usi[] systemy razom z mnoΩynamy vlasnyx
znaçen\ dvox zadaç Dirixle dlq rivnqn\ Íturma – Liuvillq, wo otrymugt\sq, qkwo u verßyni
hrafa vzqty umovy povnoho vidbyttq. OderΩano umovy na try poslidovnosti dijsnyx çysel, wo
dozvolqgt\ vidnovyty paru vidpovidnyx koΩnij petli dijsnyx potencialiv iz L2 . Navedeno al-
horytm pobudovy vsi[] mnoΩyny potencialiv, wo vidpovidagt\ danij trijci spektriv.
1. Vvedenye. V poslednee vremq suwestvenno vozroslo kolyçestvo publyka-
cyj, posvqwenn¥x prqm¥m spektral\n¥m zadaçam Íturma – Lyuvyllq na kva-
zyodnomern¥x hrafax (sm., naprymer, [1 – 9]). Obratn¥e spektral\n¥e zadaçy
Íturma – Lyuvyllq na hrafax rassmatryvagtsq v dvux postanovkax. V pervoj
postanovke sçytaetsq, çto potencyal¥ uravnenyj Íturma – Lyuvyllq toΩ-
destvenno ravn¥ nulg, y trebuetsq opredelyt\ formu hrafa (sm. [10 – 12] y
pryvedennug tam byblyohrafyg). Vo vtoroj postanovke, k kotoroj otnosytsq
y dannaq stat\q, forma hrafa predpolahaetsq zadannoj y trebuetsq najty po-
tencyal¥ na rebrax hrafa [13 – 16]. Dlq sluçaq petleobraznoho nekompaktno-
ho hrafa v rabote [13] pryveden alhorytm naxoΩdenyq potencyala, a v [14] naj-
den¥ dostatoçn¥e (blyzkye k neobxodym¥m) uslovyq na funkcyg opredelenno-
ho klassa dlq toho, çtob¥ ona b¥la S -funkcyej.
Otmetym, çto rassmatryvaemaq spektral\naq kraevaq zadaça na hrafe qvlq-
etsq çastn¥m sluçaem spektral\noj vektornoj kraevoj zadaçy. Nekotor¥e va-
ryant¥ vektornoj obratnoj zadaçy rassmatryvalys\ v rabotax [17, 18], odnako
rezul\tat¥ nastoqwej rabot¥ ne qvlqgtsq yx çastn¥m sluçaem.
Postanovka rassmatryvaemoj dalee obratnoj spektral\noj zadaçy svqzana s
rabotoj [8], hde yssleduetsq dvyΩenye kvantovoj çastyc¥ na dvumernoj peryo-
dyçeskoj prqmouhol\noj reßetke. Esly rassmatryvat\ sootvetstvugwug zada-
çu na odnom peryode po kaΩdoj yz osej, t. e. na krestoobraznoj oblasty (zvezdo-
obrazn¥j hraf), a na koncax peryodov (t. e. na koncax luçej hrafa) naloΩyt\
uslovyq sßyvanyq, to poluçym kraevug zadaçu Íturma – Lyuvyllq sledugwe-
ho vyda:
′′ + −y x q x y xj j j( ) ( ( )) ( )λ2 = 0, x a∈( , )0 , j = 1, 2, (1.1)
y1 0( ) = y a1( ) = y2 0( ) = y a2( ) , (1.2)
′ − ′ + ′ − ′y y a y y a1 1 2 20 0( ) ( ) ( ) ( ) = 0, (1.3)
hde q xj( ) , j = 1, 2, — vewestvenn¥e funkcyy, prynadleΩawye prostranstvu
L a2 0( , ). Yz uslovyj sßyvanyq (1.2), (1.3) pervoe oznaçaet neprer¥vnost\ plot-
∗
V¥polnena pry podderΩke Fonda hraΩdanskyx yssledovanyj y razvytyq SÍA (CRDF) y My-
nysterstva prosvewenyq y nauky Ukrayn¥ (hrant UK2-2811-OD-06).
© A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK, 2008
1168 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1169
nosty veroqtnosty naxoΩdenyq kvantovoj çastyc¥ v dannoj toçke, a vtoroe qv-
lqetsq sledstvyem zakona Kyrxhofa. Takaq kraevaq zadaça voznykaet takΩe
pry rassmotrenyy dvyΩenyq kvantovoj çastyc¥ v kvazyodnomernom volnovode,
ymegwem formu vos\merky.
V dannoj rabote yssleduetsq obratnaq spektral\naq zadaça (1.1) – (1.3), pry
πtom v kaçestve spektral\n¥x dann¥x rassmatryvaetsq mnoΩestvo sobstvenn¥x
znaçenyj vsej system¥ vmeste s mnoΩestvamy sobstvenn¥x znaçenyj dvux zadaç
Dyryxle
′′ + −y x q x y xj j j( ) ( ( )) ( )λ2 = 0, x ∈ ( 0, a ) ,
(1.4)
yj( )0 = y aj( ) = 0, j = 1, 2,
poluçaem¥x, esly v verßyne hrafa vzqt\ uslovyq polnoho otraΩenyq. V stat\e
poluçen¥ uslovyq na try posledovatel\nosty vewestvenn¥x çysel, po kotor¥m
vosstanavlyvagtsq vewestvenn¥e potencyal¥ q1, q2 yz L a2 0( , ) , tak çto odna
yz posledovatel\nostej opys¥vaet spektr zadaçy (1.1) – (1.3), a dve druhye sov-
padagt s posledovatel\nostqmy sobstvenn¥x znaçenyj zadaç (1.4) pry j = 1, 2.
Pryveden alhorytm postroenyq vseho mnoΩestva potencyalov, sootvetstvug-
wyx dannoj trojke posledovatel\nostej.
Osnovnaq ydeq reßenyq obratnoj zadaçy dlq rassmatryvaemoj system¥ so-
stoyt v ee svedenyy k dvum nezavysym¥m zadaçam vosstanovlenyq potencyalov
qj , j = 1, 2, po dvum spektram — k spektru zadaçy Dyryxle (1.4) y spektru kra-
evoj zadaçy Dyryxle – Nejmana
′′ + −y x q x y xj j j( ) ( ( )) ( )λ2 = 0, x ∈ ( 0, a ) ,
(1.5)
yj( )0 = ′y aj( ) = 0, j = 1, 2.
Poskol\ku reßenye takoho roda obratnoj zadaçy yzvestno [19] (hl.M3, §M4), ta-
koe svedenye pozvolqet dat\ alhorytm vosstanovlenyq potencyalov kraev¥x za-
daç (1.1) – (1.3) y (1.4) dlq j = 1, 2.
Otmetym, çto kraevaq zadaça (1.1) – (1.3) dopuskaet estestvennug operator-
nug traktovku. Opredelym v hyl\bertovom prostranstve H = L a2 0( , ) �
� L a2 0( , ) so standartn¥m skalqrn¥m proyzvedenyem ( , )⋅ ⋅ H lynejn¥j samoso-
prqΩenn¥j y poluohranyçenn¥j snyzu operator A :
A
y x
y x
1
2
( )
( )
=
− ′′ +
− ′′ +
y x q x y x
y x q x y x
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s oblast\g opredelenyq
D A( ) =
y x
y x
y x W a j
y y a y y a
y y a y y a
1
2
1 2
2
1 1 2 2
1 1 2 2
0 1 2
0 0
0 0 0
( )
( )
:
( ) ( , ), ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∈ =
= = =
′ − ′ + ′ − ′ =
,
hde W a2
2 0( , ) — prostranstvo Soboleva. Pry πtom operator A ymeet dyskret-
n¥j spektr y eho sobstvenn¥e znaçenyq sovpadagt s kvadratamy sobstvenn¥x
znaçenyj kraevoj zadaçy (1.1) – (1.3). Krome toho, yntehryruq po çastqm, dlq
lgboj vektor-funkcyy
�
y = y x y x t
1 2( ), ( ){ } ∈ D ( A ) ( t oznaçaet transponyrova-
nye matryc¥) poluçaem ravenstvo
( ),Ay y H
� �
� ′ + ′ + +[ ]∫ y x y x q x y x q x y x dx
a
1
2
2
2
1 1
2
2 2
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . (1.6)
Takym obrazom, dlq toho çtob¥ vse sobstvenn¥e znaçenyq zadaçy (1.1) – (1.3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1170 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
b¥ly vewestvenn¥my y otlyçn¥my ot nulq, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥
operator A b¥l poloΩytel\n¥m: A > 0. Kak sleduet yz (1.6), prost¥m dosta-
toçn¥m uslovyem poloΩytel\nosty operatora A qvlqetsq uslovye
q xj( ) ≥ ε > 0 (poçty vsgdu), j = 1, 2. (1.7)
S druhoj storon¥, esly A > 0, to, polahaq v ravenstve (1.6) pooçeredno
�
y =
= y x t
1 0( ),{ } ∈ D ( A ),
�
y = 0 2, ( )y x t{ } ∈ D ( A ) , zameçaem, çto tohda y vse sobst-
venn¥e znaçenyq zadaç (1.4) dlq j = 1, 2 takΩe budut vewestvenn¥my y otlyç-
n¥my ot nulq. Pry πtom poloΩytel\nosty operatora A vsehda moΩno dobyt\-
sq s pomow\g sdvyha v (1.1) – (1.3) spektral\noho parametra λ2
→ λ2
– q0 ,
q0 > 0, poπtomu dalee, bez ohranyçenyq obwnosty, budem sçytat\, çto operator
A > 0 y sobstvenn¥e znaçenyq zadaç (1.1) – (1.3) y (1.4) pry j = 1, 2 qvlqgt-
sq nenulev¥my vewestvenn¥my çyslamy.
V p.M2 pryvedeno opysanye svojstv mnoΩestva sobstvenn¥x znaçenyj kraevoj
zadaçy (1.1) – (1.3), a takΩe spektrov svqzann¥x s πtoj systemoj vspomohatel\-
n¥x spektral\n¥x zadaç (1.4) pry j = 1, 2. ∏to opysanye neobxodymo dlq for-
mulyrovky uslovyj na sootvetstvugwye posledovatel\nosty, pozvolqgwye
vosstanovyt\ potencyal¥ q1, q2. V p.M3 dano reßenye obratnoj spektral\noj
zadaçy dlq system¥ (1.1) – (1.3) v otmeçennoj v¥ße postanovke.
Poskol\ku pry yssledovanyy prqm¥x y obratn¥x spektral\n¥x zadaç ßyro-
ko yspol\zugtsq metod¥ teoryy analytyçeskyx funkcyj, pryvedem nekotor¥e
opredelenyq y oboznaçenyq, neobxodym¥e dlq dal\nejßeho yzloΩenyq.
Napomnym, çto celug funkcyg f ( λ ) naz¥vagt funkcyej koneçnoho porqd-
ka ρ, esly v¥polnqetsq sootnoßenye
lim
ln ln ( )
lnr
fM r
r→∞
= ρ, M rf ( ) = max ( )
λ
λ
=r
f .
