Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq
We obtain order estimates for the best M-term trigonometric approximations of classes B Ωp,θ of periodic multivariable functions in the space Lq for some values of the parameters p and q.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3237 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509291350327296 |
|---|---|
| author | Konohrai, A. F. Stasyuk, S. A. Конограй, А. Ф. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Konohrai, A. F. Stasyuk, S. A. Конограй, А. Ф. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Konohrai, A. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:57Z |
| description | We obtain order estimates for the best M-term trigonometric approximations of classes B Ωp,θ
of periodic multivariable functions in the space Lq for some values of the parameters p and q. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.51
A. F. Konohraj, S. A. Stasgk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI
NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θθ
ΩΩ
PERIODYÇNYX FUNKCIJ
BAHAT|OX ZMINNYX U PROSTORI Lq
We obtain order estimates for the best M-term trigonometric approximations of classes Bp,θ
Ω of periodic
multivariable functions in the space Lq for some values of the parameters p and q.
Poluçen¥ porqdkov¥e ocenky dlq nayluçßyx M-çlenn¥x tryhonometryçeskyx pryblyΩenyj
klassov Bp,θ
Ω
peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x v prostranstve Lq dlq nekotor¥x
znaçenyj parametrov p y q.
Vstup. Nexaj L p d( )π , 1 ≤ p ≤ ∞, — prostir 2π-periodyçnyx po koΩnij zminnij
i sumovnyx u stepeni p na kubi πd = 0 2
1
; π[ ]=∏ j
d
funkcij f x( ) = f x( 1, …
… , xd ) , v qkomu norma vyznaça[t\sq rivnostqmy
f p = f Lp d( )π = ( ) ( )–2
1
π
π
d p p
d
f x dx∫
, 1 ≤ p < ∞,
f ∞ = f L d∞ ( )π = ess sup ( )
x d
f x
∈π
.
Dali budemo vvaΩaty, wo dlq funkcij f ∈ L p d( )π vykonu[t\sq dodatkova
umova
0
2π
∫ f x dx j( ) = 0, j = 1, d .
Navedemo vyznaçennq klasu Bp,θ
Ω
, rozhlqnutoho v roboti [1].
Dlq f ∈ L p d( )π vvedemo mißanyj modul\ neperervnosti porqdku l
Ωl pf t( , ) = sup ( )
,
h t
j d
h
l
p
j j
f x
≤
=1
∆ ,
de ∆h
l f x( ) = ∆h
l
d
… ∆h
l f x
1
( ) = ∆h
l
d
…( ∆h
l f x
1
( )( )) — mißana l -ta riznycq z
krokom hj za zminnog x j i
∆h
l
j
f x( ) =
n
l
l n
l
n
j j j j dC f x x x nh x x
=
+∑ ( ) … + …( )
0
1 1 11– , , , , , ,–
– .
Nexaj Ω( )t = Ω(t1, … , td ) — zadana funkciq typu mißanoho modulq nepe-
rervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ taki umovy:
1) Ω( )t > 0, t j > 0, j = 1, d ; Ω( )t = 0, t jj
d
=∏ 1
= 0;
© A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK, 2008
1196 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1197
2) Ω( )t zrosta[ po koΩnij zminnij;
3) Ω(m t1 1, … , m td d ) ≤ m tjj
d l
=∏( )1
Ω( ) , mj ∈N , j = 1, d ;
4) Ω( )t neperervna pry t j ≥ 0, j = 1, d .
Budemo vvaΩaty, wo Ω( )t zadovol\nq[ takoΩ umovy S( ) , Sl( ) , qki nazyva-
gt\ umovamy Bari – St[çkina [2]. Ce oznaça[ nastupne.
Funkciq odni[] zminno] ϕ τ( ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu S( ) , qkwo ϕ τ( ) / τα
majΩe zrosta[ pry deqkomu α > 0, tobto isnu[ taka nezaleΩna vid τ1 i τ2 sta-
la C1 > 0, wo
ϕ τ
τ
ϕ τ
τα α
( ) ( )1
1
1
2
2
≤ C , 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Funkciq ϕ τ( ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu Sl( ) , qkwo ϕ τ( ) / τγ majΩe spada[
pry deqkomu 0 < γ < l, tobto isnu[ taka nezaleΩna vid τ1 i τ2 stala C2 > 0,
wo
ϕ τ
τ
ϕ τ
τγ γ
( ) ( )1
1
2
2
2
≥ C , 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Budemo hovoryty, wo Ω( )t zadovol\nq[ umovy S( ) i Sl( ) , qkwo Ω( )t zado-
vol\nq[ ci umovy po koΩnij zminnij t j pry fiksovanyx ti , i ≠ j.
Zaznaçymo, wo funkci], qki zadovol\nqgt\ umovy 1 – 4, S( ) ta Sl( ) , mo-
Ωut\ maty vyhlqd
Ω( )t = t t
t t
r
d
r
m
d
m
d
d
1
1
1
11 1…
…
log log ,
de 0 < rj < l, j = 1, d , a mj , j = 1, d , — fiksovani dijsni çysla.
Dlq 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i zadano] funkci] Ω( )t typu mißanoho modulq ne-
perervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ umovy 1 – 4, klas Bp,θ
Ω
vyznaça[t\sq
takym çynom:
Bp,θ
Ω = f L fp d Bp
∈ ≤{ }( ):
,
π
θ
Ω 1 ,
de
f Bp,θ
Ω =
π
θθ
d
l p
j
d
j
j
f t
t
dt
t∫ ∏
=
Ω
Ω
( , )
( ) 1
1
, 1 ≤ θ < ∞,
f Bp,∞
Ω = sup
( , )
( )t
l pf t
t>0
Ω
Ω
.
Zaznaçymo, wo pry θ = ∞ klas Bp,θ
Ω
zbiha[t\sq z klasom Hp
Ω
, rozhlqnutym
u roboti [3], a pry Ω( )t = t j
r
j
d j
=∏ 1
, rj > 0, — z klasom B[sova Bp
r
,θ (dyv., na-
pryklad, [4]).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1198 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
Oznaçymo deqki porqdkovi spivvidnoßennq, qki budut\ vykorystovuvatys\
dali.
Dlq funkcij µ1( )N ta µ2( )N zapys µ1 � µ2 oznaça[, wo isnu[ stala C >
> 0 taka, wo µ1( )N ≤ C Nµ2( ). Spivvidnoßennq µ1 � µ2 rivnosyl\ne tomu, wo
vykonugt\sq porqdkovi nerivnosti µ1 � µ 2 ta µ1 � µ 2. ZauvaΩymo, wo vsi
stali Ci , i = 1, 2, … , qki budut\ vykorystovuvatysq v roboti, moΩut\ zaleΩaty
til\ky vid parametriv, wo vxodqt\ v oznaçennq klasu, metryky, v qkij vymirg-
[t\sq poxybka nablyΩennq, ta rozmirnosti d prostoru Rd
.
Qkwo A — skinçenna mnoΩyna, to çerez A budemo poznaçaty kil\kist\ ]]
elementiv.
KoΩnomu vektoru s = ( 1s , … ,sd ), sj ∈N , j = 1, d , postavymo u vidpovidnist\
mnoΩynu
ρ( )s = k k k k k j dd
s
j
s
j
j j= … ≤ < ∈ { } ={ }( , , ): , \ , ,
–
1
1
2 2 0 1Z ,
δs f x( , ) =
k s
i k xf k e
∈
∑
ρ( )
( , )ˆ( ) ,
de
ˆ( )f k = ( ) ( )– – ( , )2π
π
d i k t
d
f t e dt∫
— koefici[nty Fur’[ funkci] f, ( , )k x = k x1 1 + … + k xd d .
V [1] dlq 1 < p < ∞ i zadano] funkci] Ω( )t typu mißanoho modulq nepe-
rervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ umovy 1 – 4, S( ) i Sl( ) , vstanovleno, wo
f Bp,θ
Ω �
s
s
s pf x∑ ( )
Ω 2
1
– –
( , )
θ θ θδ , 1 ≤ θ < ∞, (1)
f Bp,∞
Ω � sup
( , )
–
s
s p
s
f xδ
Ω 2( ) , (2)
de Ω( )–2 s = Ω 2 21– –, ,s sd…( ), sj ∈N , j = 1, d .
NyΩçe my navedemo dlq norm funkcij iz klasu Bp,θ
Ω
analohiçni do (1) i (2)
zobraΩennq u vypadkax p = 1 i p = ∞, dewo vydozminyvßy pry c\omu „bloky”
δs f x( , ) .
Nexaj V tn( ) oznaça[ qdro Valle Pussena porqdku 2n – 1, tobto
V tn( ) = 1 + 2 2 1
1 1
2 1
k
n
k n
n
kt
k n
n
kt
= = +
∑ ∑+
cos –
–
cos
–
.
KoΩnomu vektoru s = ( 1s , … ,sd ), sj ∈N , j = 1, d , postavymo u vidpovidnist\
polinom
A xs( ) =
j
d
j jV x V xsj sj
=
∏( )
1
2 2
1( ) – ( )–
i dlq f ∈ L p d( )π , 1 ≤ p ≤ ∞, çerez A f xs( , ) poznaçymo zhortku
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1199
A f xs( , ) = f x A xs( ) ( )∗ .
Dlq 1 ≤ p ≤ ∞ i zadano] funkci] Ω( )t = Ω(t1, … , td ) typu mißanoho modulq
neperervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ umovy 1 – 4, S( ) i Sl( ) , zobraΩennq
norm funkcij z klasu Bp,θ
Ω
moΩna podaty u vyhlqdi
f Bp,θ
Ω �
s
s
s pA f x∑ ( )
Ω 2
1
– –
( , )
θ θ θ
, 1 ≤ θ < ∞, (3)
f Bp,∞
Ω � sup
( , )
–
s
s p
s
A f x
Ω 2( ) . (4)
Spivvidnoßennq (3) bulo vstanovleno v roboti [5], a (4) — v [3].
Zaznaçymo, wo dali v roboti budemo rozhlqdaty klasy Bp,θ
Ω
, qki vyznaçagt\-
sq funkci[g typu mißanoho modulq neperervnosti porqdku l deqkoho speci-
al\noho vyhlqdu
Ω( )t = ω
j
d
jt
=
∏
1
, (5)
de ω τ( ) — zadana funkciq (odni[] zminno]) typu modulq neperervnosti porqdku
l, qka zadovol\nq[ umovy S( ) i Sl( ) . Dlq Ω( )t vyhlqdu (5) vykonugt\sq vlas-
tyvosti 1 – 4 funkci] typu mißanoho modulq neperervnosti porqdku l, a takoΩ
umovy S( ) i Sl( ) , i tomu zberihagt\sq navedeni vywe zobraΩennq (1) – (4) norm
funkcij klasu Bp,θ
Ω
.
Perejdemo bezposeredn\o do oznaçennq najkrawoho M-çlennoho tryhono-
metryçnoho nablyΩennq.
Dlq f ∈ Lq d( )π poznaçymo çerez
e fM q( ) = inf inf ( ) –
,
k c j
M
j
i k x
q
j
j
M
j j
M
j
f x c e
{ } { } =
( )
= =
∑
1 1 1
najkrawe M-çlenne tryhonometryçne nablyΩennq funkci] f u prostori Lq ,
de k j
j
M{ } =1
— nabir vektoriv k j = k j
1( , … , kd
j ) z ciloçyslovymy koordynatamy,
cj — dovil\ni çysla.
Qkwo F — deqkyj funkcional\nyj klas, to poklademo
e FM q( ) = sup ( )
f F
M qe f
∈
. (6)
Velyçyna e fM ( )2 dlq funkci] odni[] zminno] bula vvedena S. B. St[çkinym
[6] pry formulgvanni kryterig absolgtno] zbiΩnosti rqdiv Fur’[. Zhodom
velyçyny e fM q( ) i e FM q( ) , 1 ≤ q ≤ ∞, poçaly doslidΩuvaty vΩe z toçky zoru
aproksymaci].
Dlq deqkyx klasiv funkcij bahat\ox zminnyx doslidΩennq povedinky vely-
çyn (6) provodylys\ zokrema, v robotax [7 – 10], v qkyx moΩna oznajomytysq z
bil\ß detal\nog bibliohrafi[g.
1. DopomiΩni tverdΩennq. Navedemo kil\ka vidomyx tverdΩen\, qki bude-
mo vykorystovuvaty u podal\ßomu vykladi.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1200 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
Teorema A (Littlvuda – Peli [4, s. 65]). Nexaj zadano 1 < p < ∞. Isnugt\
dodatni çysla C3 , C4 taki, wo dlq koΩno] funkci] f ∈ L p d( )π vykonugt\sq
spivvidnoßennq
C f p3 ≤
s
s
p
f x∑
δ ( , ) 2
1
2
≤ C f p4 . (7)
Z (7) lehko otrymaty (dyv., napryklad, [8, s. 17]) spivvidnoßennq
f p �
s
s p
p p
f x∑
δ ( , ) 0 0
1
, (8)
de p0 = min ;p 2{ }.