Pry πtom f ( )λ naz¥vaetsq celoj funkcyej πksponencyal\noho typa σ > 0,
esly ona ymeet porqdok ρ = 1 y v¥polnqetsq ravenstvo
lim
ln ( )
r
fM r
r→∞
= σ .
Celaq funkcyq πksponencyal\noho typa f ( )λ naz¥vaetsq funkcyej typa sy-
nusa, esly ona udovletvorqet uslovyqm: 1) korny f ( )λ raspoloΩen¥ v neko-
toroj horyzontal\noj polose Im λk < h ; 2) pry nekotorom znaçenyy h1 v¥-
polnqgtsq neravenstva 0 < m ≤ f ( )λ ≤ M < ∞ , Im λ = h1 ; 3) spravedlyvo
ravenstvo
lim ln ( )
r
f ir
r→∞
= lim ln ( )
r
f ir
r→∞
− .
Çerez Ld , d > 0, oboznaçym klass cel¥x funkcyj ψ λ( ) πksponencyal\-
noho typa σ ≤ d, prynadleΩawyx na vewestvennoj osy prostranstvu L2 . So-
hlasno teoreme Pπly – Vynera klass Ld
sovpadaet s mnoΩestvom preobrazova-
nyj Fur\e funkcyj yz L d d2( , )− . Pry πtom systematyçesky budem yspol\zo-
vat\ sledugwee prostoe utverΩdenye (sledstvye teorem¥ Pπly – Vynera y
ravenstva Parsevalq dlq preobrazovanyq Fur\e): esly funkcyq ψ λ1( ) pry-
nadleΩyt klassu La1
, a funkcyq ψ λ2( ) — klassu La2
, to yx proyzvedenye
prynadleΩyt La a1 2+ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1171
Dlq funkcyy dvux peremenn¥x x y λ ßtryx oznaçaet dyfferencyrovanye
po peremennoj x , a esly funkcyq zavysyt ot odnoj peremennoj, to ßtryx obo-
znaçaet dyfferencyrovanye po πtoj peremennoj. Krome toho, dlq çastn¥x
proyzvodn¥x ot funkcyy dvux peremenn¥x F = F ( x, t) budem yspol\zovat\
oboznaçenyq ′F x tx( , ) = ∂ ∂F x t x( , ) / , ′F x tt ( , ) = ∂ ∂F x t t( , ) / .
2. Prqm¥e spektral\n¥e zadaçy. V dannom punkte daetsq neobxodymoe
dlq dal\nejßeho opysanye svojstv posledovatel\nostej sobstvenn¥x znaçenyj
kraev¥x zadaç (1.1) – (1.3) y (1.4).
Pust\ vewestvennaq funkcyq q x( ) prynadleΩyt L a2 0( , ). Oboznaçym çe-
rez s x( , )λ , c x( , )λ fundamental\nug systemu reßenyj uravnenyq Íturma –
Lyuvyllq
′′ + −y x q x y x( ) ( ( )) ( )λ2 = 0, x a∈( , )0 , (2.1)
udovletvorqgwyx naçal\n¥m uslovyqm
s( , )λ 0 = ′ −s ( , )λ 0 1 = 0, c( , )λ 0 1− = ′c ( , )λ 0 = 0.
Teorema02.1 (sledstvye teorem¥M1.2.1 yz [19]). Dlq reßenyj s x( , )λ , c x( , )λ
uravnenyq (2.1) spravedlyv¥ yntehral\n¥e predstavlenyq
s x( , )λ = sin ( , ) sinλ
λ
λ
λ
x A x t t dt
x
+ ∫
0
, (2.2)
c x( , )λ = cos ( , ) cosλ λx B x t t dt
x
+ ∫
0
, (2.3)
hde qdra
A x t( , ) = K x t K x t( , ) ( , )− − , B x t( , ) = K x t K x t( , ) ( , )+ − , (2.4)
y K x t( , ) — edynstvennoe neprer¥vnoe reßenye yntehral\noho uravnenyq
K x t( , ) = 1
2
0
2
0
2
0
2
q s ds q s K s s d ds
x t x t x t
( ) ( ) ( , )
( )/ ( )/ ( )/+ + −
∫ ∫ ∫+ + + −τ τ τ τ , (2.5)
pryçem K x t( , ) ≡ 0 pry t x> y
A x( , )0 ≡ 0, K x x( , ) = A x x( , ) = B x x( , ) = 1
2
0
q s ds
x
( )∫ .
Zameçanye02.1. V teoremeM1.2.1 yz [19] predpolahaetsq v¥polnenn¥m uslo-
vye neprer¥vnosty potencyala q C a∈ [ , ]0 . TeoremaM2.1 neposredstvenno sledu-
et yz analyza provedennoho v [19] dokazatel\stva.
Yspol\zuq oboznaçenye
A : = A a a( , ) = 1
2
0
q x dx
a
( )∫ ,
na osnovanyy teorem¥M2.1 poluçaem sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye02.1. Spravedlyv¥ predstavlenyq
s a( , )λ = sin cos ( )λ
λ
λ
λ
ψ λ
λ
a A a− +2
1
2 , (2.6)
′s a( , )λ = cos sin ( )λ λ
λ
ψ λ
λ
a A a+ + 2 , (2.7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1172 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
c a( , )λ = cos sin ( )λ λ
λ
ψ λ
λ
a A a+ + 3 , (2.8)
c a s a( , ) ( , )λ λ+ ′ = 2 2
2
2
4
2cos sin cos ( )λ λ
λ
λ
λ
ψ λ
λ
a A a A a+ − + , (2.9)
hde cel¥e funkcyy ψ j prynadleΩat klassu La
, j = 1, 2, 3, 4.
Dokazatel\stvo. Predstavlenyq (2.6), (2.8) poluçagtsq neposredstvenno
yz (2.2), (2.3) posle yntehryrovanyq po çastqm, pryçem funkcyy
ψ λ1( ) = ′∫ A a t t dtt
a
( , )cosλ
0
, ψ λ3( ) = – ′∫ B a t t dtt
a
( , )sin λ
0
. (2.10)
Suwestvovanye çastn¥x proyzvodn¥x ′ ∈A a t L at( , ) ( , )2 0 , ′ ∈B a t L at( , ) ( , )2 0 sle-
duet yz (2.4), (2.5). Pry dyfferencyrovanyy ravenstva (2.2) po x poluçaem
sootnoßenye (2.5) s funkcyej
ψ λ2( ) = ′∫ A a t t dtx
a
( , )sin λ
0
∈ La
, ′ ∈A a t L ax ( , ) ( , )2 0 . (2.11)
Dlq dokazatel\stva (2.9) sleduet ustanovyt\ predstavlenye
ψ λ ψ λ2 3( ) ( )+ = – A a2 4cos ( )λ
λ
ψ λ
λ
+ , (2.12)
hde ψ4 ∈La . Sohlasno (2.10), (2.11), (2.4) y (2.5) ymeem ravenstvo
ψ λ ψ λ2 3( ) ( )+ = L t t dt
a
( )sin λ
0
∫ , (2.13)
hde qdro
L t( ) : = ′ − ′A a t B a tx t( , ) ( , ) =
= q K a t d q K a t d
a t
a
a t
a
( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))
( )/ ( )/
β β β β β β β β− − − − +
− +
∫ ∫
2 2
.
Otsgda v sylu uslovyq q L a∈ 2 0( , ) y sootvetstvugwyx svojstv qdra K x t( , )
(sm. (2.5)) zaklgçaem, çto suwestvuet proyzvodnaq
′L t( ) =
1
2 2 2 2 2 2 2
q
a t
K
a t t a
q
a t
K
a t a t−
− −
− +
+ − +
{ }, , +
+ q K a t d q K a t dt
a t
a
t
a t
a
( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))
( )/ ( )/
β β β β β β β β′ − − + ′ − +
− +
∫ ∫
2 2
∈ L a2 0( , ).
Tohda, yntehryruq v (2.13) po çastqm, poluçaem
ψ λ ψ λ2 3( ) ( )+ = –
cos ( ) ( , ) ( )cosλ
λ
β β β β
λ
λa q K d L t t dt
a a
0 0
1∫ ∫+ ′ . (2.14)
Pry πtom postoqnnaq (sm. (2.5))
q K d
a
( ) ( , )β β β α
0
∫ = 1
2
0 0
q q s ds d
a
( ) ( )β β
β
∫ ∫ = 1
4
0
2
q t dt
a
( )∫
= A2 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1173
Otsgda y yz (2.14) s uçetom vklgçenyq ′ ∈L t L a( ) ( , )2 0 poluçaem predstavle-
nyeMM(2.12).
Sledstvye dokazano.
Sledstvye02.2 [19] ( hl.M1, § 5 ) . Dlq sobstvenn¥x znaçenyj νk , k = ± 1,
± 2, … , ν−k = – νk , zadaçy Dyryxle
′′ + −y x q x y x( ) ( ( )) ( )λ2 = 0, x a∈( , )0 , y( )0 = y a( ) = 0, (2.15)
pry sootvetstvugwej numeracyy spravedlyva asymptotyçeskaq formula
νk = π
π
βk
a
A a a
k k
k+ +( , ) , k = 1, 2, … , (2.16)
hde posledovatel\nost\ { }βk k=
∞
1 prynadleΩyt l2 .
Sledstvye02.3. Spravedlyvo vklgçenye
k s a c ak k
k
k
2
1
2 1′ + − −( ){ } =
∞
( , ) ( , ) ( )ν ν ∈ l1.
Dokazatel\stvo. PreΩde vseho yz toΩdestva c a s a( , ) ( , )λ λ′ M–M ′c a( , )λ M×
×M s a( , )λ = 1 poluçaem c a s ak k( , ) ( , )ν ν′ = 1, k = 1, 2, … , y, znaçyt, trebuetsq
dokazat\ spravedlyvost\ vklgçenyq
k s a
s ak
k
k
k
2
1
1 2 1′ +
′
− −
=
∞
( , )
( , )
( )ν
ν
∈ l1.
Yspol\zuq v predstavlenyy (2.7) asymptotyçeskug formulu (2.16), poluçaem
ravenstvo (dovol\no prost¥e v¥kladky opuskaem) ′s ak( , )ν = ( ) ( )/− +1 2
k
k kψ ν ν +
+ O k( )−2 , k → ∞ . Otsgda na osnovanyy (2.16) y sootnoßenyq 1 1 1+ + +α α/( ) =
= 2 2+ O( )α , α → 0, ymeem
( ) ( , ) ( , )/− ′ + ′[ ]1 1k
k ks a s aν ν = 2 2
2
2
4+ +
−O kk
k
ψ ν
ν
( )
=
= 2 2
2
2 2+ +( )− −k O kkψ ν( ) , k → ∞ .
Pry πtom, poskol\ku funkcyq ψ2 prynadleΩyt La , a dlq νk spravedlyva
asymptotyçeskaq formula (2.16), posledovatel\nost\ { }( )ψ ν2 k prynadleΩyt
l2 y, znaçyt, { }( )ψ ν2
2
1k l∈ (sm. [19], hl.M1, §M4 ).