Teorema B [11]. Nexaj T xn( ) — tryhonometryçnyj polinom porqdku n =
= ( 1n , …, nd ) ,
T xn( ) =
k n k n
k k
i k x
d d
d
c e
1 1
1
≤ ≤
…∑ ∑… , ,
( , )
,
de nj , j = 1, d , — natural\ni çysla, ck kd1, ,… — dovil\ni koefici[nty. Todi pry
1 ≤ q < p ≤ ∞ ma[ misce spivvidnoßennq
T xn p( ) ≤ 2
1
1 1
d
j
d
j
q p
n qn T x
=
∏
–
( ) . (9)
Nerivnist\ (9) bula vstanovlena S. M. Nikol\s\kym i otrymala nazvu „neriv-
nosti riznyx metryk”. U vypadku d = 1 i p = ∞ vidpovidnu nerivnist\ doviv
DΩekson [12].
Teorema V [3]. Nexaj Ω( )t zadovol\nq[ umovy S( ) ta Sl( ) . Funkciq f ∈
∈ Lq d( )π naleΩyt\ klasovi Hq
Ω
todi i til\ky todi, koly
δs qf x( , ) � Ω 2–s( ), 1 < q < ∞,
A f xs q( , ) � Ω 2–s( ), 1 ≤ q ≤ ∞.
Lema A [7, s. 25]. Nexaj 1 ≤ p < q < ∞ i f ∈ L p d( )π . Todi
f q �
s
s p
s
p q
q
q
f x∑
δ ( , )
–
2
1
1 1
1
,
de s 1 = s1 + s2 + … + sd .
Lema B [7, s. 28]. Nexaj 1 < p < q ≤ ∞ i f ∈ L p d( )π . Todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1201
f p �
s
s q
s
q p
p
p
f x∑
δ ( , )
–
2
1
1 1
1
.
Lema V [9]. Nexaj 2 < q < ∞. Dlq bud\-qkoho tryhonometryçnoho polinoma
P xNΘ ,( ), wo mistyt\ ne bil\ße N harmonik, i dlq dovil\noho M < N znaj-
det\sq tryhonometryçnyj polinom P xMΘ ,( ), ne bil\ße M koefici[ntiv qko-
ho [ vidminnymy vid nulq, takyj, wo
P x P xN M qΘ Θ, – ,( ) ( ) ≤ C N
M
P xN5 2Θ ,( ) ,
pryçomu ΘM � ΘN , C5 > 0.
2. Porqdky velyçyn e BM q1,θθ
ΩΩ(( )) pry 1 < q < ∞∞∞∞ . V danomu punkti vyvça-
gt\sq najkrawi M-çlenni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv B1,θ
Ω
u prostori
Lq , 1 < <TqT<T∞.
Ma[ misce nastupne tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj 2 < q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω( )t = ω(t1 … td ) , de ω τ( ) za-
dovol\nq[ umovu S( ) z deqkym α > 1, a takoΩ umovu Sl( ) , l ≥ 2. Todi dlq
bud\-qkyx M, n ∈N takyx, wo M � 2 1n dn –
, ma[ misce ocinka
e BM q1,θ
Ω( ) � ω θ2 22
1 1
2
1
–
( – ) –
n
n d
n( )
. (10)
Dovedennq. Spoçatku vstanovymo ocinku zverxu.
Nexaj f — dovil\na funkciq z klasu B1,θ
Ω
. Dlq zadanoho çysla M pidbe-
remo n, vyxodqçy z umovy M � 2 1n dn –
. Budemo rozhlqdaty nablyΩennq
funkcij f za dopomohog polinoma
P xMΘ ,( ) =
s n
s f x
1 <
∑ δ ( , ) +
n s n
NP x
s
≤ <
∑ ( )
1 β
Θ , , (11)
de β > 1 — deqke dijsne çyslo, qke my pidberemo pizniße, a P xNs
Θ ,( ) — poli-
nom, qkyj bude pobudovanyj dlq koΩnoho „bloku” δs f x( , ) zhidno z lemogTV, a
tomu dlq δs f x( , ) vykonuvatymet\sq nerivnist\
δs N q
f x P x
s
( , ) – ,Θ( ) � 2 1
1
2
2
s
s
sN
f x
δ ( , ) . (12)
Prypustymo, wo polinom P xMΘ ,( ) pobudovano. Todi, vyxodqçy z (11), na
pidstavi nerivnosti Minkovs\koho matymemo
f x P xM q( ) – ,Θ( ) =
=
n s n
s N
s n
s
q
f x P x f x
s
≤ < ≥
∑ ∑( )( ) +
1 1β β
δ δ( , ) – , ( , )Θ ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1202 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
≤
n s n
s N
q
f x P x
s
≤ <
∑ ( )( )
1 β
δ ( , ) – ,Θ +
s n
s
q
f x
1 ≥
∑
β
δ ( , ) =
= I1 + I2. (13)
Dali ocinymo koΩen dodanok u (13). Zhidno z teoremog ′1 [13] dlq druhoho
dodanka oderΩymo
I2 � ω β
β
θ2 2
1 1 1 1 1
–
– ( – ) –
n
n
q
d
qn( )
+
,
de a+ = max ;a 0{ }.
Perejdemo do ocinky I1. Vnaslidok (8), (12) ta (9) budemo maty
I1 �
n s n
s N q
f x P x
s
≤ <
∑ ( )
1
2
1
2
β
δ ( , ) – ,Θ �
�
n s n
s
s
sN
f x
≤ <
∑
1
12
2
2
1
2
β
δ ( , ) �
n s n
s
s
sN
A f x
≤ <
∑
1
12
2
2
1
2
β
( , ) �
�
n s n
s
s
s
s
N
A f x
≤ <
∑
1
1 12 21
2 2 1 1
2
1
2
β
( , )
–
=
=
n s n
s
s
sN
A f x
≤ <
∑
1
122
1
2
1
2
β
( , ) . (14)
Wob prodovΩyty ocinku (14), rozhlqnemo dva vypadky: a) 2 ≤ θ ≤ ∞; b) 1 ≤
≤ θ < 2.
Dlq vypadkiv a) ta b) poklademo vidpovidno
β =
α
α
–
–
1
2
1 1+
q
,
Ns = ω ω– – –1 2 2 21 1n s s( ) ( )[ ] + 1
ta
β =
α
α
–
–
1
2
1 1+
q
–
d n
q
n
– – log
–
1 1
2
1
1 1
( )
+
θ
α
,
Ns = ω ω
θ θ– – – – –
( , )1 1 1
12 2 21 1n d s s
sn A f x( ) ( )( )
+ 1,
de b[ ] — cila çastyna çysla b.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1203
Pry takomu vybori çysel Ns ta β , qk i v roboti [14] (z formal\nog zami-
nog δs pf x( , ) na A f xs( , ) 1, a p na 1), moΩna pokazaty, wo
n s n
sN
≤ <
∑
1 β
� 2 1n dn –
,
I1 � ω θ2 22
1 1
2
1
–
( – ) –
n
n d
n( )
, (15)
I2 � ω β
β
θ2 2
1 1 1 1 1
–
– ( – ) –
n
n
q
d
qn( )
+ � ω θ2 22
1 1
2
1
–
( – ) –
n
n d
n( )
. (16)
Vykorystovugçy dlq (13) ocinky (15) ta (16), oderΩu[mo
f x P xM q( ) – ,Θ( ) � ω θ2 22
1 1
2
1
–
( – ) –
n
n d
n( )
.