Sledstvye dokazano.
Oboznaçym çerez s xj ( , )λ , c xj ( , )λ , j = 1, 2, reßenyq uravnenyj (1.1), udov-
letvorqgwye naçal\n¥m uslovyqm
sj ( , )λ 0 = ′ −sj ( , )λ 0 1 = 0, cj ( , )λ 0 1− = ′cj ( , )λ 0 = 0.
Tohda, esly yskat\ reßenye { }( , ), ( , )y x y x t
1 2λ λ zadaçy (1.1) – (1.3) v vyde
y xj ( , )λ = C s x C c xj j j j1 2( , ) ( , )λ λ+ , j = 1, 2, podstavlqq πty v¥raΩenyq v krae-
v¥e uslovyq (1.2), (1.3), naxodym, çto sobstvenn¥e znaçenyq λ zadaçy (1.1) –
(1.3) qvlqgtsq kornqmy celoj funkcyy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1174 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
φ λ( ) : = –
0 1 0 1
1 0 0
0 0 1
1 1
1 1
2 2
1 1 2 2
−
− −
− −
− ′ − ′ − ′ − ′
s a c a
s a c a
s a c a s a c a
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
λ λ
λ λ
λ λ λ λ
=
= 2 21 1 2 2 2 1− − ′( ) + − − ′( )c a s a s a c a s a s a( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )λ λ λ λ λ λ . (2.17)
V sledugwyx lemme y teoreme budut yspol\zovan¥ oboznaçenyq
Aj = 1
2
0
q x dxj
a
( )∫ , j = 1, 2, A3 =
A A1 2
2
+
, b = a
2
,
hde q x1( ), q x2( ) — potencyal¥ yz uravnenyj (1.1).
Lemma02.1. Pust\ q L aj ∈ 2 0( , ) , j = 1, 2, — vewestvenn¥e funkcyy. Tohda
dlq funkcyy φ λ( ) , zadannoj ravenstvom (2.17), spravedlyvo predstavlenye
φ λ( ) = 16 8 31 3
3
2 2 2 2λ λ λ λ λ λ λ− −− −sin cos sin ( cos sin )b b A b b b +
+ 2 43
1 2 1
2
2
2 2 2λ λ λ λ λ− + + −( ) sin cos (cos sin )A A A A b b b b –
– 2 1 2 3
4 4 2 2
5
1
6
2
7A A A b b bλ λ λ λ ψ λ λ λ ψ λ λ ψ λ− − − −+ + +cos sin sin( ( ) ( ) ( )) , (2.18)
hde ψ5 ∈La , ψ6
3 2∈L / a , ψ7
2∈L a .
Dokazatel\stvo. Podstavym ravenstva (2.6) – (2.8), prymenenn¥e k soot-
vetstvugwym reßenyqm uravnenyj (1.1), v v¥raΩenye (2.17). Tohda posle pros-
t¥x alhebrayçeskyx preobrazovanyj, yspol\zuq πlementarn¥e formul¥
cos λ a = cos sin2 2λ λb b− , sin λ a = 2sin cosλ λb b , b = a
2
,
poluçaem
φ λ( ) = 16 8 31 3
3
2 2 2 2λ λ λ λ λ λ λ− −− −sin cos sin ( cos sin )b b A b b b +
+ 2 43
1 2 1
2
2
2 2 2λ λ λ λ λ− + + −( ) sin cos (cos sin )A A A A b b b b –
– 2 21 2 3
4 4 2 2 4A A A b b b bλ λ λ λ λ− − +( )sin sin cos cos –
– 2 3
4
1
4
2λ λ λ ψ λ ψ λ− +sin cos ( ( ) ( ))( ) ( )b b +
+ λ λ ψ λ ψ λ ψ λ ψ λ− + + +4 2
1 4
2
2 4
1
1
2
1
2
2
2
1
1cos ( ( ) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( )a A A A A –
– λ ψ λ ψ λ ψ λ ψ λ− +4
1
2
4
1
1
1
4
2( ( ) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( ) +
+ 4 42 2
1
1
1
2 3
1 1
2
2 1
1λ λ ψ λ ψ λ λ λ λ ψ λ ψ λ− −+ − +sin sin cos( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( )b b b A A ,
hde yndeks l = 1, 2 u funkcyj ψ j
l a( ) ∈L sootvetstvuet utverΩdenyqm sled-
stvyqMM2.1, prymenennoho k uravnenyg (2.1) s potencyalom q = ql ( x ) . Polahaq
ψ λ5( ) = ψ λ ψ λ1
1
1
2( ) ( )( ) ( )+ ∈La ,
ψ λ6( ) = – 2 2 24
1
4
2
1 1
2
2 1
1 3 2cos ( ( ) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( ) /λ ψ λ ψ λ ψ λ ψ λb A A a+ + + ∈L ,
ψ λ7( ) = – 2 21 2 3
4 2 2A A A b b b( )sin sin cosλ λ λ− +
+ cos ( ( ) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( )λ ψ λ ψ λ ψ λ ψ λa A A A A1 4
2
2 4
1
1
2
1
2
2
2
1
1+ + + –
– ( ( ) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( )ψ λ ψ λ ψ λ ψ λ1
2
4
1
1
1
4
2 2+ ∈L a
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1175
poluçaem ravenstvo (2.18).
Lemma dokazana.
Otmetym, çto neposredstvenno yz (2.18) v¥tekaet sootnoßenye
λ φ λ λ λ λ λ λ λ2 3
3
2 2 2 216 8 3( ) sin cos sin ( cos sin )− + − ∈b b A b b b aL . (2.19)
Ysxodq yz predstavlenyq (2.18), rassmotrym vopros ob asymptotyçeskom po-
vedenyy na beskoneçnosty mnoΩestva kornej çetnoj celoj funkcyy φ λ( ) , ko-
toroe sovpadaet s mnoΩestvom sobstvenn¥x znaçenyj kraevoj zadaçy (1.1) –
(1.3). Oboznaçym πty korny çerez ζk , pryçem, sohlasno pryvedennomu v p.M1 za-
meçanyg, sçytaem, bez ohranyçenyq obwnosty, çto vse çysla ζk vewestvenn¥ y
ne ravn¥ nulg. Dalee ponadobytsq sledugwee opredelenye.
Opredelenye02.1. Numeracyg posledovatel\nosty symmetryçno raspolo-
Ωenn¥x otnosytel\no mnymoj osy kompleksn¥x çysel λk budem naz¥vat\ pra-
vyl\noj, esly (s uçetom kratnosty) v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq: 1) λk =
= – λ−k ( )Reλk ≠ 0 ; 2) Reλk ≤ Reλk+1.
Teorema02.2. Pry uslovyy q L aj ∈ 2 0( , ) mnoΩestvo kornej { }± =
∞ζk k 1 funk-
cyy φ λ( ) moΩno predstavyt\ v vyde obæedynenyq çet¥rex pravyl\no zanume-
rovann¥x posledovatel\nostej { }( )± =
∞ρk k
1
0 y { }( )± =
∞ρk
j
k 1, j = 2, 3, 4, dlq koto-
r¥x pry k ≥ 1 spravedlyv¥ predstavlenyq
ρk
j( ) = 2
2
π
π
βk
a
A
k k
j k
j
+ +
( )
, j = 1, 2, 3, (2.20)
ρk
( )4 = π
π
β( )
( )
( )2 1
2 1
3
4k
a
A
k k
k− +
−
+ , (2.21)
hde pry A A1 2≠ posledovatel\nosty { }( )b lk
j ∈ 2 , j = 1, 2, 3, 4, a pry A A1 2=
posledovatel\nosty { }( )b lk
j ∈ 6 , j = 1, 2, 3, y { }( )b lk
4
2∈ .
Dokazatel\stvo. Dlq ustanovlenyq asymptotyçeskyx formul (2.20), ys-
pol\zovav ravenstvo (2.18), predstavym funkcyg φ λ( ) v vyde
φ λ( ) = φ λ λ φ λs s, ,( ) ( )0
2
1+ − , (2.22)
φ λs, ( )0 = 16 241 3
3
2 2 2λ λ λ λ λ λ− −−sin cos sin cosb b A b b +
+ 2 4 23
1 2 1
2
2
2 2
1 2 3
4 4λ λ λ λ λ λ− −+ + −( ) sin cos cos cosA A A A b b b A A A b,
φ λs, ( )1 = 8 3
4 2
5
1
6
2
7A b b bsin sin sin( ) ( ) ( )λ λ ψ λ λ λ ψ λ λ ψ λ+ + +− − .
Pry πtom moΩno zametyt\, çto funkcyq φ λs, ( )0 dopuskaet predstavlenye
φs,0 = 2 24 4λ λ λ λ− cos ( tan )b F b , (2.23)
hde mnohoçlen
F X( ) = X A X A A A A X A A A3
3
2
1 2 1
2
2
2
1 2 33 1
2
4− + + + −( ) .
Na osnovanyy teorem¥ Vyeta zaklgçaem, çto kubyçeskoe uravnenye
F X( ) = 0 (2.24)
ymeet korny Xj = Aj , j = 1, 2, 3, y tohda, sohlasno (2.23), ymeem ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1176 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
φ λs, ( )0 = 2 21 4 1
1
3
λ λ λ λ− −
=
−∏cos tan( )b b Aj
j
. (2.25)
Dlq dokazatel\stva suwestvovanyq posledovatel\nostej kornej funkcyy
φ λ( ) s asymptotykamy (2.20) dostatoçno pokazat\ suwestvovanye takoj posle-
dovatel\nosty { }r lk ∈ 2 pry A A1 2≠ yly { }r lk ∈ 6 pry A A1 2= , çto pry dosta-
toçno bol\ßyx k vnutry kaΩdoj yz okruΩnostej
λ π
π
− −2
2
k
a
A
k
j =
r
k
k , j = 1, 2, 3, (2.26)
soderΩatsq korny funkcyy φ λ( ) (odyn koren\, esly A A1 2≠ , y try kornq
pry A A1 2= ; tohda A1 = A2 = A3 y vse okruΩnosty (2.26) sovpadagt meΩdu
soboj). Pry πtom netrudno ustanovyt\ (zapys¥vaq asymptotyçeskye razloΩe-
nyq dlq kornej uravnenyq 2 1λ λ λtan b Aj− − = 0 ) , çto funkcyq φ λs, ( )0 ymeet
nuΩnoe dlq dal\nejßeho yspol\zovanyq teorem¥ Ruße svojstvo: esly polo-
Ωyt\ rk = 1 / k , to pry dostatoçno bol\ßyx k vnutry kaΩdoj yz okruΩnostej
(2.26) budet naxodyt\sq rovno odyn ee koren\, esly A A1 2≠ ( esly A A1 2= , to
vnutry (2.26) naxodqtsq try kornq funkcyy φ λs, ( )0 ) .