OtΩe, ocinku zverxu dovedeno.
Pry dovedenni ocinky znyzu budemo vykorystovuvaty spivvidnoßennq dvo]s-
tosti, qke vyplyva[ z bil\ß zahal\noho rezul\tatu S. M. Nikol\s\koho (dyv.,
napryklad, [15, s. 25])
e fM q( ) = inf sup ( ) ( )
( )Θ ΘM M
q
d
P L
P
f x P x dx
∈
≤
⊥
′
∫
1
π
, (17)
de L M
⊥( )Θ — mnoΩyna funkcij, qka ortohonal\na pidprostoru tryhono-
metryçnyx polinomiv z „nomeramy” harmonik iz mnoΩyny ΘM = k j
j
M{ } =1
, a
1
q
+
+ 1
′q
= 1.
Zaznaçymo, wo ocinku znyzu dosyt\ vstanovyty dlq vypadku q = 2. Za
zadanym M pidberemo m takym çynom, wob vykonuvalys\ spivvidnoßennq M �
� 2 1m dm –
i 2 1m dm – ≥ 2M.
Rozhlqnemo funkci]
f x1( ) = C m e
d
m s m d
s
k s
i k x
6
1
1
12
–
–
–
( )
( , )θ
ρ
ω
≤ ≤ + ∈
∑ ∑( ) , C6 > 0, (18)
ta
f x2( ) = C e
m s m d
s
k s
i k x
7
1
12
≤ ≤ + ∈
∑ ∑( )ω
ρ
–
( )
( , ) , C7 > 0. (19)
PokaΩemo naleΩnist\ cyx funkcij do klasiv B1,θ
Ω
, 1 ≤ θ < ∞, ta B1,∞
Ω
vid-
povidno.
Pry 1 ≤ θ < ∞ ma[mo
f B1 1,θ
Ω �
m s m d
s
sA f x
≤ ≤ +
∑ ( )
1
12 1 1
1
ω θ θ θ– – ( , ) �
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1204 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
� m
d
m s m d
s s–
–
– – –
1 1
1
1 12 2θ θ θ θ
ω ω
≤ ≤ +
∑ ( ) ( )
� m m
d d
–
– –1 1
θ θ = 1,
pry θ = ∞ —
f B2 1,∞
Ω � sup
( , )
–
m s m d
s
s
A f x
≤ ≤ + ( )1
1
2 1
2ω
� sup
–
–
m s m d
s
s
≤ ≤ +
( )
( )1
1
1
2
2
ω
ω
= 1.
Teper pobudu[mo funkcig P x( ) , qka b zadovol\nqla umovy spivvidnoßen-
nqT(17). Nexaj
v1( )x =
m s m d k s
i k xe
≤ ≤ + ∈
∑ ∑
1 ρ( )
( , )
(20)
i ΘM — dovil\nyj nabir z M vektoriv k = (k1, … , kd ) z ciloçyslovymy koor-
dynatamy. Poznaçymo çerez
u x1( ) =
k
i k x
j
M
j
e
∈
∑
Θ
( , )
(21)
funkcig, wo mistyt\ til\ky ti dodanky z (20), qki magt\ „nomery” z mnoΩyny
ΘM , i poklademo w x1( ) = v1( )x – u x1( ) . V takomu vypadku pry ′q = 2 ma[mo
w x1 2( ) ≤ u x1 2( ) + v1 2( )x .
Vraxovugçy toj fakt, wo
u x1 2( ) =
k
i k x
j
M
j
e
∈
∑
Θ
( , )
2
=
k j
M∈
∑
Θ
1
1
2
≤ M ,
oderΩu[mo
w x1 2( ) ≤ M + v1 2( )x . (22)
Ocinymo druhyj dodanok iz pravo] çastyny (22):
v1 2( )x =
m s m d k s
i k xe
≤ ≤ + ∈
∑ ∑
1 2ρ( )
( , ) =
m s m d k s≤ ≤ + ∈
∑ ∑
1
1
1
2
ρ( )
�
�
m s m d
s
≤ ≤ +
∑
1
12
1
2
� 2 2
1
2
m d
m
–
. (23)
Takym çynom, zhidno z (22) i (23) otrymu[mo
w x1 2( ) � 2 2
1
2
m d
m
–
+ M � 2 2
1
2
m d
m
–
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1205
OtΩe, funkciq P x( ) = C m
m d
8
2
1
22
– –
–
w x1( ) z deqkog stalog C
8
> 0 zado-
vol\nq[ vsi vymohy do P x( ) u spivvidnoßenni (17).
Pidstavlqgçy f x1( ) i P x( ) u spivvidnoßennq (17), u vypadku 1 ≤ θ < ∞
oderΩu[mo
e BM q1,θ
Ω( ) ≥ e BM 1 2,θ
Ω( ) ≥ e fM 1 2( ) = inf sup ( ) ( )
( )Θ ΘM M d
P L
P
f x P x dx
∈
≤
⊥ ∫
2 1
1
π
�
� ω θ2 2 2
1
2
1
– – –
–
–
–
m
m d d
m m( ) ×
× inf –
( )
( , )
( )
( , ) ( , )
Θ ΘM
d
j
M
j
m s m d k s
i k x
m s m d k s
i k x
k
i k xe e e dx
π ρ ρ
∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
≤ ≤ + ∈ ≤ ≤ + ∈ ∈
1 1
=
= ω θ
ρ
2 2 2
1 1
2
1
2
2
2
2
1
– – –( – )
( )
( , ) ( , )inf –m
m d
m s m d k s
i k x
k
i k xm e e
M j
M
j( )
+
≤ ≤ + ∈ ∈
∑ ∑ ∑
Θ Θ
�
� ω θ2 2 22
1 1
2
1
1– – –( – )
– –m
m d
m dm m M( ) ( )+
� ω θ2 2 2
1 1
2
1
–
( – ) –
m
m d
m( )
.
Analohiçno, pidstavlqgçy f x2( ) i P x( ) u spivvidnoßennq (17), pereko-
nu[mosq, wo dlq vypadku θ = ∞ ma[ misce porqdkova nerivnist\
e BM q1,∞( )Ω ≥ e fM 2 2( ) � ω 2 2 2
1
2–
–
m
m d
m( ) .