Pust\ v sootvetstvyy s (2.26) pry fyksyrovannom znaçenyy yndeksa j = 1, 2,
3, kompleksnoznaçnaq posledovatel\nost\ λ j k, ymeet vyd
λ j k, = 2
2
π
π
µk
a
A
k k
j k+ + , µk = r ek
iθ, θ π∈[ , ]0 2 , rk ∈( , ]0 1 . (2.27)
Tohda pry k → ∞ spravedlyv¥ ravnomern¥e po rk ocenky:
sin ,λ j k b = ( ) sin− +
1
2
k j kA b
k
b
kπ
µ
= ( ) ( )− +
+( )−1
2
1 2k j kA b
k
b
k
O k
π
µ
,
cos ,λ j k b = ( ) cos− +
1
2
k j kA b
k
b
kπ
µ
= ( ) ( )− + −1 2k O k , (2.28)
tan λb =
A b
k
b
k
O kj k
2
1 2
π
µ+
+( )−( ) , λ j k,
−1 = b
k
O k
π
+ −( )3 .
Yspol\zuq sootnoßenyq (2.25), (2.28), a takΩe dlq udobstva zapysy vremennoe
sohlaßenye, çto A A4 1= , A A− =1 3, poluçaem
λ φ λj k s j k, , ,( )0 = 16 1
2
1
2
2 2
1
3
+( ) +
+( ) −
− −
=
∏O k
A b
k
b
k
O k
Aj k l
j kl
( ) ( )
,π
µ
λ
=
= 16 3 3k b k
− µ ×
×
( )( )
( )
A A A A
A A A dj j j j k
j j j k k
− −
+ − − +
+− +
− +
1 1
2 1 1
2
4 2
2
π
µ
π
µ , (2.29)
hde dk ≤ ck−5
s konstantoj c > 0, ne zavysqwej ot znaçenyj rk ∈( , ]0 1 .
Rassmotrym ocenku sverxu dlq funkcyy φs,1 na posledovatel\nostqx vyda
(2.27). Ysxodq yz opredelenyq funkcyy φs,1, ymeem ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1177
λ φ λj k s j k, , ,( )1 = λ λj k j kA b, ,sin− (1
3
48 +
+ sin sin, , , , , , ,( ) ( ) ( )2
5
1
6
2
7λ ψ λ λ λ ψ λ λ ψ λj k j k j k j k j k j k j kb b+ + )− − ,
y tohda, yspol\zuq (2.28), poluçaem ocenku
λ φ λj k s j k, , ,( )1 ≤ ck k j k j k j k
− − + + +{ }3 2
5 6 7ψ λ ψ λ ψ λ( ) ( ) ( ), , , ≤ ck dk
−3 ˜
(2.30)
s postoqnnoj c > 0, ne zavysqwej ot rk ∈( , ]0 1 , y posledovatel\nost\g
d̃k = k
j k
−
− ≤
+ + +{ }2
1
5 6 7sup
: ˜
,
( ) ( ) ( )
λ λ λ
ψ λ ψ λ ψ λ , (2.31)
˜
,λ j k = 2
2
π
π
k
a
A
k
j+ .
Poskol\ku funkcyy ψ j , j = 5, 6, 7, yz pravoj çasty (2.31) prynadleΩat klas-
su L2a , to (sm. [19], hl.M1, §M4, zadaçaM5 ) posledovatel\nost\ { }d̃k prynadle-
Ωyt l2 .
Takym obrazom, sohlasno ocenkam (2.29), (2.30), dlq prymenymosty teorem¥
Ruße k funkcyqm φ λ( ) y φ λs, ( )0 vnutry okruΩnostej (2.26) pry bol\ßyx k
dostatoçno v¥polnenyq ocenky
r
A A A A
A A Ak
j j j j k
j j j k
( )( )
( )
− −
+ − − +− +
− +
1 1
2 1 1
2
4 2
2
π
µ
π
µ > r̃k (2.32)
s posledovatel\nost\g { }r̃ lk ∈ 2 .
Yz provedenn¥x rassmotrenyj sleduet, çto v sluçae A A1 2≠ najdetsq ta-
kaq posledovatel\nost\ { }r lk ∈ 2, rk ∈ ( 0, 1 ] , çto v¥polnqetsq (2.32) y, znaçyt,
pry bol\ßyx k na okruΩnostqx (2.26) v¥polnqetsq ocenka
φ λs, ( )0 > φ λs, ( )1 . (2.33)
Takym obrazom, na osnovanyy teorem¥ Ruße s uçetom svojstv kornej funkcyy
φ λs, ( )0 zaklgçaem, çto najdetsq takaq posledovatel\nost\ { }r lk ∈ 2, dlq koto-
roj naçynaq s nekotoroho k0 vnutry kaΩdoj yz okruΩnostej (2.26) naxodytsq
rovno odyn koren\ (s uçetom kratnosty) funkcyy φ λ( ) .
V sluçae A A1 2= , kohda vse try kornq kubyçeskoho uravnenyq (2.24) sovpa-
dagt meΩdu soboj, ocenka (2.32) prynymaet vyd r rk k
3 > ˜ , { }r̃ lk ∈ 2, y moΩno sde-
lat\ v¥vod o suwestvovanyy neobxodymoj posledovatel\nosty { }r lk ∈ 6 takoj,
çto naçynaq s nekotoroho k0 pry kaΩdom k ≥ k0 vnutry kaΩdoj yz okruΩnos-
tej (2.26) naxodytsq rovno try kornq (s uçetom kratnosty) funkcyy φ λ( ) .
Dlq ustanovlenyq suwestvovanyq posledovatel\nosty kornej funkcyy
φ λ( ) s asymptotykoj (2.21) predstavym funkcyg φ λ( ) v vyde (sm. (2.18))
φ λ( ) = φ λ λ φ λc c, ,( ) ( )0
2
1+ − , (2.34)
φ λc, ( )0 = 16 81 3
3
2 4λ λ λ λ λ− −+sin cos sinb b A b,
φ λc, ( )1 = – 24 3
2 2A b bsin cosλ λ +
+ 2 41
1 2 1
2
2
2 2 2λ λ λ λ λ− + + −( ) sin cos (cos sin )A A A A b b b b –
– 2 1 2 3
2 4 2
5
1
6
2
7A A A b b bλ λ λ ψ λ λ λ ψ λ λ ψ λ− − −+ + +cos sin sin( ) ( ) ( )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1178 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
y rassmotrym ocenky funkcyj φ λc, ( )0 , φ λc, ( )1 na okruΩnostqx
λ ∈ Ck : λ π
π
− − −
−
( )
( )
/
/
k
b
A
k
1 2
2 1 2
3 =
r
k
k , rk ∈ ( 0, 1 ] , (2.35)
hde k = 1, 2, … . Zdes\, polahaq
λk = π
π
µ( )
( )
/
/
k
b
A
k k
k− +
−
+1 2
2 1 2
3 , µk = rk ∈ ( 0, 1 ] , (2.36)
pry k → ∞ ymeem ravnomern¥e po rk ∈ ( 0, 1 ] ocenky
λk
−1 = b
k
O k
π( )
( )
/−
+ −
1 2
3 , sin λk b = – ( ) ( )− + −1 2k O k ,
(2.37)
cosλk b = ( )
( )
( )
/
−
−
+
+ −1
2 1 2
3 3k kA b
k
b
k
O k
π
µ
.
Tohda (sm. (2.34))
λ φ λk c k, ( )0 =
= 8 1 2+ −O k( ) 2 1
2 1 2
13
3
1 3( )
( )
( ) ( )
/
−
−
+
− − +− −k k
k
kA b
k
b
k
A O k
π
µ λ =
= 16 1 3bk r O kk
− −+ ( ). (2.38)
Dlq funkcyy φ λc, ( )1 pry λ = λk , yspol\zuq (2.37), ymeem ravnomernug po
rk ∈ ( 0, 1 ] ocenku
φ λc k, ( )1 ≤ c k k kk
− − −+ + +{ }2
5
1
6
2
7ψ λ ψ λ ψ λ( ) ( ) ( ) ≤ cdk
˜ , (2.39)
hde posledovatel\nost\ d̃ lk ∈ 2 ymeet vyd
d̃k = k
k
−
− ≤
+ + +{ }2
1
5 6 7sup
: ˜
( ) ( ) ( )
λ λ λ
ψ λ ψ λ ψ λ ,
λ̃k = π
π
( )
( )
/
/
k
b
A
k
− +
−
1 2
2 1 2
3 .
Takym obrazom, sohlasno (2.38), (2.39), esly ohranyçyt\sq rassmotrenyem
klassa okruΩnostej Ck vyda (2.35), to dlq v¥polnenyq ocenky
φ λc, ( )0 > λ φ λ−2
1c, ( ) , λ ∈ Ck , (2.40)
pry dostatoçno bol\ßyx k dostatoçno potrebovat\ v¥polnenyq ocenok rk >
> crk̃ dlq nekotor¥x { }r̃ lk ∈ 2 y postoqnnoj c > 0, ne zavysqwej ot k . Otsgda
delaem v¥vod o vozmoΩnosty v¥bora takoj posledovatel\nosty { }r lk ∈ 2, r kM∈
∈ ( 0, 1 ] , dlq kotoroj v¥polnqgtsq ocenky (2.40) pry bol\ßyx k . Pry πtom ne-
trudno ustanovyt\, çto pry dostatoçno bol\ßyx k funkcyq φ λc, ( )0 ymeet
vnutry okruΩnostej (2.35) s rk = 1 / k rovno odyn koren\. Tohda na osnovanyy
teorem¥ Ruße zaklgçaem, çto najdetsq takaq posledovatel\nost\ { }r lk ∈ 2, çto
naçynaq s nekotoroho nomera k0 vnutry kaΩdoj yz okruΩnostej (2.35) naxo-
dytsq rovno odyn koren\ funkcyy φ λ( ) .
Takym obrazom, pryvedenn¥e v¥ße rassuΩdenyq pokaz¥vagt, çto suwestvu-
gt takoe natural\noe çyslo k1 y takye posledovatel\nosty ρk
j( ) , k ≥ k1 , j =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1179
= 1, 2, 3, 4, kornej funkcyy φ λ( ) , dlq kotor¥x v¥polnqgtsq asymptotyçes-
kye ravenstva (2.20), (2.21).
Sohlasno (2.18) poloΩym
φ λ0( ) = 16 1 3λ λ λ− sin cosb b, φ λ1( ) = φ λ φ λ( ) ( )− 0 . (2.41)
Poskol\ku funkcyq λφ λ1
2( ) ∈L a , najdetsq takaq postoqnnaq c > 0, çto
pry vsex λ ∈ C , λ ≥ 1, v¥polnqetsq ocenka φ λ λ λ
1
1 2( ) Im≤ −c e a . Otsgda,
yspol\zuq qvn¥j vyd funkcyy φ λ0( ) yz (2.41), zaklgçaem, çto pry vsex dosta-
toçno bol\ßyx k ≥ k0 pry λ = π( ) ( )/4 1 2k a− v¥polnqetsq ocenka
φ λ0( ) > φ λ φ λ( ) ( )− 0 . Tohda, prymenqq teoremu Ruße, poluçaem, çto pry
k ≥ k0 funkcyy φ λ( ) y φ λ0( ) ymegt odynakovoe kolyçestvo kornej (s uçe-
tom kratnosty) v kaΩdom yz kruhov λ ≤ π( ) ( )/4 1 2k a− . ∏to vmeste s
pryvedenn¥my v¥ße rassuΩdenyqmy y uçetom çetnosty funkcyy φ λ( ) polnos-
t\g dokaz¥vaet (2.20), (2.21).