Ocinky znyzu vstanovleno.
TeoremuT1 dovedeno.
ZauvaΩennq 1. Pokladagçy v teoremiT1 θ = ∞, otrymu[mo porqdkove spiv-
vidnoßennq
e HM q1
Ω( ) � ω 2 22
1
2–
–
n
n d
n( ) .
ZauvaΩennq 2. Qkwo Ω( )t = t j
r
j
d 1
1=∏ , de r1 > 1, to pry 2 < q < ∞, 1 ≤
≤ θ ≤ ∞ vykonu[t\sq porqdkova rivnist\
e BM
r
q1,θ( ) � M M Md r d– – – – –
log log1 1
1
2 1
1
2
1
1( ) ( ) θ ,
qka vstanovlena A. S. Romangkom v roboti [10].
Teorema 2. Nexaj 1 < q ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω( )t = ω(t1 … td ) , de ω τ( ) za-
dovol\nq[ umovu S( ) z deqkym α > max 1{ – 1
q
; 1 – 2
q
+ 1
θ} , a takoΩ umovu
Sl( ) , l > 1
– 2
q
+ 1
θ
. Todi dlq bud\-qkyx M, n ∈N takyx, wo M � 2 1n dn –
,
ma[ misce ocinka
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1206 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
e BM q1,θ
Ω( ) � ω θ2 2
1 1 1 1 1
–
– ( – ) –
n
n
q
d
qn( )
. (24)
Dovedennq. Ocinka zverxu vyplyva[ z teoremyT1 [16], oskil\ky
e BM q1,θ
Ω( ) ≤ e BM q
⊥ ( )1,θ
Ω
.
Vstanovymo ocinku znyzu. Za zadanym çyslom M pidberemo n ∈N tak, wob
M � 2 1n dn –
i kil\kist\ toçok u mnoΩyni
Fn =
s n
s
1 =
∪ ρ( )
bula b bil\ßog niΩ 4M. Rozhlqnemo funkci]
f x3( ) = C n e
d
s n
s
k s
i k x
9
1
1
12
–
–
–
( )
( , )θ
ρ
ω
= ∈
∑ ∑( ) , C9 > 0,
ta
f x4( ) = C e
s n
s
k s
i k x
10
1
12
= ∈
∑ ∑( )ω
ρ
–
( )
( , )
, C10 > 0.
NaleΩnist\ cyx funkcij do klasiv B1,θ
Ω
, 1 ≤ θ < ∞, ta B1,∞
Ω
vidpovidno vsta-
novlg[t\sq za dopomohog mirkuvan\, analohiçnyx do vykorystanyx po vidno-
ßenng do funkcij f x1( ) ta f x2( ) .
Dali, nexaj ΘM — dovil\nyj nabir z M vektoriv k1, … , k M
, k j = k j
1( , …
… , kd
j ) z ciloçyslovymy koordynatamy. Dlq koΩnoho vektora s = (s1, … , sd ),
sj ∈N , j = 1, d , wo zadovol\nq[ umovu s 1 = n, rozhlqnemo mnoΩynu ΘM ∩
∩ ρ( )s . Vnaslidok toho, wo Fn > 4M, mnoΩyna S = s
d∈{ N : s 1 = n ,
ΘM s∩ ρ( ) ≤ 1
2
ρ( )s } bude mistyty, prynajmni, polovynu vsix s takyx, wo
s 1 = n, a tomu S � nd –1
.
Nexaj g x( ) — dovil\nyj polinom z naborom harmonik iz ΘM . Todi zhidno z
lemogTB oderΩymo
f g q3 – �
s n
s
q
s
q
q q
f g x
1
1
3 2
1
2
1
1
2
=
∑
δ ( – , )
–
�
� 2
1
2
1
3 2
1n
q
s S
s
q qf g x
–
( – , )
∈
∑
δ �
� ω θ2 2 2 1
1 1
2
1
2
1
–
–
– –
n
d n
q
n
s S
qn( ) ∑
∈
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1207
= ω θ2 2
1 1 1 1
–
–
– –
n
d n
q qn S( )
� ω θ2 2
1 1 1 1 1
–
– ( – ) –
n
n
q
d
qn( )
.
Analohiçno, dlq funkci] f x4( ) u vypadku θ = ∞
f g q4 – � ω 2 2
1 1 1
–
–
–
n
n
q
d
qn( )
.
Ocinku znyzu dovedeno.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 3. Pokladagçy v teoremiT2 θ = ∞, otrymu[mo porqdkovu riv-
nist\
e HM q1
Ω( ) � ω 2 2
1 1 1
–
–
–
n
n
q
d
qn( )
.
ZauvaΩennq 4. Qkwo Ω( )t = t j
r
j
d 1
1=∏ , de r1 > max 1{ – 1
q
; 1 – 2
q
+ 1
θ} , to
pry 1 < q ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ vykonu[t\sq spivvidnoßennq
e BM
r
q1,θ( ) � M M
r
q d r
q
– –
– – –
log
1
1
1 1
1 1 2 1+
+( ) θ ,
qke vstanovleno v roboti [10].
3. Porqdky velyçyn e BM p,θθ
ΩΩ(( ))∞∞ pry p = 1, ∞∞∞∞ , d ≥≥≥≥ 2. V danomu punkti
mova jtyme pro najkrawi M-çlenni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv Bp,θ
Ω
,
p = 1, ∞, u rivnomirnij metryci.
Ma[ misce taka teorema.
Teorema 3. Nexaj p = 1, ∞, 2 ≤ θ < ∞ i Ω( )t = ω(t1 … td ) , de ω( )t zado-
vol\nq[ umovu S( ) z deqkym α > max 1
p{ ; 1
2} , a takoΩ umovu Sl( ) , l > 1
p
.
Todi pry d ≥ 2 dlq bud\-qkyx M, n ∈N takyx, wo M � 2 1n dn –
, ma[ misce
spivvidnoßennq
ω θ2 2
1 1
2 1 1
2
1
–
– ( – ) –
n
n
p d
n( )
+ � e BM p,θ
Ω( )∞ �
� ω θ2 2
1 1
2 1 1
2
1 1
2–
– ( – ) –
n
n
p d
n n( )
+ . (25)
Dovedennq. Vstanovymo v (25) ocinku zverxu. Budemo vvaΩaty, wo M po-
v’qzani z çyslamy n ∈N spivvidnoßennqm M � 2 1n dn –
.