Teorema dokazana.
Vvedem v rassmotrenye funkcyg
χ λ( ) = s a s a1 2( ) ( ), ,λ λ . (2.42)
Pry πtom mnoΩestvo kornej { } ,ξk k−∞ ≠
∞
0 funkcyy χ λ( ) qvlqetsq obæedy-
nenyem spektrov { }( )
,νk
j
k−∞ ≠
∞
0 zadaç Dyryxle (1.4) (sm. sledstvye (2.2)). Dalee
posledovatel\nosty νk
j( )
sçytaem pravyl\no zanumerovann¥my, pryçem νk
j( ) >
> 0 pry k ≥ 1, j = 1, 2.
Lemma02.2. 1. Pust\ dlq nekotoroho n ∈ N v¥polnqetsq uslovye ν2 1
1
n− ∉( )
∉ =
∞{ }( )νk k
2
1 ν ν2 1
2 1
1n k k− =
∞∉( )( ) ( ){ } . Tohda ymeet mesto neravenstvo
φ ν
ν
( )
( )
( )
( ) ,
2 1
1
2 2 1
1
n
ns a
−
−
≥ 4
φ ν
ν
( )
( )
( )
( ) ,
2 1
2
1 2 1
2 4n
ns a
−
−
≥
. (2.43)
2. Pust\ dlq nekotoroho n ∈ N v¥polnqetsq uslovye ν ν2
1 2
1n k k
( ) ( ){ }∉ =
∞
ν2
2
n
( )( M∉
∉M νk k
( )1
1{ } )=
∞
. Tohda ymeet mesto neravenstvo
φ ν
ν
( )
( )
( )
( ),
2
1
2 2
1
n
ns a
≤ 0
φ ν
ν
( )
( )
( )
( ),
2
2
1 2
2 0n
ns a
≤
. (2.44)
3. Pust\ ν2 1
1
k−
( ) = ν2 1
2
p−
( ) = ν . Tohda
′ − ∂
∂
− ∂
∂= =
φ ν λ
λ
λ
λλ ν λ ν
( )
, ,( ) ( )
4 41 2s a s a
≤ 0. (2.45)
4. Esly ν2 1
1
k−
( ) = ν2
2
p
( ) = ν , to
′ − ∂
∂ =
φ ν λ
λ λ ν
( )
,( )
4 2s a
≥ 0. (2.46)
5. Pust\ ν2
1
k
( ) = ν2 1
2
p−
( ) = ν . Tohda v¥polnqetsq neravenstvo
′ − ∂
∂ =
φ ν λ
λ λ ν
( )
,( )
4 1s a
≥ 0. (2.47)
6. Esly ν2
1
k
( ) = ν2
2
p
( ) = ν , to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1180 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
′φ ν( )( )
2
1
k ≤ 0. (2.48)
Dokazatel\stvo. Yz ravenstv c a s aj k
j
j k
j( ) ( )( ) ( ), ,ν ν′ = 1 y (2.17) ymeem
φ ν( )( )
k
1 = 2 1
1
1
1
1 2
1− ′ −
′
s a
s a
s ak
k
k( )
( )
( )( )
( )
( ),
,
,ν
ν
ν ,
(2.49)
φ ν( )( )
k
2 = 2 1
2
2
2
2 2
2− ′ −
′
s a
s a
s ak
k
k( )
( )
( )( )
( )
( ),
,
,ν
ν
ν .
S druhoj storon¥, yz peremeΩaemosty kornej funkcyy ′s aj( ),λ s kornqmy
{ }( )νk
j
funkcyy s aj( ),λ (sm. [19], hl.M3, §M4 ) sledugt neravenstva
( ) ,( )( )− ′1 k
j k
js aν > 0, j = 1, 2. (2.50)
Otsgda, v çastnosty, ymeem neravenstva
( ) ,
,
( )
( )
( )
( )− ′ +
′
1 1k
j k
j
j k
js a
s a
ν
ν
≥ 2, j = 1, 2. (2.51)
Krome toho, v¥polnqgtsq neravenstva (sm. (2.50) y [19], hl.M3, §M1 )
( )
,( )
( )
−
∂
∂ =
1 k js a
k
j
λ
λ λ ν
> 0, j = 1, 2. (2.52)
Pry uslovyyMM1 ymeet mesto neravenstvo s an2 2 1
1( )( ) ,ν − ≠ 0. Tohda, yspol\zuq
(2.51) dlq νk
j( ) = ν2 1
1
k−
( )
v (2.49), poluçaem pervoe neravenstvo yz (2.43). Analo-
hyçn¥m obrazom dokaz¥vagtsq y ostal\n¥e neravenstva yz (2.43), (2.44).
Pust\ teper\ ν2 1
1
k−
( ) = ν2 1
2
p−
( ) = ν . Tohda s a1( , )ν = s a2( , )ν = 0 y yz (2.17)
sleduet ravenstvo φ ν( ) = 0. Pry πtom
′ − ∂
∂
− ∂
∂= =
φ ν λ
λ
λ
λλ ν λ ν
( )
, ,( ) ( )
4 41 2s a s a
=
= − ∂
∂
+ ′ +
′
=
s a
s a
s a
1
2
2
2 1( ) ( )
( )
,
,
,
λ
λ
ν
νλ ν
–
∂
∂
+ ′ +
′
=
s a
s a
s a
2
1
1
2 1( ) ( )
( )
,
,
,
λ
λ
ν
νλ ν
,
y neravenstvo (2.45) sleduet yz neravenstv (2.51), (2.52), prymenenn¥x dlq
neçetnoho znaçenyq yndeksa k . Analohyçno ustanavlyvagtsq neravenstva
(2.46) – (2.48).
Lemma dokazana.
Otmetym, çto posledovatel\nosty ′s ak2
1( )( ),ν y ′s ak1
2( )( ),ν na osnovanyy
(2.7), (2.16) ymegt svojstva
′s ak2
1( )( ),ν = cos
sin( )
( )
( )
( )
( )ν
ν
ν νk
k
k
k
k
a
A a b1 2
1
1
1
1+ + , { }( )b lk
1
2∈ ,
(2.53)
′s ak1
2( )( ),ν = cos
sin( )
( )
( )
( )
( )ν
ν
ν νk
k
k
k
k
a
A a b2 1
2
2
2
2+ + , { }( )b lk
2
2∈ ,
y
{ ( ( ) )}( ), ( )k s a lk
k
k′ − − ∈=
∞
2
1
1 21ν , { ( ( ) )}( ), ( )k s a lk
k
k′ − − ∈=
∞
1
2
1 21ν . (2.54)
Dalee ponadobytsq sledugwee opredelenye [21] ( § 1 ), sformulyrovannoe v
udobnom dlq nas vyde.
Opredelenye02.2. Vewestvennaq meromorfnaq funkcyq ω λ( ) naz¥va-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1181
etsq funkcyej Nevanlynn¥ ( nev¥roΩdennoj R -funkcyej ), esly ona otobra-
Ωaet otkr¥tug verxngg (nyΩngg) poluploskost\ v sebq: Im λ Im ω λ( ) > 0,
Im λ ≠ 0.
Teorema02.3. Pust\ potencyal¥ q L aj ∈ 2 0( , ) udovletvorqgt uslovyg
(1.7). Tohda vewestvennaq meromorfnaq funkcyq
F( )λ =
φ λ
λ λ
( )
( ) ( )s s1 2
(2.55)
qvlqetsq funkcyej Nevanlynn¥.
Dokazatel\stvo. Vvedem v rassmotrenye funkcyy
gj( )λ = 2 − − ′c a s aj j( ) ( ), ,λ λ , j = 1, 2, (2.56)
tak çto φ λ( ) = g s a g s a1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ), ,λ λ λ λ+ . Korny funkcyy gj( )λ sov-
padagt s sobstvenn¥my znaçenyqmy peryodyçeskoj zadaçy Íturma – Lyuvyllq
′′ + −y x q x y xj j j( ) ( ) ( )( )λ2 = 0, x ∈ ( 0, a ) , yj( )0 = y aj( ), ′yj( )0 = ′y aj( ),
y, znaçyt (sm. [19], hl.M3, §M4 ), pry j = 1, 2 v¥polnqetsq uslovye çeredovanyq
kornej funkcyy gj( )λ s kornqmy νk
j( )2
funkcyy s aj( ),λ , dlq kotor¥x
znaçenyq ± νk
j( )
sostavlqgt spektr kraevoj zadaçy (1.4), pryçem naymen\ßyj
koren\ funkcyy gj( )λ stroho men\ße, çem ν1
2( )j
. Takym obrazom, esly obo-
znaçyt\ çerez τk
j( )
korny funkcyy gj( )λ , j = 1, 2, to s uçetom uslovyq polo-
Ωytel\nosty potencyalov qj ymeem neravenstva
0 < τ1
( )j < ν1
2( )j ≤ τ2
( )j ≤ ν2
2( )j ≤ … . (2.57)
Dalee, tak kak çetnaq celaq funkcyq sj( )λ qvlqetsq celoj funkcyej πkspo-
nencyal\noho typa (sm. (2.6)), po teoreme Adamara (sm. [22], §M1.10 ) funkcyq
sj( )λ dopuskaet predstavlenye v vyde kanonyçeskoho proyzvedenyq
sj( )λ = Cj
k
j
k
1 2
1
−
=
∞
∏ λ
ν( ) , νk
j( )2 > 0, (2.58)
s nekotoroj postoqnnoj Cj , j = 1, 2. Analohyçn¥m obrazom dlq funkcyj
gj( )λ spravedlyv¥ predstavlenyq
gj( )λ = ˜
( )Cj
k
j
k
1
1
−
=
∞
∏ λ
τ
, τk > 0. (2.59)
Pry πtom, sohlasno (2.6), (2.8) y (2.56), dlq j = 1, 2 spravedlyv¥ sootnoße-
nyq lim ( )λ λ→ −∞ = + ∞sj , lim ( )λ λ→ −∞ = − ∞gj y, znaçyt (sm. (2.57), (2.58)),
v¥polnqgtsq neravenstva Cj > 0, C̃j < 0, j = 1, 2. Tohda na osnovanyy
(2.57)M– (2.59) poluçaem (sm. dokazatel\stvo teorem¥MM1 hl.M7.1 yz [22]), çto ve-
westvenn¥e meromorfn¥e funkcyy
–
s a
g
j
j
( )
( )
,λ
λ
= –
C
C
j
j k
j
k k
j˜ ( ) ( )1 12
1
1
−
−
=
∞ −
∏ λ
ν
λ
τ
, j = 1, 2,
qvlqgtsq funkcyqmy Nevanlynn¥:
Im
s a
g
j
j
( )
( )
,λ
λ
< 0, Im λ > 0. (2.60)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1182 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
V svog oçered\, yz (2.60) sleduet, çto
Im
φ λ
λ λ
( )
( ) ( )s s1 2
= Im
g
s a
g
s a
1
1
2
2
( )
( )
( )
( ), ,
λ
λ
λ
λ
+
> 0, Im λ > 0,
y, znaçyt, funkcyq F( )λ yz (2.55) qvlqetsq funkcyej Nevanlynn¥.
Teorema dokazana.
Sledstvye02.4. Ymeet mesto çeredovanye
ζ1
2 ≤ ξ1
2 ≤ ζ2
2 ≤ ξ2
2 ≤ … . (2.61)
Dokazatel\stvo. Dlq dokazatel\stva (2.61) moΩno sçytat\, ne umen\ßaq
obwnosty, çto ζk
2 0> , k = 1, 2, … . Tohda, tak kak lim ( )λ φ λ→ −∞ = − ∞ , ana-
lohyçno (2.58), (2.59) ymeet predstavlenye
φ λ( ) = C
kk
1 2
1
−
=
∞
∏ λ
ζ
, ζk
2 > 0, C < 0.
Znaçyt, sohlasno teoremeM2.3 meromorfnaq vewestvennaq funkcyq
C
C C
s s
1 2
1 2( ) ( )
( )
λ λ
φ λ
= 1 12
1
2
1
−
−
=
∞ −
∏ λ
ξ
λ
ζkk k
j( )
qvlqetsq funkcyej Nevanlynn¥ y po teoremeMM1 [22] (hl.M7.1) poluçaem (2.61).
Sledstvye dokazano.
3. Obratnaq zadaça. Rassmotrym zadaçu vosstanovlenyq potencyalov
q x1( ) y q x2( ) kraevoj zadaçy (1.1) – (1.3). V kaçestve ysxodn¥x dann¥x ras-
smatryvagtsq vewestvenn¥e posledovatel\nosty { }± =
∞ζk k 1, { }( )± =
∞νk k
1
1 y
{ }( )± =
∞νk k
2
1 , hde pervaq posledovatel\nost\ sovpadaet s sobstvenn¥my znaçenyq-
my spektral\noj zadaçy (1.1) – (1.3), a ostal\n¥e dve opredelqgt sobstvenn¥e
znaçenyq zadaç Dyryxle (1.4) pry j = 1 y j = 2.
Teorema03.1. Pust\ zadan¥ try posledovatel\nosty poloΩytel\n¥x çysel
{ }ζk k=
∞
1, { }( )νk
j
k=
∞
1, j = 1, 2, dlq kotor¥x v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq:
1) pravyl\no zanumerovann¥e, monotonno vozrastagwye y ne peresekagwy-
esq meΩdu soboj posledovatel\nosty { }( )νk k
1
1=
∞
y { }( )νk k
2
1=
∞
dopuskagt pred-
stavlenyq
νk
j( ) = π
π
βk
a
A
k k
j k
j
+ +
( )
, { }( )βk
j l∈ 2 , j = 1, 2, ( 3.1)
hde Aj — vewestvenn¥e postoqnn¥e;
2) posledovatel\nost\ { }ζk k=
∞
1 predstavyma v vyde obæedynenyq
{ }ζk k=
∞
1 = { }( )ρk k
1
0=
∞ ∪ { }( )ρk k
2
1=
∞ ∪ { }( )ρk k
3
1=
∞ ∪ { }( )ρk k
4
1=
∞
çet¥rex pravyl\no zanumerovann¥x monotonno vozrastagwyx podposledova-
tel\nostej, udovletvorqgwyx ravenstvam (2.20), (2.21) s posledovatel\nos-
tqmy { }( )βk
j l∈ 2 , j = 1, 2, 3, 4;
3) posledovatel\nost\ { }ζk k=
∞
1 y pravyl\no zanumerovannaq posledova-
tel\nost\ { }ξk k=
∞
1 = { } { }( ) ( )ν νk k k k
1
1
2
1=
∞
=
∞∪ peremeΩagtsq:
0 < ζ1 < ξ1 < ζ2 < ξ2 < … ; ( 3.2)
4) pry k = 1, 2, … v¥polnqgtsq neravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1183
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
2 1
1
2 2 1
1
k
ks
−
−
> 4,
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
2 1
2
1 2 1
2
k
ks
−
−
> 4, ( 3.3)
hde funkcyy
sj( )λ = a a
k k
j
k
2
2 2
2 2
1 π
ν λ( )( ) −
=
∞
∏ , j = 1, 2,
v( )λ = 16 2
0
1 2
1
4
( ( ) ) ( )( )λ ρ λ−
=
∏ Pj
j
( 3.4)
y
Pj( )λ = a a
kk
k
j
2 2
2
1
2 2
π
ρ λ
−
=
∞
∏ ( )( ) , j = 1, 2, 3,
P4( )λ = a
kk
k2 1 2
2
1
4 2 2
π
ρ λ
( )/
( )( )
−
−
=
∞
∏ ; ( 3.5)
5) dlq posledovatel\nostej
v1,k : =
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
k
ks
1
2
1 , v2,k : =
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
k
ks
2
1
2 , k = 1, 2, … ,
spravedlyv¥ vklgçenyq
k j k
k
k
2
1
2 1 1v , ( ( ) )− − −( ){ } =
∞
∈ l1, j = 1, 2. ( 3.6)
Tohda suwestvuet takaq para vewestvenn¥x funkcyj q x1( ) y q x2( ) yz
L a2 0( , ), çto spektral\naq zadaça (1.1) – (1.3) ymeet sobstvenn¥my znaçenyq-
my çysla ±ζk , k = 1, 2, … , a sobstvenn¥e znaçenyq zadaç Dyryxle (1.4) sov-
padagt s çyslamy ± νk
( )1
y ± νk
( )2
sootvetstvenno.
Zameçanye03.1. Netrudno pokazat\, çto πkvyvalentnaq formulyrovka us-
lovyq (3.6) sostoyt v tom, çto v¥polnqgtsq vklgçenyq
k Xj k
k
k, ( )− −( ){ } =
∞
1
1
∈ l2 , j = 1, 2,
hde Xj k, qvlqetsq proyzvol\no v¥brann¥m kornem kvadratnoho uravnenyq
X Xj k j k j k, , ,( )2 2 1+ − +v = 0, j = 1, 2. ( 3.7)
Pry πtom ymegt mesto neravenstva
v j n,2 1 2− − > 2, v j n,2 < 0, n = 1, 2, … , j = 1, 2, ( 3.8)
y korny kvadratn¥x uravnenyj (3.7) qvlqgtsq otrycatel\n¥my pry neçetn¥x
znaçenyqx yndeksa k y poloΩytel\n¥my pry çetn¥x k :
( ) ,−1 k
j kX > 0, k = 1, 2, … , j = 1, 2. ( 3.9)
Dlq neçetn¥x k neravenstva (3.8) v¥tekagt yz uslovyj (3.3), a dlq çetn¥x zna-
çenyj k neravenstva (3.8) sledugt yz opredelenyj (3.4), (3.5) y uslovyq pereme-
Ωaemosty (3.2).
Dokazatel\stvo teorem¥03.1. Otmetym, çto funkcyy λ λPj( ), j = 1, 2, 3,
y P4( )λ qvlqgtsq funkcyqmy typa synusa πksponencyal\noho typa ≤ a / 2 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1184 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
pryçem spravedlyv¥ predstavlenyq
λ λPj( ) = sin cos
˜ ( )
λ
λ
λ
λ
λ
b
A
b
fj j− +
2
, j = 1, 2, 3,
( 3.10)
P4( )λ = cos sin
˜ ( )λ
λ
λ λ
λ
b
A
b
f+ +3 4
2
, b = a
2
,
hde postoqnnaq A A A3 1 2 2= +( ) / y funkcyy
˜ /fj
a∈L 2. ∏ty utverΩdenyq v¥-
tekagt yz uslovyqMM2 (sm. (2.20), (2.21)), opredelenyj (3.5), sledstvyqMM1 y lem-
m¥MM5 yz [23] (sm.MzameçanyeMM1). Analohyçno (sm. takΩe lemmuM3.4.2 v [19]),
funkcyy sj( )λ , j = 1, 2, qvlqgtsq funkcyqmy typa synusa πksponencyal\no-
ho typa ≤ a y dopuskagt predstavlenyq
sj( )λ = sin cos ( )λ
λ
λ
λ
λ
λ
a A a fj j− +2 2 , j = 1, 2, fj
a( )λ ∈L .
Yz kaΩdoj par¥ kornej kvadratn¥x uravnenyj (3.7) proyzvol\n¥m obrazom
v¥berem po odnomu πlementu y oboznaçym yx çerez X k1, , X k2, , k = 1, 2, … . Vve-
dem pry j = 1, 2 v rassmotrenye posledovatel\nosty
bk
j( ) = ν ν
ν
νk
j
j k k
j j k
j
k
jX a
A a( )
,
( )
( )
( )cos
sin
− −
, k = 1, 2, … . ( 3.11)
V sylu uslovyj (3.1) y (3.6) (sm. zameçanye 3.1) spravedlyv¥ vklgçenyq
{ }( )b lk
j ∈ 2 , j = 1, 2. S druhoj storon¥, tak kak funkcyq λ λsj
a( ) ∈L qvlqetsq
funkcyej typa synusa, ynterpolqcyonn¥j rqd LahranΩa
ψ λj( ) = 2
1
2 2λ λ
ν λ ν
s
b
sj
k
k
j
j k
j
k
j( )
( )( )
( )
( ) ( )
=
∞
∑ ′ −
, ( 3.12)
postroenn¥j po posledovatel\nosty { }( )± =
∞bk
j
k 1, opredelqet funkcyg ψ j
a∈L
(sm. [24], teoremaMA). Po πtoj funkcyy opredelym çetnug celug funkcyg
cj( )λ = cos
sin ( )
λ
λ
λ
ψ λ
λ
a
A aj j+ + , j = 1, 2, ( 3.13)
y oboznaçym ee korny çerez ±µk
j( ) , k = 1, 2, … . Sohlasno lemmeM3.4.2 yz [19],
prymenennoj k yntervalu ( 0, a ) , spravedlyvo ravenstvo
µk
j( ) = π
π
β( )/ ( )k
a
A
k k
j k
j− + +1 2 , k ≥ 1, { }( )βk
j l∈ 2 . ( 3.14)
DokaΩem, çto posledovatel\nost\ {( ) }( )µk
j 2
qvlqetsq vewestvennoj y stro-
ho peremeΩaetsq s posledovatel\nost\g {( ) }( )νk
j 2
:
( )( )µ1
2j < ( )( )ν1
2j < ( )( )µ2
2j < … , ( 3.15)
pry πtom, dlq opredelennosty, ohranyçymsq znaçenyem yndeksa j = 1. Rassmot-
rym znaçenyq funkcyy c1( )λ v toçkax νk
( )1
. Neposredstvenno yz opredelenyq
(3.12) sledugt ravenstva ψ ν1
1( )( )
k = bk
( )1
y, znaçyt (sm. opredelenye (3.11)),
c k1
1( )( )ν = X k1, , otkuda s uçetom (3.9) poluçaem neravenstva
( ) ( )( )−1 1
1k
kc ν > 0, k = 1, 2, … . ( 3.16)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1185
Tohda utverΩdenye (3.15) v¥tekaet yz (3.16), (3.14) y uslovyq (3.1). Pry πtom
esly c1 0( ) > 0, to µ1
1( ) > 0, a esly c1 0( ) = 0, to µ1
1( ) = 0 y µ1
1( )
qvlqetsq
çysto mnym¥m çyslom pry uslovyy c1 0( ) < 0.