V [17] pry vykonanni umov teoremyT3 dlq p = 2 pokazano, wo
e BM 2,θ
Ω( )∞ � ω θ2
1 1
2
1 1
2–
( – ) –
n
d
n n( )
. (26)
Vykorystovugçy ocinku (26), moΩna oderΩaty potribni ocinky u vypadkax
p = 1 ta p = ∞.
Nexaj p = 1. Todi, zastosuvavßy do A f xs( , ), f B∈ 1,θ
Ω
, qk do polinoma
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1208 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
stepenq 2
1s j +
po zminnij x j , j = 1, d , nerivnist\ riznyx metryk, moΩemo za-
pysaty
f B1,θ
Ω �
s
s
sA f x∑ ( )
ω θ θ θ– – ( , )2 1
1
1
�
�
s
s
s
s
A f x∑ ( )
ω θ θ θ θ
– – –
( , )2 21
1
2
2
1
=
=
s
s
sA f x∑ ( )
ω θ θ θ
1 2
1
2 1– – ( , ) � f B2
1
,θ
Ω , (27)
de Ω1( )t = ω1 1(t … td ) , ω τ1( ) = ω τ τ( )
– 1
2
.
Takym çynom, na pidstavi (27) robymo vysnovok, wo B1,θ
Ω � B2
1
,θ
Ω
, i zhidno z
(26) ma[mo
e BM 1,θ
Ω( )∞ � e BM 2
1
,θ
Ω( )∞ � ω θ2 22
1 1
2
1 1
2–
( – ) –
n
n d
n n( )
.
U vypadku p = ∞ ocinka velyçyny e BM ∞ ∞( ),θ
Ω
vyplyva[ z (26) zhidno z vklg-
çennqm B∞,θ
Ω � B2,θ
Ω
.
Ocinky zverxu vstanovleno.
Ocinka znyzu v (25) pry p = 1 vyplyva[ z ocinky velyçyny e BM q1,θ
Ω( ) , 2 < q <
< ∞, qka vstanovlena v teoremiT1.
Rozhlqnemo vypadok p = ∞. PokaΩemo, wo dlq klasiv B∞,θ
Ω
ma[ misce
ocinka
e BM q∞( ),θ
Ω � ω θ2
1 1
2
1
–
( – ) –
n
d
n( )
, 1 < q ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞.
KoΩnomu vektoru s = (s1, … ,sd ), sj — parni çysla, sj > 0, j = 1, d , posta-
vymo u vidpovidnist\ mnoΩynu
ρ+( )s =
k k k
s
j
s
j
j j: ,
–
2 2
1 ≤ < ∈{ }N
i dlq n ∈N poklademo
Bn = s s n: 1 2
2
=
{ }, Qn
′ =
s Bn
s
∈
+∪ ρ ( ) .
Nexaj
� Qn
′
— mnoΩyna polinomiv vyhlqdu
t x( ) =
k Q
k
i k x
n
c e
∈ ′
∑ ( , )
,
de k = k1( , … , kd ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1209
Porqd z normog Lq budemo rozhlqdaty normu prostoru Bq,θ , qku dlq try-
honometryçnyx polinomiv
t Qn∈ ′
� vyznaçymo formulog
t Bq,θ
=
s B
s q
n
A t x
∈
∑
( , ) θ
θ
1
, 1 ≤ q ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞,
z vidpovidnog modyfikaci[g pry θ = ∞. Analohiçnym çynom vyznaça[t\sq
f Bq,θ
dlq funkcij f Lq d∈ ( )π pry umovi zbiΩnosti rqdu
s s qA f x∑ ( , ) θ
.
Vidmitymo, wo qkwo 1 < q < ∞, to
f Bq,θ
�
s
s qf x∑
δ θ θ
( , )
1
,
oskil\ky v c\omu vypadku A f xs q( , ) � δs qf x( , ) .
Nexaj D — obmeΩena oblast\ v Rd
i Φ = ϕn nx( ){ } =
∞
1 — systema funkcij iz
prostoru Lq( )D . Dlq f Lq∈ ( )D poklademo
e fM q( , )Φ =
inf ( ) – ( )
,
( )
n M
c
i
M
i n
L
i
i
M
i
q
f x c x
{ }= ⊂ =
{ }∈
=+
∑
Λ ΛZ
R
D1
ϕ .
Qkwo F — deqkyj klas funkcij z Lq( )D , to
e FM q( , )Φ = sup ( , )
f F
M qe f
∈
Φ .
Dlq polinomiv z
� Qn
B
′
∞ ∞,
v [18] vstanovleno nastupne tverdΩennq.
Teorema H. Isnu[ stala C d( ) > 0 taka, wo dlq bud\-qkoho naboru funkcij
Φ = ϕ j j
m{ } =1
� B1 1, , m < ′ ′C Qn , vykonu[t\sq ocinka
e QM n
B B
� ′
∞ ∞,
,
, Φ
1 1
≥ C nd
11
1–
, C11 = C d C11 , ′( ) > 0,
dlq vsix M ≤ C d Qn( ) ′
.
Za zadanym M pidberemo n iz spivvidnoßennq M � 2 1n dn –
, i nexaj P
Qn′
—
operator ortohonal\noho proektuvannq na � Qn
′
, qkyj zhidno z teoremogTA
[ obmeΩenym. Tomu dlq tryhonometryçno] systemy T = ei k x
k d
( , ){ } ∈Z
pravyl\-
nym [ spivvidnoßennq
e Q TM n
B q
� ′
∞ ∞,
, � e Q eM n
B
i k x
k Q
q
n
� ′
{ }
∞ ∞
′∈
,
, ( , )
. (28)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1210 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
Dali, oskil\ky dlq bud\-qkoho polinoma
t Qn
B
∈ ′( )
∞ ∞
�
,
magt\ misce ocinky
t B∞,θ
Ω �
s B
s
s
n
A t x
∈
∞∑ ( )
ω θ θ θ– – ( , )2 1
1
≤
≤ ω θ– – max ( , )1
1
2 1n
s B
s
s Bn
n
A t x( )
∈ ∞
∈
∑ �
� ω θ– –
–
,
1
1
2 n
B
d
t n( ) ∞ ∞
, 1 ≤ θ < ∞,
t B∞ ∞,
Ω � max
( , )
–s B
s
s
n
A t x
∈
∞
( )ω 2 1
� ω– – max ( , )1 2 n
s B
s
n
A t x( )
∈ ∞ =
= ω– –
,
1 2 n
Bt( ) ∞ ∞
, θ = ∞,
to robymo vysnovok, wo isnugt\ dodatni stali C12, C13 taki, wo
C n Qn
d
n
B
12
1
2ω θ–
–
–
,
( ) ′
∞ ∞
� � B∞,θ
Ω ∩
� Qn
′
, (29)
C Qn
n
B
13 2ω –
,
( ) ′
∞ ∞
� � B∞ ∞,
Ω ∩
� Qn
′
. (30)
Z (28) ta (29) oderΩu[mo
e BM q∞( ),θ
Ω ≥ e B QM n
q
∞
′
,θ
Ω ∩ � �
�
ω θ2
1
–
–
–
( , )
,
,n
d
M n
B
i k x
k Q
q
n e Q e
n
( ) ′
) { }
∞ ∞
′∈
� . (31)
Analohiçno dlq θ = ∞ z (28) ta (30) ma[mo
e BM q∞ ∞( ),
Ω ≥
e B QM n
q
∞ ∞
′
,
Ω ∩ � �
�
ω 2– ( , )
,
,n
M n
B
i k x
k Q
q
e Q e
n
( ) ′( ) { }
∞ ∞
′∈
� . (32)
Dlq podal\ßyx mirkuvan\ skorysta[mosq vidomym (dyv., napryklad, [18]) spiv-
vidnoßennqm miΩ normamy polinomiv z
� Qn
′( ) u prostorax Lq pry 1 < q ≤ 2
ta B1 1, :
t q � n t
d
B
–
–
,
1
2
1 1
. (33)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1211
Takym çynom, zhidno z (33) z (31) oderΩu[mo ocinku
e BM q∞( ),θ
Ω �
ω θ2
1
–
–
–
( , )
,
,n
d
M n
B
i k x
k Q
q
n e Q e
n
( ) ′
{ }
∞ ∞
′∈
� �
�
ω θ2
1 1
2
1
1 1
–
–( – )
( , )
,
,
,n
d
M n
B
i k x
k Q
B
n e Q e
n
( ) ′
{ }
+
∈
∞ ∞
′� . (34)
Analohiçno dlq θ = ∞ vnaslidok (32) ta (33) ma[mo
e BM q∞ ∞( ),
Ω �
ω 2
1
2
1 1
– –
–
( , )
,
,
,n
d
M n
B
i k x
k Q
B
n e Q e
n
( ) ′
{ }
∞ ∞
′∈
� . (35)
Dali, zastosovugçy do pravo] çastyny (34) teoremuTH pry Φ = ei k x
k Qn
( , ){ } ∈ ′ i
m = Qn
′
, dlq 1 ≤ θ < ∞ znaxodymo
e BM q∞( ),θ
Ω � ω θ2
1 1
2
1
–
( – ) –
n
d
n( )
. (36)
Analohiçno, zastosuvavßy do pravo] çastyny (35) teoremuTH, pry θ = ∞ oder-
Ωymo
e BM q∞ ∞( ),
Ω � ω 2
1
2–
–
n
d
n( ) . (37)
Takym çynom, z dovedenoho vywe vyplyva[, wo
e BM ∞ ∞( ),θ
Ω ≥ e BM q∞( ),θ
Ω � ω θ2
1 1
2
1
–
( – ) –
n
d
n( )
, 1 ≤ θ ≤ ∞.
Teoremu dovedeno.
4. Ocinky velyçyn e BM p,θθ
ΩΩ(( ))∞∞ pry 1 ≤≤≤≤ p ≤≤≤≤ ∞∞∞∞ , d = 1. Na zaverßennq
otryma[mo toçnu za porqdkom ocinku velyçyny e BM p,θ
Ω( )∞ v odnovymirnomu vy-
padku.
Ma[ misce taka teorema.
Teorema 4. Nexaj d = 1 , 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω( )t = ω( )t zadovol\nq[
umovuT S( ) z deqkym α > max 1
p{ ; 1
2} , a takoΩ umovu Sl( ) , l > 1
p
. Todi ma[
misce ocinka
e BM p,θ
Ω( )∞ � ω M M p–
–
1
1 1
2( )
+ . (38)
Dovedennq. Vstanovymo v (38) ocinku zverxu. Nexaj spoçatku p = 2. Za
zadanym çyslom M pidberemo n ∈N iz nerivnosti 2 1n – ≤ M < 2n
i dlq s ∈N
poklademo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1212 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
Ms =
2 1
2 2 2 21 2 2
s
n
n
s
s
s n
s n
, ,
, .– – –
≤ ≤
( ) ( )
>
ω ω
(39)
Todi
s
sM
=
∞
∑
1
≤
s
n
s
=
∑
1
2 +
s n
n
n
s
s
= +
∞
∑ ( ) ( )
1
1 2 22 2 2 2ω ω– – – �
� 2 2 2 2 21 2
1
2n n
n
s n
s
s
+ ( ) ( )
= +
∞
∑ω ω– – – =
= 2 2 2
2
2
21 2
1
1
2
3
n n
n
s n
s
s
s
I+ ( ) ( )
=
= +
∞
∑ω
ω
α
α– –
–
–
– –
.
Oskil\ky ω( )t zadovol\nq[ umovu S( ) z α > 1
2
, to, prodovΩyvßy ocinku I3,
matymemo
I3 � 2 2 2
2
2
21 2
1
1
2n n
n n
n
s n
s
+ ( ) ( )
= +
∞
∑ω
ω
α
α– –
–
–
– –
�
� 2n + 2 2 22
1
2
n
n
nα α– –
� 2n � M.
Dlq nastupnyx mirkuvan\ skorysta[mos\ ocinkog z [19] (naslidok 5.1), qka ma[
vyhlqd
e f xM ss
δ ( , )( )∞ � 2 2
1 2
2
s
s
s
s
sM M
f x
/
log ( , )δ . (40)
Takym çynom, vnaslidok vyboru çysel Ms i ocinky (40) dlq f B∈ 2,θ
Ω
moΩe-
mo zapysaty
e fM ( )∞ ≤
s n
M se f x
s
>
∞∑ ( )δ ( , ) �
s n
s
s
s
s
sM M
f x
>
∑
2 2
1 2
2
/
log ( , )δ . (41)
Dali, oskil\ky dlq f B∈ 2,θ
Ω δs f x( , ) 2 � ω 2–s( ) , to z (41) z uraxuvannqm
(39) budemo maty
e fM ( )∞ �
s n
s n
n
s
s
>
∑ ( ) ( )
2 2 2 2 22 1 2
1
2
ω ω– – – – –
×
× log – log – – – –2 2 2 2 2 21 2 2s n
n
s
s
sω ω ω( ) ( )
( ) =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θ
Ω
… 1213
= ω
ω
α
α1
2 4
1
2
1
2
2 2
2
2
2– – –
–
– –
n
n
s n
s
s
s( ) ( )
>
∑ ×
× log – log – –
–
–
– –
2 2 2
2
2
21 2
1
2s n
n s
s
s
ω
ω
γ
γ( ) ( )
= I4. (42)
Beruçy do uvahy te, wo ω( )t zadovol\nq[ umovy S( ) ta Sl( ) , prodovΩymo
ocinku I4:
I4 � ω
ω
α
α1
2 4
1
2
1
2
1
2
2 2
2
2
2– – –
–
– –
n
n n
n
s n
s( ) ( )
>
∑ ×
× log – log – –
–
–
– –
2 2 2
2
2
21 2
1
2s n
n n
n
s
ω
ω
γ
γ( ) ( )
�
� ω γ γ
α α
2 2 2 2
2 2
4 2 2
1
2– – – –
– –n
n n
s n
s
s n n s s( ) + +
>
∑ �
� ω
α α
2 2 2 24 2 2
1
2– – – –
( – )n
n n
s n
s
s n( )
>
∑ �
� ω
α α
2 2 2 24 2 2
1
2– – – –
n
n n n
( )
= ω 2–n( ) � ω M–1( ). (43)
Ocinku zverxu u vypadku p = 2 vstanovleno.