Yz (3.15) y asymptotyçeskyx formul (3.1), (3.14) sleduet, çto posledova-
tel\nosty { }( )νk
j 2
y { }( )µk
j 2
udovletvorqgt uslovyqm teorem¥MM3.4.1 yz [19],
prymenennoj na sluçaj yntervala ( 0, a ) , y, sledovatel\no, dlq fyksyrovan-
noho znaçenyq j = 1, 2 suwestvuet edynstvennaq vewestvennaq funkcyq
q xj ( ) ∈ L a2 0( , ) takaq, çto { }( )± =
∞νk
j
k 1 qvlqetsq spektrom zadaçy Dyryxle (1.4),
a { }( )± =
∞µk
j
k 1 obrazuet spektr zadaçy Dyryxle – Nejmana (1.5). Pry πtom al-
horytm vosstanovlenyq takoho potencyala q xj( ) sostoyt v sledugwem [19]
(hl.M3, §M4). Vvodytsq v rassmotrenye qdro
F xj( ) = 1
2
1
π
λ λλ
− ∞
∞
−∫ −( ( ))S e dj
i x ,
hde funkcyq Sj( )λ = e ej j( ) / ( )λ λ− , ej( )λ = ( ( ) ( ))c i s ej j
i aλ λ λ λ+ 2 , y po
edynstvennomu reßenyg yntehral\noho uravnenyq Marçenko
K x t K x z F z t dz F x tj j j
x
j( , ) ( , ) ( ) ( )+ + + +
∞
∫ = 0, t > x,
opredelqetsq potencyal q xj( ) = –2d dx K x x/ ( , ) ∈ L a2 0( , ).
DokaΩem, çto najdenn¥e potencyal¥ q1, q2 qvlqgtsq yskom¥my, t. e.
spektr zadaçy (1.1) – (1.3), poroΩdennoj πtoj paroj, sovpadaet s zadann¥m mno-
Ωestvom { }± =
∞ζk k 1.
Pust\ s xj( ),λ , c xj( ),λ , j = 1, 2, — reßenyq uravnenyj (1.1) s najdenn¥my
potencyalamy q xj( ), udovletvorqgwye naçal\n¥m uslovyqm
sj( ),λ 0 = ′ −sj( ),λ 0 1 = 0, cj( ),λ 0 1− = ′cj( ),λ 0 = 0. ( 3.17)
Tohda dlq funkcyj sj( )λ , cj( )λ (sm. (3.4), (3.13)) spravedlyv¥ ravenstva
sj( )λ = s aj( ),λ , cj( )λ = ′s aj( ),λ , c aj k
j( )( ),ν = 1
′s aj k
j( )( ),ν
= 1
cj k
j( )( )ν
,
( 3.18)
y, v çastnosty, soderΩawyesq v predstavlenyqx (2.6), (2.7) (prymenenn¥x k re-
ßenyqm uravnenyj (1.1)) velyçyn¥ A a aj ( , ) udovletvorqgt ravenstvam
A a aj ( , ) = Aj , j = 1, 2. ( 3.19)
Rassmotrym pry j = 1, 2 posledovatel\nosty
gk
j( ) = ν
ν
ν
ν
νk
j
j k
j k
j j k
j
k
jc
a
A a( )
( )
( )
( )
( )( )
cos
sin1 − −
, k = 1, 2, … . ( 3.20)
Na osnovanyy uslovyq (3.1) ymeem asymptotyçeskye sootnoßenyq
cos
sin( )
( )
( )ν
ν
νk
j j k
j
k
a
A a
+ 1 = ( ) ( / )− +1 1 2k O k , k → ∞ , j = 1, 2. ( 3.21)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1186 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
S uçetom (3.21) y (3.12), (3.13) poluçaem vklgçenyq { }( )g lk
j ∈ 2 , j = 1, 2. Takym
obrazom, rqd¥
˜ ( )ψ λj = 2
1
λ λ
ν λ ν
s
g
sj
k
j
j k
j
k
j
k
( )
( )( )
( )
( ) ( )′ −=
∞
∑ j = 1, 2,
opredelqgt funkcyy yz prostranstva La . Vvedem v rassmotrenye funkcyy
˜ ( )cj λ = cos
sin ˜ ( )
λ
λ
λ
ψ λ
λ
a
A aj j+ + , j = 1, 2. ( 3.22)
Tohda yz opredelenyj (3.12), (3.13), (3.20) poluçaem
1
cj k
j( )( )ν
= cos
sin( )
( )
( )
( )
( )ν
ν
ν νk
j j k
j
k
j
k
j
k
ja
A a g+ + = ˜ ( )( )cj k
jν ,
otkuda (sm. (3.18)) ymeem ravenstva c aj k
j( )( ),ν = ˜ ( )( )cj k
jν , k = 1, 2, … . Znaçyt,
funkcyq ˆ ( )ψ λj = c a cj j( ) ( ), ˜λ λ− obrawaetsq v nul\ v toçkax { }( )± =
∞νk
j
k 1. S
druhoj storon¥, sohlasno (2.8), (3.22) funkcyq ˆ ( )ψ λj prynadleΩyt prost-
ranstvu La . Otsgda sleduet, çto ˆ ( )ψ λj ≡ 0 (sm. teoremuMMA yz [24]), t. e.
c aj( ),λ = ˜ ( )cj λ , j = 1, 2. ( 3.23)
Yspol\zuq (3.18), (3.23), dlq funkcyy φ λ( ) , opredelennoj sohlasno v¥raΩe-
nyg (2.17), poluçaem ravenstvo
φ λ( ) = 2 21 1 2 2 2 1− −( ) + − −( )˜ ˜( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c s c c sλ λ λ λ λ λ . ( 3.24)
Tohda v sylu (3.18) ymeem
φ ν( )( )
k
1 = 2 1
1
1
1
2
1− −( )˜ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )c c sk k kν ν ν = 2 1
1 1
1
1
2
1− −( )−c c sk k k( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ν ν ν .
( 3.25)
Dalee, yspol\zuq ravenstvo (sm. (3.11), (3.12))
c k1
1( )( )ν = cos
sin( )
( )
( ) ( )ν ν
ν νk
k
k
k
k
a
A a b1 1
1
1 1+ + ,
(3.7), a takΩe ravenstva c k1
1( )( )ν = X k1, , poluçaem
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
k
ks
1
2
1 = 2 1 1
1− − −X Xk k, , = 2 1
1
1
1 1− − −c ck k( ) ( )( ) ( )ν ν . ( 3.26)
Podstavlqq (3.26) v (3.25), ymeem φ ν( )( )
k
1 = v( )( )νk
1 . Analohyçno dokaz¥vaetsq
spravedlyvost\ ravenstv φ ν( )( )
k
2 = v( )( )νk
2 . Takym obrazom, funkcyq λ φ λ2( ( ) –
– v( ))λ obrawaetsq v nul\ v kornqx funkcyy λ λ λ2
1 2s s( ) ( ), kotoraq qvlqetsq
funkcyej typa synusa y ymeet πksponencyal\n¥j typ ≤ 2 a .
Podstavlqq (3.10) v (3.4), lehko poluçaem
λ λ λ λ λ λ λ λ2 3
3
2 2 216 8 3v( ) ( )sin cos sin cos sin− + −b b A b b b ∈ L2a ,
y, sravnyvaq πto vklgçenye s (2.19), zaklgçaem, çto λ φ λ λ2 2( ( ) ( ))− ∈v L a , a
znaçyt, φ λ( ) = v( )λ . ∏to oznaçaet, çto postroenn¥e potencyal¥ q xj( ) po-
roΩdagt zadaçu (1.1) – (1.3), spektr kotoroj sovpadaet s ysxodn¥m mnoΩestvom
{ }ζk −∞
∞
.
Teorema dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
OBRATNAQ ZADAÇA ÍTURMA – LYUVYLLQ NA HRAFE V VYDE VOS|MERKY 1187
Zameçanye03.2. Najdennaq para q x1( ) y q x2( ) ne qvlqetsq edynstvennoj
yz-za proyzvola v v¥bore çysel bk
j( )
yz par kornej kvadratn¥x uravnenyj (3.7)
(sm. (3.11)). ∏tot fakt analohyçen sytuacyy, voznykagwej pry reßenyy zadaçy
vosstanovlenyq potencyala uravnenyq Íturma – Lyuvyllq po spektram peryo-
dyçeskoj y antyperyodyçeskoj zadaç [19] (hl.M3, §M4).
Analohyçn¥m obrazom dokaz¥vaetsq bolee obwee utverΩdenye.
Teorema03.2. Pust\ zadan¥ try posledovatel\nosty poloΩytel\n¥x çysel
{ }ζk k=
∞
1, { }( )νk
j
k=
∞
1, j = 1, 2, dlq kotor¥x v¥polnqgtsq uslovyq 1, 2 teorem¥
3.1, a vmesto uslovyj 3 – 5 v¥polnqgtsq uslovyq:
3 ′ ) pravyl\no zanumerovann¥e posledovatel\nosty { }ζk k=
∞
1 y { }ξk k=
∞
1 pe-
remeΩagtsq v nestrohom sm¥sle: 0 < ζ1 ≤ ξ1 ≤ ζ2 ≤ … ;
4 ′ ) pust\ funkcyy v( )λ , sj( )λ , j = 1, 2, opredelen¥ sohlasno (3.4); esly
ν ν2 1
1 2
1k p p− =
∞∉( ) ( ){ } ν ν2 1
2 1
1k p p− =
∞∉( )( ) ( ){ } , to v¥polnqetsq pervoe (vtoroe) yz nera-
venstv (3.3); pry ν2 1
1
k−
( ) = ν2 1
2
p−
( ) = ν ymeet mesto neravenstvo
′
′ + ′
v ( )
( ) ( )
ν
ν νs s1 2
≥ 4,
pry ν2 1
1
k−
( ) = ν2
2
p
( ) = ν ν ν ν2
1
2 1
2
k p
( ) ( )= =( )− — neravenstvo
′
′
v ( )
( )
ν
νs2
≥ 4
′
′
≥
v ( )
( )
ν
νs1
4 ;
5 ′ ) spravedlyv¥ vklgçenyq (3.6), hde { },v j k k=
∞
1, j = 1, 2, ymegt vyd
v1,k =
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
k
ks
1
2
1 , ν νk p p
( ) ( ){ }1 2
1∉ =
∞ , v2,k =
v( )
( )
( )
( )
ν
ν
k
ks
2
1
2 , ν νk p p
( ) ( ){ }2 1
1∉ =
∞ ,
v1 2 1, k− = v2 2 1, p− = ′
′ + ′
v ( )
( ) ( )
ν
ν νs s1 2
pry ν2 1
1
k−
( ) = ν2 1
2
p−
( ) = ν,
v1 2, k = v2 2, p = ′
′ + ′
v ( )
( ) ( )
ν
ν νs s1 2
pry ν2
1
k
( ) = ν2
2
p
( ) = ν,
v1 2 1, k− =
′
′
v ( )
( )
ν
νs2
, v2 2, p = 0 pry ν2 1
1
k−
( ) = ν2
2
p
( ) = ν,
v1 2, k = 0, v2 2 1, p− =
′
′
v ( )
( )
ν
νs1
pry ν2
1
k
( ) = ν2 1
2
p−
( ) = ν.
Tohda spravedlyvo utverΩdenye teorem¥M3.1.
Dokazatel\stvo teorem¥MM3.2 analohyçno dokazatel\stvu teorem¥MM3.1 s tem
otlyçyem, çto zdes\ koπffycyent¥ v j k, kvadratn¥x uravnenyj (3.7) oprede-
lqgtsq v¥raΩenyqmy yz uslovyqMM5 ′. Esly A A1 2≠ , to sohlasno (3.1) posledo-
vatel\nosty { },v j k k=
∞
1, j = 1, 2, opredelenn¥e v uslovyyMM5 teorem¥M3.1 y us-
lovyyMM5 ′ teorem¥M3.2, mohut otlyçat\sq meΩdu soboj lyß\ koneçn¥m çyslom
πlementov.
Zameçanye03.3. Uslovyq teorem¥MM3.2, za ysklgçenyem uslovyqMM2, qvlqgt-
sq ne tol\ko dostatoçn¥my, no y neobxodym¥my dlq reßenyq zadaçy o vos-
stanovlenyy vewestvenn¥x potencyalov q L aj ∈ 2 0( , ) , j = 1, 2, kraevoj zadaçy
(1.1) – (1.3) s poloΩytel\n¥m spektrom. A ymenno, sohlasno teoremeMM2.2, pry
A A1 2≠ uslovyeMM2 qvlqetsq neobxodym¥m, a pry A A1 2= — blyzkym k neob-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1188 A. M. HOMYLKO, V. N. PYVOVARÇYK
xodymomu. Pry πtom ostal\n¥e uslovyq teorem¥MM3.2 qvlqgtsq neobxodym¥my.
Tak, uslovyeM1 qvlqetsq neobxodym¥m v sylu sledstvyqM2.2, uslovyeM3 ′ — v
sylu sledstvyqM2.4, uslovyeM4 ′ — v sylu lemm¥M2.2. Neobxodymost\ uslovyqM5 ′
v¥vodytsq na osnovanyy sledstvyqM2.3 y formul¥ (2.17). Zametym, çto yz uslo-
vyqM3 ′ sleduet, çto pry ν2
1
k
( ) = ν2
2
p
( ) = ν v¥polnqetsq neravenstvo ′v ( )ν ≤ 0.
1. Herasymenko N. Y., Pavlov B. S. Zadaça rasseqnyq na nekompaktnom hrafe // Teor. y mat.
fyzyka. – 1988. – 74. – S.M345 – 359.
2. Gratus J., Lambert C. J., Robinson S. J., Tucker R. W. Quantum mechanics on graphs // J. Phys. A.
– 1994. – 27. – P. 6881 – 6892.
3. Exner P. Weakly coupled states on branching graphs // Lett. Math. Phys. – 1996. – 38. –
P. 313 – 320.
4. Exner P. Magnetoresonances on a lasso graph // Found. Phys. – 1997. – 27. – P. 171 – 190.
5. Carlson R. Inverse eigenvalue problems on directed graphs // Trans. Amer. Math. Soc. – 1999. –
351, # 10. – P. 4069 – 4088.
6. Exner P., Seresova E. Appendix resonances on a simple graph // J. Phys. A. – 1994. – 27. –
P. 8269 – 8278.
7. Melnikov Yu. B., Pavlov B. S. Two-body scattering on a graph and application to simple nano-
electronic devices // J. Math. Phys. – 1995. – 36. – P. 2813 – 2838.
8. Melnikov Yu. B., Pavlov B. S. Scattering on graphs and one-dimensional approximations to N-di-
mensional Schrödinger operators // Ibid. – 2001. – 42. – P. 1202 – 1228.
9. Kuchment P. Quantum graphs I. Some basic structures // Wave in Random Media. – 2004. – 14. –
P. 107 – 128.
10. von Below J. Can one hear the shape of a network ? // Part. Different. Equat. Multistructures.
Lect. Notes Pure Math. – 2001. – 219. – P. 19 – 36.
11. Gutkin B., Smilansky U. Can one hear the shape of a graph ? // J. Phys. A. – 2001. – 34, # 31. –
P. 6061 – 6068.
12. Kurasov P., Stenberg F. On the inverse scattering problem on branching graphs // Ibid. – 2002. –
35, # 1. – P. 101 – 121.
13. Herasymenko N. Y. Obratnaq zadaça teoryy rasseqnyq na nekompaktnom hrafe // Teor. y
mat. fyzyka. – 1988. – 75. – S.M187 – 200.
14. Pivovarchik V. Scattering in a loop-shaped waveguide // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2001.
– 124. – P. 527 – 543.
15. Pivovarchik V. Inverse problem for the Sturm – Liouville equation on a simple graph // SIAM J.
Math. Anal. – 2000. – 32, # 4. – P. 801 – 819.
16. Harmer M. S. Inverse scattering for the matrix Schrödinger operator and Schrödinger operator on
graphs with general self-adjoint boundary conditions // ANZIAM J. – 2002. – 4 4 , # 1. –
P. 161 – 168.
17. Ahranovyç Z. S., Marçenko V. A. Obratnaq zadaça teoryy rasseqnyq. – Xar\kov: Xar\kov.
un-t, 1960. – 268Ms.
18. Bondarenko E. Y., Rofe-Beketov F.:S. Obratnaq zadaça rasseqnyq na poluosy dlq system¥
s treuhol\n¥m matryçn¥m potencyalom // Mat. fyzyka, analyz, heometryq. – 2003. – 10,
# 3. – S.M412 – 424.
19. Marçenko V. A. Operator¥ Íturma – Lyuvyllq y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka,
1977. – 332 s.
20. Pivovarchik V. An inverse Sturm – Liouville problem by three spectra // Integral Equat. and
Operator Theory. – 1999. – 34. – P. 234 – 243.
21. Kac Y. S., Krejn M. H. R -funkcyy — analytyçeskye funkcyy, otobraΩagwye verxngg
poluploskost\ v sebq // DopolnenyeM1 k kn.: Atkynson F. Dyskretn¥e y neprer¥vn¥e hra-
nyçn¥e zadaçy. – M.: Myr, 1968. – 750Ms.
22. Levin B. Ya. Distribution of zeroes of entire functions. – Providence: Amer. Math. Soc., 1980. –
523 p.
23. Levyn B. Q., Lgbarskyj G. Y. O mal¥x vozmuwenyqx mnoΩestva kornej funkcyy typa sy-
nusa // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1979. – 43, # 1. – S.M87 – 110.
24. Levyn B. Q., Lgbarskyj G. Y. Ynterpolqcyq cel¥my funkcyqmy specyal\n¥x klassov y
svqzann¥e s neg razloΩenyq v rqd¥ komponent // Tam Ωe. – 1975. – 39, # 3. – S.M657 – 702.
Poluçeno 29.03.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3235 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:42Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/1a2979b4dd345bf6067ce7850da59e13.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32352020-03-18T19:48:57Z Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph Обратная задача Штурма–Лиувилля на графе в виде восьмерки Gomilko, A. M. Pivovarchik, V. N. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. We study the inverse problem for the Strum-Liouville equation on a graph that consists of two quasione-dimensional loops of the same length having a common vertex. As spectral data, we consider the set of eigenvalues of the entire system together with the sets of eigenvalues of two Dirichlet problems for the Sturm-Liouville equations with the condition of total reflection at the vertex of the graph. We obtain conditions for three sequences of real numbers that enable one to reconstruct a pair of real potentials from L 2 corresponding to each loop. We give an algorithm for the construction of the entire set of potentials corresponding to this triple of spectra. Вивчається обернена задача для рівняння Штурма&#8211;Ліувілля на графі, що складається з двох квазіодновимірних петель однакової довжини, які мають спільну вершину. В якості спектральних даних розглядається множина власних значень усієї системи разом з множинами власних значень двох задач Діріхле для рівнянь Штурма&#8211;Ліувілля, що отримуються, якщо у вершині графа взяти умови повного відбиття. Одержано умови на три послідовності дійсних чисел, що дозволяють відновити пару відповідних кожній петлі дійсних потенціалів із L2. Наведено алгоритм побудови всієї множини потенціалів, що відповідають даній трійці спектрів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3235 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 9 (2008); 1168–1188 Український математичний журнал; Том 60 № 9 (2008); 1168–1188 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3235/3216 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3235/3217 Copyright (c) 2008 Gomilko A. M.; Pivovarchik V. N. |
| spellingShingle | Gomilko, A. M. Pivovarchik, V. N. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. Гомилко, А. М. Пивоварчик, В. Н. Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph |
| title | Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph |
| title_alt | Обратная задача Штурма–Лиувилля на графе в виде восьмерки |
| title_full | Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph |
| title_fullStr | Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph |
| title_full_unstemmed | Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph |
| title_short | Inverse Sturm-Liouville problem on a figure-eight graph |
| title_sort | inverse sturm-liouville problem on a figure-eight graph |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3235 |
| work_keys_str_mv | AT gomilkoam inversesturmliouvilleproblemonafigureeightgraph AT pivovarchikvn inversesturmliouvilleproblemonafigureeightgraph AT gomilkoam inversesturmliouvilleproblemonafigureeightgraph AT pivovarčikvn inversesturmliouvilleproblemonafigureeightgraph AT gomilkoam inversesturmliouvilleproblemonafigureeightgraph AT pivovarčikvn inversesturmliouvilleproblemonafigureeightgraph AT gomilkoam obratnaâzadačašturmaliuvillânagrafevvidevosʹmerki AT pivovarchikvn obratnaâzadačašturmaliuvillânagrafevvidevosʹmerki AT gomilkoam obratnaâzadačašturmaliuvillânagrafevvidevosʹmerki AT pivovarčikvn obratnaâzadačašturmaliuvillânagrafevvidevosʹmerki AT gomilkoam obratnaâzadačašturmaliuvillânagrafevvidevosʹmerki AT pivovarčikvn obratnaâzadačašturmaliuvillânagrafevvidevosʹmerki |