Ocinky zverxu u vypadkax 1 ≤ p < 2 ta 2 < p ≤ ∞ vyplyvagt\ z (43) zhidno z
vkladennqmy B Bp, ,θ θ
Ω Ω⊂ 2
1
Ω1( )t
= ω1( )t = ω ( )
–
t t
1
2
ta B Bp, ,θ θ
Ω Ω⊂ 2 vidpovidno.
Ocinka znyzu u vypadku p = 1 vyplyva[ z teoremyT1, a u vypadkax 1 < p ≤ 2
ta 2 < p < ∞ — z teoremT1 ta 2 [14]. Qkwo Ω p = ∞, to ocinku znyzu velyçyny
e BM ∞ ∞( ),θ
Ω
, 1 ≤ θ ≤ ∞, bulo otrymano pry dovedenni teoremyT3.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 5. Pokladagçy v teoremiT4 θ = ∞, otrymu[mo ocinku
e HM p
Ω( )∞ � ω M M p–
–
1
1 1
2( )
+
.
1. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic
functions with bounded mixed moduli of smoothness // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1997. – 219. –
S.T356 – 377.
2. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1956. – 5. – S. 483 – 522.
3. Pustovojtov N. N. Predstavlenye y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pere-
menn¥x s zadann¥m smeßann¥m modulem neprer¥vnosty // Anal. Math. – 1994. – 20. – P. 35 –
48.
4. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.:
Nauka, 1969. – 480 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1214 A. F. KONOHRAJ, S. A. STASGK
5. Stasgk S. A., Fedunyk O. V. Aproksymatyvni xarakterystyky klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx
funkcij bahat\ox zminnyx // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 5. – S. 692 – 704.
6. Steçkyn S. B. Ob absolgtnoj sxodymosty ortohonal\n¥x rqdov // Dokl. AN SSSR. – 1955.
– 102, # 1. – S. 37 – 40.
7. Temlqkov V. N. PryblyΩenye funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1986. – 178. – S. 1 – 112.
8. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. –
419 p.
9. Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax peryodyçes-
kyx funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Yssledovanyq po teoryy funkcyj
mnohyx vewestvenn¥x peremenn¥x. – Qroslavl\: Qroslav. un-t, 1988. – S. 16 – 33.
10. Romangk A. S. Nayluçßye M-çlenn¥e tryhonometryçeskye pryblyΩenyq klassov Besova
peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2003. – 67, # 2. – S. 61
– 100.
11. Nykol\skyj S. M. Neravenstva dlq cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny y yx prymenenye v
teoryy dyfferencyruem¥x funkcyj mnohyx peremenn¥x // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. –
1951. – 38. – S. 244 – 278.
12. Jakson D. Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39. –
P. 889 – 906.
13. Fedunyk O. V. Ocinky aproksymatyvnyx xarakterystyk klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij
bahat\ox zminnyx v prostori Lq // Problemy teori] nablyΩennq funkcij ta sumiΩni pytan-
nq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2005. – 2, # 2. – S. 268 – 294.
14. Stasgk S. A. Najkrawi M-çlenni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv funkcij bahat\ox
zminnyx Bp,θ
Ω
// Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 3. – S. 381 – 394.
15. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 424 s.
16. Konohraj A. F., Stasgk S. A. Najkrawi ortohonal\ni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv
Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx // Problemy teori] nablyΩennq funkcij ta
sumiΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2007. – 4, # 1. – S. 151 – 171.
17. Stasgk S. A. NablyΩennq klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx u rivno-
mirnij metryci // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 11. – S. 1551 – 1559.
18. Kaßyn B. S., Temlqkov V. N. O nayluçßyx m-çlenn¥x pryblyΩenyqx y πntropyy mno-
Ωestv v prostranstve L1 // Mat. zametky. – 1994. – 56, # 5. – S. 57 – 86.
19. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal.
Appl. – 1995. – 2, # 1. – P. 29 – 48.
OderΩano 06.04.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3237 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:46Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/1959f46f5f52f8ba030783dad5a2fa35.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32372020-03-18T19:48:57Z Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq Найкращі M-членні тригонометричні наближення класів B Ωp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq Konohrai, A. F. Stasyuk, S. A. Конограй, А. Ф. Стасюк, С. А. We obtain order estimates for the best M-term trigonometric approximations of classes B &Omega;p,&theta; of periodic multivariable functions in the space Lq for some values of the parameters p and q. Получены порядковые оценки для наилучших M-членных тригонометрических приближений классов B &Omega;p,&theta; периодических функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых значений параметров p и q. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3237 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 9 (2008); 1196 – 1214 Український математичний журнал; Том 60 № 9 (2008); 1196 – 1214 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3237/3220 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3237/3221 Copyright (c) 2008 Konohrai A. F.; Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Konohrai, A. F. Stasyuk, S. A. Конограй, А. Ф. Стасюк, С. А. Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq |
| title | Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq |
| title_alt | Найкращі M-членні тригонометричні наближення класів B Ωp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq |
| title_full | Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq |
| title_fullStr | Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq |
| title_full_unstemmed | Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq |
| title_short | Best M-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space Lq |
| title_sort | best m-term trigonometric approximations of the classes of periodic functions of many variables in the space lq |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3237 |
| work_keys_str_mv | AT konohraiaf bestmtermtrigonometricapproximationsoftheclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT stasyuksa bestmtermtrigonometricapproximationsoftheclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT konograjaf bestmtermtrigonometricapproximationsoftheclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT stasûksa bestmtermtrigonometricapproximationsoftheclassesofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT konohraiaf najkraŝímčlennítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq AT stasyuksa najkraŝímčlennítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq AT konograjaf najkraŝímčlennítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq AT stasûksa najkraŝímčlennítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq |